МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО
СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН
ТАШКЕНТСКИЙ ИНСТИТУТ ТЕКСТИЛЬНОЙ И
ЛЕГКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Кафедра «Теоретической механики и
сопротивления материалов»
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
КИНЕМАТИКА (К-1)
(Методическое указание и контрольные задания)
(Направление бакалавриата
540500, 540600, 520800)
Ташкент – 2009
Аннотация
При изучении курса «Теоретическая механика» является одной из
важнейших физико-математических дисциплин для подготовки специалистов
любых специальностей.
На основе теорем и принципов теоретической механики решаются
многие инженерные задачи. Хорошее усвоение курса теоретической
механики требует не только глубокого изучения теории, но и приобретения
хороших навыков в решении задач. Для этого необходимо самостоятельно
решить большое количество задач по всем разделам курса
В настоящей работе приведена общая методика и методика решения
задач по кинематике с применением Mathcad , которая значительно облегчает
решение поставленной задачи и выводит результаты вычисления в виде
графика.
Составитель: проф. Т.М. Мавлянов
ст. пр. Н.В. Дрёмова
Рецензенты: доц. А.Х. Закиров (Национальный
Университет Узбекистана)
доц. М. Атамирзаев (ТИТЛП)
Утверждено научно-методическим советом ТИТЛП
(протокол № ____ от «___»____________)
Размножено в типографии ТИТЛП в « » экземпляров.
2
Общие методические указания
Перед тем как приступать к выполнению задания рекомендуется
соблюдать следующие указания:
1. Проработать
сопротивление
соответствующий
материалов
(Тема:
теоретический
«Кинематика»)
по
раздел
курса
учебникам
и
лекционному материалу. Подробный теоретический материал по данному
вопросу имеется в учебнике С.М.Тарг «Краткий курс теоретической
механики». М.: Высшая школа, 1986, Гл.IX. §§36-47, а также в других
учебниках и учебных пособиях (1) (2).
2. Ознакомится с пакетом математической программы Mathcad.
Сведения по применению Mathcad имеется в книге Макарова Е.Г.
«Инженерные расчеты в Mathcad», С.-П.: Питер, 2003, а также в других
литературных источниках
3. Выбрать данные для расчета согласно своему личному шифру или
порядковому номеру по журналу.
4. Курсовая
работа
должна
быть
выполнена
самостоятельно,
оформлена с соблюдением всех требований, завершена и защищена в срок
установленный кафедрой.
3
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
Раздел механики,
в котором изучаются геометрические свойства
движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.
Под движением в механике понимает изменение с течением времени
положения данного тела в пространстве по отношению к другим телам.
Основная задача кинематики точки и твердого тела состоит в том,
чтобы закон движения точки (тела), установить методы определения всех
кинематических величин, характеризующих данное движение.
Непрерывная
линия,
которую
описывает
движущаяся
точка
относительно данной системы отсчета, называется траекторией точки. Если
траекторией
является
прямая
линия,
движение
точки
называется
прямолинейным, а если кривая – криволинейным.
Во многих задачах можно пренебречь размерами тела и рассматривать
его как материальную точку. Из уравнений, задаваемых в параметрической
форме, будут получены все характеристики движения точки (скорость,
ускорение, пройденный путь). В качестве параметра в задачах механики
выступает время.
4
З а д а н и е К-1. Определение скорости и ускорения точки по
заданным уравнениям ее движения.
По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее
траектории и для момента времени t t1 c найти положение точки на
траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а
также радиус кривизны траектории в соответствующей точке:
Необходимые для решения данные приведены в таблице:
Номер варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Уравнения движения
t1 , c
x xt , см
y yt , см
2t 3
4 cos 2 t / 3 2
5t
4 sin t / 3 2
2
2
cos t 2 / 3 3
1/ 2
1
4t 4
2 sin t / 3
sin t 2 / 3 1
4 / t 1
3 cos t / 3 4
3t 2 2
4t
2
1
1/ 2
3t 2 t 1
7 sin t 2 / 6 3
3 / t 2
4 cos t / 3
5t 2 5t / 3 2
2 7 cos t 2 / 6
1
1
3t 6
2 sin t / 3 3
4t 2 1
5 sin 2 t / 6
3t
5 cos 2 t / 6
2
1
1/ 2
5 cos t / 3
2t 2
4 cos t / 3
5 sin t / 3
2 / t 1
3 sin t / 3
3t
2
7 sin t / 6 5
4 t 2 1
7 cos 2 t / 6
2
1
1/ 2
1
1 3 cos t 2 / 3
3 sin t 2 / 3 3
1
5t 4
2 3t 6t 2
6 sin t 2 / 6 2
3t
3 3t / 2 3t 2
6 cos t 2 3
7t 3
3 3t 2 t
4 cost / 3 1
5t
4 5t 5t / 3
4 sin t / 3
6t
2
8 cos t / 6 2
2t 2 4
8 sin 2 t / 6 7
1
1
1
1
9 cos t 2 / 6 5
1
3t
3t t 3
2 sin t 2 / 3 3
1
1
1
2
2
3 9 sin t 2 / 6
2
2
2
4t 1
5t 5t / 3 3
2 cos t 2 / 3 2
2
2
2
5
1
1
1
1
0
1
1/ 4
Пример 1а
Дано: Уравнения движения точки М
х 5 cos t 2 / 3
y 5 sin t 2 / 3
t 1c
установить вид ее траектории и для момента времени t 1c найти положение
точки М на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное
(центростремительное) ускорения, а также радиус кривизны траектории в
соответствующей точке.
РЕШЕНИЕ: Данное задание можно решать двумя способами.
I способ:
1. Уравнение движения являются параметрическими уравнениями
траектории точки. Для получения уравнения траектории в обычной
координатной форме следует исключить время t из уравнений движения
любыми математическими способами:
x 5 cos t 2 / 3
y 5 sin t 2 / 3
2
x2
2 t
cos
25
3
2
2
y sin 2 t
25
3
x2 y2
1
25 25
x 2 y 2 52
после всех преобразований получили уравнение окружности с центром в
начале координат с радиусом R 5 см
2. Координаты точки
М
1
2
x
5
cos
t
/
3
5
2,5 см
2
y 5 sin t 2 / 3 5 3 4,33 см
2
М 2,5; 4,33
3. Для определения скорости тоски находим проекции скорости на оси
координат
t
10 t
V x x 5 cos t 2 / 3 5 sin
2t
sin t 2
2
3
3
3
3
t
10 t
V y y 5 sin t 2 / 3 5 cos
2t
cos t 2
3
3
3
3
2
6
Модуль скорости точки
V V x2 V y2
при t 1c
Vx 9,069 см / с , V y 5,236 см / с , V 10,472 см / с
4. Аналогично проекции ускорения точки:
а) определим полное ускорение точки и его проекции на оси координат:
a a x2 a y2
a x x
a y y
20
10
2
1
1
10 t
сos 2 t 2 2 t 2 sin t 2
V x
sin t =
9
3
3
3
3
3
2 20
10
10 t
1
1
V y
cos t
sin t 2 2 t 2 cos t 2
3
3
9
3
3
3
при t 1c
a x 20,035 см / с 2 ,
a y 13,758 см / с 2 , a 24,304 см / с 2
б) определим тангенциальное (касательно) ускорение точки:
a
Vx a x V y a y
V
10,477 см / с 2
в) определим нормальное ускорение точки
a n a 2 a2 21,932 см / с 2
5. Вычислим радиус кривизны траектории точки в указанный момент
времени
V2
5 см
an
7
Пример 1б:
II способ:
Эту же задачу можно решить, применяя математический пакет
Mathcad . Вводим заданные уравнения в программу
8
9
10
Пример 2 ,
дано: x 4t 4 ; y 4 / t 1 ;
t 2c
11
Пример 3
дано: x 4 cos t / 3 ; y 2 sin t / 3 3 ;
12
t 1c
Пример 4
Дано: х 3 t 2 2 ,
y 4 t
t
1
c
2
13
14
15
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА:
1. Абсолютно твердое тело
2. Координаты точки
3. Траектория точки
4. Скорость точки
5. Ускорение точки
6. Нормальное ускорение
7. Тангенциальное ускорение точки
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. Что учит раздел «Кинематика»
2. Что называется траекторией ?
3. Что называется перемещением?
4. Как определяется вектор скорости при естественном способе?
5. Как определяется вектор ускорения при естественном способе?
6. Как определяется вектор скорости при радиус-векторном способе?
7. Как определяется вектор ускорения при радиус векторном способе?
8. Как определяется модуль полного ускорения?
9. Как направлено центростремительное ускорения?
10.Как направлено касательное ускорения ?
11.Как определяется модуль скорости при координатном способе?
12.Чему равно центростремительное ускорение при прямолинейном
движении?
13. Какими способами могут быть заданы движения тела (точки)?
14. Сколько будет уравнений движения, если тело движется в
пространстве?
15. Сколько будет уравнений движения, если тело движется в плоскости?
16. Единица измерения вектора скорости?
17. Единица измерения вектора ускорения?
16
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА:
1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М. Высшая школа.
1986. 416
2. Старжинский В.М. Теоретическая механика. М. Наука. 1990. 364с.
3. Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической
механики. М. Высшая школа. 1986. 368с.
4. Макаров Е. Инженерные расчеты в Mathcad. СПБ. Питер.2003. 448.
5. Хенхангер М., Партолль Х., Mathcad 200. Полное руководство. Киев.
Ирина, 2000. 414.
6. Бертяев В.Д. и др. Использование системы Mathcad при решении задач в
курсе теоретической механики. Учебное пособие. Изд. ТулГУ. 2000. 162с.
17
ОГЛАВЛЕНИЕ
Общие методические указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Общие понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
З а д а н и е К-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Пример 1а . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Пример 1б . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Пример 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
11
Пример 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . .
12
Пример 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
13
Ключевые слова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Использованная литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
18
19
20
21
