МОУ «Цивильская средняя общеобразовательная
школа №1 имени М.В.Силантьева»
Цивильского района Чувашской Республики
Факультативный курс
по математике
7 класс
Учебно – методическое пособие
Цивильск 2009
МОУ «Цивильская средняя общеобразовательная
школа №1 имени М.В.Силантьева»
Цивильского района Чувашской Республики
Рецензент: кандидат физико – математических наук, доцент
кафедры естественно – научных дисциплин
ГОУ «Чувашский Республиканский институт
образования» Ярдухин А.К.
Составитель: учитель математики МОУ «Цивильская средняя
общеобразовательная школа № 1 имени
М.В.Силантьева»
Ермеев Валерий Александрович
Факультативный курс
по математике
Учебно – методическое пособие ориентировано на учеников
7 класса и включает следующие разделы:
дроби (натуральные, десятичные, периодиче-
ские);
проценты и текстовые задачи на процентное
7 класс
содержание;
модуль числа, решение уравнений и систем
уравнений, построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля;
Учебно – методическое пособие
линейные уравнения (в т.ч. с параметрами и
несколькими переменными) и их системы;
графическое решение уравнений;
делимость чисел, сравнения по модулю;
системы счисления; формулы сокращенного
умножения;
Цивильск 2009
принцип Дирихле;
деление многочлена на многочлен.
Пояснительная записка
Факультативные занятия рассчитаны на 2 ч в неделю, в об-
4) Овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изу-
щей сложности – на 68 ч в учебный год. Преподавание факуль-
чения смешанных дисциплин, для продолжения образования.
татива строится как углублённое изучение вопросов, предусмот-
5) Интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств
ренных программой основного курса. Углубление реализуется
мышления, характерных для математической деятельности.
на базе обучения методам и приемам решения математических
Задачи курса:
задач, требующих применения высокой логической и операци-
1) Развитие творческих способностей учащихся на основе проб.
онной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгорит-
2) Воспитание личности, умеющей анализировать, самоанализи-
мическое мышление учащихся. Факультативные занятия дают
ровать и создавать программу саморазвития.
возможность шире и глубже изучать программный материал,
3) Развития мышления учащихся, формирование у них умений
задачи повышенной трудности, больше рассматривать теорети-
самостоятельно приобретать и применять знания.
ческий материал и работать над ликвидацией пробелов знаний
4) Формирование познавательного интереса к математике, раз-
учащихся, и внедрять принцип опережения. Регулярно проводи-
витие творческих способностей, осознание мотивов учения.
мые занятия по расписанию дают возможность разрешить ос-
5) Формирование умений выдвигать гипотезы, строить логиче-
новную задачу: как можно полнее развить потенциальные твор-
ские умозаключения, пользоваться методами аналогии и идеали-
ческие способности каждого ученика, не ограничивая заранее
заций.
сверху уровень сложности используемого задачного материала,
повысить уровень математической подготовки учащихся.
Цели данного курса:
1) Повысить интерес к предмету.
2) Эффективная подготовка учащихся 7-х классов к поступлению в гимназические, лицейские классы.
3) Развитие личности, ответственной за осмысление законов математики.
3
4
Содержание курса
Учебно - тематический план
№
Кол-во
часов
Тема
Периодические дроби
Перевести обыкновенную дробь в десятичную легко –
1
Периодические дроби
2
надо всего лишь делить уголком. При этом получается либо ко-
2
Дроби
3
нечная десятичная дробь (когда знаменатель несократимой
3
Проценты
3
4
Задачи на концентрацию и процентное содержание
обыкновенной дроби не делится ни на какие простые числа,
4
кроме 2 и 5), либо периодическая дробь (чисто периодическая –
5
Модуль числа. Решение линейных уравнений,
содержащих неизвестное под знаком модуля
6
6
Линейные уравнения с параметрами
5
Периодическая дробь - это бесконечная десятичная дробь, в
7
Линейные диофантовы уравнения
5
которой с некоторого места, периодически повторяется опреде-
8
Графики функций, содержащих переменную
под знаком модуля
4
9
Графическое решение уравнений
3
Двоичная система счисления
дической дроби повторяющаяся группа цифр (период) располо-
10
2
11
Делимость целых чисел
6
жена непосредственно после запятой, то такую дробь называют
12
Сравнения. Периодичность остатков при возведении в степень
4
ная дробь имеет предпериод, и называют дробь смешанной пе-
13
Формулы сокращенного умножения
4
риодической.
14
Двузначные и трехзначные числа
3
15
Деление многочлена на многочлен
3
дробей в обыкновенные:
16
Принцип Дирихле
3
Чисто периодическая правильная десятичная дробь, равна обык-
17
Системы линейных уравнений, содержащих
неизвестное под знаком модуля
4
новенной дроби, в числителе которой записан период, а знаме-
18
Системы линейных уравнений с параметрами
4
когда знаменатель не делится ни на 2, ни на 5; смешанная периодическая – в остальных случаях).
ленная группа цифр. Например, 2,5131313…
Обычно такую дробь записывают короче: 2,5(13).Если в перио-
чисто периодической; в противном случае говорят, что десятич-
Общее правило обращения периодических десятичных
натель состоит из стольких девяток, сколько цифр в периоде.
Смешанная правильная периодическая десятичная дробь равна
обыкновенной дроби, в числителе которой стоит разность между
5
6
числом, образованным цифрами, стоящими после запятой до
начала второго периода, и числом, образованным цифрами, стоящими после запятой до начала первого периода; знаменатель
состоит из стольких девяток, сколько цифр в периоде, и стольких нулей, сколько цифр стоит до начала первого периода.
Например:
0,(142857) =
142857 1
24617 24 24593
; 0,24(617) =
.
999999 7
99900
99900
Задачи для самостоятельного решения
1. Обратите в обыкновенную дробь:
а) 0,(2); б) 0,(23); в) 1,(7); г) 3,5(72); д) 12,3(321).
2. Вычислите:
15 1
2 5 17 18 0,1(6) 0, (3)
а) 3 : 13 : 2
;
3 18 36 65 0, (3) 1,1(6)
24 4
15 4
) : 12, (2)) : 0,07
88 33
;
(13 0,416 ) : 6,05 1,92
((7 6,35) : 6,5 9,8(9))
е)
: 0,125;
1
1
((1,2 : 36) (1 : 0,25) 1,8(3)) 1
5
4
38 1
8
3
(2 ) : 13 3 0, (26)
1 1 1
1
1
9
65
ж ) 45 15
(
).
1
1
3 9 27 81 162
(18 13, (7))
2
85
5
2
Ответы: Ответы: а) 0,5; б) 0,5; в) ; г) 11; д) 1; е)1 ; ж) 9.
6
3
Дроби
1. Упростите выражение:
1 1
1 1
1
1
1
1
; г)
.
а) ; б ) ; в)
1 2
2 3
х х 1
х 1 х 1
2. Представьте в виде разности дробей:
а)
(0,3275 (2
б)
3
1,125 1 0,41(6)
0,8(3) 0,4(6)
4
в)
;
5
0,59
1
6
1
(0, (6) ) : 0,25
3
г)
12,5 0,64;
0,12(3) : 0,0925
5
( 2,708 (3)) : 2,5
8
д)
: 0,5;
110
(1,3 0,7(6) 0,3(6))
401
7
1
12,8
1
1
1
1
1
1
; г)
; д)
; б)
; в)
; е)
.
х( х 1)
( х 2)( х 3)
1 2
3 4
24
35
3. Вычислите:
1
1
1
1
;
1 2 2 3 3 4
9 10
1
1
1
1
б)
;
1 2 2 3 3 4
99 100
а)
1
1
1
1
;
2 4 46 68
98 100
1
1
1
1
1
г)
;
2 5 5 8 8 11 11 14 14 17
в)
д)
1
1
1
1
1
;
1 4 4 7 7 10 10 13 13 16
8
е)
1
1
1
1
1
;
3 7 7 11 11 15 15 19 19 23
1
1
1
1
;
1 2 2 3 3 4
n(n 1)
1
1
1
1
з)
;
2 7 7 12 12 17
(5m 3)(5m 2)
ж)
1
1
1
1
;
5 11 11 17 17 23
(6k 1)(6k 5)
1
1
1
1
1
1
1
1
к)
.
20 30 42 56 72 90 110 132
9
99
5
5
49
5
Ответы: а)
; б)
; в)
; г)
; д)
; е)
.
10
100
16
69
200
34
и)
Указание. Используйте равенство
1
1
1
.
k (k 1) k k 1
4. Докажите, что при любом натуральном n:
1
1
1
1
х( х 3) ( х 3)( х 6) ( х 6)( х 9) ( х 9)( х 12)
1
.
( х 12)( х 15)
6. Найти такую дробь, которая не изменится от прибавления к
числителю 30, а к знаменателю 40.
3
Ответ: .
4
г)
7. Что больше:
10001
100001
или
?
10002
100002
8. Что больше:
12345
12346
или
?
54321
54322
Проценты
Процентом от любой величины называется одна сотая
часть.
а)
1
1
1
1
< 1;
1 2 2 3 3 4
(n 1)n
Любое число процентов можно выразить десятичной дробью
б)
1
1
1
1
1
< .
1 3 3 5 5 7
(2n 1)( 2n 1) 2
знаком %, разделить на 100.
5. Упросите выражение:
а)
1
1
;
х( х 1) ( х 1)( х 2)
1
1
1
;
х( х 1) ( х 1)( х 2) ( х 2)( х 3)
2
2
в)
;
х( х 2) ( х 2)( х 4)
1
1
1
г)
;
х( х 2) ( х 2)( х 4) ( х 4)( х 6)
9
б)
или натуральным числом. Для этого нужно число, стоящее перед
Пример 1. 47% =
47
300
;300 %
3.
100
100
Чтобы выразить число в процентах, его надо умножить на 100.
Пример 2. 0,47 = (0,47 ∙ 100)% = 47%.
Простейшие задачи на проценты:
1. Нахождение процента от числа.
Чтобы найти процент от числа, надо это число умножить на
соответствующую дробь.
Пример 3. 13% от 2000 руб. равны 2000 · 0,13 = 260 руб.
10
2. Нахождение числа по его проценту.
11
Чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответ-
Ответ: 15 т.
ствующую этому проценту, разделить на соответствующую
3. Из 40 т руды выплавляют 20 т металла, содержащего 6% при-
дробь.
месей. Каков процент примесей в руде?
Пример 4. Если 8,4 кг есть 12% массы штанги, то масса штанги
Ответ: 53%.
равна 8,4: 0,12 = 70 кг.
4. Из 38 т сырья второго сорта, содержащего 25% примесей, по-
3. Нахождение процентного отношения двух чисел.
сле переработки получается 30 т сырья первого сорта. Каков
Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от
процент примесей в сырье первого сорта?
второго, надо первое число разделить на второе и результат
Ответ: 5%.
умножить на 100.
5. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие – 12%. Сколько
Пример 5. 18 г. соли в растворе 240 г. составляет
18 100
7,5%
240
раствора.
получится сухих грибов из 88 кг свежих?
Ответ: 10 кг.
6. Цену товара сперва снизили на 20%, затем новую цену снизи-
Задачи для самостоятельного решения
ли еще на 15% и, наконец, после перерасчёта произвели сниже-
1.Собрали 140 кг грибов, влажность которых составляла 98%.
ние ещё на 10%. На сколько процентов всего снизили первона-
После подсушивания их влажность снизилась до 93%. Какова
чальную цену товара?
стала масса грибов поле подсушивания?
Ответ: На 38,8%.
Решение: Влажность 140 кг грибов равна 98%, значит, в них со-
7. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 т целлю-
держится 98% воды и 2% сухого вещества, что составляет
лозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с
140 · 0,02 = 2,8 кг. В подсушенных грибах 2,8 кг сухой массы
содержанием 75% воды?
составляет уже 100% - 93% = 7%. Следовательно, масса подсу-
Ответ: 200 кг.
шенных грибов равна
2,8 100
40(кг ).
7
Ответ: 40 кг.
2. Руда содержит 40% примесей, а выплавленный из неё металл
– 4% примесей. Сколько получится металла из 24 т руды.
8. В двух бидонах находится 70 литров молока. Если из первого
бидона перелить во второй 12,5% молока, находящегося в первом бидоне, то в обоих бидонах будет поровну. Сколько литров
молока в каждом бидоне?
Ответ: 40 л и 30 л.
12
9. Цена товара была дважды снижена на одно и то же число
процентов. На сколько процентов снижена цена товара каждый
13
Рассмотрим смесь трёх компонент А, В, С. Объём смеси
складывается из объёмов чистых компонент: A B C , а
раз, если его первоначальная стоимость 2000 р.,
а окончательная 1805 р.?
три отношения dА=
А
, dB= В , dС= С показывают, какую долю
10. В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных – 20%. На сколько
полного объёма смеси составляют объёмы отдельных компонент
процентов уменьшается масса яблок при сушке?
А d B ; B d B ; C d C .
11. Апельсины подешевели на 30%. Сколько апельсинов можно
Отношения объёма чистой компоненты (v A ) в растворе ко всему
теперь купить на те же деньги, на которые раньше
покупали 2,8 кг?
12. Что больше: 15,5% от 49 или 49% от 15,5?
13. Множимое увеличили на 50%, а множитель уменьшили на
50%. Как изменилось произведение?
Задачи на концентрацию и процентное содержание
В задачах, связанных с использованием понятий “концентрация” и “процентное содержание”, речь идёт о составлении
сплавов, растворов или смесей несколько веществ.
Основные допущения, которые принимаются в задачах подобного рода, состоят в следующем:
а) все получающиеся сплавы или смеси однородны;
б) при смешивании двух растворов, имеющих объёмы
1 2 , получается смесь, объём которой равен сумме 1 2 .
Такое допущение не представляет собой закона физики и
не всегда выполняется в действительности. На самом деле при
смешивании двух растворов не объем, а масса равняется сумме
составляющих её компонент.
объёму смеси : d A =
А
А
называется объёмной
А В С
концентрацией этой компоненты.
Концентрация – это безразмерная величина.
Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь,
равна единице: d A d B d C 1.
Объёмным процентным содержанием компоненты А называется величина Р = d A · 100%, т. е. концентрация этого вещества, выраженная в процентах.
Если известно процентное содержание вещества А, то его концентрация находится по формуле d A
PA
.
100
Таким же способом определяется массовая концентрация и
процентное содержание, а именно как отношение массы чистого
вещества А в сплаве к массе всего сплава. О какой концентрации, объёмной или массовой, идёт речь в конкретной задаче,
всегда видно из условия.
14
15
Задача 1. Имеется кусок сплава с оловом массой 12 кг, содер-
ным содержанием никеля, т. е. после переплавки в полученной
жащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к это-
стали должно быть 140 · 0,3 т никеля. Но это количество никеля
му сплаву, чтобы получившейся новый сплав содержал
складывается из х · 0,05 т, содержащихся в стали первого сорта,
40% меди?
и из (140 – х)0,4 т, содержащихся в стали второго сорта. Таким
Решение: Пусть масса олова, которую надо добавить к сплаву,
образом, запишем уравнение х · 0,05 + (140 – х)0,4 = 140 · 0,3,
равна х кг. Тогда получится сплав массой (12+х) кг, содержащий
из которого находим х = 40. Следовательно, стали с 5%-ным со-
12 х
40 кг меди. Ис100
держанием никеля надо взять 40 т, а стали с 40%-ным содержа-
40% меди. Значит, в новом сплаве имеется
ходный сплав массой 12 кг содержал 45% меди, т.е. меди в нём
было
12
45 кг. Так как масса меди и в имевшемся, и в сплаве
100
одна и та же, то можно записать следующее уравнение:
(12 х)40 12
45. Решив его, получим х = 1,5.
100
100
Ответ: 1,5 кг.
Задача 2. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5%
и 40%. Сколько стали того и другого сорта взять, чтобы после
переплавки получить 140 т стали с содержанием никеля 30%?
Решение: Пусть масса стали первого сорта равна х т, тогда стали
второго сорта надо взять (140 - х) т. Содержание никеля в стали
первого сорта составляет 5%, значит, в х т стали первого сорта
содержится х·0,05 т никеля. Содержание никеля в стали второго
сорта составляет 40%, значит, в (140 - х) т стали второго сорта
содержится (140 – х)0,4 т никеля. По условию после объединения взятых двух сортов должно получиться 140 т стали с 30%-
нием – 100 т.
Ответ: 40 т, 100 т.
Задачи для самостоятельного решения
1. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды, чтобы получить
раствор, содержащий 2% соли?
Ответ: 60 кг.
2. Сплавили 120 г серебра 640-й пробы со слитком серебра неизвестной пробы и получили 320 г серебра 700-й пробы. Определите пробу второго слитка.
Ответ: 736 пробы.
3. Бронза – сплав меди и олова. В древности из бронзы отливали
колокола, если в ней содержалось 75% меди. К бронзе массой
500 кг, содержащей 70% меди, добавили некоторое количество
меди и получили бронзу, необходимое для изготовления колокола. Определите, сколько килограммов меди было добавлено.
Ответ: 100 кг.
Задача 4. В колбе было 200 г 80% спирта. Провизор отлил из
16
17
колбы некоторое количество этого спирта и затем добавил в неё
в отношении 2:5.
столько же воды, чтобы получить 60%-ный спирт. Сколько
11. В двух сплавах медь и цинк относятся как 4:1 и 1:3. После
граммов воды добавил провизор?
совместной переплавки 10 кг первого сплава, 16 кг второго
Ответ: 50 г.
сплава и нескольких кг чистой меди получили сплав, в котором
5. Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на
медь и цинк относятся как 3:2. Определите вес нового сплава.
60 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили со 100 кг
Модуль числа. Решение линейных уравнений, содержащих
меди и получили латунь, в которой 70% меди. Определите про-
неизвестное под знаком модуля
цент содержания меди в первоначальном куске латуни.
Любое действительное число можно изобразить точкой
Ответ: 60 %.
числовой прямой. Расстояние этой точки от начала отсчета на
6 . Имеются два слитка сплава серебра и олова. Первый слиток
этой прямой равно положительному числу или нулю, если точка
содержит 360 г серебра и 40 г олова, а второй слиток – 450 г се-
совпадает с началом числовой прямой.
ребра и 150 г олова. От каждого слитка взяли по куску, сплавили
Расстояние точки, изображающей данное число на число-
их и получили 200 г сплава, в котором оказалось 81% серебра.
вой прямой, от начала этой прямой называется модулем этого
Определите массу (в граммах) куска, взятого от второго слитка.
числа. Модуль числа а обозначается | а |. Геометрический смысл
Ответ: 120 г.
модуля удобно использовать при решении некоторых уравнений.
7. В 100 г 20%-ного раствора соли добавили 300 г её 10%-ного
Пример 1. Решите уравнение: |х – 6| = 9.
раствора. Определите концентрацию полученного раствора.
Решение:
8. Какое количество воды надо добавить к 100 г 70%-ной уксусной эссенции, чтобы получить 5%-ный раствор уксуса?
9. Сплавили два слитка серебра: 600-й пробы 75 г и 864-й
пробы 150 г. Определите пробу сплава.
Если число 6 изобразить тачкой А , то по определению мо-
10. Имеются два сплава меди и цинка. В первом из них количе-
дуля следует, что точка Х отстоит от точки А на расстоянии 9
ство этих металлов находится в отношении 3:5, а во втором 2:7.
единиц. Но на числовой прямой таких точек две. Одна имеет ко-
Сколько килограммов от каждого сплава нужно взять, чтобы по-
ординату х = 6 + 9 = 15, другая х = 6 – 9 = -3. Следовательно,
лучить 11 кг нового сплава, в котором медь и цинк вошли бы
уравнение имеет два решения: х = 15 и х = -3.
18
19
Ответ: 15; -3.
б) Найденные значения х разбивают числовую прямую на три
Пример 2.Решите уравнение: |х –1 | + |х – 3| = 6.
промежутка: х < -8, -8 х 6; х > 6. Решение данного уравнения
Решение: Решить уравнение |х – 1| + |х – 3| = 6 – значит найти все
рассматривается в каждом промежутке отдельно.
такие точки на числовой оси Ох, для каждой из которых сумма
Ι
расстояний от неё до точек с координатами 1 и 3 равна 6.
Ни одна из точек отрезка 1;3 не удовлетворяет этому
ΙΙ
-8
ΙΙΙ
х
6
в) Ι. х < -8.
условию, так как сумма указанных расстояний для любой из них
В данном промежутке оба выражения, стоящие под знаком мо-
равна 2 (т.е. не равна 6). Вне этого отрезка существует только
дуля, отрицательны.
две искомые точки: точка с координатами 5 и точка с -1.
- (2х – 12) – (6х + 48) = 160,
Ответ: 5; -1.
- 2х + 12 – 6х – 48 = 160,
При решении уравнений, содержащих несколько выраже-
- 8х = 196,
ний со знаком модуля, удобнее пользоваться алгебраическим
х = - 24,5. (х < -8).
определением модуля числа: модулем положительного числа и
ΙΙ. 8 х 6 . В данном промежутке первое выражение, стоящие
нуля является само число, модулем отрицательного числа назы-
под знаком модуля, отрицательно, а второе положительное,
вается противоположное ему положительное число.
- (2х – 12) + (6х + 48) = 160,
а, если а 0,
- 2х + 12 + 6х + 48 = 160,
4х = 100,
|а | =
х = 25 (не принадлежит данному промежутку).
-а, если а < 0.
Пример 3. |2х – 12| + |6х + 48| = 160.
ΙΙΙ. х >6.
Решение:
Оба выражения, стоящие под знаком модуля, положительны.
а) Найдём корни (нули) каждого выражения, содержащего знак
(2х – 12) + (6х + 48) = 160,
модуля:
2х – 12 + 6х + 48 = 160,
2х – 12 = 0,
6х + 48 = 0,
8х = 124,
х = 6,
х = - 8.
х = 15,8. (х>6).
Ответ: -24,5; 15,8.
20
21
Задачи для самостоятельного решения
от параметров, а х – неизвестное, называется линейным уравне-
Решите уравнение:
нием с параметрами.
1) |3 – х| = 7
Ответ: -4; 10.
2) |2х + 3| = 3х – 3
Ответ: 6.
ний параметров найти множество всех корней заданного уравне-
3) |6х – 4| = 3х – 14
Ответ: Ø.
ния.
4) х -
1
1
|3х – 2| = 3 - (2х – 5)
5
3
Ответ: -7; -1;
6) |2х + 5| = |3х - 1| + 1 – 2х
3
Ответ: - .
7
Ответ: 3.
8) |3х – 8| - |3х – 2| = 6
9) |х – 1| - 2|х – 2| +3 |х – 3| = 4
10) |2 + |2 + х|| = 3
х
5 2х
11)
х
Линейное уравнение Ах = В исследуется по следующей
Ответ: 4.
5) |2х + 5| - |3х – 4| = 2х - 2
7) 3х – 2 |х| + |х – 2| - |х – 4| = 3
Решить уравнение с параметрами – значит для всех значе-
схеме.
11
.
3
2
Ответ: х .
3
Ответ: 1 х 2; х 5.
Ответ: -3; -1.
1) Если А = 0 и В 0 , то уравнение не имеет решений
(х Ø).
2) Если А = 0 и В = 0, то уравнение имеет вид 0 · х = 0 и
удовлетворяется при любом х, т.е. решением уравнения будет
множество всех действительных чисел (х R).
3) Если А 0, то уравнение имеет единственное решение
В
.
А
Ответ: -3.
х=
12) х2 - 5 х = 0
Ответ: -5; 0; 5.
Пример 1. Для всех значений параметров k решить уравнение
13) 2х2 + х - 3х = 0
Ответ: 0; 1.
(k + 4)х = 2k + 1.
14) 4х2 +
х
0
х
Ответ: - 0,5.
х
Ответ: нет решений.
0
2х
16) |5 –х| - |2 –х| = 3
Ответ: х 2.
17) 7 - |х – 1| + |х + 5| =0
Ответ: нет решений.
18) |х – 5| + |5 – х| = 0
Ответ: 5.
19) - |3 – х| + |2 – х| = 3
Ответ: нет решений.
Линейные уравнения с параметрами
2
15) 2х2 +
Уравнение вида Ах = В, где А, В – выражения, зависящие
Решение: Уравнение записано в стандартном виде Ах = В, поэтому его исследование проведём по указанной схеме.
1) Если k + 4 = 0, т.е. k = -4, то уравнение имеет вид
0 · х = -7, откуда х Ø.
2) Если k + 4 0, т.е. k 4, то обе части уравнения можно
делить на k + 4. Тогда х =
2k 1
.
k4
Ответ: если k = -4, то х Ø;
22
если k 4, то х =
23
2k 1
.
k4
Пример 2. Для всех значений параметров а и b решить уравнение (a – 2) х = 4а +3b.
Решение: 1) а = 2. Уравнение имеет вид 0 · х = 8 + 3b.
8
Если 8 + 3b 0 ,т.е. b , то это равенство ни при каком х
3
не выполняется, поэтому х Ø.
8
Если b= - , то уравнение примет вид 0 · х = 0, откуда сле3
дует: х R.
9. ах – 3 = 2х – 5.
10.mх - 3 = 3х – m.
11. 4 = а – (bх – 1).
12.
13. ах – b = 1 – х.
14. (m – 3)х + m + 2n = 0.
15. (а – 2b)х + а +b = 3
16.
17. а + х = а2х – 1.
18. 7 – ах = b(3 + х).
19. а (а – 1) х = а.
20.
1 bх
1.
а
5 ах 7 ах
.
3
6
ха
0.
х3
Линейные диофантовы уравнения
Определение. Уравнения, в которых неизвестные величины
2) а - 2 0 , т.е. а 2 . Тогда х =
4а 3b
.
а2
8
Ответ: если а =2, b , то х Ø;
3
выражаются целыми числами, называются диофантовыми по
имени математика Диофанта.
Рассмотрим уравнение
ах + bу = с (а 0, b 0),
8
если а = 2, b= - , то х R;
3
коэффициенты, которого а, b и с – целые числа.
4а 3b
.
если а 2 , b- любое, то х =
а2
общий делитель а и b.
Задачи для самостоятельного решения
Для всех значений параметров а, b, n , m решить уравнения.
(1)
Пусть d = D (а; b) или d = (а; b) или d = НОD (а; b) - наибольший
Правило 1. Если с не делится на наибольший общий делитель (а; b), то уравнение (1) не имеет решений в целых числах
(тем более в натуральных).
1. ах – 3 = b.
2. 4 + bх = а.
3. b = а(х – 3).
4.
5. 2х – 3(х – а) = 3 + а.
6. ах – 3(1 + х) = 5.
Если с Z делится на НОD (а; b) , то уравнение (1) следует
7.3х + 1 = b.
8. 5 + х = ах.
упростить, разделив обе его части на НОD (а; b).
2х а
3.
b
Правило 2. Если с Z делится на НОD (а; b), то уравнение
(1) имеет целые решения.
24
Правило 3. Если а и b –взаимно простые числа, то уравнение ах + bу = 1 имеет решение в целых числах х и у.
25
Пример 3. Решите диофантово уравнение 6х +9у = 3.
(*)
Решение: НОD (6; 9) = 3, число 3 делится на 3. Значит, уравне-
Правило 4. Чтобы найти решение уравнения (1) при взаим-
ние имеет решений в целых числах. Сократим уравнение на 3,
но простых а и b , нужно сначала найти решение ( х0 ; у 0 ) урав-
получим уравнение 2х + 3у = 1.(1) Сначала подберём частное
нения ах + bу = 1; числа сх 0 и су 0 составят решение
решение уравнения 2х + 3у = 1. х = 5, у = -3 является частным
уравнения (1).
Правило 5. Если коэффициенты а и b уравнения (1) взаимно просты, то все решения уравнения (1) получаются по формулам х = х1 bn , у = у1 аn , n Z , где х1 и у1 одно из решений
решением уравнения (1), так как справедливо равенство 2·5 +
+3·(-3) = 1.
В уравнении (1) заменим число 1 выражением 2·5 + 3·(-3)
и преобразуем полученное уравнение:
2х + 3у = 2·5 + 3· (-3),
этого уравнения.
Пример 1. Решите диофантово уравнение 6х + 9у = 2.
Решение: НОD (6; 9) = 3, а 2 на 3 не делится. Значит, данное
уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: нет решений.
2 (х – 5) + 3 (у + 3) = 0.
Введём новые неизвестные:
х х 5, у у 3,
нение имеет решений в целых числах. Сократим уравнение на 4,
(3)
уравнение (2) перепишем в виде
2 х 3 у 0.
Пример 2. Решите в целых числах уравнение 28х – 40у = 60.
Решение: НОD (28; 40) = 4, число 60 делится на 4. Значит, урав-
(2)
(4)
Все решения однородного уравнения (3) задаются формулами х 3n, у 2n, где n – любое целое число. Используя ра-
получим уравнение 7х – 10у = 15. Сначала подберём частное ре-
венства (3), получим, что все решения уравнения (*) задаются
шение уравнения 7х – 10у = 1. НОD (7; 10) = 1 . х0 3 и у0 2 -
формулами х 5 х 5 3n, у 3 у 3 2n, где n Z .
частное решение уравнения 7х – 10у = 1. х1 3 15 45 и
у1 2 15 30 - частное решение уравнения 7х – 10у = 15.
Общее решение уравнения 7х – 10у = 15 задаётся формулами
х = 45 + 10t, у = 30 + 7t, t Z .
Ответ: (45 + 10t, 30 + 7t), t Z .
Ответ: (5 – 3n, -3 + 2n), n Z .
Линейные диофантовы уравнения применяются при решении задач.
Задача 1. У покупателя и продавца имеются монеты только по
2 р. и 5 р. Сможет ли покупатель заплатить за покупку
26
27
стоимостью 1 р.?
ли покупатель заплатить за покупку стоимостью:
Решение: Если покупатель даст х монет по 2 р. и у монет по 5 р.,
а) 112 р.; б) 30 р.?
то он заплатит (2х + 5у) р., или 1 р.
Ответ: а) Нет; б) да.
Следовательно, 2х + 5у = 1.
(1)
Пара (3; -1) является частным решением уравнения (1), так
5. Двенадцать человек несут 12 буханок хлеба; каждый мужчина
несёт по 2 буханки, женщина – по половине буханки, ребёнок –
как 2 · 3 + 5 · (-1) = 1. Это означает, что покупатель может дать 3
по четверти. Сколько было мужчин, женщин и детей?
монеты по 2 р. и получить сдачу 1 монету по 5р.
Ответ: 5 мужчин, 1 женщина и 6 детей.
Общее решение диофантова уравнения (1) имеет вид
6. Размен по 2 и 3 копейки.
х = 3 – 5n, у = -1 + 2n, где n Z .
Каким количеством способов можно разменять 25 копеек моне-
Способов оплаты товара стоимостью 1 р. в задаче 1 бесконечно
тами по 2 и 3 копейки?
много. Если, например, у окажется отрицательным, то это озна-
Ответ: 4 способа.
чает, что покупатель должен получить сдачу монетами по 5 р.
7. 22 монеты.
Ответ: Сможет.
Как составить сумму в 99 копеек из 22 монет по 2, 3 и 5 копеек?
Задачи для самостоятельного решения
Ответ: 2 способа.
8. На 5 руб. куплено 100 штук разных фруктов. Цены на фрукты
1.Решите диофантово уравнение:
таковы:
а) 3х + 4у = 0;
б) 4х + 6у = 3;
в) 5х + 3у = 4;
г) 5х + 3у = 1;
арбуз (1 шт.)
-
50 копеек
д) 7х – 5у = 2;
е) 5х + 8у = 29;
яблоки (1 шт.)
-
10 копеек
ж) 7х + 4у – 9z = 89;
з) 10х – 13у + 8z = 143.
сливы (1 шт.)
-
1 копейка.
2. При каких натуральных n число 8n + 3 делится на 13?
Сколько фруктов каждого рода было куплено?
3. Объясните, почему не имеет в целых числах решений уравне-
Ответ: 1 арбуз; 39 яблок; 60 слив.
ние:
9. Разделите 200 на два слагаемых так, чтобы при делении одно-
а) 2х + 6у = 11; б) 3х – 5у = 10; в) 7х – 21у = 12.
го на 6, а другого на 11 получилось соответственно
4. У покупателя и продавца есть купюры по 5 р. и 50 р. Сможет
остатки 5 и 4.
Ответ: 185 + 15; 119 + 81; 53 + 147.
28
29
10. Найдите наименьшее натуральное число, которое при деле-
y
нии на 28 даёт в остатке 21, а при делении на 19 даёт
в остатке 17.
Ответ: 245.
y=|x|
Графики функций, содержащих переменную
под знаком модуля
1
Для построения графиков функций, содержащих выражения под знаком модуля сначала находят корни выражений, сто-
0
1
x
ящих под знаком модуля. Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки. График строят в каждом промежутке от-
Используя график функции у х , постройте график функции:
дельно.
1. у х 3.
2. у х 1.
3. у х 1.
4. у х 2 .
5. у х 1 2.
6. у х 3 4.
расположенную в области отрицательных значений у, отобра-
7. у = 1 - х .
8. у = 2 - х 1.
зить симметрично относительно оси Ох. Это вытекает из опре-
9. у = х 1.
10. у = х 2 4 .
11. у = х 2 3 1.
12. у = х 3 2 .
13. у = 1 х 3 2 .
14. у = 2 х 1 .
15. у = х 2 1 3 2.
16. у = х 1 2.
В случае, когда только одно выражение стоит под знаком
модуля и нет слагаемых без знака модуля, можно построить
график функции, опустив знак модуля, а затем часть графика,
деления модуля числа.
Пример 1. Постройте график функции у = х .
Решение: По определению модуля числа имеем:
а, если а 0,
|а | =
-а, если а < 0.
Пример 2. Постройте график функции: у = х 1 2 х 2.
Решение:
х – 1 = 0;
2 – х = 0;
х = 1.
х = 2.
30
31
1) х < 1: у = -х + 1 – 2 + х + 2, у = 1.
15. у х 2 х х 2 .
2) 1 х 2 :у = х – 1 – 2 + х + 2, у = 2х – 1.
Постройте график уравнения:
3) х > 2: у = х – 1 + 2 –х +2 ,у = 3.
y
16. у 2 х 4 1 х .
1. у у х.
2. у х у .
5. 3 у 2 х 1.
3. х у 1.
4. у 2 3х 4.
6. х у 1.
Пример 3. Постройте график функции: у х 1 х 2 х 3 .
Решение: Графиком функции является ломаная линия с верши-
у= ׀х-1׀-׀2-х׀+2
нами в точках с абсциссами х = 1, х = 2, х = 3 . Найдём ординаты
этих точек:
у(1) 1 2 1 3 1 2 3,
1
у(2) 2 1 2 3 1 1 0,
0
x
1
у (3) 3 1 3 2 2 1 1.
Значит, вершинами ломаной являются точки: (1;-3), (2;0), (3;1).
Постройте график функции:
1. у х 1 х 2 х.
1
2
2. у х 2 3 х 3 .
3
3
3. у х 3 1 х 4.
4. у 7 х 1 х 5 .
5. у х 1 х 2 .
6. у
7. у 2 х 3
х2
х2
.
8. у
х
х
2
х 1
х 1
х 1
х 1
10. у х 3 х 2 .
11. у х 5 х 2 .
12. у
13. у 2 х 5 3х 1.
14. у х 1 х .
х2
y
1
9. у х х .
график функции.
.
0
.
х2
Используя ещё две дополнительные точки (0;-4) и (4;0) , строим
х3
х3
.
1
х
32
Постройте график функции:
33
Некоторые задачи с параметрами, особенно задачи, связан-
1. у х 1 х 1.
ные с разрешимостью и числом решений уравнений, наиболее
2. у х х 2 .
удобно решать графическим методом.
3. у х 2 3.
Пример 2. Сколько решений в зависимости от параметра а име-
4. у х 2 х 3 1.
ет уравнение х 1 а 1.
5. у х 1 х 2 х 2 х 2 .
Графическое решение уравнений
Решение: Перепишем уравнение в виде х 1 1 а.
Пример 1. Решить уравнение: х2 = х + 2.
1) Введём две функции: у = х 1 1; у а.
Решение: 1) Рассмотрим две функции: у = х2, у = х + 2.
2) Построим в одной системе координат графики
2). Построим в одной системе координат графики
функций у х 1 1, у а.
функций у = х , у = х + 2.
2
y
у= ׀х + 1׀- 1
у = а, а>-1
1
y = a, a = -1
0 1
y = a, a<-1
3) А(-1;1) и В(2;4) – точки пересечения графиков.
На основании рисунка получаем
Ответ: при а < -1 уравнение не имеет корней;
4) х = -1; х = 2 – корни уравнения.
при а = - 1 уравнение имеет одно решение;
5) Ответ: -1; 2.
при а > -1 уравнение имеет два корня.
х
34
35
Задачи для самостоятельного решения
Двоичная система счисления
Решите графически уравнение:
Любое число в двоичной системе представляется в виде ря-
1. х 1 3.
Ответ: -2; 4.
да нулей и единиц, причем число
2. 3 х 2 х 3.
3. х2 – 5х + 6 = 0.
4. х 1 х 3 2.
Ответ: нет решений.
Ответ: 2; 3.
Ответ: х ≥3 .
а = аn1а n2 а1а0 аn1 2 n1 аn2 2 n2 а1 2 а0 2 0.
5. х 5 5 х 0.
Ответ: 5.
6. х 1 2 0.
Ответ: -3; 1.
7. 5 х 2 х 3.
Ответ: х ≤ 2.
8. х 3 х 4 11.
Так, например, число 27 в двоичной системе записывается следующим образом:
27 = 1 2 4 1 2 3 0 2 2 1 21 1 2 0 11011 2 .
Полезно помнить чему равны степени 2 хотя бы до 210 :
2 0 1;
2 3 8;
2 6 64;
Ответ: -5.
21 2;
2 4 16;
2 7 128;
9.2 х 1 2 х.
Ответ: -4; 0.
2 2 4;
2 5 32;
2 8 256;
10. х х 1.
Ответ: -0,5.
11. 7 х 9 х .
Ответ: -1.
2 9 512;
210 1024 .
Запись 110101101 2 следует понимать так:
110101101 2 1 2 8 1 2 7 0 2 6 1 2 5 0 2 4 1 2 3 1 2 2
0 21 1 2 0 256 128 0 32 0 8 4 0 1 429 .
Сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение:
Перевод чисел из десятичной системы в двоичную
1. х 2 а 3.
Как же переводить числа из десятичной системы в двоичную?
2. х 1 2 а 1.
Покажем это на примере числа 517.
3. х 3 4 а.
2 9 < 517 < 210. Значит, 517 = 1 29 5. Посмотрим, между
4. х 3 а.
какими степенями двойки лежит 5: 22< 5 <23, откуда 517 = 1∙29 +
5. х 2 а х 2 .
+ 1∙22 + 1. Последняя единичка – это просто 20. В итоге получа-
6. х 2 2 а.
ем, что 517 = 1 ∙ 29 + 1 ∙22 + 1 · 20. Здесь использовали только де-
7. ( х 2) 2 1 а 0.
вятую, вторую и нулевую степени двойки, значит коэффициенты
при остальных степенях – нули.
36
Итак,
37
Например:
517 = 1 ∙ 29 + 0 ∙ 28 + 0 ∙ 27 + 0 ∙ 26 + 0 ∙ 25 + + 0 ∙ 24 + 0 ∙ 23 +
1011101
10010
+ 110011
1011100
+ 1 · 22 + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 20 = 10000001012 .
Есть и другой способ перевода чисел из десятичной системы в двоичную, он удобен для вычислений на компьютере. По-
11111110
кажем его на примере этого же числа.
517 = 2 ∙ 258 + 1,
В десятичной системе этот пример выглядел бы так:
258 = 2 ∙ 129 + 0,
129 = 2 ∙ 64 + 1,
93
18
51
92
+
64 = 2 ∙ 32 + 0,
32 = 2 ∙ 16 + 0,
16 = 2 ∙ 8 + 0,
Вычитание:
8 = 2 ∙ 4 + 0,
4 = 2 ∙ 2 + 0,
254
11001011
1010110
2 = 2 ∙ 1+ 0,
1110101
В десятичной записи уменьшаемое 110010112 равно 203,
1 = 2 ∙ 0 + 1.
вычитаемое 10101102 равно 86, и тогда этот пример можно запи-
Получили, что 517 = 10000001012 .
сать так:
203
Сделаем проверку: 10000001012 = 1 ∙ 29 + 0 ∙ 28 + 0 ∙ 27 + 0 ∙ 26 +
+ 0 ∙ 25 + + 0 ∙ 24 + 0 ∙ 23 + 1∙ 22 + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 20 = 29 + 22 + 20 =
= 512 + 4 + 1 = 517.
Сложение и вычитание
Из равенств 0 + 0 = 1, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 10 становит-
86
117
Умножение
Таблица умножения в двоичной системе:
0 ∙ 0 = 0, 1 · 0 = 0 ∙1 = 0, 1 · 1 = 1.
ся понятно, что в двоичной системе можно складывать числа
Умножение столбиком – это просто сложение нескольких оди-
столбиком, только при этом надо помнить, что две единицы
наковых чисел, отличающихся только сдвигом:
каждого разряда дают единицу следующего.
38
39
1010011
Проверьте ответы, переводя слагаемые и сумму в десятичную
1001101
систему счисления.
4. Выполните вычитание чисел в двоичной системе в столбик.
1010011
+ 1010011
1010011
1010011
1100011110111
А вот как этот же пример выглядит в десятичной системе:
Проверьте результаты, переводя все числа десятичную систему.
а) 1101 – 101 =?
Ответ: 1000; 13 – 5 = 8.
б) 110 – 1 =?
Ответ:101; 6 – 1 = 5.
в) 1000 – 1 =?
Ответ: 111; 8 – 1 = 7.
5. Перемножьте в столбик записанные в двоичной системе числа
83
1101 и 1010. Проверьте результат, переводя все числа в десятич-
77
ную систему.
×
581
Ответ: 10000010; 13 · 10 = 130.
6. Разделите 11011 на 101 (двоичная запись) уголком. Проверьте
+
581
6391
Задачи для самостоятельного решения
1. Переведите число 721 из десятичной системы в двоичную.
Ответ: 72110 = 10110100012 .
результат, перейдя в десятичную систему.
7. Сначала выполните действия в десятичной системе, затем переводите числа в двоичную систему, выполните в ней те же действия, ответ переводите в десятичную систему:
а) 20 + 40; б) 1998 + 23; в) 23 · 34534; 460 · 20.
2. Какое число записывается как 10101101 в двоичной системе
счисления?
Делимость целых чисел
Определение и свойства делимости.
Ответ: 17310 .
Целое число а делится на целое число b ≠ 0, если существу-
3. Сложите столбиком числа, записанные в двоичной системе:
а) 1010 + 101 = ?
Ответ: 1111; 10 + 5 = 15.
б) 1111 + 1 = ?
Ответ: 10000; 15 + 1 = 16.
в) 1011 + 1 = ?
Ответ: 1100; 11 + 1 = 12.
г) 1111 + 1111 = ?
Ответ: 11110; 15 + 15 = 30.
ет такое целое число с, что а = bс.
Если а делится на b, то kа делится на b.
Если целые числа а и b делятся на целое число m, то сумма а + b
и разность а- b делятся на m.
Если а кратно m и m кратно b, то а кратно b.
40
41
Если а делится на k, b делится на n, то произведение аb делится
ствует единственная пара чисел q и r таких что а = bq + r, где q –
на произведение kn.
целое, r – натуральное или нуль, причем r может принимать
Задачи для самостоятельного решения
1. Число а кратно 5. Докажите, что число 3а кратно 15.
2. Числа а и b делятся на с. Докажите, что число а – b делится
лишь b различных значений 0; 1; 2; …; b – 1.
Если остаток r равен нулю, то число а делится на b.
Задачи для самостоятельного решения
на с.
1. Число а при делении на 8 даёт остаток 6. Чему равен остаток
3. Число а кратно 4, число b кратно 7. Докажите, что число
от деления числа а на 4?
аb кратно 28.
Ответ: 2 Указание. Записать данное число в виде
4. Число а кратно 3. Докажите, что число 2а2 + 6а делится на 18.
а = 8k + 6 = 4(2k + 1) + 2.
5. Число а кратно 2, число b кратно 9. Докажите, что число
2. Число b при делении на 10 даёт остаток 7. Чему равен остаток
9а + 2b кратно 18.
от деления числа b на 2?
6.Число а кратно 4, число b кратно 8. Докажите, что число
3. Напишите общий вид чисел кратных 4 и дающих при делении
а2 – 2b кратно 16.
на 3 остаток 2.
7. Докажите, что сумма двухзначного числа, записанного теми
4. Число а при делении на 5 даёт остаток 3. Чему равен остаток
же цифрами в обратном порядке, делится на 11.
от деления на 5 числа а2 – 3а?
8. Докажите, что разность двухзначного числа и числа, записан-
5. Найдите все числа, которые при делении на 3 дают остаток 2,
ного теми же цифрами в обратном порядке, делится на 9.
а при делении на 4 дают остаток 3.
9. Докажите, что разность квадрата целого числа и самого числа
6. Найдите все числа, которые при делении на 5 дают остаток 1,
есть четное число.
а при делении на 4 дают остаток 2.
10. Докажите, что число вида аb(a – b), где а и b – целые числа,
7. Докажите, что если число а не кратно 3, то а 2 – 1 делится на 3.
четное.
8.Существует ли такое целое число, которое при делении на 10
11. Докажите, что 13+23+…+593 делится на 60.
даёт в остатке 3, а при делении на 15 даёт в остатке 7?
12. Докажите, что 13+23+…+493 не делится на 50.
9. Существует ли такое целое число, которое при делении на 24
Теорема о делении с остатком
Для любого целого числа а и натурального числа b, суще-
даёт в остатке 10, а при делении на 16 даёт в остатке 3?
10. Докажите, что число n3 – n кратно 6 при любом
42
43
натуральном n.
Евклида, выполняя последовательно деление с остатком.
11. Докажите, что число n3 – n кратно 24 при нечётном n.
Например. Найти D (7975; 2585).
12. Известно, а2 + b2 делится на 7. Докажите, что а2 + b2 делится
Решение. Выполняя деление, получаем
на 49.
а2, . . . , а k – натуральные числа, то число
7975 2585
7755 3
2585 220
2420 11
220 165
165 1
165 55
165 3
0
Так как последний отличный от нуля остаток равен 55, то
n p1 1 p 2 2 p k k имеет (а1 + 1)(а2 + 1) ··· (а k + 1) различных
D (7975; 2585) = 55.
13. Известно, а2 + b2 делится на 3. Докажите, что а кратно 3 и
b кратно 3.
Количество делителей.
Степень p n любого простого числа p имеет n + 1 делителей:
1; p; p2; . . . , p n. Если p1, p2, . . . , pk – различные простые числа, а а1,
a
a
a
делителей (считая 1 и n).
Задачи для самостоятельного решения
1. Сколько различных делителей имеет число: а) 35; б) 35 · 5;
в) 22 · 33 · 44 · 55; г) 2700; д) 9!.
2. Натуральное число делится на 12 и имеет 14 различных делителей. Найдите это число.
3. Найдите все натуральные числа, делящиеся на 30 и имеющие
ровно 30 различных натуральных делителей.
Общим кратным чисел а и b называется число, которое делится
на а и на b.
НОД (а; b) · НОК (а; b) = аb.
Задачи для самостоятельного решения
1.Найдите с помощью алгоритма Евклида наибольший общий
делитель чисел:
а) 846 и 246; б) 1960 и 588; в) 15283 и 10013; г) 42628 и 33124.
2. Сократите дробь
21120
.
30720
3. Приведите дроби
111
1234
и
к одному знаменателю.
21120
30720
4. Найдите число, которое делится на 2 и 9 и имеет всего 14 делителей (включая 1 и само это число).
Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное
Общим делителем чисел а и b называется число, на которое
делятся оба числа а и b.
Для нахождения НОД (а;b) можно использовать алгоритм
4. Найдите наименьшее общее кратное чисел:
а) 846 и 246; б) 1960 и 588.
5. Найдите а и b, если известно, что:
44
45
а) а: b = 11: 13, D (а; b) = 5;
Сравнения – это другая запись свойств делимости. С по-
б) D(а; b) = 5, К (а; b) =165;
мощью этой записи можно проще и короче объяснить некоторые
в) D (а; b) = 7, аb = 294;
из них.
г) К (а; b) = 75, аb = 375;
Например, числа 12 и 27 сравнимы по модулю 5
д) а: b = 7:8, К (а; b) = 224.
(27 12(mod5) ), так как 27 – 12 =15, а число 15 делится на 5. То
Признаки делимости
же самое можно было объяснить и так: 12 = 5 · 2 + 2, 27 = 5 · 5 +
Задачи для самостоятельного решения
+ 2, откуда видно, что 12 и 27 имеют одинаковые остатки при
1. В числе 1234567 укажите последнюю цифру так, чтобы чис-
делении на 5.
ло делилось на:
Свойства сравнений:
а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 8; е) 11; з) 25.
2. Докажите, что число: а) 100
3. Докажите, что число: а) 19
100
1990
1) Сравнимость чисел а и b по модулю m равносильна воз-
– 1; б) 10 + 35 – составное.
можности представить число а виде а = b + mt, где t- целое.
- 34 ; б) 34
Например, 43 1(mod 6) и 43 = 1 + 6 · 7.
n
10
1990
– 19
10
кратно 5.
4. Замените звёздочки в записи числа 72 3 цифрами так, чтобы это число делилось без остатка на 45.
5 Число 82 делится на 90. Найдите делимое.
6.Найти цифры х и у пятизначного числа 42х4у, если известно,
что это число делится на 72.
Сравнения. Периодичность остатков при возведения
в степень
Определение. Если два числа а и b имеют одинаковые
остатки при делении на m, то говорят, что а и b сравнимы по модулю m, и пишут: а b(modm).
Запись а b(modm).можно прочитать так: а сравнимо с b
по модулю m; это означает, что а и b имеют одинаковые остатки
при делении на m.
2) Каждое число а сравнимо с самим собой по произвольному
модулю, т.е. а а(modm).
3) Если а ≡ c(modm) и b ≡ с (mod m), то а b(modm).
Например, 9 ≡ 5(mod 4) и 13 ≡ 5(mod 4), а, значит,
9 ≡ 13(mod 4).
4) Сравнения с общим модулем можно почленно складывать
(или вычитать). Например, 23 ≡ 3(mod 5) и 9 ≡ 24(mod 5),
а следовательно 32 ≡ 27(mod5).
5) Сравнения можно почленно перемножить и возводить в
степень, например: 9 ≡ 5(mod 4), следовательно:
а) 90 ≡ 50(mod 4) - обе стороны умножены на 10;
б) 81 ≡ 25(mod 4) – обе стороны возведены в квадрат.
46
47
6) Сравнение а b(modm). имеет место в том и только в том
Таким образом, число 222 555 даёт при делении на 7 остаток 6.
Задачи для самостоятельного решения
случае, если разность а – b делится на m.
Пример 1. Докажите, что число 2 256 1 при делении на 7 даёт в
1. Делится ли число 222555 555222 на 7?
остатке 1.
2. Найдите остаток от деления числа 6 592 на 11.
Решение: Имеем: 2 3 1(mod 7),
3. Найдите остаток от деления числа 7100 11100 на 13.
4. Докажите, что число 1110 1 делится на 100.
(2 3 ) 85 185 (mod 7),
2 255 1(mod 7).
5. Делится ли число 7 7
Теперь, умножая обе части полученного сравнения на 2,
получим:
2 256 2(mod 7).
Вычитаем затем 1 из обеих частей последнего сравнения:
2
256
1 1(mod 7),
7
7 7 на 10?
6. Найдите остаток от деления числа (5100 55)100 на 24.
7. Докажите, что число 3003000 1 делится на 1001.
8. Найдите остаток от деления числа 2 100 на 7.
9. Какой цифрой оканчивается число 777 777?
откуда и следует, что число 2 256 1 при делении на 7 даёт в
14
10. Какой цифрой оканчивается число 1414 ?
остатке 1.
Пример 2. Найти остаток от деления числа 222
77
Формулы сокращенного умножения
555
на 7.
(а ± b)2 = а2 ± 2аb + b2;
Решение: Так как 222 = 7 ∙ 31 + 5 , то 222 ≡ 5 (mod 7), и поэтому
(а1 + а 2+ ··· + а n)2 = а 12 + а 22+ ··· + а n2 + 2а 1а 2 + 2а1а 3 + ··· +
222 555 5555 (mod 7).
+ 2а n-1а n;
Теперь посмотрим, как повторяются остатки степеней пятёрки
(а ± b)3 = а3 ± 3а 2b+ 3аb 2 ± b 3;
при делении на 7. Находим: 5 2 25 4(mod 7),53 4 ∙ 5 (mod 7),
а2- b2 = (а + b)(а – b);
5 4 6 5 2(mod 7), 55 2 5 3(mod 7), 56 3 5 1(mod 7).
аn- bn = (а – b)(а n-1 + а n-2b + … + a n-kbk-1 + …+ ab n-2 + b n-1);
Итак, 56 1(mod 7). Возводя в степень k , получаем:
5
6
1(mod 7 ) при любом натуральном k. Но 555 = 6 · 92+ 3.
Поэтому 5555 56923 5692 53 6(mod 7).
аn – 1 = (a -1)(a n-1 + a n-2 + …+ a n – k+ …+ a + 1);
a2m +1 + b 2m +1 = (a + b) (a 2m – a 2m -1b + …+ (-1) ka 2m – kb k +
+ ··· - ab 2m -1 + b 2m);
a2m +1 + 1 = (a + 1) (a 2m – a 2m -1 + ··· + (-1) ka 2m – k + ··· - a + 1).
48
49
Задачи для самостоятельного решения
1. Преобразуйте выражение в многочлен:
г) 15n + 6 делится на 7.
9. Сократите дробь:
а) (а + b + с)2;
г) (а – b – с)2;
б) (p + х + с + d)2;
д) (2а – х + 3с)2;
в) (х + у – z)2;
е) (m + 5k – 2b – 3р)2.
а) (2х + у – 3z)2 – (х -2у + 2z)2;
а2 а 1
;
а4 а2 1
а 33 1
б ) 11
;
а а 22 а 33
b4 4
в) 2
.
b 2b 2
б) (m – 4n + 5z)2 – (3m – n -3k)2;
10. Докажите, что из равенства (а – b)2 + (b – c)2 + (c – а)2 =
в) (4 – 2p + q2)2 – (3p 2 – 5q +7)2;
= (а + b – 2с)2 + (b + с – 2а)2 ++ (с + а – 2b)2 следует,
г) (а + b + с)2 + (а – b – с)2 + (b – а – с)2 + (с – а – b)2.
что а = b = с.
2. Упростите выражение:
а)
3. Решите уравнение:
а) х + у – 2у + 1 = 0;
2
2
б) |х| + у + z -2у+ 4z + 5 = 0;
2
Двузначные и трёхзначные числа
Запись аb означает число, в котором a десятков и b единиц.
2
в) 4х2- 10ху + 25у2 = 10ху - |у – 2| .
4.Докажите, что если а + b + с = 0 и а2 + b 2 + с2 = 1, то
1
аb + bс + са = - .
2
Это число можно представить в виде многочлена: аb = 10а + b.
Запись аbc означает число, в котором а сотен, b десятков и
с единиц. Это число можно представить в виде многочлена: аbc
= 100а + 10b + с.
5. Докажите, что если а = b + 1, то (а + b) (а2 + b2) (а4 + b4) (а8+
Пример 1.Первая цифра трёхзначного числа 8. Если эту цифру
+ b8) ··· (а64+ b64) = а128 – b128.
переставить на последнее место, то число увеличится на 18.
6. Докажите, что если а2 + b2 + с2 = аb + bс + са, то а = b = с.
Найдите первоначальное число.
7. Докажите, что если а3+ b3 + с3= 3аbс, если а + b + с = 0.
Решение: Пусть а – цифра десятков искомого числа, b – цифра
8. Докажите, что при любом натуральном значении n:
его единиц. Тогда по условию задачи имеем: аb8 8аb 18,
а) 7 - 1 кратно 6;
n
б) 33n – 1 кратно 13;
в) 5n + 3 делится на 4;
откуда 10аb 8 800 аb 18, 9аb 810, аb 90, первоначальное число 890.
Ответ: 890.
50
51
Задачи для самостоятельного решения
суммы своих цифр,
1. Представьте в виде многочлена число:
9. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в
а) ху; б) ух; в) а0b.
частном получится 3, а в остатке 7. Найдите это число.
2. Представьте в виде многочлена и упростите получившуюся
Ответ: 37.
сумму или разность:
10. Сумма цифр двузначного числа равна наибольшему из одно-
а) аbc cbа;
в) аbc bа;
б) аbc bc;
г) аbc ас.
3.Докажите, что:
значных чисел, а число десятков на 2 меньше этой суммы. Какое
это число?
Ответ: 72.
11. Сумма цифр двузначного числа равна наименьшему из дву-
а) сумма чисел аb и bа кратна сумме а и b;
значных чисел, а цифра десятков в четыре раза меньше цифры
б) разность чисел аb и bа кратна 9.
единиц. Найти число.
4. К числу х приписали справа цифру 4 . Представьте получен-
Ответ: 28.
Делание многочлена на многочлен
ное число в виде суммы, если:
Чтобы разделить многочлен F(х) на многочлен f(х), надо:
а) двузначное число; б) трехзначное число.
5. К числу у приписали слева цифру 5. Представьте полученное
1) расположить делимое и делитель по убывающим степеням х;
число в виде суммы, если у:
2) разделить старший член делимого на старший член делителя;
а) двузначное число; б) трехзначное число.
полученный одночлен является первым членом частного;
6. В двузначном числе зачеркнули одну цифру. Получилось чис-
3) первый член частного умножить на делитель, результат вы-
ло в 31 раз меньше первоначального. Какую цифру и в каком
честь из делимого; полученная разность является первым остат-
числе зачеркнули?
ком;
Ответ: 31; 62; 93; зачеркнуть нужно первую цифру.
4) чтобы получить следующий член частного, надо с первым
7.Найдите двузначное число, которое в четыре раза больше сум-
остатком поступить так же, как поступали с делимым в п. 2 и 3.
мы его цифр.
Это следует продолжить до тех пор, пока не будет получен оста-
Ответ: 12; 24; 36; 48.
ток, равный нулю, или остаток, степень которого ниже степени
8.Найдите все трёхзначные числа, которые в 25 раз больше
делителя.
52
53
Пример 1. Выполните деление с остатком х3 – 3х + 2 на х + 2.
5. х5 – 6х3 + 2х2 – 4 на х2 – х + 1.
Решение:
6. х4 + х2 + 1 на х + 5.
х 0 х 3х 2 х + 2
х3 + 2х2
х2 – 2х + 1
2
(первый остаток ) -2х – 3х + 2
-2х 2 – 4х
(второй остаток)
х+2
х+2
0
3
2
7. х7 – 1 на х3 + х + 1.
8. х4 – 64 на х – 3 .
3х 2 6 х 7
9. а) Представьте выражение
в виде
х 1
с
, где а, b и с – целые числа.
х 1
с7
Пример 2. Найдите все такие целые с, при которых дробь
с4
ах b
является целым числом.
б) Представьте выражение
Решение: Выделим целую часть из дроби.
ах +b +
с+7 с-4
с–4 1
сх d
, где а, b, с, d -целые числа.
х 4х 2
2
10. При каких натуральных значениях n выражение
11
с7
11
1
, поэтому исходное число будет целым, если 11
с4
с4
кратно с – 4. 11 – простое число, значит, его делителями будут
- 11, - 1, 1, 11. Решим 4 уравнения: с – 4 = - 11; с – 4 = - 1;
с – 4 = 1; с – 4 = 11.
Получаем с = -7; с = 3; с = 5; с = 15.
Ответ: -7; 3; 5; 15.
Задачи для самостоятельного решения
Выполните деление с остатком:
1.х 4 2 на х – 1.
2.х 6 2 на х 2 - х + 1.
3. х4 – 3х 2 + 1 на х – 2.
4. х + х + 1 на х + 1.
4
х3 2х 2 7х 5
в виде
х 2 4х 2
3
2n 3
являn 1
ется целым числом?
Ответ: 4.
11. При каких целых значения n выражение
3n 1
является
n2
натуральным числом?
Ответ: -9; -3; 5.
12. При каких целых значениях n дробь
n2 n 3
есть целое
n 1
число?
Ответ: -6: -2; 0; 4.
а3 1
13. Найти все целые а, при которых дробь
принимала бы
а 1
54
55
целые значения.
чтобы в каждой клетке было не более 5 кроликов?
Ответ: -1; 0; 2; 3.
Решение. Нельзя. В некоторой клетке будет не меньше шести
Принцип Дирихле
Пример 1. Можно ли рассадить 5 кроликов в 4 клетки так, что-
кроликов.
Обобщение принципа Дирихле. В данные n клеток мы
бы в каждой клетке было не более одного кролика?
разместили nk + 1 кролика. Тогда найдётся клетка, где сидит не
Решение: Предположим, что нам это удалось. Тогда, если в каж-
менее k + 1 кролика.
дой клетке не более одного кролика, то в 4 клетках не более че-
Пример 4. В классе учится 29 человек. Серёжа допустил в дик-
тырёх кроликов, а у нас их 5. Значить, это сделать невозможно.
танте 13 ошибок, и никто другой не сделал большего числа оши-
Более общий вывод из этой задачи можно сформулировать
в следующем виде:
бок. Доказать, что по крайней мере трое учеников сделали одинаковое количество ошибок.
Если у нас имеется сколько-то клеток, а кроликов на
Решение: Пусть «клетки» - это количество ошибок, которые
одного больше, то после рассаживания кроликов по клеткам
могли сделать школьники: 0, 1, 2, ···, 13. Их 14. За «кроликов»
найдётся клетка, где сидит по крайней мере два кролика.
примем учеников, писавших диктант. Их 29 = 14 · 2 + 1. Тогда
Это и есть принцип Дирихле. Его можно записать и иначе
на «математическом» языке:
После рассаживания в n клетках n + 1 кролика найдётся клетка, где сидит, по крайней мере, два кролика.
Попробуем обобщить принцип Дирихле,
по принципу Дирихле (а точнее, по его обобщению) найдётся
«клетка», в которой сидит не меньше трёх «кроликов», а это и
означает, что найдётся трое школьников, сделавших одинаковое
количество ошибок.
Задачи для самостоятельного решения
Пример 2. Можно ли рассадить 9 кроликов в 4 клетки так, что-
1. В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трёх сортов, при-
бы в каждой клетке было не более двух кроликов?
чём в каждом ящике лежали яблоки какого-то одного сорта.
Решение. Этого сделать нельзя: по крайней мере в одной клетке
Можно ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?
будет сидеть не меньше трёх кроликов. Отметим, что их может
Ответ: Можно. (Так как сортов имеется 3, а ящиков 25, то хотя
быть и больше трёх (если, например, посадить в 3 клетки по од-
бы одного сорта не меньше 9 ящиков).
ному кролику, а в четвёртую всех остальных).
2. В ящике лежат цветные карандаши: 10 красных, 8 синих, 8 зе-
Пример 3. Можно ли рассадить в 20 клеток 101 кролика так,
лёных и 4 жёлтых. В темноте берём из ящика карандаши. Какое
56
57
наименьшее число карандашей надо взять, чтобы среди них за-
(Разные буквы – это разные цифры, а между буквами стоит знак
ведомо
умножения.)
а) было не меньше 4-х карандашей одного цвета?
Ответ: а) 0; б) 0. (Поскольку в этом ребусе 10 различных букв, то
б) был хотя бы один карандаш каждого цвета?
встречаются все цифры, включая нуль. На нуль делить нельзя,
в) было не меньше 6 синих карандашей?
поэтому множитель 0 – в числителе).
Ответ: а) 13; б) 27; в) 28.
9. Алёша в среду, четверг, пятницу съел всего 7 конфет. Дока-
3. В классе 40 учеников. Найдётся ли такой месяц в году, в ко-
жите, что хотя бы в один день он съел более 2 конфет
тором отмечают свой день рождения не меньше чем 4 ученика
10. В районе 15 школ. Докажите, что как бы ни распределяли
этого класса?
между ними 90 компьютеров, обязательно найдутся две школы,
Ответ: Найдётся. (Так как 40 > 36 = 12 ∙ 3, то найдётся месяц, в
получившие одинаковое число компьютеров (возможно, ни
котором родились не менее четырёх одноклассников).
одного).
4. В школе 30 классов и 1000 учащихся. Доказать, что есть класс,
11. В клетках таблицы 3 × 3 расставлены числа -1, 0, 1. Рассмот-
в котором не менее 34 учеников.
рим восемь сумм: сумма трёх чисел в каждой строчке, каждом
5.У мальчика 25 медных монет (это монеты достоинством в
столбце и по двум главным диагоналям. Докажите, что среди
1 коп, 2 коп, 3 коп, 5 коп.). Докажите, что у него найдётся
них найдутся хотя бы две одинаковые.
7 монет одинаково достоинства.
Принцип Дирихле и делимость целых чисел
6. В 500 ящиках лежат яблоки, в каждом не более 240 штук.
1. Доказать, что среди шести любых целых чисел найдутся два,
Докажите, что найдутся три ящика, в которых яблок поровну.
разность которых делится на 5.
7. В ящике 35 яблок трех сортов: анис, антоновка и славянка. В
Решение: При делении на 5 возможных 5 разных остатков:
темноте мальчики выбирают яблоки. Какое наименьшее число
0; 1; 2; 3; 4. Так как чисел 6, то найдутся 2 числа с одинаковыми
яблок надо взять, чтобы среди них наверняка оказалось не
остатками; их разность разделится на 5.
меньше 4 яблок донного сорта?
2. Доказать, что из любых трех целых чисел можно найти два,
8. Найдите значение дроби:
В А Р Е Н Ь Е
Г Р У З И Я
а)
; б)
.
К А Р Л С О Н
Т Б И Л И С И
сумма которых делится на 2.
Решение: Среди трёх целых чисел обязательно найдутся два
числа одинаковой чётности (так как чисел 3, а классов – чётных
58
59
и нечётных чисел – лишь два). Сумма их делится на 2 .
3. Докажите, что среди любых 11 целых чисел можно найти два,
разность которых делится на10.
4. Верно ли, что среди любых семи натуральных чисел найдутся
три, сумма которых делится на 3?
Решение: При делении на 3 есть три остатка: 0, 1, 2. Так как
Решим второе уравнение системы, у 14 2 у 2 0, используя
определение модуля числа:
у 2,
у 2
у 2 12 2 у 4 0; у 10 у 10
у 6
у 2,
у 2
у 2 12 2 у 4 0
3 у 18
7 = 3 ∙ 2 + 1, то найдутся три числа, дающие один остаток.
5. Доказать, что найдётся число вида 11· · ∙ 10 ∙ · · 00, делящееся
Тогда из первого уравнения системы (1) находим:
на 1998.
х 3 6 - равенство невозможно
1)
у 10;
Решение: Рассмотрим 1999 чисел:
1, 11, …, 11…111
1999
Среди них есть два с одинаковыми остатками при делении на
1998. Их разность – искомое число.
Системы линейных уравнений, содержащих неизвестное под
знаком модуля
х 3 у 2 6,
у 2 2 х 3 0.
Решение: Преобразуем систему:
х 3 6 у 2,
у 2 12 2 у 2 0;
у 14 2 у 2 0.
Ответ: (1;-6); (5;-6).
Задачи для самостоятельного решения
Решите систему уравнений:
Пример 1. Решите систему уравнений:
х 3 6 у 2,
х 5
х3 6 62
х3 2
2)
х 1 (1;-6); (5;-6).
у 6
у 6
у 6
(1)
х 1 у 3, .
1.
х 3 у 6.
2 х у 7,
2.
х у 2.
у х 1,
3.
х у 1.
3 х 2 у 1,
4.
2 х у 3.
Ответ: (0; 2); (3; 1).
5 11
Ответ: (3; 1); ( ; ).
13 3
Ответ: (0; -1); (1; 0).
Ответ: (1; -1); (-1; -1).
60
61
х у 5,
Ответ: (5; 0), (-3; 2).
5.
х 4 у 5.
х у 3,
6.
Ответ: (1; 2).
х у 1.
х 2 у 5 1,
7.
Ответ: (1,5; 5,5), (2,5; 5,5).
у х 2 5.
х 1 у 4,
8.
Ответ: (х; 5 – х), где х ≥ 3.
х у 2 3.
Системы линейных уравнений с параметрами
а) пресекаться, в этом случае система (1) имеет единственное
Система вида
решение; коэффициенты системы удовлетворяют условию
А1 В1
;
А2 В2
б) совпадать, в этом случае система (1) имеет бесконечно много
решений; коэффициенты системы удовлетворяют условию
А1
В
С
= 1 = 1;
А2 В 2 С 2
в) параллельны, в этом случае система (1) не имеет решений;
коэффициенты системы удовлетворяют условию
А1 х В1 у С1 ,
А2 х В2 у С 2 ;
А1
В
С
= 1 ≠ 1.
А2 В 2 С 2
(1)
где А1, А2 , В1, В2, С1, С2 – выражения, зависящие от параметров,
Пример 1. Определить, при каких значения m система
а х, у – неизвестные, называется системой двух линейных алгеб-
3х 7 у 20,
имеет единственное решение.
mх 14 у 15
раических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.
Если из какого-нибудь уравнения системы можно найти одну из неизвестных х или у через другую, то, подставив найден-
Решение: Данная система имеет единственное решение, если
ную неизвестную в другое уравнение, получим линейное урав-
m 14
, т.е.m 6.
3
7
нение с параметрами относительно одной неизвестной. Тем са-
Ответ: m ≠ 6.
мым, исследование системы сведётся к исследованию линейного
Пример 2. Определить, при каком значении m система
уравнения.
mх 6 у 9,
не имеет решений.
2 х 3 у 15
Каждое из уравнений системы двух уравнений с двумя неизвестными представляют собой прямые.
На плоскости возможны три случая взаимного расположения двух прямых. Эти прямые могут:
Решение: Так как
6 9
, то данная система не имеет реше 3 15
62
ний, если
m 6
=
, т. е. m=4.
2 3
63
4. Найти все значения параметра k, при которых система
Ответ: m = 4.
15 х kу 3,
имеет бесконечно много решений.
5 х 10 у 1
Пример 3. Определить, при каком значении m система
5. Найти все значения параметра а, при которых система урав-
mх 6 у 8,
имеет бесконечное множество решений.
5 х 3 у 4
нений имеет единственное решение, укажите это решение:
Решение: Так как
6 8
= , то данная система имеет бесконечное
3 4
m 6
множество решений, если
= , т. е. при m = 10.
5 3
Ответ: m = 10.
Задачи для самостоятельного решения
3 х у 2,
а)
х 2 у а;
х у 3,
б)
.
2 х у а
Ответ: а) а = 4, (0;2); б) а = 6, (3;0).
6. Найти все значения параметра k, при которых прямые
3х + 2kу = 1 и 3 (k-1)х – kу = 1:
а) пересекаются в одной точке; б) совпадают; в) не имеют общих
1. При каких значениях параметра k система уравнений
точек.
2 х 2 у 5k ,
имеет решения?
х у 0
7. При каких значениях p система уравнений имеет решение:
Ответ: k= 0.
2. Найти все значения параметра m, при которых система
2 х (9m 2 2) у 3m,
не имеет решений.
х
у
1
2
Ответ: m = .
3
2 х 3 у 4,
а) х у 3,
х 2 у p;
3х 2 у 7,
б ) х у 4,
2 х у p ?
8. При каком значении а прямые 5х – 2у = 3 и х + у = а пересекаются в точке, принадлежащей оси у?
Ответ: а = - 1,5.
9. При каком значении b прямые bх + 3у = 10 и х – 2у = 4 пересе-
3. Найти все значения параметра k, при которых система
каются в точке, принадлежащей оси х?
3х (k 1) у k 1,
имеет единственное решение.
(k 1) х у 3
Ответ: b = 2,5.
Ответ: k ≠ ±2.
65
64
Литература
1. Альхова З. Н., Макеева А. В. Внеклассная работа по математике. – Саратов: Лицей, 2002.
2. Абрамович М. И., Стародубцев М. Т. Математика (алгебра
и элементарные функции). Учебное пособие. – М., Высшая школа, 1976.
3. Бабинская И. Л. Задачи математических олимпиад. - М.:
Наука, 1975.
4. Бернштейн Е. А., Пушкарь Е. Е. Методические разработки для
экспериментального курса математического отделения. Учебное
пособие для учащихся ОЛ ВЗМШ при МГУ им. Ломоносова. –
М.: 2004.
5. Виленкин Н. Я. и др. Алгебра: Для 8 класса. : Учеб. пособие
для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики /Н. Я. Виленкин и др., Под ред. Н. Я Виленкина. – М.:
Просвещение, 1995.
6. Галицкий М. Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов. – М.: Просвещение, 1992.
7. Горбачёв Н. В. Сборник олимпиадных задач по математике. –
М.: МЦНМО, 2004.
8. Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Алгебра и теория чисел, ч. 1.Числа.
Учебное пособие для студентов физ.– мат. фак-тов. пед. ин-тов.М.: Просвещение, 1974.
9. Мочалов В. В., Сильвестров В. В. Уравнения и неравенства с
параметрами: Учебное пособие. – 2-е изд., доп., перераб. –
Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2000.
10. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений. Под ред. С. А. Теляковского. –
10-е изд. – М.: Просвещение, 2001.
11. Никольский С. М. и др. Алгебра: Учебник для 7 класса
общеобразовательных учреждений. – 4-е изд. – М.:
Просвещение, 2003.
12. Сикорский К. П. Дополнительные главы по курсу математики 7 – 8 классов для факультативных занятий. Пособие для учащихся. М.: Просвещение, 1969.
13.Спивак А. В. Тысяча и одна задача по математике: кн. для
учащихся 5 – 7 кл. – 2-ое изд. - М.: Просвещение, 2005.
14. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих
во втузы. Учебное пособие. Под ред. М. И. Сканави. - 3-е изд.,
доп. – М.: Высшая школа, 1978.
66
