Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя
общеобразовательная школа № 19 с углубленным изучением отдельных предметов»
Программа прикладного курса
«Способы решения текстовых задач»
Учитель математики:
Габерман Ольга
Константиновна
I Пояснительная записка
Математика в наши дни проникает во все сферы жизни. Овладение
практически любой профессией требует тех или иных знаний по
математике.
Особое значение в этом смысле имеет умение смоделировать
математически определенные реальные ситуации. Данное умение
интегрирует в себе разнообразные специальные умения, адекватные
отдельным элементам математических знаний, их системам, а также
различные мыслительные приёмы, характеризующие культуру мышления,
выделять главное, обобщать, сравнивать, анализировать.
Применение на практике различных текстовых задач позволяет
создавать такие учебные ситуации, которые требуют от учащегося умения
смоделировать математически определенные физические, химические,
экономические, процессы и явления, составить план действия (алгоритм) в
решении реальной проблемы. Таким образом, развитие мышления,
формирование предметных компетенций, систематизация знаний
происходит уже на уровнях межтемного и межпредметного обобщения.
Кроме того, практика последних лет говорит о необходимости
формирования умений решения текстовых задач различных типов, еще и в
связи с включением их в содержание ЕГЭ.
Анализ образовательной практики по данному направлению говорит о
том, что значительная часть учащихся испытывает серьёзные затруднения
при решении задач. В большей степени это связано с недостаточной
сформированностью у учащихся умения составлять план действий,
алгоритм решения конкретной задачи, культуры моделирования явлений и
процессов.
Большинство учащихся решают такие задачи лишь на репродуктивном
уровне. Задачи же на концентрацию практически не рассматриваются в
школьном курсе математики, хотя включены в содержание ЕГЭ.
Цель: Способствовать развитию логического мышления учащихся, их
алгоритмической культуры и математической интуиции.
Задачи: 1. Расширение знаний о методах и способах решения
математических задач.
2. Формирование умения моделировать реальные ситуации.
3. Формирование креативных умений при решении задач
различных типов, посредством метода моделирования.
4. Развитие коммуникативных умений.
Ожидаемые результаты:
1. Овладение навыками моделирования реальной ситуации.
2. Повышение интереса.
3. Воспитание личности, имеющей свои убеждения и умеющей
отстаивать свои мнения.
Должен знать: 1. Основные способы решения задач.
2. Основные способы моделирования реальных
ситуаций при решении задач различных типов.
Должен уметь: 1. Работать с текстами задач, определять её тип.
2. Составлять план решения задач.
3. Решать задачи разного уровня (различными
способами).
4. Моделировать различные ситуации
описываемые в задачах.
5. Работать в группе.
II Структура программы курса «Способы решения
текстовых задач».
В программу данного курса включены шесть разделов.
«Пояснительная записка» нацеливает учителя на комплексное решение
образовательных и воспитательных задач обучения.
В ней дано обоснование актуальности темы курса, сформулированы
цель курса, задачи, направленные на достижение цели, требования к
уровню подготовленности учащихся, а так же ожидаемый результат.
В разделе «Учебно-тематический план» предполагается вариант
планирования по теме «Способы решения текстовых задач», рассчитанный
на 34 часа, ориентированный на использование действующих учебников
по углубленному изучению математики.
При этом даны рекомендации по использованию различных методов и
форм организации обучения.
В разделе программы «Содержание изучаемого курса» дается
характеристика каждой темы программы. Содержание обучения
предполагает не только знания, которые должны получить ученики, но и
опыт познавательной деятельности.
В пятом разделе дается список рекомендуемой литературы.
В «Приложении » указывается перечень основных рекомендаций для
поиска решения математических задач. Анкета для определения
коммуникативных способностей.
Таким образом, содержание курса охватывает все основные типы
задач. Кроме того, содержание программы предполагает возможность
работы со школьниками с разными учебными возможностями за счёт
подбора разноуровневых задач и использования работы в группах.
III Учебно-тематический план.
№
п/п
Название темы
Кол-в
о
часов
Формы
проведения
Образовательный
продукт
Краткий конспект
Поисковая работа с
литературой.
Процесс решения задач.
Опорные схемы.
Продуктивный реферат.
«Как поймать мышь в
куче камней»
Глава 1. Основные
понятия.
Введение
Типы задач.
4
1
1
Лекция-диалог.
Обсуждение в
малых группах.
Основные способы
моделирования задач.
2
Взаимообучение.
26
4.
Глава 2. Модели реальных
ситуаций.
Задачи на движение.
5.
Задачи на работу.
6
6.
Урок-обобщение.
1
7.
Задачи на проценты
6
8.
Задачи на концентрацию.
6
9.
10.
Урок-обобщение.
Итоговое занятие
1
4
1.
2.
3.
6
Учебный пример,
самостоятельная
работа в малых
группах.
Учебный пример,
самостоятельная
работа в малых
группах
Математический
бой
Учебный пример,
самостоятельная
работа в малых
группах
Учебный пример,
самостоятельная
работа в малых
группах
«Брейн ринг.»
«Снежный ком.»
«Я-гений.»
«Круглый стол.»
Нестандартные задачи и
их решения.
Индивидуальное
домашнее задание.
Сборник задач. Тесты.
Индивидуальное
домашнее задание.
Индивидуальное
домашнее задание.
Сборник задач. Тесты.
Продуктивный реферат:
«Как научиться решать
задачи».
IV Содержание изучаемого курса:
Типы задач. Методы и способы решения задач. Основные
способы моделирования задач. Составления плана решения задач.
Задачи на движение. Равномерное движение. Одновременные
события. Движение по окружности.
Задачи на работу. Задачи на совместную работу.
Производительность.
Задачи на проценты. Прямая и обратная пропорциональность.
Нахождение числа по его процентам. Нахождение процентного
отношения чисел. Нахождения процентов числа.
Задачи на концентрацию. Концентрация вещества. Процентное
содержание вещества. Количество вещества.
Методические рекомендации по реализации программы.
Начинать обучение следует с простых задач, условия
которых полностью соответствуют названиям основных типов, и
сводящихся к решению рациональных уравнений. Затем можно
приступать к решению более сложных задач, сводящихся к системам
двух и более уравнений.
На более высоком уровне целесообразно предложить учащимся
комбинированные задачи, условия которых предполагает различные
типы задач, их комбинацию. В результате можно предложить
учащимся составить самостоятельно задачу, включающую в себя все
четыре типа задач.
Для более эффективной работы учащихся целесообразно в
качестве дидактических средств использовать плакаты с опорными
конспектами в виде примерной модели по каждому из четырёх типов
задач.
V Список рекомендуемой литературы для учителя
1. Вольпер Е.Е. Задачи на составления уравнений. Омск,
ОмИПРКО,1989 год.
2. Гурова Л.Л. Психологический анализ решения задач. Воронеж,
1976 год.
3. Пойа Д. Математическое открытие. Москва, 1970 год.
4. Сабина Л.В. Математика в понятиях, определениях и терминах.
Москва, 1982 год.
5. Фридман Л.М. Как научиться решать задачи. Москва, 1984 год.
6. Одну задачу – несколькими методами. Журнал математика №31,
2004 год.
7. Практикум по решению текстовых задач. Журнал математика
№6, 2004 год.
8. Методы и приемы решения задач. Журнал математика №39, 1999г.
Список литературы для учащихся
1. Вересова Е. Практикум по решению математических задач.
Москва, 1980 год.
2. Кузнецова Л.В. Сборник задач для проведения письменного
экзамена по алгебре за курс основной школы. Москва, 2002 год.
3. Литвиненко В. Практикум по элементарной математике. Москва,
1982 год.
4. Никольский С.М. Арифметика. Москва, 1988 год.
5. Сканави М.И. Сборник задач для поступающих во ВТУЗы.
Москва, 1989 год.
6. Соломонин В.С. Сборник вопросов и задач по
математике.Москва,1970 год.
VI Приложение 1
Замечания по методике решения задач.
В полученной (при решении задач на составление уравнений)
системе уравнений количество неизвестных может оказаться больше,
чем количество уравнений. В этом случае нужно обратить внимание
на вопрос задачи. Если искомая величина уже обозначена и
присутствует в системе, то можно сразу начинать решение системы,
последовательно, исключая неизвестные (кроме искомой). На
заключительном этапе лишние неизвестные исчезнут, если искомой
величины в системе нет, то её нужно обозначить и добавить к системе
выражение этой величины через ранее введённые величины, а затем
решать полученную систему уравнений.
Основными формулами при решении задач на проценты для
составления уравнений являются формулы простых и сложных
процентов. При необходимости для составления уравнений вводится
параметр, если первоначальное значение изменяемой величины не
задано.
При решении задач на работу нередко в условии задачи
говорится о выполнении некоторого задания без указания конкретных
единиц, в которых измеряется работа. В этом случае обычно
принимают всю работу за единицу: А=1. как правило, для
составления уравнения или системы уравнений, буквами
обозначаются в первую очередь производительность участников
работы, а остальные величины вводятся по мере необходимости.
Вещество и примесь в смеси (при решении задач на
концентрацию)-понятия условные, поэтому в качестве вещества
можно выбрать любой компонент смеси.
Значимой для формирования и развития умения решать задачи
является деятельность учащихся по самостоятельному выявлению
видов задач каждого типа, составлению математической модели,
плана решения. В этом случае наиболее эффективной технологией,
используемой для решения задач курса, представляется технология
работы в группах. Учащиеся разбиваются на группы по 3-4 человека,
в зависимости от наполняемости группы в целом. После двухчасовой
теоретической части каждая группа работает с одним из четырёх
типов задач под руководством учителя.
Для каждой группы разрабатываются методические инструкции, и
информационные листы в течение работы учитель осуществляет
разноуровневый контроль усвоения материала в рамках каждого типа
задач.
Эффективность реализации программы легко определяется на
выходе после прохождения всего цикла на разных уровнях, по
отдельным типам задач и в целом по курсу. По итогам курса
учащиеся должны получить отметку «зачтено».
Важно правильно организовать работу учащихся с текстом
задачи при проведения анализа условия. Для этого каждый учащийся
должен быть обеспечен текстом. В этом плане наиболее удобными
являются готовые сборники задач.
Безусловно, огромна роль учителя в правильной организации
работы группы и самостоятельной познавательной деятельности
школьников, поскольку доля самостоятельной работы учащихся
составляет 85% всего учебного времени данного курса.
Приложение 2.
Основные рекомендации для поиска решения математических
задач:
1. Прочтя задачу, надо попытаться установить, к какому виду задач
она принадлежит.
2. Если вы узнали в ней стандартную задачу знакомого вида, то
примените для её решения известное вам общее правило.
3. Если же задача не является стандартной, то следует действовать
в следующих направлениях:
а) вычленять из задачи или разбивать её на подзадачи
стандартного вида (способ разбиения);
б) ввести в условие вспомогательные элементы:
вспомогательные параметры, вспомогательные построения ( способ
вспомогательных элементов);
в) переформулировать её, заменить её другой равносильной
задачей ( способ моделирования).
4. Для того чтобы легче было осуществлять указанные способы,
полезно предварительно построить наглядную вспомогательную
модель задачи – её схематическую запись.
5. Решение нестандартных задач есть искусство, которым можно
овладеть лишь в результате глубокого постоянного самоанализа
действий по решению задач и постоянной тренировки в решении
разнообразных задач.
Помните, что решение задач есть вид творческой
деятельности, а поиск решения есть процесс изобретательства.
Учитесь творить и изобретать в процессе решения задач!
Приложение 3.
Анкета на входе и на выходе для определения коммуникативных
способностей.
Нужно ответить на все вопросы анкеты свободно выражая своё мнение.
Если ваш ответ на вопрос положительный, то поставьте знак «+», а если
отрицательный то « - ».
1.
2.
Много ли у вас друзей, с которыми вы постоянно общаетесь?
Долго ли вас беспокоит чувство обиды, причиненное вам
кем-то из ваших друзей?
3. Есть ли у вас стремление к установлению новых знакомств с
различными людьми?
4. Верно ли, что вам приятней проводить время с книгами или за
другими занятиями, чем с людьми?
5. Легко ли вы устанавливаете контакты с людьми, которые
старше вас по возрасту?
6. Трудно ли вам включатся в новую для вас компанию?
7. Легко ли вам удается установить контакты с незнакомыми
людьми?
8. Трудно ли вам осваиваться в новом коллективе?
9. Стремитесь ли вы при удобном случае познакомиться и
пообщаться с новым человеком?
10. Раздражает ли вас окружающие люди и хочется ли вам побыть
одному?
11. Нравится ли вам постоянно находится среди людей?
12. Испытываете ли вы чувство затруднения, неудобства, если
приходится проявлять инициативу, чтобы познакомиться с
новым человеком?
13. Любите ли вы участвовать в коллективных играх?
14. Правда ли, что вы чувствуете себя неуверенно среди
малознакомых вам людей?
15. Полагаете ли вы, что вам не доставляет особого труда внести
оживление в малознакомой для вас обстановке?
16. Стремитесь ли вы ограничить круг своих знакомых небольшим
количеством людей?
17. Чувствуете ли вы себя непринужденно в незнакомой для вас
компании ?
18. Правда ли, что вы не чувствуете себя достаточно уверенным и
спокойным, когда приходится говорить что-либо большой
группе людей?
19. Верно ли, что у вас много друзей?
20. Часто ли вы смущаетесь, чувствуете неловкость при общении с
малознакомыми людьми?
Дешифратор
1
2
3
4
5
+
+
+
6
7
8
9
10
+
+
-
11
12
13
14
15
+
+
+
16
17
18
19
20
+
+
-
т
К= 20 , или К=0,5
Шкала оценок коммуникативных способностей.
К
О
Уровень проявления
коммуникативных способностей.
0,10-0,45
0,46-0,55
0,56-0,65
0,66-0,75
0,75-1
1
2
3
4
5
Низкий
Ниже среднего
Средний
Высокий
Очень высокий
Приложение 4 .
Задачи на совместную работу. Содержание задач этого типа сводится обычно к
следующему. Некоторую работу, объем которой не указывается и не является искомым
(например, перепечатка рукописи, рытье котлована, заполнение резервуара и т. д.), выполняют несколько человек или механизмов, работающих равномерно (т. е. с постоянной для
каждого из них производительностью). В таких задачах объем всей работы, которая должна
быть выполнена, принимается за единицу. Время /, требующееся для выполнения всей
работы, и V — производительность труда, т. е. величина работы, выполняемой за единицу
времени, связаны соотношением
1
V= t
Пример1. Первому трактору на вспашку всего поля требуется на 2 ч меньше, чем
третьему, и на 1 ч больше, чем второму. При совместной работе первого и второго тракторов
поле может быть вспахано за 1 ч 12 мин. Какое время на вспашку поля будет затрачено при
совместной работе всех трех тракторов?
Решение. Примем величину работы (в данном случае это вспашка всего поля) за
единицу. Пусть х ч — время, необходимое для вспашки поля первому трактору, у ч —
1
1
второму и z ч — третьему трактору. Тогда x производительность первого трактора, y —
1
второго и z - третьего. По условию задачи z — х = 2 и х — у =1. Далее, так как при
1 1
x
y ) часть работы в час,
совместной работе первого и второго тракторов выполняется (
6 1 1
( )
5
x y = 1.
а вся работа выполняется ими за 1 ч 12 мин, т. е. за
ч, то
В итоге приходим к следующей системе уравнений: z-x=2
x-y=1
6
6
1
5x 5 y
Решив эту систему, получим (3; 2; 5), ( — 0,4; —0,6; 2,4). По смыслу задачи л: x>1, у>0 и z
>2. Из найденных решений этим условиям удовлетворяет только первое решение.
Теперь ответим на вопрос задачи. При совместной работе трех тракторов
1 1 1
31
производительность труда составит 3 2 5 , т.е 30 . Значит, время на вспашку поля тремя
30
тракторами составляет 31 ч.
Пример 2.Имеющиеся в совхозе комбайны, работая вместе, могут убрать урожай за
одни сутки. Однако по плану комбайны вступали в работу последовательно: в первый час
работал лишь один комбайн, во второй — два, в третий — три и т. д. до тех пор, пока не
начали работать все комбайны, действовавшие вместе до полной уборки урожая. Время
работы, предусмотренное планом, уменьшилось бы на 6 ч, если бы с самого начала уборки
постоянно работали все комбайны, за исключением пяти. Сколько комбайнов было в
совхозе?
Решение. Примем величину всей работы равной 1 и введем три переменные: п — число
комбайнов в совхозе, х — производительность труда каждого комбайна за 1 ч, t ч — время
совместной работы всех комбайнов по плану. По условию п комбайнов, производительность
каждого из которых х, могут выполнить работу за 24 ч, т. е. 24 nx :=1.
По плану в первый час действовал один комбайн, объем работы, выполненной им за
этот час, равен x. Во второй час действовали два комбайна, объем работы, выполненной ими
за этот час, равен 2х. В третий час три комбайна выполнили объем работы, равный Зх, и т. д.,
в (п — 1)-й час (п— 1) комбайн выполнил объем работы, равный (п— 1) х. После этого в
течение / ч действовали все п комбайнов, объем выполненной ими работы равен пtx.
Плановая работа комбайнов в итоге описывается следующим уравнением:
x + 2x + … + (n-1) x + ntx =1.
Заметим, что х + 2х + ... (п— 1) х есть сумма (п— 1) членов арифметической прогрессии
(an), у которой а1 = х, d = х. Значит,
x (n 1) x
n(1) x
2(n 1)
2
X + 2x + … + (n - 1)x =
n 1
t) 1
и уравнение (3) принимает вид: nx( 2
Наконец, из условия следует, что если бы с самого начала работали (n — 5) комбайнов,
то работа длилась бы не (п— 1+ t) ч, что было предусмотрено планом, а на 6 ч меньше,
т. е. ((п — 1 + t) — 6) ч, тогда (п + t — 7) (п — - 5) x == 1 .
В итоге получаем следующую систему уравнений относительно переменных п, х, t:
24nx=1.
т 1
t ) 1.
2
nx(
1
5 x) 1
(n+t-7)( 24
Из первого уравнения находим пх =
1
уравнения системы, получим: nx= 24 .
1
24 . Подставив это выражение во второе и третье
n 1
t 24
2
1
5 x) 1
(n+t-7)( 24
1
Далее система без труда решается методом подстановки. Из первого уравнения х= 24 n , из
49 n
2
второго t =
. Подставив эти значения х и t в третье уравнение, получим:
(n 35)( n 5)
1
48n
откуда находим, что n1 = 25, n2 = -7. По смыслу задачи п1. Этому
условию удовлетворяют только n1 =25.
Значит, в совхозе было 25 комбайнов.
Задачи на сплавы и смеси. Решение этих задач связано с понятиями «концентрация»,
«процентное содержание», «проба», «влажность» и т. д. и основано на следующих
допущениях:
1. Все рассматриваемые смеси (сплавы, растворы) однородны.
2. Не делается различия между литром как единицей емкости и литром как единицей массы.
Если смесь (сплав, раствор) массы т состоит из веществ А, В, С (которые имеют массы
m1
соответственно m1, m2, m3, то величина m
m2 m3
,
(соответственно m m ) называется концентрацией вещества А (соответственно В, С) в
m2
m3
m1
*
*
*
cмеси. Величина m
100% (соответственно m
100%, m
100% ) называется
процентным содержанием вещества А (соответственно В, С) в смеси. Ясно, что
m1 m2 m3
m
m
m =1, т. е. от концентрации двух веществ зависит концентрация третьего.
При составлении уравнения обычно прослеживают содержание какого-нибудь одного
вещества из тех, которые сплавляются (смешиваются и т. д.).
Пример 1. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди.
Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получившийся новый сплав
содержал 40% меди?
Решение. Сплав состоит из меди и олова. Проследим за содержанием одного из этих веществ,
например, олова в первоначальном сплаве и в полученном.
55
В 12 кг сплава было 45% меди, а олова в нем было 55%, т. е. 12 * 100
кг
олова. Пусть к первоначальному сплаву добавили x кг олова. Тогда получилось (12 + х) кг
60(12 x)
нового сплава, в котором олова стало 60%, т. е. 100
кг.
55 *12
60(12 x)
x
100
Таким образом, получается следующее уравнение: 100
Решив это уравнение, найдем, что х =1,5. По смыслу задачи х>0. Найденное значение х
этому условию удовлетворяет. Итак, к первоначальному сплаву следует добавить 1,5 кг
олова.
Замечание. Наметим коротко составление уравнения, основанное на прослеживании за
содержанием в первоначальном и полученном сплавах меди, а не олова. В первоначальном
45
сплаве меди было 12 * 100 кг.
Добавили х кг олова (меди не добавляли). Тогда получилось (12+x) кг нового сплава, в
40(12 x)
12 * 45 (12 x)40
100
100
котором меди 40%, т. е
кг.
Получаем
уравнение 100
Пример 2. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали
одного и другого сорта следует взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с
содержанием никеля 30%?
Решение. Проследим за содержанием никеля в сплавах. Взяв для переплавки х т стали,
5
содержащей 5% никеля, непосредственно никеля взяли при этом x* 100 , а взяв для
40
переплавки у
т стали, содержащей 40% никеля, никеля взяли при этом у * 100
т.
Так как в полученных 140 т нового сплава никеля стало содержаться 30%, т. е. 140
30
5
40
30 *140
x
y
100
100
* 100 т
то получаем следующее уравнение: 100
Кроме того,
X + y = 140.
Таким образом, приходим к следующей системе уравнений:
5x+40y=140*30
X+y=140
Из этой системы находим х = 40, у =100. По смыслу задачи 0<x<140, 0<y<140.
Найденные значения х и у этим условиям удовлетворяют. Итак, стали с 5%-ным содержанием
никеля следует взять 40 т, а стали с 40%-ным содержанием никеля следует взять 100 т.
Задачи на движение. При решении этих задач принимают следующие допущения:
1. Если нет специальных оговорок, то движение считают равномерным.
2. Скорость считается величиной положительной.
3. Всякие переходы на новый режим движения, на новое направление движения считают
происходящими мгновенно.
4. Если тело с собственной скоростью х движется по реке, скорость течения которой равна у,
то скорость движения тела по течению считается равной (x+y), а против течения — равной
(х — у).
Пример1. Из пункта А в пункт В отправляются три велосипедиста. Первый из них едет со
скоростью 10 км/ч. Второй отправляется через полчаса после первого и едет со скоростью 8
км/ч. Какова скорость третьего велосипедиста, если известно, что он выезжает через полчаса
после второго и что он догоняет первого через 4 ч после того, как он догонит второго?
Решение. Выразим время, которое потребуется третьему велосипедисту, чтобы догнать
первого и второго велосипедистов.
Пусть скорость третьего велосипедиста равна х км/ч. Тогда, сокращая расстояние до первого
велосипедиста по (х—10) километров в час, отставание, образовавшееся за 1 ч и,
10
следовательно, равное 10 км, третий велосипедист покроет за x 10 ч.
4
Аналогично второго велосипедиста третий догонит за x 8 ч..
(4 км — расстояние между третьим и вторым велосипедистами в момент старта третьего.)
10
4
4
Таким образом, получаем следующее уравнение: x 10 x 8
Из этого уравнения находим x1 = 12, x2 = 7,5. По смыслу задачи скорость третьего
велосипедиста должна быть больше, чем скорости первого и второго велосипедистов, т. е.
х>10. Из найденных решений этому условию удовлетворяет только х=12. Итак, скорость
третьего велосипедиста равна 12 км/ч.
