Методические материалы
в помощь учителю при
подготовке учащихся к
ОГЭ.
Задачи №25
Кононова Л.В., учитель математики
высшей квалификационной категории
МБОУ «Кулундинская СОШ №3»
Задание 25 ОГЭ
по математике представляет собой планиметрическую
задачу связанную со свойствами треугольников,
четырёхугольников, окружностей.
Нужно уметь выполнять действия с геометрическими
фигурами, координатами и векторами.
Статистика из отчета ДР для 10 класса в
2020 г. по решению задачи № 26
Обознач
ение
задания
в работе
Проверяемые элементы
содержания/ умения
№26
Окружность и круг.
Касательная и секущая к
окружности. Теорема
косинусов и теорема
синусов/Решать
планиметрические задачи
на нахождение длин
Уровень
сложност
и задания
высокий
Средний
процент
выполнения
задания
0,32
(норма 315%)
Процент выполнения по региону в
группах, получивших отметку
«2»
«3»
«4»
«5»
0
0
0,05
2,16
Для того, чтобы решить задачу №25,
надо:
Уверенно владеть основными понятиями и их
свойствами (определения, аксиомы, теоремы,
базовые задачи);
Знать основные методы решения задач;
Уметь комбинировать методы решения задач;
Иметь навык решения задач.
Причины ошибок
в решении геометрических задач
Невнимательное чтение условия и вопроса
задания
Недостатки в работе с рисунком
Принятие ошибочных гипотез
Незнание и/или непонимание аксиом,
определений, теорем
Неумение их применять
Нарушения логики в рассуждениях
Вычислительные ошибки
Некоторые методы решения
геометрических задач
Метод подобия
Метод площадей
Метод дополнительных построений
Метод вспомогательной окружности
Задача №78 из открытого банка заданий сайта
https://oge.sdamgia.ru/
(прототип задания №25)
1) Через середину K медианы BM
треугольника ABC и вершину A
проведена прямая, пересекающая
сторону BC в точке P. Найдите
отношение площади треугольника ABK
к площади четырехугольника KPCM.
Задача 1.
Дано: BM – медиана ΔABC
K – середина BM,
AK∩BC=P
Найти:
_______
Задача 1.
Дано: BM – медиана ΔABC
K – середина BM,
AK∩BC=P
Найти:
_______
Решение
1) Проведем дополнительное построение: MD||AP => BP=PD и PD=DC
(по т. Фалеса).
2) BК=КМ
3) Если SBKP = S, то SKPC = 2S, SBKC = 3S, т.к. основание ΔKPC и
ΔBKC соответственно в 2 и 3 раза больше основания ΔBKP.
4) SKCM =3S, т.к. в ΔKCM и ΔBKC равные основания и высоты,
проведенные из вершины C.
5) SАМК = SСМК, т.к. М – середина АС.
6) SАМК = SАBK =3S. Получаем, что SKРСМ =5S, SАBK =3S,
следовательно, отношение соответствующих площадей равно 0,6.
Ответ: 0,6.
Задача 2.
Задача №316361 из открытого банка
заданий сайта https://oge.sdamgia.ru/
(прототип задания №25)
Найдите острые углы прямоугольного
треугольника, если его гипотенуза равна 12,
а площадь равна 18.
Задача 2. Дано: ΔABC – прямоугольный,
АВ – гипотенуза, АВ = 12,
SABC = 18
Найти: острые углы ΔABC
Задача 2. Дано: ΔABC – прямоугольный,
АВ – гипотенуза, АВ = 12,
SABC = 18
Найти: острые углы ΔABC
Решение
1) CM – медиана прямоугольного Δ ABC,
значит, CM=AB/2=6.
2) SABC = CH·AB/2, откуда CH=36:12=3.
3) ∠CMH=300, т.к. ΔCMH – прямоугольный и
CM=6, CH=3, т.е. СH=CM/2.
4) ∠AMC=1800-300=1500, ∠A= ∠ACM=30:2,
т.к. треугольник АМС равнобедренный.
5) ∠A=150, ∠B=900 – 150=750.
Ответ:150, 750.
и
Задача 3.
Задача № 316245 из открытого банка заданий
сайта https://oge.sdamgia.ru/
(прототип задания №25)
Три окружности с центрами О1, О2 и О3 и
радиусами 2,5; 0,5 и 4,5 соответственно
попарно касаются внешним образом. Найдите
угол О1О2О3.
и
Задача 3.
Дано: O1, O2, O3 – центры окружностей
с радиусами 2,5; 0,5 и 4,5.
Окружности касаются внешним образом
Найти: ∠O1O2O3
и
Задача 3.
Дано: O1, O2, O3 – центры окружностей
с радиусами 2,5; 0,5 и 4,5.
Окружности касаются внешним образом
Найти: ∠O1O2O3
Решение (1 способ)
1) Стороны ΔO1O2O3 равны O1O2=3, O2O3=5, O1O3=7 из
условия касания окружностей.
2) Зная стороны, по теореме косинусов можем найти угол:
cos ∠O1O2O3=(O3O22+ O1O22 – O1O32)/(2 O3O2· O1O2)
cos ∠O1O2O3=(52 + 32 – 72)/2·5·3= –1/2
cos ∠O1O2O3= –1/2
∠O1O2O3=1200.
Ответ: 1200.
и
Задача 3.
Задача 3.
Дано: O1 , O2 , O3 – центры окружностей
с радиусами 2,5; 0,5 и 4,5.
Окружности касаются внешним образом
Найти: ∠O1O2O3
Решение (2 способ)
1) Стороны треугольника O1O2O3 равны O1O2=3, O2O3=5, O1O3=7 из
условия касания окружностей.
2) Зная стороны, можем по формуле Герона найти площадь ΔO1O2O3.
Р=3+5+7=15, Р/2=15/2,
S=
, S=15 3 /4
3) S=(1/2) · O1O2· O2O3·sin ∠O2
S= (1/2)·3·5·sin ∠O2.
4) Тогда (1/2)·3·5·sin ∠O2 =15 3 /4, значит sin ∠O2= 3/2.
∠O2 не может быть 600, потому что он лежит напротив большей стороны
разностороннего треугольника.
Ответ: 1200.
Задача 4.
Задача №340054 из открытого банка заданий
сайта https://oge.sdamgia.ru/
(прототип задания №26)
В равнобедренную трапецию, периметр
которой равен 120, а площадь равна 540,
можно вписать окружность. Найдите
расстояние от точки пересечения диагоналей
трапеции до ее меньшего основания.
Задача 4.
Дано: ABCD – равнобедренная трапеция,
P=120, S=540. В нее вписана окружность.
О – точка пересечения диагоналей.
Найти: ON – от точки пересечения
диагоналей до меньшего основания.
Задача 4.
Дано: ABCD – равнобедренная трапеция,
P=120, S=540. В нее вписана окружность.
О – точка пересечения диагоналей.
Найти: ON – от точки пересечения
диагоналей до меньшего основания.
Решение
1) Пусть М, N, P и К – точки касания окружности со сторонами
равнобедренной трапеции АВСD, тогда по свойству касательных
ВM=BM=CN=СР=а, АМ=АК=DК=DР=b.
2) По условию: 4а + 4b =120, a + b = 30 – это боковая сторона.
ВС + AD = 2a + 2b = 60
3) S = (ВС + AD) NK /2, где NK = h
h = 2S / (ВС + AD), откуда h = 18.
4) Из Δ AВС: АН = АВ2 − ВН2, т.е. АН = 900 − 324=24.
5) Тогда
𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 = 60
, откуда AD=54, BC=6.
𝐴𝐷 − 𝐵𝐶 = 24 ∙ 2
Задача 4.
Дано: ABCD – равнобедренная трапеция,
P=120, S=540. В нее вписана окружность.
О – точка пересечения диагоналей.
Найти: ON – от точки пересечения
диагоналей до меньшего основания.
Решение (продолжение)
6) Δ AOD~ ΔBOC (∠CAD= ∠BCA как накрест лежащие при
ADǁBC и секущей AC, ∠BOC= ∠AOD как вертикальные).
7) BC/AD=ON/OK, откуда OK=9ON.
8) Высота NK=ON+9ON=18, ON=1,8.
Ответ: 1,8.
Итак, чтобы решить задачу, надо
•Уметь анализировать условие задачи;
•К решению приступать только после
построения чертежа и анализа условия.
•Надо хорошо помнить все определения,
формулы, теоремы из курса математики и
последовательно применять их до тех пор, пока
не получен ответ на вопрос задачи;
•Надо уметь использовать основные методы
решения задач.
Литература:
1. Открытый банк заданий https://oge.sdamgia.ru/
прототип заданий №25 ОГЭ.
2. Геометрия 7-9 кл., учебник Атанасян Л.С.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. др. – М.:
Просвещение, 2014.
3. Выготский М.Я. Справочник по элементарной
математике. – М.: Наука, 1979.
