Учитель Бунакова Л.А.
2014 г.
Формулы сокращенного умножения
Основная цель данной работы – выработать умение применять в
несложных случаях формулы сокращенного умножения для
преобразования целых выражений в многочлены и для разложения
многочленов на множители.
Для осознанного применения формул сокращенного умножения
раскрыт геометрический смысл некоторых формул, рассказано об
истории их возникновения.
Как было у древних ?
Когда появились буквы ?
Зачем нужны формулы
сокращенного умножения ?
Учись применять формулы
сокращенного умножения ?
Источники знаний
б авторе
При умножении многочлена на многочлен
каждый член одного многочлена умножают на
каждый член другого.
( a + b )( c + d ) = ac + ad + bc + bd
Однако в некоторых случаях умножение
многочленов можно выполнить короче,
воспользовавшись
формулами сокращенного умножения:
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
a 2-b2=(a+b)(a-b)
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
Геометрическая алгебра в древности
Найденные древневавилонские клинописные
тексты свидетельствуют, что некоторые формулы
умножения
( квадрат суммы,
квадрат разности,
произведение суммы на разность
)
были известны еще около 4000 лет назад. Их знали не в нашем
символическом виде, а словесно, или в геометрической форме, как у древних
греков. Ученые Древней Греции представляли величины отрезками прямых:
Символиче Геометрический язык
ская запись
ab
Фигура
Прямоугольник, содержащийся
между отрезками a и b
b
a
a2
Квадрат на отрезке a
a
Появление буквенной символики.
Диофант
У Диофанта (III в) неизвестное, названное «аритмос», обозначалось
знаком . Особые обозначения имели степени. Значительно превзошли
Диофанта в деле применения сокращенных записей древние индийцы.
Европейские математики XVI – XVII в. вторую степень неизвестного
называли «сила» (по-латыни (Census), а также «квадрат» (Quadratus), третью
степень «куб» (Cubus).
Виет
Виет применял сокращения: N (Numerus, число) для первой степени, Q –
для второй, C – для третьей, QQ – для четвертой степени и т. д. Например:
1C – 8Q =16N aequatur 40 означает в современной записи : x3 – 8x2 + 16x =
40.
Тартальи
Декарт
М. Штифель писал AAA вместо A3 , Т. Гарриот писал aaaa вместо a4.
С. Стевин выражение 3x3 + 5x2 – 4x +6 записывал так: 3(3) + 5(2) – 4(1) + 6.
Современная запись была введена Декартом и систематически
применялась им в его «Геометрии».
Штифель
Стевин
Круглые скобки появляются в XV в. в трудах Штифеля, Тартальи и др.
В конце того же века появляются и фигурные скобки в книгах Виета.
Однако в течение почти всего XVII в. Употреблялись не скобки, а
горизонтальная черта, проводимая над выражением, подлежащим
включению в скобки. Широкое применение скобки получили в первой
половине XVIII в. благодаря Лейбницу и Эйлеру.
Лейбниц
Эйлер
Подробнее узнать о формулах сокращенного умножения можно в
книгах и интернет - сайтах:
Алгебра: Учеб. Для 7 кл. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И.
Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского. – М.:
Просвещение.
Мордкович А. Г. Алгебра. Учеб для 7 кл. –М.: Мнемозина.
Пичурин Л. В. За страницами учебника алгебры: Кн. Для
учащихся 7 – 9 кл. – М.: Просвещение, 1990.
Глейзер Г. И. история математики в школе:IV – VI кл. Пособие
для учителей. – М.: Просвещение, 1981
Сайт школы N43: ЭКСПЕРИМЕНТ - Мастер-класс Математика
http://www.infovolga.ru/school_2002/school_43/page232.htm
Untitled Электронный учебник "Формулы сокращенного
умножения"
Электронные учебники.Математика
Геометрические иллюстрации в элементарной алгебре |
Хранилище методических ...
http://method.samara.rcde.ru/item.asp?id=600000136
Неофициальный сайт Борисовского Государственного
Политехнического Колледжа ...
Программа считает за тебя по формулам сокращённого
умножения
http://co11ege.narod.ru/indexsoft.html (19КБ)
Формулы сокращенного умножения
Квадрат суммы двух выражений
равен квадрату первого выражения
плюс удвоенное произведение
первого на второе плюс квадрат
второго выражения
Преобразование
в многочлен
(a+b)2=a2+2ab+b2
Доказательство:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) =
= a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2
Разложение
на множители
Формулы сокращенного умножения
Квадрат разности двух выражений
равен квадрату первого выражения
минус удвоенное произведение
первого на второе плюс квадрат
второго выражения
Преобразование
в многочлен
(a-b)2=a2-2ab+b2
Доказательство:
(a - b)2 = (a - b)(a - b) =
= a2 - ab - ba + b2 = a2 - 2ab + b2
Разложение
на множители
Формулы сокращенного умножения
Разность квадратов двух
выражений равна произведению
разности этих выражений на их
сумму
Преобразование
в многочлен
a 2-b2=(a+b)(a-b)
Доказательство:
(a - b)(a + b) =
= a2 + ab - ba - b2 = a2 - b2
Разложение
на множители
Формулы сокращенного умножения
Сумма кубов двух выражений
равна произведению суммы этих
выражений на неполный квадрат
разности этих выражений
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
Доказательство:
(a + b)(a2 – ab + b2) =
= a3 – a2b + ab2 + ba2 – ab2 + b3 =
= a 3 + b3
Разложение
на множители
Формулы сокращенного умножения
Разность кубов двух выражений
равна произведению разности этих
выражений на неполный квадрат
суммы этих выражений
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
Доказательство:
(a - b)(a2 + ab + b2) =
= a3 + a2b + ab2 - ba2 – ab2 - b3 =
= a 3 + b3
Разложение
на множители
(a+b)2=a2+2ab+b2
a – первое ( I ) выражение,
b – второе (II) выражение
( I + II )2 =
I2+2·I·II+II2
Пример:
( 6q + c )2 = (6q)2 + 2 (6q) c + c2 = 36q2 + 12qc + c2
Реши сам
Представь в виде многочлена:
а) (6h + 9m)2
б) (10 + 8k)2
в) (12c2 + a6c)2
Проверь себя
(a+b)2=a2+2ab+b2
a – первое ( I ) выражение,
b – второе (II) выражение
( I + II )2 =
I2+2·I·II+II2
Пример:
( 6q + c )2 = (6q)2 + 2 (6q) c + c2 = 36q2 + 12qc + c2
Реши сам
Представь в виде
многочлена:
а) (6h + 9m)2
б) (10 + 8k)2
в) (12c2 + a6c)2
Проверь себя
= 36h2 + 108 hm + 81m2
= 100 + 160k + 64k2
= 144c4 + 24a6c3 + a12c2
a2+2ab+b2= (a+b)2
a – первое ( I ) выражение,
b – второе ( II) выражение
I2+2·I·II+II2= ( I + II )2
Пример:
4x2 + 12x + 9 = (2x)2 + 2·2x·3 + 32 = (2x + 3)2
Реши сам
Представьте в виде
квадрата двучлена:
а) 16a2 +8ab +b2
б) 9y2 + c2d2 + 6cdy
в) 0,25a2 + 2ab2 + 4b4
Проверь себя
a2+2ab+b2= (a+b)2
a – первое ( I ) выражение,
b – второе ( II) выражение
I2+2·I·II+II2= ( I + II )2
Пример:
4x2 + 12x + 9 = (2x)2 + 2·2x·3 + 32 = (2x + 3)2
Реши сам
Представьте в виде
квадрата двучлена:
а) 16a2 +8ab +b2
б) 9y2 + c2d2 + 6cdy
в) 0,25a2 + 2ab2 + 4b4
Проверь себя
= (4a + b)2
= (3y + cd)2
= (0,5a + 2b)2
(a-b)2=a2-2ab+b2
a – первое ( I ) выражение,
b – второе ( II) выражение
( I - II )2 = I2-2·I·II+II2
Пример:
(x3 – 3y4)2 = (x3)2 - 2·(x3)(3y4) + (3y4)2 = x6 – 6x3y4 + 9y8
Реши сам
Представь в виде
многочлена:
а) (q3 – 4p)2
б) (3a – 2b)2
в) (c2 –0,7c3)2
Проверь себя
(a-b)2=a2-2ab+b2
a – первое ( I ) выражение,
b – второе ( II) выражение
( I - II )2 = I2-2·I·II+II2
Пример:
(x3 – 3y4)2 = (x3)2 - 2·(x3)(3y4) + (3y4)2 = x6 – 6x3y4 + 9y8
Реши сам
Представь в виде
многочлена:
а) (q3 – 4p)2
б) (3a – 2b)2
в) (c2 –0,7c3)2
Проверь себя
= q6 – 8q3p + 16p2
= 9a2 – 12ab + 4b2
= c4 – 1,4c5 + 0,49c6
a2-2ab+b2 = (a – b)2
a – первое ( I ) выражение,
b – второе ( II) выражение
I2 - 2· I ·II + II2 = ( I - II )2
Пример:
a2x2 – 2abx + b2 = (ax)2 – 2(ax)b + b2 = (ax – b)2
Реши сам
Представь в виде
квадрата двучлена:
а) 9a2 – 42a +49
б) 25b2 – 10b + 1
в) 4a6 – 4a3b2 + b4
Проверь себя
a2-2ab+b2 = (a – b)2
a – первое ( I ) выражение,
b – второе ( II) выражение
I2 - 2· I ·II + II2 = ( I - II )2
Пример:
a2x2 – 2abx + b2 = (ax)2 – 2(ax)b + b2 = (ax – b)2
Реши сам
Представь в виде
квадрата двучлена:
а) 9a2 – 42a +49
б) 25b2 – 10b + 1
в) 4a6 – 4a3b2 + b4
Проверь себя
= (3a – 7)2
= (5b – 1)2
= (2a3 – b2)2
a 2-b2=(a+b)(a-b)
a – первое ( I ) выражение,
b – второе ( II) выражение
I2 – II2 = ( I + II )( I + II )
Пример:
4x4 – 25a2 = (2x2)2 – (5a)2 = (2x2 – 5a)(2x2 + 5a)
Реши сам
Представь в виде
произведения:
а) 9a2 –49с2
б) 25b2 – 1
в) 4a6 – b4
Проверь себя
a 2-b2=(a+b)(a-b)
a – первое ( I ) выражение,
b – второе ( II) выражение
I2 – II2 = ( I + II )( I + II )
Пример:
4x4 – 25a2 = (2x2)2 – (5a)2 = (2x2 – 5a)(2x2 + 5a)
Реши сам
Представь в виде
произведения:
а) 9a2 –49с2
б) 25b2 – 1
в) 4a6 – b4
Проверь себя
= (3a – 7c)(3a + 7c)
= (5b – 1)(5b + 1)
= (2a3 – b2)(2a3 + b2)
(a+b)(a-b) = a 2-b2
a – первое ( I ) выражение,
b – второе ( II) выражение
( I + II )( I + II ) = I2 – II2
Пример:
(6x – a)(6x + a) = (6x)2 – a2 = 36x2 – a2
Реши сам
Выполните умножение:
а) (6h – 9m)(6h + 9m)
б) (10 – 8k)(10 + 8k)
в) (12c2 - a6c) (12c2 + a6c)
Проверь себя
(a+b)(a-b) = a 2-b2
a – первое ( I ) выражение,
b – второе ( II) выражение
( I + II )( I + II ) = I2 – II2
Пример:
(6x – a)(6x + a) = (6x)2 – a2 = 36x2 – a2
Проверь себя
Реши сам
Выполните умножение:
= 36h2 - 81m2
а) (6h – 9m)(6h + 9m)
= 100 - 64k2
б) (10 – 8k)(10 + 8k)
в) (12c2 - a6c) (12c2 + a6c) = 144c4 - a12c2
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a – первое ( I ) выражение,
b – второе ( II) выражение
I3 + II3 = (I + II)(I2 - I·II + II2)
Пример:
125m3 + 64n3 = (5m)3 + (4n)3 = (5m + 4n)( (5m)2 – (5m)(4n) + (4n)2) =
= (5m + 4n)( 25m2 – 20mn + 16n2)
Реши сам
Представь в виде
произведения:
а) 27a3 + с3
б) 8b3 + 1
в) 64a6 – b12
Проверь себя
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a – первое ( I ) выражение,
b – второе ( II) выражение
I3 + II3 = (I + II)(I2 - I·II + II2)
Пример:
125m3 + 64n3 = (5m)3 + (4n)3 = (5m + 4n)( (5m)2 – (5m)(4n) + (4n)2) =
= (5m + 4n)( 25m2 – 20mn + 16n2)
Реши сам
Представь в виде
произведения:
а) 27a3 + с3
б) 8b3 + 1
в) 64a6 + b12
Проверь себя
= (3a + c)(9a2 – 3ac + c2)
= (2b + 1)(4k2 – 2b + 1)
= (4c2 + b4)(16c4 – 4c2b4 + b8)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
a – первое ( I ) выражение,
b – второе ( II) выражение
I3 - II3 = (I - II)(I2 + I·II + II2)
Пример:
8 - a3b3 = 23 - (ab)3 = (2 - ab)( 22 + 2·ab + (ab)2) = (2 - ab)( 4 + 2ab +a2b2)
Реши сам
Представь в виде
произведения:
а) 1000q3 – 216с2
б) b3 – 1
в) x6y3 – 27
Проверь себя
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
a – первое ( I ) выражение,
b – второе ( II) выражение
I3 - II3 = (I - II)(I2 + I·II + II2)
Пример:
8 - a3b3 = 23 - (ab)3 = (2 - ab)( 22 + 2·ab + (ab)2) = (2 - ab)( 4 + 2ab +a2b2)
Реши сам
Проверь себя
Представь в виде
произведения:
а) 1000q3 – 216p3 = (10q – 6p)(100q2 + 60qp+ 36p2)
б) b3 – 1
= (b – 1)(b2 + b + 1)
в) x6y3 – 27
= (x3y – 3)(x4y2 + 3x3y + 9)
Геометрический смысл формулы (a+b)2=a2+2ab+b2
Геометрический смысл формулы (a+b)2=a2+2ab+b2 раскрывает
предложение 4 (теорема) книги второй «Начал» Евклида.
Формулировка Евклида
Геометрическая иллюстрация
Если отрезок как-либо
разбит на два отрезка,
то площадь квадрата,
построенного на всем
отрезке
равна сумме площадей
квадратов, построенных на
каждом из этих отрезков
и удвоенной площади
прямоугольника ,
сторонами которого
служат эти отрезки.
Повторить анимацию
b
ab
b2
Символическая
запись
a, b
S = (a + b)2
a2
a
ba
a
S1 = a2, S2 = b2
b
S = S 1 + S3 + S4 + S2
или
(a+b)2=a2+2ab+b2
S3 = ab, S4 = ba
Геометрический смысл формулы (a+b)2=a2+2ab+b2
Геометрический смысл формулы (a+b)2=a2+2ab+b2 раскрывает
предложение 4 (теорема) книги второй «Начал» Евклида.
Формулировка Евклида
Геометрическая иллюстрация
Если отрезок как-либо
разбит на два отрезка,
то площадь квадрата,
построенного на всем
отрезке
равна сумме площадей
квадратов, построенных на
каждом из этих отрезков
и удвоенной площади
прямоугольника ,
сторонами которого
служат эти отрезки.
Повторить анимацию
b
ab
b2
Символическая
запись
a, b
S = (a + b)2
a2
a
ba
a
S1 = a2, S2 = b2
b
S = S1 + S 3 + S 4 + S 2
или (a+b)2=a2+2ab+b2
S3 = ab, S4 = ba
Геометрический смысл формулы (a+b)2=a2+2ab+b2
Геометрический смысл формулы (a+b)2=a2+2ab+b2 раскрывает
предложение 4 (теорема) книги второй «Начал» Евклида.
Формулировка Евклида
Если отрезок как-либо
разбит на два отрезка,
то площадь квадрата,
построенного на всем
отрезке
равна сумме площадей
квадратов, построенных на
каждом из этих отрезков
и удвоенной площади
прямоугольника ,
сторонами которого
служат эти отрезки.
Геометрическая иллюстрация
b
ab
b2
Символическая
запись
a, b
S = (a + b)2
a2
a
ba
a
S1 = a2, S2 = b2
b
S = S 1 + S3 + S4 + S2
или
(a+b)2=a2+2ab+b2
S3 = ab, S4 = ba
Геометрический смысл формулы (a-b)2=a2-2ab+b2
Геометрический смысл формулы (a-b)2=a2-2ab+b2 для положительных
a и b, удовлетворяющих условию a>b раскрывает следующий чертеж:
Символическая
запись
Геометрическая иллюстрация
a,b
b
S1 = a2, S2 = b2
S3 = ab, S4 = ba
S5 = S 1 + S 2 - S3
S = S5 – S4
S = S 1 + S 2 - S3 – S4
или (a-b)2=a2-2ab+b2
Повторить анимацию
b2
ab
b2
ab
a
(a-b)2
2
aab
a
ab
b
Геометрический смысл формулы (a-b)2=a2-2ab+b2
Геометрический смысл формулы (a-b)2=a2-2ab+b2 для положительных
a и b, удовлетворяющих условию a>b раскрывает следующий чертеж:
Символическая
запись
Геометрическая иллюстрация
a,b
b
S1 = a2, S2 = b2
S3 = ab, S4 = ba
S5 = S 1 + S 2 - S3
S = S5 – S4
S = S 1 + S 2 - S3 – S4
или (a-b)2=a2-2ab+b2
Повторить анимацию
b2
ab
b2
ab
a
(a-b)2
2
aab
a
ab
b
Геометрический смысл формулы (a-b)2=a2-2ab+b2
Геометрический смысл формулы (a-b)2=a2-2ab+b2 для положительных
a и b, удовлетворяющих условию a>b раскрывает следующий чертеж:
Символическая
запись
Геометрическая иллюстрация
a,b
b
S1 = a2, S2 = b2
S3 = ab, S4 = ba
S5 = S 1 + S 2 - S3
S = S5 – S4
S = S 1 + S 2 - S3 – S4
или (a-b)2=a2-2ab+b2
b2
ab
b2
ab
a
(a-b)2
2
aab
a
ab
b
Геометрический смысл формулы a2-b2=(a-b)(a+b)
Геометрический смысл формулы a2-b2 = (a-b)(a+b) для положительных
a и b, удовлетворяющих условию a>b раскрывает следующий чертеж:
Геометрическая
иллюстрация
Геометрическая иллюстрация
a+b
a, b
S1=a2, S2=b2
S = a2 – b2
S3 = b(a-b) = S4
S = (a-b)(a+b)
Повторить анимацию
a2 – b2
(a-b)(a+b)
b(a-b)
a-b
b
a
Геометрический смысл формулы a2-b2=(a-b)(a+b)
Геометрический смысл формулы a2-b2 = (a-b)(a+b) для положительных
a и b, удовлетворяющих условию a>b раскрывает следующий чертеж:
Геометрическая
иллюстрация
Геометрическая иллюстрация
a+b
a, b
S1=a2, S2=b2
S = a2 – b2
S3 = b(a-b) = S4
S = (a-b)(a+b)
Повторить анимацию
a2 – b2
(a-b)(a+b)
b(a-b)
a-b
b
a
Геометрический смысл формулы a2-b2=(a-b)(a+b)
Геометрический смысл формулы a2-b2 = (a-b)(a+b) для положительных
a и b, удовлетворяющих условию a>b раскрывает следующий чертеж:
Геометрическая
иллюстрация
Геометрическая иллюстрация
a+b
a, b
S1=a2, S2=b2
S = a2 – b2
S3 = b(a-b) = S4
S = (a-b)(a+b)
a2 – b2
a-b
(a-b)(a+b)
b(a-b)
b
a
