Глава 1. Начальные геометрические сведения.
Определение. Часть прямой ограниченная двумя точками называется отрезком.
Точки, ограничивающие отрезок, называются его концами.
Определение. Проведём прямую а и отметим на ней точку О (рис. 1). Эта точка разделяет прямую на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из точки
О (на рисунке 1 один из лучей выделен цветной линией). Точка О называется началом
каждого из лучей.
Рис. 1.
Определение. Угол—это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух
лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало
— вершиной угла. (рис. 2)
Рис. 2.
Определение. Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной
прямой. (рис. 3)
Рис. 3.
Определение. Любой угол разделяет плоскость на две части. Если угол неразвёрнутый, то одна из частей называется внутренней, а другая внешней областью этого угла
(рис. 4).
Рис. 4.
Определение. Две геометрические фигуры называются равными, если их можно
совместить наложением.
Определение. Точка отрезка, делящая его пополам, т. е. на два равных отрезка, называется серединой отрезка.
Определение. Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла,
называется биссектрисой угла. На рисунке 5 луч l — биссектриса угла hk.
Рис.5.
Когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин
этих двух отрезков. Если длина отрезка CD в k раз больше длины отрезка АВ, то пишут CD = kAB. Если длина отрезка CD на п больше длины отрезка АВ, то пишут
CD = AB+п.
1
Определение. За единицу измерения углов принимают градус — угол, равный
1
180
части развёрнутого угла. Положительное число, которое показывает, сколько раз градус
и его части укладываются в данном угле, называется градусной мерой угла. Определённые части градуса носят специальные названия:
1
часть градуса называется минутой,
60
1
60 часть минуты называется секундой.
Когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных
мер этих углов.
Определение. Угол называется прямым, если он равен 90°, острым, если он меньше
90°, т. е. меньше прямого угла, тупым, если он больше 90°, но меньше 180°, т. е. больше
прямого угла, но меньше развернутого.
Определение. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.
Свойство: сумма смежных углов равна 180°.
Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Свойство: Вертикальные углы равны.
Определение. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или
взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.
Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: ACBD (читается: «Прямая АС перпендикулярна к прямой BD»).
Свойство: Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.
Глава 2. Треугольники.
Определение. Сумма длин трёх сторон треугольника называется его периметром.
Определение. Два треугольника, называются равными, если их можно совместить
наложением.
Если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.
В равных треугольниках против соответственно равных лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.
2
Признаки равенства треугольников.
I признак (признак равенства по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и
углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
AB A1 B1 , AC A1C1 , A A1
II признак (признак равенства по стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и
двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
AB A1 B1 , C C1 , A A1
III признак (признак равенства по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
AB A1 B1 , AC A1C1 , СB C1 B1
Определение. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведённым из точки
А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием
перпендикуляра.
Теорема. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой
прямой, и притом только один.
Биссектриса – это луч, Высота треугольника – это пер- Медиана – это луч, с
с началом в вершине уг- пендикуляр, проведенный из верши- началом в вершине угла, делящий угол на два ны треугольника к прямой, содер- ла, делящий противоравных угла.
жащей противоположную сторону. положную сторону пополам.
3
Высота в тупоугольном треугольнике
Равнобедренный треугольник.
Определение. Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием
равнобедренного треугольника.
Определение. Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.
Свойство 1: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Свойство 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.
2. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.
1.
Глава 3. Параллельные прямые.
Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не
пересекаются.
Параллельность прямых а и b обозначают так: а || b.
Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
Определение. Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и b, если
она пересекает их в двух точках (рис. 1).
4
При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 1 обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальные названия: накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6; односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.
Признаки параллельности двух прямых.
Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны,
то прямые параллельны.
1=2
Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны,
то прямые параллельны.
1=2
Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов
равна 180°, то прямые параллельны.
1+4 = 180.
Аксиомы.
Аксиома 1. через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
Аксиома 2. на любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному,
и притом только один.
Аксиома 3. от любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.
Аксиома 4 (аксиома параллельных прямых). Через точку, не лежащую на данной
прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Следствие 1°. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она
пересекает и другую.
Следствие 2°. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми
и секущей
5
Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие
углы равны.
Следствие. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то
она перпендикулярна и к другой.
Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные
углы равны.
Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными
сторонами
Теорема. Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого
угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180°.
Теорема. Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам
другого угла, то такие утлы или равны, или в сумме составляют 180°.
Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.
Определение. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с какимнибудь углом этого треугольника.
Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не
смежных с ним.
4 = 1 + 2.
В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой
или прямой.
Определение. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется
прямоугольным. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла,
называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами.
6
Теорема. В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.
Следствие 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Следствие 2. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный
(признак равнобедренного треугольника).
Теорема (Неравенство треугольника). Каждая сторона треугольника меньше суммы
двух других сторон.
Следствие. Для любых трёх точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВ<АС + СВ, АС <АВ + ВС, ВС<ВА+ АС.
Прямоугольный треугольник.
Свойство 1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
В + С = 90.
Свойство 2 . Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен
половине гипотенузы.
В = 30АС =
1
ВС.
2
Свойство 3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы,
то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
АС =
1
ВС В = 30.
2
Свойство 4. Если в прямоугольном треугольнике угол равен 45, то прямоугольный
треугольник равнобедренный. Обратно, в равнобедренном прямоугольном треугольнике
острые углы равны 45.
Свойство 5. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Признаки прямоугольного треугольника.
Теорема 1. Если медиана равно половине стороны, к которой она проведена, то этот
треугольник прямоугольный.
Теорема 2. Если в равнобедренном треугольнике углы при основании равны 45, то
этот треугольник прямоугольный.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Теорема 1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны
катетам другого, то такие треугольники равны.
7
Теорема 2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного
треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого,
то такие треугольники равны.
Теорема 3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
Теорема 4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
Расстояние от точки до прямой.
Расстояние между параллельными прямыми.
.А
а
М
Н
АН – перпендикуляр, АМ – наклонная.
Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой.
Определение. Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется
расстоянием от точки до прямой.
Теорема. Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой
прямой.
Определение. Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до
другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.
Теорема. Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и
равноудаленные от нее, лежат на прямой, параллельной данной.
8
