Задания №5
1. Прототип задания B10 (№282853)
В случайном эксперименте бросают
две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
Решение : (классическое определение
вероятности)
N=62 =36( всего событий)
m =5 (благоприятное событие) 1+7 –
невозможно
2+6
3+5
4+4
5+3
6+2
P(m) = 5: 36 = 0,1388~0,14 – вероятность
Банк данных ЕГЭ- апрель 2014
Набор аналогичных заданий
1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того,
что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых
2. случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что
в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых
3. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того,
что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых
4. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того,
что в сумме выпадет 2 очка. Результат округлите до сотых
5. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того,
что в сумме выпадет 15 очков. Результат округлите до сотых
6. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того,
что в сумме выпадет 14 очков. Результат округлите до сотых
7. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того,
что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых
2. Прототип задания B10 (№282854)
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды.
Найдите вероятность того, что орел
выпадет ровно один раз
Решение : (классическое определение
вероятности)
N=22 =4( всего событий)
m =2 (благоприятное событие) ОР, РО
P(m) = 2: 4 = 0,5– вероятность
Набор аналогичных заданий
1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза
2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз
3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу
4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу
5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз
6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу
7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет оба раза
3. Прототип задания B10
(№282855)
В чемпионате по гимнастике
участвуют 20 спортсменок: 8
из России, 7 из США,
остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают
гимнастки, определяется
жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка,
выступающая первой, окажется из Китая
Решение : (классическое
определение вероятности)
N=20 ( всего событий)
m = 20 – 8-7 = 5 (благоприятное событие)
P(m) = 5: 20 = 0,25 – вероятность
4. Прототип задания B10
(№282856)
В среднем из 1000 садовых
насосов, поступивших в
продажу, 5 подтекают.
Найдите вероятность того,
что один случайно выбранный для контроля насос не
подтекает
Решение : (классическое
определение вероятности)
Набор аналогичных заданий
1. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные —
из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность
того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады
2. В чемпионате по гимнастике участвуют 40 спортсменок: 12 из Аргентины, 9 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая
3. В чемпионате по гимнастике участвуют 64 спортсменки: 20 из Японии, 28 из Китая, остальные —
из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи
4. В чемпионате по гимнастике участвуют 80 спортсменок: 23 из Аргентины, 29 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая
5. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 17 из России, 22 из США, остальные — из
Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того,
что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая
6. В чемпионате по гимнастике участвуют 40 спортсменок: 15 из Норвегии, 14 из Дании, остальные —
из Швеции. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность
того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Швеции
7. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 22 из Великобритании, 19 из Франции,
остальные — из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Германии
Набор аналогичных заданий
1. В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность
того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает
2. В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 20 подтекают. Найдите вероятность
того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает
3. В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность
того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает
4. В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 12 подтекают. Найдите вероятность
того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает
5. В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает
6. В среднем из 1500 садовых насосов, поступивших в продажу, 12 подтекают. Найдите вероятность
N=1000 ( всего событий)
m = 1000 - 5 = 995 (благоприятное событие)
P(m) = 995: 1000 = 0,995 –
вероятность
5. Прототип задания B10
(№282857)
Фабрика выпускает сумки. В
среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная
сумка окажется качественной. Результат округлите до
сотых
Решение : (классическое
определение вероятности)
N=100+8=108 ( всего событий)
m = 100 (благоприятное событие)
P(m) = 100: 108 = 0,925~
0,93– вероятность
того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает
7. В среднем из 1500 садовых насосов, поступивших в продажу, 9 подтекают. Найдите вероятность
того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает
Набор аналогичных заданий
1. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 200 качественных сумок приходится четыре сумки со
скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых
2. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 50 качественных сумок приходится пять сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат
округлите до сотых
3. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со
скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых
4. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится четырнадцать сумок
со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых
5. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 180 качественных сумок приходится восемь сумок со
скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых
6. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 170 качественных сумок приходится шесть сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат
округлите до сотых
7. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 160 качественных сумок приходится четыре сумки со
скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых
Набор аналогичных заданий
1. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Македонии, 8 спортсменов из Сербии, 3 спортсмена из Хорватии и 6 — из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из
Сербии
2. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Великобритании, 8 спортсменов из
Франции, 10 спортсменов из Германии и 10 — из Италии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Франции
3. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 5 спортсменов из Японии, 6 спортсменов из Кореи, 6
спортсменов из Китая и 7 — из Индии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется
жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Китая
4. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Чехии, 4 спортсмена из Словакии, 9
спортсменов из Австрии и 4 — из Швейцарии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из
Решение : (классическое
Швейцарии
определение вероятности)
5. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 6 спортсменов из Великобритании, 4 спортсмена из
N=4+7+9+5=25 ( всего собы- Франции, 7 спортсменов из Германии и 8 — из Италии. Порядок, в котором выступают спортсмены,
тий)
определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется
m = 9 (благоприятное собы- из Германии
тие)
6. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 10 спортсменов из Греции, 3 спортсмена из БолгаP(m) = 9: 25= 0,36 – вероят- рии, 5 спортсменов из Румынии и 7 — из Венгрии. Порядок, в котором выступают спортсмены, опреность
деляется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из
Венгрии
7. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 6 спортсменов из Великобритании, 3 спортсмена из
Франции, 6 спортсменов из Германии и 10 — из Италии. Порядок, в котором выступают спортсмены,
определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется
из Франции
Набор аналогичных заданий
7. Прототип задания B10
1. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 40 докладов — в первый день
(№285922)
Научная конференция про16 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов
водится в 5 дней. Всего заопределяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированпланировано 75 докладов — ным на последний день конференции?
первые три дня по
2. Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 50 докладов — первые два дня по
6. Прототип задания B10
(№282858)
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4
спортсмена из Финляндии, 7
спортсменов из Дании, 9
спортсменов из Швеции и 5
— из Норвегии. Порядок, в
котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется
из Швеции
17 докладов, остальные распределены поровну между
четвертым и пятым днями.
Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова
вероятность, что доклад
профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Решение : (классическое
определение вероятности)
N=75-17·3=24 ( всего событий) за два дня оставшихся,
значит по 12 докладов
Р=12:75=0,16
11 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвертым днями. Порядок докладов
определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
3. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 80 докладов — в первый день
16 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов
определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
4. Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 80 докладов — первые два дня по
20 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвертым днями. Порядок докладов
определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
5. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 50 докладов — в первый день
16 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов
определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
6. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 50 докладов — в первый день
16 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов
определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
7. Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 40 докладов — первые два дня по
9 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвертым днями. Порядок докладов
определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Набор аналогичных заданий
1. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 50 выступлений — по одному от каждой
страны. В первый день 34 выступления, остальные распределены поровну между оставшимися днями.
Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
2 Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 75 выступлений — по одному от каждой
страны. В первый день 9 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями.
Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
3. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 45 выступлений — по одному от каждой
страны. В первый день 9 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями.
Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
4. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой
страны. В первый день 36 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями.
Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
Решение : (классическое
5. Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 60 выступлений — по одному от каждой
определение вероятности)
страны. В первый день 33 выступления, остальные распределены поровну между оставшимися днями.
N=80 ( всего событий)
Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представитеm = (80 – 8): 4 = 18 (благоля России состоится в третий день конкурса?
приятное событие)в каждый 6. Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 70 выступлений — по одному от каждой
из 4 оставшихся дней
страны. В первый день 28 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями.
P(m) = 18: 80 = 0,225 – веро- Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представитеятность
ля России состоится в третий день конкурса?
7. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 55 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 11 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися
днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
Набор аналогичных заданий
9. Прототип задания B10
1. На семинар приехали 3 ученых из Швейцарии, 5 из Голландии и 4 из Франции. Порядок докладов
(№285924)
На семинар приехали 3 уче- определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым окажется доклад ученого из
ных из Норвегии, 3 из РосШвейцарии
сии и 4 из Испании. Порядок 2. На семинар приехали 3 ученых из Болгарии, 4 из Австрии и 5 из Финляндии. Порядок докладов
8. Прототип задания B10
(№285923)
Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений —
по одному от каждой страны. В первый день
8 выступлений, остальные
распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова
вероятность, что выступление представителя России
состоится в третий день
конкурса?
докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым
окажется доклад ученого из
России
Решение : (классическое
определение вероятности)
N=3+3+4=10 ( всего событий)
m = 3 (благоприятное событие)
P(m) = 3: 10 = 0,3 – вероятность
Ответ: 0,3.
10. Прототип задания B10
(№285925)
Перед началом первого тура
чемпионата по бадминтону
участников разбивают на
игровые пары случайным
образом с помощью жребия.
Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди
которых 10 участников из
России, в том числе Руслан
Орлов. Найдите вероятность
того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом
из России?
Решение : (классическое
определение вероятности)
определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из Болгарии
3. На семинар приехали 3 ученых из Польши, 2 из Бельгии и 7 из Румынии. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что пятым окажется доклад ученого из Польши
4. На семинар приехали 7 ученых из Венгрии, 5 из Португалии и 2 из Португалии. Порядок докладов
определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четырнадцатым окажется доклад ученого
из Венгрии
5. На семинар приехали 3 ученых из Германии, 3 из Швейцарии и 2 из России. Порядок докладов
определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что седьмым окажется доклад ученого из России
6. На семинар приехали 3 ученых из Финляндии, 2 из Бельгии и 5 из Голландии. Порядок докладов
определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что первым окажется доклад ученого из Финляндии
7. На семинар приехали 4 ученых из Швеции, 4 из России и 2 из Италии. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четвертым окажется доклад ученого из Швеции
Набор аналогичных заданий
1. Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые
пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 спортсменов, среди
которых 13 участников из России, в том числе Владимир Егоров. Найдите вероятность того, что в
первом туре Владимир Егоров будет играть с каким-либо спортсменом из России?
2. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары
случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 16 участников из России, в том числе Тарас Куницын. Найдите вероятность того, что в первом
туре Тарас Куницын будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?
3. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шашистов, среди которых 8
участников из России, в том числе Борис Барсуков. Найдите вероятность того, что в первом туре Борис Барсуков будет играть с каким-либо шашистом из России?
4. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары
случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 бадминтонистов, среди которых 13 участников из России, в том числе Сергей Хвостиков. Найдите вероятность того, что в первом туре Сергей Хвостиков будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?
5. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 66 теннисистов, среди которых 14
N= 26-1=25
M =10-1=9
P =9 : 25=0,36
11. Прототип задания B10
(№285926)
В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11
из них встречается вопрос
по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно
выбранном на экзамене билете школьнику достанется
вопрос по ботанике
Решение:
N=55
M=11
P =11:55=0,2
12. Прототип задания B10
(№285927)
участников из России, в том числе Антон Переделкин. Найдите вероятность того, что в первом туре
Антон Переделкин будет играть с каким-либо теннисистом из России?
6. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары
случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 6 участников из России, в том числе Никита Литвинов. Найдите вероятность того, что в первом
туре Никита Литвинов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?
7. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары
случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 12 участников из России, в том числе Святослав Кружкин. Найдите вероятность того, что в
первом туре Святослав Кружкин будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?
Набор аналогичных заданий
1. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 11 из них встречается вопрос по логарифмам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется
вопрос по логарифмам
2. В сборнике билетов по химии всего 50 билетов, в 20 из них встречается вопрос по углеводородам.
Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по углеводородам
3. В сборнике билетов по географии всего 25 билетов, в 20 из них встречается вопрос по рекам и озерам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется
вопрос по рекам и озерам
4. В сборнике билетов по физике всего 40 билетов, в 6 из них встречается вопрос по термодинамике.
Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по термодинамике
5. В сборнике билетов по биологии всего 20 билетов, в 17 из них встречается вопрос по ботанике.
Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике
6. В сборнике билетов по истории всего 25 билетов, в 18 из них встречается вопрос по Великой Отечественной Войне. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по Великой Отечественной Войне
7. В сборнике билетов по географии всего 40 билетов, в 10 из них встречается вопрос по странам Европы. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по странам Европы
Набор аналогичных заданий
1. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 7 из них встречается вопрос по производной.
В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в
10 из них встречается вопрос по неравенствам.
Найдите вероятность того,
что в случайно выбранном
на экзамене билете школьнику не достанется вопроса
по неравенствам
Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется
вопроса по производной
2. В сборнике билетов по философии всего 45 билетов, в 18 из них встречается вопрос по Пифагору.
Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется
вопроса по Пифагору
3. В сборнике билетов по физике всего 25 билетов, в 13 из них встречается вопрос по оптике. Найдите
вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по
оптике
4. В сборнике билетов по географии всего 30 билетов, в 12 из них встречается вопрос по регионам
России. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не доРешение : (классическое
станется вопроса по регионам России
определение вероятности)
5. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в 9 из них встречается вопрос по членистоногим.
N=25 ( всего событий)
Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется
m = 25 - 10 = 15 (благопривопроса по членистоногим
ятное событие)
6. В сборнике билетов по биологии всего 20 билетов, в 17 из них встречается вопрос по зоологии.
P(m) = 15: 25 = 0,6 – вероят- Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется
ность
вопроса по зоологии
7. В сборнике билетов по химии всего 40 билетов, в 20 из них встречается вопрос по кислотам.
Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется
вопроса по кислотам
Набор аналогичных заданий
13. Прототип задания B10
1. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Голландии
(№285928)
На чемпионате по прыжкам и 2 прыгуна из Аргентины. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность
в воду выступают 25
того, что четырнадцатым будет выступать прыгун из Аргентины
спортсменов, среди них 8
2. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Германии и
прыгунов из России и 9 пры- 10 прыгунов из США. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того,
гунов из Парагвая. Порядок что одиннадцатым будет выступать прыгун из Германии
выступлений определяется
3. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 7 прыгунов из Голландии
жеребьёвкой. Найдите веро- и 2 прыгуна из Боливии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того,
ятность того, что шестым
что первым будет выступать прыгун из Боливии
будет выступать прыгун из
4. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Швеции и
Парагвая
5 прыгунов из Венесуэлы. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность тоРешение :
го, что девятым будет выступать прыгун из Швеции
N=25
5. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 7 прыгунов из Германии и
M=9
P=9:25 = 0,36
14. Прототип задания B10
(№ 319353)
Две фабрики выпускают
одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая
фабрика выпускает 45
этих стекол, вторая –– 55 .
Первая фабрика выпускает
3 бракованных стекол, а
вторая –– 1 . Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине
стекло окажется бракованным.
Решение:
Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное:
0,45 · 0,03 = 0,0135.
Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное:
0,55 · 0,01 = 0,0055.
Поэтому по формуле полной
вероятности вероятность того, что случайно купленное
2 прыгуна из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того,
что восьмым будет выступать прыгун из Германии
6. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Великобритании и 7 прыгунов из США. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что девятнадцатым будет выступать прыгун из Великобритании
7. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и
10 прыгунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что пятнадцатым будет выступать прыгун из России
Набор аналогичных заданий
1. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает
25 этих стекол, вторая — 75 . Первая фабрика выпускает 4 бракованных стекол, а вторая — 2 .
Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает
70 этих стекол, вторая — 30 . Первая фабрика выпускает 1 бракованных стекол, а вторая — 3 .
Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
3. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает
30 этих стекол, вторая — 70 . Первая фабрика выпускает 4 бракованных стекол, а вторая — 1 .
Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
4. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает
70 этих стекол, вторая — 30 . Первая фабрика выпускает 5 бракованных стекол, а вторая — 4 .
Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
5. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает
45 этих стекол, вторая — 55 . Первая фабрика выпускает 1 бракованных стекол, а вторая — 3 .
Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
6. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает
70 этих стекол, вторая — 30 . Первая фабрика выпускает 3 бракованных стекол, а вторая — 1 .
Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
7. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает
45 этих стекол, вторая — 55 . Первая фабрика выпускает 1 бракованных стекол, а вторая — 5 .
Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
в магазине стекло окажется
бракованным равна
0,0135 + 0,0055 = 0,019.
Ответ: 0,019.
15. Прототип задания B10 (№
319355)
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если
А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии,
причем во второй партии меняют
цвет фигур. Найдите вероятность
того, что А. выиграет оба раза.
Решение.
Возможность выиграть первую и
вторую партию не зависят друг от
друга. Вероятность произведения
независимых событий равна произведению их вероятностей:
0,52 · 0,3 = 0,156.
Ответ: 0,156.
16. Прототип задания B10 (№
320169)
Вася, Петя, Коля и Лёша бросили
жребий — кому начинать игру.
Найдите вероятность того, что
начинать игру должен будет Петя.
Решение
N=4
M=1
P=1:4=0,25
Набор аналогичных заданий
1. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью
0,56. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б.
играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того,
что А. выиграет оба раза
2. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью
0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,34. Гроссмейстеры А. и Б.
играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того,
что А. выиграет оба раза.
3.
4.
5.
6.
7.
Набор аналогичных заданий
1. Маша, Тимур, Диана, Костя и Антон бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет не Антон.
2. Даша, Оля, Дима и Денис бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того,
что начинать игру должна будет девочка.
3. Марина, Катя, Вова, Лена, Миша, Артур, Ваня и Сеня бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Ваня.
4. Гена, Юра, Филипп, Вадим и Таня бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет Таня.
5. Рома, Миша, Петя, Инна и Жанна бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет девочка.
6. Вика, Рита, Ульяна и Боря бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.
7. Сева, Слава, Аня, Андрей, Миша, Игорь, Надя и Карина бросили жребий — кому начинать
игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.
17. Прототип задания B10 (№
320170)
В чемпионате мира участвуют 16
команд. С помощью жребия их
нужно разделить на четыре группы
по четыре команды в каждой. В
ящике вперемешку лежат карточки
с номерами групп:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4,
4.
Капитаны команд тянут по одной
карточке. Какова вероятность того,
что команда России окажется во
второй группе?
Решение.
Вероятность того, что команда России окажется во второй группе,
равна отношению количества карточек с номером 2, к общему числу
карточек. Тем самым, она равна
Ответ: 0,25.
Набор аналогичных заданий
1. В чемпионате мира участвуют 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять
групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Китая окажется в четвёртой группе?
2. В чемпионате мира участвуют 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять
групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Китая окажется в первой группе?
3. В чемпионате мира участвуют 10 команд. С помощью жребия их нужно разделить на две
группы по пять команд в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:
1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Бразилии
окажется в первой группе?
4. В чемпионате мира участвуют 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре
группы по пять команд в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:
1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Франции
окажется в четвёртой группе?
5. В чемпионате мира участвуют 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять
групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Китая окажется в пятой группе?
6. В чемпионате мира участвуют 10 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять
групп по две команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:
1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Канады окажется в первой группе?
7. В чемпионате мира участвуют 12 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре
группы по три команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:
1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4.
18. Прототип задания B10 (№
320171)
На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из
списка экзаменационных вопросов.
Вероятность того, что это вопрос на
тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это
вопрос на тему «Параллелограмм»,
равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум
темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих
двух тем.
Решение: Вероятность суммы двух
несовместных событий равна сумме
вероятностей этих событий:
0,2 + 0,15 = 0,35.
Ответ: 0,35.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Канады окажется в первой группе?
Набор аналогичных заданий
1. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,25. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,1. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
2. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику
достанется вопрос по одной из этих двух тем.
3. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,3. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику
достанется вопрос по одной из этих двух тем.
4. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику
достанется вопрос по одной из этих двух тем.
5. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,35. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику
достанется вопрос по одной из этих двух тем
6. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику
достанется вопрос по одной из этих двух тем
7. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных во-
просов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику
достанется вопрос по одной из этих двух тем.
19. Прототип задания B10 (№ 320172) Набор аналогичных заданий
В торговом центре два одинаковых ав1. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к
томата продают кофе. Вероятность того, концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,35. Вероятность того, что кофе закончится в
что к концу дня в автомате закончится
обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в
кофе, равна 0,3. Вероятность того, что
обоих автоматах.
кофе закончится в обоих автоматах, рав- 2. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к
на 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в
концу дня кофе останется в обоих авто- обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в
матах.
обоих автоматах
Решение. Рассмотрим события
3. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к
концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в
А = кофе закончится в первом автомате, обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в
В = кофе закончится во втором автомаобоих автоматах.
те.
4. В аэропорте два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня
Тогда
в автомате закончится кофе, равна 0,25. Вероятность того, что кофе закончится в обоих авA·B = кофе закончится в обоих автома- томатах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автах,
томатах.
A + B = кофе закончится хотя бы в од5. В аэропорте два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня
ном автомате.
в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих авПо условию P(A) = P(B) = 0,3;
томатах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих авP(A·B) = 0,12.
томатах.
События A и B совместные, вероятность 6. В аэропорте два одинаковых автомата продают чай. Вероятность того, что к концу дня в
суммы двух совместных событий равна автомате закончится чай, равна 0,4. Вероятность того, что чай закончится в обоих автомасумме вероятностей этих событий,
тах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах.
уменьшенной на вероятность их произ7. В торговом центре два одинаковых автомата продают чай. Вероятность того, что к концу
ведения:
дня в автомате закончится чай, равна 0,3. Вероятность того, что чай закончится в обоих авP(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0 томатах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих ав,3 − 0,12 = 0,48.
томатах.
Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что
кофе останется в обоих автоматах, равна
1 − 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52.
Набор аналогичных заданий
20. Прототип задания B10 (№
1. Биатлонист 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном вы320173)
Биатлонист пять раз стреляет по
стреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а
мишеням. Вероятность попадания в последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.
мишень при одном выстреле равна
2. Биатлонист 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном вы0,8. Найдите вероятность того, что
стреле равна 0,5. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а
биатлонист первые три раза попал в последний промахнулся. Результат округлите до сотых.
мишени, а последние два промах3. Биатлонист 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном вынулся. Результат округлите до состреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а
тых.
последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
4. Биатлонист 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выРешение.
Поскольку биатлонист попадает в
стреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а
мишени с вероятностью 0,8, он
последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.
промахивается с вероятностью
5. Биатлонист 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном вы1 − 0,8 = 0,2. События попасть или
стреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишени, а
промахнуться при каждом выстреле последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.
независимы, вероятность произве6. Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстредения независимых событий равна
ле равна 0,7. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 4 раз попал в мишени, а попроизведению их вероятностей. Тем следний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.
самым, вероятность события «по7. Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстрепал, попал, попал, промахнулся,
ле равна 0,5. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а попромахнулся» равна
следние три промахнулся. Результат округлите до сотых.
21. Прототип задания B10 (№ 320174)
В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Решение. Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения
равна произведению вероятностей этих событий:
0,05 · 0,05 = 0,0025.
Набор аналогичных заданий
1. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может
быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
2. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может
быть неисправен с вероятностью 0,12 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат,
противоположное. Следовательно, его вероятность равна
1 − 0,0025 = 0,9975.
Ответ: 0,9975.
Приведем другое решение.
Вероятность того, что исправен первый автомат (событие А)
равна 0,95. Вероятность того, что исправен второй автомат (событие В) равна 0,95. Это совместные независимые события. Вероятность их произведения равна произведению вероятностей
этих событий, а вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Имеем:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B) − P(A)P(B) = 0,95
+ 0,95 − 0,95·0,95 = 0,9975.
22. Прототип задания B10 (№
320175)
Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3.
Найдите вероятность того, что
в течение года хотя бы одна
лампа не перегорит.
Решение.Найдем вероятность
того, что перегорят обе лампы.
Эти события независимые, вероятность их произведения
равно произведению вероятностей этих событий: 0,3·0,3 =
0,09.
Событие, состоящее в том, что
не перегорит хотя бы одна лам-
3. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может
быть неисправен с вероятностью 0,02 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
4. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может
быть неисправен с вероятностью 0,1 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
5. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может
быть неисправен с вероятностью 0,07 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
6. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может
быть неисправен с вероятностью 0,09 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
7.
Набор аналогичных заданий
1. Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,21. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
2. Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,07. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит
3. Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,19. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
4. Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,22. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
5. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,22. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
6. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,09. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
7. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,18. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
па, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1
− 0,09 = 0,91.
Ответ: 0,91.
23. Прототип задания B10 (№ 320176)
Вероятность того, что новый электрический чайник
прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность
того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89.
Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение. Пусть A = «чайник прослужит больше
года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит
больше двух лет», тогда A + B = «чайник прослужит больше года».
События A и В совместные, вероятность их суммы
равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Вероятность произведения этих событий, состоящего в
том, что чайник выйдет из строя ровно через два
года — строго в тот же день, час и секунду — равна
нулю. Тогда:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B),
откуда, используя данные из условия, получаем
0,97 = P(A) + 0,89.
Тем самым, для искомой вероятности имеем:
(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.
Ответ: 0,08.
Набор аналогичных заданий
1. Вероятность того, что новый тостер прослужит больше года, равна 0,94. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,8. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
2. Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,9. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,88. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
3. Вероятность того, что новый пылесос прослужит больше года, равна 0,92.
Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,84. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
4. Вероятность того, что новый персональный компьютер прослужит больше
года, равна 0,95. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна
0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше
года.
5. Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,94. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
6. Вероятность того, что новый персональный компьютер прослужит больше
года, равна 0,9. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна
0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше
года.
7. Вероятность того, что новый пылесос прослужит больше года, равна 0,93.
Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,88. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Набор аналогичных заданий
24. Прототип задания B10 (№ 320177)
Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40%
1. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хояиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяй- зяйствах. 60% яиц из первого хозяйства — яйца высшей
ства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает
категории, а из второго хозяйства — 70% яиц высшей ка35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агротегории. Всего высшую категорию получает 65% яиц.
фирмы, окажется из первого хозяйства.
Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой аг-
Решение. Пусть событие состоит в том, что яйцо имеет высшую категорию, события и состоят в том, что яйцо произведено в первом и
втором хозяйствах соответственно. Тогда события
и
— события,
состоящие в том, что яйцо высшей категории произведено в первом и
втором хозяйстве соответственно. По формуле полной вероятности, вероятность того, что будет куплено яйцо высшей категории, равна:
Поскольку по условию эта вероятность равна 0,35, поэтому для вероятности того, что купленное яйцо произведено в первом хозяйстве имеем:
Примечание Ивана Высоцкого. Это решение можно записать коротко.
Пусть — искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в
первом хозяйстве. Тогда
— вероятность того, что куплено яйцо,
произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной вероятности
имеем:
Ответ: 0,75.
рофирмы, окажется из первого хозяйства.
2. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей
категории, а из второго хозяйства — 90% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 60% яиц.
Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
3. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 55% яиц из первого хозяйства — яйца высшей
категории, а из второго хозяйства — 35% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 45% яиц.
Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
4. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 50% яиц из первого хозяйства — яйца высшей
категории, а из второго хозяйства — 70% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 65% яиц.
Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
5. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 65% яиц из первого хозяйства — яйца высшей
категории, а из второго хозяйства — 85% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 80% яиц.
Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
6. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 5% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 30% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 15% яиц.
Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
7. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 90% яиц из первого хозяйства — яйца высшей
категории, а из второго хозяйства — 40% яиц высшей ка-
тегории. Всего высшую категорию получает 85% яиц.
Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Набор аналогичных заданий
1. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая
цифра будет нечётной?
2. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая
цифра будет меньше 4?
3. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая
цифра будет 4?
4. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая
цифра будет 3?
5. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая
цифра будет 1?
6. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая
цифра будет больше 2, но меньше 7?
7. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая
цифра будет чётной и больше 3?
Набор аналогичных заданий
26. Прототип задания B10 (№
1. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 58 до 82 делится на
320179)
Какова вероятность того, что слу6?
чайно выбранное натуральное число 2. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 40 до 54 делится на
от 10 до 19 делится на три?
5?
Решение:
3. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 41 до 56 делится на
N=10
2?
M=3
4. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 51 до 78 делится на
P=3:10=0,3
2?
5. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 36 до 55 делится на
5?
6. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 25 до 40 делится на
4?
7. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 60 до 74 делится на
6?
Набор аналогичных заданий
27. Прототип задания B10 (№
25. Прототип задания B10 (№
320178)
На клавиатуре телефона 10 цифр, от
0 до 9. Какова вероятность того, что
случайно нажатая цифра будет чётной?
Решение:
n=10
M=5
P=5:10=0,5
320180)
Ковбой Джон попадает в муху на
стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера.
Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает
в муху с вероятностью 0,2. На столе
лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон
видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и
стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Решение. Джон промахнется, если
схватит пристрелянный револьвер и
промахнется из него, или если схватит непристрелянный револьвер и
промахнется из него. По формуле
условной вероятности, вероятности
этих событий равны соответственно
0,4·(1 − 0,9) = 0,04 и
0,6·(1 − 0,2) = 0,48. Эти события
несовместны, вероятность их суммы
равна сумме вероятностей этих событий: 0,04 + 0,48 = 0,52.
Ответ: 0,52.
1. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного
револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон
видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
2. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного
револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон
видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
3. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,7, если стреляет из пристрелянного
револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,1. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон
видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
4. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного
револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,1. На столе лежит 10 револьверов, из них только 3 пристрелянные. Ковбой Джон
видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
5. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного
револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,4. На столе лежит 10 револьверов, из них только 3 пристрелянные. Ковбой Джон
видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
6. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного
револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,1. На столе лежит 10 револьверов, из них только 5 пристрелянные. Ковбой Джон
видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
7. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,7, если стреляет из пристрелянного
револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,1. На столе лежит 10 револьверов, из них только 5 пристрелянные. Ковбой Джон
видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найди-
28. Прототип задания B10 (№
320181)
В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух
человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел
бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность
того, что А. пойдёт в магазин?
Решение:
N=5
M=2
P=2:5=0,4
29. Прототип задания B10 (№
320183)
Перед началом футбольного матча
судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру
с мячом. Команда «Физик» играет
три матча с разными командами.
Найдите вероятность того, что в
этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.
Решение: Обозначим «1» ту сторону
монеты, которая отвечает за выигрыш жребия «Физиком», другую
сторону монеты обозначим «0». Тогда благоприятных комбинаций три:
110, 101, 011, а всего комбинаций
23 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101,
те вероятность того, что Джон промахнётся.
Набор аналогичных заданий
1. В группе туристов 6 человек. С помощью жребия они выбирают трёх человек, которые
должны идти в село за продуктами. Турист К. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется
жребию. Какова вероятность того, что К. пойдёт в магазин?
2. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают четырёх человек, которые
должны идти в село за продуктами. Турист Г. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется
жребию. Какова вероятность того, что Г. пойдёт в магазин?
3. В группе туристов 10 человек. С помощью жребия они выбирают четырёх человек, которые
должны идти в село за продуктами. Турист В. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется
жребию. Какова вероятность того, что В. пойдёт в магазин?
4. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые
должны идти в село за продуктами. Турист Б. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется
жребию. Какова вероятность того, что Б. пойдёт в магазин?
5.
6.
7.
Набор аналогичных заданий
1. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Химик» играет три матча с разными командами. Найдите
вероятность того, что в этих играх «Химик» выиграет жребий ровно два раза.
2. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Труд» играет три матча с разными командами. Найдите
вероятность того, что в этих играх «Труд» выиграет жребий ровно один раз.
3. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Сапфир» играет три матча с разными командами. Найдите
вероятность того, что в этих играх «Сапфир» выиграет жребий ровно один раз.
4. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Сапфир» играет три матча с разными командами. Найдите
вероятность того, что в этих играх «Сапфир» проиграет жребий ровно два раза.
5. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Геолог» играет три матча с разными командами. Найдите
вероятность того, что в этих играх «Геолог» выиграет жребий ровно один раз.
6. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из ко-
110, 111. Тем самым, искомая вероятность равна:
N= 23= 8
M=3
P=3: 8 =0,375
Ответ: 0,375.
30. Прототип задания B10 (№
320184)
Игральный кубик бросают дважды.
Сколько элементарных исходов
опыта благоприятствуют событию
«А = сумма очков равна 5»?
Решение.
Сумма очков может быть равна 5 в
четырех случаях: «3 + 2», «2 + 3»,
«1 + 4», «4 + 1».
Ответ: 4.
манд начнёт игру с мячом. Команда «Труд» играет три матча с разными командами. Найдите
вероятность того, что в этих играх «Труд» выиграет жребий ровно два раза.
7. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Труд» играет три матча с разными командами. Найдите
вероятность того, что в этих играх «Труд» проиграет жребий ровно два раза.
Набор аналогичных заданий
1. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют
событию
А = \{сумма очков равна 4\}?
2. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют
событию
А = \{сумма очков равна 10\}?
3. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют
событию
А = \{сумма очков равна 9\}?
4. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют
событию
А = \{сумма очков равна 2\}?
5. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют
событию
А = \{сумма очков равна 7\}?
6.
7.
Набор аналогичных заданий
31. Прототип задания B10 (№
1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность то320185)
В случайном эксперименте симмет- го, что наступит исход РРР (все три раза выпадает решка).
ричную монету бросают дважды.
2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность тоНайдите вероятность того, что
го, что наступит исход ОРР (в первый раз выпадает орёл, во второй и третий — решка).
наступит исход ОР (в первый раз
3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность товыпадает орёл, во второй — решка). го, что наступит исход РОР (в первый и третий разы выпадает решка, во второй — орёл).
Решение:
4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность тоN= 4
го, что наступит исход ООР (в первый и второй разы выпадает орёл, в третий — решка).
M=1
5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность то-
го, что наступит исход ООО (все три раза выпадает орёл).
6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход РР (оба раза выпадет решка).
7.
Набор аналогичных заданий
32. Прототип задания B10 (№
1. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок
320186)
На рок-фестивале выступают груп- выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Китая будет выпы — по одной от каждой из заявступать после группы из Вьетнама и после группы из Канады? Результат округлите до сотых.
ленных стран. Порядок выступле2. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок
ния определяется жребием. Какова выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из России будет вывероятность того, что группа из Да- ступать после группы из Вьетнама и после группы из Англии? Результат округлите до сотых.
нии будет выступать после группы 3. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок
из Швеции и после группы из Нор- выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Германии будет
вегии? Результат округлите до совыступать после группы из Франции и после группы из России? Результат округлите до сотых.
тых.
4. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок
Решение. Общее количество вывыступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Франции будет
ступающих на фестивале групп для выступать после группы из США и после группы из Канады? Результат округлите до сотых.
ответа на вопрос неважно. Сколько 5. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок
бы их ни было, для указанных стран выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Франции будет
есть 6 способов взаимного расповыступать после группы из Швеции и после группы из России? Результат округлите до сотых.
ложения среди выступающих (Д — 6. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок
Дания, Ш — Швеция, Н — Норвевыступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Канады будет выгия):
ступать после группы из Швеции и после группы из Англии? Результат округлите до сотых.
...Д...Ш...Н..., ...Д...Н...Ш...,
7. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок
...Ш...Н...Д..., ...Ш...Д...Н...,
выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из России будет вы...Н...Д...Ш..., ...Н...Ш...Д...
ступать после группы из Германии и после группы из Китая? Результат округлите до сотых.
Дания находится после Швеции и
Норвегии в двух случаях. Поэтому
вероятность того, что группы случайным образом будут распределеP=0,25
ны именно так, равна
Ответ: 0,33.
33. Прототип задания B10 (№ 320187)
Набор аналогич-
При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность
уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
Решение. Найдем вероятность противоположного события, состоящего в том, что цель не будет уничтожена за n
выстрелов. Вероятность промахнуться при первом выстреле равна 0,6, а при каждом следующем — 0,4. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятности этих событий. Поэтому вероятность промахнуться при n выстрелах равна:
Осталось найти наименьшее натуральное решение неравенства
ных заданий
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Последовательно проверяя значения , равные 1, 2, 3 и т. д. находим, что искомым решением является
. Следовательно, необходимо сделать 5 выстрелов.
Ответ: 5.
Набор аналогичных заданий
34. Прототип задания B10 (№ 320188)
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футболь- 1. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде
ной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх.
нужно набрать хотя бы 8 очков в двух играх. Если команда выигрывает,
Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае
она получает 5 очков, в случае ничьей — 3 очка, если проигрывает — 0
ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите
очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следуювероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигщий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре верыша и проигрыша одинаковы и равны 0,2.
роятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4. 2. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде
Решение. Команда может получить не меньше 4 очков в
нужно набрать хотя бы 6 очков в двух играх. Если команда выигрывает,
двух играх тремя способами: 3+1, 1+3, 3+3. Эти события
она получает 4 очка, в случае ничьей — 2 очка, если проигрывает — 0
несовместны, вероятность их суммы равна сумме их веро- очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следуюятностей. Каждое из этих событий представляет собой
щий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигпроизведение двух независимых событий — результата в
рыша и проигрыша одинаковы и равны 0,2.
первой и во второй игре. Отсюда имеем:
3. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде
нужно набрать хотя бы 6 очков в двух играх. Если команда выигрывает,
она получает 5 очков, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0
Ответ: 0,32. очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.
4. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде
нужно набрать хотя бы 9 очков в двух играх. Если команда выигрывает,
она получает 5 очков, в случае ничьей — 4 очка, если проигрывает — 0
очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
5. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде
нужно набрать хотя бы 7 очков в двух играх. Если команда выигрывает,
она получает 4 очка, в случае ничьей — 3 очка, если проигрывает — 0
очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.
6. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде
нужно набрать хотя бы 7 очков в двух играх. Если команда выигрывает,
она получает 5 очков, в случае ничьей — 2 очка, если проигрывает — 0
очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
7. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде
нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает,
она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0
очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.
35. Прототип задания B10
(№ 320189)
В некотором городе из 5000
появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков.
Найдите частоту рождения
девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.
Решение.
Из 5000 тысяч новорожден-
Набор аналогичных заданий
1. В некотором городе из 3000 появившихся на свет младенцев 1560 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных
2. В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2440 девочек. Найдите частоту рождения мальчиков в этом городе. Результат округлите до тысячных.
3. В некотором городе из 3000 появившихся на свет младенцев 1520 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных
4. В некотором городе из 3000 появившихся на свет младенцев 1430 девочек. Найдите частоту рождения мальчиков в этом городе. Результат округлите до тысячных.
5. В некотором городе из 4000 появившихся на свет младенцев 2020 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.
ных 5000 − 2512 = 2488 девочек. Поэтому частота
рождения девочек равна
Ответ: 0,498.
36. Прототип задания B10
(№ 320190)
На борту самолёта 12 мест
рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В.
высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест
Решение.
В самолете 12 + 18 = 30 мест
удобны пассажиру В., а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что
пассажиру В. достанется
удобное место равна
30 : 300 = 0,1.
Ответ: 0,1.
6. В некотором городе из 3000 появившихся на свет младенцев 1590 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.
7. В некотором городе из 2000 появившихся на свет младенцев 1020 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.
Набор аналогичных заданий
1. На борту самолёта 28 мест рядом с запасными выходами и 16 мест за перегородками, разделяющими
салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Л. высокого роста.
Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Л. достанется
удобное место, если всего в самолёте 400 мест.
2. На борту самолёта 16 мест рядом с запасными выходами и 20 мест за перегородками, разделяющими
салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Л. высокого роста.
Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Л. достанется
удобное место, если всего в самолёте 400 мест.
3. На борту самолёта 18 мест рядом с запасными выходами и 28 мест за перегородками, разделяющими
салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Д. высокого роста.
Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Д. достанется
удобное место, если всего в самолёте 200 мест
4. На борту самолёта 25 мест рядом с запасными выходами и 17 мест за перегородками, разделяющими
салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Л. высокого роста.
Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Л. достанется
удобное место, если всего в самолёте 200 мест.
5. На борту самолёта 21 мест рядом с запасными выходами и 15 мест за перегородками, разделяющими
салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир К. высокого роста.
Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру К. достанется
удобное место, если всего в самолёте 450 мест.
6. На борту самолёта 23 мест рядом с запасными выходами и 25 мест за перегородками, разделяющими
салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир З. высокого роста.
Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру З. достанется
удобное место, если всего в самолёте 100 мест.
7. На борту самолёта 23 мест рядом с запасными выходами и 28 мест за перегородками, разделяющими
салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир A. высокого роста.
Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру A. достанется
удобное место, если всего в самолёте 100 мест
Набор аналогичных заданий
37. Прототип задания B10
1. На олимпиаде по истории участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 140 чело(№ 320191)
На олимпиаде в вузе участвек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всеников рассаживают по трём го было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиааудиториям. В первых двух ду в запасной аудитории.
по 120 человек, оставшихся 2. На олимпиаде по социологии участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 110
проводят в запасную аудичеловек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что
торию в другом корпусе.
всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимПри подсчёте выяснилось,
пиаду в запасной аудитории.
что всего было 250 участни- 3. На олимпиаде по биологии участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 150 чеков. Найдите вероятность
ловек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что
того, что случайно выбранвсего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
пиаду в запасной аудитории. 4. На олимпиаде по математике участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120
человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что
Решение.
Всего в запасную аудиторию всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимнаправили 250 − 120
пиаду в запасной аудитории.
− 120 = 10 человек. Поэтому 5. На олимпиаде по обществознанию участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по
вероятность того, что слу160 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось,
чайно выбранный участник что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал
писал олимпиаду в запасной олимпиаду в запасной аудитории.
аудитории, равна
6. На олимпиаде по русскому языку участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по
10 : 250 = 0,04.
130 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось,
Ответ: 0,04. что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал
олимпиаду в запасной аудитории.
7. На олимпиаде по русскому языку участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по
120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось,
что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал
олимпиаду в запасной аудитории.
Набор аналогичных заданий
38. Прототип задания B10
1. В классе 33 учащихся, среди них два друга — Андрей и Михаил. Класс случайным образом разби(№ 320192)
В классе 26 человек, среди
вают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Михаил окажутся в одной группе.
них два близнеца — Андрей 2. В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают
и Сергей. Класс случайным на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе.
образом делят на две группы 3. В классе 9 учащихся, среди них два друга — Михаил и Андрей. Класс случайным образом разбивапо 13 человек в каждой.
ют на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Михаил и Андрей окажутся в одной группе.
Найдите вероятность того,
4. В классе 33 учащихся, среди них два друга — Михаил и Олег. Класс случайным образом разбивают
что Андрей и Сергей окана 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Михаил и Олег окажутся в одной группе.
жутся в одной группе.
5. В классе 6 учащихся, среди них два друга — Сергей и Андрей. Класс случайным образом разбивают
на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Сергей и Андрей окажутся в одной группе.
Решение.
Пусть один из близнецов
6. В классе 33 учащихся, среди них два друга — Михаил и Вадим. Класс случайным образом разбиванаходится в некоторой
ют на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Михаил и Вадим окажутся в одной группе.
группе. Вместе с ним в
7. В классе 51 учащийся, среди них два друга — Андрей и Олег. Класс случайным образом разбивают
группе может оказаться 12
на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Олег окажутся в одной группе
человек из 25 оставшихся
одноклассников. Вероятность этого события равна
12 : 25 = 0,48.
Набор аналогичных за39. Прототип задания B10 (№ 320193)
В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрные с жёлтыми надписями на бортах,
даний
остальные — жёлтые с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет
1.
машина жёлтого цвета с чёрными надписями
2.
3.
Решение.
Машин желтого цвета с черными надписями 23, всего машин 50. Поэтому вероятность того, что на случай- 4.
ный вызов приедет машина желтого цвета с черными надписями, равна:
5.
6.
Ответ:
7.
0,46.
40. Прототип задания B10 (№ Набор аналогичных заданий
1. В группе туристов 20 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступ320194)
В группе туристов 30 человек.
ный район по 5 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите
Их вертолётом в несколько
вероятность того, что турист Ф. полетит вторым рейсом вертолёта.
приёмов забрасывают в труд2. В группе туристов 24 человека. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодонодоступный район по 6 челоступный район по 3 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен.
век за рейс. Порядок, в котором Найдите вероятность того, что турист З. полетит первым рейсом вертолёта.
вертолёт перевозит туристов,
3. В группе туристов 16 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступ-
случаен. Найдите вероятность
того, что турист П. полетит
первым рейсом вертолёта.
Решение.
На первом рейсе 6 мест, всего
мест 30. Тогда вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта, равна:
Ответ: 0,2.
ный район по 4 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Ф. полетит первым рейсом вертолёта.
4. В группе туристов 16 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 4 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Н. полетит первым рейсом вертолёта.
5. В группе туристов 32 человека. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 4 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен.
Найдите вероятность того, что турист К. полетит пятым рейсом вертолёта.
6. В группе туристов 20 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 5 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите
вероятность того, что турист Ф. полетит первым рейсом вертолёта.
7. В группе туристов 32 человека. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 4 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен.
Найдите вероятность того, что турист У. полетит третьим рейсом вертолёта.
41. Прототип задания B10 (№
320195)
Вероятность того, что новый
DVD-проигрыватель в течение
года поступит в гарантийный
ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных
DVD-проигрывателей в течение
года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На
сколько отличается частота события «гарантийный ремонт»
от его вероятности в этом городе?
Решение. Частота (относительная частота) события «гарантийный ремонт» равна
51 : 1000 = 0,051. Она отличается от предсказанной вероятности на 0,006.
Ответ: 0,006.
42. Прототип задания B10 (№
320196)
При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет
Набор аналогичных заданий
1. Вероятность того, что новый пылесос в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна
0,093. В некотором городе из 1000 проданных пылесосов в течение года в гарантийную мастерскую поступило 97 штук. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
2. Вероятность того, что новый блендер в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна
0,096. В некотором городе из 1000 проданных блендеров в течение года в гарантийную мастерскую
поступило 102 штуки. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
3. Вероятность того, что новый телевизор в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна
0,074. В некотором городе из 1000 проданных телевизоров в течение года в гарантийную мастерскую поступило 77 штук. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
4. Вероятность того, что новый пылесос в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна
0,065. В некотором городе из 1000 проданных пылесосов в течение года в гарантийную мастерскую поступило 70 штук. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
5. Вероятность того, что новый пылесос в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна
0,042. В некотором городе из 1000 проданных пылесосов в течение года в гарантийную мастерскую поступило 44 штуки. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его
вероятности в этом городе?
6. Вероятность того, что новый ноутбук в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна
0,072. В некотором городе из 1000 проданных ноутбуков в течение года в гарантийную мастерскую
поступило 76 штук. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
7. Вероятность того, что новый пылесос в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна
0,083. В некотором городе из 1000 проданных пылесосов в течение года в гарантийную мастерскую поступило 86 штук. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
Набор аналогичных заданий
1. При изготовлении подшипников диаметром 68 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,968. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 67,99 мм, или больше, чем 68,01 мм.
2. При изготовлении подшипников диаметром 61 мм вероятность того, что диаметр будет отли-
отличаться от заданного не
больше, чем на 0,01 мм, равна
0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник
будет иметь диаметр меньше,
чем 66,99 мм, или больше, чем
67,01 мм.
Решение.
По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах
от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая
вероятность противоположного
события равна
1 − 0,965 = 0,035.
Ответ: 0,035.
чаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,972. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 60,99 мм, или больше, чем 61,01 мм.
3. При изготовлении подшипников диаметром 65 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,981. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 64,99 мм, или больше, чем 65,01 мм.
4. При изготовлении подшипников диаметром 60 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,972. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 59,99 мм, или больше, чем 60,01 мм.
5. При изготовлении подшипников диаметром 72 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,971. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 71,99 мм, или больше, чем 72,01 мм.
6. При изготовлении подшипников диаметром 64 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,963. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 63,99 мм, или больше, чем 64,01 мм.
7. При изготовлении подшипников диаметром 71 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,987. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 70,99 мм, или больше, чем 71,01 мм.
43. Прототип задания B10 (№
320198)
Вероятность того, что на тесте
по биологии учащийся О. верно
решит больше 11 задач, равна
0,67. Вероятность того, что О.
верно решит больше 10 задач,
равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит
ровно 11 задач.
Решение.
Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и В =
«учащийся решит больше 11
задач». Их сумма — событие
A + B = «учащийся решит
Набор аналогичных заданий
1. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся Т. верно решит больше 8 задач, равна 0,76.
Вероятность того, что Т. верно решит больше 7 задач, равна 0,88. Найдите вероятность того, что Т.
верно решит ровно 8 задач.
2. Вероятность того, что на тесте по математике учащийся У. верно решит больше 12 задач, равна
0,78. Вероятность того, что У. верно решит больше 11 задач, равна 0,88. Найдите вероятность того,
что У. верно решит ровно 12 задач.
3. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся Т. верно решит больше 9 задач, равна 0,68.
Вероятность того, что Т. верно решит больше 8 задач, равна 0,78. Найдите вероятность того, что Т.
верно решит ровно 9 задач.
4. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся Т. верно решит больше 8 задач, равна 0,58.
Вероятность того, что Т. верно решит больше 7 задач, равна 0,64. Найдите вероятность того, что Т.
верно решит ровно 8 задач.
5. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся Д. верно решит больше 11 задач, равна 0,64.
Вероятность того, что Д. верно решит больше 10 задач, равна 0,7. Найдите вероятность того, что Д.
верно решит ровно 11 задач.
больше 10 задач». События A и 6. Вероятность того, что на тесте по физике учащийся Т. верно решит больше 9 задач, равна 0,66.
В несовместные, вероятность
Вероятность того, что Т. верно решит больше 8 задач, равна 0,75. Найдите вероятность того, что Т.
их суммы равна сумме вероят- верно решит ровно 9 задач.
ностей этих событий: P(A + B) 7. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся Т. верно решит больше 10 задач, равна 0,75.
= P(A) + P(B).
Вероятность того, что Т. верно решит больше 9 задач, равна 0,8. Найдите вероятность того, что Т.
Тогда, используя данные зада- верно решит ровно 10 задач.
чи, получаем: 0,74 = P(A) +
0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67
= 0,07.
Ответ: 0,07.
Набор аналогичных заданий
44. Прототип задания B10 (№ 320199)
Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвисти- 1. Чтобы поступить в институт на специальность «Переводчик», абика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов туриент должен набрать на ЕГЭ не менее 79 баллов по каждому из
по каждому из трёх предметов — математика, русский язык трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык.
и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность Чтобы поступить на на специальность «Таможенное дело», нужно
«Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждо- набрать не менее 79 баллов по каждому из трёх предметов — матемаму из трёх предметов — математика, русский язык и обще- тика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриствознание.
ент Б. получит не менее 79 баллов по математике, равна 0,9, по русВероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70
скому языку — 0,7, по иностранному языку — 0,8 и по обществознабаллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, нию — 0,9. Найдите вероятность того, что Б. сможет поступить на одпо иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5. ну из двух упомянутых специальностей.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы 2. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абина одну из двух упомянутых специальностей.
туриент должен набрать на ЕГЭ не менее 68 баллов по каждому из
Решение. Для того, чтобы поступить хоть куда-нибудь, З.
трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык.
нужно сдать и русский, и математику как минимум на 70
Чтобы поступить на на специальность «Менеджмент», нужно набрать
баллов, а помимо этого еще сдать иностранный язык или
не менее 68 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русобществознание не менее, чем на 70 баллов. Пусть A, B, C и ский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент Р. поD — это события, в которых З. сдает соответственно мателучит не менее 68 баллов по математике, равна 0,7, по русскому языматику, русский, иностранный и обществознание не менее, ку — 0,7, по иностранному языку — 0,8 и по обществознанию — 0,5.
чем на 70 баллов. Тогда поскольку
Найдите вероятность того, что Р. сможет поступить на одну из двух
упомянутых специальностей
для вероятности поступления имеем:
3. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 64 баллов по каждому из
трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык.
Чтобы поступить на на специальность «Социология», нужно набрать
Ответ: 0,408. не менее 64 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент Б. получит не менее 64 баллов по математике, равна 0,5, по русскому языку — 0,9, по иностранному языку — 0,8 и по обществознанию —
0,9.Найдите вероятность того, что Б. сможет поступить на одну из
двух упомянутых специальностей.
4. Чтобы поступить в институт на специальность «Международные
отношения», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 67 баллов
по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Менеджмент»,
нужно набрать не менее 67 баллов по каждому из трёх предметов —
математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент Т. получит не менее 67 баллов по
математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,5, по иностранному
языку — 0,8 и по обществознанию — 0,9. Найдите вероятность того,
что Т. сможет поступить на одну из двух упомянутых специальностей
5. Чтобы поступить в институт на специальность «Международные
отношения», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 79 баллов
по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Коммерция»,
нужно набрать не менее 79 баллов по каждому из трёх предметов —
математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент И. получит не менее 79 баллов по
математике, равна 0,8, по русскому языку — 0,7, по иностранному
языку — 0,9 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что И. сможет поступить на одну из двух
упомянутых специальностей.
6. Чтобы поступить в институт на специальность «Переводчик», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 75 баллов по каждому из
трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык.
Чтобы поступить на на специальность «Таможенное дело», нужно
набрать не менее 75 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент И. получит не менее 75 баллов по
математике, равна 0,9, по русскому языку — 0,6, по иностранному
языку — 0,8 и по обществознанию — 0,6.
Найдите вероятность того, что И. сможет поступить на одну из двух
упомянутых специальностей.
7. Чтобы поступить в институт на специальность «Переводчик», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 62 баллов по каждому из
трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык.
Чтобы поступить на на специальность «Социология», нужно набрать
не менее 62 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент А. получит не менее 62 баллов по
математике, равна 0,5, по русскому языку — 0,5, по иностранному
языку — 0,9 и по обществознанию — 0,7.
Найдите вероятность того, что А. сможет поступить на одну из двух
упомянутых специальностей.
Набор аналогичных заданий
45. Прототип задания B10 (№ 320200)
На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле ка1.
чества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. 2.
Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. От- 3.
вет округлите до сотых.
4.
5.
Решение.
Пусть завод произвел тарелок. В продажу поступят все качественные тарелки и 20% не выяв6.
ленных дефектных тарелок:
тарелок. Поскольку качественных из них
, 7.
вероятность купить качественную тарелку равна
+
Ответ: 0,978.
46. Прототип задания B10 (№ 320201)
В магазине три продавца. Каждый из них
занят с клиентом с вероятностью 0,3.
Найдите вероятность того, что в случайный
момент времени все три продавца заняты
Набор аналогичных заданий
1. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,7.
Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты
одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
2. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,6.
одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
Решение.
Вероятность произведения независимых
событий равна произведению вероятностей
этих событий. Поэтому вероятность того,
что все три продавца заняты равна
Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты
одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
3. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,5.
Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты
одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
4.
5.
6.
Ответ: 0,027. 7.
Набор аналогичных заданий
47. Прототип задания B10 (№
1. По отзывам покупателей Василий Васильевич оценил надёжность двух интернет-магазинов.
320202)
По отзывам покупателей Иван Ива- Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,93. Вероятность того, что
нович оценил надёжность двух Ин- этот товар доставят из магазина Б, равна 0,94. Василий Васильевич заказал товар сразу в обоих
тернет - магазинов. Вероятность то- магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите верого, что нужный товар доставят из
ятность того, что ни один магазин не доставит товар.
магазина А, равна 0,8. Вероятность 2. По отзывам покупателей Пётр Петрович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Ветого, что этот товар доставят из ма- роятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,87. Вероятность того, что
газина Б, равна 0,9. Иван Иванович этот товар доставят из магазина Б, равна 0,92. Пётр Петрович заказал товар сразу в обоих мазаказал товар сразу в обоих магази- газинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятнах. Считая, что Интернет - магази- ность того, что ни один магазин не доставит товар.
ны работают независимо друг от
3. По отзывам покупателей Василий Васильевич оценил надёжность двух интернет-магазинов.
друга, найдите вероятность того,
Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что
что ни один магазин не доставит то- этот товар доставят из магазина Б, равна 0,88. Василий Васильевич заказал товар сразу в обоих
вар.
магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
Решение.
Вероятность того, что первый мага- 4. По отзывам покупателей Василий Васильевич оценил надёжность двух интернет-магазинов.
зин не доставит товар равна
Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что
1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,83. Василий Васильевич заказал товар сразу в обоих
второй магазин не доставит товар
магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероравна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти
ятность того, что ни один магазин не доставит товар.
события независимы, вероятность
5. По отзывам покупателей Василий Васильевич оценил надёжность двух интернет-магазинов.
их произведения (оба магазина не
Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,94. Вероятность того, что
доставят товар) равна произведению этот товар доставят из магазина Б, равна 0,89. Василий Васильевич заказал товар сразу в обоих
вероятностей этих событий:
магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите веро-
0,1 · 0,2 = 0,02.
ятность того, что ни один магазин не доставит товар.
Ответ: 0,02. 6. По отзывам покупателей Андрей Андреевич оценил надёжность двух интернет -магазинов.
Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,84. Вероятность того, что
этот товар доставят из магазина Б, равна 0,8. Андрей Андреевич заказал товар сразу в обоих
магазинах. Считая, что Интернет -магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
7. По отзывам покупателей Игорь Игоревич оценил надёжность двух интернет -магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,82. Вероятность того, что
этот товар доставят из магазина Б, равна 0,87. Игорь Игоревич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что Интернет -магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
Набор аналогичных заданий
48. Прототип задания B10 (№
1. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в поне320203)
Из районного центра в деревню
дельник в автобусе окажется меньше 21 пассажира, равна 0,93. Вероятность того, что окажется
ежедневно ходит автобус. Вероятменьше 12 пассажиров, равна 0,49. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от
ность того, что в понедельник в ав- 12 до 20,
тобусе окажется меньше 20 пасса2. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понежиров, равна 0,94. Вероятность то- дельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,81. Вероятность того, что окаго, что окажется меньше 15 пассажется меньше 12 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров бужиров, равна 0,56. Найдите вероят- дет от 12 до 19.
ность того, что число пассажиров
3. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понебудет от 15 до 19.
дельник в автобусе окажется меньше 24 пассажиров, равна 0,81. Вероятность того, что окажется меньше 14 пассажиров, равна 0,6. Найдите вероятность того, что число пассажиров буРешение.
Рассмотрим события A = «в автобу- дет от 14 до 23.
се меньше 15 пассажиров» и В = «в 4. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понеавтобусе от 15 до 19 пассажиров».
дельник в автобусе окажется меньше 22 пассажиров, равна 0,9. Вероятность того, что окажетИх сумма — событие A + B = «в ав- ся меньше 13 пассажиров, равна 0,57. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет
тобусе меньше 20 пассажиров». Со- от 13 до 21.
бытия A и В несовместные, вероят- 5. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в поненость их суммы равна сумме веродельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,95. Вероятность того, что окаятностей этих событий:
жется меньше 10 пассажиров, равна 0,48. Найдите вероятность того, что число пассажиров буP(A + B) = P(A) + P(B).
дет от 10 до 17.
Тогда, используя данные задачи,
6. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понеполучаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда дельник в автобусе окажется меньше 22 пассажиров, равна 0,92. Вероятность того, что ока-
P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.
жется меньше 11 пассажиров, равна 0,45. Найдите вероятность того, что число пассажиров буОтвет: 0,38. дет от 11 до 21.
7. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 16 пассажиров, равна 0,96. Вероятность того, что окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,55. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 10 до 15.
Набор аналогичных заданий
49. Прототип задания B10 (№
1. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы опре320205)
Перед началом волейбольного мат- делить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с команча капитаны команд тянут честный дами «Протор», «Ротор» и «Мотор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать
жребий, чтобы определить, какая из только вторую и последнюю игры.
команд начнёт игру с мячом. Ко2. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы опреманда «Статор» по очереди играет с делить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с команкомандами «Ротор», «Мотор» и
дами «Ротор», «Мотор» и «Стратор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать
«Стартер». Найдите вероятность то- только вторую игру.
го, что «Статор» будет начинать
3. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы опретолько первую и последнюю игры.
делить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Ротор» по очереди играет с командами «Протор», «Стартер» и «Монтёр». Найдите вероятность того, что «Ротор» будет начинать
Решение.
Требуется найти вероятность протолько первую и вторую игры.
изведения трех событий: «Статор»
4. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы опреначинает первую игру, не начинает делить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Мотор» по очереди играет с командавторую игру, начинает третью игру. ми «Монтёр», «Стартер» и «Ротор». Найдите вероятность того, что «Мотор» будет начинать
Вероятность произведения незавивсе игры.
симых событий равна произведе5. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы опрению вероятностей этих событий.
делить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стратор» по очереди играет с команВероятность каждого из них равна
дами «Ротор», «Стартер» и «Протор». Найдите вероятность того, что «Стратор» будет начи0,5, откуда находим:
нать только вторую и последнюю игры.
0,5·0,5·0,5 = 0,125.
6. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы опреОтвет: 0,125. делить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стратор» по очереди играет с командами «Стартер», «Ротор» и «Монтёр». Найдите вероятность того, что «Стратор» будет начинать только последнюю игру.
7. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Стратор», «Протор» и «Ротор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начи-
нать только первую и вторую игры.
Набор аналогичных заданий
50. Прототип задания B10 (№
1. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, устано320206)
В Волшебной стране бывает два ти- вившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода завпа погоды: хорошая и отличная,
тра будет такой же, как и сегодня. 6 сентября погода в Волшебной стране хорошая. Найдите
причём погода, установившись
вероятность того, что 9 сентября в Волшебной стране будет отличная погода
утром, держится неизменной весь
2. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, устанодень. Известно, что с вероятностью вившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода зав0,8 погода завтра будет такой же,
тра будет такой же, как и сегодня. 8 июля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите верокак и сегодня. Сегодня 3 июля, поятность того, что 11 июля в Волшебной стране будет отличная погода
года в Волшебной стране хорошая. 3. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, устаноНайдите вероятность того, что 6
вившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завиюля в Волшебной стране будет от- тра будет такой же, как и сегодня. 18 апреля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите величная погода.
роятность того, что 21 апреля в Волшебной стране будет отличная погода
Решение. Для погоды на 4, 5 и 6
4. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, устаноиюля есть 4 варианта: ХХО, ХОО,
вившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О тра будет такой же, как и сегодня. 24 июля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите ве— отличная погода). Найдем веророятность того, что 27 июля в Волшебной стране будет отличная погода
ятности наступления такой погоды: 5. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, устаноP(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128;
вившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завP(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128;
тра будет такой же, как и сегодня. 9 мая погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероP(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008;
ятность того, что 12 мая в Волшебной стране будет отличная погода
P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.
6. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, устаноУказанные события несовместные, вившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода заввероятность их сумы равна сумме
тра будет такой же, как и сегодня. 14 октября погода в Волшебной стране хорошая. Найдите
вероятностей этих событий:
вероятность того, что 17 октября в Волшебной стране будет отличная погода.
P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(О 7. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, устаноОО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 вившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода зав= 0,392.
тра будет такой же, как и сегодня. 16 июня погода в Волшебной стране хорошая. Найдите веОтвет: 0,392. роятность того, что 19 июня в Волшебной стране будет отличная погода
Набор аналогичных заданий
51. Прототип задания B10 (№ 320207)
Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, 1.
то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт 2.
положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ мо- 3.
жет дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов,
поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным
Решение. Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А) пациент болеет
гепатитом, его анализ верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем:
4.
5.
6.
7.
Ответ: 0,0545.
52. Прототип задания B10 (№
320208)
В кармане у Миши было четыре
конфеты — «Грильяж», «Белочка»,
«Коровка» и «Ласточка», а так же
ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из
кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась
конфета «Грильяж».
Решение.
В кармане было 4 конфета, а выпала
одна конфета. Поэтому вероятность
этого события равна одной четвертой.
Ответ: 0,25.
53. Прототип задания B10 (№
Набор аналогичных заданий
1. В кармане у Ромы было четыре конфеты — «Василёк», «Красная шапочка», «Белочка» и
«Ласточка», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Рома случайно выронил из кармана
одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Красная шапочка».
2. В кармане у Саши было четыре конфеты — «Маска», «Василёк», «Взлётная» и «Коровка», а
так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Саша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Василёк».
3. В кармане у Саши было четыре конфеты — «Мишка», «Взлётная», «Белочка» и «Грильяж»,
а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Саша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Взлётная»
4. В кармане у Дани было четыре конфеты — «Коровка», «Белочка», «Василёк» и «Маска», а
так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Даня случайно выронил из кармана одну конфету.
Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Белочка»
5. В кармане у Серёжи было четыре конфеты — «Маска», «Василёк», «Коровка» и «Белочка»,
а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Серёжа случайно выронил из кармана одну
конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Василёк»
6. В кармане у Дани было четыре конфеты — «Маска», «Грильяж», «Мишка» и «Василёк», а
так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Даня случайно выронил из кармана одну конфету.
Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж»
7. В кармане у Димы было четыре конфеты — «Коровка», «Красная шапочка», «Василёк» и
«Ласточка», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Дима случайно выронил из кармана
одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Красная шапочка»
Набор аналогичных заданий
1. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 5,
но не дойдя до отметки 8 часов
2. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 1,
но не дойдя до отметки 4 часа
3. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 3,
но не дойдя до отметки 6 часов
4. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 12,
но не дойдя до отметки 3 часа
5. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 2,
но не дойдя до отметки 5 часов
6. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и пеОтвет: 0,25. рестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 1,
но не дойдя до отметки 7 часов
7. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 5,
но не дойдя до отметки 11 часов
Набор аналогичных заданий
54. Прототип задания B10 (№ 320210)
Вероятность того, что батарейка бракованная, 1. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,04. Покупатель в магазине
равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает
выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность
случайную упаковку, в которой две таких батого, что обе батарейки окажутся исправными
тарейки. Найдите вероятность того, что обе
2. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,03. Покупатель в магазине
батарейки окажутся исправными
выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность
того, что обе батарейки окажутся исправными
Решение.
Вероятность того, что батарейка исправна,
3. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель в магазине
равна 0,94. Вероятность произведения незави- выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность
симых событий (обе батарейки окажутся истого, что обе батарейки окажутся исправными
правными) равна произведению вероятностей 4.
этих событий: 0,94·0,94 = 0,8836.
5.
6. 7.
Ответ: 0,8836.
320209)
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то
момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что
часовая стрелка застыла, достигнув
отметки 10, но не дойдя до отметки
1 час
На циферблате между десятью часами и одним часом три часовых
деления. Всего на циферблате 12
часовых делений. Поэтому искомая
вероятность равна:
Набор аналогичных заданий
1. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того,
что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая
батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система
забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что
система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,04.
Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля
2. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того,
что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая
батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система
забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что
система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,02.
Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля
3. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того,
что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая
Ответ: 0,0296. батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система
забракует неисправную батарейку, равна 0,98. Вероятность того, что
система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01.
Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля
4. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того,
что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая
батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система
забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что
система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05.
Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля
5. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того,
что готовая батарейка неисправна, равна 0,03. Перед упаковкой каждая
батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система
забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что
система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,04.
55. Прототип задания B10 (№ 320211)
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02.
Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система
по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01.
Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля
Решение. Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A = батарейка
действительно неисправна и забракована справедливо или В
= батарейка исправна, но по ошибке забракована. Это
несовместные события, вероятность их суммы равна сумме
вероятностей эти событий. Имеем:
Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля
6. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того,
что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая
батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система
забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что
система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01.
Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля
7. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того,
что готовая батарейка неисправна, равна 0,04. Перед упаковкой каждая
батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система
забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что
система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,02.
Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля
56. Прототип задания B10 (№
320212)
На рисунке изображён лабиринт.
Паук заползает в лабиринт в точке
«Вход». Развернуться и ползти
назад паук не может, поэтому на
каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё
не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный,
определите, с какой вероятностью
паук придёт к выходу .
Набор аналогичных заданий
1. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в
лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти
назад паук не может. На каждом разветвлении паук
выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .
2. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в
лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти
назад паук не может. На каждом разветвлении паук
выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .
Решение.
3. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в
лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти
назад паук не может. На каждом разветвлении паук
выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .
На каждой из четырех отмеченных
развилок паук с вероятностью 0,5
может выбрать или путь, ведущий к
выходу D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их
произведения (паук дойдет до выхода D) равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому
вероятность прийти к выходу D
равна (0,5)4 = 0,0625.
4. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в
Ответ: 0,0625. лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти
назад паук не может. На каждом разветвлении паук
выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .
5. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в
лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти
назад паук не может. На каждом разветвлении паук
выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .
6. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в
лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти
назад паук не может. На каждом разветвлении паук
выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .
7. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в
лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти
назад паук не может. На каждом разветвлении паук
выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .
http://reshuege.ru/test?theme=185
1) B10 № 319353. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно
купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Решение: Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135.
Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055.
Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным
равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
Ответ: 0,019.
2)
№ 319355. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют
цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение: Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.
3) B10 № 320171. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем
Решение: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35.
Ответ: 0,35.
4) B10 № 320172. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к
концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение.
Рассмотрим события
А = кофе закончится в первом автомате,
В = кофе закончится во втором автомате.
Тогда
A·B = кофе закончится в обоих автоматах,
A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.
События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.
Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна
1 − 0,48 = 0,52.
Ответ: 0,52.
Приведем другое решение.
Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,12 = 0,88. Поскольку
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятость х = 0,52.
Примечание.
Заметим, что события А и В не являются независимыми. Действительно, вероятность произведения независимых событий была
бы равна произведению вероятностей этих событий: P(A·B) = 0,3·0,3 = 0,09, однако по условию эта вероятность равна 0,12.
5) B10 № 320175. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Решение: Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равно
произведению вероятностей этих событий: 0,3·0,3 = 0,09.
Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 −
0,09 = 0,91.
Ответ: 0,91.
6) B10 № 320176. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что
он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение: Решение.
Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», тогда
A + B = «чайник прослужит больше года».
События A и В совместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их
произведения. Вероятность произведения этих событий, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года —
строго в тот же день, час и секунду — равна нулю. Тогда: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B), откуда, используя данные из условия, получаем
0,97 = P(A) + 0,89. Тем самым, для искомой вероятности имеем:
P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.
Ответ: 0,08.
7) B10 № 320177. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Решение.Пусть событие
состоит в том, что яйцо имеет высшую категорию, события
дено в первом и втором хозяйствах соответственно. Тогда события
и
и
состоят в том, что яйцо произве-
— события, состоящие в том, что яйцо высшей
категории произведено в первом и втором хозяйстве соответственно. По формуле полной вероятности, вероятность того, что
будет куплено яйцо высшей категории, равна:
Поскольку по условию эта вероятность равна 0,35, поэтому для вероятности того, что купленное яйцо произведено в первом хозяйстве имеем:
Примечание Ивана Высоцкого.
Это решение можно записать коротко. Пусть — искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве. Тогда
имеем:
Ответ: 0,75.
— вероятность того, что куплено яйцо, произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной вероятности
Приведем другое решение.
Пусть в первом хозяйстве агрофирма закупает яиц, в том числе,
том числе
яиц высшей категории, а во втором хозяйстве — яиц, в
яиц высшей категории. Тем самым, всего агроформа закупает
яиц, в том числе
яиц высшей
категории. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, тогда:
Следовательно, у первого хозяйства закупают в три раза больше яиц, чем у второго. Поэтому вероятность того, что купленное
яйцо окажется из первого хозяйства равна
8) B10 № 320186. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из
Норвегии? Результат округлите до сотых.
Решение.
Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных
стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (Д — Дания, Ш — Швеция, Н — Норвегия):
...Д...Ш...Н..., ...Д...Н...Ш..., ...Ш...Н...Д..., ...Ш...Д...Н..., ...Н...Д...Ш..., ...Н...Ш...Д...
Дания находится после Швеции и Норвегии в двух случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут
распределены именно так, равна
Ответ: 0,33.
Замечание. Пусть требуется найти вероятность того, что датские музыканты окажутся последними среди выступающих от
разных государств групп. Поставим команду Дании на последнее место и найдем количество перестановок без повторений из
предыдущих групп: оно равно
Общее количество перестановок из всех групп равно
Поэтому искомая веро-
ятность равна
9) B10 № 320187. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то
система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того,
чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
Решение.Найдем вероятность противоположного события, состоящего в том, что цель не будет уничтожена за n выстрелов. Вероятность промахнуться при первом выстреле равна 0,6, а при каждом следующем — 0,4. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятности этих событий. Поэтому вероятность промахнуться при n выстрелах
равна:
Осталось найти наименьшее натуральное решение неравенства
Последовательно проверяя значения , равные 1, 2, 3 и т. д. находим, что искомым решением является
. Следовательно,
необходимо сделать 5 выстрелов. Ответ: 5.
Примечание. Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов:
Р(1) = 0,6.
Р(2) = Р(1)·0,4 = 0,24.
Р(3) = Р(2)·0,4 = 0,096.
Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384;
Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,01536.
Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени.
Приведем другое решение. Вероятность поразить мишень равна сумме вероятностей поразить ее при первом, втором, третьем и
т. д. выстрелах. Поэтому задача сводится к нахождению наименьшего натурального решения неравенства
В нашем случае неравенство решается подбором, в общем случае понадобится формула суммы геометрической прогрессии, использование которой сведет задачу к простейшему логарифмическому неравенству.
10) B10 № 320188. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух
играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и
проигрыша одинаковы и равны 0,4.
Решение.Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: 3+1, 1+3, 3+3. Эти события несовместны,
вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий — результата в первой и во второй игре. Отсюда имеем:
Ответ: 0,32.
11) B10 № 320196. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше
чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.
Решение. По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965 = 0,035.
Ответ: 0,035.
12) B10 № 320198. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.
Решение. Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и В = «учащийся решит больше 11 задач». Их сумма — событие
A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей
этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B).
Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07.
Ответ: 0,07.
13) B10 № 320199. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее
70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность
«Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Решение.Для того, чтобы поступить хоть куда-нибудь, З. нужно сдать и русский, и математику как минимум на 70 баллов, а помимо этого еще сдать иностранный язык или обществознание не менее, чем на 70 баллов. Пусть A, B, C и D — это события, в
которых З. сдает соответственно математику, русский, иностранный и обществознание не менее, чем на 70 баллов. Тогда поскольку
для вероятности поступления имеем:
Ответ: 0,408.
14) B10 № 320200. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно
выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.
Решение. Пусть завод произвел тарелок. В продажу поступят все качественные тарелки и 20% не выявленных дефектных тарелок:
тарелок. Поскольку качественных из них
, вероятность купить качественную тарелку
равна
Ответ: 0,978.
15) B10 № 320201. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что
в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
Решение. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна
Ответ: 0,027.
15) B10 № 320202. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что
нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не
доставит товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят
товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02.
Ответ: 0,02.
16) B10 № 320203. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе
окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятость того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.
Решение. Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров» и В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их сумма —
событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B).
Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.
Ответ: 0,38.
17) B10 № 320205. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из
команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.
Решение.Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру,
начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125.
Ответ: 0,125.
18) B10 № 320206. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром,
держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля,
погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
Решение. Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода).
Найдем вероятности наступления такой погоды:
P(XXO)
=
0,8·0,8·0,2
=
0,128;
P(XOO)
=
0,8·0,2·0,8
=
0,128;
P(OXO)
=
0,2·0,2·0,2
=
0,008;
P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.
Указанные события несовместные, вероятность их сумы равна сумме вероятностей этих событий:
P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.
Ответ: 0,392.
19) B10 № 320207. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат
анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9.
Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что
5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
Решение.Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; B)
пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей
этих событий. Имеем:
Ответ: 0,0545.
20) B10 № 320210. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Решение.
Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся
исправными) равна произведению вероятностей этих событий: 0,94·0,94 = 0,8836.
Ответ: 0,8836.
21) № 320211. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02.
Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того,
что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована.
Решение.Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A = батарейка действительно неисправна и забракована справедливо или В = батарейка исправна, но по ошибке забракована. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий. Имеем:
Ответ: 0,0296.
22) B10 № 320212. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .
Решение.
На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий
к выходу D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их произведения (паук дойдет до
выхода D) равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность прийти к выходу D
равна (0,5)4 = 0,0625.
О т в е т : 0,0625
23) B10 № 500997. В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным
образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того. что Аня и Нина окажутся в
одной группе.
Решение.Рассмотрим первую группу. Вероятность того, что Аня окажется в ней, равна
. Если Аня
уже находится в первой группе, то вероятность того, что Нина окажется этой же группе равна
. Поскольку все семь групп равноправны, вероятность того, что подруги окажутся в одной группе, равна
Ответ: 0,1.
Приведем комбинаторное решение. Всего способов выбрать 3 учащихся из 21 учащегося класса
равно
. Выбрать пару «Аня и Нина» и поместить их в одну из семи групп можно
Добавить в эту группу еще одного из оставшихся 19 учащихся можно
ятность того, что девочки окажутся в одной группе равна
способами.
способами. Поэтому веро-
Приведем еще одно решение. Пусть Аня оказалась в некоторой группе. Тогда для 20 оставшихся
учащихся оказаться с ней в одной группе есть две возможности. Вероятность этого события равна
2 : 20 = 0,1.
24) B10 № 500998. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не
глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.
Решение.
Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя должен взять из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые монеты. Это можно сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или
10, 10, 5. Эти события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
Другое рассуждение. Вероятность того, что Петя взял пятирублевую монету, затем десятирублевую, и
затем еще одну десятирублевую (в указанном порядке) равна
Поскольку Петя мог достать пятирублевую монету не только первой, но и второй или третьей, вероятность достать набор из одной пятирублевой и двух десятирублевых монет в 3 раза больше. Тем самым,
она равна 0,6.
Ответ: 0,6.
Приведем другое решение. Количество способов взять 3 монеты из 6, чтобы переложить их в другой
карман, равно
Количество способов выбрать 1 пятирублевую монету из 2 пятирублевых монет и
взять вместе с ней еще 2 десятирублевых монеты из имеющихся 4 десятирублевых монет по правилу
произведения равно
Поэтому искомая вероятность того, что пятирублевые монеты лежат в раз-
ных карманах, равна
25) B10 № 500999. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые
монеты лежат в одном кармане.
Решение. Двухрублевые монеты могут лежать в одном кармане, если Петя переложил в другой карман
три из четырех рублевых монет (а двухрублевые не перекладывал), или если переложил в другой карман обе двухрублевые монеты и одну рублевую одним из трех способов: 1, 2, 2; 2, 1, 2; 2, 2, 1. Эти события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
Ответ: 0,4.
Приведем другое решение. Количество способов взять 3 монеты из 6, чтобы переложить их в другой
карман, равно
Количество способов выбрать 3 рублевых монеты из 4 рублевых монет равно 4. Количество способов взять вместе с двумя двухрублевыми монетами одну рублевую монету из имеющихся 4
рублевых монет тоже равно 4. Поэтому искомая вероятность того, что двухрублевые монеты лежат в
разных карманах, равна
