Задачи по планиметрии: Методические указания

МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Ростовский государственный университет
путей сообщения
И.А. Колтун
ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
Методические указания
Ростов-на-Дону
2002
УДК 513(07)+06
Колтун И.А.
Задачи по планиметрии: Методические указания.– Ростов н/Д: Рост.
гос. ун-т путей сообщения. 2002. – 56 с.
Методические указания призваны помочь лицам, изучающим
планиметрию, овладеть базовым объемом знаний по геометрии на плоскости,
приобрести навыки в применении формул и теорем планиметрии.
Методические указания рассчитаны прежде всего на учащихся девятых
классов средней школы, готовящихся к поступлению в гимназии, лицеи и
колледжи. Кроме того, настоящие методические указания могут быть
полезны абитуриентам, учителям и репетиторам.
Ил. 17
Рецензент: канд. физ.-мат. наук Данилова Л.В. (РГУПС)
Колтун Ирина Александровна
Задачи по планиметрии
Методические указания
Редактор А.И. Гончаров
Техническое корректирование и корректура А.И. Гончаров
Подписано в печать 5.10.02. Формат 6084/16.
Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 3,25.
Уч.-изд. л. 2,88. Тираж 60. Изд. № 134. Заказ № 496.
Ростовский государственный университет путей сообщения.
Лицензия ЛР № 65-54 от 10.12.99.
Ризография РГУПС. Лицензия ПЛД № 65-10 от 10.08.99.
Адрес университета: 344038, Ростов н/Д, пл. Народного ополчения, 2
© Ростовский государственный университет путей сообщения, 2002
2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Основные формулы
§1. Тесты по планиметрии 1-го уровня сложности
§2. Тесты по планиметрии на каждую геометрическую фигуру 1-го
уровня сложности
2.1 . Прямоугольный треугольник
2.2 . Правильный треугольник
2.3 . Треугольники
2.4 . Квадрат и прямоугольник
2.5 . Параллелограмм
2.6 . Ромб
2.7 . Трапеция
2.8 . Произвольный четырехугольник. Многоугольник. Окружность,
круг и его части
§3. Тесты по планиметрии на каждую геометрическую фигуру 2-го
уровня сложности
3.1 . Прямоугольный треугольник
3.2 . Треугольники
3.3 . Параллелограмм
3.4 . Ромб
3.5 . Квадрат и прямоугольник
3.6 . Трапеция
3.7 . Многоугольник
§4. Тесты по планиметрии на каждую геометрическую фигуру 3-го
уровня сложности
ВВЕДЕНИЕ
Решение задач по геометрии вызывает у учащихся большие трудности.
Это происходит из-за многообразия видов задач и отсутствия общей методики
их решения. Кроме того, при их решении требуется знание большого
количества определений, теорем, формул. Данные методические указания
призваны помочь учащемуся «выучить» формулы, приобрести навыки в их
применении, а затем, овладев базовыми материалом, научиться решать более
сложные задачи по планиметрии.
3
Методические указания рассчитаны в первую очередь на учащихся
девятых классов, готовящихся к поступлению в гимназии, лицеи и колледжи.
Однако в виду того, что геометрические задачи часто содержатся в билетах
вступительных экзаменов в вузы, настоящее пособие может быть также
полезно учащимся 10–11-х классов, абитуриентам, учителям и репетиторам.
В методических указаниях содержатся теоретические сведения, формулы,
которые необходимо выучить, прежде чем приступить к выполнению заданий.
Тестовые задания составлены на каждую геометрическую фигуру отдельно и по
всем фигурам в целом.
Желая проверить свои знания по всему разделу планиметрии, нужно
выполнить тест по всем геометрическим фигурам и, в случае допущенной
ошибки, например, на тему «прямоугольный треугольник», найти и решить тест
именно на эту геометрическую фигуру. Если же базовых знаний нет, то лучше
изучить каждую геометрическую фигуру отдельно, выполнить по ней тест 1-го
уровня, а затем перейти к обобщающему тесту.
Задания составлены по трем уровням сложности. Первый уровень
соответствует умению «узнавать» необходимые стандартные формулы. Задачи
второго уровня решаются, как правило, в несколько действий и направлены на
понимание формул. Тесты третьего уровня соответствуют умению применять
формулы. Четкой границы между заданиями 1–2, 2–3 уровней не существует.
Тем не менее, только усвоив формулы, т.е. выполнив тесты первого уровня,
можно переходить к тестам второго уровня сложности. Ко всем заданиям
сборника приведены ответы.
Пособие особенно полезно тем, кто по той или иной причине не имеет
возможности заниматься на подготовительных курсах под руководством
опытного преподавателя.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Введем обозначения:
4
a, b, c – длины сторон;
, ,  – величины внутренних углов;
ha, hb, hc – длины высот, опущенных на соответствующие стороны;
ma, mb, mc – длины медиан;
S – площадь;
R – радиус описанной окружности;
r – радиус вписанной окружности;
P – периметр;
p – полупериметр;
la – биссектриса угла А;
d1, d2 – диагонали четырехугольника.
Треугольники (рис. 1)
1)
2)
S
a  ha b  hb c  hc


2
2
2 ;
S
1
ab sin 
2
;
3) S 
p p  a  p  b  p  c 
(формула Герона);
4) S  pr ;
5)
S
a bc
4R ;
5
a
b
c


 2R
6) sin  sin  sin 
(теорема синусов);
2
2
2
7) a  b  c  2bc cos  (теорема косинусов);
8)
9)
ma 


1
2 b2  c2  a2
2
;
AD DC

AB BC
(BD – биссектриса угла треугольника делит
противоположную сторону на отрезки, длины которых
пропорциональны длинам прилежащих сторон) (рис. 1).
При решении задач, связанных с треугольниками, очень часто
используются следующие свойства:
1. Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит в точке
пересечения биссектрис;
2. Центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке
пересечения перпендикуляров к серединам его сторон;
3. Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести).
Точка их пересечения делит каждую медиану на отрезки, длины
которых относятся как 2:1, считая от соответствующей вершины
треугольника.
Важную роль при решении задач играют три признака подобия
треугольников (рис. 2):
1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого
треугольника, то такие треугольники подобны;
2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум
сторонам другого и углы, заключенные между ними, равны, то такие
треугольники подобны;
3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем
сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
6
2
S  AB 
P
AB



P1 A1 B1 , S1  A1 B1  .
Вспомним еще одно полезное утверждение: средняя линия треугольника
параллельна третьей стороне и равна половине ее длины.
Прямоугольный треугольник (рис. 3)

a 2  b 2  c 2 ;     90 .
S
1
1
ab
S  bc sin  S  ac sin 
2
2
2 ,
,
.
r
sin  
abc
c
R
2
2.
,
a
b
a
b
cos 
tg 
ctg 
c;
c;
b;
a.
Свойство перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на
гипотенузу (рис. 4)
7
Обозначим AD=ас , DB=bc – проекции катетов a и b на гипотенузу:
a 2  c  ac ,
b 2  c  bc ,
hc2  ac  bc ,
Равносторонний (правильный) треугольник (рис. 5)
OD=r,
a2 3
S
4 ,
OB=R,
a  R 3,
OB 
2
BD
3
, R=2r,
1
OD  BD
3
.
Четырехугольники
Параллелограмм (рис. 6)
8
S  a  ha ,
S  ab sin  ,
S
1
d1d 2 sin 
2
,
d12  a 2  b 2  2ab cos  ,


d12  d 22  2 a 2  b 2 ,
P  2a  2b .
Ромб (рис. 7)
d12  d 22  4a 2 ,
S  a  ha ,
S  a 2 sin  ,
1
S  d1d 2
2
,
S  2ar ,
P  4a ,
9
r
1
ha
2 .
Прямоугольник (рис. 8)
P  2a  2b
S  a b,
1
S  d 2 sin 
2
.
Квадрат (рис. 9)
P  4a ,
d a 2,
S a ,
2
r
Трапеция (рис. 10)
S
1 2
d
2 ,
a
d
R
2,
2.
10
S
S
ab
h
2
,
1
d1d 2 sin 
2
,
ab
l
2
– средняя линия трапеции.
Часто используются следующие утверждения:
1.
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда
ab  cd.
2.
Трапецию можно вписать в окружность в том и только в том
случае, если она равнобочная.
Произвольный четырехугольник (рис. 11)
Площадь выпуклого четырехугольника определяется по формуле:
S
1
d1d 2 sin 
2
.
Справедливы следующие утверждения:
1.
В произвольном четырехугольнике (рис. 12), описанном около
окружности, суммы противоположных сторон равны.
11
2.
В произвольном четырехугольнике, вписанном в окружность,
суммы противоположных углов равны 180.
ab  cd,
S  pr .
Площадь вписанного четырехугольника может быть вычислена по
формуле, обобщающей известную формулу Герона для площади треугольника:
S
 p  a   p  b   p  c   p  d  , где р – полупериметр.
Замечание: Формула несправедлива для произвольного четырехугольника.
Многоугольники
Площадь многоугольника может быть определена разбиением его на
треугольники.
Если число сторон n, то сумма внутренних углов равна 180

n  2  .
Многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и
все углы.
12
Для правильных многоугольников, имеющих n сторон, выполнимы
следующие соотношения:
360 

n ,
центральный угол
внешний угол

360 

n
,
внутренний угол   180   .

Если многоугольник правильный, то:
1)
около него можно описать окружность;
2)
в него можно вписать окружность.
Теорема 1. Правильные многоугольники с одинаковым числом сторон подобны,
и коэффициент подобия равен отношению их радиусов.
Теорема 2. Площадь любого описанного около окружности многоугольника
равна S  pr , где р – полупериметр.
Площадь
правильного
вписанного
в
окружность
радиуса
R
радиуса
r
многоугольника может быть найдена по формуле:
S n  n R 2 tg
Площадь
правильного
180 
n .
описанного
около
многоугольника находится по формуле:
180 
S n  n r tg
n .
2
Окружность. Круг (рис. 14)
окружности
13
Введем обозначения:
R – радиус окружности;
C – длина окружности;
S – площадь круга;
l – длина дуги, ограничивающей сектор
 – радианная мера центрального угла;
n – градусная мера центрального угла.
C  2R ,
S  R 2 ,
l
S сект 
Rn 
180 
R 2 n 
360 
 R l

,
1 2
R 
2
.
При решении задач используются следующие свойства касательных к
окружности:
1. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной;
2. Две касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны, и
центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними.
Приведем также метрические соотношения в окружности:
1)
Если хорды AB и CD пересекаются в точке К (рис. 15), то
AK  KB  CK  KD .
14
2)
Если из точки А к окружности проведены две секущие АВС и ADK (рис.
16), то AB  AC  AD  AK .
3)
Если из точки А к окружности проведены касательная AB и секущая ADC
2
(рис. 17), то AB  AD  AC .
§1. Тесты по планиметрии 1-го уровня сложности
Структура теста:
1. Теорема Пифагора.
2. Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
3. Квадрат.
4. Правильный треугольник.
5. Треугольник (площадь, подобие).
6. Ромб.
7. Параллелограмм.
8. Трапеция.
15
9. Свойство четырехугольника, описанного около круга.
10. Теорема косинусов.
11. Теорема синусов.
12. Свойство перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на
гипотенузу.
13. Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника.
14. Вписанная и описанная окружность.
15. Окружность. Круг.
На выполнение тестов первого уровня сложности отводится 0,5 час. По
истечении времени, подсчитайте количество правильно решенных задач. После
чего поставьте себе оценку. Оценка вычисляется по формуле:
n
оценка   
3 ,
где n – количество правильно решенных задач.
Ответы на вопросы тестов приведены в конце §1.
Вариант № 1
1. В прямоугольном треугольнике катет равен 20, площадь равна 150. Найти
гипотенузу.
2. В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен 3/5. Сумма длин
прилежащего катета и гипотенузы равна 36. Найти длину радиуса описанной
около треугольника окружности.
3. Периметр квадрата равен 16 2 . Найти диагональ квадрата.
4. Длина стороны правильного треугольника 4 3 . Найти длину его медианы.
4
5. Длины боковых сторон равнобедренного треугольника равны 4 3 , угол
между ними 120. Найти площадь треугольника.
6. Площадь ромба равна 24, а одна из диагоналей – 6. Найти другую диагональ
ромба.
16
7. Длины сторон параллелограмма 6 и 8. Одна из диагоналей равна 2 14 .
Найти другую диагональ параллелограмма.
8. В равнобедренной трапеции основания равны 6 и14, а угол при основании
45. Найти площадь трапеции.
9. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна
15,
а
радиус
вписанной
в
него
окружности
5.
Найти
площадь
четырехугольника.
10. В треугольнике длины двух сторон 5 и 4, а угол между ними 60 . Найти
квадрат третьей стороны.
11. В треугольнике угол равен 60, а длина противолежащей стороны равна
6 3 . Найти радиус описанной окружности.
12. В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла опущена высота,
которая делит гипотенузу на отрезки 36 и 4. Найти длину высоты.
13. В треугольнике АВС биссектриса BD делит сторону АС на части, одна из
которых AD=3. Стороны треугольника АВ=5 и ВС=10. Найти DC.
14. Площадь треугольника равна 16, радиус вписанного круга равен 2. Найти
периметр треугольника.
15. Из точки вне окружности проведены касательная АВ и секущая АС, равная
27 , пересекающая окружность в двух точках D и C. Длина отрезка
AD  3 . Найти длину АВ.
Вариант № 2
1. В прямоугольном треугольнике длина одного из катетов равна 4 2 , площадь
треугольника равна 8 14 . Найти длину гипотенузы.
4
2. В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равна 12 3 , острый угол
30. Найти площадь треугольника.
3. Длина радиуса окружности, описанной около квадрата, равна 2 2 . Найти
площадь квадрата.
17
4. Длина радиуса окружности, описанной около правильного треугольника,
равна 6. Найти длину биссектрисы.
5. Площадь равнобедренного треугольника равна 25, а угол, заключенный
между равными сторонами, равен 30. Найти длину боковой стороны.
6. Длина стороны ромба равна 6, а длина радиуса вписанной окружности
равна 3. Найти площадь ромба.
7. Длины сторон параллелограмма 6 и 8, а угол между ними 30 . Найти площадь
параллелограмма.
8. Площадь трапеции равна 40, а высота 8. Определить большее основание
трапеции, если оно больше другого на 4.
9. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна 32.
Высота трапеции 4. Определить периметр трапеции.
10. Стороны треугольника соответственно равны 6, 5 3 и
лежащий против стороны длиной
21 . Найти угол,
21 .
11. В треугольнике АВС угол А=30, угол В=45, AC  6 2 . Найти длину ВС.
12. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, равна 6.
Проекция одного из катетов на гипотенузу, равна 3. Найти длину проекции
другого катета на гипотенузу.
13. В прямоугольном треугольнике АВС длина катета АС равна 6, а длина
гипотенузы АВ равна 10. Биссектриса угла, заключенного между этими
сторонами, делит противолежащую сторону не две части CD и DB. CD=3.
Найти DB.
14. Периметр треугольника равен 16, а радиус вписанного круга равен 3. Найти
площадь треугольника.
15. В круговом секторе длина дуги равна 10/3, а площадь равна 10. Найти
радиус сектора.
Вариант № 3
1. В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равна 10, а длина одного
из катетов равна 8. Найти площадь треугольника.
18
2. Синус угла прямоугольного треугольника равен 5/13, длина гипотенузы
равна 13. Найти периметр треугольника.
88
3. Длина диагонали квадрата равна
 . Найти площадь вписанного круга.
4
4. Периметр равностороннего треугольника равен 12 3 . Найти площадь
треугольника.
5. Найти площадь треугольника со сторонами 10, 10, 12.
4
6. Длина сторон ромба равна 6 3 , а острый угол в 2 раза меньше тупого. Найти
площадь ромба.
7. Периметр параллелограмма равен 42. Найти наименьшую сторону
параллелограмма, если его стороны относятся как 3:4.
8. В равнобедренной трапеции большее основание равно 24, боковая сторона
12, а угол между ними 60. Найти периметр трапеции.
9. Около круга радиуса 1 описана равнобедренная трапеция с площадью 12.
Определить длину боковой стороны трапеции.
10. В треугольнике стороны равны a  5 , b  4 , c  21 . Найти угол, лежащий
против стороны с.
11. В треугольнике углы при основании равны 30  и 45. Сторона, лежащая
против угла 45, равна 4 2 . Найти длину стороны, лежащей против угла 30.
12. В прямоугольном треугольнике длина катета равна 12, а прилежащий угол
равен 60. Найти проекцию этого катета на гипотенузу.
13. В треугольнике боковые стороны равны 12 и 16, а биссектриса внутреннего
угла делит противоположную сторону (основание) на части, одна из которых
больше другой на 3. Найти наименьшую часть.
14. Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника
с основание 16 и высотой 4.
15. Найти радиус окружности, если хорда длиной 20 видна из точки, взятой на
окружности, под углом, синус которого равен 1/8.
19
Вариант № 4
1. Длина катета равнобедренного прямоугольного треугольника равна 4 2 .
Найти радиус описанной около треугольника окружности.
2. В прямоугольном треугольнике сумма длин катетов равна 12, а тангенс
острого угла равен 2. Найти площадь треугольника.
3. Длина одной стороны прямоугольника равна 6, а периметр прямоугольника
равен 44. Найти площадь прямоугольника.
4. Длина радиуса окружности, описанной около правильного треугольника,
равна 2 3 . Найти длину стороны треугольника.
4
5. Длины двух сторон треугольника равны 2 8 и 4 2 , а угол между ними
равен 30. Найти площадь треугольника.
6. Площадь ромба равна 32, а острый угол равен 30. Найти длину стороны
ромба.
7. Стороны параллелограмма 2 3 и 4 2 . Найти сумму квадратов длин
диагоналей параллелограмма.
8. Длина нижнего основания равна 12, угол при основании равен 45 . Длина
верхнего основания равна 4. Найти площадь трапеции.
9. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найти
длину средней линии трапеции.
10. Стороны треугольника равны а=6, b=8, c  100  48 3 . Найти угол,
лежащий против стороны с.
11. В треугольнике АВС сторона, лежащая против угла 60, равна 6 6 . Найти
длину стороны, лежащей против угла 45.
12. В прямоугольном треугольнике длина катета равна 6, а длина гипотенузы
равна 9. Найти проекцию этого катета на гипотенузу.
13. В треугольнике АВС биссектриса угла В делит противоположную сторону
на отрезки длиной 3 и 4. Длина стороны ВС равна 12. Найти сторону АВ.
14. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) основание равно 48, а
высота, опущенная на основание, равна 18. Найти радиус окружности,
20
вписанной в треугольник.
15. Вписанный угол равен 64. Найти (в градусах) величину центрально угла,
опирающегося на ту же дугу.
Вариант № 5
1. В прямоугольном треугольнике длины катетов равны 12 и 5. Найти длину
радиуса вписанной окружности.
2. В прямоугольном треугольнике длина катета равна 16, а противоположный
угол 60. Найти длину высоты, опущенной на гипотенузу.
3. Длина радиуса окружности, вписанной в квадрат, равна 4 2 . Найти радиус
описанной окружности.
4. Площадь правильно треугольника равна 16 3 . Найти его периметр.
5. Длина высоты равнобедренного треугольника равна 4, а угол при основании
равен 45. Найти площадь треугольника.
4
4
6. Длины диагоналей ромба равны 2 3 и 3 27 . Найти площадь ромба.
7. Диагонали параллелограмма равны 4 и 8. Найти сумму квадратов всех сторон
параллелограмма.
8. В равнобедренной трапеции основания 10 и 24. Боковая сторона 25. Найти
площадь трапеции.
9. Периметр описанной около окружности трапеции равен 60. Найти ее
среднюю линию.
10. В треугольнике АВС: угол А=60, АВ=3, АС=4. Найти ВС2.
11. В треугольнике длина стороны равна 16, а противолежащий ей угол
равен 30. Найти длину радиуса описанного круга.
12. Проекции катетов на гипотенузу равны 16 и 4. Найти длину высоты,
проведенной из вершины прямого угла треугольника.
13. В треугольнике АВС длина медианы, проведенной к стороне ВС, равна 2.
Стороны АВ и АС соответственно равны 3 и 4. Найти квадрат длины
стороны ВС.
14. Стороны треугольника равны 8, 6 и 4. Радиус описанного круга равен 3.
21
Найти площадь треугольника.
15. Окружность разделена точками А, В, С так, что  AB :  DC :  AC ,
как 2:3:4. Точки А, В и С соединены хордами. Найти величину угла А (в
градусах).
Вариант № 6
1. Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен
26. Длина одного из катетов равна 10. Найти периметр треугольника.
2. В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равна 20, а косинус
острого угла равен 0,8. Найти длину большего катета.
3. Длина стороны квадрата равна 6 2 . Найти длину радиуса описанной
окружности.
4. В равностороннем треугольнике длина высоты равна 12. Найти радиус
вписанной окружности.
5. Найти площадь треугольника со сторонами, равными 13, 14, 15.
6. Вычислить периметр ромба, площадь которого равна 64, а длина радиуса
вписанной окружности 8.
7. Стороны параллелограмма равны 6 и 16. Острый угол равен 60 . Найти длину
меньшей диагонали.
8. В равнобочной трапеции из вершины тупого угла проведена высота, делящая
основание на две части 4 и 12. Найти среднюю линию трапеции.
9. Около круга радиуса 3 описана равнобочная трапеция с площадью 72.
Определить периметр трапеции.
10. В треугольнике длины двух сторон равны 3 и 5, а угол между ними 120 .
Найти длину третьей стороны.
11. В треугольнике АВС: угол А=30, угол С=45. Сторона АВ равна 16 2 .
Найти сторону ВС.
12. В прямоугольном треугольнике проекции катетов на гипотенузу равны
и
3
32 . Найти длину перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла.
22
13. В треугольнике биссектриса внутреннего угла делит основание на отрезки 8
и 4. Найти отношение большей боковой стороны к меньшей.
14. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 14, площадь равна
48, а радиус вписанного круга равен 2. Найти длину основания треугольника.
15. Диаметр окружности равен 24. Хорда, проведенная в этой окружности,
стягивает дугу в 120. Определить расстояние от центра окружности до
хорды.
Вариант № 7
1. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найти длину
медианы, проведенной к гипотенузе.
2. В прямоугольном треугольнике длина одного из катетов равна 3, а котангенс
прилежащего угла равен 0,75. Найти длину гипотенузы.
3. Длина диагонали квадрата равна
32 . Найти длину радиуса вписанной
окружности.
4. Около правильного треугольника со стороной
a
4
 описана окружность и
вписана окружность. Определить площадь образовавшегося кольца.
5. Треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С1. Площадь треугольника
AB
2

АВС равна 16. A1 B1 1 . Найти площадь треугольника А1В1С1.
6. Периметр ромба равен 32, длина высоты ромба равна 4. Найти острый угол
ромба.
7. Диагонали параллелограмма равны 10 и
150 , а стороны относятся как 1:2.
Найти длину меньшей стороны.
8. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Основания
равны 20 и 12. Найти площадь трапеции.
15
9. Около окружности радиуса 2 описана равнобочная трапеция с боковой
23
стороной 17. Найти большее основание трапеции.
10. В треугольнике АВС: AC  2 ,  A  45 , BC  5 . Найти длину АВ.

11. Основание треугольника равно 4cos15, а прилежащие углы равны 30 и 45.
Найти длину стороны, противолежащей углу 30.
12. В прямоугольном треугольнике один катет равен 6, а гипотенуза 9. Найти
проекцию другого катета на гипотенузу.
13. Боковые стороны треугольника относятся как 2:3. Основание равно 30.
Найти длину большего из отрезков, на которые делит основание биссектриса
противоположного угла треугольника.
14. В равнобедренном треугольнике основание равно 16, а боковая сторона 10.
Найти радиус описанной окружности.
15. Из внешней точки А проведена к окружности секущая длиной 12,
внутренний отрезок которой равен 9. Найти длину касательной, проведенной
к окружности из точки А.
Вариант № 8
1. В прямоугольном треугольнике длина одного из катетов равна 12, а длина
13
радиуса описанной окружности равна 2 . Найти площадь треугольника.
2. В прямоугольном треугольнике острый угол равен 60, а длина прилежащего
4
катета равна 4 3 . Найти площадь треугольника.
3. Найти сторону квадрата, равновеликого прямоугольнику, со сторонами 3 и
48.
4. Найти радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника
со стороной, равной 6 3 .
5. Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию,
равна 6. Длина высоты, опущенной на основание, равна 8. Найти длину
боковой стороны.
6. Площадь ромба равна 25. Диагонали ромба относятся как 1:2. Найти
24
меньшую диагональ ромба.
7. Длины сторон параллелограмма 8 и 6. Площадь его равна 24. Найти острый
угол параллелограмма.
8. В равнобедренной трапеции нижнее основание 18, верхнее равно 12, боковая
сторона составляет с нижним основанием угол 45. Найти площадь трапеции.
9. В равнобедренной трапеции, описанной около окружности, основания равны
12 и 6. Найти боковую сторону трапеции.
1
10. В треугольнике две стороны равны 7 и 6, а косинус угла между ними 21 .
Найти длину третьей стороны.
11. Около треугольника описана окружность радиуса 12. Известно, что синус
3
одного из углов треугольника равен 4 . Найти величину противолежащей
стороны.
12. Найти радиус круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если
проекции катетов на гипотенузу равны 9 и 16.
13. В треугольнике АВС: АВ=7; ВС=14. Биссектриса угла В делит сторону АС
на части, меньшая из которых равна 5. Найти длину АС.
14. В окружность вписан правильный треугольник со стороной, равной
3.
Найти площадь квадрата, вписанного в окружность.
15. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найти ЕD, если АЕ=5; ВЕ=4;
СЕ=2,5.
Вариант № 9
1. Длина катета прямоугольного треугольника равна 3, а длина гипотенузы
45 . Найти площадь треугольника.
4
2. В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равна 6 3 , а острый угол
равен 30. Найти площадь треугольника.
3. Длина диагонали прямоугольника равна 12, угол между диагоналями равен
25
30. Найти площадь прямоугольника.
4. Длина стороны правильного треугольника равна 4 3 . Найти длину радиуса
вписанной в треугольник окружности.
5. Площадь равнобедренного треугольника равна 49, а угол при основании
равен 45. Найти длину основания.
4
6. Диагональ ромба равна его стороне и равна 2 3 . Найти площадь ромба.
7. Диагонали параллелограмма 4 3 и 20, а угол между ними 60. Найти
площадь параллелограмма.
8. В равнобедренной трапеции разность длин оснований равна 3, а сумма – 11.
Найти большее основание.
9. Площадь равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность радиуса
1,5, равна 18. Найти длину боковой стороны.
10. В треугольнике длины двух сторон равны a  9 , b  4 , косинус угла между
2
ними равен 9 . Найти длину третьей стороны.
11. Найти сторону треугольника, если противолежащей ей угол равен 45, а
радиус описанной окружности равен 4 2 .
12. Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит
гипотенузу на отрезки длиной 25 и 4. Найти длину этой высоты.
13. Основание равнобедренного треугольника равно 4 2 , а медиана боковой
стороны 5. Найти длину боковой стороны.
14. Периметр треугольника равен 30, а длина окружности, вписанной в этот
треугольник, равна 6. Найти площадь этого треугольника.
15. Вершины треугольника АВС делят окружность на три дуги, градусные
меры которых относятся, как 2:9:7. Найти больший угол треугольника.
Вариант № 10
1. Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, если длина
26
его гипотенузы равна
32 .
2. В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 1:2. Больший
катет равен 6 3 . Найти радиус описанной окружности.
3. Длина диагонали квадрата равна 5 2 . Найти его сторону.
4
4. Длина стороны правильного треугольника равна 2 3 . Найти его площадь.
5. Треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С1. Периметр А1В1С1=12.
AB
4

A1 B1 3 . Найти периметр треугольника АВС.
6. Углы, образованные диагоналями ромба с его сторонами, относятся как 4:5.
Найти больший угол ромба.
7. Стороны параллелограмма равны 5 и 8. Меньшая диагональ параллелограмма
равна 7. Найти острый угол параллелограмма.
8. Длина средней линии трапеции равна 5,6, длина высоты равна 10. Найти
площадь трапеции.
9. Около круга, с длиной окружности, равной 4, описана равнобочная
трапеция с площадью 20. Определить периметр трапеции.
10. Длины сторон треугольника 3, 5 и 7. Найти угол, лежащий против большей
стороны.
11. Около треугольника с основанием 8 и синусом угла при вершине, равным
4
5 , описана окружность. Определить ее диаметр.
12. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 18 из вершины прямого угла
проведена высота, длина которой равна 4 2 . Найти большую из проекций
катетов на гипотенузу.
13. АК – биссектриса треугольника АВС. Найти АС, если АВ=12, КС=14, ВК=8.
14. Стороны треугольника равны 5, 12, 13. Найти радиус вписанной в
треугольник окружности.
15. Диаметр АВ перпендикулярен хорде CD, М – точка их пересечения. Найти
диаметр АВ, если АМ=4; СМ=8.
27
Ключи к тестам
№
варианта
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
25
12
24
4
2
60
11,25
54
30
16
8
16
8
16
11
96
8
6
6
9
12
6
24
4
12
10
48
1
16
84
8
36
54
8
9
16
12
24
9
88
80
14
40
7
60
32
408
12
75
32
6
10
15
48
21
30º
60º
30º
13
7
6
6
4
12
16
16
12
12
6
4
8
4
6
5
9
9
34
2
3
6
80
7
13
5
2
4
4
30º
5
256
25
3
2
5
18
8
9
10
30
9
8
24
96
6
12
36
5
6
2
3
10
14
16
5
6
30º
60
60º
45
7
56
9
6
20
9
6
18
8
10
5
10
16
15
6
21
16
24
10
8
12
20
25
3
2
45
2
100º
120º
128º
60º
6
6
8
90º
20
§2. Тесты по планиметрии на каждую геометрическую фигуру 1-го уровня
сложности
2.1. Прямоугольный треугольник
Структура теста:
1. Теорема Пифагора.
2-3.
Соотношение
между
сторонами
и
углами
прямоугольного
треугольника.
4. Прямоугольный треугольник, описанный около окружности.
5. Прямоугольный треугольник, вписанный в окружность.
6. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике.
7. Медиана.
8. Биссектриса.
9. Подобие.
10. Комбинированные фигуры.
На выполнение теста отводится 20 мин. Оценка вычисляется по формуле:
28
n
оценка   
2 ,
где n – количество правильно решенных задач.
Вариант № 1
1. Гипотенуза прямоугольника равна 5, а длина одного из катетов
21 . Найти
длину другого катета.
2. В прямоугольном треугольнике катет равен 12, а тангенс прилежащего угла
1
равен 2 . Найти площадь треугольника.
4
3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 12 3 , а острый угол
равен 30º. Найти площадь треугольника.
4. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника,
равен 12,5, а разность между длинами катетов равна 5. Найти периметр
треугольника.
5. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 25, а один из катетов 15.
Найти радиус вписанного круга.
6. Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки
2 3
2 3 и 3 . Найти ее длину.
7. В прямоугольном треугольнике медиана, опущенная на гипотенузу, равна
одному из катетов. Найти больший острый угол треугольника.
8. В прямоугольном треугольнике биссектриса СК прямого угла делит
гипотенузу АВ на отрезке
AK 
30
40
KD 
7 и
7 . Длина катета АС=6. Найти
периметр треугольника.
9. В прямоугольном треугольнике, площадь которого равна 50, параллельно
одному из катетов проведена прямая, которая разделила другого катет в
отношении 2:3, считая от вершины прямого угла. Найти площадь
29
треугольника, отсекаемого этой прямой.
10. В прямоугольный треугольник с углом 60º вписан ромб так, что угол 60º у
них общий, а остальные три вершины лежат на сторонах треугольника.
Найти длину гипотенузы, если сторона ромба равна 8.
Вариант № 2
1. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 6 2 .
Найти площадь треугольника.
4
2. В прямоугольном треугольнике острый угол 60º и прилежащий катет 4 3 .
Найти площадь треугольника.
3. В прямоугольном треугольнике катет равен 24, а противолежащий угол 60º.
Найти длину высоты, опущенной на гипотенузу.
4. В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 1:2. Больший
катет равен 6 3 . Найти радиус описанной окружности.
5. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна10, а один из катетов равен 8.
Найти радиус вписанной окружности.
6. Высота, проведенная из вершины прямого угла треугольника, равна 8 и делит
гипотенузу на части, длина одной из которых равна 2. Найти длину
гипотенузы.
7. В прямоугольном треугольнике длина катета равна длине медианы,
проведенной
гипотенузе.
Гипотенуза
84 3.
равна
Найти
площади
образовавшихся треугольников.
8. В прямоугольном треугольнике АВС (  C  90 ) проведена биссектриса

острого угла В. Найти 7  , где  – длина наибольшей из частей катета, на
которые разбивает сторону биссектриса угла.
9. В прямоугольном треугольнике АВС через середины сторон АС=6 и ВС=10
проведена прямая MN. Найти площадь треугольника AMN.
10. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат таким
30
образом, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие – на катетах.
Сторона квадрата равна 3. Найти длину гипотенузы.
Ответы к тестам
№
варианта
1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
18
36
24
54
12
60
6
5
2
2
18
60º
3
24
40
18
6
12
9
2.2. Правильный треугольник
Структура теста:
1. Зависимость между углами и сторонами.
2. Площадь треугольника.
3. Окружность, вписанная в треугольник.
4. Описанная окружность.
5. Свойство медианы.
6. Медианы, биссектрисы, высоты.
7. Подобие.
На выполнение теста отводится 15 мин.
Вариант № 1
1. В равнобедренном треугольнике угол при вершине 60º, а периметр
треугольника равен 30. Найти стороны.
2. Площадь правильного треугольника равна 4 3 . Найти его периметр.
3. Длина окружности, вписанной в правильный треугольник, равна 6 3 .
Найти сторону треугольника.
4. Сторона правильного треугольника равна
2
3
 . Найти площадь описанного
31
круга.
5. Медиана правильного треугольника равна 6. Найти радиус вписанной
окружности.
6. Сторона правильного треугольника равна 6 3 . Найти его высоту.
7. Площадь правильного треугольника АВС равна 36. Через точку пересечения
высот проведена прямая FK, параллельная АС. Найти площадь треугольника
FBK.
Ответы к тестам
№
варианта
1
1
2
3
4
5
6
7
10
12
18
4
2
9
16
2.3. Треугольники
Структура теста:
1. Сумма углов треугольника.
2. Равнобедренный треугольник.
3. Окружность, вписанная в треугольник.
4. Окружность, описанная около треугольника.
5. Теорема синусов.
6. Теорема косинусов.
7. Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника.
8. Медианы в треугольнике.
9. Подобие треугольников.
10. Комбинированные фигуры и др.
На выполнение теста отводится 20 мин. Оценка вычисляется по формуле:
n
оценка   
2 ,
где n – количество правильно решенных задач.
32
Вариант № 1
1. Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника равен 150º. Чему
равен угол при основании?
2. В равнобедренном треугольнике основание равно 12, а высота, опущенная на
основание, равна 8. Найти длину боковой стороны.
3. Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанного круга равен 3. Найти
площадь треугольника.
4. Около треугольника со сторонами 6, 7, 11 описана окружность радиуса
77
4 10 . Найти площадь треугольника.
5. Сторона треугольника равна 12, а противолежащий угол равен 30º. Найти
диаметр описанной окружности.
6. Стороны треугольника 3 и 1, а угол между ними 60º. Найти квадрат длины
третьей стороны.
7. В треугольнике АВС стороны АВ=9, АС=8. Биссектриса угла делит сторону
АС на части, одна из которых AD=3. Найти периметр треугольника.
8. Стороны треугольника соответственно равны а=1, b=6, с=7. Найти длину
медианы, проведенной к стороне b.
9. Стороны подобных треугольников относятся как 2:3. Площадь большего
треугольника равна 18. Найти площадь меньшего треугольника.
4
10. В правильный треугольник вписан ромб со стороной, равной 2 3 так, что
один из углов у них общий, найти площадь ромба.
Вариант № 2
1. Внутренние углы треугольника относятся как 2:6:4. Найти внешний угол
треугольника, смежный с меньшим внутренним углом.
4
2. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 4 3 , острый угол
при основании 30º. Найти площадь треугольника.
3. Площадь треугольника равна 36, а его периметр равен 24. Найти радиус
33
вписанной окружности.
4. Найти радиус окружности, в которую вписан треугольник со сторонами 10,
12 и 10.
3

5. В треугольнике АВС A  30 , а синус угла С равен 5 . Найти АВ, если
ВС=10.
6. В треугольнике длины двух сторон, образующих угол 60º, соответственно
равны 8 и 15. Определить третью сторону.
7. В треугольнике АВС биссектриса BD разбивает сторону АС на части AD=6 и
DC=8. Найти длину стороны АВ, если ВС=24.
8. Площадь треугольника АВС равна 32. Проведена медиана ВМ. Найти
площадь треугольника ABD.
9. Треугольники АВС и А1В1С1 подобны. Найти отношение площадей этих
треугольников, если АВ=6, А1В1=2.
4
10. В правильный треугольник вписан параллелограмм со сторонами 2 3 и
6 4 3 так, что один из углов у них общий. Найти площадь параллелограмма.
Ответы к тестам
№
варианта
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
75º
10
18
10
7
32
4
8
6
2
150º
12
3
6 10
25
4
12
13
18
16
9
18
2.4. Квадрат и прямоугольник
Структура теста:
1. Диагональ квадрата.
2. Площадь квадрата.
3. Окружность, вписанная в квадрат.
4. Описанная около квадрата окружность.
34
5. Зависимость между сторонами и диагоналями прямоугольника.
6-7. Площадь прямоугольника.
8. Зависимость между сторонами, диагоналями и углами прямоугольника.
9. Окружность, вписанная в прямоугольник.
10. Окружность, описанная около прямоугольника.
На выполнение теста отводится 20 мин. Оценка вычисляется по формуле:
n
оценка   
2 ,
где n – количество правильно решенных задач.
Вариант № 1
1. Диагональ квадрата равна 3 2 . Найти периметр квадрата.
2. Площадь квадрата равна 50. Найти длину диагонали.
3. Площадь круга, вписанного в квадрат, равна 36π. Найти периметр квадрата.
4. Сторона квадрата равна 5 2 . Найти радиус окружности, описанной около
квадрата.
5. Стороны прямоугольника 12 и 5. Найти диагональ прямоугольника.
6. Стороны прямоугольника 9 и 16. Найти сторону равновеликого ему квадрата.
7. Найти площадь прямоугольника, диагонали которого равны 8, а угол между
ними 30º.
8. Стороны прямоугольника 6 и 2 3 . Найти меньший угол, который образует
диагональ со стороной прямоугольника.
9. Радиус окружности, вписанной в прямоугольник, равен 4. Найти его
периметр.
10
20
10. Стороны прямоугольника  и  . Найти площадь описанного круга.
Ответы к тестам
35
№
варианта
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
10
48
5
13
12
16
30º
32
125
2.5. Параллелограмм
Структура теста:
1. Сумма углов.
2-3. Зависимость между сторонами и диагоналями, высотами.
4. Зависимость между сторонами, диагоналями и углами.
5-6-7. Площадь параллелограмма.
8. Биссектриса угла. Подобие.
На выполнение теста 15 мин.
Вариант № 1
1. Внутренние углы параллелограмма относятся как 1:3. Найти больший угол
параллелограмма.
2. Стороны параллелограмма 4 3 и 2 3 . Найти сумму квадратов длин
диагоналей.
3. Стороны параллелограмма 6 и 16, а его тупой угол равен120º. Найти длину
меньшей диагонали.
4. Стороны параллелограмма равны 3 и 8, а один из углов 150º. Найти площадь
параллелограмма.
5. Диагонали параллелограмма 2 3 и 8, а угол между ними 60º. Найти площадь
параллелограмма.
6. Площадь параллелограмма равна 120, а его высоты 8 и 12. Найти его
периметр.
7. Биссектриса острого угла параллелограмма делит его сторону на части 5 и 3.
Найти периметр параллелограмма.
36
Ответы к тестам
№
варианта
1
1
2
3
4
5
6
7
135º
120
14
27
12
50
26
2.6. Ромб
Структура теста:
1. Зависимость между сторонами и диагоналями.
2. Зависимость между сторонами, углами и диагоналями ромба.
3-4-5. Площадь ромба.
6. Окружность, вписанная в ромб.
На выполнение теста 15 мин.
Вариант № 1
1. В ромбе длины диагоналей 24 и 10. Найти сторону ромба.
2. Периметр ромба равен 16 3 , а один из углов 120º. Найти большую
диагональ ромба.
3. Площадь ромба 18, острый угол 30º. Найти периметр ромба.
4. Сторона ромба равна 25, одна из диагоналей равна 40. Найти площадь ромба.
5. Периметр ромба равен 40, а расстояние между двумя сторонами равно 6.
Найти площадь ромба.
6. Сторона ромба 8, радиус вписанной окружности равен 2. Найти величину
острого угла.
Ответы к тестам
№
варианта
1
1
2
3
4
5
6
13
12
24
600
60
30º
37
2.7. Трапеция
Структура теста:
1. Средняя линия.
2. Площадь.
3. Равнобедренная трапеция.
4. Прямоугольная трапеция.
5. Окружность, вписанная в трапецию.
6. Окружность, описанная около трапеции.
7. Подобие.
На выполнение теста отводится 15 мин.
Вариант № 1
1. Найти среднюю линию трапеции, если площадь равна 100, а высота равна 25.
2. В равнобедренной трапеции основания 20 и 30, а угол при основании 45º.
Найти площадь трапеции.
3. Найти площадь равнобедренной трапеции, если ее основания 16 и 30, а
диагонали взаимно перпендикулярны.
4. Найти площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны
равны 6 и больший угол 135º.
5. Найти длину боковой стороны равнобедренной трапеции, описанной около
круга, если угол при ее основании 30º, а площадь трапеции равна 18.
6. Около равнобедренной трапеции с боковой стороной, равной 6, описана
окружность, центр которой находится на нижнем основании трапеции.
Диагональ трапеции равна 8. Найти нижнее основание.
7. Стороны AB и CD равнобедренной трапеции ABCD продолжены до пересечения в точке К. Найти КВ, если основания трапеции равны 8 и 2, а
боковая сторона 5.
38
Ответы к тестам
№
варианта
1
2
3
4
5
6
7
1
4
125
529
54
6
10
5
3
2.8. Произвольный четырехугольник. Многоугольник. Окружность, круг и
его части
Структура теста:
1. Центральные и вписанные углы.
2. Произвольный четырехугольник (площадь, подобие).
3. Количество сторон и величина углов многоугольника.
4. Площадь многоугольника.
5. Нахождение длины дуги, ограничивающей сектор.
6. Площадь сектора.
7. Свойства хорд, пересекающихся в круге.
8. Свойства касательной и секущей.
На выполнение теста отводится 20 мин.
Вариант № 1
1. Найти вписанный угол АВС, если дуга АС, на которую он опирается,
равна 132º.
2. Найти площадь четырехугольника, диагонали которого 12 и 8 и угол между
ними 30º.
3. Сумма внутренних углов правильного многоугольника равна 720º. Найти
число его сторон.
4
4. Найти площадь правильного шестиугольника со стороной, равно 2 3 .
39
7,2
5. В окружность радиуса  . Найти длину дуги, содержащей 100º.
6. Площадь кругового сектора с центральным углом 20º равна 2π. Найти радиус
сектора.
7. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найти ED, если АЕ=5, ВЕ=2,
СЕ=2,5.
8. Через точку А проведены касательная АВ (В – точка касания) и секущая,
которая пересекает окружность в точках С и D. Найти CD, если АВ=4, АС=2.
Ответы к тестам
№
варианта
1
1
2
3
4
5
6
7
8
76º
24
6
18
4
60
4
6
§3. Тесты по планиметрии на каждую геометрическую фигуру 2-го уровня
сложности
3.1. Прямоугольный треугольник
Вариант № 1
1. Катет прямоугольного треугольника более другого катета на 10 и меньше
гипотенузы на 10. Найти гипотенузу этого треугольника.
4
2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 12 2 , а тангенс острого
угла α, tgα= 4 3 . Найти площадь треугольника.
3
3. В прямоугольном треугольнике острый угол α, sinα= 5 , сумма прилежащего
катета и его проекции на гипотенузу равна 36. Найти площадь треугольника.
4. Около круга радиуса 2 описан прямоугольный треугольник с катетом 5.
Найти гипотенузу треугольника.
5. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна 12. Расстояние
40
от центра описанной около треугольника окружности до этого катета
равна 2,5. Найти длину гипотенузы.
6. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого
угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11 больше другого.
Найти гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 6:5.
7. В прямоугольном треугольнике АВС ( C  90 ) проведены медианы острых

углов АМ и BN, которые пересекаются в точке О. Найти площадь
треугольника СОВ, если АС=8, АВ=10.
8. В прямоугольном треугольнике с острым углом β=30º и прилежащим катетом
а=16 cos15º проведена биссектриса прямого угла. Найти ее длину.
9. В прямоугольный треугольник вписан квадрат, вершина которого совпадает с
вершиной прямого угла треугольника. Найти площадь треугольника, если
один из его катетов равен 42, а сторона квадрата – 24.
10. В прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5 вписан квадрат, имеющий с
треугольником общий прямой угол. Найти 2Р, где Р – периметр квадрата.
Вариант № 2
1. Катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы на 8, другой катет
равен 20. Найти длину гипотенузы треугольника.
3
2. В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен 5 , а сумма длин
прилежащего катета и гипотенузы равна 24. Найти площадь треугольника.
3. В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 1:2. Больший
катет равен
18
 . Найти площадь круга, описанного около треугольника.
4. В прямоугольном треугольнике катеты относятся как 4:3, а гипотенуза
равна 10. Найти радиус вписанного круга.
13
5. Радиусы вписанной и описанной окружностей равны соответственно 2 и 2 .
Найти площадь треугольника.
41
6. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4. Найти периметр
треугольника, если высота, опущенная на гипотенузу, равна 12.
7. В прямоугольном треугольнике АВС ( C  90 ) проведены медианы острых

углов, которые пересекаются в точке О. Найти площадь треугольника АВО,
если АВ=13, АС=12.
8. Биссектриса прямого угла делит прямоугольный треугольник с острым
углом 30º на два треугольника. Найти отношение площадей этих треугольников.
9. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а расстояние от ее
середины до одного из катетов вдвое меньше, чем до другого. Найти
площадь треугольника.
10. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник
таким образом, что он имеет с треугольником общий прямой угол. Периметр
этого
прямоугольника
равен
25.
Найти
удвоенную
длину
катета
треугольника.
Вариант № 3
1. Длина гипотенузы АС прямоугольного треугольника АВС на 8 больше
длины катета ВС, а длина катета АВ на 1 меньше длины катета ВС. Найти
длину катета АВ.
4
2. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен 5 , а сумма длин
противолежащего катета и гипотенуза равна 18. Найти длину гипотенузы.
3. Периметр прямоугольного треугольника равен 24, а гипотенуза равна 10.
Найти площадь треугольника.
4. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса 4. Найти
периметр треугольника, если его гипотенуза равна 26.
5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого
угла к гипотенузе, равна 4 3 . Найти гипотенузу, если один из катетов
равен 8.
42
6. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 30º. Найти
отношение
радиусов
вписанной
и
описанной
около
треугольника
окружностей.
7. В прямоугольном треугольнике длины медиан острых углов равны
156 и
89 . Найти длину гипотенузы треугольника.
8. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на
отрезки 30 и 40. Найти больший катет.
9. В прямоугольный треугольник с катетами 4 и 12 вписан квадрат, имеющий с
треугольником общий прямой угол. Найти периметр квадрата.
10. Площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе
прямоугольного
треугольника,
вдвое
больше
площади
последнего.
Определить меньший угол прямоугольного треугольника.
Ответы к тестам
№
варианта
1
2
1
2
3
4
5
50
29
54
150
5
2
13
30
3
20
10
24
60
16
6
3 1
2
7
8
9
10
6
10
8
6
1176
20
15
25
14
56
6
30º
3.2. Треугольники
Вариант № 1
1. Вычислить площадь правильного треугольника, 6если сумма длин всех


4
сторон и высоты равна 6  3 3 .
2. Найти высоту равнобедренного треугольника, у которого угол при основании
равен 30º, а площадь треугольника равна 121 3 .
3. В равнобедренный треугольник с основанием 6 и боковой стороной 5, вписан
круг. Найти диаметр этого круга.
4. В равнобедренном треугольнике высота равна 20, а боковая сторона 12 5 .
43
Найти радиус описанного круга.
5. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен
120º, боковая сторона треугольника равна 8. Найти диаметр окружности,
описанной около этого треугольника.
6. Стороны треугольника равны 30, 50 и 70. Найти угол, лежащий против
большей стороны.
7. В равнобедренном треугольнике центр вписанного круга делит высоту в
отношении 8:5, а боковая сторона равна 40. Найти основание.
8. Длины двух сторон треугольника равны 27 и 29. Длина медианы,
проведенной к третьей стороне, равна 26. Найти высоту треугольника,
проведенную к стороне длиной 27.
9. Сходственные стороны двух подобных треугольников соответственно
равны 20 и 8, а разность их периметров равна 30. Определить периметр
большего треугольника.
10. Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС=12 и боковой
стороной 18. Отрезки какой длины нужно отложить от вершины В на его
боковых сторонах, чтобы соединив их концы, получить трапецию с
периметром 40?
Вариант № 2
1. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник равен
3 . Через
центр окружности проведена прямая параллельная одной из сторон
треугольника. Найти отрезок этой прямой, заключенной между двумя
другими сторонами треугольника.
2. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 30º, а сумма длин
4
боковой стороны и высоты равна 9 3 . Найти площадь треугольника.
3. Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с
основанием 16 и высотой 4.
4. Стороны треугольника равны 14, 6 и 16. Найти
R
2 , где R – радиус
44
описанной около треугольника окружности.
5. Пусть BD – высота треугольника АВС, точка Е – середина стороны ВС.
Вычислить радиус круга, описанного около треугольника BDE, если длины
сторон треугольника АВС: АВ=30, ВС=26 и АС=28.
6. Две стороны треугольника 13 и 14. Площадь треугольника равна 84. Найти
периметр треугольника.
7. Биссектриса угла В треугольника АВС делит сторону АС на отрезки, длины
которых 28 и 12. Найти периметр треугольника АВС, если АВ-ВС=18.
8. В равнобедренном треугольнике основание равно
84 , а тангенс угла при
3
основании равен 3 . Найти длину медианы, проведенной к боковой стороне.
9. Длина основания треугольника равна 16 2 . Прямая, параллельная
основанию, делит площадь треугольника на две равновеликие части. Найти
длину отрезка этой прямой, заключенной между сторонами треугольника.
10. В треугольник вписан параллелограмм, угол которого совпадает с углом
треугольника. Стороны треугольника, заключающие этот угол, равны 4 и 6, а
соответственно параллельные им стороны параллелограмма относятся как
2:1. Определить большую сторону параллелограмма.
Вариант № 3
1. В правильном треугольнике со стороной a  6 7 проведена средняя линия
MN параллельно АС. Через вершину А и середину MN проведена прямая до
пересечения с ВС в точке D. Найти длину AD.
2. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 30º, а сумма длин
4
основания и высоты, опущенной на боковую сторону, равна 3 3 . Найти
площадь треугольника.
3. В треугольник вписана окружность радиуса 3. Одна из сторон треугольника
делится точкой касания на отрезки длиной 3 и 5. Найти периметр
45
треугольника.
4. В равнобедренном треугольнике углы при основании 30º, а высота,
опущенная на это основание, равна 3. Найти радиус описанной окружности.


5. В треугольнике АВС: A  30 ; B  45 , длина стороны AC  10 2 . Найти
длину стороны ВС.
6. Площадь треугольника АВС равна 24. Найти квадрат стороны АВ, если
АС=5, ВС=16 и угол С – тупой.
7. Дан треугольник со сторонами 4, 8, 9. Найти квадрат длины биссектрисы,
проведенной к большей стороне.
8. Биссектриса угла С треугольника АВС пересекает сторону АВ в точке D.
Через точку D проведена прямая, параллельная стороне АС, пересекающая
сторону ВС в точке N. Определить длину отрезка BN, если ВС=8, АС=24.
9. Сторона треугольника разделена на три равные части и через точки деления
проведены прямые, параллельные одной из двух других сторон. Найти
площадь трапеции, заключенной между этими прямыми, если площадь
треугольника равна 87.
10. В треугольнике АВС проведена биссектриса угла В, которая пересекает
сторону АС в точке D. Из точки D проведены прямые, параллельные
сторонам АВ ВС. Найти длину сторон образовавшегося четырехугольника,
если АВ=4,5 и ВС=9.
Вариант № 4
1. В правильном треугольнике с площадью, равной 252 3 , проведена средняя
линия MN, параллельная АС. Через вершину А и середину MN проведена
прямая до пересечения с ВС в точке D. Найти длину OD, где О – середина
MN.
2. Основания равнобедренного треугольника равно 30, а высота, проведенная к
боковой стороне, равна 24. Найти длину боковой стороны.
3. В равнобедренном треугольнике с углом при вершине 120º и боковой


стороной a  3 2  3 вписана окружность. Найти ее радиус.
46
4. В равнобедренный треугольник АВС (АВ=ВС) вписана окружность.
Величина высоты BD, опущенной из вершины треугольника, равна 8. Найти
3
радиус вписанной окружности, если косинус угла А равен 5 .
5. В равнобедренном треугольнике высота равна 32, а тангенс угла при
основании равен 4. Найти радиус описанного круга.
6. Стороны треугольника 8, 15 и 17. Найти его угол, лежащий против большей
стороны.
7. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки
длиной 10 и 8. Найти периметр треугольника, если центр вписанной в него
окружности делит эту биссектрису в отношении 3:2, считая от вершины угла.
8. В равнобедренном треугольнике основание равно 4 21 , а угол при
основании равен 30º. Найти длину медианы, проведенной к боковой стороне.
9. На каком расстоянии от основания треугольника надо провести прямую,
параллельную основанию, чтобы площадь треугольника разделилась в
отношении 16:9, считая от вершины, если высота треугольника равна 10.
10. В остроугольном треугольнике разность двух сторон равна 2, а проекции
этих сторон на третью сторону равны 9 и 5. Найти периметр треугольника.
Вариант № 5
1. В окружность, диаметр которой равен 12 , вписан правильный треугольник.
На его высоте, как на стороне, построен другой правильный треугольник, в
который вписана новая окружность. Найти ее радиус.
2. Высота равнобедренного треугольника равна 14, основание относится к
боковой стороне как 48:25. Найти основание треугольника.
3. В равнобедренном треугольнике высота равна 20, а боковая сторона 12 5 .
Найти радиус вписанной в него окружности.
4. В равнобедренном треугольнике основание 24, боковая сторона 20. Найти
радиус описанной окружности.
47
5. В равнобедренном треугольнике АВС длина основания АВ равна
2 , угол
при основании равен 30º. Найти длину биссектрисы AD.
6. Найти высоту равнобедренного треугольника, боковая сторона которого
равна
 12 
 
26 , а косинус угла при вершине равен  13  .
7. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки
12 и 18. Найти площадь треугольника, если центр вписанной окружности
делит биссектрису в отношении 17:15, считая от вершины угла.
8. Медианы треугольника равны 5,
73 . Найти больший угол
52 ,
треугольника.
9. Стороны треугольника равны 12, 16 и 20. Периметр подобного ему
треугольника равен 60. Определить площадь второго треугольника.
10. В треугольник вписан ромб, угол которого совпадает с углом треугольника.
Стороны треугольника, заключающие этот угол, равны 12 и 18. Определить
сторону ромба.
Ответы к тестам
№
варианта
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
11
3
8
120º
50
20
50
6
2
4
27
10
18
14
16,9
42
85
7
16
3
3
14
1
10
409
14
2
29
3
4
7
25
40
3
2
3
17
90º
45
4
2
42
5
3 3
8
96
12,5
1
1
16 58
5
90º
150
7,2
8
6
6
3.3. Параллелограмм
Вариант № 1
1.
Периметр
параллелограмма
90,
а
острый
угол
60º.
Диагональ
48
параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении 1:3. Найти
большую сторону параллелограмма.
2. Параллелограмм с периметром 48 разделили диагоналями на четыре
треугольника. Разность между периметрами смежных треугольников равна 4.
Найти большую сторону параллелограмма.
3. В параллелограмме ABCD длина диагонали BD, перпендикулярной стороне
АВ, равна 6, длина диагонали АС равна 2 22 . Найти длину стороны AD.
4. Одна из диагоналей параллелограмма, равная 27 6 , составляет с основанием
угол 60º. Найти длину второй диагонали, если она составляет с тем же
основанием угол 45º.
5. В параллелограмме основание равно 8, острый угол 60º, а сумма длин
боковой стороны и высоты параллелограмма равна 3  2 3 . Найти площадь
параллелограмма.
6. В параллелограмме даны острый угол, равный 45º, и расстояние от точки
пересечения диагоналей до неравных сторон, равные соответственно
2 и 3.
Найти площадь параллелограмма.
7. Через середину М стороны ВС параллелограмма ABCD, площадь которого 1,
и вершину А проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке О.
Найти площадь четырехугольника OMCD.
8. В параллелограмме ABCD угол А равен 60º, а его биссектриса делит сторону
ВС на отрезки 4 и 6. Найти площадь параллелограмма.
Вариант № 2
1. Сумма двух противоположных углов параллелограмма равна 240º. Стороны
параллелограмма равны соответственно 6 и 16. Найти длину меньшей
диагонали.
2. Диагонали параллелограмма равны 24 и 28, а разность сторон равна 8. Найти
периметр параллелограмма.
3. Перпендикуляр, проведенный из вершины параллелограмма к его диагонали,
49
делит эту диагональ на отрезки длиной 6 и 15. Разность длин сторон
параллелограмма равна 7. Найти периметр параллелограмма.
4. По данной большей стороне параллелограмма, равной 2 13 , вычислить
большую диагональ, если меньшая диагональ перпендикулярна к меньшей
стороне, а отношение углов при основании 5:1.
5. Параллелограмм с периметром 64 разделили диагоналями на четыре
треугольника. Разность между периметрами смежных треугольников 12.
Найти площадь параллелограмма, если острый угол параллелограмма
равен 30º.
6. Периметр параллелограмма ABCD равен 30, а угол BAD равен 60º. В
треугольнике BDC вписана окружность радиуса
3 . Найти площадь
параллелограмма.
7. Два подобных параллелограмма имеют общую сторону, равную 3, периметр
одного равен 8. Найти периметр другого.
8. В параллелограмме со сторонами а=4, b=2 и углом 30º проведены
биссектрисы
четырех
углов.
Найти
площадь
четырехугольника,
ограниченного биссектрисами.
Ответы к тестам
№
варианта
1
2
3
4
5
6
1
30
14
7
81
12
24
2
14
72
54
13
110
24 3
7
3
8
24
8
20 3
4
3.4. Ромб
Вариант № 1
1. Периметр ромба 48, а сумма длин диагоналей 26. Найти площадь ромба.
2. Найти больший угол ромба, если его диагонали 2 3 и 2.
3. Площадь ромба 24, а одна из диагоналей 8. Найти 5d, где d – расстояние от
50
точки пересечения диагоналей до стороны ромба.
4. Площадь ромба 120. Разность диагоналей равна 14. Найти сторону ромба.


4
5. Острый угол ромба 60º, сумма длин стороны и высоты равна 2 3 2  3 .
Найти площадь ромба
6. Сторона ромба 8, острый угол 30º. Найти радиус вписанного круга.
7. Дан ромб с острым углом 30º. Какую часть ромба составляет от его площади
площадь вписанного в него круга.
8. Тупой угол ромба в 5 раз больше его острого угла. Во сколько раз сторона
ромба больше радиуса вписанной в него окружности.
Вариант № 2
1. Площадь ромба 15. Диагонали относятся d1:d2=1:3. Найти периметр ромба.
2. Меньшая диагональ ромба равна
4
3
3 , его площадь равна 2 . Найти в градусах
величину тупого угла.
3. Площадь ромба равна 540, а одна из его диагоналей равна 45. Найти
расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба.
4. Высота ромба 36, а одна из диагоналей 45. Найти площадь ромба.
5. Найти площадь ромба ABCD, если тангенс угла АВС равен
8 , а длина
диагонали BD равна 3.
6. Диагонали ромба 12 и 16. Найти радиус вписанной окружности.
7. В ромб вписан круг, а в круг вписан квадрат. Чему равен угол ромба, если
площадь квадрата в 4 раза меньше площади ромба.
Ответы к тестам
№
варианта
1
1
2
20
2
3
4
5
6
7
8
120º
12
13
24
2

8
4
120º
10
10
17
1350
9 2
8
4,8
30º
51
3.5. Квадрат и прямоугольник
Вариант № 1
1. Диагональ одного из данных квадратов имеет длину 12, а другого – 13. Найти
длину диагонали квадрата, площадь которого равна разности площадей
данных квадратов.
2. Середины сторон квадрата соединены отрезками. Найти отношение площади
фигуры, образованной этими отрезками, к площади квадрата.
3. Площадь круга, вписанного в квадрат, равна 16π. Середины двух смежных
сторон квадрата соединены между собой и с противоположной вершиной
квадрата. Определить площадь внутреннего треугольника.
4. Вокруг квадрата со стороной a  2 6 описана окружность, а около
окружности
описан
правильный
треугольник.
Определить
сторону
треугольника.
5. Периметр прямоугольника равен 28. Одна сторона больше другой на 2.
Найти диагональ прямоугольника.
6. Периметр прямоугольника 48, а площадь 128. Найти длину большей стороны
прямоугольника.
7. Периметр прямоугольника равен 28. Диагональ образует с основанием
угол α,
sin  
3
5 . Найти площадь прямоугольника.
8. Диагонали прямоугольника равны 6 7 , косинус острого угла между ними
1
равен 8 . Найти длину меньшей стороны прямоугольника.
9. Во сколько раз изменится площадь прямоугольника, в который можно
вписать окружность, если диагональ квадрата, вписанного в эту окружность,
увеличить в 3 раза?
10. В окружность, радиус которой 17, вписан прямоугольник. Найти периметр
этого прямоугольника, если отношение сторон равно 15:8.
52
Ответы к тестам
№
вари-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5
1
2
24
12
10
16
48
10,5
9
92
анта
1
3.6. Трапеция
Вариант № 1
1. Длина меньшего основания трапеции равна 4, а длина большего основания
больше длины средней линии на 6. Найти длину средней линии.
2. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а
диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найти больший угол трапеции.
3. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее
основание трапеции равно 3, периметр равен 42. Найти площадь трапеции.
4. В прямоугольной трапеции ABCD (AB || CD), АВ=16, CD=10 меньшая
боковая сторона равна 8. Найти периметр трапеции.
5. Около окружности описана равнобокая трапеция, у которой боковая сторона
точкой касания делится на отрезки длиной 4 и 9. Найти площадь трапеции.
6. Найти диагональ равнобочной трапеции с основаниями 20 и 12, если
известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании
трапеции.
7. Средняя линия трапеции, равная 10, делит площадь в отношении 3:5. Найти
длину большего основания.
Вариант № 2
1. Длина средней линии трапеции равна 10. Одна из диагоналей делит ее на два
отрезка, разность длин которых равна 2. Найти длину большего основания.
2. В трапеции ABCD основания AD=6, ВС=4, боковая сторона АВ=7, диагональ
53
BD=5. Найти площадь трапеции.
3. В равнобедренной трапеции диагональ делит угол при нижнем основании
пополам. Нижнее основание в 2 раза больше верхнего. Найти нижнее
основание трапеции, зная, что ее площадь равна 27 3 .
4. Острый угол прямоугольной трапеции равен 30º, сумма длин ее боковых
сторон равна 12. Найти площадь трапеции, если известно, что ее меньшее
основание равно 2 3 .
5. В равнобедренную трапецию, верхнее основание которой равно 1, вписана
окружность радиуса 1. Найти площадь трапеции.
6. Найти диагональ равнобедренной трапеции с основаниями а=20 и b=5,6, если
известно, что центр описанной окружности лежит на нижнем основании.
7. Средняя линия трапеции равна 5. Известно, что в трапецию можно вписать
окружность. Средняя линия делит трапецию на две части, отношение
площадей которых равно 7:13. Найти длину высоты трапеции.
Ответы к тестам
№
варианта
1
1
2
3
4
5
6
7
10
135º
156
44
156
8 5
15
2
12
10 6
12
16 3
5
16
4
3.7. Многоугольник
Вариант № 1
1. Точки А и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна
140º, а большая точкой М делится в отношении 6:5, считая от точки А. Найти
угол ВАМ.
2. Стороны одного четырехугольника равны 10, 15, 20 и 25, а в подобном ему
четырехугольнике сумма наибольшей и наименьшей сторон равна 28.
Определить большую сторону второго четырехугольника.
54
3. Два правильных многоугольника таковы, что число сторон их относится
как 3:4, а внутренний угол первого относится к внутреннему углу второго как
14:15. Найти число сторон первого многоугольника.
4. Вычислить площадь восьмиугольника, описанного около окружности
радиуса, равного 15.
5. Из точки К, лежащей на окружности, проведены касательная к окружности и
хорда КА. Угол между ними равен 60º. Найти длину меньшей дуги,
3
отсекаемой хордой КА, если радиус окружности равен  .
6. Из точки, взятой на окружности радиуса 6, под углом 90º проведены друг к
другу две равные хорды АВ и ВС. Определить площадь части круга,
ограниченной этими хордами и дугой ВС.
7. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на диаметр, делит его на
отрезки, разность которых 18. Длина перпендикуляра равна 12. Найти
диаметр.
8. Из точки А окружности проведены диаметр АВ и хорда АС, которая
продолжена за точку С на расстояние СК, равное АС. Найти ВС, если КВ=10
и CAB  30 .

Вариант № 2
1. Окружность радиуса 2 разогнута в дугу радиуса 15. Найти центральный угол
(в градусах).
2. В окружность диаметра 1 вписан четырехугольник ABCD, у которого угол D
прямой, АВ=ВС. Найти площадь четырехугольника ABCD, если его
9 2
периметр равен 5 .
3. Если число сторон некоторого правильного многоугольника увеличить на
четыре, то внутренние углы нового правильного многоугольника будут на 1º
больше углов данного. Сколько сторон имеет последний?
4. Разность между площадью круга и площадью вписанного в него квадрата
55
равна 2 3  2 . Найти площадь правильного шестиугольника, вписанного в
этот круг.
5. В окружность радиуса R  3 из одного конца диаметра проведена
касательная, а из другого – хорда, стягивающая дугу 120º. Хорда продлена до
пересечения с касательной. Найти внешний отрезок секущей.
6. В круговой сектор, дуга которого содержит 60º, вписан круг. Найти
отношение площади сектора к площади этого круга.
7. Из точки, взятой на окружности, проведены две взаимно перпендикулярные
хорды. Отрезок, соединяющий середины этих хорд, равен 12. Вычислить
радиус окружности.
8. В окружность радиуса R  3 из одного конца диаметра проведена
касательная, а из другого – хорда, стягивающая дугу 120º. Хорда продолжена
до пересечения с касательной. Найти внешний отрезок секущей.
Ответы к тестам
№
варианта
1
1
2
3
4
5
6
7
8
50º
9
746
2
5
48
36
9
1
92,52
3
2
30
2
21
8
25
12
1
§4. Тесты по планиметрии на каждую геометрическую фигуру 3-го уровня
сложности
Структура теста:
1. Прямоугольный треугольник.
2. Равносторонний треугольник.
3. Равнобедренный треугольник.
4. Произвольный треугольник.
5. Ромб, параллелограмм.
6. Трапеция.
56
7. Взаимное расположение окружностей, углов и треугольников.
Вариант № 1
1. В прямоугольном треугольнике АВС биссектриса AD острого угла А делится
центром О вписанной окружности в отношении
AO
3 1

OD
3  1 . Найти
величину меньшего острого угла треугольника.
2. Внутри равностороннего треугольника с площадью 64 взята точка,
расстояние которой до стороны относится как 1:4:7. Определить площадь
треугольника,
образованного
прямыми,
соединяющими
основания
перпендикуляров, проведенных из данной точки до стороны.
3. В равнобедренном треугольнике равные стороны по 20, основание 24. Найти
расстояние между ортоцентром и центром тяжести треугольника.
BC
3 1

2 . Найти угол В.
4. В треугольнике АВС: C  120 , AC

4
5. В ромб со стороной 4 3 и острым углом 60º вписана окружность.
Определить площадь четырехугольника, вершинами которого являются
точки касания окружности со сторонами ромба.
6. В равнобедренную трапецию вписана окружность, центр которой – точка О
удалена от вершины А на 4, а от вершины В – на 3. Найти большее основание
трапеции.
7. Площадь треугольника АВС равна 2 3  3 , а угол ВАС равен 60º. Радиус
окружности, касающейся стороны АС и продолжения сторон ВА и ВС равен
3 . Найти угол АСВ.
Вариант № 2
1. Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС является хордой
окружности радиуса 10. Вершина С лежит на диаметре окружности, который
параллелен гипотенузе. Угол САВ составляет 75º. Найти площадь
57
треугольника АВС.
2. Один из углов треугольника равен 60º, а длина высоты, опущенной на одну
из сторон, образующих этот угол, равна 3. Найти площадь треугольника,
если радиус вписанного в него круга равен 1.
3. В равнобедренный треугольник АВС (АВ=ВС) вписана окружность. Прямая,
параллельная стороне АВ и касающаяся окружности, пересекает сторону АС
в точке М такой, что
2
AC
5
. Найти радиус окружности, если периметр
MC 
треугольника АВС равен 20.
4. Боковые стороны треугольника равны 3 и 6. Из точки пересечения
биссектрисы угла, заключенного между данными сторонами с третьей
стороной, проведены прямые, параллельные данным сторонам. Определить
периметр образовавшегося четырехугольника.
5. Вычислить площадь общей части двух ромбов, если диагонали первого
равны 2 и 3, а второй получен поворотом первого на 90º около его центра.
6. Длины оснований трапеции равны 4 и 2, а один из углов при большем
основании составляет 60º. Известно, что в трапецию можно вписать
окружность. Найти радиус этой окружности.
7. Центр окружности, касающейся стороны ВС треугольника АВС в точке В и
проходящей через точку А, лежит на стороне АС. Найти площадь
треугольника АВС, если известно, что ВС=6, АС=9.
Ответы к тестам
№
варианта
1
2
1
30º
13
2
40
3 3
3
2
3
4 5
5
3
4
5
6
7
45º
9
6,4
30º
8
3
10
4 3
5
135
13