Математика: Учебно-методический комплекс для химиков

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный государственный университет»
(ДВГУ)
ИНСТИТУТ ХИМИИ И ПРИКЛАДНОЙ ЭКОЛОГИИ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ
Математика
Специальность —240802.65 Основные процессы химических
производств и химическая кибернетика
Форма подготовки -очная
Кафедра биоорганической
химии и биотехнологии
курс 1,2 семестр 1,2,3
лекции __102_ (час.)
практические занятия___153 час.
семинарские занятия________час.
лабораторные работы_______час.
консультации
всего часов аудиторной нагрузки__255 (час.)
самостоятельная работа _323_ (час.)
реферативные работы (количество)
контрольные работы (количество)
зачет ____1,2,3_______ семестр
экзамен____1,2,3______семестр

Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с требованиями государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования 2 поколения (№ ГОС. РЕГ № 220
тех\дс от 27 марта 2000 г..);
,
Учебно-методический комплекс дисциплины обсужден на заседании кафедры математического
Анализа «24 » июня_2009_г.
Заведующая кафедрой: Р.П. Шепелева.
Составители:В.Ю.Ким, Г.И. Батурин.
Аннотация УМКД по дисциплине «Математика»
Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика» разработан
для студентов специальности 240802.65 Основные процессы химических
производств и химическая кибернетика в соответствии с требованиями ГОС 2
ВПО по данной специальности.
Дисциплина « Математика» входит в базовую часть математического и
естественнонаучного цикла. Общая трудоемкость освоения дисциплины
составляет 578 часов. Учебным планом предусмотрены лекционные занятия
(102 час.), практические занятия(153 часов), самостоятельная работа студента
(323 часа). Дисциплина реализуется на 1 и 2 курсах.
Курс «Математика» включает в себя ряд разделов, направленных на
развитие логического и алгоритмического мышления, привитие навыков
математического исследования социальных, технических, экономических и
других
проблем
науки
и
производства,
умение
мыслить
научными
категориями в области науки, техники, экономики и социальной сферы.
Студент овладевает основными вычислительными навыками, необходимыми
для решения задач комбинаторики; геометрии, алгебры и программирования,
знакомится с современным языком математики; изучает основы линейной
алгебры, аналитической геометрии и математического анализа.
Для успешного освоения дисциплины «Математика» необходимы
устойчивые теоретические знания и практические навыки по всем разделам
элементарной математики и началам математического анализа (школьная
программа).
Логически и содержательно дисциплина «математика» связана с такими
курсами,
как
«Информатика»,
«Физика»,
«Физическая
«Математическое
моделирование
химико-технологических
химия»
процессов»,
«Методы кибернетики химико-технологических процессов, «Процессы и
аппараты химической технологии» и др..
Учебно-методический комплекс включает в себя:
2
 рабочую программу дисциплины;
 краткие опорные конспекты;
 материалы для практических
 материалы для организации самостоятельной работы студентов;
 контрольно-измерительные материалы;
 список литературы;
 глоссарий;
3
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный государственный университет»
(ДВГУ)
ИНСТИТУТ ХИМИИ И ПРИКЛАДНОЙ ЭКОЛОГИИ
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (РПУД)
Математика
Специальность —280201.65 Основные процессы химических производств и химическая
кибернетика
Кафедра биоорганической
химии и биотехнологии
курс 1,2 семестр 1,2,3
лекции __102_ (час.)
практические занятия___153 час.
семинарские занятия________час.
лабораторные работы_______час.
консультации
всего часов аудиторной нагрузки__255 (час.)
самостоятельная работа _323_ (час.)
реферативные работы (количество)
контрольные работы (количество)
зачет ____1,2,3_______ семестр
экзамен____1,2,3
Рабочая программа составлена на основании типовой программы ГОС 2 ВПО и авторских разработок , в
соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального
образования II поколения, № ГОС. РЕГ № 220 тех\дс от 27 марта 2000 г.
Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры математического анализа 24 июня 2009 г, протокол №1
Заведующая кафедрой: Р.П. Шепелева
Составители: В.Ю.Ким, Г.И. Батурин
4
Оборотная сторона титульного листа РПУД
I. Рабочая программа пересмотрена на заседании кафедры:
Протокол от «___26__» __июня_______________ 2010 г. № ___10___
Заведующий кафедрой _______________________ ____Р.П. Шепелева
(подпись)
(И.О. Фамилия)
Пересмотрен список литературы.
II. Рабочая программа пересмотрена на заседании кафедры:
Протокол от «_____» _________________ 2011 г. № ______
Заведующий кафедрой _______________________ _Р.П. Шепелева
(подпись)
(И.О. Фамилия)
Пересмотрен список литературы.
II. Рабочая программа пересмотрена на заседании кафедры:
Протокол от «_____» _________________ 2012 г. № ______
Заведующий кафедрой _______________________ Р.П. Шепелева
(подпись)
(И.О. Фамилия)
Пересмотрен список литературы.
5
Аннотация
Рабочая
программа
студентов специальности
дисциплины
«Математика»
разработана
«Основные процессы
240802.65
для
химических
производств и химическая кибернетика» в соответствии с требованиями ГОС
2 ВПО по данной специальности.
Дисциплина « Математика» входит в базовую часть математического и
естественнонаучного цикла. Общая трудоемкость освоения дисциплины
составляет 578 часов. Учебным планом предусмотрены лекционные занятия
(102 час.), практические занятия(153 часа), самостоятельная работа студента
(323 часов.). Дисциплина реализуется на 1 и 2 курсах.
Для успешного освоения дисциплины «Математика» необходимы
устойчивые теоретические знания и практические навыки по всем разделам
элементарной математики и началам математического анализа (школьная
программа).
Логически и содержательно дисциплина «математика» связана с такими
курсами,
как
«Информатика»,
«Математическое
моделирование
«Физика»,
«Физическая
химико-технологических
химия»
процессов»,
«Методы кибернетики химико-технологических процессов, «Процессы и
аппараты химической технологии» и др..
Цель дисциплины « Математика»: дать представление о математике
как о способе познания мира, общности ее понятий и подходов; о методах
математического моделирования процессов различной природы, развития
способностей к абстрактному и алгоритмическому мышлению.
Задачи дисциплины «Математика» :
 продемонстрировать на примерах математических понятий и методов
сущность научного подхода;
6
 научить понимать и пользоваться основными методами
математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры.
I.Структура и содержание дисциплины
Объем дисциплины и виды учебной работы.
Виды учебной работы
Общая трудоемкость
Распределение по семестрам
Всего
часов
I
II
III
680
дисциплины
Лекции
106
34
34
34
Практические занятия
159
51
51
51
Самостоятельная
415
131
119
73
Зачет
Зачет
Зачет
Экзамен
Экзамен
Экзамен
работа
Виды итогового
контроля
Рекомендуемое распределение часов по темам и видам работ
Из них
№
Наименование
п/п разделов
1
Всег
Аудитор
о
-ные
часов часы
2
3
Самост
Практиче
Лекции
-ские
занятия
4
5
оятельна
я
работа
6
7
I семестр
1.
Линейная алгебра
10
16
2.
Аналитическая
8
12
геометрия на
плоскости
7
28
3.
Векторная алгебра
6
7
28
4.
Аналитическая
4
7
28
8
9
28
36
51
140
12
16
30
12
22
40
6
4
35
4
9
35
34
51
140
2
3
2
3
геометрия в
пространстве
5.
Предел и
непрерывность
Итого:
90
II семестр
6.
Дифференциальное
исчисление
функции
7.
Интегральное
исчисление
функции
8.
Функции
нескольких
переменных
9.
Теория рядов
Итого:
90
III семестр
1
Ряды с
положительными
членами. Признаки
сранения.
2
Признаки
сходимости для
рядов с
положительными
членами
8
3
Знакочередующиеся
2
3
2
3
2
3
2
3
Кратные интегралы
2
3
Замена переменной
2
3
2
3
4
6
4
6
4
6
4
6
34
51
ряды. Абсолютная и
условная
сходимость
4
Функциональные
ряды. Область
сходимости.
5
Степенные ряды.
Радиус сходимости.
6.
Случайные события
и вероятности -
7.
в кратном интеграле
Вычисление
площадей и объемов
с помощью
кратного интеграла
Криволенейные
интегралы
Поверхностные
интегралы
8.
Дивергенция,
градиент и ротор.
Формула Стокса.
Формула
Остроградского
Итого:
90
9
I.
Содержание теоретической части дисциплины
Раздел 1. Основы АЛГЕБРЫ
1.1.Основные алгебраические структуры. Матрицы. Определители второго и
третьего порядков, их свойства.
1.2.Алгебраические дополнения и миноры. Теорема о разложении
определителя по заданной строчке или столбцу.
1.3.Вычисление определителей высших порядков.
1.4.Системы линейных уравнений. Система Крамера.
1.5.Метод Гаусса.
Раздел 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
2.1. Прямая линия , плоскость. Уравнение прямой на плоскости (уравнение
прямой с угловым коэффициентом, общее уравнение прямой, уравнение
прямой, проходящей через две точки, уравнение прямой в отрезках). Угол
между прямыми, условие перпендикулярности и параллельности двух прямых.
2.2. Линии второго порядка на плоскости . Кривые 2-го порядка.Уравнение
окружности.
2.3. Эллипс и его свойства. Гипербола и ее свойства. Парабола и ее свойства.
2.4. Приведение общего уравнения кривой 2-го порядка каноническому виду.
Раздел 3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
3.1. Понятие вектора. Векторные пространства. Линейные операции над
векторами. Проекции вектора на ось. Свойства проекции. Линейно зависимые
и линейно независимые системы векторов. Геометрические условия линейной
независимости системы двух и трех векторов. Базис, декартов базис.
Линейные отображения.Линейные пространства, линейные операторы.
10
3.2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
Линейные операции над векторами в координатной форме.
3.3. Скалярное произведение векторов и его свойства.Векторное произведение
векторов и его свойства. Смешанное произведение трех векторов и его
свойства. Булевы алгебры
Раздел 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
4.1. Многомерная евклидова геометрия. Уравнение плоскости и прямой в
пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
4.2. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. элементы
топологий Общее уравнение поверхности в пространстве. Цилиндрическая
поверхность. Сфера. Метод сечений и построение с его помощью основных
поверхностей 2-го порядка, заданных своими каноническими уравнениями
(эллипсоид, конус, одно- и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и
гиперболический параболоиды).
Раздел 5.Основы теории групп
Основы теории представлений групп, приложения к кристаллографии;
Раздел 6. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
6.1. Математический анализ: предельный переход. Понятие предела функции
в точке и предела числовой последовательности.
6.2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства.
6.3. Теоремы о пределах. Понятие предела функции в бесконечно удаленной
точке. Односторонние пределы. Неопределенности, их типы, способы
раскрытия неопределенностей. Первый и второй замечательные пределы.
11
6.4.Непрерывность функции в точке. Условия непрерывности функции в
точке. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций, непрерывных в
открытом интервале, на замкнутом отрезке.
Раздел 7. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одного
и нескольких переменных.
7.1. Элементы теории функций и функционального анализа. Производная
функции, ее геометрический и механический смысл. Свойства производных.
Производные элементарных функций.
7.2. Производная сложной, обратной, неявной функции, функции, заданной
параметрически.
7.3.
Дифференциал
непрерывностью.
функции.
Приложение
Связь
между
дифференцируемостью
дифференциала
к
и
приближенным
вычислениям.
7.4. Производные, дифференциалы высших порядков.
7.5. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.
7.6. Условие монотонности функции. Экстремум функции. Наибольшее и
наименьшее значения функции. Выпуклость графика функции. Точки
перегиба. Асимптоты кривой. Общая схема исследования функции и
построение ее графика.
Раздел 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ
8.1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица
интегралов элементарных функций. Основные методы интегрирования.
8.2. Интегрирование рациональных, иррациональных, тригонометрических
выражений.
12
8.3. Определенный интеграл. Основные свойства определенного интеграла.
Методы интегрирования подстановкой и по частям. Формула НьютонаЛейбница.
8.4. Геометрический смысл определенного интеграла.
8.5. Приложения определенного интеграла.
8.6. Несобственные интегралы.
8.7. Приближенное вычисление определенных интегралов: Формулы
прямоугольников, трапеций и Симпсона.
Раздел 9. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
9.1. Функции нескольких переменных. Частные производные. Полный
дифференциал.
9.2. Производная по направлению. Исследование функции нескольких
переменных
9.3. Векторный анализ, элементы теории поля;
Раздел 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения; уравнения с
частными производными
10.1.Обыкновенные дифференциальные уравнения; уравнения с частными
производными.
10.2. Основы математического моделирования природных процессов.
Раздел 11. Числовые и функциональные последовательности и ряды
11.1. Основные понятия теории числовых рядов. Ряды с положительными
членами. Признаки сравнения числовых рядов. Признаки сходимости рядов
(Даламбера, Коши).
13
11.2. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
11.3. Ряды Фурье.
. Раздел 12. Вероятность и статистика: Элементарная теория
вероятностей, математическая статистика и ее приложения к обработке
результатов наблюдений
12.1Случайное событие, вероятность, частота, группа событий, условная
вероятность. Операции над событиями, алгебра событий, ее геометрическая
интерпретация, тождества Де Моргана. Математические основы теории
вероятностей.
Схема случаев, непосредственный расчет вероятностей.
Вероятность произведения событий. Обобщение на случай многих
сомножителей. Следствия.
Вероятность суммы событий. Вероятность суммы совместных, но не
зависимых событий. Следствия.
Схема гипотез, формула полной вероятности.
Обратная вероятность, вклады гипотез, формула Байеса.
Последовательные независимые однородные испытания, биномиальная
формула, два вида задач на биномиальную формулу.
12.2. Случайные величины и распределения вероятностей
Случайная величина, множество значений, область определения. Примеры
случайных величин. Модели случайных процессов Дискретная случайная
величина: определение, ряд распределения, условие нормировки, функция
распределения,
вероятность
попадания
в
интервал,
“механическая”
интерпретация. Непрерывная случайная величина: плотность вероятности,
14
условие нормировки, функция распределения, вероятность попадания в
интервал, «механическая» интерпретация.
Характеристики случайных величин: начальные моменты, центральные
моменты,
связь начальных и центральных моментов, характеристики
положения. Проверка гипотез, принцип максимального правдоподобия.
Основные дискретные распределения и их характеристики: биномиальное,
Пуассона.
Основные непрерывные распределения и их характеристики: равномерное,
экспоненциальное, нормальное, Коши.
12.3. Системы непрерывных случайных величин и многомерные
распределения
Недостаточность одномерных и примеры многомерных величин.
Двумерные системы случайных величин: плотность вероятности, вероятность
попадания
в
область,
функция
распределения,
«механическая»
интерпретация, частные распределения, моменты системы. Обобщение на nмерные системы (n > 2).
12.4. Многомерное нормальное распределение
Матрично-векторная запись n-мерной нормальной плотности вероятности,
ковариационная матрица, вектор средних, эквивалентность корреляции и
зависимости в нормальной системе. Вывод двумерной нормальной плотности
вероятности.
12.5. Выборка и выборочные характеристики
Предмет
математической
статистики.
Статистические
методы
обработки экспериментальных данных. Независимая однородная выборка.
Выборочное распределение, выборочные моменты. Группировка и гистограмма.
15
Характеристики выборочных моментов. Понятие о предельных теоремах. Две
основные задачи математической статистики.
12.6. Испытание статистических гипотез
Понятие об оптимальном испытании статистических гипотез. Гипотеза о
теоретическом распределении, понятие о критерии согласия. Критерий
согласия хи-квадрат. Критерий согласия Колмогорова. Испытание гипотезы о
принадлежности
Раздел 13. Кратные и криволинейные интегралы
Двойные
интегралы.
Определение,
основные
свойства
и
правила
вычисления. Замена переменных в двойном интеграле. Геометрические
приложения двойного интеграла. Тройные интегралы. Замена переменных в
тройном интеграле.
Приложения
тройного
интеграла.
Криволинейные
интегралы первого рода. Криволинейные интегралы второго рода. Формула
Грина. Вычисление площади при помощи криволинейного интеграла.
Поверхностные интегралы первого рода. Поверхностные интегралы второго
рода.
Раздел 14. Дискретная математика
Дискретная
математика:
логические
исчисления,
графы,
алгоритмов, языки и грамматики, автоматы, комбинаторика.
II.Содержание практической части курса
. Темы практических занятий.
Раздел 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
16
теория
1.1.
Вычисление определителей второго и третьего порядков.
1.2.
Вычисление определителей высших порядков.
1.3.
Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера.
1.4.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
1.5.
Контрольная работа № 1.
Раздел 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
2.1. Нахождение уравнения прямой с угловым коэффициентом, уравнение
прямой, проходящей через две точки, общего уравнения прямой.
2.2. Нахождение угла между прямыми. Нахождение уравнения прямой,
параллельной данной, и прямой, перпендикулярной данной.
2.3. Нахождение канонических уравнений эллипса, гиперболы, параболы.
2.4. Контрольная работа № 2.
Раздел 3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
3.1. Геометрическое сложение векторов и умножение на число. Линейные
операции над векторами в координатной форме.
3.2. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.
Раздел 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
4.1. Уравнение плоскости и прямой в пространстве.
4.2. Поверхности 2-го порядка.
4.3. Контрольная работа № 3.
17
Раздел 5. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
5.1. Нахождение предела функции в точке. Раскрытие неопределенностей.
5.2. Замечательные пределы.
5.3. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
5.4. Контрольная работа № 4.
Раздел 6. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
6.1. Нахождение производных функций.
6.2. Нахождение производная сложной, обратной, неявной функции, функции,
заданной параметрически.
6.3. Нахождение дифференциала функции.
6.4. Нахождение производных, дифференциалов высших порядков.
6.5. Исследование функций и построение графиков.
6.6. Контрольная работа № 5
Раздел 7. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ
7.1. Вычисление неопределенных интегралов.
7.2. Интегрирование рациональных, иррациональных, тригонометрических
выражений.
7.3. Вычисление определенных интегралов.
7.4. Приложения определенного интеграла.
7.5. Несобственные интегралы.
18
7.6. Приближенное вычисление определенных интегралов: Формулы
прямоугольников, трапеций и Симпсона.
7.7. Контрольная работа № 6.
Раздел 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
8.1. Нахождение частных производных и полного дифференциала функции
нескольких переменных.
Раздел 9. РЯДЫ
9.1. Исследование рядов с положительными членами на сходимость.
9.2. Исследование знакопеременных рядов на абсолютную и условную
сходимость.
9.3. Контрольная работа № 7.
Раздел.10 Случайные события и вероятности 10.1.Случайные величины и распределения вероятностей.
10.2. Системы непрерывных случайных величин и многомерные
распределения.
10.3. Многомерное нормальное распределение.
10.4. Выборка и выборочные характеристики.
10.5. Испытание статистических гипотез.
Раздел 11. Кратные и криволинейные интегралы
11.1 Замена переменной в кратном интеграле.
11.2. Вычисление площадей и объемов с помощью кратного интеграла.
19
11.3. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода.
11.4 Поверхностные интеграл 1-го и 2-го рода.
Раздел 12. Элементы теории поля
12.1.Дивергенция, градиент и ротор.
12.2. Формула Стокса. Формула Остроградского.
III.Контроль достижений курса
Вопросы к экзамену.
1. Матрицы. Действия над матрицами.
2. Определители 2-го и 3-го порядка.
3. Определители. Свойства и вычисление определителей. Теорема Лапласа.
4. Обратная матрица.
5. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Формулы
Крамера.
6. Линейная зависимость строк и столбцов.
7. Базисный минор. Ранг матрицы.
8. Совместность систем линейных алгебраических уравнений. Теорема
Кронекера-Капелли.
9. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса
10.Векторы. Действия над векторами.
11.Базис. Линейная зависимость векторов. Свойства линейной
зависимости.
12.Система координат. Декартова система координат. Декартова
прямоугольная система координат. Полярная система координат.
13.Преобразование координат на плоскости и в пространстве.
14.Деление отрезка в заданном отношении.
15.Скалярное произведение векторов и его свойства. Условие
ортогональности векторов.
20
16.Векторное произведение векторов и его свойства. Условие
коллинеарности векторов.
17.Смешанное произведение векторов и его свойства. Условие
компланарности векторов.
18.Уравнение прямой на плоскости и в пространстве
19.Уравнение плоскости.
20.Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
21.Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей
22.Кривые 2-го порядка. Эллипс. Каноническое уравнение и свойства
эллипса
23.Гипербола. Каноническое уравнение и свойства гиперболы.
24.Парабола. Каноническое уравнение и свойства параболы.
25.Поверхности 2-го порядка. Эллипсоид. Гиперболоиды. Конус 2-го
порядка. Параболоиды.
26.Действительные числа. Свойства действительных чисел (свойства
порядка, сложения, вычитания, умножения, деления, свойство
Архимеда)
27.Абсолютная величина. Свойства абсолютной величины.
28.Переменная. Интервал. Окрестность точки. ε-окрестность точки.
Ограниченное множество.
29.Функция. Способы задания функции (табличный, графический,
аналитический). Привести примеры.
30.Последовательность. Предел последовательности.
31.Свойство о единственности существования предела последовательности
(без доказательства).
32.Арифметические операции над пределами последовательностей (предел
суммы, произведения, частного сходящихся последовательностей).
33.Теорема об ограниченности сходящейся последовательности (без
доказательства).
21
34.Теорема о предельном переходе в неравенствах для сходящихся
последовательностей. Следствие. (Без доказательства).
35.Неравенство для модулей членов сходящейся последовательности (без
доказательства)
36.Теорема о трех последовательностях.
37.Теорема о пределе модуля сходящейся последовательности (упр.
доказать).
38.Теорема о существовании предела монотонной ограниченной
последовательности.
39.Предел функции в точке.
40.Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.
41.Неравенство для модуля функции, имеющей предел.
42.Теорема о предельном переходе в неравенствах для функций, имеющих
предел.
43.Теорема о трех функциях, имеющих предел (без доказательства).
44.Арифметические операции над пределами функций, имеющих предел
(без доказательства).
45.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и
фукнции. Свойства.
46.Теорема о представлении функции в виде суммы предела функции и
бесконечно малой функции.
47.Теорема о пределе произведения бесконечно малой функции и
ограниченной функции. Следствия.
48.Теорема о пределе частного бесконечно малой функции и функции,
имеющей конечный предел.
49.Теорема о пределе конечной суммы бесконечно малых функций
50.Сравнение бесконечно малых функций. Определения и теоремы без
доказательства.
51.Односторонние пределы.
52.Теорема о существовании предела функции в точке (без доказательства).
22
53.Теорема о существовании предела обратной функции (без
доказательства).
54.Первый замечательный предел.
55.Число e. Второй замечательный предел.
56.Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции в точке слева
и справа.
57.Критерий непрерывности функции в точке (без доказательства).
58.Арифметические операции над непрерывными функциями (без
доказательства).
59.Непрерывность элементарных функций в области определения.
Привести примеры.
60.Непрерывность функции на отрезке.
61.Теорема о непрерывности ограниченной на отрезке функции (без
доказательства).
62.Теорема о наибольшем и наименьшем значении непрерывной на отрезке
функции.
63.Теорема о среднем значении непрерывной на отрезке функции.
64.Обратная функция. Теорема об обратной функции (без доказательства).
65.Производная.
66.Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.
67.Физический смысл.
68.Геометрический смысл. Уравнение касательной.
69.Свойства производных.
70.Производная сложной функции.
71.Производная неявной функции.
72.Производная обратной функции.
73.Производные элементарных функций.
74.Функция, заданная параметрически. Производная функции, заданной
параметрически.
75.Гиперболические функции.
23
76.Дифференциал.
77.Свойства дифференциала.
78.Геометрический смысл дифференциала.
79.Производные высших порядков.
80.Производные n-го порядка степенной, показательной и
тригонометрической функций
81.Формула Лейбница.
82.Дифференциалы высших порядков.
83.Производные высшего порядка от функции, заданной неявно.
(Примеры)
84.Производные высшего порядка от функции, заданной параметрически.
85.Механический смысл второй производной.
86.Теорема Роля.
87.Теорема Лагранжа.
88.Теорема Коши.
89.Правило Лопиталя для бесконечно малых функций.
90.Правило Лопиталя для бесконечно больших функций.
91.Формула Тейлора.
92.Формула Тейлора для показательной и тригонометрических функций.
93.Теорема о возрастании и убывании функции.
94.Экстремумы функции.
95.Необходимое условие экстремума функции.
96.Первое достаточное условие экстремума функции.
97.Второе достаточное условие экстремума функции.
98.Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба.
99.Необходимое условие точки перегиба.
100.
Достаточное условие точки перегиба.
101.
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.
102.
Схема исследования функции. Построение графика функции.
103.
Первообразная. Неопределенный интеграл.
24
104.
Свойства неопределенного интеграла.
105.
Метод постановки в неопределенном интеграле.
106.
Метод интегрирования по частям.
107.
Интегрирование простых рациональных дробей.
108.
Правильная рациональная дробь. Интегрирование рациональных
дробей. Метод неопределенных коэффициентов.
109.
Интегрирование иррациональных функций. Подстановки Эйлера.
110.
Интегрирование тригонометрических функций.
111.
Числовые ряды. Частичные суммы. Сумма ряда.
112.
Необходимое условие сходимости числового ряда.
113.
Свойства числовых рядов (сложение, вынесение постоянного
множителя за знак суммы).
114.
Признаки сравнения для рядов с положительными членами (2
признака сравнения, интегральный признак сравнения Коши).
115.
Признаки сходимости для рядов с положительными членами
(Признак Даламбера, признак Коши).
116.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
знакопеременного ряда.
117.
Признак Лейбница для знакочередующихся рядов.
118.
Функциональные ряды. Область сходимости функционального
ряда.
119.
Равномерная сходимость функционального ряда.
120.
Степенные ряды.
121.
Теорема Абеля.
122.
Радиус и интервал сходимости степенного ряда.
123.
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение основных элементарных
функций в ряд Маклорена.
124.
Двойной и тройной интеграл.
125.
Геометрический смысл двойного и тройного интеграла.
126.
Свойства и вычисление двойного и тройного интеграла.
25
127.
Кратный интеграл.
128.
Свойства кратных интегралов.
129.
Замена переменной в кратных интегралах.
130.
Переход от декартовых координат к полярным, цилиндрическим и
сферическим координатам.
131.
Применение кратных интегралов к вычисления площадей и
объемов.
132.
Криволинейный интеграл.
133.
Свойства и вычисление криволинейного интеграла.
134.
Геометрический и механический смысл кратного интеграла.
135.
Формула Грина (с доказательством).
136.
Поверхностный интеграл.
137.
Свойства и вычисление поверхностного интеграла.
138.
Поток векторного поля через поверхность.
139.
Теорема Остроградского.
140.
Дивергенция векторного поля.
141.
Вычисление дивергенции.
142.
Циркуляция векторного поля.
IV. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
Основная литература
1. Кузин-Алексинский С.А. Курс высшей математики: Учебное пособие
для вузов. / С.А. Кузин-Алексинский. - Владивосток: Изд-во Дальневост. унта, 2003. 336 с
2. Беклемишев, Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры:
учебное пособие. – М.: Наука, 2003. – 375 с и более поздние года издания.
3. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учебное пособие для
вузов. / В.С Шипачев. - М.: Высш. шк., 2001. – 304 с
4. Боревич. З.И. Определители и матрицы. – Санкт-Петербург, «Лань»,
2009, - 192 с.
5. Александров П.С.. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. –
Санкт-Петербург, «Лань», 2009, - 512 с.
26
6. Шипачев В. С.. Курс высшей математики. – Санкт-Петербург,
«Проспект», 2004.-600 с.
7. Бугров Я.С. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное
исчисление. / Я.С., Бугров С.М. Никольский. - М.: Дрофа, 2003. – 509 с.
Дополнительная литература
1. Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский. Задачи по высшей алгебре. – СанктПетербург, «Лань», 2008, - 288 с.
2. В.В. Воеводин. Линейная алгебра. – Санкт-Петербург, «Лань», 2009, –
416 с
3. Постников М.М.. Линейная алгебра. – Санкт-Петербург, «Лань», 2009, 400 с.
4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.:Наука,1985.
5. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И. А. Сборник задач по
аналитической геометрии и линейной алгебре. -М.:Наука, 1987 .
6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. -М.: Наука, 1980.
7. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные
интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. -М. : Наука, 1981.
8. Данко П.Е., Попов А. Г., Кожевникова Т.Е. Высшая математика в
упражнениях и задачах. В 2 ч. М., 1980.
9. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2 ч.-М.:
Наука, 1982.
10.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. -М. : Наука, 1982.
11.Краснов М.Л., Киселев А.И./ Макаренко Г.И. Векторный анализ. -М. :
Наука, 1978.
12.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по
обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Высшая школа, 1978.
27
13.Минорский В.Д. Сборник задач по высшей математике. -М.: Наука,
1987.
14.Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. -М. : Наука, 1973.
15.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. -М. : Наука,
1984.
16.Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. -М. : Наука, 1980.
17.Сборник задач по математике. В 4ч. (Под редакцией Ефимова А.В.,
Демидовича Б.П.) -М.: Наука, 1981. Ч. 1-2.
Интернет - ресурсы
1. Калинин В.В., Петрова И.В., Харин В.Т. Неопределенные и определенные
интегралы. М.: МГУНГ им.И.М.Губкина, 2005 (pdf), 153с.
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/KalininPetrovaXarin2005ru.pdf
2. Любарский М.Г. Векторная алгебра и ее приложение. Web, 2010 (pdf), 166
с. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Lyubarskij2010ru.pdf
3. Сибирева А.Р. Высшая математика для студентов технических
специтальностей в формулах и таблицах. Часть 1: методические указания.
– Ульяновск: УлГТУ, 2007. – 34 с.
http://window.edu.ru/resource/872/48872/files/176.pdf.
28
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный государственный университет»
(ДВГУ)
ИНСТИТУТ ХИМИИ И ПРИКЛАДНОЙ ЭКОЛОГИИ
КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ
по дисциплине «Математика»
Специальность —240802.65 Основные процессы химических производств и химическая
кибернетика
г. Владивосток
2009
29
Лекция1.
Двойной и тройной интегралы, их свойства. Геометрический смысл двойного
интеграла.
Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией L. Разобьем
эту область какими-нибудь линиями на п частей S1 , S 2 ,..., S n (причем теми же
символами S1 , S 2 ,..., S n будем обозначать и площади соответствующих частей) и
выберем в каждой части точку Рi (рис.1).
у
D
S i
 Pi
L
О
Рис.1.
x
Пусть в области D задана функция z = f(x, y). Обозначим через f(P1), f(P2),…, f(Pn)
значения этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида
f(Pi)ΔSi :
n
Vn   f ( Pi )S i .
(1.1)
i 1
n
Определение 1.1. Сумма вида Vn   f ( Pi )S i называется интегральной суммой для
i 1
функции f(x, y) в области D.
Замечание. С геометрической точки зрения (при f ( x, y)  0 ) интегральная сумма (1.1)
представляет собой сумму объемов цилиндров с основаниями ΔSi и высотами f(Pi).
Определение 1.2. Если существует один и тот же предел интегральных сумм (1.1) при
n   и max S i  0 , не зависящий от способа разбиения области D и выбора точек Pi
, то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и
обозначается
 f ( x, y)dxdy 
D
n
lim
max S i 0
 f ( P )S .
i 1
i
i
(1.2)
Область D при этом называется областью интегрирования.
Замечание 1. Для выяснения вопроса об условиях интегрируемости функции двух
переменных можно по аналогии со случаем определенного интеграла ввести понятие
верхней и нижней интегральных сумм, выбирая в каждой части области D точки,
значение функции в которых является наибольшим и наименьшим для данной части.
Тогда можно доказать, что необходимым и достаточным условием интегрируемости
функции f(x, y) является, во-первых, ее ограниченность на D, а во-вторых, условие
lim ( S  s )  0,
(1.3)
max S i 0
30
где τ – некоторое разбиение, а Sτ и sτ – соответственно верхняя и нижняя интегральные
суммы. Доказательство этого утверждения проводится так же, как для случая
определенного интеграла.
Замечание 2. Аналогично одномерному случаю можно доказать еще одно утвержде-ние:
если функция f(x, y) непрерывна на D, то она интегрируема по этой области.
Свойства двойных интегралов.
Часть свойств двойных интегралов непосредственно вытекает из определения этого
понятия и свойств интегральных сумм, а именно:
1. Если функция f(x, y) интегрируема в D, то kf(x, y) тоже интегрируема в этой области,
причем
(1.4)
 kf ( x, y)dxdy k  f ( x, y)dxdy.
D
D
2 Если в области D интегрируемы функции f(x, y) и g(x, y), то в этой области
интегрируемы и функции f(x, y) ± g(x, y), и при этом
(1.5)
  f ( x, y)  g ( x, y)dxdy   f ( x, y)dxdy   g ( x, y)dxdy.
D
D
D
3. Если для интегрируемых в области D функций
неравенство f(x, y) ≤ g(x, y) , то
 f ( x, y)dxdy   g ( x, y)dxdy.
D
f(x, y) и g(x, y) выполняется
(1.6)
D
Докажем еще несколько свойств двойного интеграла:
4. Если область D разбита на две области D1 и D2 без общих внутренних точек и
функция f(x, y) непрерывна в области D, то
(1.7)
 f ( x, y)dxdy   f ( x, y)dxdy   f ( x, y)dxdy.
D
D1
D2
Доказательство.
Интегральную сумму по области D можно представить в виде:
 f ( Pi )S i   f ( Pi )S i   f ( Pi )S i ,
D
D1
D2
где разбиение области D проведено так, что граница между D1 и D2 состоит из границ
частей разбиения. Переходя затем к пределу при max S i  0 , получим равенство (1.7).
5. В случае интегрируемости на D функции f(x, y) в этой области интегрируема и
функция | f(x, y) |, и имеет место неравенство
 f ( x, y)dxdy   | f ( x, y) | dxdy.
D
(1.8)
D
Доказательство.
 f ( P )S  | f ( P ) | S , откуда с помощью предельного перехода при
i
i
i
D
i
D
max S i  0 получаем неравенство (1.8)
6.  dxdy  S D , где SD – площадь области D. Доказательство этого утверждения
D
получим, подставляя в интегральную сумму f(x, y) ≡ 0.
7. Если интегрируемая в области D функция f(x, y) удовлетворяет неравенству
m ≤ f(x, y) ≤ M,
mS D   f ( x, y )dxdy  MS D .
то
(1.9)
D
Доказательство проводится предельным переходом из очевидного неравенства
31
mS D   f ( Pi )S i  MS D .
D
Следствие.
Если разделить все части неравенства (1.9) на D, можно получить так называемую
теорему о среднем:
 f ( x, y)dxdy  S , m    M .
D
D
В частности, при условии непрерывности функции f в D найдется такая точка этой
области (х0 , у0), в которой f(х0 , у0) = μ, то есть
 f ( x, y)dxdy  f ( x0 , y0 )S D D
-
еще одна формулировка теоремы о среднем.
Тройной интеграл.
Понятие тройного (а в дальнейшем – т-мерного) интеграла вводится по аналогии с
двойным интегралом.
Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью
S. Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию f(x, y, z). Затем разобьем
область V на произвольные части Δvi , считая объем каждой части равным Δvi , и составим
интегральную сумму вида
(1.10)
 f ( Pi )vi ,
V
где точка Pi принадлежит Δvi . Пусть ρ – наибольшее расстояние между двумя точками
любой части области V.
Определение 1.3. Предел при   0 интегральных сумм (7.10), не зависящий от способа
разбиения области V, называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области
V:
(1.11)
 f ( x, y, z )dxdydz  lim  f ( Pi )vi
V
 0
V
Замечание 1. Условие непрерывности подынтегральной функции не является обязательным для существования кратного (двойного, тройного и т.д.) интеграла, но исследование
вопросов, связанных с интегрированием разрывных функций, выходит за рамки нашего
курса.
Замечание 2. Все сформулированные ранее свойства двойного интеграла можно
распространить на тройной интеграл.
Замечание 3. Подобным образом можно дать определение интеграла любой кратности,
рассматривая функцию п переменных, заданную в замкнутой области п-мерного
пространства.
Геометрический смысл двойного интеграла.
Рассмотрим тело V, ограниченное частью поверхности, задаваемой уравнением z = f(x, y),
проекцией D этой поверхности на плоскость Оху и боковой цилиндрической поверхностью, полученной из вертикальных образующих, соединяющих точки границы поверхности с их проекциями.
z=f(x,y)
z
V
32
• Pi D
y
Рис.2.
Будем искать объем этого тела как предел суммы объемов цилиндров, основаниями
которых являются части ΔSi области D, а высотами – отрезки длиной f(Pi), где точки Pi
принадлежат ΔSi. Переходя к пределу при max S i  0 , получим, что
V   f ( x, y )dxdy,
(1.12)
D
то есть двойной интеграл представляет собой объем так называемого цилиндроида,
ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y), а снизу – областью D.
Лекция 2.
Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Вычисление
двойного интеграла в полярной системе координат.
Рассмотрим область D, ограниченную линиями y   1 ( x), y   2 ( x) ( 1 ( x)   2 ( x)), x = a, x
= b ( a < b ), где φ1(х) и φ2(х) непрерывны на [a, b]. Тогда любая прямая, параллельная
координатной оси Оу и проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает
границу области в двух точках: N1 и N2 (рис.1). Назовем такую область правильной в нау
правлении оси Оу. Аналогично определяy=φ2(x)
ется область, правильная в направлении
N2
оси Ох. Область, правильную в направлении обеих координатных осей, будем наD
зывать просто правильной. Например,
правильная область изображена на рис.1.
y=φ1(x)
O
a
N1
b
x
Рис.1
Пусть функция f(x, y) непрерывна в области D. Рассмотрим выражение
b  2 ( x)

I D     f ( x, y )dy dx ,
(2.1)


a  1 ( x )

называемое двукратным интегралом от функции f(x, y) по области D. Вычислим вначале
внутренний интеграл (стоящий в скобках) по переменной у, считая х постоянным. В
результате получится непрерывная функция от х:
( x) 
2 ( x)
 f ( x, y)dy.
1 ( x )
Полученную функцию проинтегрируем по х в пределах от а до b. В результате получим
b
число I D   ( x)dx.
a
Докажем важное свойство двукратного интеграла.
Теорема 2.1. Если область D, правильная в направлении Оу, разбита на две области D1 и D2
прямой, параллельной оси Оу или оси Ох, то двукратный интеграл по области D будет
равен сумме таких же интегралов по областям D1 и D2:
33
I D  I D1  I D2 .
(2.2)
Доказательство.
а) Пусть прямая х = с разбивает D на D1 и D2 , правильные в направлении Оу. Тогда
b  2 ( x)
b
c
b
c  2 ( x)


I D     f ( x, y )dy dx   ( x)dx   ( x)dx   ( x)dx     f ( x, y )dy dx +




a  1 ( x )
a
a
c
a  1 ( x )



(
x
)
b 2

+    f ( x, y )dy dx  I D1  I D2 .


c  1 ( x )

б) Пусть прямая y = h разбивает D на правильные в направлении Оу области D1 и D2
(рис.2). Обозначим через M1 (a1, h) и M2 (b1, h) точки пересечения прямой y = h с границей L области D.
Область D1 ограничена непрерывными линиями
1) y = φ1(x);
2) кривой А1М1М2В, уравнение которой запишем
y = φ1*(x), где φ1*(х) = φ2(х) при а ≤ х ≤ а1 и
b1 ≤ x ≤ b, φ1*(х) = h при а1 ≤ х ≤ b1;
3) прямыми x = a, x = b.
Область D2 ограничена линиями y = φ1*(x),
у = φ2(х), а1 ≤ х ≤ b1.
Применим к внутреннему интегралу теорему о
разбиении промежутка интегрирования:
y
y=φ2(x)
D2
h M1
A1
D1
M2
B
A
y=φ1(x)
Oa
a1
b1 b
Рис.2.
2 ( x)
b  1 ( x )
b  1 ( x )


 2 ( x)





I D    f ( x, y )dy dx    f ( x, y )dy   f ( x, y )dy dx     f ( x, y )dy dx 






a  1 ( x )
a  1 ( x )
a  1 ( x )
1* ( x )



b  2 ( x)

+    f ( x, y )dy dx.


a  1* ( x )

Представим второй из полученных интегралов в виде суммы:
a1   2 ( x )
b1   2 ( x )
b  2 ( x)
b  2 ( x)




 f ( x, y )dy dx   f ( x, y )dy dx +  f ( x, y )dy dx +  f ( x, y )dy dx .
a  *
a  *
 
 




a1  1* ( x )
b1  1* ( x )
 1 ( x )

 1 ( x )



Поскольку φ1*(х) = φ2(х) при а ≤ х ≤ а1 и b1 ≤ x ≤ b, первый и третий из полученных
интегралов тождественно равны нулю. Следовательно,
*
b1   2 ( x )
b  1 ( x )




ID =   f ( x, y )dy dx     f ( x, y )dy dx , то есть I D  I D1  I D2 .




a1  1* ( x )
a  1 ( x )


b
*
*
Следствие. Таким же образом можно разбить область D на любое число правильных
областей. При этом двукратный интеграл по области D будет равен сумме интегралов
по частичным областям.
Замечание 1. Используя теорему 2.1 и теоремы о среднем для определенного интеграла,
можно доказать, что для двукратного интеграла справедливы соотношения:
b  2 ( x)

mS     f ( x, y )dy dx  MS,
(2.3)


a  1 ( x )

34
где т и М – соответственно наименьшее и наибольшее значение функции f(x, y) в
области D, а S – площадь этой области, и
ID = f(P)S,
(2.4)
где Р – точка, принадлежащая области D .
Замечание 2. Более употребительной формой записи двукратного интеграла является
b  2 ( x)
2 ( x)
b

 f ( x, y )dy dx = dx f ( x, y )dy.
(2.5)
a  
a  ( x)


(
x
)
1
 1

Теорема 2.2. Двойной интеграл от непрерывной функции f(x, y) по правильной области
D равен двукратному интегралу от этой функции по данной области, то есть
b  2 ( x)

 f ( x, y )dy dx .
(2.6)
f
(
x
,
y
)
dxdy

a  
D


(
x
)
 1

Доказательство.
Разобьем область D прямыми, параллельными координатным осям, на п правильных (в
основном прямоугольных) областей ΔS1, ΔS2,…, ΔSn. Тогда по теореме 2.1
n
I D  I S1  I S 2  ...  I S n   I Si .
i 1
n
Из (2.4) получим: I Si  f ( Pi )S i , I D   f ( Pi )S i , где справа стоит интегральная
i 1
сумма, предел которой равен двойному интегралу от f по области D, а слева –
постоянное число ID . Переходя к пределу при max S i  0 , получим равенство (2.6).
Пример.
Вычислим двойной интеграл от функции z = x + y по области, представляющей собой
треугольник с вершинами в точках (0,0), (0,1) и (1,0) (рис.3).
у
Здесь а = 0, b = 1, φ1(x) = 0, φ2(x) = 1 – x.
1 x
1
Тогда  ( x  y )dxdy   dx  ( x  y )dy 
D
1 D
O
1
x
0
0


y 1 x
(1  x) 2 
    x(1  x) 
dx 
  dx ( xy 

0
2
2


0
0


1
1
1  x3  1 1
  (1  x 2 )dx  1    .
20
2
3 0 3
1
2
1
Рис.3.
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
Правильной областью в полярных координатах назовем такую область, границу которой
каждый луч, выходящий из полюса, пересекает не более чем в двух точках (рис.4).
ρ=Φ2 (φ)
Рис.4.
35
ρ=Φ1 (φ)
φ2
φ1
Зададим в области D, ограниченной кривыми ρ=Φ1 (φ) и ρ=Φ2 (φ), где φ1 < φ < φ2 ,
непрерывную функцию z = f(φ, ρ) . Разобьем область D на части ΔSik , ограниченные
лучами ρ = ρi-1 и ρ = ρi , выходящими из полюса, и дугами окруж-ностей φ = φk-1 и φ = φk
n
с центром в полюсе, и составим интегральную сумму Vn   ( f ( Pik )S ik ) , где Pik –
k 1
i
точка, принадлежащая ΔSik . Найдем площадь части ΔSik , не пересекаемой границей
области, как разность площадей двух секторов:
 
1
1

S ik  (  i   i ) 2  k   i2  k    i  i  i  k   i*  i  k , где
2
2
2 

 i   i*   i   i . Учитывая, что площади частей, пересекаемых границей области,
стремятся к нулю при  k  0 и  i  0 , получим:
 2  2 ( )
n




*
*
*
 f (  ,  ) d d (8.7)
f
(

,

)
d

d


lim
V

lim
f
(

,

)










n
i
k
i
i
k
D
 
 i 0
 i 0

k 1  i

 1   1 ( )

 0
  0
k
k
Пример.
Выведем с использованием двойного интеграла формулу для площади круга радиуса R с
центром в начале координат:
2
R
2
  2 R  R 2 2
R2


d

d


d


d


d


d


2  R 2 .
D
0 0
0  2 0  2 0
2
Лекция 3.
Вычисление тройного интеграла. Криволинейные системы координат. Якобиан и его
геометрический смысл. Замена переменных в кратных интегралах. Переход к
цилиндрическим и сферическим координатам в тройном интеграле.
Процедура вычисления тройного интеграла аналогична соответствующей операции для
двойного интеграла. Для ее описания введем понятие правильной трехмерной области:
Определение 3.1. Трехмерная область V, ограниченная замкнутой поверхностью S,
называется правильной, если:
1) любая прямая, параллельная оси Оz и проведенная через внутреннюю точку области,
пересекает S в двух точках;
2) вся область V проектируется на плоскость Оху в правильную двумерную область D;
3) любая часть области V, отсеченная от нее плоскостью, параллельной какой-либо из
координатных плоскостей, обладает свойствами 1) и 2).
z
z=ψ(x,y)
36
V
z=χ(x,y)
O
a
b
y
y=φ1(x)
D
y=φ2(x)
Рис.1.
Рассмотрим правильную область V, ограниченную снизу и сверху поверхностями z=χ(x,y)
и z=ψ(x,y) и проектирующуюся на плоскость Оху в правильную область D, внутри которой
х изменяется в пределах от а до b, ограниченную кривыми y=φ1(x) и y=φ2(x) (рис.1).
Зададим в области V непрерывную функцию f(x, y, z).
Определение 3.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V
выражение вида:
b  2 ( x)  ( x, y )
 
I V       f ( x, y, z )dz dy dx .

 

a  1 ( x )   ( x , y )
 
(3.1)
Трехкратный интеграл обладает теми же свойствами, что и двукратный. Перечислим их без
доказательства, так как они доказываются аналогично случаю двукратного интеграла.
1. Если область V разбить на две области V1 и V2 плоскостью, параллельной какой-либо
из координатных плоскостей, то трехкратный интеграл по области V равен сумме
трехкратных интегралов по областям V1 и V2.
2. Если т и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y,z) в
области V, то верно неравенство
.
mV ≤ IV ≤ MV,
где V – объем данной области, а IV – трехкратный интеграл от функции f(x,y,z) по
области V.
3. Трехкратный интеграл IV от непрерывной функции f(x,y,z) по области V равен
произведению его объема V на значение функции в некоторой точке Р области V:
b   2 ( x)  ( x, y )
 
(3.2)
I V       f ( x, y, z )dz dy dx  f ( P)V .

 

a  1 ( x )   ( x , y )
 
Вычисление тройного интеграла.
37
Теорема 3.1. Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по правильной области V равен
трехкратному интегралу по той же области:
b  2 ( x)  ( x, y )
 


dy dx .

f
(
x
,
y
,
z
)
dz
f
(
x
,
y
,
z
)
dv



 
 

a  1 ( x )   ( x , y )
V
 
(3.3)
Доказательство.
Разобьем область V плоскостями, параллельными координатным плоскостям, на п
правильных областей v1 , v2 ,..., vn . Тогда из свойства 1 следует, что
I V  I v1  I v2  ...  I vn ,
где I vi - трехкратный интеграл от функции f(x,y,z) по области vi .
Используя формулу (9.2), предыдущее равенство можно переписать в виде:
I V  f ( P1 )v1  f ( P2 )v2  ...  f ( Pn )vn .
Из условия непрерывности функции f(x,y,z) следует, что предел интегральной суммы,
стоящей в правой части этого равенства, существует и равен тройному интегралу
 f ( x, y, z )dv . Тогда, переходя к пределу при   0 , получим:
V
IV =  f ( x, y, z )dv ,
V
что и требовалось доказать.
Замечание.
Аналогично случаю двойного интеграла можно доказать, что изменение порядка
интегрирования не меняет значения трехкратного интеграла.
Пример. Вычислим интеграл  xyzdxdydz, где V – треугольная пирамида с вершинами
V
в точках (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Ее проекцией на плоскость Оху является
треугольник с вершинами (0, 0), (1, 0) и (0, 1). Снизу область ограничена плоскостью z =
0, а сверху – плоскостью x + y + z = 1. Перейдем к трехкратному интегралу:
1
1 x
1 x  y
0
0
0
 xyzdxdydz   dx  dy  xyzdz. Множители, не зависящие от переменной интегрироV
вания, можно вынести за знак соответствующего интеграла:
1
1 x
1 x  y
0
0
0
 xdx  ydy 
1 x
 z2 1 x  y 1 1
   xdx  y (1  x  y ) 2 dy 
zdz   xdx  ydy
0  2 0
0
0
0
 2
1
1 x
38

1
1
1
2

1
y3 y4 1 x 1
1
2 y
4


xdx
(
1

x
)

2
(
1

x
)


x
(
1

x
)
dx

( x  4 x 2  6 x 3  4 x 4  x 5 )dx 





20
2
3
4 0  24 0
24 0


1  x2 4 3 3 4 4 5 x6  1
1
  x  x  x   
.
24  2 3
2
5
6  0 720
Криволинейные системы координат в трехмерном пространстве.
1. Цилиндрическая система координат.
Цилиндрические координаты точки Р(ρ,φ,z) – это полярные координаты ρ, φ проекции этой
точки на плоскость Оху и аппликата данной точки z (рис.2).
z
z
• P(ρ,φ,z)
• P(ρ,φ,θ)
θ
z
ρ
z
O
φ
y
O
ρ
y
φ
x
Рис.2
x
Рис.3
Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым можно задать
следующим образом:
x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z.
(3.4)
2. Сферическая система координат.
В сферических координатах положение точки в пространстве определяется линейной
координатой ρ – расстоянием от точки до начала декартовой системы координат (или
полюса сферической системы), φ – полярным углом между положительной полуосью Ох и
проекцией точки на плоскость Оху, и θ – углом между положительной полуосью оси Оz и
отрезком OP (рис.3). При этом
  0, 0    2 , 0     .
Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым:
x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ.
39
(3.5)
Якобиан и его геометрический смысл.
Рассмотрим общий случай замены переменных в двойном интеграле. Пусть в плоскости
Оху дана область D, ограниченная линией L. Предположим, что х и у являются
однозначными и непрерывно дифференцируемыми функциями новых переменных u и v:
x = φ(u, v), y = ψ(u, v).
(3.6)
Рассмотрим прямоугольную систему координат Оuv, точка Р΄(u, v) которой соответствует
точке Р(х, у) из области D. Все такие точки образуют в плоскости Оuv область D΄,
ограниченную линией L΄. Можно сказать, что формулы (3.6) устанавливают взаимно
однозначное соответствие между точками областей D и D΄. При этом линиям u = const и
v = const в плоскости Оuv будут соответствовать некоторые линии в плоскости Оху.
v
y
u
u+Δu
•P
v+Δv
v
v+Δv
•P′
v
O
u u+Δu
u
O
x
Рис. 4 .
Рассмотрим в плоскости Оuv прямоугольную площадку ΔS΄, ограниченную прямыми u =
const, u+Δu = const, v = const и v+Δv = const. Ей будет соответствовать криволинейная
площадка ΔS в плоскости Оху (рис.4). Площади рассматриваемых площадок тоже будем
обозначать ΔS΄ и ΔS. При этом ΔS΄ = Δu Δv. Найдем площадь ΔS. Обозначим вершины
этого криволинейного четырехугольника Р1, Р2, Р3, Р4, где
P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);
P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);
P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);
P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).
Заменим малые приращения Δu и Δv соответствующими дифференциалами. Тогда
40
x1   (u, v), y1   (u, v),


x 2   u, v  
u, y 2   u, v  
u,
u
u




x3   u, v  
u 
v, y 3   u, v  
u 
v,
u
v
u
v


x 4   u, v  
v, y 4   u, v  
v.
v
v
При этом четырехугольник Р1 Р2 Р3 Р4 можно считать параллелограммом и определить его
площадь по формуле из аналитической геометрии:
  
  
 
 
S  ( x3  x1 )( y3  y 2 )  ( x3  x2 )( y3  y1 )  
u 
v 
v 
v
u 
v  
v  v
v  u
v
 u


   


uv  u

u v v u
u

v uv  I S .

v
(3.7)
 
Определение 3.3. Определитель I  u v называется функциональным
 
u v
определителем или якобианом функций φ(х, у) и ψ(х, у).
Переходя к пределу при max S   0 в равенстве (9.7), получим геометрический смысл
якобиана:
S
,
S 0 S 
| I | lim
(3.8)
то есть модуль якобиана есть предел отношения площадей бесконечно малых площадок ΔS
и ΔS΄.
Замечание. Аналогичным образом можно определить понятие якобиана и его
геометрический смысл для п-мерного пространства: если x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1,
u2,…,un),…, xn = φ(u1, u2,…, un), то
 1
u1
 2
I  u1
...
 n
u1
 1
u 2
 2
u 2
...
 n
u 2
 1
u n
 2
...
u n
... ...
 n
...
u n
...
(3.8)
41
При этом модуль якобиана дает предел отношения «объемов» малых областей пространств
х1, х2,…, хп и u1, u2,…, un .
Замена переменных в кратных интегралах.
Исследуем общий случай замены переменных на примере двойного интеграла.
Пусть в области D задана непрерывная функция z = f(x,y), каждому значению которой
соответствует то же самое значение функции z = F(u, v) в области D΄, где
F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)).
(3.9)
Рассмотрим интегральную сумму
 f ( x, y)S   F (u, v)S   F (u, v) | I | S ,
где интегральная сумма справа берется по области D΄. Переходя к пределу при
max S   0 , получим формулу преобразования координат в двойном интеграле:
 f ( x, y)dxdy   F (u, v) | I | dudv.
(3.10)
D
D
Аналогичным образом можно вывести подобную формулу для тройного интеграла:
 f ( x, y, z)dxdydz   f ( (u, v, w), (u, v, w),  (u, v, w)) | I | dudvdw,
(3.11)
V
V
где x = φ(u, v, w), y = ψ(u, v, w), z = χ(u, v, w),

u

I
u

u

v

v

v

w

,
w

w
(3.12)
а область V пространства Оxyz отображается в область V΄ пространства Ouvw.
Переход к цилиндрическим и сферическим координатам
в тройном интеграле.
Найдем, используя формулы (3.4), (3.5) и (3.12), якобианы перехода от декартовых
координат к цилиндрическим и сферическим:
1) для цилиндрических координат
42
cos 
  sin 
0
I  sin 
0
 cos 
0  ,
1
0
(3.13)
2) для сферических координат
sin  cos    sin  sin 
I  sin  sin 
cos
 sin  cos 
0
 cos cos 
 cos sin    2 sin  .
  sin 
(3.14)
Тогда формулы перехода к цилиндрическим или сферическим координатам в тройном
интеграле будут выглядеть так:
(3.15)
2
 2 ( )
 f ( x, y, z)dxdydz   d  d
1
V
1 ( )
z 2 (  , )
2
 2 ( )
 2 ( , )
1 ( )
2
1( , )
 F1 (  , , z)dz   sin d  d
z1 (  , )
1
 F (  , , )  d ,
 
2
где смысл обозначений понятен из предыдущего текста.
Примеры.
1. Вычислим интеграл от функции u  z x 2  y 2 по области, ограниченной
поверхностями x² + y² = 1, y = 0, y = x, z = 0, z = 1.

   3 1  2 1 
1
1
4

   z   1 1 
2
2
z
x

y
dxdydz

d




d

zdz





  4  3 0  2 0   4  3  2  24 .
V
0
0
0


 0 
2. Пусть подынтегральная функция u = 1, а область интегрирования – шар радиуса R с
центром в начале координат. Тогда

2
R

  2   3 R 
R3 4 3
2






dxdydz

sin

d

d


d



cos



2

2


 R .





 0  3 0 
0
3
3
V
0
0
0




Лекция 4.
Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление.
Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в
каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем на
n
каждой из частей точку Mi. Составим интегральную сумму  f ( M i ) s i . Назовем λ
i 1
длину наибольшего отрезка кривой.
n
Определение 4.1. Если существует конечный предел интегральной суммы  f ( M i ) s i ,
i 1
не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi, то он
43
называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L и
обозначается
n
 f (M )ds   f ( x, y, z)ds  lim  f ( M i )si .
L
 0
L
(4.1)
i 1
Например, если функция f(M) задает плотность в точке М, то интеграл (4.1) равен массе
рассматриваемой кривой.
Свойства криволинейного интеграла 1-го рода.
1. Если функция f непрерывна на кривой L, то интеграл  f ( M )ds существует.
L
2. Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой,
то есть от того, какую из точек, ограничивающих кривую, считать начальной, а
какую – конечной. Если назвать эти точки А и В, то
(4.2)
 f (M )ds   f (M )ds.
( AB )
( BA)
Справедливость этих свойств следует из определения криволинейного интеграла 1-го
рода.
Способ вычисления криволинейного интеграла 1-го рода.
Выберем на кривой L направление от начальной точки А и отметим, что положение
точки М на кривой определяется длиной дуги АМ = s. Тогда кривую L можно задать
параметрически: x = x(s), y = y(s), z = z(s), где 0  s  S . Функция f(x,y,z) становится при
этом сложной функцией одной переменной s: f(x(s), y(s), z(s)). Тогда интегральная сумма
n
n
i 1
i 1
 f (M i )si   f ( x(si ), y(si ), z (si ))si ,
где si - координата точки Mi, является обычной интегральной суммой для определенS
ного интеграла  f ( x( s), y ( s), z ( s)) ds. Следовательно,
0
S
 f (M )ds =  f ( x(s), y(s), z(s))ds.
L
(4.3)
0
Если же кривая L задана в параметрической форме:
x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t),
t0 ≤ t ≤ T,
то, применяя в интеграле (10.3) формулу замены переменной и учитывая, что
дифференциал дуги
ds  ( (t )) 2  ( (t )) 2  (  (t )) 2 dt ,
получим:
44
T
2
2
2
 f (M )ds   f ( (t ), (t ),  (t )) ( (t ))  ( (t ))  (  (t )) dt.
L
(4.4)
t0
Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 1-го рода сводится к
вычислению обычного определенного интеграла от функции переменной t в пределах,
соответствующих изменению значения этой переменной на рассматриваемой кривой.
Пример.
 x  2 cos t ,

Вычислить  xyzds, где L:  y  2 sin t , 0  t  2 . Применяя формулу (10.4), получим:
L
 z  t,

2
2

2
2
2
xyzds

2
cos
t

2
sin
t

t

4
sin
t

4
cos
t

1
dt


5
L
0
0 td (cos 2t )   5 t cos 2t 0 

2
1
  cos 2tdt    5  2  5  sin 2t
 2 5 .
0
2
0

2
Криволинейный интеграл второго рода.
Вновь рассмотрим кривую L, в каждой точке которой задана функция f(M), и зададим
разбиение кривой на отрезки. Выберем на каждом отрезке точку Mi и умножим значение функции в этой точке не на длину i-го отрезка, как в случае криволинейного интеграла 1-го рода, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность xi
n
– xi-1 = Δxi. Составим из полученных произведений интегральную сумму  f ( M i )xi .
i 1
Определение 4.2. Если существует конечный предел при   0 интегральной суммы
n
 f ( M )x , не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек Mi,
i 1
i
i
то от называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по
кривой L и обозначается
n
 f (M )dx   f ( x, y, z )dx  lim  f ( M i )xi .
L
( AB )
 0
(4.5)
i 1
Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида
 f ( x, y, z )dy,
( AB )
 f ( x, y, z )dz.
( AB )
Определение 10.3. Если вдоль кривой L определены функции P(M) = P(x, y, z),
Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z) и существуют интегралы
45
 P( x, y, z )dx,
( AB )
 Q( x, y, z )dy,
 R( x, y, z )dz ,
( AB )
( AB )
то и их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и
полагают
 Pdx  Qdy  Rdz   P( x, y, z )dx   Q( x, y, z )dy   R( x, y, z )dz .
( AB )
( AB )
( AB )
(4.6)
( AB )

Замечание. Если считать, что сила F  {P, Q, R} действует на точку, движущуюся по
кривой (АВ), то работа этой силы может быть представлена как


 Pdx  Qdy  Rdz   F  dr ,
( AB )
( AB )
то есть криволинейным интегралом 2-го рода.
Свойства криволинейного интеграла 2-го рода.
1. Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (4.6)
существует (справедливость этого утверждения следует из определения 4.2).
2. При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и
конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак:
(4.7)
 f (M )dx    f (M )dx.
( AB )
( BA )
Действительно, при этом изменяется знак Δxi в интегральной сумме.
Способ вычисления криволинейного интеграла 2-го рода.
Теорема 4.1. Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями
x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t),
α≤t≤β,
где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, и на ней задана непрерывная
функция f(x, y, z). Тогда интеграл (10.5) существует и имеет место равенство

 f ( x, y, z)dx   f ( (t ), (t ),  (t )) (t )dt .
(4.8)
( AB )
Доказательство.
Запишем Δxi = xi – xi-1 = φ(ti) – φ(ti-1) и преобразуем последнюю разность по формуле
Лагранжа: φ(ti) – φ(ti-1) = φ΄(τi)Δti, где τi – некоторое значение t, заключенное между ti-1
46
и ti. Выберем точку Мi так, чтобы ее координаты соответствовали значению параметра,
равному τi : Mi(φ(τi), ψ(τi), χ(τi)). Подставив эти значения в формулу (10.5), получим:

n
f ( M )dx  lim  f ( ( i ), ( i ),  ( i )) ( i )t i .
 0
( AB )
i 1
Справа получен предел интегральной суммы для функции f(φ(t),ψ(t),χ(t))φ΄(t) на отрезке
[α, β], равный определенному интегралу от этой функции:


f ( x, y, z )dx   f ( (t ), (t ),  (t )) (t )dt ,

( AB )
что и требовалось доказать.
Следствие. Аналогичные соотношения можно получить для криволинейных интегра-лов
вида
 f ( x, y, z )dy,
 f ( x, y, z )dz , откуда следует, что
( AB )
( AB )

 P( x, y, z)dx  Q( x, y, z)dy  R( x, y, z)dz   ( P( (t ), (t ),  (t )) (t ) 

( AB )
 Q( (t ), (t ),  (t )) (t )  R( (t ), (t ),  (t )) (t ))dt.
(4.9)
Пример.
Вычислим интеграл  x 3 dx  2 xy 2 dy  3x 2 zdz , где L – отрезок прямой от точки А(1,2,-2)
L
до точки В(0, -1, 0). Запишем уравнение этой прямой в параметрическом виде:
 x  1  t,

 y  2  3t ,
 z  2  2t ,

0  t  1.
Следовательно, φ΄(t) = -1, ψ΄(t) = -3, χ΄(t) = 2. Тогда
 x dx  2 xy dy  3x zdz   (1  t )  (1)  2(1  t )(2  3t ) (2)  3(1  t ) (2t  2)  2dt 
1
3
L
2
2
3
2
0
31
1
 25
1
  (25t 3  51t 2  31t  5)dt   t 4  17t 3  t 2  5t    .
2
4
 4
0
0
1
Лекция 5.
47
2
Скалярное и векторное поле. Циркуляция векторного поля вдоль кривой. Формула
Грина.
Если в каждой точке М определенной пространственной области задано значение
некоторой скалярной или векторной величины, то говорят, что задано поле этой
величины (соответственно скалярное или векторное).
Примерами скалярных полей являются поле температур или поле электрического
потенциала, примерами векторных полей – поле сил или поле скоростей.
Рассмотрим некоторые характеристики скалярных и векторных полей.
Определение 5.1. Если в некоторой области задано скалярное поле U(x,y,z), то
поверхность, определяемая уравнением
U(x, y, z) = C,
(5.1)
называется поверхностью уровня. В двумерном случае линия уровня задается
уравнением U(x, y) = C.
(5.1`)
Определение 5.2. Если в некоторой области задано векторное поле

A  { Ax ( x, y, z ), Ay ( x, y, z ), Az ( x, y, z )} , то кривая, направление которой в каждой ее точке

М совпадает с направлением вектора А в этой точке, называется векторной линией.
Она задается уравнениями
dx dy dz


.
Ax Ay Az
(5.2)
Поверхность, составленная из векторных линий, называется векторной поверхно-стью.
Если векторная поверхность образована векторными линиями, проходящими через
каждую точку некоторой замкнутой кривой, то она называется векторной трубкой.
Определение 5.3. Пусть задано скалярное поле U(x, y, z). Вектор
 U U U 

g  gradU  
,
,

 x y z 
(5.3)
называется градиентом величины U в соответствующей точке (см. лекцию 4 за 2-й
семестр).
Замечание. Таким образом, скалярное поле U(x, y, z) порождает векторное поле
градиента gradU.

Определение 11.4. Пусть дано векторное поле A  { Ax ( x, y, z ), Ay ( x, y, z ), Az ( x, y, z )} .
Интеграл
 
A
dx

A
dy

A
dz

A
x
y
z

  dr
L
(5.4)
L
48

называется линейным интегралом от вектора А вдоль кривой L. Если кривая L

замкнута, то этот интеграл называют циркуляцией вектора А вдоль кривой L.
 


Здесь A  dr - скалярное произведение векторов А и dr  {dx, dy, dz}.
Замечание. Иногда криволинейный интеграл 2-го рода по замкнутому контуру
обозначают  Pdx  Qdy  Rdz .
L

Пример. Вычислить циркуляцию векторного поля А ={x, xy, xyz} вдоль контура L:
x² + y² = 9, z = 2 (направление обхода контура – от точки (3,0,2) к точке (0,3,2)).
Зададим контур L параметрически: x = 3cos t, y = 3sin t, z = 2 (0 ≤ t ≤ 2π). Тогда
2
 xdx  xydy  xyzdz   (3 cos t (3 sin t )  3 cos t  3 sin t  3 cos t  3 cos t  3 sin t  2  0)dt 
L
0
2
2
9
  ( sin 2t )dt  27  cos 2 td cos t  0.
2
0
0
Формула Грина.
Установим связь между двойным интегралом по некоторой плоской области D и
криволинейным интегралом по границе L этой области.
Пусть в плоскости Оху дана ограниченная замкнутым контуром L правильная область
D. Кривые, ограничивающие эту область снизу и сверху, заданы уравнениями
y = y1(x) и y = y2(x), y1(x) ≤ y2(x), a ≤ x ≤ b (рис.1).
y
P
y=y2(x)
M
D
N
y=y1(x)
Q
O
a
b
x
Рис. 1.
Зададим в области D непрерывные функции P(x, y) и Q(x, y), имеющие непрерывные
частные производные, и рассмотрим интеграл
49
P ( x, y )
dxdy .
y
D

Переходя к двукратному интегралу, получим:
b  y2 ( x )
b
b
y 2 ( x)
P
P 

P( x, y 2 ( x)  P( x, y1 ( x)dx. (5.5)
dxdy

dy
dx

P
(
x
,
y
)
dx

D x
a  y ( x) y  a

y
(
x
)
1
a
 1

Так как у = у2(х) – параметрическое выражение кривой МPN, то
b
 P( x, y ( x))dx   P( x, y)dx,
2
a
MPN
где справа стоит криволинейный интеграл по кривой MPN. Аналогично получаем, что
b
 P( x, y ( x))dx   P( x, y)dx    P( x, y)dx .
1
a
MQN
NQM
Подставим полученные результаты в формулу (11.5):
P
 y dxdy   P( x, y)dx   P( x, y)dx   P( x, y)dx,
D
MPN
NQM
(5.6)
L
так как контур L представляет собой объединение кривых MPN и NQM.
Q
dxdy    Q( x, y )dy.
x
D
L
Так же можно получить, что 
(5.7)
Вычтем из равенства (11.6) равенство (11.7):
 P
Q 
  y  x dxdy   Pdx  Qdy.
D
L
При этом обход контура L происходит по часовой стрелке. Изменим направление
обхода. Тогда предыдущее равенство примет вид:
 Q
P 
  x  y dxdy   Pdx  Qdy.
D
(5.8)
L
Эта формула, задающая связь между двойным интегралом и криволинейным
интегралом 2-го рода, называется формулой Грина.
Замечание 1. Если в криволинейном интеграле по замкнутому контуру не указано
направление обхода, то предполагается, что он производится против часовой стрелки.
Замечание 2. Если рассматривать в плоскости Оху векторное поле {P(x,y), Q(x,y)}, то в
правой части формулы (5.8) стоит его циркуляция по контуру L.
50
Пример. Вычислим циркуляцию векторного поля {x + sin x, х – eу} по контуру x²+ y²=1.
Применим формулу Грина, учитывая, что
P
Q
 0,
 1:
y
x
 ( x  sin x)dx  ( x  e )dy   dxdy. Область D при этом – круг единичного радиуса с
y
L
D
центром в начале координат. Перейдем к полярным координатам:
2
1
0
0
 dxdy   d  d  2 
D
1
 .
2
Лекция 6.
Площадь поверхности. Поверхностный интеграл первого рода, его свойства,
геометрический и физический смысл. Вычисление поверхностного интеграла
первого рода.
Если при определении длины кривой она задавалась как предел вписанной в данную
кривую ломаной при стремлении к нулю длины наибольшего ее отрезка, то попытка
распространить это определение на площадь криволинейной поверхности может
привести к противоречию (пример Шварца: можно рассмотреть последовательность
вписанных в цилиндр многогранников, у которых наибольшее расстояние между
точками какой-либо грани стремится к нулю, а площадь стремится к бесконечности).
Поэтому определим площадь поверхности иным способом. Рассмотрим незамкнутую
поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее какими-либо кривыми на части
S1, S2,…, Sn. Выберем в каждой части точку Mi и спроектируем эту часть на касательную
плоскость к поверхности, проходящую через эту точку. Получим в проек-ции плоскую
фигуру с площадью Ti. Назовем ρ наибольшее расстояние между двумя точками любой
части поверхности S.
Определение 6.1. Назовем площадью S поверхности предел суммы площадей Ti при
  0:
S  lim  Ti .
 0
(6.1)
i
Поверхностный интеграл первого рода.
Рассмотрим некоторую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее на
части S1, S2,…, Sп (при этом площадь каждой части тоже обозначим Sп). Пусть в
каждой точке этой поверхности задано значение функции f(x, y, z). Выберем в
каждой части Si точку Mi (xi, yi, zi) и составим интегральную сумму
n
n
i 1
i 1
   f ( M i ) S i   f ( xi , y i , z i ) S i .
51
(6.2)
Определение 6.2. Если существует конечный предел при   0 интегральной
суммы (6.2), не зависящий от способа разбиения поверхности на части и выбора
точек Mi, то он называется поверхностным интегралом первого рода от функ-ции
f(M) = f(x, y, z) по поверхности S и обозначается
n
 f (M )dS   f ( x, y, z)dS  lim  f (M i )S i .
S
 0
S
(6.3)
i 1
Замечание. Поверхностный интеграл 1-го рода обладает обычными свойствами
интегралов (линейность, суммирование интегралов от данной функции по
отдельным частям рассматриваемой поверхности и т.д.).
Геометрический и физический смысл поверхностного интеграла 1-го рода.
Если подынтегральная функция f(M) ≡ 1, то из определения 12.2 следует, что  dS
S
равен площади рассматриваемой поверхности S.
Если же считать, что f(M) задает плотность в точке М поверхности S, то масса этой
поверхности равна
M   f ( M )dS .
(6.4)
S
Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода.
Ограничимся случаем, когда поверхность S задается явным образом, то есть уравнением вида z = φ(x, y). При этом из определения площади поверхности следует, что
 i
, где Δσi – площадь проекции Si на плоскость Оху, а γi – угол между осью Oz
cos  i
Si =
и нормалью к поверхности S в точке Mi. Известно, что
cos  i 
1
1   x ( xi , yi )   y2 ( xi , yi )
2
,
где (xi, yi, zi) – координаты точки Mi. Cледовательно,
S i  1   x 2 ( xi , y i )   y2 ( xi , y i )  i .
Подставляя это выражение в формулу (12.2), получим, что
n
n
i 1
i 1
 f ( xi , yi , z i )S i   f ( xi , yi ,  ( xi , yi )) 1   x2 ( xi , yi )   y2 ( xi , yi ) i ,
где суммирование справа проводится по области Ω плоскости Оху, являющейся
проекцией на эту плоскость поверхности S (рис.1).
52
z
S: z=φ(x,y)
Si
L
O
y
Δσi
Ω
x
Рис. 1.
При этом в правой части получена интегральная сумма для функции двух переменных
по плоской области, которая в пределе при
  0 дает двойной интеграл
 f ( x, y, ( x, y)) 1  (  ( x, y))  (  ( x, y)) dxdy. Таким образом, получена формула,
2
2
x
y

позволяющая свести вычисление поверхностного интеграла 1-го рода к вычислению
двойного интеграла:
 f ( x, y, z)dS   f ( x, y, ( x, y)) 1  (  ( x, y))  (  ( x, y)) dxdy.
2
x
2
y
(6.5)

S
Замечание. Уточним еще раз, что в левой части формулы (12.5) стоит поверхностный
интеграл, а в правой – двойной.
Пример.
Вычислим  xydS , где S – часть плоскости 3х + 4у – 5z = 36, расположенная в пер-вом
S
октанте. Преобразуем это уравнение к виду z 
3
3x  4 y  36
, откуда  x  ,
5
5
4
, 1   x 2   y2  2 . Проекцией плоскости S на плоскость Оху является тре5
угольник с вершинами в точках (0, 0), (12, 0) и (0, 9). Тогда из формулы (12.5) получим:
 y 
3
3 x
4
2
2 
3 
2 
9 2 9 3
S xydS  2  xydxdy  2 0 xdx 0 ydy  2 0 x 3  4 x  dx  2 0  9 x  2 x  16 x dx 
12
12
53
12

2  9 2 3 3 9 4  12
x   486 2.
 x  x 
2 2
2
64  0
Лекция 7.
Ориентация поверхности. Поток векторного поля. Поверхностный интеграл
второго рода, его свойства, физический смысл и вычисление. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода.
Определим понятие стороны поверхности. Выберем на гладкой поверхности (замкнутой или ограниченной гладким контуром) точку М0 и проведем в ней нормаль к
поверхности, выбрав для нее определенное направление (одно из двух возможных).
Проведем по поверхности замкнутый контур, начинающийся и заканчивающийся в
точке М0. Рассмотрим точку М, обходящую этот контур, и в каждом из ее положений
проведем нормаль того направления, в которое непрерывно переходит нормаль из
предыдущей точки. Если после обхода контура нормаль вернется в точке М0 в первоначальное положение при любом выборе точки М0 на поверхности, поверхность
называется двусторонней. Если же направление нормали после обхода хотя бы одной
точки изменится на противоположное, поверхность называется односторон-ней
(примером односторонней поверхности служит лист Мебиуса).
Из вышесказанного следует, что выбор направления нормали в одной точке однозначно определяет направление нормали во всех точках поверхности.
Определение 7.1. Совокупность всех точек поверхности с одинаковым направлени-ем
нормали называется стороной поверхности.
Ориентация поверхности.
Рассмотрим незамкнутую гладкую двустороннюю поверхность S, ограниченную
контуром L, и выберем одну сторону этой поверхности.
Определение 7.2. Назовем положительным направление обхода контура L, при
котором движение по контуру происходит против часовой стрелки относительно
наблюдателя, находящегося в конечной точке нормали к какой-либо точке поверхности S, соответствующей выбранной стороне поверхности. Обратное направление
обхода контура назовем отрицательным.
Поток векторного поля.
Рассмотрим векторное поле А(М), определенное в пространственной области G,
ориентированную гладкую поверхность S  G и поле единичных нормалей п(М) на
выбранной стороне поверхности S.
Определение 7.3. Поверхностный интеграл 1-го рода
54

 AndS   A dS ,
n
S
(7.1)
S
где An – скалярное произведение соответствующих векторов, а Ап – проекция вектора
А на направление нормали, называется потоком векторного поля А(М) через
выбранную сторону поверхности S.
Замечание 1. Если выбрать другую сторону поверхности, то нормаль, а, следовательно, и поток изменят знак.
Замечание 2. Если вектор А задает скорость течения жидкости в данной точке, то
интеграл (7.1) определяет количество жидкости, протекающей в единицу времени
через поверхность S в положительном направлении (отсюда общий термин «поток»).
Поверхностный интеграл второго рода.
Введем определение поверхностного интеграла 2-го рода по аналогии с соответствующим криволинейным интегралом. Рассмотрим гладкую двустороннюю
поверхность S, заданную уравнением z = z(x, y), в каждой точке которой определена
функция f(M) = f(x, y, z), и выберем какую-либо из ее сторон (или, что то же самое,
определенную ориентацию). Разобьем поверхность S на части S1, S2,…, Sп, выберем в
каждой части Si точку Mi(xi, yi, zi), и умножим f(Mi) на площадь Di проекции части Si на
плоскость Оху. При этом будем считать, проекция части верхней по отношению к
плоскости Оху стороны рассматриваемой поверхности имеет знак «+», а нижней –
знак «-». Составим сумму
n
n
i 1
i 1
   f ( M i ) Di   f ( xi , y i , z i ) Di .
(7.2)
Определение 7.4. Если существует конечный предел суммы (13.2) при ρ→0, не
зависящий от способа разбиения поверхности и выбора точек на ней, то он называется поверхностным интегралом второго рода от функции f(M) по выбранной стороне поверхности S и обозначается
 f (M )dxdy   f ( x, y, z)dxdy.
S
(7.3)
S
Замечание. В этой символической записи не содержится указания на то, какая
сторона поверхности выбрана, поэтому это требуется оговаривать отдельно.
Подобным образом можно проектировать части поверхности на координатные плоскости Оxz и Оyz (при условии, что уравнение поверхности можно представить в виде
y = y(x, z) или x = x(y, z) ). Получим два других поверхностных интеграла 2-го рода:
 f ( x, y, z)dxdz и  f ( x, y, z)dydz .
S
S
55
(7.4)
Рассмотрев сумму интегралов вида (13.3) и (13.4) по одной и той же поверхности
соответственно от функций P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), получим поверхностный
интеграл второго рода общего вида:
 P( x, y, z)dxdy  Q( x, y, z)dxdz  R( x, y, z)dydz.
(7.5)
S
Отметим основное свойство поверхностного интеграла 2-го рода:
При замене рассматриваемой стороны поверхности на противоположную поверхностный
интеграл 2-го рода меняет знак:
 P( x, y, z)dxdy  Q( x, y, z)dxdz  R( x, y, z)dydz 
S
   P( x, y, z )dxdy  Q( x, y, z )dxdz  R( x, y, z )dydz.
(7.6)
S
Справедливость этого утверждения следует из определения 7.4.
Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода.
Если задать единичный вектор выбранной нормали к поверхности S в виде
п
= {cos α, cos β, cos γ}, где α, β, γ – углы, образованные нормалью с осями координат, то
Si
(выбор знака зависит от направления нормали). Тогда из
Di  S i cos  
 1  z x2  z y2
(13.2), (13.3) следует, что
dS
 f (M )dxdy   f ( x, y, z( x, y)) cos dS   f ( x, y, z( x, y))  1  z   z  
S
S
   f ( x, y, z ( x, y ))
D
2
D
1
1  z x  z 
2
2
y
x
2
y
1  z x2  z y2 dxdy    f ( x, y, z ( x, y )) dxdy .
(7.7)
D
Здесь D – проекция поверхности S на плоскость Оху, а выражение для dS взято из
формулы (6.5). Таким образом, вычисление поверхностного интеграла 2-го рода
сводится к вычислению обычного двойного интеграла по области D от функции f, в
которую вместо координаты z подставлено ее выражение из уравнения поверхности S.
Обобщая эти рассуждения, получим, что
 P( x, y, z)dxdy  Q( x, y, z)dxdz  R( x, y, z)dydz    P( x, y, z( x, y)dxdy 
S
D
  Q( x, y ( x, z ), z )dxdz   R( x( y, z ), y, z )dydz,
D
(7.8)
D
где D΄ и D΄΄ - проекции поверхности S на соответствующие координатные плоскости.
56
Пример. Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода  dxdy, где S – нижняя
S
сторона части конуса z  x 2  y 2 при 0  z  1.
Применим формулу (13.7), учитывая, что выбрана нижняя сторона поверхности и что
проекцией части конуса на плоскость Оху является круг x 2  y 2  1 :
2
1
0
0
 dxdy   dxdy    d  d   .
S
D
Связь поверхностных интегралов первого и второго рода.
Учитывая, что проекции элемента поверхности Si на координатные плоскости имеют
вид Sicosγ, Sicosβ, Sicosα, из (13.5) получим:
 P( x, y, z)dxdy  Q( x, y, z)dxdz  R( x, y, z)dydz 
S

  R cos   Q cos   P cos  dS   An dS ,
S
(7.9)
S


где векторное поле A  {R, Q, P} , а n - векторное поле единичных нормалей заданного направления в каждой точке поверхности. Следовательно, поверхностный интеграл
2-го рода (7.5) равен поверхностному интегралу 1-го рода (7.9). Эта формула предоставляет еще одну возможность вычисления поверхностного интеграла 2-го рода.
Заметим, что при смене стороны поверхности меняют знак направляющие косинусы
нормали, и, соответственно, интеграл в правой части равенства (7.9), который сам по
себе, как поверхностный интеграл 1-го рода, от выбора стороны поверхности не
зависит.
Пример. Рассмотрим интеграл  xydxdy  xzdxdz  yzdydz , где S – внешняя сторона
S
верхней половины сферы x² + y² + z² = R². Так как радиус сферы, проведенный в любую
ее точку, можно считать нормалью к сфере в этой точке, единичный вектор нормали
x y z
можно задать в виде п = { , , } . Тогда, используя формулу (13.9), получаем, что
R R R
требуется вычислить поверхностный интеграл 1-го рода
3
3
x2
y2
2
2
2
xyzdS   xy R  x  y 1  2

dxdy  3 xydxdy 
R 
R D
R  x2  y2 R2  x2  y2
S
D
2
R
0
0
 3  sin  cos d   3 d  0. (Область D – круг с центром в начале координат радиуса
R).
57
Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода.
Сравнив формулы (7.9) и (7.1), увидим, что поверхностный интеграл 2-го рода

представляет собой поток векторного поля A  {P, Q, R} через выбранную сторону
поверхности S. При этом из формулы (7.9) следует, что поток можно задать и в виде
поверхностного интеграла 1-го рода вида (7.5).
Лекция 8.
Геометрические и механические приложения кратных, криволинейных и
поверхностных интегралов.
Двойной интеграл.
1. Площадь плоской области.
n
Из формулы 7.1 следует, что при f(x,y) ≡ 0 предел интегральной суммы  S i при
i 1
  0 равен площади области интегрирования S, то есть
 dxdy  S.
(8.1)
S
2. Объем цилиндроида.
Рассмотрим тело, ограниченное частью поверхности S ( z = f(x,y) ), ограниченной
контуром L, проекцией этой поверхности на плоскость Оху и отрезками, параллельными оси Оz и соединяющими каждую точку контура L с соответствующей точкой
плоскости Оху. Такое тело будем называть цилиндроидом. Тогда из формул (7.1) и
(7.2) получим, что объем этого тела равен двойному интегралу от функции f(x,y) по
области S:
Vцил   f ( x, y )dxdy.
(8.2)
S
3. Площадь криволинейной поверхности.
Вычислим площадь части криволинейной поверхности S, заданной уравнением
= f(x,y), ограниченной контуром L. Вспомним еще раз (см. лекцию 6), что площадь
элемента поверхности ΔSi равна
S i 
Di
 1  f x 2 ( i , i )  f y 2 ( i , i ) Di ,
cos 
где ΔDi – проекция ΔSi на плоскость Оху, γ – угол между осью Оz и нормалью к ΔSi в
некоторой ее точке M i ( i ,i ). Составив интегральную сумму
58
z
n
n
 S  
i
i 1
i 1
1  f x 2 ( i , i )  f y 2 ( i , i ) Di
и устремив ее к пределу при   0 , получим формулу для площади поверхности:
S   1  f x 2  f y 2 dxdy.
(8.3)
D
4. Момент инерции плоской фигуры.
Вспомним определение момента инерции
а) материальной точки М с массой т относительно точки О: I = mr² (r – расстояние от
М до О);
б) системы материальных точек m1, m2,…, mn относительно точки О:
n
I   mi ri 2 .
i 1
Определим теперь момент инерции относительно точки О материальной плоской
фигуры D.
у
ΔSi
ηi
D
Pi
ri
O
ξi
x
Рис. 1.
Найдем момент инерции фигуры D (рис.1) относительно начала координат, считая,
что плотность в каждой точке равна 1. Разобьем область D на части ΔSi (i = 1, 2,… n) и
выберем в каждой части точку Pi (ξi, ηi). Назовем элементарным моментом инерции
площадки ΔSi выражение вида ΔIi = (ξi² + ηi²)ΔSi и составим интегральную сумму
n
 (   )S
i 1
2
i
2
i
(8.4)
i
для функции f(x, y) = x² + y² по области D.
Определение 8.1. Предел интегральной суммы (14.4) при   0 называется
моментом инерции фигуры D относительно начала координат:
59
n
I 0  lim  ( i2   i2 )S i   ( x 2  y 2 )dxdy.
 0
i 1
(8.5)
D
Определение 8.2. Интегралы
I xx   y 2 dxdy, I yy   x 2 dxdy
D
(8.6)
D
называются моментами инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу.
Замечание. Если поверхностная плотность не равна 1, а является некоторой функци-ей
γ = γ(х, у), то момент инерции фигуры относительно начала координат вычисляет-ся
по формуле
I 0    ( x, y )( x 2  y 2 )dxdy.
(8.7)
D
5. Координаты центра масс плоской фигуры.
Как известно, координаты центра масс системы материальных точек P1, P2,…, Pn с масса-ми
т1, т2,…, тп определяются по формулам
xc 
x m , y  y m .
m
m
i
i
i
i
c
i
i
Если разбить плоскую фигуру D с поверхностной плотностью, равной 1, на части, то масса
каждой части будет равна ее площади. Будем считать теперь, что вся масса эле-ментарной
площадки ΔSi сосредоточена в какой-либо ее точке Pi (ξi, ηi). Тогда фигуру D можно
рассматривать как систему материальных точек, центр масс которой определяется
равенствами
n
xc 
 i S i
i 1
n
 S
i 1
n
 S
, y c  i 1n
i
 S
i
i 1
i
.
i
Переходя к пределу при   0 , получим точные формулы для координат центра масс
плоской фигуры:
 xdxdy
 ydxdy
xc  D
, yc  D
D
D
 dxdy
 dxdy
.
(8.8)
В случае переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у) эти формулы примут вид
xc 
  ( x, y) xdxdy
D
  ( x, y)dxdy
D
  ( x, y) ydxdy
, yc  D
  ( x, y)dxdy
D
60
.
(8.9)
Тройной интеграл.
1. Объем тела.
Из определения 7.3 следует, что при f(x, y, z) ≡ 1 тройной интеграл по некоторой
замкнутой области V равен объему тела V:
V   dxdydz.
(8.10)
V
2. Масса тела.
Если γ = γ (x, y, z) – функция, задающая плотность вещества, из которого состоит тело V,
то масса тела выражается формулой
M    ( x, y, z )dxdydz.
(8.11)
V
3. Момент инерции тела.
Используя формулы для моментов инерции точки М (x, y, z) массы т относительно
координатных осей:
I xx  ( y 2  z 2 )m, I yy  ( x 2  z 2 )m, I zz  ( x 2  y 2 )m
и проводя те же рассуждения, что и при определении моментов плоской фигуры, можно
задать моменты инерции тела относительно координатных осей в виде:
I xx   ( y 2  z 2 ) ( x, y, z )dxdydz,
V
I yy   ( x 2  z 2 ) ( x, y, z )dxdydz,
(8.12)
V
I zz   ( x 2  y 2 ) ( x, y, z )dxdydz,
V
где γ (х, y, z) – плотность вещества.
4. Координаты центра масс тела.
Формулы для координат центра масс тела тоже задаются аналогично случаю плоской
фигуры:
 x ( x, y, z )dxdydz
xc  V
  ( x, y, z )dxdydz
,
V
yc 
 y ( x, y, z )dxdydz
V
  ( x, y, z )dxdydz
(8.13)
,
V
61
zc 
 z ( x, y, z )dxdydz
V
  ( x, y, z )dxdydz
.
V
Криволинейный интеграл 1-го рода.
1. Длина кривой.
Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного
интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой
ведется интегрирование:
l   ds.
(8.14)
l
2. Масса кривой.
Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки
кривой, найдем массу кривой по формуле
M    ( x, y, z )ds.
(8.15)
l
3. Моменты кривой l найдем, рассуждая так же, как в случае плоской области:
M x   y ( x, y )ds, M y   x ( x, y, z )ds l
-
(8.16)
l
статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;
(8.17)
I 0   ( x 2  y 2  z 2 )ds l
-
момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;
(8.18)
I x   ( y 2  z 2 )ds, I y   ( x 2  z 2 )ds, I z   ( x 2  y 2 )ds l
l
l
- моменты инерции кривой относительно координатных осей.
4.Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам
xc 
 x ( x, y, z )ds
l
M
, yc 
 y ( x, y, z )ds
l
M
 z ( x, y, z )ds
, zc  l
M
.
(8.19)
Криволинейный интеграл 2-го рода.

Если считать, что сила F  {P, Q, R} действует на точку, движущуюся по кривой (АВ),
то работа этой силы может быть представлена как
 
Pdx

Qdy

Rdz

F

  dr ,
( AB )
( AB )
то есть криволинейным интегралом 2-го рода (см. лекцию 4).
62
(8.20)
Поверхностный интеграл 1-го рода.
1. Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой z = f(x, y), можно найти в
виде:
S   dS   1  f x 2  f y 2 dxdy
S
(8.21)

(Ω – проекция S на плоскость Оху).
2. Масса поверхности
M    ( x, y, z )dS.
(8.22)
S
3. Моменты:
M xy   z ( x, y, z )dS , M xz   ydS , M yz   xdS S
S
(8.23)
S
-
статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей Oxy,
Oxz, Oyz;
I x   ( y 2  z 2 ) ( x, y, z )dS , I y   ( x 2  z 2 )dS , I z   ( x 2  y 2 )dS - (14.24)
-
моменты инерции поверхности относительно координатных осей;
(8.25)
I xy   z 2 ( x, y, z )dS , I xz   y 2dS , I yz   x 2dS -
-
моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;
(8.26)
I 0   ( x 2  y 2  z 2 ) ( x, y, z )dS -
S
S
S
S
S
S
S
- момент инерции поверхности относительно начала координат.
4. Координаты центра масс поверхности:
M yz
M xy
M
xc 
, y c  xz , z c 
.
(8.27)
M
M
M
Поверхностный интеграл 2-го рода.
Напомним, что поверхностный интеграл второго рода от некоторой векторной функции
представляет собой поток соответствующего векторного поля через выбран-ную сторону
поверхности интегрирования (см. лекцию 7).
Замечание 1. Так как формулы, задающие значения геометрических и физических
величин с помощью интегралов, выводятся с помощью одних и тех же приемов для
интегралов всех- рассматриваемых типов, подробный их вывод дается только в начале
лекции. При желании можно провести аналогичные рассуждения для тройных, криволинейных и поверхностных интегралов и получить все формулы, приводимые в лекции
без подробного вывода.
Замечание 2. В лекции не рассматриваются примеры использования полученных
формул, так как после подстановки в них конкретных функций задача сводится к
технике интегрирования, которая рассматривалась в предыдущих лекциях.
Лекция 9.
Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция векторного поля, ее свойства,
инвариантное определение и физический смысл. Формула Стокса. Ротор векторного
поля, его свойства, инвариантное определение и физический смысл.
Формула Гаусса-Остроградского.
63
Зададим в пространстве замкнутую трехмерную область V, ограниченную
поверхностью S и проектирующуюся на плоскость Оху в правильную область D.
z
S2 (z=f2(x,y))
S3
V
S1 (z=f1(x,y))
O
y
x
D
Рис. 1.
Будем считать, что поверхность S можно разбить на три части: S1, заданную уравнением z
= f1(x, y), S2 ( z = f2 (x, y) ) и S3 – цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz (рис.1).
Зададим в каждой точке области V и поверхности S непрерывные функции P(x, y, z), Q(x, y,
z) и R(x, y, z) и вычислим интеграл
 f 2 ( x , y ) R 
R( x, y, z )
I  
dxdydz    
dz dxdy   R( x, y, f 2 ( x, y )) dxdy 



z

z
V
D  f1 ( x , y )
D

  R( x, y, f1 ( x, y )) dxdy.
D
Зададим ориентацию поверхности S, выбрав направление внешней нормали, тогда на S1
cos(n, z) < 0, на S2 cos(n, z) > 0, a на S3 cos(n, z) = 0. Двойные интегралы, стоящие в правой
части предыдущего равенства, равны соответствующим поверхностным интегралам:
64

 R( x, y, f ( x, y))dxdy   R( x, y, z ) cos(n, z )dS ,
2
D
S2

 R( x, y, f ( x, y))dxdy   R( x, y, z )( cos(n, z))dS .
1
D
S1
(Знак «-» во втором интеграле появляется за счет того, элементы площади поверхности S1 и
области D связаны соотношением dxdy = ΔS(-cos(n, z)) ). Следовательно, исходный
интеграл можно представить в виде:



I   R( x, y, z ) cos(n, z )dS   R( x, y, z ) cos(n, z )dS   R( x, y, z ) cos(n, z )dS 
S2
S1
S2



  R( x, y, z ) cos(n, z )dS   R( x, y, z ) cos(n, z )dS   R( x, y, z ) cos(n, z )dS.
S1
S3
S
Окончательный результат можно записать так:
R

 z dxdydz   R( x, y, z ) cos(n, z )dS.
V
S
Таким же образом можно получить соотношения
P
Q


 x dxdydz   P( x, y, z ) cos(n, x)dS ,  y dxdydz   Q( x, y, z ) cos(n, y)dS.
V
S
V
S
Складывая эти три равенства, получаем формулу Гаусса-Остроградского:
 P
Q
R 



  x  y  z dxdydz   P cos(n, x)  Q cos(n, y)  R cos(n, z)dS.
V
(9.1)
S
Воспользовавшись формулой 13.9, задающей связь между поверхностными интегралами 1го и 2-го рода, можно записать формулу Гаусса-Остроградского в ином виде:
 P
Q
R 
  x  y  z dxdydz   Pdydz  Qdxdz  Rdxdy,
V
S
(9.2)

где запись «S+» означает, что интеграл, стоящий справа, вычисляется по внешней стороне
поверхности S.
Дивергенция векторного поля.
Продолжим изучение характеристик векторных полей.
Определение 9.1. Дивергенцией векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az – функции
от x, y, z, называется
 A
Ay Az
divA  x 

.
(9.3)
x
y
z
Замечание 1. Из определения видно, что дивергенция является скалярной функцией.
65
Замечание 2. Слово «дивергенция» означает «расходимость», так как дивергенция характеризует плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке.
Рассмотрим формулу Гаусса-Остроградского с учетом определений потока и дивергенции
векторного поля. Тогда в левой части формулы (9.1) стоит тройной интеграл по объему V от
дивергенции векторного поля {P, Q, R}, а в правой – поток этого вектора через ограничивающую тело поверхность S:

(9.4)
 An dS   divAdV .
S
V
Докажем, что величина дивергенции в данной точке не зависит от выбора системы координат. Рассмотрим некоторую точку М, которую окружает трехмерная область V, ограниченная поверхностью S. Разделим обе части формулы (15.4) на V и перейдем к пределу при
стягивании тела V к точке М. Получим:
S An dS

divA  lim
.
(9.5)
V M
V
Это равенство можно считать инвариантным определением дивергенции, то есть
определением, не зависящим от выбора координатной системы.
Формула Стокса.
Рассмотрим поверхность S такую, что любая прямая, параллельная оси Оz, пересекает ее в
одной точке. Обозначим границу поверхности λ и выберем в качестве положительного
направления нормали такое, при котором она образует с положительным направлением оси
Оz острый угол. Если уравнение поверхности имеет вид z = f(x, y), то направляющие
косинусы нормали задаются формулами
f
f




y
x
, cos(n , y ) 
,
cos(n , x) 
 f   f 
1      
 x   y 
1
2

cos(n , z ) 
2
 f   f 
1      
 x   y 
2
2
.
2


f
 f 
1      
 x   y 
Рассмотрим некоторую трехмерную область V, в которой целиком лежит поверхность S, и
зададим в этой области функцию P(x, y, z), непрерывную вместе с частными производны-ми
первого порядка. Вычислим криволинейный интеграл 2-го рода по кривой λ:
z
 P( x, y, z )dx .
2

n
σ
λ
O
y
D
x
L
Рис. 2.
66
Уравнение линии λ имеет вид z = f(x, y), где х, у – координаты точек линии L, являющейся
проекцией λ на плоскость Оху (рис.2). Поэтому, используя формулу (10.8), получаем:
 P( x, y, z )dx =  P( x, y, f ( x, y))dx .

L
Обозначим P(x, y) = P(x, y, f(x, y)), Q(x, y) = 0 и применим к интегралу, стоящему в правой
части предыдущего равенства, формулу Грина:
P( x, y, f ( x, y ))
 
dxdy   P( x, y, f ( x, y )) dx,
y
D
L
где область D ограничена линией L. Преобразуем левое подынтегральное выражение,
используя формулу производной сложной функции:
P( x, y, f ( x, y )) P( x, y, z ) P( x, y, z ) f ( x, y )


y
y
z
y
и подставим его в предыдущее равенство:
 P( x, y, z ) P( x, y, z ) f ( x, y) 
dxdy   P( x, y, f ( x, y )) dx . Тогда
  


y

z

y


L
D
P
P f
 P( x, y, z )dx =   y dxdy   z y dxdy. Теперь применим к интегралам, стоящим
D
D
справа, формулу (13.7) и перейдем к поверхностным интегралам 1-го рода по поверхно-сти
σ:

P
P
D y dxdy   y cos(n, z )d ,
P f
P f

P

 z y dxdy   z y cos(n, z )d   z cos(n, y)d ,
D

cos(n , y )
f

так как
. Следовательно, окончательный результат преобразований

cos(n , z )
y
выглядит так:
 P

 
P
 P( x, y, z )dx =   z cos(n, y)  y cos(n, z) d .
При этом направление обхода контура λ выбирается соответствующим положительному
направлению нормали (рис.2).
Задавая в области V непрерывно дифференцируемые функции Q(x, y, z) и R(x, y, z), можно
получить для них аналогичные соотношения:

 
Q
 Q
 Q( x, y, z )dx =   x cos(n, z)  z cos(n, x) d ,
 R

 
R

=
cos(
n
,
x
)

cos(
n
, y ) d .
R
(
x
,
y
,
z
)
dx

  y
x

Складывая левые и правые части полученных равенств, получим формулу Стокса, устанавливающую связь между поверхностным интегралом 1-го рода по поверхности σ и
криволинейным интегралом 2-го рода по ограничивающему ее контуру λ с учетом ориентации поверхности:
 R Q 
 Q P 


 
 P R 
 Pdx  Qdy  Rdz    y  z  cos(n, x)   z  x  cos(n, y)   x  y  cos(n, x)d 
67



cos(n , x) cos(n , y ) cos(n , z )



 
d .
(9.6)

x

y

z

P
Q
R
Последняя запись позволяет лучше запомнить подынтегральное выражение в правой части
формулы Стокса, которое можно получить, раскрывая определитель по первой строке и
учитывая, что во второй его строке стоят операторы частного дифференцирова-ния по
соответствующим переменным, применяемые к функциям, стоящим в третьей строке.
Используя связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода (формула (13.9)),
можно записать формулу Стокса в ином виде:
 R Q 
 Q P 
 P R 
 Pdx  Qdy  Rdz    y  z dydz   z  x dxdz   x  y dxdy . (9.7)

Ротор векторного поля.
Определение 9.2. Ротором или вектором вихря векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax,
Ay, Az – функции от x, y, z, называется вектор, определяемый следующим образом:
  A Ay Ax Az Ay Ax 
rotA   z 
;

;

(9.8)
.
z z
x x
y 
 y
Замечание 1. Ротор характеризует завихренность поля А в данной точке, то есть наличие
вращательных движений, так как его модуль равен удвоенной угловой скорости в этой
точке.
Замечание 2. Формула Стокса в векторной формулировке имеет вид:
 
A
dx

A
dy

A
dz

rot
A
x
y
z

  nd ,

(9.9)

то есть циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку ротора этого
вектора через поверхность, натянутую на данный контур.
Замечание 3. Можно дать другое, инвариантное, определение ротора. Для этого
рассмотрим произвольное направление п, исходящее из данной точки М, и окружим эту
точку плоской площадкой σ, перпендикулярной к п и ограниченной контуром λ. Приме-няя
формулу Стокса, получим:

A
d


rot
A
 
 n d .


Разделив обе части этого равенства на σ и стягивая площадку σ к данной точке, найдем в
пределе, что
 A d

rot n A  lim
.
 M

Тем самым можно определить проекцию ротора на любую ось, то есть вектор rot A не
зависит от выбора координатной системы.
Лекция 10.
Оператор Гамильтона, его использование и свойства. Потенциальные векторные
поля, условие потенциальности. Условия независимости криволинейного интеграла
второго рода от пути интегрирования. Соленоидальные и гармонические векторные
поля.
68
Оператор Гамильтона.
Вспомним определение градиента скалярной функции u = u(x, y, z):
 u  u  u   u  u  u 
j
k
 i
j
 k u.
grad u = i
x
y
z  x
y
z 
Определим оператор, стоящий в скобках в правой части этого равенства, так:
Определение 10.1. Оператор
     
i
 j
k
(10.1)
x
y
z
называется оператором Гамильтона или набла-оператором и обозначается символом 
(«набла»).
При применении оператора Гамильтона удобно рассматривать его как «символический
вектор» и использовать различные операции над векторами. Например:
1) если умножить «вектор» на скалярную функцию и, то получим градиент этой функции:
u = grad u;
(10.2)
2) составив скалярное произведение  на вектор A = {Ax, Ay, Az}, получим дивергенцию
вектора A:

Ay Az
A



· A =
(10.3)
Ax 
Ay 
Az  x 

 divA ;
x
y
z
x
y
z
3) перемножим теперь векторы  и А векторным образом. Результатом будет ротор
вектора А:



i
j
k

 A Ay   Ax Az   Ay Ax 



  j 
  rotA; (10.4)
 i  z 


 А =
  k 
x y z
z   z
x 
y 
 y
 x
Ax Ay Az
4) рассмотрим скалярное произведение векторов  и u = grad u:
· (u) = div (grad u) = =
  u    u    u   2 u  2 u  2 u   2
2
2 

u.










 
 
x  x  y  y  z  z  x 2 y 2 z 2  x 2 y 2 z 2 
Определение 10.2. Оператор
2
2
2


Δ = ·  = ² =
(10.5)
x 2 y 2 z 2
называется оператором Лапласа и обозначается символом Δ («дельта»).
Определение 10.3. Уравнение
 2u  2u  2u


0
(10.6)
x 2 y 2 z 2
называется уравнением Лапласа, а функция, удовлетворяющая ему – гармонической
функцией.
Замечание. Отметим еще раз, результатом применения к скалярной функции и оператора
Гамильтона является вектор, а оператора Лапласа – скаляр.
Потенциальные векторные поля.
Определение 10.4. Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется потенциальным, если
вектор А является градиентом некоторой скалярной функции u = u(x, y, z):
 u  u  u
 j
k
A = grad u = i
.
(10.7)
x
y
z
69
При этом функция и называется потенциалом данного векторного поля.
Примерами потенциальных полей являются поле тяготения точечной массы т, помещенной в начале координат, электрическое поле точечного заряда е, находящегося в начале
координат, и другие.
Выясним, при каких условиях векторное поле является потенциальным. Так как из (10.7)
u
u
u
Ax Ay
 2 u Ax Az
 2u
, Ay 
, Az 
, то
следует, что Ax 


,


,
x
y
z
y
x
xy z
x
xz
Ay Az
 2u


, так как смешанная производная второго порядка не зависит от порядка
z
y
yz
дифференцирования. Из этих равенств легко получаем, что
rot A = 0 –
(10.8)
- условие потенциальности векторного поля.
Определение 10.5. Векторное поле A = {Ax, Ay, Az}, для которого rot A = 0, называется
безвихревым.
Из предыдущих рассуждений следует, что любое потенциальное поле является безвихревым. Можно доказать и обратное, то есть то, что любое безвихревое поле есть поле потенциальное.
Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода
от пути интегрирования.
Рассмотрим криволинейный интеграл 2-го рода  Pdx  Qdy 
L
 Pdx  Qdy , где L – кривая,
( MN )
соединяющая точки M и N. Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) имеют непрерывные частные
производные в некоторой области D, в которой целиком лежит кривая L. Определим
условия, при которых рассматриваемый криволинейный интеграл зависит не от формы
кривой L, а только от расположения точек M и N.
Проведем две произвольные кривые MPN и MQN, лежащие в области D и соединяющие
точки M и N (рис.1).
Q
•М
•N
Рис. 1.
P
Предположим, что
 Pdx  Qdy   Pdx  Qdy , то есть  Pdx  Qdy   Pdx  Qdy  0
( MPN )
Тогда
( MQN )
( MPN )
( MQN )
 Pdx  Qdy   Pdx  Qdy   Pdx  Qdy  0 , где L – замкнутый контур, состав-
( MPN )
( NQM )
L
ленный из кривых MPN и NQM (следовательно, его можно считать произвольным). Таким
образом, условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования равносильно условию, что такой интеграл по любому замкнутому контуру равен
нулю.
Теорема 10.1. Пусть во всех точках некоторой области D непрерывны функции P(x, y) и
P
Q
Q(x, y) и их частные производные
и
. Тогда для того, чтобы для любого замкну-того
y
x
контура L, лежащего в области D, выполнялось условие
70
 Pdx  Qdy  0 ,
L
необходимо и достаточно, чтобы
P
Q
=
во всех точках области D.
y
x
Доказательство.
P Q
=
выполнено. Рассмотрим произвольный замкнуy x
тый контур L в области D, ограничивающий область S, и напишем для него формулу Грина:
 Q P 
L Pdx  Qdy S  x  y   0 .
Итак, достаточность доказана.
2) Необходимость: предположим, что условие  Pdx  Qdy  0 выполнено в каждой точке
1) Достаточность: пусть условие
L
области D, но найдется хотя бы одна точка этой области, в которой
Q P
≠ 0. Пусть,
x y
Q P
> 0. Так как в левой части неравенства стоит непреy
x
рывная функция, она будет положительна и больше некоторого δ > 0 в некоторой малой
области D`, содержащей точку Р. Следовательно,
например, в точке P(x0, y0)
 Q
P 
  x  y dxdy    dxdy  S  0.
D
D
D
 Q P 
 dxdy  0 , где L` Отсюда по формуле Грина получаем, что  Pdx  Qdy   
x y 
L
D 
контур, ограничивающий область D`. Этот результат противоречит условию
Q P
L Pdx  Qdy  0 . Следовательно, x = y во всех точках области D, что и требовалось
доказать.
Замечание 1. Аналогичным образом для трехмерного пространства можно доказать, что
необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интеграла
 Pdx  Qdy  Rdz
(MN )
от пути интегрирования являются:
R Q P R Q P

,

,

.
(10.9)
y z z x x y
Замечание 2. При выполнении условий (16.9) выражение Pdx + Qdy +Rdz является полным
дифференциалом некоторой функции и. Это позволяет свести вычисление криволинейного
интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура
интегрирования, так как
 Pdx  Qdy  Rdz   du  u( N )  u(M ).
( MN )
( MN )
При этом функцию и можно найти по формуле
x
y
z
x0
y0
z0
u   P( x, y, z )dx   Q( x0 , y, z )dy   R( x0 , y 0 , z )dz  C ,
71
(10.10)
где (x0, y0, z0) – точка из области D, a C – произвольная постоянная. Действительно, легко
убедиться, что частные производные функции и, заданной формулой (16.10), равны P, Q и
R.
( 2 , 3, 4 )
Пример. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода
 yzdx  xzdy  xydz по
(1,1,1)
произвольной кривой, соединяющей точки (1, 1, 1) и (2, 3, 4).
 ( xy )  ( xz )
 ( yz )  ( xy )

 x,

 y,
Убедимся, что выполнены условия (16.9):
y
z
z
x
 ( xz )  ( yz )

 z. Следовательно, функция и существует. Найдем ее по формуле (10.10),
x
y
положив x0 = y0 = z0 = 0. Тогда
x
y
z
0
0
0
u   yzdx   0  zdy   0  0dz  C  xyz  C . Таким образом, функция и определяется с
точностью до произвольного постоянного слагаемого. Примем С = 0, тогда u = xyz.
( 2 , 3, 4 )
(2,3,4)
Следовательно,  yzdx  xzdy  xydz  xyz
 2  3  4  1  1  1  23.
(1,1,1)
(1,1,1)
Соленоидальные и гармонические векторные поля.
Определение 10.6. Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется соленоидальным в области
D, если в каждой точке этой области
div A = 0.
(10.11)
Замечание. Так как дивергенция характеризует плотность источников поля А, то в облас-ти,
где поле соленоидально, нет источников этого поля. Примером соленоидального поля
может служить поле точечного заряда е во всех точках, кроме точки, где расположен заряд.
Условием соленоидальности поля является требование, что вектор А является ротором
некоторого вектора В: A = rot B. Докажем это.
B y
B y B x
B x B z
B
Действительно, если Ax  z 
, то
, Ay 

, Az 

y
z
z
x
x
y
Ax Ay Az
  B B y    Bx Bz    B y B x 
 



  z 


div A =
 
x
y
z x  y
z  y  z
x  z  x
y 
2
2
 2 Bz  B y  2 Bx  2 Bz  B y  2 Bx






 0.
xy xz yz xy xz yz
Определение 10.7. Скалярное поле, задаваемое функцией u = u(x, y, z), называется
гармоническим в некоторой области, если функция и в этой области удовлетворяет
уравнению Лапласа: Δ и = 0.
Примеры: линейная функция, потенциал электрического поля точечного заряда или поля
тяготения точечной массы.
Теория вероятности
Лекция 1.
Предмет теории вероятностей. Случайные события. Алгебра событий. Относительная частота и вероятность случайного события. Полная группа событий. Классичес-
72
кое определение вероятности. Основные свойства вероятности. Основные формулы
комбинаторики.
В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результат
каждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можно
исследовать закономерности, возникающие при проведении серии опытов. Нельзя, например, точно сказать, какая сторона монеты окажется сверху при данном броске: герб или
цифра – но при большом количестве бросков число выпадений герба приближается к половине количества бросков; нельзя заранее предсказать результат одного выстрела из данного орудия по данной цели, но при большом числе выстрелов частота попадания приближается к некоторому постоянному числу. Исследование вероятностных закономерностей массовых
однородных явлений составляет предмет теории вероятностей.
Основным интуитивным понятием классической теории вероятностей является
случайное событие. События, которые могут произойти в результате опыта, можно
подразделить на три вида:
а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта;
б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может;
в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти.
Например, при броске игральной кости достоверным событием является выпадение числа
очков, не превышающего 6, невозможным – выпадение 10 очков, а случайным – выпадение
3 очков.
Алгебра событий.
Определение 1.1. Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том,
что произошло хотя бы одно из событий А и В. Суммой нескольких событий, соответственно, называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из этих
событий.
Пример 1. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Если событие А –
попадание первого стрелка, а событие В – второго, то сумма А+В – это хотя бы одно
попадание при двух выстрелах.
Пример 2. Если при броске игральной кости событием Аi назвать выпадение i очков, то
выпадение нечетного числа очков является суммой событий А1+А2+А3.
Назовем все возможные результаты данного опыта его исходами и предположим, что
множество этих исходов, при которых происходит событие А (исходов, благоприятных
событию А), можно представить в виде некоторой области на плоскости. Тогда множество
исходов, при которых произойдет событие А+В, является объединением множеств исходов,
благоприятных событиям А или В (рис. 1).
73
А
В
А+В
Рис.1.
Определение 1.2. Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том,
что произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением нескольких
событий называется событие, заключающееся в том, что произошли все эти события.
Пример 3. В примере 1 ( два выстрела по мишени) событием АВ будет попадание обоих
стрелков.
Пример 4. Если событие А состоит в том, что из колоды карт извлечена карта пиковой
масти, а событие В – в том, что из колоды вынута дама, то событием АВ будет извлечение
из колоды дамы пик.
Геометрической иллюстрацией множества исходов опыта, благоприятных появлению
произведения событий А и В, является пересечение областей, соответствующих исходам,
благоприятным А и В.
А
В
АВ
Рис.2.
Определение 1.3. Разностью А\B событий А и В называется событие, состоящее в том, что
А произошло, а В – нет.
Пример 5. Вернемся к примеру 1, где А\ В – попадание первого стрелка при промахе
второго.
Пример 6. В примере 4 А\В – извлечение из колоды любой карты пиковой масти, кроме
дамы. Наоборот, В \А – извлечение дамы любой масти, кроме пик.
74
А
В
А-В
Рис.3.
Введем еще несколько категорий событий.
Определение 1.4. События А и В называются совместными, если они могут произойти оба
в результате одного опыта. В противном случае (то есть если они не могут произойти
одновременно) события называются несовместными.
Примеры: совместными событиями являются попадания двух стрелков в примере 1 и
появление карты пиковой масти и дамы в примере 4; несовместными – события А1 – А6 в
примере 2.
Замечание 1. Если изобразить графически области исходов опыта, благоприятных
несовместным событиям, то они не будут иметь общих точек.
Замечание 2. Из определения несовместных событий следует, что их произведение является
невозможным событием.
Определение 1.5. Говорят, что события А1, А2,…,Ап образуют полную группу, если в
результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из событий этой группы.
Замечание. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовмест-ны,
то в результате опыта произойдет одно и только одно из них. Такие события называют
элементарными событиями.
Пример. В примере 2 события А1 – А6 (выпадение одного, двух,…, шести очков при одном
броске игральной кости) образуют полную группу несовместных событий.
Определение 1.6. События называются равновозможными, если нет оснований считать,
что одно из них является более возможным, чем другое.
Примеры: выпадение любого числа очков при броске игральной кости, появление любой
карты при случайном извлечении из колоды, выпадение герба или цифры при броске
монеты и т.п.
Классическое определение вероятности.
При изучении случайных событий возникает необходимость количественно сравнивать
возможность их появления в результате опыта. Например, при последовательном
извлечении из колоды пяти карт более возможна ситуация, когда появились карты разных
мастей, чем появление пяти карт одной масти; при десяти бросках монеты более возможно
75
чередование гербов и цифр, нежели выпадение подряд десяти гербов, и т.д. Поэтому с
каждым таким событием связывают по определенному правилу некоторое число, которое
тем больше, чем более возможно событие. Это число называется вероятностью события и
является вторым основным понятием теории вероятностей.
Отметим, что само понятие вероятности, как и понятие случайного события, является
аксиоматическим и поэтому не поддается строгому определению. То, что в дальнейшем
будет называться различными определениями вероятности, представляет собой способы
вычисления этой величины.
Определение 1.7. Если все события, которые могут произойти в результате данного опыта,
а) попарно несовместны;
б) равновозможны;
в) образуют полную группу,
то говорят, что имеет место схема случаев.
Можно считать, что случаи представляют собой все множество исходов опыта. Пусть их
число равно п ( число возможных исходов), а при т из них происходит некоторое событие
А (число благоприятных исходов).
Определение 1.8. Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта,
благоприятных этому событию, к числу возможных исходов:
р( А) 
т
п
-
(1.1)
- классическое определение вероятности.
Свойства вероятности.
Из определения 1.8 вытекают следующие свойства вероятности:
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.
Доказательство. Так как достоверное событие всегда происходит в результате опыта, то все
исходы этого опыта являются для него благоприятными, то есть т = п, следовательно,
Р(А) = 1.
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Доказательство. Для невозможного события ни один исход опыта не является благоприятным, поэтому т = 0 и р(А) = 0.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное
между нулем и единицей.
76
Доказательство. Случайное событие происходит при некоторых исходах опыта, но не при
всех, следовательно, 0 < m < n, и из (1.1) следует, что 0 < p(A) < 1.
Пример. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, наудачу вынут шар. Найти
вероятность того, что он белый.
Решение. Будем считать элементарными событиями, или исходами опыта, извлечение из
урны каждого из имеющихся в ней шаров. Очевидно, что эти события удовлетворяют всем
условиям, позволяющим считать их схемой случаев. Следовательно, число возможных
исходов равно 10, а число исходов, благоприятных событию А (появлению белого шара) – 6
(таково количество белых шаров в урне). Значит,
р( А) 
т 6

 0,6.
п 10
Относительная частота. Статистическое определение вероятности.
Классическое определение вероятности применимо только для очень узкого класса задач,
где все возможные исходы опыта можно свести к схеме случаев. В большинстве реальных
задач эта схема неприменима. В таких ситуациях требуется определять вероятность события иным образом. Для этого введем вначале понятие относительной частоты W(A)
события A как отношения числа опытов, в которых наблюдалось событие А, к общему
количеству проведенных испытаний:
W ( A) 
M
,
N
(1.2)
где N – общее число опытов, М – число появлений события А.
Большое количество экспериментов показало, что если опыты проводятся в одинаковых
условиях, то для большого количества испытаний относительная частота изменяется мало,
колеблясь около некоторого постоянного числа. Это число можно считать вероятностью
рассматриваемого события.
Определение 1.9. Статистической вероятностью события считают его относительную
частоту или число, близкое к ней.
Замечание 1. Из формулы (1.2) следует, что свойства вероятности, доказанные для ее
классического определения, справедливы и для статистического определения вероят-ности.
Замечание 2. Для существования статистической вероятности события А требуется:
1) возможность производить неограниченное число испытаний;
2) устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно
большого числа опытов.
Замечание 3. Недостатком статистического определения является неоднозначность
статистической вероятности.
Пример. Если в задаче задается вероятность попадания в мишень для данного стрелка
(скажем, р = 0,7), то эта величина получена в результате изучения статистики большого
77
количества серий выстрелов, в которых этот стрелок попадал в мишень около семидесяти
раз из каждой сотни выстрелов.
Основные формулы комбинаторики.
При вычислении вероятностей часто приходится использовать некоторые формулы
комбинаторики – науки, изучающей комбинации, которые можно составить по
определенным правилам из элементов некоторого конечного множества. Определим
основные такие комбинации.
Определение 1.10. Перестановки – это комбинации, составленные из всех п элементов
данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех
возможных перестановок
Рп = п!
(1.3)
Пример. Сколько различных списков (отличающихся порядком фамилий) можно составить
из 7 различных фамилий?
Решение. Р7 = 7! = 2·3·4·5·6·7 = 5040.
Определение 1.11. Размещения – комбинации из т элементов множества, содержащего п
различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число
всех возможных размещений
Апт  п(п  1)(п  2)...( п  т  1).
(1.4)
Пример. Сколько возможно различных вариантов пьедестала почета (первое, второе, третье
места), если в соревнованиях принимают участие 10 человек?
Решение. А103  10  9  8  720 .
Определение 1.12. Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества,
содержащего п различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом
элементов). Число сочетаний
С пт 
п!
.
т!(п  т)!
(1.5)
Пример. В отборочных соревнованиях принимают участие 10 человек, из которых в финал
выходят трое. Сколько может быть различных троек финалистов?
Решение. В отличие от предыдущего примера, здесь не важен порядок финалистов,
следовательно, ищем число сочетаний из 10 по 3:
С103 
10! 8  9  10

 120 .
3!7!
6
78
Лекция 2.
Геометрические вероятности. Теорема сложения вероятностей. Противоположные
события. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей. Независимые
события. Вероятность появления хотя бы одного события.
Одним из недостатков классического определения вероятности является то, что оно
неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. В таких случаях можно
воспользоваться понятием геометрической вероятности.
Пусть на отрезок L наудачу брошена точка. Это означает, что точка обязательно попадет
на отрезок L и с равной возможностью может совпасть с любой точкой этого отрезка. При
этом вероятность попадания точки на любую часть отрезка L не зависит от расположения
этой части на отрезке и пропорциональна его длине. Тогда вероятность того, что брошенная точка попадет на отрезок l, являющийся частью отрезка L, вычисляется по формуле:
l
,
L
p
(2.1)
где l – длина отрезка l, а L – длина отрезка L.
Можно дать аналогичную постановку задачи для точки, брошенной на плоскую область S и
вероятности того, что она попадет на часть этой области s:
p
s
,
S
(2.1`)
где s – площадь части области, а S – площадь всей области.
В трехмерном случае вероятность того, что точка, случайным образом расположенная в
теле V, попадет в его часть v, задается формулой:
p
v
,
V
(2.1``)
где v – объем части тела, а V – объем всего тела.
Пример 1. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в круг, не попадет в
правильный шестиугольник, вписанный в него.
Решение. Пусть радиус круга равен R , тогда сторона шестиугольника тоже равна R. При
этом площадь круга S  R 2 , а площадь шестиугольника s 
Ss
p

S
3 3 2
R . Следовательно,
2
3 3 2
R
 3 3
2

 0,174 .
2
2
R
R 2 
79
Пример 2. На отрезок АВ случайным образом брошены три точки: С, D и М. Найти
вероятность того, что из отрезков АС, АD и АМ можно построить треугольник.
Решение. Обозначим длины отрезков АС, АD и АМ через x, y и z и рассмотрим в качестве
возможных исходов множество точек трехмерного пространства с координатами (х, у, z).
Если принять длину отрезка равной 1, то эти множество возможных исходов представляет
собой куб с ребром, равным 1. Тогда множество благоприятных исходов состоит из точек,
для координат которых выполнены неравенства треугольника: x + y > z, x + z > y,
y
+ z > x. Это часть куба, отрезанная от него плоскостями x + y = z, x + z = y, y + z = x
х
Рис.1.
(одна из них, плоскость x + y = z, проведена на рис.1). Каждая такая плоскость отделяет от
1 1
1
куба пирамиду, объем которой равен   1  . Следовательно, объем оставшейся части
3 2
6
v  1 3
1 1
v 1
1
 . Тогда p   : 1  .
6 2
V 2
2
Теорема сложения вероятностей.
Теорема 2.1 (теорема сложения). Вероятность р(А + В) суммы событий А и В равна
Р (А + В ) = р (А) + р (В) – р (АВ).
(2.2)
Доказательство.
Докажем теорему сложения для схемы случаев. Пусть п – число возможных исходов опыта,
тА – число исходов, благоприятных событию А, тВ – число исходов, благопри-ятных
событию В, а тАВ – число исходов опыта, при которых происходят оба события (то есть
исходов, благоприятных произведению АВ). Тогда число исходов, при которых имеет место
событие А + В, равно тА + тВ – тАВ (так как в сумме (тА + тВ) тАВ учтено дважды: как
исходы, благоприятные А, и исходы, благоприятные В). Следовательно, вероятность суммы
можно определить по формуле (1.1):
р( А  В) 
т А  т В  т АВ т А т В т АВ



 р( А)  р( В)  р( АВ ),
п
п
п
п
что и требовалось доказать.
80
Следствие 1. Теорему 2.1 можно распространить на случай суммы любого числа событий.
Например, для суммы трех событий А, В и С
Р(А + В + С) = р(А) + р(В) + р(С) – р(АВ) – р(АС) – р(ВС) + р(АВС)
(2.3)
и т.д.
Следствие 2. Если события А и В несовместны, то тАВ = 0, и, следовательно, вероятность
суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей:
Р(А + В) = р(А) + р(В).
(2.4)
Определение 2.1. Противоположными событиями называют два несовместных события,
образующих полную группу. Если одно из них назвать А, то второе принято обозначать А .
Замечание. Таким образом, А заключается в том, что событие А не произошло.
Теорема 2.2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:
р(А) + р( А ) = 1.
(2.5)
Доказательство.
Так как А и А образуют полную группу, то одно из них обязательно произойдет в
результате опыта, то есть событие А + А является достоверным. Следовательно,
Р( А + А ) = 1. Но, так как А и А несовместны, из (2.4) следует, что Р(А + А ) = р(А) + р( А ).
Значит, р(А) + р( А ) = 1, что и требовалось доказать.
Замечание. В ряде задач проще искать не вероятность заданного события, а вероятность
события, противоположного ему, а затем найти требуемую вероятность по формуле (2.5).
Пример. Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, случайным образом извлекаются 5 шаров. Найти вероятность того, что вынуты шары разных цветов.
Решение. Событие А , противоположное заданному, заключается в том, что из урны вынуто
5 шаров одного цвета, а так как белых шаров в ней всего два, то этот цвет может быть
только черным. Множество возможных исходов опыта найдем по формуле (1.5):
п  С85 
8!
67 8

 56,
5!3!
6
а множество исходов, благоприятных событию А - это число возможных наборов по 5
шаров только из шести черных:
т А  С 65  6.
Тогда р( А ) 
6
3
3 25

, а р( А)  1 
 .
56 28
28 28
81
Теорема умножения вероятностей.
Определение 2.2. Назовем условной вероятностью р(В/А) события В вероятность события
В при условии, что событие А произошло.
Замечание. Понятие условной вероятности используется в основном в случаях, когда
осуществление события А изменяет вероятность события В.
Примеры:
1) пусть событие А – извлечение из колоды в 32 карты туза, а событие В – то, что и
вторая вынутая из колоды карта окажется тузом. Тогда, если после первого раза
карта была возвращена в колоду, то вероятность вынуть вторично туз не меняется:
4 1
р( В)  р( А) 
  0,125 . Если же первая карта в колоду не возвращается, то
32 8
осуществление события А приводит к тому, что в колоде осталась 31 карта, из
3
 0,097 .
которых только 3 туза. Поэтому р( В / А) 
31
2) если событие А – попадание в самолет противника при первом выстреле из орудия, а
В – при втором, то первое попадание уменьшает маневренность самолета, поэтому
р(В/А) увеличится по сравнению с р(А).
Теорема 2.3 (теорема умножения). Вероятность произведения двух событий равна
произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии,
что первое событие произошло:
р (АВ) = р (А) · р (В/А).
(2.6)
Доказательство.
Воспользуемся обозначениями теоремы 2.1. Тогда для вычисления р(В/А) множеством
возможных исходов нужно считать тА (так как А произошло), а множеством благоприятных
исходов – те, при которых произошли и А, и В ( тАВ ). Следовательно,
р ( В / А) 
т АВ т АВ п


 р ( АВ ) : р ( А), откуда следует утверждение теоремы.
тА
п тА
Пример. Для поражения цели необходимо попасть в нее дважды. Вероятность первого
попадания равна 0,2, затем она не меняется при промахах, но после первого попадания
увеличивается вдвое. Найти вероятность того, что цель будет поражена первыми двумя
выстрелами.
Решение. Пусть событие А – попадание при первом выстреле, а событие В – попадание при
втором. Тогда р (А) = 0,2, р (В/А) = 0,4, р (АВ) = 0,2·0,4 = 0,08.
Следствие. Если подобным образом вычислить вероятность события ВА, совпадающего с
событием АВ, то получим, что р (ВА) = р (В) · р (А/В). Следовательно,
р (А) · р (В/А) = р (В) · р (А/В).
(2.7)
Определение 2.3. Событие В называется независимым от события А, если появление
события А не изменяет вероятности В, то есть р (В/А) = р (В).
82
Замечание. Если событие В не зависит от А, то и А не зависит от В. Действительно, из (2.7)
следует при этом, что р (А) · р (В) = р (В) · р (А/В), откуда р (А/В) = р (А). Значит, свойство
независимости событий взаимно.
Теорема умножения для независимых событий имеет вид:
р (АВ) = р (А) · р (В) ,
(2.8)
то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.
При решении задач теоремы сложения и умножения обычно применяются вместе.
Пример. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания
при одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятности следующих
событий:
А – хотя бы одно попадание при двух выстрелах;
В – ровно одно попадание при двух выстрелах;
С – два попадания;
D – ни одного попадания.
Решение. Пусть событие Н1 – попадание первого стрелка, Н2 – попадание второго. Тогда
А = Н1 + Н2, В =Н1  Н 2  Н 1  Н 2 , С  Н 1  Н 2 , D  H 1  H 2 . События Н1 и Н2 совместны и
независимы, поэтому теорема сложения применяется в общем виде, а теорема умножения –
в виде (2.8). Следовательно, р(С) = 0,6·0,7 = 0,42,
р(А) = 0,6 + 0,7 – 0,42 = 0,88,
р(B) = 0,6·0,3 + 0,7·0,4 = 0,46 (так как события Н 1  Н 2 и Н 1  Н 2 несовместны),
р(D) = 0,4·0,3 = 0,12. Заметим, что события А и D являются противоположными, поэтому
р(А) = 1 – р(D).
Вероятность появления хотя бы одного события.
Теорема 2.4. Вероятность появления хотя бы одного из попарно независимых событий
А1, А2,…, Ап равна
р (А) = 1 – q1q2…qn ,
(2.9)
где qi – вероятность события Аi , противоположного событию Аi .
Доказательство.
Если событие А заключается в появлении хотя бы одного события из А1, А2,…, Ап, то
события А и А1 А2 ... Ап противоположны, поэтому по теореме 2.2 сумма их вероятностей
83
равна 1. Кроме того, поскольку А1, А2,…, Ап независимы, то независимы и А1 , А2 ,..., Ап ,
следовательно, р( А1 А2 ... Ап ) = р( А1 ) р( А2 )... р( Ап )  q1q 2 ...q n . Отсюда следует
справедливость формулы (2.9).
Пример. Сколько нужно произвести бросков монеты, чтобы с вероятностью не менее 0,9
выпал хотя бы один герб?
Решение. Вероятность выпадения герба при одном броске равна вероятности противоположного события (выпадения цифры) и равна 0,5. Тогда вероятность выпадения хотя бы
одного герба при п выстрелах равна 1- (0,5)п . Тогда из решения неравенства 1- (0,5)п > 0,9
следует, что п > log210 ≥ 4.
Лекция 3.
Формула полной вероятности и формула Байеса. Схема и формула Бернулли.
Приближение Пуассона для схемы Бернулли.
Определение 3.1. Пусть событие А может произойти только совместно с одним из событий
Н1, Н2,…, Нп, образующих полную группу несовместных событий. Тогда события Н1, Н2,…,
Нп называются гипотезами.
Теорема 3.1. Вероятность события А, наступающего совместно с гипотезами Н1, Н2,…, Нп,
равна:
n
р ( А)   p ( H i ) p ( A / H i ),
(3.1)
i 1
где p(Hi) – вероятность i- й гипотезы, а p(A/Hi) – вероятность события А при условии
реализации этой гипотезы. Формула (3.1) носит название формулы полной вероятности.
Доказательство.
Можно считать событие А суммой попарно несовместных событий АН1, АН2,…, АНп. Тогда
из теорем сложения и умножения следует, что
n
р ( А)  р ( АН 1  АН 2  ...  АН п )  р ( АН 1 )  р ( АН 2 )  ...  р ( АН п )   p ( H i ) p ( A / H i ),
i 1
что и требовалось доказать.
Пример. Имеются три одинаковые урны с шарами. В первой из них 3 белых и 4 черных
шара, во второй – 2 белых и 5 черных, в третьей – 10 черных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.
84
Решение. Будем считать гипотезами Н1, Н2 и Н3 выбор урны с соответствующим номером.
1
Так как по условию задачи все гипотезы равновозможны, то р( Н 1 )  р( Н 2 )  р( Н 3 )  .
3
3
Найдем условную вероятность А при реализации каждой гипотезы: р( А / Н 1 )  ,
7
р( А / Н 2 ) 
2
1 3 1 2 1
5
, р( А / Н 3 )  0. Тогда р( А)       0 
 0,238 .
7
3 7 3 7 3
21
Формула Байеса (теорема гипотез).
Пусть известен результат опыта, а именно то, что произошло событие А. Этот факт может
изменить априорные (то есть известные до опыта) вероятности гипотез. Например, в
предыдущем примере извлечение из урны белого шара говорит о том, что этой урной не
могла быть третья, в которой нет белых шаров, то есть р (Н3/А) = 0. Для переоценки
вероятностей гипотез при известном результате опыта используется формула Байеса:
р ( Н i / A) 
p( H i ) p( A / H i )
.
p ( A)
(3.2)
Действительно, из (2.7) получим, что p( A) p( H i / A)  p( H i ) p( A / H i ), откуда следует
справедливость формулы (3.2).
Пример. После двух выстрелов двух стрелков, вероятности попаданий которых равны 0,6 и
0,7, в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.
Решение. Пусть событие А – одно попадание при двух выстрелах, а гипотезы: Н1 – первый
попал, а второй промахнулся, Н2 – первый промахнулся, а второй попал, Н3 – оба попали,
Н4 – оба промахнулись. Вероятности гипотез: р(Н1) = 0,6·0,3 = 0,18, р(Н2) = 0,4·0,7 = 0,28,
р(Н3) = 0,6·0,7 = 0,42, р(Н4) = 0,4·0,3 = 0,12. Тогда р(А/Н1) = р(А/Н2) = 1,
р(А/Н3) = р(А/Н4) = 0. Следовательно, полная вероятность р(А) = 0,18·1 + 0,28·1 + 0,42·0 +
0,12·0 = 0,46. Применяя формулу Байеса, получим:
р ( Н 1 / А) 
0,18  1 9

 0,391 .
0,46
23
Схема повторения испытаний. Формула Бернулли.
Рассмотрим серию из п испытаний, в каждом из которых событие А появляется с одной и
той же вероятностью р, причем результат каждого испытания не зависит от результатов
остальных. Подобная постановка задачи называется схемой повторения испытаний.
Найдем вероятность того, что в такой серии событие А произойдет ровно к раз (неважно, в
какой последовательности). Интересующее нас событие представляет собой сумму равновероятных несовместных событий, заключающихся в том, что А произошло в некоторых к
испытаниях и не произошло в остальных п – к испытаниях. Число таких событий равно
числу сочетаний из п по к, то есть С пк , а вероятность каждого из них: pkqn-k, где q = 1 – p –
85
вероятность того, что в данном опыте А не произошло. Применяя теорему сложения для
несовместных событий, получим формулу Бернулли:
p n (k )  C nk  p k  q n k .
(3.3)
Пример. Для получения приза нужно собрать 5 изделий с особым знаком на этикетке.
Найти вероятность того, что придется купить 10 изделий, если этикетки с этим знаком
имеют 5% изделий.
Решение. Из постановки задачи следует, что последнее купленное изделие имеет особый
знак. Следовательно, из предыдущих девяти эти знаки имели 4 изделия. Найдем вероятность этого по формуле Бернулли: p9 (4)  C94  (0,05) 4  (0,95) 5  0,0006092 . Тогда
р = 0,0006092·0,05 = 0,0000304.
Приближение Пуассона для схемы Бернулли.
Формула Бернулли требует громоздких расчетов при большом количестве испытаний.
Можно получить более удобную для расчетов приближенную формулу, если при большом
числе испытаний вероятность появления А в одном опыте мала, а произведение пр = λ
сохраняет постоянное значение для разных серий опытов ( то есть среднее число появлений события А в разных сериях испытаний остается неизменным). Применим формулу
Бернулли:
n(n  1)( n  2)...( n  k  1) k
n(n  1)...( n  k  1)      
p n (k ) 
p (1  p) nk 
  1  
k!
k!
n  n
k
nk
.
Найдем предел полученного выражения при n   :
n
k
  1  2   k  1    n  k  k
k  
   


p n (k ) 
lim 1  1  1  ...1 
1 

lim 1   1   
 e  1.


k! n  n  n  
n  n   k! n n   n 
k!
k
Таким образом, формула Пуассона
p n (k ) 
k e  
k!
(3.4)
позволяет найти вероятность к появлений события А для массовых (п велико) и редких
мало) событий.
(р
Лекция 4.
Случайные величины. Закон распределения и функция распределения дискретной
случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона.
Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется и более
удобное понятие случайной величины.
86
Определение 4.1. Случайной величиной называется величина, принимающая в результате
опыта одно из своих возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно.
Будем обозначать случайные величины заглавными буквами латинского алфавита (Х,
Y,Z,…), а их возможные значения – соответствующими малыми буквами (xi, yi,…).
Примеры: число очков, выпавших при броске игральной кости; число появлений герба при
10 бросках монеты; число выстрелов до первого попадания в цель; расстояние от центра
мишени до пробоины при попадании.
Можно заметить, что множество возможных значений для перечисленных случайных
величин имеет разный вид: для первых двух величин оно конечно ( соответственно 6 и 11
значений), для третьей величины множество значений бесконечно и представляет собой
множество натуральных чисел, а для четвертой – все точки отрезка, длина которого равна
радиусу мишени. Таким образом, для первых трех величин множество значений из
отдельных (дискретных), изолированных друг от друга значений, а для четвертой оно
представляет собой непрерывную область. По этому показателю случайные величины
подразделяются на две группы: дискретные и непрерывные.
Определение 4.2. Случайная величина называется дискретной, если она принимает
отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.
Определение 4.3. Случайная величина называется непрерывной, если множество ее
возможных значений целиком заполняет некоторый конечный или бесконечный
промежуток.
Дискретные случайные величины.
Для задания дискретной случайной величины нужно знать ее возможные значения и
вероятности, с которыми принимаются эти значения. Соответствие между ними называется
законом распределения случайной величины. Он может иметь вид таблицы, формулы или
графика.
Таблица, в которой перечислены возможные значения дискретной случайной величины и
соответствующие им вероятности, называется рядом распределения:
xi
x1
x2
…
xn
…
pi
p1
p2
…
pn
…
Заметим, что событие, заключающееся в том, что случайная величина примет одно из своих
n()
возможных значений, является достоверным, поэтому  pi  1.
i 1
Пример. . Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания
при одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Составить ряд распределения
случайной величины Х – числа попаданий после двух выстрелов.
87
Решение. Очевидно, что Х может принимать три значения: 0, 1 и 2. Их вероятности
найдены в примере, рассмотренном в лекции 3. Следовательно, ряд распределения имеет
вид:
хi 0
1
2
pi 0,12 0,46 0,42
Графически закон распределения дискретной случайной величины можно представить в
виде многоугольника распределения – ломаной, соединяющей точки плоскости с
координатами (xi, pi).
x1
x2 x3
x4
x5
Функция распределения.
Определение 4.4. Функцией распределения F(x) случайной величины Х называется
вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее х:
F (x) = p (X < x).
(4.1)
Свойства функции распределения.
1) 0 ≤ F(x) ≤ 1.
Действительно, так как функция распределения представляет собой вероятность, она
может принимать только те значения, которые принимает вероятность.
2) Функция распределения является неубывающей функцией, то есть F(x2) ≥ F(x1) при
х2 > x1. Это следует из того, что F(x2) = p(X < x2) = p(X < x1) + p(x1 ≤ X < x2) ≥ F(x1).
3) lim F ( x)  0, lim F ( x)  1. В частности, если все возможные значения Х лежат на
x  
x  
интервале [a, b], то F(x) = 0 при х ≤ а и F(x) = 1 при х ≥ b. Действительно, X < a –
событие невозможное, а X < b – достоверное.
4) Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [a, b],
равна разности значений функции распределения на концах интервала:
p ( a < X < b ) = F(b) – F(a).
Справедливость этого утверждения следует из определения функции распределения
(см. свойство 2).
Для дискретной случайной величины значение F(x) в каждой точке представляет собой
сумму вероятностей тех ее возможных значений, которые меньше аргумента функции.
Пример. Найдем F(x) для предыдущего примера:
88

0, x  0

0,12, 0  x  1

F ( x)  
0,12  0,46  0,58, 1  x  2
 0,58  0,42  1, x  2
Соответственно график функции распределения имеет ступенчатый вид:
Биномиальное распределение.
Вернемся к схеме независимых испытаний и найдем закон распределения случайной
величины Х – числа появлений события А в серии из п испытаний. Возможные значения
А: 0, 1, …, п. Соответствующие им вероятности можно вычислить по формуле
Бернулли:
p( Х  k )  C nk p k q nk
(4.2)
( p – вероятность появления А в каждом испытании).
Такой закон распределения называют биномиальным, поскольку правую часть
равенства (4.2) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:
( p  q) n  C nn p n  C nn1 p n1q  ...  C nk p k q n k  ...  C n0 q n .
Пример. Составим ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий при 5
выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.
р(Х=0) = 1·(0,2)5 = 0,00032; р(Х=1) = 5·0,8·(0,2)4 = 0,0064; р(Х=2) = 10·(0,8)2·(0,2)3 =
0,0512; р(Х=3) = 10·(0,8)3·(0,2)2 = 0,2048; р(Х=4) = 5·(0,8)4·0,2 = 0,4096; р(Х=5) = 1·(0,8)5
= 0,32768. Таким образом, ряд распределения имеет вид:
х 0
1
2
3
4
5
89
р 0.00032 0.0064 0.0512 0.2048 0.4096 0.32728
Распределение Пуассона.
Рассмотрим дискретную случайную величину Х, принимающую только целые
неотрицательные значения (0, 1, 2,…, т,…), последовательность которых не
ограничена. Такая случайная величина называется распределенной по закону
Пуассона, если вероятность того, что она примет значение т, выражается формулой:
р ( Х  т) 
а т а
е ,
т!
(4.3)
где а – некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.
Покажем, что сумма всех вероятностей равна 1:


ат
р ( Х  т)  е 
 е а  е а  1

т 0
т  0 т!
а
(использовано разложение в ряд Тейлора функции ех).
Рассмотрим типичную задачу, приводящую к распределению Пуассона. Пусть на оси
абсцисс случайным образом распределяются точки, причем их распределение удовлетворяет следующим условиям:
1) вероятность попадания некоторого количества точек на отрезок длины l зависит
только от длины отрезка и не зависит от его расположения на оси ( то есть точки
распределены с одинаковой средней плотностью);
2) точки распределяются независимо друг от друга ( вероятность попадания какоголибо числа точек на данный отрезок не зависит от количества точек, попавший на
любой другой отрезок);
3) практическая невозможность совпадения двух или более точек.
Тогда случайная величина Х – число точек, попадающих на отрезок длины l – распределена по закону Пуассона, где а – среднее число точек, приходящееся на отрезок длины l.
Замечание. В лекции 3 говорилось о том, что формула Пуассона выражает биномиальное
распределение при большом числе опытов и малой вероятности события. Поэтому закон
Пуассона часто называют законом редких явлений.
Лекция 5.
Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины,
их взаимосвязь и свойства. Равномерное распределение вероятностей.
Определение и свойства функции распределения сохраняются и для непрерывной
случайной величины, для которой функцию распределения можно считать одним из видов
задания закона распределения. Но для непрерывной случайной величины вероятность
каждого отдельного ее значения равна 0. Это следует из свойства 4 функции
распределения: р(Х = а) = F(a) – F(a) = 0. Поэтому для такой случайной величины имеет
смысл говорить только о вероятности ее попадания в некоторый интервал.
90
Вторым способом задания закона распределения непрерывной случайной величины
является так называемая плотность распределения (плотность вероятности, дифференциальная функция).
Определение 5.1. Функция f(x), называемая плотностью распределения непрерывной
случайной величины, определяется по формуле:
f (x) = F′(x),
(5.1)
то есть является производной функции распределения.
Свойства плотности распределения.
1) f(x) ≥ 0, так как функция распределения является неубывающей.
x
2) F ( x)   f (t )dt , что следует из определения плотности распределения.

3) Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, b) определяется
b
формулой
р(а  X  b)   f ( x)dx.
a
b
a
b


a
Действительно, р(а  X  b)  F (b)  F (a)   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx.

4)
 f ( x)dx  1 (условие нормировки). Его справедливость следует из того, что


 f ( x)dx  F (), а lim F ( x)  1.

x  
5) lim f ( x)  0, так как F ( x)  const при x  .
x  
Таким образом, график плотности распределения представляет собой кривую, расположенную выше оси Ох, причем эта ось является ее горизонтальной асимптотой при x  
(последнее справедливо только для случайных величин, множеством возможных значений
которых является все множество действительных чисел). Площадь криволинейной
трапеции, ограниченной графиком этой функции, равна единице.
Замечание. Если все возможные значения непрерывной случайной величины сосредоточены на интервале [a, b], то все интегралы вычисляются в этих пределах, а вне интервала [a,
b] f(x) ≡ 0.
Пример 1. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана формулой
f ( x) 
C
,   x  .
1 x2
Найти: а) значение константы С; б) вид функции распределения; в) p(-1 < x < 1).
Решение. а) значение константы С найдем из свойства 4:
91

С
1  х 2 dx  Сarctgx
1


1
  
 C     C 1, откуда C  .

2 2
x
x
1
1
б) F ( x)  
dt  arctg t
2
 1  t

1


1
1
 1
1
 arctgx    arctgx  .

2 
2
1
1
в) p(1  x  1)  
dx  arctgx
2
 11  x

1

1
1   
    0,5.
 4 4
Пример 2. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

0, x  2
 x  2
F ( x)  
, 2 x4
2

 1, x  4.
Найти плотность распределения.
Решение.

0, x  2
 0, x  2



 x  2 
f ( x)  
 , 2  x  4  0,5, 2  x  4
 2 
 0, x  4.

1, x  4


Равномерный закон распределения.
Часто на практике мы имеем дело со случайными величинами, распределенными
определенным типовым образом, то есть такими, закон распределения которых имеет
некоторую стандартную форму. В прошлой лекции были рассмотрены примеры таких
законов распределения для дискретных случайных величин (биномиальный и Пуассона).
Для непрерывных случайных величин тоже существуют часто встречающиеся виды закона
распределения, и в качестве первого из них рассмотрим равномерный закон.
Определение 5.2. Закон распределения непрерывной случайной величины называется
равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения
случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение ( f(x) = const
при a ≤ x ≤ b, f(x) = 0 при x < a, x > b.
92
Найдем значение, которое принимает f(x) при x  [a, b]. Из условия нормировки следует,
b
b
a
a
что  f ( x)dx   cdx  c(b  a)  1, откуда f ( x)  c 
1
.
ba
Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервал

1
 
dx 
.
ba
 ba
[ ,  ] (a      b) равна при этом 
Вид функции распределения для нормального закона:

0, x  a
 x  a
F ( x)  
, a xb
b  a

1, x  b.
Пример. Автобусы некоторого маршрута идут с интервалом 5 минут. Найти вероятность
того, что пришедшему на остановку пассажиру придется ожидать автобуса не более 2
минут.
Решение. Время ожидания является случайной величиной, равномерно распределенной в
1
2
интервале [0, 5]. Тогда f ( x)  , p(0  x  2)   0,4.
5
5
Лекция 6.
Нормальный закон распределения вероятностей. Нормальная кривая. Функция
Лапласа. Вычисление вероятности попадания в заданный интервал нормальной
случайной величины. Правило трех сигм. Показательное распределение. Функция
надежности. Показательный закон надежности.
Определение 6.1. Непрерывная случайная величина называется распределенной по
нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид:
f ( x) 
1
 2

e
( xa )2
2 2
.
(6.1)
Замечание. Таким образом, нормальное распределение определяется двумя параметрами: а
и σ.
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой
Гаусса). Выясним, какой вид имеет эта кривая, для чего исследуем функцию (6.1).
1) Область определения этой функции: (-∞, +∞).
2) f(x) > 0 при любом х (следовательно, весь график расположен выше оси Ох).
93
3) lim f ( x)  0, то есть ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика при
| x|  
x  .
4)
f ( x)  
xa

3
2

( xa )2
 0 при х = а; f ( x)  0 при x > a, f ( x)  0 при x < a.
2 2
e

1 
 - точка максимума.
Следовательно,  a,
  2 
5) F(x – a) = f(a – x), то есть график симметричен относительно прямой х = а.
6)
f ( x)  
1
 3 2

( x a )2
e
2 2
 ( x  a) 2 
1 
0
 2 

при
x  a  ,
то
есть
точки

1 
 a   ,
 являются точками перегиба.
 2 e 

Примерный вид кривой Гаусса изображен на рис.1.
х
Рис.1.
Найдем вид функции распределения для нормального закона:
x
F ( x)   f (t )dt 

1
x
e
 2 

(t a )2
2 2
(6.2)
dt.

Перед нами так называемый «неберущийся» интеграл, который невозможно выразить
через элементарные функции. Поэтому для вычисления значений F(x) приходится
пользоваться таблицами. Они составлены для случая, когда а = 0, а σ = 1.
Определение 6.2. Нормальное распределение с параметрами а = 0, σ = 1 называется
нормированным, а его функция распределения
Ф( х ) 
1
х
е
2 

t2
2
dt -
(6.3)
- функцией Лапласа.
Замечание. Функцию распределения для произвольных параметров можно выразить
x a
через функцию Лапласа, если сделать замену: t 
94
xa

, тогда F ( х) 
1

е
2 

t2
2
dt .
Найдем вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на
заданный интервал:
 a
  a 
p (  x   )  F (  )  F ( )  
  
.
  
  
(6.4)
Пример. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами а = 3, σ
= 2. Найти вероятность того, что она примет значение из интервала (4, 8).
Решение.
8 3
 4 3
p (4  x  8)  F (8)  F (4)  
  
.   (2,5)   (0,5)  0,9938  0,6915  0,3023 .
 2 
 2 
Правило «трех сигм».
Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет
значение из интервала (а - 3σ, а + 3σ):
p(а  3  x  а  3 )  3   3  0,9986  0,0014  0.9973 .
Следовательно, вероятность того, что значение случайной величины окажется вне этого
интервала, равна 0,0027, то есть составляет 0,27% и может считаться пренебрежимо
малой. Таким образом, на практике можно считать, что все возможные значения
нормально распределенной случайной величины лежат в интервале (а - 3σ, а + 3σ).
Полученный результат позволяет сформулировать правило «трех сигм»: если
случайная величина распределена нормально, то модуль ее отклонения от х = а не
превосходит 3σ.
Показательное распределение.
Определение 6.3. Показательным (экспоненциальным) называют распределение
вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью
 0, x  0
f ( x)   x
e , x  0.
(6.5)
В отличие от нормального распределения, показательный закон определяется только
одним параметром λ. В этом его преимущество, так как обычно параметры
95
распределения заранее не известны и их приходится оценивать приближенно. Понятно,
что оценить один параметр проще, чем несколько.
Найдем функцию распределения показательного закона:
x
0
x


0
F ( x)   f (t )dt   0  dt    e t dt  1  e x . Следовательно,
 0, x  0
F ( x)  
 x
1  e , x  0.
(6.6)
Теперь можно найти вероятность попадания показательно распределенной случайной
величины в интервал (а, b):
p(a  x  b)  e a  e b .
(6.7)
Значения функции е-х можно найти из таблиц.
Функция надежности.
Пусть элемент (то есть некоторое устройство) начинает работать в момент времени t0 =
0 и должен проработать в течение периода времени t. Обозначим за Т непрерывную
случайную величину – время безотказной работы элемента, тогда функция
F(t)
= p(T > t) определяет вероятность отказа за время t. Следовательно, вероятность
безотказной работы за это же время равна
R(t) = p(T > t) = 1 – F(t).
(6.8)
Эта функция называется функцией надежности.
Показательный закон надежности.
Часто длительность безотказной работы элемента имеет показательное распределение,
то есть
F(t) = 1 – e-λt .
Следовательно, функция надежности в этом случае имеет вид:
R(t) = 1 – F(t) = 1 – (1 – e-λt) = e-λt .
96
Определение 6.4. Показательным законом
надежности, определяемую равенством
R(t) = e-λt ,
надежности
называют
функцию
(6.9)
где λ – интенсивность отказов.
Пример. Пусть время безотказной работы элемента распределено по показательному
закону с плотностью распределения f(t) = 0,1 e-0,1t при t ≥ 0. Найти вероятность того,
что элемент проработает безотказно в течение 10 часов.
Решение. Так как λ = 0,1, R(10
97
98
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный государственный университет»
(ДВГУ)
Институт химии и прикладной экологии
МАТЕРИАЛЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
по дисциплине «Математика»
Специальность —240802.65 Основные процессы химических производств и химическая
кибернетика
г. Владивосток
2009
99
Материалы приведены в отдельном файле.
В данном разделе представлены примеры практических заданий.
Методом сечений определите вид и название поверхности
𝑥2
𝑦2
𝑧2
𝑥2
𝑦2
𝑧2
1. 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐 2 = 1,
3. 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐 2 = 0,
𝑥2
𝑦2
𝑧2
𝑥2
𝑦2
𝑧2
𝑎
𝑏
𝑐
𝑦2
𝑧2
+ 2 + 2 = 1,
2
𝑥2
𝑥𝑧 = 𝑦
𝑦2
𝑥2
𝑦2
𝑧2
𝑦2
𝑥2
𝑦2
𝑧2
𝑦2
𝑥2
𝑧2
𝑧2
𝑦2
𝑧2
𝑥2
𝑦2
𝑧2
𝑎
𝑏
𝑐
𝑦2
𝑧2
+ 2 + 2 = −1,
2
𝑥2
𝑥2
𝑦2
𝑥2
𝑦2
𝑧2
𝑦2
𝑥2
𝑦2
𝑧2
𝑥2
𝑦2
𝑧2
𝑥2
𝑦2
𝑧2
− 𝑏2 = −2,
𝑎2
𝑥2
𝑧2
𝑥𝑦 = −𝑧
14. 𝑎2 − 𝑏2 = −2𝑦,
𝑥𝑦 = −𝑧 2 + 1
16. – 𝑎2 − 𝑏2 = 2𝑧,
𝑥𝑧 = −𝑦
18.– 𝑎2 + 𝑏2 = −2𝑧,
𝑥𝑧 = −𝑦 2 + 1
20. 𝑎2 + 𝑏2 = −2𝑥,
𝑦𝑧 = −𝑥
22. 𝑎2 + 𝑏2 = −2𝑧,
𝑦𝑧 = −𝑥 2 + 1
24. ,
𝑥2
𝑦2
𝑥2
𝑦2
𝑧2
𝑦2
𝑥2
𝑦2
29. 𝑎2 − 𝑏2 = −2,
31.– 𝑎2 + 𝑏2 – 𝑐 2 = 0,
33. – 𝑎2 + 𝑏2 – 𝑐 2 = −1,
35. – 𝑎2 – 𝑏2 + 𝑐 2 = −1,
𝑧2
28. 𝑎2 − 𝑏2 = −2,
𝑥2
𝑦2
𝑦2
𝑧2
𝑥2
𝑦2
𝑦2
𝑧2
30. 𝑎2 − 𝑏2 = +2,
𝑥2
32. – 𝑎2 + 𝑏2 – 𝑐 2 = 1,
𝑧2
34. – 𝑎2 – 𝑏2 + 𝑐 2 = 0,
𝑥2
𝑥𝑧 = 𝑦 2
𝑥𝑧 = 𝑦 2 − 1
𝑦𝑧 = −𝑥 2 − 1
𝑥2
𝑥2
𝑥𝑦 = 𝑧 2 − 1
𝑧2
12. 𝑎2 − 𝑏2 + 𝑐 2 = 0,
𝑦2
𝑥𝑦 = 𝑧 2
− 𝑏2 + 𝑐 2 = 1,
𝑎2
26. – 𝑎2 + 𝑏2 = −2𝑧,
25. ,
27.
𝑦2
𝑦𝑧 = 𝑥 2 + 1
17. 𝑎2 + 𝑏2 = −2𝑧,
23. – 𝑎2 + 𝑏2 = −2𝑥,
𝑥2
6. − 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 2 = 0,
10.
13. 𝑎2 − 𝑏2 = −2𝑧,
21. 𝑎2 + 𝑏2 = −2𝑦,
𝑧2
𝑦𝑧 = 𝑥
𝑧2
19. 𝑎2 − 𝑏2 = −2𝑥,
𝑦2
8. –
11. 𝑎2 − 𝑏2 + 𝑐 2 = −1,
15. 𝑎2 − 𝑏2 = −2𝑥,
𝑧2
𝑥2
𝑥𝑧 = 𝑦 2 + 1
9. – 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 2 = 0,
𝑥2
𝑦2
𝟐. 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐 2 = −1,
𝑥𝑦 = 𝑧 2 + 1 4. – 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 2 = 1,
5. − 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 2 = −1,
7. –
𝑥2
𝑥𝑦 = 𝑧
36. – 𝑎2 – 𝑏2 + 𝑐 2 = 1,
100
𝑦𝑧 = 𝑥 2
𝑦𝑧 = 𝑥 2 − 1
𝑥𝑦 = −𝑧 2
𝑥𝑦 = −𝑧 2 − 1
𝑥𝑧 = −𝑦 2
𝑥𝑧 = −𝑦 2 − 1
𝑦𝑧 = −𝑥 2
𝑥2
𝑦2
𝑥2
𝑦2
37. 𝑎2 − 𝑏2 = −4𝑧,
39. 𝑎2 − 𝑏2 = 4𝑧,
𝑥2
𝑦2
𝑥2
𝑦2
𝑥𝑧 = 2𝑦 2
38. 𝑎2 + 𝑏2 = −4𝑧,
𝑦𝑧 = 2𝑥 2
40. − 𝑎2 + 𝑏2 = −4𝑧,
101
𝑥𝑧 = 2𝑦 2 − 1
𝑦𝑧 = 2𝑥 2 − 1
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный государственный университет»
(ДВГУ)
ИНСТИТУТ ХИМИИ И ПРИКЛАДНОЙ ЭКОЛОГИИ
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
по дисциплине «Математика»
Специальность —240802.65 Основные процессы химических производств и химическая
кибернетика
г. Владивосток
2009
102
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №1
Изменить порядок интегрирования
1
0
0
0
2
 2 y
1
 y
.  dy  fdx   dy  fdx.
. Вычислить
 (12 x y  16 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x .
2
2
3
3
2
D
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y
3
, y  4e x , y  3, y  4.
x
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №2
Изменить порядок интегрирования
1
0
2
0
 y
1
0
 dy  fdx   dy
 fdx.
 2 y 2
. Вычислить
 (9 x y  48 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x .
2
2
3
3
2
D
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
x  36  y 2 , x  6  36  y 2 .
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №3
Изменить порядок интегрирования
1
y
2
2 y 2
0
0
1
2 y
 dy  fdx   dy  fdx.
. Вычислить
 (36 x y  96 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x .
2
2
3
3
3
3
D
103
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
x 2  y 2  72,6 y   x 2 ( y  0).
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №4
Изменить порядок интегрирования
1
y
2
2 y
0
0
1
0
 dy  fdx   dy  fdx.
. Вычислить
 (18 x y  32 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x .
2
2
3
3
3
3
D
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
x  8  y 2 , x  2 y.
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №5
Изменить порядок интегрирования
1
0
 2
 2 x 2
 dy 
0
0
1
x
fdx   dy  fdx.
. Вычислить
 (27 x y  48 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x ( x  0).
2
2
3
3
2
3
D
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y
3
, y  8e x , y  3, y  8.
x
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №6
Изменить порядок интегрирования
104
1/ 2
arcsin y
0
0
 dy

1
arccos y
1/ 2
0
fdx   dy
 fdx.
. Вычислить
 (18 x y  32 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x ( x  0).
2
2
3
3
2
3
D
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y
x
1
,y 
, x  16.
2
2x
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №7
Изменить порядок интегрирования
1
2 y
0
y
2
0
1
0
 dy  fdx   dy  fdx.
. Вычислить
 (18 x y  32 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x .
2
2
3
3
3
D
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
x  5  y 2 , x  4 y.
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №8
Изменить порядок интегрирования
1
0
e
 ln y
0
 y
1
1
 dy  fdx   dy  fdx.
. Вычислить
 (27 x y  48 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x .
2
2
3
3
3
D
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
x 2  y 2  12, 6 y  x 2 ( y  0).
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №9
Изменить порядок интегрирования
105
1
2 x 2
0
x2
 2
0
1
0
 dx  fdy   dx  fdy.
. Вычислить
 (4 xy  16 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x .
2
2
2
D
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y  12  x 2 , y  2 3  12  x 2 , x  0, ( x  0).
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №10
Изменить порядок интегрирования
 3
0
 dx
2

0
0
fdy   dx
 3
 4 x 2
 fdy.
4 x 2  2
. Вычислить  (12 xy  9 x 2 y 2 )dxdy; D : x  1, y  x , y   x 2 .
D
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y
3
3
x, y 
, x  9.
2
2x
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №11
Изменить порядок интегрирования
1
1
e
1
0
1 x 2
1
ln x
 dx  fdy   dx  fdy.
. Вычислить
 (8xy  9 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x .
2
2
3
3
D
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y  24  x 2 ,2 3 y  x 2 , x  0, ( x  0).
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №12
Изменить порядок интегрирования
1
3y
2
2 y
0
0
1
0
 dy  fdx   dy  fdx.
106
. Вычислить
 (24 xy  18 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x .
2
2
3
3
D
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y  sin x, y  cos x, x  0( x  0).
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №13
Изменить порядок интегрирования
 .4
sin y
 /2
cos y
0
0
 /4
0
 dy  fdx   dy  fdx.
. Вычислить
 (12 xy  27 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x ( x  0).
2
2
2
3
D
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y  20  x 2 , y  8x.
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №14
Изменить порядок интегрирования
1
 dx
2
0

( 2 x )
0
0
1
3x
fdy   dx  fdy.
. Вычислить
 (8xy  18 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x ( x  0).
2
2
3
2
D
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y  18  x 2 , y  3 2  18  x 2 .
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №15
Изменить порядок интегрирования
 /4
sin y
 /2
cos y
0
0
/4
0
 dy  fdx   dy  fdx.
107
. Вычислить
4
9

  5 xy  11 x y dxdy; D : x  1, y  x , y   x .
2
2
3
D
. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y  32  x 2 , y  4 x.
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №16
Изменить порядок интегрирования
1
0
2
0
 y
1
 dy  fdx   dy
0
 fdx.
 2 y
. Вычислить
4

  5 xy  9 x y dxdy; D : x  1, y  x , y   x .
2
2
3
D
. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y
2
, y  5e x , y  2, y  5.
x
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №17
Изменить порядок интегрирования
1
0
2
0
y
1
0
 dy  fdx   dy
 fdx.
 2 y 2
. Вычислить
 (24 xy  48 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x .
3
3
2
D
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
x 2  y 2  36,3 2 y  x 2 ( y  0).
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №18
Изменить порядок интегрирования
1
y3
2
2 y
0
0
1
0
 dy  fdx   dy  fdx.
. Вычислит
108
 (6 xy  24 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x .
3
3
2
D
. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
3
, x  4.
x
y  3 x, y 
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №19
Изменить порядок интегрирования
3
0
2
0
4 x 2  2
 dx 
0
fdy   dx
3
 fdy.
 4 x 2
. Вычислить
 (4 xy  16 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x .
3
3
3
3
D
. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y  6  36  x 2 , y  36  x 2 , x  0, ( x  0).
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №20
Изменить порядок интегрирования
1
 dy
2
0

( 2 y )
0
0
1
3y
fdx   dy  fdx.
. Вычислить
 (4 xy  16 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x .
3
3
3
3
D
. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y
25
5
 x2 , y  x  .
4
2
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №21
Изменить порядок интегрирования
1
y
e
1
0
0
1
ln y
 dy  fdx   dy  fdx.
. Вычислит
 (44 xy  16 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x ( x  0).
3
3
2
3
D
109
. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y  x, y 
1
, x  16.
x
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №22
Изменить порядок интегрирования
1
x2
2
2 x 2
0
0
1
0
 dx  fdy   dx  fdy.
. Вычислить
 (4 xy  176 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x ( x  0).
3
3
3
3
D
. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y
2
, y  7e x , y  2, y  7.
x
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №23
Изменить порядок интегрирования
 /4
sin x
 /2
cos x
0
0
 /4
0
 dx  fdy   dx  fdy.
. Вычислить
 ( xy  4 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x .
3
3
3
D
. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y  27  y 2 , x  6 y.
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №24
Изменить порядок интегрирования
1
1  dy
 2
0

0
0
1
y
fdx   dy  fdx.
 2 y 2
. Вычислить
 (4 xy  176 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x .
3
3
3
D
. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
110
x  72  y 2 ,6 x  y 2 , y  0( y  0).
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №25
Изменить порядок интегрирования
1
x3
2
2 x
0
0
1
0
1  dx  fdy   dx  fdy.
. Вычислить

25

  6 x y  3 x y dxdy; D : x  1, y  x , y   x .
2
2
3
3
2
D
. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y  6  x2 , y  6  6  x2 .
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №26
Изменить порядок интегрирования
3
2 4 x 2
0
0
1  dx

2
4 x 2
3
0
fdy   dx
 fdy.
. Вычислить
 (9 x y  25 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x .
2
2
4
4
2
D
. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y
3
3
x, y 
, x  4.
2
2x
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №27
Изменить порядок интегрирования
1
0
2
0
0
 x
1
 2 x
1  dx  fdy   dx  fdy.
. Вычислит

50

  3x y  3 x y dxdy; D : x  1, y  x , y   x .
2
2
4
4
3
3
D
. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y  sin x, y  cos x, x  0( x  0.
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
111
Вариант №28
Изменить порядок интегрирования
1
x
2
2 x 2
0
0
1
0
1  dx  fdy   dx  fdy.
. Вычислить
 (9 x y  25 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x .
2
2
4
4
3
3
D
. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y
1
, y  6e x , y  1, y  6.
x
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №29
Изменить порядок интегрирования
1
y
2
2 y 2
0
0
1
0
 dy  fdx   dy  fdx.
Вычислить
 (54 x y  150 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x ( x  0).
2
2
4
4
2
3
D
. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y  3 x, y 
3
, x  94.
x
Индивидуальное задание №1(двойные интегралы)
Вариант №30
Изменить порядок интегрирования
1
x
2
2 x
0
0
1
0
1  dx  fdy   dx  fdy.
. Вычислить
 ( xy  9 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x ( x  0).
5
5
3
2
D
. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y  11  x 2 , y  10 x.
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 1
112
1 На сельскохозяйственные работы из трех бригад выделяют по одному
человеку. Известно, что в первой бригаде 15 человек, во второй – 12, в третьей
– 10 человек. Определить число возможных групп по 3 человека, если
известно, что на сельскохозяйственные работы может быть отправлен каждый
рабочий..
2 Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «песня». Ребенок, не
умеющий читать, рассыпал буквы и затем собрал в произвольном порядке.
Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «песня». В ответ
записать число, имеющее три знака после запятой без округления.
3 . В телестудии три телевизионные камеры. Вероятности того, что в данный
момент камера включена, равны соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Найти
вероятность того, что в данный момент включены две камеры. Ответ записать
с тремя знаками после запятой без округления.
4 . 20 % приборов монтируется с применением микромодулей, остальные – с
применением интегральных схем. Надежность прибора с применением
микромодулей – 0,9, интегральных схем – 0,8. Найти: а) вероятность надежной
работы наугад взятого прибора; б) вероятность того, что прибор – с
микромодулем, если он был исправен. В ответ записать сумму полученных
чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.
5 . Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний
равна 0,25. Найти вероятность того, что событие наступит 54 раза в 243
испытаниях. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления,
учитывая, что φ1  0,2420 , φ1,2  0,1942
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 2
1. Пять пассажиров садятся в электропоезд, состоящий из 10 вагонов. Каждый
пассажир с одинаковой вероятностью может сесть в любой из 10 вагонов.
Определить число всех возможных вариантов размещения пассажиров в
поезде.
2 Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков
одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны.
Определить вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь две
окрашенные грани. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой
без округления.
3 . В телестудии три телевизионные камеры. Вероятности того, что в данный
момент камера включена, равны соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Найти
вероятность того, что в данный момент включено не более одной камеры.
Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления
4 . Детали попадают на обработку на один из трех станков с вероятностями,
равными соответственно 0,2; 0,3; 0,5. Вероятность брака на первом станке
равна 0,02, на втором – 0,03, на третьем – 0,01. Найти: а) вероятность того, что
случайно взятая после обработки деталь – стандартная; б) вероятность
обработки наугад взятой детали на втором станке, если она оказалась
113
стандартной. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя
знаками после запятой без округления
5 . Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний
равна 0,8. Найти вероятность того, что в 144 испытаниях событие наступит
120 раз. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления,
учитывая, что φ1  0,2420 , φ1,3  0,1714 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 3
1. Студенты данного курса изучают 12 дисциплин. В расписание занятий
каждый день включается по 3 предмета. Сколькими способами может быть
составлено расписание занятий на каждый день?
2 Из 10 билетов лотереи выигрышными являются 3. Найти вероятность того,
что взятые наудачу 2 билета – выигрышные. В ответ записать число, имеющее
три знака после запятой без округления.
3 . На железобетонном заводе изготавливают панели, 90 % из которых –
высшего сорта. Какова вероятность того, что из трех наугад выбранных
панелей хотя бы одна панель будет высшего сорта? Ответ записать с тремя
знаками после запятой без округления.
4 . Среди поступивших на сборку деталей 30 % – с завода № 1, остальные – с
завода № 2. Вероятность брака для завода № 1 равна 0,02, для завода № 2 –
0,03. Найти: а) вероятность того, что наугад взятая деталь стандартная; б)
вероятность изготовления наугад взятой детали на заводе № 1, если она
оказалась стандартной. В ответ записать сумму полученных чисел,
записанных с двумя знаками после запятой без округления
5 . Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний
равна 0,2. Найти вероятность того, что событие наступит 25 раз в 100
испытаниях. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления,
учитывая, что φ1,25  0,1826 , φ1  0,2420 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 4
1. Восемь человек договорились ехать в одном поезде, состоящем из восьми
вагонов. Сколькими способами можно распределить этих людей по вагонам,
если в каждый вагон сядет по одному человеку
2 В лифт шестиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из
них с одинаковой вероятностью выйдет на любом из этажей, начиная со
второго. Найти вероятность того, что все пассажиры выйдут на четвертом
этаже. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без
округления.
3 . На железобетонном заводе изготавливают панели, 90 % из которых –
высшего сорта. Какова вероятность того, что из трех наугад выбранных
114
панелей будет не более одной панели высшего сорта? Ответ записать с тремя
знаками после запятой без округления
4 . Комплектовщик получает для сборки 30 % деталей с завода № 1, 20 % – с
завода № 2, остальные – с завода № 3. Вероятность того, что деталь с завода
№ 1 – высшего качества, равна 0,9, для деталей с завода № 2 – 0,8, для деталей
с завода № 3 – 0,6. Найти вероятность того, что: а) случайно взятая деталь –
высшего качества; б) наугад взятая деталь высшего качества изготовлена на
заводе № 2. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя
знаками после запятой без округления
5 . Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний
равна 0,7. Найти вероятность того, что событие наступит 1470 раз. Ответ
записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что
φ0  0,3989 , φ1  0,2420 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 5
1. В шахматном турнире участвовало 14 шахматистов, каждый из них сыграл с
каждым по одной партии. Сколько всего сыграно партий
2 Из букв разрезной азбуки составлено слово «ремонт». Карточки с
отдельными буквами тщательно перемешивают, затем наугад вытаскивают 4
карточки и раскладывают их в порядке извлечения. Какова вероятность
получения при этом слова «море»? В ответ записать число, имеющее три знака
после запятой без округления.
3 .. В блок входят три радиолампы. Вероятности выхода из строя в течение
гарантийного срока для них равны соответственно 0,3; 0,2; 0,4. Какова
вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдут из строя не менее
двух радиоламп. Ответ записать с тремя знаками после запятой без
округления.
4 . Три автомата изготавливают однотипные детали, которые поступают на
общий конвейер. Производительности первого, второго и третьего автоматов
соотносятся как 2:3:5. Вероятность того, что деталь с первого автомата –
высшего качества, равна 0,8, для второго – 0,6, для третьего – 0,7. Найти
вероятность того, что: а) наугад взятая с конвейера деталь окажется высшего
качества; б) взятая наугад деталь высшего качества изготовлена первым
автоматом. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя
знаками после запятой без округления
5 . Вероятность производства бракованной детали равна 0,008. Найти
вероятность того, что из взятых на проверку 1000 деталей 2 бракованных.
Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления, учитывая, что
e  2,72 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 6
115
.1 На конференцию из трех групп студентов одной специальности выбирают
по одному делегату. Известно, что в первой группе 25, во второй – 28 и в
третьей – 20 человек. Определить число возможных делегаций, если известно,
что каждый студент из любой группы с одинаковой вероятностью может
войти в состав делегации.
2 .В группе спортсменов 7 лыжников и 3 конькобежца. Из нее случайным
образом выделены три спортсмена. Найти вероятность того, что все
выбранные спортсмены окажутся лыжниками. В ответ записать число,
имеющее три знака после запятой без округления
3 . В блок входят три радиолампы. Вероятности выхода из строя в течение
гарантийного срока для них равны соответственно 0,3; 0,2; 0,4. Какова
вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдет из строя хотя бы
одна радиолампа? Ответ записать с тремя знаками после запятой без
округления.
4 . Заготовка может поступить для обработки на один из двух станков с
вероятностями 0,4 и 0,6 соответственно. При обработке на первом станке
вероятность брака составляет 2 %, на втором – 3 %. Найти вероятность того,
что: а) наугад взятое после обработки изделие – стандартное; б) наугад взятое
после обработки стандартное изделие обработано на первом станке. В ответ
записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой
без округления.
5 . Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний
равна 0,2. Найти вероятность того, что событие наступит 20 раз в 100
испытаниях. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления,
учитывая, что φ0  0,3989 , φ1  0,2420 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 7
1 .Из девяти значащих цифр составляются трехзначные числа. Сколько
различных чисел может быть составлено?
2 . Из восьми книг две художественные. Найти вероятность того, что среди
взятых наугад четырех книг хотя бы одна художественная. В ответ записать
число, имеющее три знака после запятой без округления
3 . При одном цикле обзора трех радиолокационных станций, следящих за
космическим кораблем, вероятности его обнаружения соответственно равны
0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что при одном цикле обзора корабль
будет обнаружен не менее чем двумя станциями. Ответ записать с тремя
знаками после запятой без округления.
4 . На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака
для станка № 1 составляет 0,03, для станка № 2 – 0,02. Обработанные детали
складываются в одном месте, причем деталей, обработанных на станке № 1,
вдвое больше, чем на станке № 2. Найти вероятность того, что: а) взятая
наугад деталь будет стандартной; б) наугад взятая стандартная деталь
116
изготовлена на первом станке. В ответ записать сумму полученных чисел,
записанных с двумя знаками после запятой без округления
5 . Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от
друга. Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,002.
Найдите вероятность того, что за час откажут 4 элемента. Ответ записать с
двумя знаками после запятой без округления, учитывая, что е  2,72 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 8
1. Сколько различных четырехзначных чисел можно записать с помощью
девяти значащих цифр, из которых ни одна не повторяется
2 На полке 6 радиоламп, из которых две негодные. Случайным образом
отбираются две радиолампы. Какова вероятность того, что они годны для
использования? В ответ записать число, имеющее один знак после запятой без
округления.
3 . При одном цикле обзора трех радиолокационных станций, следящих за
космическим кораблем, вероятности его обнаружения соответственно равны:
0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что при одном цикле обзора корабль
будет обнаружен двумя станциями. Ответ записать с тремя знаками после
запятой без округления
4 . В дисплейном классе имеется 10 персональных компьютеров первого типа
и 15 второго типа. Вероятность того, что за время работы на компьютере
первого типа не произойдет сбоя, равна 0,9, а на компьютере второго типа –
0,7. Найти вероятность того, что: а) на случайно выбранном компьютере за
время работы не произойдет сбоя; б) компьютер, во время работы на котором
не произошло сбоя, – первого типа. В ответ записать сумму полученных
чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округл
5 . Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 100 деталей 55 окажутся
отполированными, если в общей массе деталей имеется поровну
отполированных и неотполированных. Ответ записать с тремя знаками после
запятой без округления, учитывая, что φ0  0,3989 , φ1  0,2420 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 9
1. В пассажирском поезде 5 вагонов. Сколькими способами можно размещать
вагоны, составляя этот поезд?
2 .В запасе ремонтной мастерской 10 поршневых колец, три из них
восстановленные. Определить вероятность того, что среди взятых наугад
четырех колец два окажутся восстановленными? В ответ записать число,
имеющее один знак после запятой без округления
3 . Трое рабочих собирают подшипники. Вероятность того, что подшипник,
собранный первым рабочим, высшего качества, равна 0,7, вторым – 0,8,
третьим – 0,6. Для контроля взято по одному подшипнику из собранных
117
каждым рабочим. Какова вероятность того, что будут ровно два подшипника
высшего качества? Ответ записать с тремя знаками после запятой без
округления.
4 . Вероятность того, что во время работы ЭВМ возникнет сбой в
арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах
относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом
устройстве, в оперативной памяти и остальных устройствах соответственно
равны 0,8; 0,9; 0,9. а) Найти вероятность того, что возникший в ЭВМ сбой
будет обнаружен. б) Во время работы ЭВМ был обнаружен сбой. Найти
вероятность того, что он возник в оперативной памяти. В ответ записать
сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без
округления.
5 . Семена содержат 0,1 % сорняков. Какова вероятность при случайном
отборе 2000 семян обнаружить 5 семян сорняков. Ответ записать с тремя
знаками после запятой без округления, учитывая, что е  2,72 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 10
1. Из 10 кандидатов на одну и ту же должность должно быть выбрано 3.
Определить все возможные варианты результатов выборов.
2 .Шесть студентов условились ехать определенным рейсом электропоезда с 6
вагонами, но не договорились о номере вагона. Какова вероятность того, что
ни один из них не встретится с другим, если возможности в размещении
студентов по вагонам равновероятны? В ответ записать число, имеющее три
знака после запятой без округления
3 . Трое рабочих собирают подшипники. Вероятность того, что подшипник,
собранный первым рабочим, высшего качества, равна 0,7, вторым – 0,8,
третьим – 0,6. Для контроля взято по одному подшипнику из собранных
каждым рабочим. Какова вероятность того, что будет хотя бы один
подшипник высшего качества? Ответ записать с тремя знаками после запятой
без округления
4 . По линии связи передано два сигнала типов А и В с вероятностями
соответственно 0,8 и 0,2. В среднем принимается 60 % сигналов типа А и 70 %
типа В. Найти вероятность того, что: а) посланный сигнал будет принят; б)
принятый сигнал – типа А. В ответ записать сумму полученных чисел,
записанных с двумя знаками после запятой без округления
5 . Найти вероятность одновременного останова 30 машин из 100 работающих,
если вероятность останова для каждой машины равна 0,2. Ответ записать с
тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что φ2,5  0,0175 ,
φ3  0,0044 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 11
118
1. Бригадир должен отправить на работу звено из 5 человек. Сколько таких
звеньев можно составить из 12 человек бригады?
2 . Билеты лотереи выпущены на общую сумму 10 000 у.е. Цена билета 0,5 у.е.
Ценные выигрыши падают на 50 билетов. Определить вероятность ценного
выигрыша на один билет. В ответ записать число, имеющее три знака после
запятой без округления.
3 . Первый станок-автомат дает 10 % брака, второй – 15 %, а третий – 20 %.
Случайным образом отобрали по одной детали с каждого станка. Какова
вероятность того, что стандартной окажется ровно одна деталь? Ответ
записать с тремя знаками после запятой без округления.
4 . Для сигнализации о том, что режим работы автоматической линии
отклоняется от нормального, используются индикаторы двух типов.
Вероятности того, что индикатор принадлежит к одному из двух типов, равны
соответственно 0,4 и 0,6. При нарушении работы линии вероятность
срабатывания индикатора первого типа равна 0,9, второго – 0,7. а) Найти
вероятность того, что наугад выбранный индикатор сработает при нарушении
нормальной работы линии, б) Индикатор сработал. Найти вероятность того,
что он принадлежит первому типу. В ответ записать сумму полученных чисел,
записанных с двумя знаками после запятой без округления
5 . Вероятность того, что при автоматической штамповке изделий отдельное
изделие окажется бракованным (т.е. с отклонениями от стандарта) постоянна и
равна 0,05. Какова вероятность того, что в партии из 1000 изделий встретится
ровно 40 бракованных? Ответ записать с двумя знаками после запятой без
округления, учитывая, что φ0  0,3989 , 1,45  0,1394
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 12
1. Сколько прямых линий можно провести через 8 точек, если известно, что
любые три из них не лежат на одной прямой?
2 . В группе из 8 спортсменов шесть мастеров спорта. Найти вероятность того,
что из двух случайным образом отобранных спортсменов хотя бы один –
мастер спорта. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без
округления.
3 . Первый станок-автомат дает 10 % брака, второй – 15 %, а третий – 20 %.
Случайным образом отобрали по одной детали с каждого станка. Какова
вероятность того, что стандартной окажется хотя бы одна деталь? Ответ
записать с тремя знаками после запятой без округления.
4 . Резистор, поставленный в телевизор, может принадлежать к одной из двух
партий с вероятностями 0,6 и 0,4. Вероятности того, что резистор проработает
гарантийное число часов, для этих партий равны соответственно 0,8 и 0,7. а)
Найти вероятность того, что взятый наугад резистор проработает гарантийное
число часов, б) Резистор проработал гарантийное число часов. Найти
вероятность того, что он принадлежит ко второй партии. В ответ записать
119
сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без
округления.
5 . Найти вероятность поражения мишени 75 раз при 100 выстрелах, если
вероятность поражения при одном выстреле равна 0,8. Ответ записать с тремя
знаками после запятой без округления, учитывая, что φ1,25  0,1826 ,
φ2,5  0,0175 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 13
1. Сколькими способами можно составить патруль из трех солдат и одного
офицера, если имеется 20 солдат и 3 офицера?
2 .Определить вероятность того, что серия наудачу выбранной облигации не
содержит одинаковых цифр, если номер серии может быть любым
пятизначным числом, начиная с 00001. В ответ записать число, имеющее три
знака после запятой без округления
3 . В цехе имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них
вероятность того, что в данный момент он включен, соответственно равна 0,2;
0,3; 0,1. Найти вероятность того, что включены ровно два электродвигателя.
Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления
4 . При отклонении от штатного режима работы поточной линии срабатывают
сигнализатор типа Т-1 с вероятностью 0,9 и сигнализатор типа Т-2 с
вероятностью 0,8. Вероятности того, что линия снабжена сигнализаторами
типов Т-1 и Т-2, равны соответственно 0,7 и 0,3. а) Найти вероятность того,
что при отклонении от штатного режима работы сигнализатор сработает, б)
Сигнализатор сработал. Найти вероятность того, что он принадлежит к
первому типу. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя
знаками после запятой без округления
5 . Станок состоит из 2000 независимо работающих узлов. Вероятность отказа
одного узла в течение года равна 0,0005. Найти вероятность отказа в течение
года двух узлов. Ответ записать с тремя знаками после запятой без
округления, учитывая, что e  2,72 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 14
1. Сколькими способами 3 награды могут быть распределены между 10
участниками соревнования?
2 .Из 25 билетов, пронумерованных числами от 1 до 25, наугад вынимают
один. Найти вероятность того, что номер извлеченного билета есть число, не
делящееся ни на 2, ни на 3, ни на 5. В ответ записать число, имеющее два
знака после запятой без округления
3 . В цехе имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них
вероятность того, что в данный момент он включен, соответственно равна 0,2;
120
0,3; 0,1. Найти вероятность того, что включен хотя бы один электродвигатель.
Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления
4 . Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено 10
человек из первой группы и 8 из второй. Вероятность того, что студент первой
группы попадет в сборную института, равна 0,8, а для студента второй группы
– 0,7. а) Найти вероятность того, что случайно выбранный студент попал в
сборную института. б) Студент попал в сборную института. Найти
вероятность того, что он учится во второй группе. В ответ записать сумму
полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.
5 . Промышленная телевизионная установка содержит 2000 транзисторов.
Вероятность выхода из строя каждого из транзисторов равна 0,0005. Найти
вероятность выхода из строя хотя бы одного транзистора. Ответ записать с
тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что e  2,72 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 15
1. Сколькими различными способами можно избрать из 15 человек делегацию
в составе трех человек?
2 .Буквенный замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых
разделен на 3 сектора с различными нанесенными на них буквами. Замок
открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно
определенное положение относительно корпуса замка. Определить
вероятность открытия замка, если установлена произвольная комбинация
букв. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без
округления
3 . На участке кросса для мотоциклиста-гонщика имеется три препятствия.
Вероятность успешного прохождения первого препятствия равна 0,4, второго
– 0,5, третьего – 0,6. Найти вероятность успешного преодоления не менее двух
препятствий. Ответ записать с одним знаком после запятой без округления.
4 . На сборку поступают детали с трех конвейеров. Первый дает 25 %, второй
– 30 % и третий – 45 % деталей, поступающих на сборку. С первого конвейера
в среднем поступает 2 % брака, со второго – 3 %, с третьего – 1 %. Найти
вероятность того, что: а) на сборку поступила бракованная деталь; б)
поступившая на сборку бракованная деталь – со второго конвейера. В ответ
записать сумму полученных чисел, записанных с одной знаком после запятой
без округления.
5 . Средний процент нарушения работы кинескопа телевизора в течение
гарантийного срока равен 12. Вычислить вероятность того, что из 46
наблюдаемых телевизоров 36 выдержат гарантийный срок. Ответ записать с
тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что φ2,04   0,0498 ,
φ2,8  0,0079 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
121
Вариант № 16
1. Сколькими различными способами собрание, состоящее из 20 человек,
может выбрать председателя собрания, его заместителя и секретаря
2 Партия из 100 деталей проверяется контролером, который наугад отбирает
10 деталей и определяет их качество. Если среди выбранных контролером
деталей нет ни одной бракованной, то вся партия принимается. В противном
случае ее посылают на дополнительную проверку. Какова вероятность того,
что партия деталей, содержащая 5 бракованных, будет принята контролером?
В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.
3 . На участке кросса для мотоциклиста-гонщика имеется три препятствия.
Вероятность успешного прохождения первого препятствия равна 0,4, второго
– 0,5, третьего – 0,6. Найти вероятность успешного преодоления двух
препятствий. Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления.
4 . В двух коробках имеются однотипные конденсаторы. В первой 20
конденсаторов, из них 2 неисправных, во второй – 10, из них 3 неисправных.
а) Найти вероятность того, что наугад взятый конденсатор из случайно
выбранной коробки годен к использованию. б) Наугад взятый конденсатор
оказался годным. Найти вероятность того, что конденсатор взят из первой
коробки. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя
знаками после запятой без округления
5 . Вероятность появления события в каждом из 2000 независимых испытаний
равна 0,7. Найти вероятность того, что событие наступит 1400 раз. Ответ
записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что
φ0  0,3989 , φ1  0,2420 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 17
1. Сколькими способами можно выбрать два карандаша и три ручки из пяти
различных карандашей и пяти различных ручек?
2 За выполнение контрольной работы 24 студента получили следующие
оценки: 8 студентов – «отлично», 6 – «хорошо», 6 – «удовлетворительно», 4 –
«неудовлетворительно». Найти вероятность того, что работа наугад взятого
студента оценена положительно. В ответ записать число, имеющее три знака
после запятой без округления.
3 . Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй –
0,7, третий –0,6. Вычислить вероятность того, что студент сдаст два экзамена.
Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления
4 . В телевизионном ателье имеется 2 кинескопа первого типа и 8 второго
типа. Вероятность выдержать гарантийный срок для кинескопов первого типа
равна 0,9, а для второго типа – 0,6. Найти вероятность того, что: а) взятый
наугад кинескоп выдержит гарантийный срок; б) взятый наугад кинескоп,
выдержавший гарантийный срок, первого типа. В ответ записать сумму
полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.
122
5 . Вероятность появления события в каждом из 21 независимого испытания
равна 0,7. Найти вероятность того, что событие наступит не менее 11 раз.
Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что
Ф1,76   0,4608 , Ф1  0,3413 , Ф2,18  0,4854 , Ф3  0,49865 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 18
1. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (без повторений)?
2 Подбросили 3 монеты. Найти вероятность того, что хотя бы один раз выпал
герб. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без
округления.
3 . Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй –
0,7, третий – 0,6. Вычислить вероятность того, что студент сдаст не менее двух
экзаменов. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.
4 . У сборщика 16 деталей, изготовленных на заводе № 1, и 10 деталей,
изготовленных на заводе № 2. Вероятности того, что детали выдержат
гарантийный срок, равны соответственно для деталей с завода № 1 – 0,8; с
завода № 2 – 0,9. а) Найти вероятность того, что взятая наугад деталь
выдержит гарантийный срок. б) Взятая наугад деталь выдержала гарантийный
срок. Найти вероятность того, что деталь изготовлена на заводе № 2. В ответ
записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой
без округления
5 . Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на
одном веретене в течение 1 мин равна 0,004. Найти вероятность того, что в
течение 1 мин обрыв произойдет на шести веретенах. Ответ записать с тремя
знаками после запятой без округления, учитывая, что е  2,72 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 19
1. Сколькими способами можно смоделировать флаг, состоящий из трех
горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти
различных цветов?
2 .Из коробки, содержащей карточки с буквами «о», «н», «к», «ь», наугад
вынимают одну карточку за другой и располагают в порядке извлечения.
Какова вероятность того, что в результате получится слово «конь»? В ответ
записать число, имеющее три знака после запятой без округления
3 . Самолет противника обнаруживается тремя радиолокаторами с
вероятностями 0,8; 0,7; 0,5. Какова вероятность обнаружения самолета двумя
радиолокаторами? Ответ записать с двумя знаками после запятой без
округления.
123
4 . Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире», они
встречаются в передаваемых сообщениях в отношении 5 : 3 . Статические
свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка» и
1/3 сообщений «тире». Найти вероятность того, что: а) передаваемый сигнал
принят; б) принятый сигнал – «тире». В ответ записать сумму полученных
чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.
5 . Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний
равна 0,5. Найти вероятность того, что событие наступит 450 раз. Ответ
записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что
φ0  0,3989 , φ2  0,0540 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 20
1. Из 4 первокурсников, 5 второкурсников и 6 третьекурсников надо выбрать 3
студента на конференцию. Сколькими способами можно осуществить этот
выбор, если среди выбранных должны быть студенты разных курсов?
2 . Из пруда, в котором плавают 40 щук, выловили 5 щук, пометили их и
пустили обратно в пруд. Во второй раз выловили 9 щук. Какова вероятность,
что среди них окажутся только две помеченные щуки? В ответ записать число,
имеющее три знака после запятой без округления.
3 . Самолет противника обнаруживается тремя радиолокаторами с
вероятностями 0,8; 0,7; 0,5. Какова вероятность обнаружения самолета хотя
бы одним радиолокатором? Ответ записать с двумя знаками после запятой без
округления.
4 . Для поисков спускаемого аппарата космического корабля выделено 4
вертолета первого типа и 6 вертолетов второго типа. Каждый вертолет первого
типа обнаруживает находящийся в районе поиска аппарат с вероятностью 0,6,
второго типа – с вероятностью 0,7. а) Найти вероятность того, что наугад
выбранный вертолет обнаружит аппарат. б) Вертолет обнаружил спускаемый
аппарат. Найти вероятность того, что он принадлежит к первому типу. В ответ
записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой
без округления
5 . Вероятность того, что изделие – высшего сорта, равна 0,5. Найти
вероятность того, что из 1000 изделий 500 – высшего сорта. Ответ записать с
тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что φ0  0,3989 ,
φ1  0,2420 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 21
1. При встрече 12 человек обменялись рукопожатиями. Сколько рукопожатий
было сделано при этом?
2 .Пятитомное собрание сочинений расположено на полке в случайном
порядке. Найти вероятность того, что книги стоят слева направо в порядке
124
нумерации томов (от 1 до 5). В ответ записать число, имеющее три знака после
запятой без округления
3 . Три команды спортивного общества А состязаются соответственно с тремя
командами общества В. Вероятности выигрышей первой, второй и третьей
команд из общества А у соответствующих команд из общества В равны 0,7;
0,6; 0,4. Команды провели по одной встрече. Какова вероятность того, что
команды общества А выиграют две встречи? Ответ записать с тремя знаками
после запятой без округления
4 . Прибор состоит из двух узлов одного типа и трех узлов второго типа.
Надежность работы в течение времени Т для узла первого типа равна 0,8, а для
узла второго типа – 0,7. а) Найти вероятность того, что наугад выбранный узел
проработает в течение времени Т. б) Узел проработал гарантийное время Т.
Найти вероятность того, что он принадлежит ко второму типу. В ответ
записать сумму полученных чисел, записанных с одним знаком после запятой
без округления.
5 . Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний
равна 0,8. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие наступит не
менее 70 и не более 80 раз. Ответ записать с тремя знаками после запятой без
округления,
учитывая,
что
Ф0  0, Ф2,5  0,4938 ,
Ф1  0,3413 ,
Ф2  0,4772 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 22
1. Сколькими способами можно выставить на игру футбольную команду,
состоящую из трех нападающих, трех полузащитников, четырех защитников и
вратаря, если всего в команде 6 нападающих, 3 полузащитника, 6 защитников
и 1 вратарь?
2 . Из пяти карточек с буквами «а», «б», «в», «г», «д» наугад одну за другой
выбирают две и располагают их в порядке извлечения. Какова вероятность
того, что получится слово «да»? В ответ записать число, имеющее два знака
после запятой без округления
3 . Три команды спортивного общества А состязаются соответственно с тремя
командами общества В. Вероятности выигрышей первой, второй и третьей
команд из общества А у соответствующих команд из общества В равны 0,7;
0,6; 0,4. Команды провели по одной встрече. Какова вероятность того, что
команды общества А выиграют хотя бы две встречи? Ответ записать с тремя
знаками после запятой без округления
4 . Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс
вокзала А или в одну из пяти касс вокзала В. Вероятность того, что к моменту
прихода пассажира в кассах вокзала А имеются в продаже билеты, равна 0,6, в
кассах вокзала В – 0,5. а) Найти вероятность того, что в наугад выбранной
кассе имеется в продаже билет. б) Пассажир купил билет. Найти вероятность
того, что он купил билет в кассе вокзала В. В ответ записать сумму
полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.
125
5 . Вероятность того, что изделие – высшего качества, равна 0,5. Найти
вероятность того, что из 400 изделий число изделий высшего качества
составит от 194 до 208. Ответ записать с тремя знаками после запятой без
округления, учитывая, что Ф0,8  0,2881; Ф0,6  0,2257 , Ф0,77   0,2794 ,
Ф1,1  0,3643 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 23
1. Сколько перестановок можно сделать из букв слова «ракета», чтобы все они
начинались с буквы «р»?
2 В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что извлеченные
наугад два шара окажутся черными? В ответ записать число, имеющее три
знака после запятой без округления
3 . Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что
первый станок в течение смены выйдет из строя, равна 0,1, второй – 0,2 и
третий – 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены выйдут из строя не
менее двух станков. Ответ записать с тремя знаками после запятой без
округления.
4 . Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс
вокзала А или в одну из пяти касс вокзала В. Вероятность того, что к моменту
прихода пассажира в кассах вокзала А имеются в продаже билеты, равна 0,6, в
кассах вокзала В – 0,5. а) Найти вероятность того, что в наугад выбранной
кассе имеется в продаже билет. б) Пассажир купил билет. Найти вероятность
того, что он купил билет в кассе вокзала В. В ответ записать сумму
полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.
5 . Найти вероятность того, что при 400 испытаниях событие появится 200
раз, если вероятность его наступления в каждом независимом испытании
равна 0,2. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления,
учитывая, что φ0  0,3989 , φ3  0,0044 .
.Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 24
1. Профсоюзное бюро факультета, состоящее из 9 человек, на своем заседании
должно избрать председателя, его заместителя и казначея. Сколько различных
случаев при этом может быть
2 . Мальчик забыл две последние цифры номера телефона одноклассника и
набрал их наугад, помня только, что эти цифры нечетны и различны. Найти
вероятность того, что номер набран правильно. В ответ записать число,
имеющее два знака после запятой без округления
3 . Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что
первый станок в течение смены выйдет из строя, равна 0,1, второй – 0,2 и
третий – 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены выйдут из строя
ровно два станка. Ответ записать с тремя знаками после запятой без
округления.
126
4 В вычислительной лаборатории 40 % микрокалькуляторов и 60 %
компьютеров. Во время расчета 90 % микрокалькуляторов и 80 %
компьютеров работают безотказно. а) Найти вероятность того, что наугад
взятая вычислительная машина проработает безотказно во время расчета. б)
Выбранная машина проработала безотказно во время расчета. Найти
вероятность того, что это был компьютер. В ответ записать сумму полученных
чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.
5 . Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что
из 900 посаженных семян число проросших будет заключено между 790 и 830.
Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что
Ф0,15  0,0596 , Ф1,2  0,3849 , Ф2,22  0,4868 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 25
1. Сколько перестановок можно сделать из букв слова «ракета», чтобы все
они начинались с буквы «р»?
2 . В урне 5 шаров: красный, желтый, синий, зеленый и белый. Случайным
образом их вынимают из урны. Найти вероятность того, что они будут
извлечены в следующем порядке: белый, синий, желтый, красный, зеленый. В
ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.
3 . Три автомата изготавливают детали. Вероятность того, что деталь,
изготовленная первым автоматом, высшего качества, равна 0,9, для второго –
0,7, для третьего – 0,6. Наугад берут по одной детали с каждого автомата.
Найти вероятность того, что из взятых деталей две высшего качества. Ответ
записать с тремя знаками после запятой без округления
4 В состав блока входят 6 радиоламп первого типа и 10 второго. Гарантийный
срок обычно выдерживают 80 % радиоламп первого типа и 90 % второго типа.
Найти вероятность того, что: а) наугад взятая радиолампа выдержит
гарантийный срок; б) радиолампа, выдержавшая гарантийный срок, первого
типа. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с одним знаком
после запятой без округления.
5 . Вероятность рождения мальчика равна 0,5. Найти вероятность того, что из
1000 рождающихся детей мальчиков будет не менее 500, но не более 550.
Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что
Ф0  0; Ф3,16   0,499 , Ф0,44  0,17 , Ф1,16  0,3770 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 26
1. Сколькими способами можно рассадить 5 человек за круглым столом?
(Рассматривается только расположение сидящих относительно друг друга.)
2 . После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии
произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что он произошел между
50-м и 55-м километрами линии? В ответ записать число, имеющее три знака
после запятой без округления.
127
3 . Три автомата изготавливают детали. Вероятность того, что деталь,
изготовленная первым автоматом, – высшего качества, равна 0,9, для второго
– 0,7, для третьего – 0,6. Наугад берут по одной детали с каждого автомата.
Найти вероятность того, что из взятых деталей хотя бы одна высшего
качества. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.
4 . Имеется 6 коробок диодов типа А и 8 коробок диодов типа В. Вероятность
безотказной работы диода типа А равна 0,8, типа В – 0,7. а) Найти вероятность
того, что взятый наугад диод проработает гарантийное число часов. б) Взятый
наугад диод проработал гарантийное число часов. Найти вероятность того, что
он относится к типу А. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных
с одним знаком после запятой без округления.
5 . Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Используя
теорему Муавра-Лапласа, найти вероятность того, что при 100 выстрелах
мишень будет поражена не более 75 раз. Ответ записать с тремя знаками после
запятой
без
округления,
учитывая,
что
Ф0  0; Ф0,1  0,0398 ,
Ф1,25  0,3944 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 27
1. В урне 12 белых и 8 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 5
шаров, чтобы среди них было 5 черных?
2 .В мастерскую для ремонта поступило 20 телевизоров. Известно, что 7 из
них нуждаются в настройке. Мастер берет любые 5 телевизоров. Какова
вероятность того, что 2 из них нуждаются в настройке? В ответ записать
число, имеющее три знака после запятой без округления
3 . Инженер выполняет расчет, пользуясь тремя справочниками. Вероятности
того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем
справочниках, равны соответственно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что
интересующие инженера данные содержатся только в одном справочнике.
Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.
4 . Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено из
первой группы 5 студентов, из второй и третьей – соответственно 6 и 10
студентов. Вероятности выполнения нормы мастера спорта равны для
студентов первой группы – 0,3, второй – 0,4, третьей – 0,2. Найти вероятность
того, что: а) наугад взятый студент выполнит норму мастера спорта;
б) студент, выполнивший норму мастера спорта, учится во второй группе. В
ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после
запятой без округления
5 . По мишени проводится 100 выстрелов. Вероятность попадания для
каждого выстрела равна 0,75. Найти вероятность того, что число попаданий
будет не менее 80. Ответ записать с тремя знаками после запятой без
округления, учитывая, что Ф5,77   0,5; Ф1,15  0,3749 , Ф  0,8   0, 2881;
Ф  2, 02   0, 4783 .
128
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 28
1. Известно, что 7 студентов сдали экзамен по теории вероятностей на
«хорошо» и «отлично». Сколькими способами могли быть поставлены им
оценки?
2 В шахматном турнире участвуют 20 человек, которых по жребию
распределяют в две группы по 10 человек. Найти вероятность того, что два
сильнейших шахматиста будут играть в разных группах. В ответ записать
число, имеющее три знака после запятой без округления
3 . Инженер выполняет расчет, пользуясь тремя справочниками. Вероятности
того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем
справочниках, равны соответственно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что
интересующие инженера данные содержатся только в двух справочниках.
Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.
4 . На участке, изготавливающем болты, первый станок производит 25 %,
второй – 35 %, третий – 40 % всех изделий. В продукции каждого из станков
брак составляет соответственно 5 %, 4 %, 2 %. Найти вероятность того, что: а)
взятый наугад болт – с дефектом; б) случайно взятый болт с дефектом
изготовлен на третьем станке. В ответ записать сумму полученных чисел,
записанных с двумя знаками после запятой без округления
5 . Вероятность получения с конвейера изделий 1-го сорта равна 0,75.
Принята партия в 1000 изделий. Определить вероятность того, что изделий
первого сорта окажется от 720 до 800. Ответ записать с тремя знаками после
запятой без округления, учитывая, что Ф  3,65 =0,49998; , Ф  2,19  =0,4861 ;
Ф0  0; Ф1,33  0,4082 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 29
1. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек.
Сколькими способами члены комиссии могут распределить между собой
обязанности председателя и заместителя
2 . В партии, состоящей из 20 радиоприемников, 5 неисправных. Наугад берут
3 радиоприемника. Какова вероятность того, что в число выбранных войдут 1
неисправный и 2 исправных радиоприемника? В ответ записать число,
имеющее два знака после запятой без округления
3 . Для аварийной сигнализации установлены три независимо работающих
сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый
сигнализатор, равна 0,9, второй – 0,7, третий – 0,5. Найти вероятность того,
что при аварии сработают два сигнализатора. Ответ записать с тремя знаками
после запятой без округления.
4 . Приборы изготавливаются двумя заводами. Первый изготавливает 2/3 всех
изделий, второй – 1/3. Надежность (вероятность безотказной работы) прибора,
изготовленного первым заводом равна 0,9, вторым 0,8. а) Определить полную
129
надежность прибора, поступившего в производство. б) Прибор проработал
безотказно. Найти вероятность того, что он изготовлен первым заводом. В
ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после
запятой без округления
5 . Вероятность выхода за время Т одного конденсатора равна 0,2. Найти
вероятность того, что из 100 конденсаторов за время Т выйдет из строя более
12, но менее 26 конденсаторов. Ответ записать с двумя знаками после запятой
без округления, учитывая, что Ф1,5  0,4332; Ф2  0,4772 ,
Ф1,67   0,4525; Ф2,7   0,4965 .
Индивидуальное задание № 2 ( теория вероятности )
Вариант № 30
1 . Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20
человек?
2 В автобусе 4 пассажира. Найти вероятность того, что на четырех
оставшихся до конечной остановках будет выходить по одному человеку, если
каждый из пассажиров с равной вероятностью может выйти на любой
остановке. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без
округления.
3 . Для аварийной сигнализации установлены три независимо работающих
сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый
сигнализатор, равна 0,9, второй – 0,7, третий – 0,5. Найти вероятность того,
что при аварии не сработает ни один сигнализатор. Ответ записать с тремя
знаками после запятой без округления.
4 . Три машины производят болты, причем первая машина производит 30 %
всей продукции, вторая машина – 45 % и третья – 25 %. Доля брака в
продукции первой машины 4 %, в продукции второй машины – 3 %, в
продукции третьей – 5 %. а) Чему равна вероятность того, что наудачу взятый
болт окажется дефектным? б) Случайно выбранный из продукции болт
оказался дефектным. Какова вероятность того, что он произведен первой
машиной. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с одним
знаком после запятой без округления.
5 . Вероятность того, что наудачу выбранная деталь окажется бракованной,
при каждой проверке одна и та же и равна 0,2. Определить вероятность того,
что среди 50 наудачу отобранных деталей бракованных окажется не менее 6.
Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления, учитывая, что
Ф14,14   0,5; Ф1,41  0,4207 , Ф  0,8 =0,2881;
130
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный государственный университет»
(ДВГУ)
ИНСТИТУТ ХИМИИ И ПРИКЛАДНОЙ ЭКОЛОГИИ
КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
по дисциплине «Математика»
Специальность —240802.65 Основные процессы химических производств и химическая
кибернетика
г. Владивосток
2009
131
Примеры упражнений, тестов и экзаменационных билетов
Упражнения
Выведите уравнение биссектрисы угла между прямыми на плоскости.
Докажите свойство векторного произведения  (a  b )  (a )  b
Вычислите площадь треугольника, построенного на векторах a{a1, a2} и b {b1, b2} ,
как на сторонах
Вычислите расстояние между плоскостями x  3 y  2 z  1  0 и 2 x  6 y  4 z  3  0
Найдите расстояние от точки M (3; 0; 4) до плоскости 2 x  3 y  8  0
Выведите уравнение касательной к гиперболе Докажите, что a b c  b a c
Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве?
Выведите уравнения асимптот гиперболы, заданной каноническим
уравнением
Найдите угол между прямыми
x 1 y  3
x4
y
и


1
2
2
4
Моментом силы f , приложенной к точке A, относительно точки B

называется вектор p  BA f . Определите момент силы f , если
f  (2;4; 3), A(1; 5; 0), B(0; 0; 0)
Выведите условие того, что три плоскости пересекаются в единственной точке
A1x  B1 y  C1z  D1  0, A2 x  B2 y  C2 z  D2  0, A3 x  B3 y  C3 z  D3  0,
Найдите координаты центра сферы x 2  y 2  z 2  4 x  4 y  4 z  0
Определите ориентацию тройки a{1;1; 1}, b {5; 2;3}, c{1; 4;2}
Вычислите угол между двумя прямыми в пространстве
132
Вычислите угол между вектором и плоскостью
Вычислите угол между прямой и плоскостью
Найдите уравнение касательной к гиперболе
x2
 y 2  1, проходящей через
4
точку (-2; 2)
Определите ориентацию тройки a{2;3; 1}, b {1; 1; 2}, c{3;1;1}
Выведите условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в
пространстве
Докажите, что фокальные радиусы точек левой ветви гиперболы
x2 y2

1
a 2 b2
вычисляются по формулам r1  x  a, r1  x  a
Выведите условия параллельности и перпендикулярности вектора и плоскости
в пространстве
Расстояние от точки до прямой на плоскости.
Метод сечений: двуполостный конус.
Составьте уравнение геометрического места точек, произведение расстояний
от которых до двух данных точек F1 (c; 0) и F2 (c; 0) есть постоянная величина
a2
Докажите, что векторы перпендикулярны a и p  b 
a (a b )
a2
Докажите, что (a b c )  (b c a ) . Дано: a  b  c  0.
Докажите, что a  b  b  c  c  a
a{2; 3}, b {1;3}, c{1; 3}. При каком  векторы p  a  b и q  a  2c
коллинеарны? Докажите, что уравнение F ( x, z)  0 определяет в пространстве
цилиндрическую поверхность.
133
Докажите, что (a  b )  c  b (a c )  a (b c ) .
Докажите, что a b (c  d )  a b c  a b d
Методом сечений построить и определить тип поверхности x 2  z 2  2 y  1
Методом сечений построить и определить тип поверхности x 2  z 2  2 y  1 .
Докажите, что уравнение F ( y, z)  0 определяет в пространстве
цилиндрическую поверхность
Докажите, что векторы компланарны тогда и только тогда, когда их
смешанное произведение равно нулю. что смешанное произведение равно
объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на сторонах, со
знаком плюс, если тройка векторов правая.
Методом сечений построить и определить тип поверхности y 2  z 2  2 x  1
Докажите, что если a  b  b  c  c  a  0, то векторы a , b , c компланарны
Выведите уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Исследуйте взаимное расположение прямых на плоскости, заданных
уравнениями с угловыми коэффициентами
Докажите, что (a  b )c  a (b  c )
Докажите, что (a )b c   (a b c )
Если векторы a, b и c некомпланарны, то каковы бы ни были числа  ,  и 
существует один и только один вектор x , для которого a x   , b x   , c x  
x2 y2
Докажите, что длины фокальных радиусов эллипса 2  2  1 вычисляются по
a
b
формулам r1  a  x и r2  a  x
1
2
3
2
Составьте уравнение прямой AB, где A(2;3; ), B(3; 5; )
134
Найдите условие касания прямой y  kx  l эллипса
x2 y2

 1.
a 2 b2
x2 y2

1
Найдите точки пересечения прямой 3x  10 y  25  0 и эллипса
25 4
Докажите, что a  b  b  a
Пучок плоскостей
Найдите кратчайшее расстояние между двумя прямыми в пространстве
Докажите, что a  (b  c )  a  b  a  c
Вычислите синус угла между векторами a{2;2; 1} и b {2; 3; 6}
ОБВЕДИТЕ КРУЖКОМ НОМЕР ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА
1. ЕСЛИ ПЕРВУЮ СТРОКУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПОРЯДКА n ПЕРЕСТАВИТЬ
НА ПОСЛЕДНЕЕ МЕСТО, ТО ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
1) не изменится
n ( n 1)
2) обратится в нуль
3) умножится на (1) 2
4) умножится на (1) n1
5) обратится в 1
2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ЗАПИСИ ЧИСЛА i ЕСТЬ
1) cos 0  i sin 0 2) cos   i sin 


4
4


2
2
3) cos  i sin
4) cos
3
3
 i sin
2
2
5) 2 (cos  i sin )
5. МАКСИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ
ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА НАЗЫВАЕТСЯ
1) линейно зависимой 2) ортонормированной 3) системой образующих
135
4) базисом
5) ортогональной
3. ПРЯМЫЕ A1 x  B1 y  C1  0 и A2 x  B2 y  C2  0 СОВПАДАЮТ ТОГДА И
ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА
A BC 
 A2 B2 C 2 
1) ранг матрицы  1 1 1  равен 1
2)
A1 B1 C1


A2 B2 C 2
3)
A1 A2  B1 B2  0
4)
A1 B1 C1


A2 B2 C 2
4. УРАВНЕНИЕ 
1) эллипс
5)
A1 B1
A2 B2
0
x2 y2

 1 ЗАДАЕТ
a2 b2
2) гиперболу 3) параболу
4) мнимый эллипс 5) точку
5 УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ НАЧАЛО
КООРДИНАТ, ИМЕЕТ ВИД
1) Ax  By  Cz  D  0 , A2  B 2  C 2  1
3) Ax  By  Cz  0
6.
2) Ax  By  Cz  D  0 , A2  B 2  C 2  0
4) A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z 0 )  0
5) Ax  By  Cz  D  0
x2 y2 z2


 0 - ЭТО КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
a2 b2 c2
1) сферы
2) двуполостного конуса 3) однополостного
гиперболоида;
4) эллипсоида
5) двуполостного гиперболоида.
7. ЕСЛИ СТОЛБЦЫ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПОРЯДКА n ЗАПИСАТЬ В
ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ, ТО ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
1) не изменится
(1)
2) обратится в нуль
n ( n 1)
2
136
3) умножится на
4) умножится на (1) n1
5) обратится в 1
8. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ЗАПИСИ ЧИСЛА -1 - ЭТО
1) cos 0  i sin 0 2) cos   i sin 


4
4


2
2
3) cos  i sin
4) cos
3
3
 i sin
2
2
5) 2 (cos  i sin )
9. ЕСЛИ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ РАВНО
НУЛЮ, ТО ВЕКТОРЫ НАЗЫВАЮТСЯ
1) линейно зависимыми 2) линейно независимыми 3) системой
образующих
4) базисом
5) ортогональными
10. ПРЯМЫЕ A1 x  B1 y  C1  0 и A2 x  B2 y  C2  0 СОВПАДАЮТ ТОГДА И
ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА
1)
4)
A1 B1
A2 B2
0
2)
A1 B1 C1


A2 B2 C 2
A1 B1 C1


A2 B2 C 2
11. УРАВНЕНИЕ 
1) эллипс
5)
3) A1 A2  B1 B2  0
A1 B1
A2 B2
0
x2 y2

 0 ЗАДАЕТ
a2 b2
2) гиперболу 3) параболу
4) пару пересекающихся прямых
5) точку
12. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ,
ИМЕЕТ ВИД
1) Ax  By  Cz  D  0 , A2  B 2  C 2  1
2) Ax  By  Cz  D  0 , A2  B 2  C 2  0
137
4) A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z 0 )  0
3) Ax  By  Cz  0
10.
5) Ax  By  Cz  D  0
x2 y2 z2


 1 - ЭТО УРАВНЕНИЕ
a2 b2 c2
1) сферы
2) конуса
3) однополостного гиперболоида
4) эллипсоида
5) двуполостного гиперболоида
11. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ЗАПИСИ ЧИСЛА  i ЕСТЬ
1) cos 0  i sin 0 2) cos   i sin 


4
4


2
2
3) cos  i sin
4) cos
3
3
 i sin
2
2
5) 2 (cos  i sin )
12. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ
1) система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг
матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы
2) любую квадратичную форму с помощью невырожденного линейного
преобразования можно привести к каноническому виду
3) определитель произведения матриц равен произведению определителей
4) линейный оператор является корнем своего характеристического
уравнения
5) корни характеристического многочлена и только они – собственные
значения линейного оператора
13. ПРЯМЫЕ A1 x  B1 y  C1  0 и A2 x  B2 y  C2  0 ПЕРЕСЕКАЮТСЯ В ОДНОЙ
ТОЧКЕ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА
A BC 
 A2 B2 C 2 
1) ранг матрицы  1 1 1  равен 1
2)
A1 A2  B1 B2  0
138
A1 B1 C1


A2 B2 C 2
3)
4)
A1 B1 C1


A2 B2 C 2
5)
A1 B1
A2 B2
0
14. НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ИМЕЕТ ВИД
1) Ax  By  Cz  D  0 , A2  B 2  C 2  1
3) Ax  By  Cz  0
15.
2) Ax  By  Cz  D  0 , A2  B 2  C 2  0
4) A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z 0 )  0
5) Ax  Cz  D  0
x2 y2 z2


 1 - ЭТО УРАВНЕНИЕ
a2 b2 c2
1) сферы
2) конуса
3) однополостного гиперболоида
4) эллипсоида
5) двуполостного гиперболоида.
16. ПРЯМЫЕ y  k1 x  l1 и y  k 2 x  l 2 ПАРАЛЛЕЛЬНЫ ТОГДА И ТОЛЬКО
ТОГДА, КОГДА
1) k1  k 2
2) k1k 2  1
3)
k1 l1

k 2 l2
4) tg 
k 2  k1
1  k1 k 2
5) k1  k 2 , l1  l 2
17. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ОСИ Ох, ИМЕЕТ ВИД
1) Ax  By  Cz  D  0 , A2  B 2  C 2  1
3) Ax  By  Cz  0
18.
2) Ax  By  Cz  D  0 , A2  B 2  C 2  0
4) A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z 0 )  0
5) By  Cz  D  0
x2 y2 z2


 1 - ЭТО УРАВНЕНИЕ
a2 b2 c2
1) сферы
2) конуса
4) эллипсоида
3) однополостного гиперболоида
5) двуполостного гиперболоида
19. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ЗАПИСИ ЧИСЛА 1  i
1)
2 (cos
3
3
 i sin )
4
4
2) cos   i sin 


2
2
3) cos  i sin
139
4) cos
3
3
 i sin
2
2


4
4
5) 2 (cos  i sin )
20. ПРЯМЫЕ y  k1 x  l1 и y  k 2 x  l 2 СОВПАДАЮТ ТОГДА И ТОЛЬКО
ТОГДА, КОГДА
1) k1  k 2
2) k1k 2  1
21. УРАВНЕНИЕ 
1) эллипс
3)
k1 l1

k 2 l2
4) tg 
k 2  k1
1  k1 k 2
5) k1  k 2 , l1  l 2
x2 y2

 0 ЗАДАЕТ
a2 b2
2) гиперболу
3) параболу
4) мнимый эллипс
5) пару мнимых пересекающихся прямых
22. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ОСИ Оу, ИМЕЕТ ВИД
1) Ax  By  Cz  D  0 , A2  B 2  C 2  1
3) Ax  By  Cz  0
23. 
2) Ax  By  Cz  D  0 , A2  B 2  C 2  0
5) Ax  Cz  D  0
4) A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z 0 )  0
x2 y2 z2


 1 - ЭТО УРАВНЕНИЕ
a2 b2 c2
1) сферы
2) конуса
3) однополостного
гиперболоида
4) эллипсоида
5) двуполостного гиперболоида
24. ЕСЛИ ВТОРУЮ СТРОКУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПОРЯДКА n ЗАМЕНИТЬ
НА ПЕРВУЮ, ТО ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
1) не изменится
(1)
2) обратится в нуль
3) умножится на
n ( n 1)
2
4) умножится на (1) n1
5) обратится в 1
25. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ЗАПИСИ ЧИСЛА 1  i
140
1) 2 (cos
5
5
 i sin )
4
4


4
4
2) cos   i sin 


2
2
3) cos  i sin
4) cos
3
3
 i sin
2
2
5) 2 (cos  i sin )
7. ПРЯМЫЕ y  k1 x  l1 и y  k 2 x  l 2 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ ТОГДА И
ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА
1) k1  k 2
2) k1k 2  1
3)
k1 l1

k 2 l2
4) tg 
k 2  k1
1  k1 k 2
5) k1  k 2 , l1  l 2
y2
26. УРАВНЕНИЕ 2  1 ЗАДАЕТ
b
1) эллипс
2) гиперболу 3) параболу
4) мнимый эллипс
5) пару мнимых параллельных прямых
27. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ОСИ Oz , ИМЕЕТ ВИД
1) Ax  By  Cz  D  0 , A2  B 2  C 2  1
3) Ax  By  Cz  0
2) Ax  By  Cz  D  0 , A2  B 2  C 2  0
4) A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z 0 )  0
5) Ax  By  D  0
28. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ПЛОСКОСТИ xOz ,
ИМЕЕТ ВИД
1) Ax  By  Cz  D  0 , A2  B 2  C 2  1
3) Ax  By  Cz  0
29.
2) Ax  By  Cz  D  0 , A2  B 2  C 2  0
4) A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z 0 )  0
5) Ax  Cz  D  0
x2 y2

 2 z - ЭТО КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
p
q
1) эллиптического параболоида
2) конуса
3) однополостного
гиперболоида
4) гиперболического параболоида
5) двуполостного гиперболоида
141
30. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ПЛОСКОСТИ yOz
, ИМЕЕТ ВИД
1) Ax  By  Cz  D  0 , A2  B 2  C 2  1
4) A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z 0 )  0
3) Ax  By  Cz  0
31.
2) Ax  By  Cz  D  0 , A2  B 2  C 2  0
5) By  Cz  D  0
x2 y2

 2 z - ЭТО УРАВНЕНИЕ
p
q
1) эллиптического параболоида
2) конуса
3) однополостного
гиперболоида
4) эллипсоида
32. ПРЯМАЯ
5) двуполостного гиперболоида
x  x0 y  y 0 z  z 0


ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ПЛОСКОСТИ
a
b
c
Ax  By  Cz  D  0 
1) Aa  Bb  Cc  0
4) cos  
33. 
2)
A B C
 
a b c
3) A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z 0 )  0
Aa  Bb  Cc
5) sin  
A2  B 2  C 2  a 2  b 2  c 2
Aa  Bb  Cc
A2  B 2  C 2  a 2  b 2  c 2
x2 y2

 2 z - УРАВНЕНИЕ
p
q
1) эллиптического параболоида
2) конуса
3) однополостного
гиперболоида
4) двуполостного параболоида
5) двуполостного
гиперболоида
34. ЕСЛИ ВСЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПОРЯДКА n УМНОЖИТЬ
НА 2, ТО ОН
142
1) возведется в квадрат
2) умножится на 2
4) умножится на (1) n1
n ( n 1)
3) умножится на (1) 2
5) умножится на 2 n
35. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ
x  x0 y  y 0 z  z 0


И ПЛОСКОСТЬЮ
a
b
c
Ax  By  Cz  D  0 ВЫЧИСЛЯЕТСЯ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛЫ
1) Aa  Bb  Cc  0
4) cos  
2)
A B C
 
a b c
3) A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z 0 )  0
Aa  Bb  Cc
A  B C  a b c
2
2
2
2
2
5) sin  
2
Aa  Bb  Cc
A  B  C 2  a2  b2  c2
2
2
x2 y2

 2 z - ЭТО КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
p
q
36.
1) эллиптического параболоида
2) конуса
3) однополостного
гиперболоида
4) двуполостного параболоида
5) двуполостного
гиперболоида
37. ЕСЛИ ВСЕ ЭЛЕМЕНТЫ СТРОКИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПОРЯДКА n
УМНОЖИТЬ
НА -1, ТО ОН
1) не изменится
(1)
2) умножится на (1) n
3) умножится на
n ( n 1)
2
4) умножится на (1) n1
5) обратится в 1
143
38. ПРЯМАЯ
x  x0 y  y 0 z  z 0


ЛЕЖИТ В ПЛОСКОСТИ
a
b
c
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z 0 )  0 
1) Aa  Bb  Cc  0
4) cos  
2)
A B C
 
a b c
3) A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z 0 )  0
Aa  Bb  Cc
5) sin  
A2  B 2  C 2  a 2  b 2  c 2
Aa  Bb  Cc
A2  B 2  C 2  a 2  b 2  c 2
x2 y2
39. 2  2  1 - ЭТО УРАВНЕНИЕ
a
b
1) эллиптического параболоида
2) конуса
3) гиперболического
цилиндра
4) эллиптического цилиндра
5) эллипсоида
40. ЕСЛИ ЗНАКИ ВСЕХ ЭЛЕМЕНТОВ ОДНОГО СТОЛБЦА
ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПОРЯДКА n ПОМЕНЯТЬ НА ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ, ТО
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
1) не изменится
2) умножится на (1) n
4) умножится на (1) n1
41. ПРЯМЫЕ
n ( n 1)
3) умножится на (1) 2
5) обратится в 1
x  x1 y  y1 z  z1
x  x2 y  y 2 z  z 2




И
ПАРАЛЛЕЛЬНЫ 
a1
b1
c1
a2
b2
c2
1) a1a2  b1b2  c1c2  0
2)
a1 b1 c1


a 2 b2 c 2
144
3) cos  
a1 a 2  b1b2  c1c 2
a  b12  c12  a 22  b22  c 22
2
1
x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1
4) a1 .......... b1 .......... c1
x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1
0
5) a1 .......... b1 .......... c1
a 2 .......... b2 .......... c 2
42.
0
a 2 .......... b2 .......... c 2
x2 y2

 1 - ЭТО УРАВНЕНИЕ
a2 b2
1) эллиптического параболоида
2) конуса
3) гиперболического
цилиндра
4) эллиптического цилиндра
5) эллипсоида
43. ПРЯМАЯ 5х +16 = 0 ЕСТЬ ДИРЕКТРИСА ГИПЕРБОЛЫ
1) y 2  60 x
44. ПРЯМЫЕ
2) x 2  48 y 3)
x2 y2

1
16 9
4) x 2  y 2  1 5)
x2 y2

1
36 12
x  x1 y  y1 z  z1
x  x2 y  y 2 z  z 2




И
a1
b1
c1
a2
b2
c2
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ 
1) a1a2  b1b2  c1c2  0
2)
a1 b1 c1


a 2 b2 c 2
x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1
4) a1 .......... b1 .......... c1
a1 a 2  b1b2  c1c 2
a12  b12  c12  a 22  b22  c 22
x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1
0
5) a1 .......... b1 .......... c1
a 2 .......... b2 .......... c 2
45.
3) cos  
0
a 2 .......... b2 .......... c 2
x2 y2

 1 - ЭТО УРАВНЕНИЕ
a2 b2
1) эллиптического параболоида
2) конуса
цилиндра
4) эллиптического цилиндра
5) эллипсоида
145
3) гиперболического
46. ПРЯМЫЕ
x  x1 y  y1 z  z1
x  x2 y  y 2 z  z 2




И
a1
b1
c1
a2
b2
c2
СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ 
1) a1a2  b1b2  c1c2  0
a1 b1 c1


a 2 b2 c 2
2)
x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1
4) a1 .......... b1 .......... c1
a1 a 2  b1b2  c1c 2
a  b12  c12  a 22  b22  c 22
2
1
x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1
0
5) a1 .......... b1 .......... c1
a 2 .......... b2 .......... c 2
47.
3) cos  
0
a 2 .......... b2 .......... c 2
x2 y2

 0 - ЭТО УРАВНЕНИЕ
a2 b2
1) пары пересекающихся плоскостей
3) гиперболического цилиндра
2) конуса
4) эллиптического цилиндра
5)
эллипсоида
22
48. ЕСЛИ СТРОКИ И СТОЛБЦЫ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПОРЯДКА n
ПОМЕНЯТЬ РОЛЯМИ, ТО
1) он не изменится
2) обратится в нуль
3) умножится на (1)
n ( n 1)
2
49. ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ РАВЕН   2 ДЛЯ ГИПЕРБОЛЫ
1) y 2  60 x
2) x 2  48 y 3)
x2 y2

1
16 9
50. ПРЯМАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНА ОСИ Ох
146
4) x 2  y 2  16 5)
x2 y2

1
36 12
2 x  y  z  0,
x  y  2z  0
1) 
3 y  5 z  0,
2 y  z  6  0
 x  6  0,
2 y  z  0
2) 
3) 
4)
2 x  3 y  5 z  4  0,

x  0
5)
x y 1 z  2


1
3
1
51. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ
 x  3t ;
1) 
y  t  5
 x  2t 2  1;
2) 
y  t  6
 x  a cos t ;
 y  a sin t
 x  3 cos t ;
 y  5 sin t
3) 
4) 
 x  a cos t ;
 y  b sin t
5) 
Примеры экзаменационных билетов
1 семестр
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное
образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный государственный университет»
ООП
240802.65,
Дисциплина
математика
Форма обучения
Очная
Семестр
1 (осенний) 2009-2010 учебного года
Экзаменационный билет № 1
1. Векторы: определение, равенство, единичные вектора, сложение векторов, умножение
вектора на число.
2. Фокальный радиус, эксцентриситет и директрисы гиперболы.
3.Основные теоремы о пределах. Теорема о сжатой переменной
Заведующий кафедрой
Р.П. Шепелева
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный государственный университет»
147
ООП
240802.65,
Дисциплина
математика
Форма обучения
Очная
Семестр
1 (осенний) 2009-2010 учебного года
Экзаменационный билет № 2
1. Координаты вектора. Свойства координат. Коллинеарность и компланарность векторов.
2. Фокальный параметр. Уравнение эллипса и гиперболы в полярных координатах.
3.Предел функции. Свойства пределов, односторонние пределы.
Заведующий кафедрой
Р.П. Шепелева
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный государственный университет»
ООП
240802.65,
Дисциплина
математика
Форма обучения
Очная
Семестр
1 (осенний) 2009-2010 учебного года
Экзаменационный билет № 3
1.Определители 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей.
2. Скалярное произведение векторов: определение, свойства, угол между векторами.
3. Геометрическое значение дифференциала, дифференциалы различных порядков.
Заведующий кафедрой
Р.П. Шепелева
148
2 семестр
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный государственный университет»
ООП
240802.65,
Дисциплина
математика
Форма обучения
очная
Семестр
2 (весенний) 2009-2010 учебного года
Экзаменационный билет № 1
1. Первообразная и неопределенный интеграл: общее определение, основные свойства.
Таблица интегралов.
2. Уравнение в полных дифференциалах.
Заведующий кафедрой
Р.П. Шепелева
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный государственный университет»
ООП
240802.65,
Дисциплина
математика
Форма обучения
очная
Семестр
2 (весенний) 2009-2010 учебного года
Экзаменационный билет № 2
1.
Неопределенный интеграл: интегрирование по частям, замена переменной (метод
подстановки, теорема). Рассмотреть на примере.
2.
Частные производные различных порядков. Дифференциалы высших порядков.
Заведующий кафедрой
Р.П. Шепелева
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
149
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
ООП
020101.65 химия
Дисциплина
математика
Форма обучения
очная
Семестр
2 (весенний) 2009-2010 учебного года
Экзаменационный билет № 3
Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.
Экстремум функции многих переменных: общая теория, необходимое условие
экстремума.
1.
2.
Заведующий кафедрой
Р.П. Шепелева
150
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный государственный университет»
(ДВГУ)
ИНСТИТУТ ХИМИИ И ПРИКЛАДНОЙ ЭКОЛОГИИ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
по дисциплине «Математика»
Специальность —240802.65 Основные процессы химических производств и химическая
кибернетика
г. Владивосток
2009
151
Основная литература
1. Кузин-Алексинский С.А. Курс высшей математики: Учебное пособие для
вузов. / С.А. Кузин-Алексинский. - Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та,
2003. 336 с
2. Д. В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры:
учебное пособие. – М.: Наука, 2003. – 375 с и более поздние года издания.
3. Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский. Задачи по высшей алгебре. – СанктПетербург, «Лань», 2008, - 288 с.
4. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учебное пособие для
вузов. / В.С Шипачев. - М.: Высш. шк., 2001. – 304 с
5. Боревич. З.И. Определители и матрицы. – Санкт-Петербург, «Лань»,
2009, - 192 с.
6. Александров П.С.. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. –
Санкт-Петербург, «Лань», 2009, - 512 с.
7. Шипачев В. С.. Курс высшей математики. – Санкт-Петербург,
«Проспект», 2004.-600 с.
8. Бугров Я.С. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное
исчисление. / Я.С., Бугров С.М. Никольский. - М.: Дрофа, 2003. – 509 с.
Дополнительная литература
1. В.В. Воеводин. Линейная алгебра. – Санкт-Петербург, «Лань», 2009, –
416 с
2. Постников М.М.. Линейная алгебра. – Санкт-Петербург, «Лань», 2009, 400 с.
3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.:Наука,1985.
4. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И. А. Сборник задач по
аналитической геометрии и линейной алгебре. -М.:Наука, 1987 .
5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. -М.: Наука, 1980.
6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные
интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. -М. : Наука, 1981.
152
7. Данко П.Е., Попов А. Г., Кожевникова Т.Е. Высшая математика в
упражнениях и задачах. В 2 ч. М., 1980.
8. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2 ч.-М.:
Наука, 1982.
9. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. -М. : Наука, 1982.
10.Краснов М.Л., Киселев А.И./ Макаренко Г.И. Векторный анализ. -М. :
Наука, 1978.
11.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по
обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Высшая школа, 1978.
12.Минорский В.Д. Сборник задач по высшей математике. -М.: Наука,
1987.
13.Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. -М. : Наука, 1973.
14.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. -М. : Наука,
1984.
15.Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. -М. : Наука, 1980.
16.Сборник задач по математике. В 4ч. (Под редакцией Ефимова А.В.,
Демидовича Б.П.) -М.: Наука, 1981. Ч. 1-2.
Интернет - ресурсы
1. Калинин В.В., Петрова И.В., Харин В.Т. Неопределенные и определенные
интегралы. М.: МГУНГ им.И.М.Губкина, 2005 (pdf), 153с.
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/KalininPetrovaXarin2005ru.pdf
2. Любарский М.Г. Векторная алгебра и ее приложение. Web, 2010 (pdf), 166
с. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Lyubarskij2010ru.pdf
3. Сибирева А.Р. Высшая математика для студентов технических
специтальностей в формулах и таблицах. Часть 1: методические указания.
153
– Ульяновск: УлГТУ, 2007. – 34 с.
http://window.edu.ru/resource/872/48872/files/176.pdf.
154
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный государственный университет»
(ДВГУ)
ИНСТИТУТ ХИМИИ ИПРИКЛАДНОЙ ЭКОЛОГИИ
Глоссарий
по дисциплине «Математика»
Специальность —240802.65 Основные процессы химических производств и химическая
кибернетика
г. Владивосток
2009
155
Аксиома, -ы,
ж. Исходное положение науки, принимаемое без
доказательств и лежащее в основе доказательства истинности других
положений.
Алгебра, -ы, ж. Отдел математики, изучающий свойства величин,
выраженных буквами, независимо от их числового значения.
Алгоритм, -ы, м. Точное предписание о выполнении в определенном
порядке некоторой системы предписаний (операций), позволяющее решать
совокупность задач определенного класса.
Аппроксимация - это приближенная замена какой-либо величины
другой, более простой или более находящей для данного исследования u
goem.
Базис - это система векторов пространства R n , удовлетворяющих
условиям:
1) векторы этой системы линейно независимы;
2)всякий вектор пространства и R n линейно выражается через векторы данной
системы.
Базис плоскости. Упорядоченная пара некомпланарных векторов.
Вектор, -ы, м. Отрезок, для которого указано, какой из его концов
считается началом, а какой – концом.
Вектор единичный. Вектор, длина которого равна единице.
Вектора противоположные. Коллинеарные вектора, равные по длине, но
противоположнонапрвавленные.
Геометрия, -и, ж. Одна из древнейших частей математики, изучающая
пространственные отношения и формы тел.
156
Доказательство,
-а,
ср.
Рассуждение,
с
помощью
которого
устанавливается правильность утверждения о свойстве геометрической
фигуры.
Дополнение алгебраическое. Алгебраическим дополнением элемента aij
называется его минор, взятый со знаком (-1)i+j
Единичная квадратная матрица. Квадратная матрица, у которой все
элементы нули, а элементы главной диагонали единицы.
Индекс, -а, м. Числовой или буквенный указатель, помещаемый обычно
внизу буквы, входящей в математическое выражение.
Квадрат, -ы, м. Прямоугольник с равными сторонами; ромб, у которого
все углы прямые.
Комбинаторика, -и, ж. Раздел элементарной математики, изучающий
вопросы, связанные с подсчетом числа всевозможных комбинаций из
элементов данного конечного множества.
Лемма,
-ы,
ж.
Вспомогательная
теорема,
с
помощью
которой
доказывается следующая теорема или несколько теорем.
Луч, -и, ср. Часть прямой, состоящая из всех точек этой прямой, лежащих
по одну сторону от данной точки.
Математика, -и, ж. Наука о структурах.
Минор, -ы, м. Минором данного элемента определителя третьего порядка
называется
определитель
второго
порядка
полученный
из
данного
определителя вычеркиванием соответствующей строки и столбца в которой
находится данный элемент.
Минор базисный. Всякий минор отличный от 0, порядок которого
совпадает с рангом матрицы.
157
Многоугольник, -и,
м. Часть плоскости, ограниченная простой
замкнутой ломаной.
Область, -и, ж. Множество точек или фигура, состоящая из внутренних
точек, таких, что любые две ее точки можно соединить ломаной,
принадлежащей этой фигуре.
Определение,
-я,
ср.
Предложение,
раскрывающее
смысл
математического понятия.
Орт. Ортом произвольного, ненулевого вектора называют единичный
вектор, который коллинеарен и сонаправлен с данным вектором.
Отрезок, -и, м. Часть прямой, заключенная между двумя точками этой
прямой вместе с этими точками, которые называются концами отрезка.
Параметр, -ы, м. Вспомогательная переменная, входящая в формулы и
выражения.
Переменная, -е, ж. Величина, которая принимает различные значения.
Произведение скалярное двух векторов. Число равное произведению
длин этих векторов на соs угла между ними.
Произведение смешанное. Смешанным произведением трех векторов,
называется
скалярное произведение векторного произведения данных
векторов.
Ранг матрицы. Максимальный порядок минора отличного от 0.
Следствие, -я, ср. Небольшая теорема, которая непосредственно следует
из аксиом или теорем.
Стереометрия, -и, ж. Раздел геометрии, в котором изучаются свойства
фигур в пространстве.
158
Теорема, -ы, ж. Математическое предложение, правильность или
истинность которого доказывается с помощью аксиом или других теорем.
Тождество, -а, ср. Равенство, равное при всех допустимых значениях
входящих в него переменных.
Уравнение, -я, ср. Равенство с переменной или переменными.
Уравнение линии на плоскости. Уравнение вида F (x;y) = 0, если все
точки этой линии удовлетворяют данному уравнению.
Уравнение поверхности пространства. Уравнение вида F (x;y;z) = 0,
если любая точка этой поверхности удовлетворяет данному уравнению.
Уравнение показательное. Уравнение, содержащее переменную в
показателе степени.
Факториал, -ы, м. Функция, определенная на множестве целых
неотрицательных чисел, значение которой равно произведению натуральных
чисел от 1 до данного натурального числа n.
Фигуры подобные. Фигуры, для которых существует преобразование
подобия, переводящее одну фигуру в другую.
Фигуры равновеликие. Фигуры, имеющие одинаковые площади.
Формула, -ы, ж. Буквенное выражение или равенство, показывающее
зависимость между величинами.
Непрерывная функция – функция 𝑓: 𝐸 → 𝑅 непрерывна в точке 𝑥𝑜 ∈ 𝐸,
если для любого числа 𝜀 > 0 существует такое число 𝛿 > 0, что для всех точек
𝑥 ∈ 𝐸, удовлетворяющих условию |𝑥 − 𝑥0 | < 𝛿, выполняется неравенство
|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0 )| < 𝜀.
Линейное (векторное) пространство – аддитивная абелева группа 𝐿
называется линейным пространством над полем 𝐾, если для любого 𝜆 из 𝐾 и 𝑎
159
из 𝐿 существует 𝜆𝑎 ∈ 𝐿, для которого .𝜆(𝑎 + 𝑏) = 𝜆𝑎 + 𝜆𝑏, (𝜆 + 𝜇)𝑎 = 𝜆𝑎 +
𝜇𝑎, (𝜆𝜇)𝑎 𝜆(𝜇𝑎), 1 ∙ 𝑎 = 𝑎 ∀𝜆, 𝜇 ∈ 𝐾, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐿.
Базис
линейного
пространства
–
его
максимальная
линейно
независимая система векторов.
Размерность линейного пространства – число элементов в его базисе.2012
Бесконечно малая функция - это функция f(х), предел которой при х
стремящемся к х 0 равен нулю. Обозначение: Lim f(х)=0.
x x0
Дифференциальное уравнение - это уравнение, связывающее
независимую переменную х, искомую функцию у(х) и ее производные или
дифференциалы.
Единичная матрица (Е) - это диагональная матрица с единицами на
главной диагонали.
Кусочно-монотонная функция на отрезке [a;b]. - это функция f(x)
внутри каждого интервала, на которые можно разделить отрезок [a;b], либо
только возрастает, либо только убывает, либо постоянна, причем число
интервалов конечно.
Минор k-го порядка производной матрицы А Называется
определитель, составленный из элементов матрицы, расположенных на
пересечении каких-либо k строк и k столбцов.
Нормальный вектор - это вектор, перпендикулярный прямой или
плоскости.
Производная функция - это предел отношения приращения функции
y к приращению аргумента x , когда приращение аргумента x стремится к
нулю. Обозначение: f ( x0 )  lim
x 0
y
f ( x0  x)  f ( x0 )
 lim
.
x x  0
x
160
Теорема -это математическое утверждение, истинность которого
устанавливается путем доказательства.
Функция -это правило , которое каждому числу x из некоторого
множества D ставит в соответствие одно и только одно число у из множества
E . Обозначение: y  f (x), где x - независимая переменная ,называемая
аргументом ; D -область определения функции; E -область значений функции.
Число e -это иррациональное число 2,71828182845…, служащее
основанием натурального логарифма и являющееся пределом
(1  ) n  e .
последовательности (1  1 ) п , т.е. nlim


1
n
п 
Элементарные преобразования матрицы -это следующие
преобразования:
(столбцов)
1) Перестановка местами двух строк
2) Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля
3) Прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих
элементов другой строки (столбца)
161
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточныйгосударственный университет»
(ДВГУ)
ИНСТИТУТ ХИМИИ И ПРИКЛАДНОЙ ЭКОЛОГИИ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
по дисциплине «Математика»
Специальность —240802.65 Основные процессы химических производств и химическая
кибернетика
г. Владивосток
2009
162
Рейтинг-план дисциплины
____Математика____________________________________________________
Название дисциплины согласно рабочему учебному плану
Институт, факультет_ИХПЭ, ______________________________________________
курс____1__________, группа(ы)__011, 013, 014, 015, 016 _семестр__весенний_2009 /2010
гг.
Преподаватель: ____Ким Виктория Юрьевна, к.ф.-м.н._________________________
Ф.И.О., ученая степень, ученое звание
Исполняющая кафедра: _математического анализа____________________________
Адрес___ул. Октябрьская, 27________________________ номер комнаты__333____
Весовой коэффициент дисциплины в совокупной рейтинговой оценке, рассчитываемой по
всем дисциплинам, равен _____.
I.
Соотношение видов учебной деятельности студента, учитываемых в рейтинговой
оценке по данной дисциплине
№
1
2
Виды учебной деятельности студентов,
Посещение занятий
Другие виды работ
Сумма
Вес, %
10
90
100%
II.
МАКСИМАЛЬНО ВОЗМОЖНЫЕ БАЛЛЫ ЗА ВИДЫ КОНТРОЛИРУЕМОЙ
УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТУДЕНТА (ОЦЕНКИ «ИДЕАЛЬНОГО
СТУДЕНТА» ЗА ОДНУ ЕДИНИЦУ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ)
№
Содержание вида
Единица
контролируемой учебной
измерения
деятельности
работы
Посещение занятий
1
Индивидуальное задание
1
Контрольная работа
1
1
2
3
Максимальное количество
баллов за единицу
выполненной работы
1
3
5
III. Календарный план контрольных мероприятий по дисциплине с указанием
максимального количества баллов, потенциально доступных студенту (оценки «Идеального
студента» на занятиях»)
163
№
Дата
Название модуля
Форма контроля
1
04.0201.03
Производная функции
одной переменной
Индивидуальное задание №
1
Максимально
е количество
баллов
3
5
Контрольная работа № 1
2
3
01.0301.04
01.0401.05
Приложение
производной.
Исследование
функций.
Интеграл.
Приложения
определенного
интеграла
Индивидуальное
задание № 2
Контрольная работа № 2
Индивидуальное задание №
3
3
5
3
5
Контрольная работа № 3
4
01.0520.05
Функции нескольких
переменных
Индивидуальное
задание № 4
Контрольная работа № 4
3
5
Рейтинг-план дисциплины
____Математика____________________________________________________
Название дисциплины согласно рабочему учебному плану
Институт, факультет_ИХПЭ,
______________________________________________
курс____1__________, группа(ы)__011, 013, 014, 015, 016
_семестр__осенний__2009 /2010 гг.
Преподаватель: ____Ким Виктория Юрьевна, к.ф.м.н._________________________
Ф.И.О., ученая степень, ученое звание
Исполняющая кафедра: _математического
анализа____________________________
Адрес___ул. Октябрьская, 27________________________ номер
комнаты__333____
164
Весовой коэффициент дисциплины в совокупной рейтинговой оценке,
рассчитываемой по всем дисциплинам, равен _____.
III. Соотношение видов учебной деятельности студента, учитываемых в
рейтинговой оценке по данной дисциплине
№ Виды учебной деятельности студентов,
1
2
Посещение занятий
Другие виды работ
Сумма
Вес, %
10
90
100%
IV. МАКСИМАЛЬНО ВОЗМОЖНЫЕ БАЛЛЫ ЗА ВИДЫ
КОНТРОЛИРУЕМОЙ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТУДЕНТА
(ОЦЕНКИ «ИДЕАЛЬНОГО СТУДЕНТА» ЗА ОДНУ ЕДИНИЦУ
УЧЕБНОЙ РАБОТЫ)
№
1
2
3
Содержание вида
Единица
контролируемой
измерения
учебной
работы
деятельности
Посещение занятий
1
Индивидуальное
1
задание
Контрольная работа
1
Максимальное
количество баллов за
единицу выполненной
работы
1
3
5
III. Календарный план контрольных мероприятий по дисциплине с указанием
максимального количества баллов, потенциально доступных студенту (оценки
«Идеального студента» на занятиях»)
165
№
Дата
Название модуля
1
03.0901.10
Линейная алгебра
Форма контроля
Индивидуальное
задание № 1
Максималь
ное
количество
баллов
3
Контрольная работа
№1
2
3
4
01.1001.11
01.1101.12
01.1220.12
Аналитическая
геометрия
Индивидуальное
задание № 2
Контрольная работа
№2
Векторная алгебра Индивидуальное
задание № 3
3
5
3
Контрольная работа
№3
Индивидуальное
задание № 4
Теория пределов
Контрольная работа
№4
3
5
Рейтинг-план дисциплины
____Математика____________________________________________________
Название дисциплины согласно рабочему учебному плану
Институт, факультет_ИХПЭ,
______________________________________________
курс____2__________, группа(ы)__021, 022, 024 _семестр__осенний__2009
/2010 гг.
Преподаватель: ____Ким Виктория Юрьевна, к.ф.м.н._________________________
Ф.И.О., ученая степень, ученое звание
166
Исполняющая кафедра: _математического
анализа____________________________
Адрес___ул. Октябрьская, 27________________________ номер
комнаты__333____
Весовой коэффициент дисциплины в совокупной рейтинговой оценке,
рассчитываемой по всем дисциплинам, равен _____.
V. Соотношение видов учебной деятельности студента, учитываемых в
рейтинговой оценке по данной дисциплине
№ Виды учебной деятельности студентов,
1
2
Посещение занятий
Другие виды работ
Сумма
Вес, %
10
90
100%
VI. МАКСИМАЛЬНО ВОЗМОЖНЫЕ БАЛЛЫ ЗА ВИДЫ
КОНТРОЛИРУЕМОЙ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТУДЕНТА
(ОЦЕНКИ «ИДЕАЛЬНОГО СТУДЕНТА» ЗА ОДНУ ЕДИНИЦУ
УЧЕБНОЙ РАБОТЫ)
№
1
2
3
Содержание вида
Единица
контролируемой
измерения
учебной
работы
деятельности
Посещение занятий
1
Индивидуальное
1
задание
Контрольная работа
1
Максимальное
количество баллов за
единицу выполненной
работы
1
3
5
III. Календарный план контрольных мероприятий по дисциплине с указанием
максимального количества баллов, потенциально доступных студенту (оценки
«Идеального студента» на занятиях»)
167
№
Дата
1
03.0901.10
2
01.1001.11
3
4
01.1101.12
01.1220.12
Название модуля
Числовые ряды
Функциональные
ряды
Кратные
интегралы
Криволинейные и
поверхностные
интегралы
Форма контроля
Индивидуальное
задание № 1
Индивидуальное
задание № 2
Контрольная работа
№1
Индивидуальное
задание № 3
Индивидуальное
задание № 4
Контрольная работа
№2
168
Максималь
ное
количество
баллов
3
3
5
3
3
5