Линейная алгебра: Рабочая программа для экономистов

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Российский государственный университет им. А.Н. Косыгина»
(Технологии. Дизайн. Искусство.)
УТВЕРЖДАЮ
Проректор
по учебно-методической работе
_____________________ С.Г. Дембицкий
« »
2018 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Линейная алгебра
Уровень освоения основной
профессиональной
образовательной программы
академический бакалавриат
Направление подготовки
38.03.01 «Экономика»
Профиль/специализация
Финансы и кредит
Формы обучения
заочная
Нормативный срок освоения ОПОП
5 лет
Институт (факультет)
Экономики и менеджмента
Кафедра
Высшей математики
Начальник учебно-методического
управления
_________________
Москва, 2018 г.
Е.Б. Никитаева
При разработке рабочей программы учебной дисциплины в основу положены:
 ФГОС ВО по направлению подготовки 38.03.01 «Экономика», утвержденный
приказом Министерства образования и науки РФ «12» ноября 20 15 г., № 1327 ;
 Основная профессиональная образовательная программа (далее – ОПОП) по
направлению подготовки 38.03.01 «Экономика» для профиля Финансы и кредит,
утвержденная Ученым советом университета _28.06 20_18 г., протокол № __8__
Разработчик(и):
Профессор
А.П. Булеков
Рабочая программа учебной дисциплины рассмотрена и утверждена на заседании
кафедры Высшей математики «1» июня 2018 г., протокол № 10.
Руководитель ОПОП
______________
С.Ю. Ильин
Заведующий кафедрой
______________
В.Ф. Скородумов
Директор института
______________
Т.Ф. Морозова
«21» июня 2018 г.
2
1. МЕСТО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОПОП
Дисциплина Линейная алгебра включена в базовую часть Блока 1.
2. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В РАМКАХ
ИЗУЧАЕМОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Таблица 1
Код компетенции
Формулировка
компетенций в соответствии с ФГОС ВО
ОПК-3
Способность выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать
результаты расчетов и обосновать полученные выводы.
3. СТРУКТУРА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
3.2. Структура учебной дисциплины для обучающихся заочной формы обучения
Таблица 2.2
Объем дисциплины по Объем дисциплины по Общая
Структура и объем дис- сессиям 1 курса
сессиям 2 курса
трудоциплины
емкость
устаустанолетновоч- зимняя летняя
зимняя
вочняя
ная
ная
Объем дисциплины в за3
4
7
четных единицах
Объем дисциплины в ча108
144
252
сах
16
12
28
Аудиторные
занятия
(всего)
в том
Лекции (Л)
8
6
14
числе в
Практические
8
6
14
часах:
занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа
студента в сессию, час
Самостоятельная работа
студента в период промежуточной аттестации, час
Форма промежуточной
аттестации
44
44
63
60
211
4
9
13
Зачет
Экзамен
3
4. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Таблица 3.2
Практические
основы
линейной
алгебры
2. Векторная
алгебра
№ и тема лекции
1. Системы линейных уравнений, матрицы, определители и правило Крамера. Операции над матрицами, обратная
матрица, нахождение обратной матрицы методом присоединенной матрицы.
Матричная запись стандартной системы m линейных уравнений с n неизвестными и матричный способ решения совместных определенных систем
n линейных уравнений с n неизвестными. Решение и исследование систем
линейных уравнений методом ГауссаЖордана.
2. Основные операции над векторами,
разложение вектора по другим векторам, базисы и координаты вектора относительно заданного базиса, стандартный ортонормированный базис
i , j , k . Проекция вектора на ось, скалярное произведение векторов. Век-
Трудоемкость,
час
Наименование
раздела
учебной
дисциплины
№ и тема практического занятия
Семестр № 1
1. Вычисление определителей, решение систем линейных уравнений по правилу Крамера. Выполнение операций над матрицами,
нахождение обратной матрицы
методом присоединенной матрицы. Решение совместных опреде2
ленных систем линейных уравнений матричным методом. Решение
и исследование систем линейных
уравнений
методом
ГауссаЖордана.
2
5. Определение координат вектора, заданного двумя точками, выполнение основных операций над
векторами в координатной форме.
Нахождение скалярного, векторного и смешанного произведения
векторов , решение задач на при-
Трудоемкость,
час
Итого по учебному
плану
Наименование практических занятий
Лекции
2
2
4
4
Форма текущего и
промежуточного контроля успеваемости
(оценочные средства)
Типовой расчет ТР1
Практические
основы
линейной алгебры.
Индивидуальное задние
ИДЗ1 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.
3. Линейная
часть аналитической геометрии: прямые и
плоскости
4. Квадратичная часть аналитической
геометрии:
кривые и поверхности второго порядка
торное произведение векторов и смешанное произведение трех векторов.
3. Прямая линия на плоскости как геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек, общее
уравнение прямой линии на плоскости,
другие формы уравнения прямой линии. Стандартный нормальный вектор
прямой линии на плоскости и его применение, расстояние от точки до прямой линии на плоскости. Плоскость в
пространстве как аналог прямой линии
на плоскости: общее уравнение, частные случаи, стандартный нормальный
вектор, расстояние от точки до плоскости. Общие уравнения прямой линии в пространстве, параметрические
и канонические уравнения. Расстояние
от точки до прямой линии в пространстве.
4. Общие уравнения кривых и поверхностей второго порядка, особые случаи общих уравнений. Эллипс, гипербола и парабола: определения, канонические уравнения, изображения, параметры, эксцентриситет, директрисы,
асимптоты, конические сечения. Понятие о преобразовании координат и
приведении уравнений второй степени
к каноническому виду. Канонические
уравнения и изображения эллипсоида,
гиперболоидов, параболоидов. Общее
2
2
менения скалярного, векторного и
смешанного произведения.
3. Общие уравнения прямой линии
на плоскости и плоскости в пространстве, другие виды уравнений,
решение стандартных задач. Стандартный нормальный вектор прямой линии на плоскости и плоскости в пространстве, решение задач
на применения нормального вектора. Нахождение расстояния от
точки до прямой линии на плоскости и до плоскости в пространстве.
7. Общие уравнения прямой линии
в пространстве, параметрические и
канонические уравнения прямой
линии, стандартные методы перехода от одних уравнений прямой
линии в пространстве к другим.
Нахождение расстояния от точки
до прямой линии в пространстве.
4. Каноническое уравнение и
изображение эллипса, гиперболы
и параболы, решение стандартных
задач. Приведение к каноническому виду уравнений кривых второго порядка, не содержащих произведения координат. Канонические
уравнения и изображение поверхностей.
2
4
2
4
ИДЗ 1 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
ИДЗ 2 Кривые и по-
верхности второго порядка
5
определение цилиндрической и конической поверхности. Канонические
уравнения цилиндров второго порядка
и конуса второго порядка.
ВСЕГО часов в семестре
8
Семестр № 2
1. Общее линейное (векторное) пространство как обобщение пространства
свободных векторов-стрелок, линейная зависимость и независимость векторов, базис и размерность линейного
5. Основные
понятия теории
линейных пространств
6. Евклидовы
пространства
n
евклидово пространство Ў . взаимно
ортогональных векторов. Разложение
вектора по ортогональной системе
векторов, коэффициенты Фурье
(1 час).
8
16
Зачет
2
4
ИДЗ 3 Линейные пространства
1. Решение задач на установление
линейной зависимости и независимости векторов в пространстве
Ўn , разложение векторов по ба-
n
пространства, пространство Ў , изоморфизм конечномерных линейных
пространств одинаковой размерности.
Матрица перехода от одного базиса
конечномерного линейного пространства к другому, связь между координатами одного и того же вектора в разных базисах. Применение теории линейных пространств к общей теории
систем линейных уравнений.
2. Скалярное произведение в линейном пространстве как аналог скалярного произведения свободных векторов-стрелок, определение и примеры
евклидовых пространств, стандартное
Всего
2
зисам, матрица перехода от одного
базиса к другому, определение координат вектора в новом базисе по
координатам в старом базисе и
решение обратной задачи. Решение совместных неопределенных
систем линейных уравнений и
представление общего решения в
стандартной форме.
ИДЗ 3 Линейные пространства
4. Евклидовы пространства, стандартное скалярное произведение в
n
1
пространстве Ў , определение
косинуса угла между элементами,
длины вектора, расстояния между
векторами. Разложение векторов
по ортогональным системам
(1 час).
1
2
ТР2 Евклидовы пространства,
собственные векторы и значения квадратных матриц,
квадратичные
формы.
6
7. Комплексные
числа и многочлены
2. Комплексные числа, основные операции над ними, тригонометрическая
форма записи комплексного числа. извлечение корня натуральной степени
из комплексного числа. Многочлены и
алгебраические уравнения. Разложение на линейные и квадратичные множители многочленов с действительными коэффициентами.
1
1
3. Нахождение характеристического многочлена квадратной матрицы, решение характеристических
уравнений, определение собственных подпространств и построение
собственных базисов. Приведение
1
квадратных матриц к диагональной форме преобразованием подобия. Определение собственных
подпространств, построение собственных ортонормированных базисов симметричных матриц.
1
3. Приведение квадратичных форм
к каноническому виду методом
ортогональной замены переменных. Приведение уравнений кри- 1
вых второго порядка к каноническому виду с помощью теории
квадратичных форм.
3. Комплексные линейные пространn
8. Собственные
векторы и значения квадратных матриц
9. Квадратичные формы
ства, пространство Ј . Собственный
вектор и собственное значение квадратной матрицы, собственное подпространство. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение квадратной матрицы. Собственный базис квадратной матрицы. Теорема о собственных значениях и векторах симметричных матриц.
3. Определение квадратичной формы
(квадратичной функции) n переменных. Симметричная форма записи
квадратичной формы, матрица квадратичной формы, матричная форма записи квадратичной формы. Линейная замена переменных квадратичной формы, преобразование матрицы квадратичной формы при линейной замене
переменных. Канонический вид квадратичной формы, нормальный вид
квадратичной формы. Приведение
2. Выполнение основных операций
над комплексными числами в алгебраической форме. Представление комплексных чисел в тригонометрической форме. Решение
двучленных и квадратных уравнений.
1
2
2
2
ИДЗ 4 Комплексные
числа
ТР2 Евклидовы пространства,
собственные векторы и значения квадратных матриц,
квадратичные
формы.
ТР2 Евклидовы пространства,
собственные векторы и значения квадратных матриц,
квадратичные
формы.
7
квадратичной формы к каноническому
виду методом ортогональной замены
переменных.
Применение
теории
квадратичных форм в теории кривых и
поверхностей второго порядка.
ВСЕГО часов в семестре
Общая трудоемкость в часах
6
14
6
14
Экзамен
12
28
5. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ОБУЧАЮЩИХСЯ
5.2 самостоятельная работа обучающегося заочной формы обучения
Таблица 4.2
№
п/п
Наименование раздела
учебной дисциплины
Содержание самостоятельной работы
Трудоемкость в
часах
1
2
3
4
Практические основы линейной алгебры
Семестр №1
Изучение теоретического материала по конспекту лекций,
учебникам, учебным пособиям
1
2
Векторная алгебра
Выполнение типового расчета ТР1 Практические основы линейной
алгебры.
Изучение теоретического материала по конспекту лекций,
учебникам, учебным пособиям
Выполнение ИДЗ 1 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
3
Линейная часть аналитической геометрии:
прямые и плоскости
Изучение теоретического материала по конспекту лекций,
учебникам, учебным пособиям
Выполнение ИДЗ 1 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
4
Квадратичная часть аналитической геометрии: кривые и поверхности второго порядка
Изучение теоретического материала по конспекту лекций,
учебникам, учебным пособиям
Выполнение ИДЗ 2 Кривые и поверхности второго порядка
10
14
10
10
14
10
10
10
8
Подготовка к зачету
ВСЕГО часов в семестре по учебному плану
Семестр №2
Изучение теоретического материала по конспекту лекций,
Основные понятия теории линейных проучебникам, учебным пособиям
странств
Выполнение ИДЗ 3 Линейные пространства
Изучение теоретического материала по конспекту лекций,
учебникам, учебным пособиям
Выполнение ИДЗ 3 Линейные пространства.
Евклидовы пространства
Разделы дисциплины 1-4
5
6
Выполнение ТР2 Евклидовы пространства, собственные век-
7
8
9
торы и значения квадратных матриц, квадратичные формы
Изучение теоретического материала по конспекту лекций,
учебникам, учебным пособиям
Комплексные числа и многочлены
Выполнение ИДЗ 4 Комплексные числа
Изучение теоретического материала по конспекту лекций,
Собственные векторы и значения
учебникам, учебным пособиям
квадратных матриц
Выполнение ТР2 Евклидовы пространства, собственные векторы и значения квадратных матриц, квадратичные формы
Изучение теоретического материала по конспекту лекций,
учебникам, учебным пособиям
Квадратичные формы
Выполнение ТР2 Евклидовы пространства, собственные векторы и значения квадратных матриц, квадратичные формы
Подготовка к экзамену
Разделы дисциплины 5-9
ВСЕГО часов в семестре по учебному плану
Общий объем самостоятельной работы обучающегося
4
92
15
15
10
10
10
10
10
10
10
10
11
9
132
224
9
6.
ОЦЕНОЧНЫЕ
СРЕДСТВА
ДЛЯ
ПРОВЕДЕНИЯ
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
ТЕКУЩЕЙ
И
6.1 Связь результатов освоения дисциплины с уровнем сформированности заявленных компетенций в рамках изучаемой дисциплины
Таблица 5
Шкалы
Код
Уровни сформированности заявленных компетеноценивания
компетенции
ций в рамках изучаемой дисциплины
компетенций
Пороговый
Знать: определения основных терминов линейной алгебры и аналитической геометрии.
Уметь: решать простейшие задачи линейной алгебры и
оценка 3
аналитической геометрии.
Владеть: методами решения простых задач линейной
алгебры и аналитической геометрии.
Повышенный
Знать: определения основных терминов линейной алгебры и аналитической геометрии.
Уметь: решать типичные задачи линейной алгебры и
оценка 4
аналитической геометрии.
ОПК-3
Владеть: методами решения типовых задач линейной
алгебры и аналитической геометрии.
Высокий
Знать: определение всех терминов линейной алгебры и
аналитической геометрии, с исчерпывающей точностью и полнотой и воспроизводить и объяснять их.
Уметь: решать любые задачи линейной алгебры и аналитической геометрии на основе воспроизведения
оценка 5
стандартных алгоритмов решения.
Владеть: методами решения задач линейной алгебры и
аналитической геометрии, применять эти методы в нетипичных ситуациях.
Результирующая оценка
6.2 Оценочные средства для студентов с ограниченными возможностями здоровья
Таблица 6
Категории студен- Виды оценочных средств
Форма контроля
Шкала оцетов
нивания
В
соответС нарушением слуха Контрольные вопросы
Преимущественно
ствии
со
письменная проверка
шкалой
С нарушением зреКонтрольные вопросы
Преимущественно
оценивания,
ния
устная проверка (инуказанной в
дивидуально)
Таблице 5
С нарушением
Контрольные вопросы ди- Письменная проверка
опорно- двигательстанционно.
ного аппарата
10
7. ТИПОВЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ДРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ, НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ
ОЦЕНКИ УРОВНЯ СФОРМИРОВАННОСТИ ЗАЯВЛЕННЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ В РАМКАХ
ИЗУЧАЕМОЙ ДИСЦИПЛИНЫ, ВКЛЮЧАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНУЮ РАБОТУ ОБУЧАЮЩИХСЯ
ТР1 Практические основы линейной алгебры
Условия заданий
Задание 1. Решить системы линейных уравнений (1), (2) методом Гаусса – Жордана. Сделать проверку.
Задание 2. Исследовать методом Гаусса – Жордана систему линейных уравнений (3). Показать, что она совместная неопределённая. Выделить основные и свободные неизвестные. Выразить основные неизвестные через свободные неизвестные и записать общее решение системы (3) в стандартной форме.
Задание 3. Решить систему линейных уравнений (1) по правилу Крамера. Полученное
решение сравнить с решением, полученным в задании 1.
Задание 4. Вычислить главный определитель и вспомогательные определители для неизвестных системы линейных уравнений (2) двумя способами: по определению и с помощью свойств определителей. Решить систему по правилу Крамера. Результат сравнить с
результатом, полученным в задании 1.
Задание 5. Используя матрицы A и B из пункта 4 варианта контрольных заданий, найти
, S  AТ B .
1
Задание 6. Найти обратную матрицу A к матрице A системы линейных уравнений (1)
матрицы C  4 A  3B, D  AB
Т
двумя способами: с помощью элементарных преобразований и методом присоединённой
1
1
матрицы. Сделать проверку, то есть убедиться в том, что AA  A A  E . Решить
систему (1) матричным методом. Полученное решение сравнить с решением, полученным
в заданиях 1 и 3.
1
Задание 7. Найти обратную матрицу A к матрице A системы линейных уравнений 2)
двумя способами: с помощью элементарных преобразований и методом присоединённой
1
1
матрицы. Сделать проверку, то есть убедиться в том, что AA  A A  E . Решить
систему (2) матричным методом. Полученное решение сравнить с решением, полученным
в заданиях 1 и 4.
Задание 8. С помощью элементарных преобразований строк и столбцов найти ранг матрицы A системы линейных уравнений 3) и ранг расширенной матрицы AР той же системы. На основании теоремы Кронекера – Капели сделать вывод о совместности
 х1 2 х2 3 х3  2
Пример варианта числовых данных 1. 7 х1 2 х2  8 2.  2 х 3 х 2 х  1
2
3
2 х1 3 х2  13  1
3 х1  х2 3х3  1


2 х  х2
 х3
 2
0 3 2
3.  1
4. A  1 5 2  , B  
.


 х3
 4
 х1
 2 1 3
 0 1 3
3 х1  х2 2 х3 3х4 6 х5  6
4 х  х 3 х 3х 6 х  2
2
4
3
5
 1
Пример варианта числовых данных 2.
11
2 x1 2 x2  x3  0

2.  3 x1  x2 2 x3  1.
 x1 3 x2  x3  7

1. 2 х1 5 х2  6
х1 3 х2  8

 х1
 х3  х4
 4
1 0 2  B   0 1 2  .
3. 
4.
A

 3 4 3
 3 1 4 ,
 х3 2 х4 3х5  2





3х1 2 х2  х3 3х4 6 х5  6
6 х 4 х  х 4 х 15 х  10
2
4
3
5
 1
Пример варианта числовых данных 3.

4 х1 3 х2  6
1.
2 х1 3 х2  12
 2 x1  x2  x3  3

2.  3 x1 2 x2 3 x3  0
 2 x1 3 x2  x3  1

 х1
2 х3  х4
 5
3. 
х2 3 х3  х4 2 х5  8

2 х1
2 х3  х4 6 х5  5
3х
6 х5  0
 1
 2 5 2
1 2 3
, B

.
2
4
3
2
0
4




4. A  
ИДЗ 1 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
Пример варианта 1. 1. Векторы a  ( 1,3,4) и b  (3, 4,6) заданы своими координатами относительно стандартного базиса i , j , k . Найти скалярное произведение векторов,
их длины и косинус угла между ними.
2. Заданы векторы p ,q . Известны длины векторов и угол между ними: p  7, q  6 ,
  p ,q   1500 .
Найти
площадь
параллелограмма,
построенного
на
векторах
a  4p  9q и b  3p  2q .
3. При каком значении параметра  точки A  3,4,5 , B  1,2, 3 ,C  4, 1, 2  и
точка D  ,1, 2  будут лежать в одной плоскости?
4. Задано общее уравнение прямой линии на плоскости: 3x  7y  21  0 . Записать его
в форме уравнения с угловым коэффициентом и в отрезках на координатных осях, построить прямую.
5. Найти расстояние от точки M 0 (5, 3) до прямой 3x  4y  9  0 .
6 Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки
M 1 (1,2,3) ,
M 2 ( 1,4, 2), M 3 ( 3, 5,1) , записать его в форме уравнения в отрезках, изобразить
плоскость.
7. Определить косинус острого угла между плоскостью M 1M 2M 3 и плоскостью
2x  3y  4z  5  0 .
12
8. Составить параметрические, канонические и общие уравнения прямой, проходящей через точки M 1 и M 2 из задачи 6.
Пример варианта 2. 1. Векторы a  (2,3, 4) и b  (1, 2, 1) заданы своими координатами относительно стандартного базиса i , j , k . Найти скалярное произведение векторов,
их длины и косинус угла между ними.
2. 2. Заданы векторы p ,q . Известны длины векторов и угол между ними: p  2, q  3 ,
  p ,q   600 . Найти длину вектора a  2p  5q .
3. Вычислить смешанное произведение abc векторов a  ( 1,2,3), b  (2,1, 4) и
c  (2, 3,1) .
4. Задано общее уравнение прямой линии на плоскости: 4x  5y  20  0 . Записать его в
форме уравнения с угловым коэффициентом и в отрезках на координатных осях, построить прямую.
5. Найти расстояние от точки M 0 (7,2) до прямой x  7y  6  0 .
6. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки M 1 ( 1,2, 3) ,
M 2 ( 2,1, 1), M 3 ( 3,2,1) , записать его в форме уравнения в отрезках, изобразить
плоскость.
7. Определить косинус острого угла между плоскостью M 1M 2M 3 и плоскостью
3x  6y  5z  3  0 .
8. Составить параметрические, канонические и общие уравнения прямой, проходящей через точки M 1 и M 2 из задачи 6.
Пример варианта 3. 1. Векторы a  (1,4, 2) и b  (3,1, 4) заданы своими координатами относительно стандартного базиса i , j , k . Найти скалярное произведение векторов,
их длины и косинус угла между ними.
2. Заданы векторы p ,q . Известны длины векторов и угол между ними: p  3, q  5 ,
  p ,q   1500 .
Найти
площадь
параллелограмма,
построенного
на
векторах
a  3p  8q и b  3p  2q .
3. При каком значении параметра  точки A  3,4,5 , B  1,2, 3 ,C  4, 1,2  и точка D  ,1, 2  будут лежать в одной плоскости?
4. Составить уравнение прямой, проходящей через точки M 1 (2,1) и M 2 ( 4,7) . Записать
его в форме общего уравнения и в форме уравнения в отрезках на осях.
5. Найти расстояние от точки M 0 (4,3) до прямой 8x  6y  7  0 .
6. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки M 1 (3,1,2) ,
M 2 (2,4,3), M 3 (3,5,1) , записать его в форме уравнения в отрезках, изобразить плоскость.
7. Определить косинус острого угла между плоскостью M 1M 2M 3 и плоскостью
5x  3y  2z  7  0 .
8. Составить параметрические, канонические и общие уравнения прямой, проходящей через точки M 1 и M 2 из задачи 6.
ИДЗ 2 Кривые и поверхности второго порядка
13
Пример варианта 1. 1. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка:
9x 2  4y 2  18x  16y  43  0 .
Установить тип кривой. Если кривая эллипс или гипербола, то найти координаты центра
(нового начала координат), полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, а для гиперболы ещё и уравнения асимптот. Для параболы определить значение параметра p в каноническом уравнении. Построить старую и новую системы координат и изобразить кривую.
2. Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
100x 2  25y 2  4z 2  100  0 .
Установить тип поверхности. Изобразить поверхность.
Пример варианта 2. 1. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка:
4x 2  9y 2  16x  18y  11  0 .
Установить тип кривой. Если кривая эллипс или гипербола, то найти координаты центра
(нового начала координат), полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, а для гиперболы ещё и уравнения асимптот. Для параболы определить значение параметра p в каноническом уравнении. Построить старую и новую системы координат и изобразить кривую.
2. Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
25x 2  4y 2  100z 2  100  0 .
Установить тип поверхности. Изобразить поверхность.
Пример варианта 3. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка:
y 2  16x  8y  0 .
Установить тип кривой. Если кривая эллипс или гипербола, то найти координаты центра
(нового начала координат), полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, а для гиперболы ещё и уравнения асимптот. Для параболы определить значение параметра p в каноническом уравнении. Построить старую и новую системы координат и изобразить кривую.
2. Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
4x 2  36y 2  9z 2  36  0 .
Установить тип поверхности. Изобразить поверхность.
Оценочные средства для промежуточной аттестации (Зачет)
Теоретические вопросы к зачету
1. Система m линейных уравнений с n неизвестными в стандартной форме, матрица системы, совместная определенная, совместная неопределенная, несовместная система.
2. Определитель квадратной матрицы, правило Крамера для системы n линейных
уравнений с n неизвестными.
3. Дополнительный минор к элементу квадратной матрицы, алгебраическое дополнение к элементу, теорема о разложении определителя, транспонированная матрица.
4. Единичная матрица, обратная матрица, присоединенная матрица, невырожденная матрица, метод присоединенной матрицы, матричный метод решения систем уравнений.
5. Расширенная матрица системы линейных уравнений, эквивалентные системы,
метод Гаусса-Жордана, нахождение обратной матрицы методом элементарных преобразований.
14
6. Минор k -го порядка прямоугольной матрицы размера m  n , ранг матрицы,
теорема Кронекера-Капели.
7. Закреплённый вектор, свободный вектор, коллинеарные и компланарные векторы, разложение вектора b по векторам a1 ,a 2 ,K ,am », базис в векторном пространстве,
базисы в пространстве E 2 векторов на плоскости и в пространстве E 3 всех свободных
векторов, стандартный ортонормированный базис i , j , k ?
8. Радиус-вектор точки, связь координат точки с координатами ее радиуса – вектора относительно стандартного базиса i , j , k , координаты свободного вектора, заданного
двумя точками.
9. Проекция вектора на ось, скалярное произведение двух векторов, векторное произведение векторов, смешанное произведение трех векторов, геометрический смысл смешанного произведения.
10. Скалярное, векторное и смешанное произведения в координатной форме.
11. Общее уравнение прямой линии на плоскости, уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение «в отрезках на осях», стандартный нормальный вектор прямой
линии, расстояние от точки до прямой линии на плоскости.
12. Общее уравнение плоскости в пространстве, уравнение плоскости «в отрезках
на осях», стандартный нормальный вектор плоскости, расстояние от точки до плоскости.
13. Общие уравнения прямой линии в пространстве, геометрический смысл общих
уравнений, направляющий вектор, параметрические уравнения прямой линии, канонические уравнения прямой линии в пространстве, геометрический смысл канонических уравнений, расстояние от точки до прямой линии в пространстве.
14. Общее уравнение кривой второго порядка, кривая второго порядка, общее
уравнение поверхности второго порядка, поверхность второго порядка, вырожденные
случаи кривых и поверхностей второго порядка.
15. Эллипс, гипербола, парабола: канонические уравнения, изображение, эксцентриситет и директрисы.
16. Эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоид, эллиптический и гиперболический параболоид, конус второго порядка, цилиндры второго порядка: канонические уравнения и изображение.
Семестр № 3
Оценочные средства текущей успеваемости
ИДЗ 3 Линейные пространства
варианта 1. 1. В линейном пространстве E  Ў
заданы
a1  (1,2, 3,4) , a 2  (3,1,2, 1) , a3  ( 3,4, 13,14) . Показать, что
4
Пример
векторы
векторы
a1 , a 2 , a3 линейно зависимы, а векторы a1 , a 2 линейно независимы. Разложить вектор
a3 по векторам a1 , a 2 .
2. Показать, что пары векторов e1  (3,1), e 2  (1,2) и e1  ( 1,3), e 2  (13,6) образуют базисы в линейном пространстве E  Ў . Найти матрицу перехода Ae ,e  от базиса
2
e  e1 ,e 2  к базису e   e1 ,e 2  . Найти координаты x1 , x 2 вектора x  2e1  3e 2 отно-
сительно базиса e  e1 ,e 2  .
3. Найти фундаментальную систему решений x1 , x 2 ,K , x k (ФСР), то есть, базис в подпространстве
решений
E 0  Ў4
однородной
линейной
системы
уравнений:
15
2x1  x 2  3x 3  2x 4  0,

x1  3x 2  4x 3  x 4  0, . Записать общее решение в форме разложения по базисным
5x  x  2x  3x  0.
 1 2
3
4
k
решениям: x%
ci x i , где c1,c2 ,K ,ck – произвольные постоянные.

4. E  Ў
4
i 1
– стандартное евклидово пространство, заданы элементы (векторы)
a  (1,2,3, 1), b  (2,4, 1, 3) . Найти (a ,b ) , длины (нормы) a  a , b  b ,
cos (a ,b ) и расстояние  (a ,b )  a  b между векторами a и b .
5. В стандартном евклидовом пространстве E  Ў заданы векторы e1  (1, 4) ,
2
e 2  (8,2) . Показать, что эти векторы образуют ортогональный базис и разложить по
этому ортогональному базису вектор a  (9, 2) , то есть вычислить коэффициенты
Фурье x1 , x 2 разложения a  x1e1  x 2e 2 . Нормировать векторы e1 ,e 2 и получить ортонормированный базис e1 ,e 2 .
варианта 1. 1. В линейном пространстве E  Ў
заданы векторы
a1  (2,1, 1,3) , a 2  (3,1,2, 1) , a3  (1,1, 4,8) . Показать, что векторы a1 , a 2 , a3
4
Пример
линейно зависимы, а векторы a1 , a 2 линейно независимы. Разложить вектор a3 по векторам a1 , a 2 .
2. Показать, что пары векторов e1  (2,3), e 2  (1,2) и e1  (4,7), e 2  (7,11) образуют
базисы в линейном пространстве E  Ў . Найти матрицу перехода Ae ,e  от базиса
2
e  e1 ,e 2  к базису e   e1 ,e 2  . Найти координаты x1 , x 2 вектора x  4e1  3e 2 отно-
сительно базиса e  e1 ,e 2  .
3. Найти фундаментальную систему решений x1 , x 2 ,K , x k (ФСР), то есть, базис в подпространстве
решений
E 0  Ў4
однородной
линейной
системы
уравнений:
3x1  2x 2  x 3  2x 4  0,

21  3x 2  4x 3  x 4  0, . Записать общее решение в форме разложения по базисным
7x  8x  9x  4x  0.
 1
2
3
4
решениям: x%
4. E  Ў
4
 c x , где c ,c ,K ,c – произвольные постоянные.
k
i 1 i i
1
2
k
– стандартное евклидово пространство, заданы элементы (векторы)
a  (1,2,3, 1), b  ( 2,4,1,3) . Найти (a ,b ) , длины (нормы) a  a , b  b ,
cos (a ,b ) и расстояние  (a ,b )  a  b между векторами a и b .
5. В стандартном евклидовом пространстве E  Ў заданы векторы e1  (3, 1) ,
2
e2  (1,3) . Показать, что эти векторы образуют ортогональный базис и разложить по
этому ортогональному базису вектор a  (2, 4) , то есть вычислить коэффициенты
Фурье x1 , x 2 разложения a  x1e1  x 2e 2 . Нормировать векторы e1 ,e 2 и получить ортонормированный базис e1 ,e 2 .
16
варианта 1. 1. В линейном пространстве E  Ў
заданы векторы
,
,
.
Показать,
что
векторы
a1  (1,2, 3,4) a 2  ( 2,3,2,1) a3  ( 5,4,7, 2)
a1 , a 2 , a3
4
Пример
линейно зависимы, а векторы a1 , a 2 линейно независимы. Разложить вектор a3 по векторам a1 , a 2 .
2. Показать, что пары векторов e1  ( 2,3), e 2  (1,2) и e1  ( 2,17), e 2  (4,1) образуют базисы в линейном пространстве E  Ў . Найти матрицу перехода Ae ,e  от базиса
2
e  e1 ,e 2  к базису e   e1 ,e 2  . Найти координаты x1 , x 2 вектора x  5e1  2e 2 отно-
сительно базиса e  e1 ,e 2  .
3. Найти фундаментальную систему решений x1 , x 2 ,K , x k (ФСР), то есть, базис в подпространстве
решений
E 0  Ў4
однородной
линейной
системы
уравнений:
5x1  x 2  3x 3  x 4  0,

2x1  3x 2  x 3  2 x 4  0, . Записать общее решение в форме разложения по базисным
4x  11x  9x  8x  0.
 1
2
3
4
решениям: x%
4. E  Ў
4
 c x , где c ,c ,K ,c – произвольные постоянные.
k
i 1 i i
1
2
k
– стандартное евклидово пространство, заданы элементы (векторы)
a  (4,1,5, 1), b  (2,1, 1, 3) . Найти (a ,b ) , длины (нормы) a  a , b  b ,
cos (a ,b ) и расстояние  (a ,b )  a  b между векторами a и b .
5. В стандартном евклидовом пространстве E  Ў заданы векторы e1  (5,2) ,
2
e2  ( 4,10) . Показать, что эти векторы образуют ортогональный базис и разложить по
этому ортогональному базису вектор a  (6,24) , то есть вычислить коэффициенты
Фурье x1 , x 2 разложения a  x1e1  x 2e 2 . Нормировать векторы e1 ,e 2 и получить ортонормированный базис e1 ,e 2 .
ИДЗ 4 Комплексные числа
Пример варианта 1. 1. Заданы комплексные числа z1  2  3i , z 2  4  5i . Найти комплексно сопряженные числа z1 , z 2 . Изобразить на комплексной плоскости числа
z1 , z 2 , z1, z 2 . Найти произведение z1z 2 , частное
z1
, действительную часть Re(z1z 2 ) и
z2
z 
мнимую часть Im  1  .
 z2 


2. Изобразить на комплексной плоскости комплексное число z  2  2 3 i , найти главное значение аргумента   argz и модуль z . Записать число z в тригонометрической
форме и найти число z . 3. Решить уравнение: x  8x  25  0 .
Пример варианта 2. 1. Заданы комплексные числа z1  2  4i , z 2  1  7i . Найти
3
2
комплексно сопряженные числа z1 , z 2 . Изобразить на комплексной плоскости числа
17
z1 , z 2 , z1, z 2 . Найти произведение z1z 2 , частное
z1
, действительную часть Re(z1z 2 ) и
z2
z 
мнимую часть Im  1  .
 z2 
2. Изобразить на комплексной плоскости комплексное число z  2 3  2i , найти главное значение аргумента   argz и модуль z . Записать число z в тригонометрической
форме и найти число z . 3. Решить уравнение: x  6x  25  0 .
Пример варианта 3. 1. Заданы комплексные числа z1  1  5i , z 2  4  3i . Найти ком3
2
плексно сопряженные числа z1 , z 2 . Изобразить на комплексной плоскости числа
z1 , z 2 , z1, z 2 . Найти произведение z1z 2 , частное
z1
, действительную часть Re(z1z 2 ) и
z2
z 
мнимую часть Im  1  .
 z2 
2. Изобразить на комплексной плоскости комплексное число z  1 
 3 i , найти глав-
ное значение аргумента   argz и модуль z . Записать число z в тригонометрической
форме и найти число z . 3. Решить уравнение: x  2x  10  0 .
3
2
ТР2 Евклидовы пространства, собственные векторы и значения квадратных матриц, квадратичные формы
Условия заданий.
1. В стандартном евклидовом пространстве E  Ў заданы векторы a1,a 2 ,a 3 , b . Пока3
3
зать, что векторы a1,a 2 ,a 3 образуют базис в Ў . Применяя процесс ортогонализации по
Грамму-Шмидту построить ортогональный базис e1,e 2 ,e3 и ортонормированный базис
e1 ,e2 ,e3 . Разложить по ортогональному базису e1,e2 ,e3 вектор b . Найти ортогональную
проекцию вектора b на подпространство, порожденное векторами a1,a 2 .
2. Дана квадратная матрица A второго порядка с действительными элементами. Найти
собственные значения и векторы матрицы A , построить базис e1 ,e 2 из собственных векторов,
найти
матрицу
перехода
C e ,e  C
от
стандартного
базиса
e  e1,e 2  , e1  (1,0), e 2  (0,1) к собственному базису e   e1 ,e 2  . Найти обратную
C 1 и проверить непосредственно, что справедливо
 0 
C 1A C     1
 , где 1, 2 – собственные значения матрицы A .
 0 2 
матрицу
равенство
3. Дана квадратная матрица A второго порядка с комплексными элементами. Показать,
что A является эрмитовой матрицей, найти ее собственные значения и векторы, построить из собственных векторов ортонормированный базис e   e1 ,e 2  относительно стан2
дартного эрмитова скалярного произведения в Ј . Найти унитарную матрицу перехода
18
C e ,e  C от стандартного базиса e  e1,e 2  , e1  (1,0), e 2  (0,1) к собственному ортонормированному базису e   e1 ,e 2  . Найти обратную матрицу C
средственно, что справедливо равенство C
1
и проверить непо-
 0 
AC     1
 , где 1, 2 – собствен 0 2 
1
ные значения матрицы A .
4. Задано уравнение поверхности второго порядка F (x , y , z )  0 . Найти ортогональное
преобразование координат, приводящее это уравнение к каноническому виду. Установить
тип поверхности, изобразить поверхность.
Пример варианта числовых данных 1.
1. a1  (1,2, 1), a 2  (1,1,1), a3  (1,1, 1), b  (3, 1,2) .
 6 6 
 2 1i 
2
2
. 3. A  
4. 4y  3z  4xy  4xz  8yz  36  0 .


 4 5 
1  i 3 
2. A  
Пример варианта числовых данных 2.
1. a1  (1,2, 1), a 2  (1, 1,1), a3  (1,1,2), b  (4,1,2) .
 5 3 
 3 1i 
2
2
2
. 3. A  
4. x  y  z  4xy  4xz  4yz  27  0


 3 5 
1  i 2 
2. A  
Пример варианта числовых данных 3.
1. a1  (1,2, 1), a 2  (2, 1,1), a 3  ( 1,1, 1), b  (3,2,1) .
 5
 3 1
A

.
3.


 2 4
 2 i
2 i 
2
2
2
 4. x  2y  z  4xy  8xz  4yz  12  0
3 
2. A  
Оценочные средства для промежуточной аттестации (Экзамен)
Пример экзаменационного билета 1. 1. Матричная запись общей стандартной системы
линейных уравнений. Матричный способ решения совместной определенной системы n
уравнений с n неизвестными. Эквивалентные системы уравнений, элементарные преобразования стандартной системы как преобразования эквивалентности. Расширенная матрица системы линейных уравнений. элементарные преобразования строк матрицы. Решение и исследование систем линейных уравнений методом Гаусса-Жордана.
2 5
1
, найти A методом присоединенной матрицы и методом элементарных

1 4
2. A  
преобразований. Сделать проверку.
3. Показать, что векторы a1   2,1,1 ,a 2   0,3,1 ,a 3   1,0, 1 линейно независимы
и образуют базис в пространстве Ў . Разложить по этому базису вектор b   3,5,2  .
3
p  5, q  5  2, угол между этими векторами равен 600 .
Найти длину вектора a  2p  3q .
5. Заданы комплексные числа z1  5  3i , z 2  4  i . Найти комплексно сопряженные
числа z1 , z 2 . Изобразить на комплексной плоскости числа z1 , z 2 , z1 , z 2 . Найти произ4. Заданы векторы p , q :
ведение z1z 2 , частное
z 
z1
, действительную часть Re(z1z 2 ) и мнимую часть Im  1  .
z2
 z2 
19
Пример экзаменационного билета 2. 1. Основная теорема алгебры и разложение многочленов на множители. Разложение на линейные и квадратичные действительные множители многочленов с действительными коэффициентами.
 3 1
 методом элементарных преобразова4 2 
2. Найти обратную матрицу к матрице A  
ний и методом присоединенной матрицы. Сделать проверку.
 1
0
3. Найти ранг матрицы A  
1
1

0 1 3 4
1 1 2 2
.
1 0 1 2 
0 1 3 4 
2 
 1
4. Дана квадратная матрица A  
 второго порядка с действительными эле1 2 3 2 
ментами. Найти собственные значения и векторы матрицы A , построить базис e1 ,e 2 из
собственных векторов.
5. Заданы комплексные числа z1  7  3i , z 2  4  2i . Найти комплексно сопряженные
числа z1 , z 2 . Изобразить на комплексной плоскости числа z1 , z 2 , z1 , z 2 . Найти произведение z1z 2 , частное
z 
z1
, действительную часть Re(z1z 2 ) и мнимую часть Im  1  .
z2
 z2 
Пример экзаменационного билета 3. 1. Ортогонализация системы линейно независимых
векторов, существование ортогональных и ортонормированных базисов в конечномерном
линейном пространстве. Скалярное произведение в ортонормированном базисе, евклидов
изоморфизм конечномерных евклидовых пространств одинаковой размерности.
 x1 +x 2  x 3  0,

2. Систему линейных уравнений  x1  2x 2
 3, решить методом Гаусса-Жордана.

x 2  2x 3  5.
3 5
1
3. A  
, найти A методом присоединенной матрицы и методом элементарных

 2 4
преобразований. Сделать проверку.
4. Заданы векторы p и q . Известно, что: p  2, q  3, (p ,q )  120 . Найти скалярo
ное произведение векторов a  2p  3q и b  4p  2q .
5. Найти фундаментальную систему решений x1 , x 2 ,K , x k (ФСР), то есть, базис в под-
E 0  Ў 4 однородной линейной системы уравнений:
 4x1  x 2  3x 3  2x 4  0,

3x1  2x 2  4x 3  x 4  0, . Записать общее решение в форме разложения по базисным
2x  3x  5x
 0.
 1
2
3
k
решениям: x%
ci x i , где c1,c2 ,K ,ck – произвольные постоянные.
пространстве
решений

i 1
20
8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
№ п/п
1
Таблица 7
Наименование учебных аудито- Оснащенность учебных аудиторий и порий (лабораторий) и помещений мещений для самостоятельной работы
для самостоятельной работы
119071 г. Москва, ул. М. Калужская , д.1, стр. 2
Аудитория №1537 для проведения занятий лекционного и семинарского типа, групповых и
индивидуальных консультаций,
текущего контроля и промежуточной аттестации.
Комплект учебной мебели, меловая доска, технические средства обучения,
служащие для представления учебной
информации
большой
аудитории:
экран, проектор, колонки. Наборы демонстрационного оборудования и учебно-наглядных пособий, обеспечивающих тематические иллюстрации, соответствующие рабочей программе дисциплины.
119071 г. Москва, ул. М. Калужская , д.1, стр. 1
Аудитория №1501 для проведе- Комплект учебной мебели, доска мелония занятий лекционного и се- вая. Наборы демонстрационного оборуминарского типа, групповых и дования и учебно-наглядных пособий,
индивидуальных консультаций, обеспечивающих тематические иллютекущего контроля и промежу- страции, соответствующие рабочей проточной аттестации.
грамме дисциплины.
Аудитория №1505 для проведе- Комплект учебной мебели, доска мелония занятий лекционного и се- вая. Наборы демонстрационного оборуминарского типа, групповых и дования и учебно-наглядных пособий,
индивидуальных консультаций, обеспечивающих тематические иллютекущего контроля и промежу- страции, соответствующие рабочей проточной аттестации.
грамме дисциплины.
119071, г. Москва, ул. Малая Калужская, д.1, стр.3
Аудитория №1154 - читальный
Шкафы и стеллажи для книг и выставок,
зал библиотеки: помещение для комплект учебной мебели, 1 рабочее месамостоятельной работы, в том
сто сотрудника и 3 рабочих места для
числе, научностудентов, оснащенные персональными
исследовательской, подготовки
компьютерами с подключением к сети
курсовых и выпускных квали«Интернет» и обеспечением доступа к
фикационных работ.
электронным библиотекам и в электронную информационно-образовательную
среду организации.
21
9. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
№
п/
п
Автор(ы)
1
2
Наименование издания
Вид
издания
(учебник,
задачник, учебное
пособие)
Издательство
Год
издания
3
4
5
6
9.1 Основная литература, в том числе электронные издания
Дмитрий
Конспект лекций по высшей матема1
Учебник
Письменный
тике. Полный курс
М:
пресс
Айрис-
Таблица 8
Адрес сайКоличета ЭБС
ство экили элек- земпляров
тронного
в библиоресурса
теке Университета
7
2009
2010,
другие
издания
Данко П.Е., Попов
2014,
Высшая математика в упражнениях и Учебное пособие М.: АСТ, Мир
4
А.Г., Кожевникова
другие
задачах
для втузов
и Образование
Т.Я.
издания
9.2 Дополнительная литература, в том числе электронные издания
Линейная алгебра и аналитическая
М.: АСТ, Мир
Беклемишев А.В.
Учебник
2012
геометрия
и Образование
Краткий курс аналитической геомет5
Ефимов А.В.
Учебник
М.: Наука
1975
рии
Основы линейной алгебры и аналитиМ.:НИЦ
znani6
Шершнев В.Г.
Учебное пособие
ческой геометрии
ИНФРА-М
um.com
7
Фомин А.И.
Элементы линейной алгебры
Учебное пособие М.: МГУДТ
2013
Векторная алгебра и аналитическая
М.: РГУ им.
8
Фомин А.И.
Учебное пособие
2018
геометрия
А.Н. Косыгина
Курош А.Г.
Курс высшей алгебры
Учебник
М.:Ozon.ru
2013
9.3 Методические материалы (указания, рекомендации по освоению дисциплины авторов РГУ им. А.Н. Косыгина)
Фомин А.И.,
Методические указания и контрольМетодические
2
М: РИО МГТУ 2001
Голованова Н.Ф.
ные задания к разделу «Элементы ли- указания
3
Минорский В.П.
Сборник задач по высшей математике
Задачник
М.:
ФИЗМАТЛИТ
8
420
630
670
50
130
5
5
10
5
22
нейной алгебры»
9.4.1. Ресурсы электронной библиотеки
 ЭБС Znanium.com» научно-издательского центра «Инфра-М» http://znanium.com/ (учебники и учебные пособия, монографии,
сборники научных трудов, научная периодика, профильные журналы, справочники, энциклопедии);
Электронные издания «РГУ им. А.Н. Косыгина» на платформе ЭБС «Znanium.com» http://znanium.com/ (электронные ресурсы:
монографии, учебные пособия, учебно-методическими материалы, выпущенными в Университете за последние 10 лет);
 Scopus https://www.scopus.com (международная универсальная реферативная база данных, индексирующая более 21 тыс.
наименований научно-технических, гуманитарных и медицинских журналов, материалов конференций примерно 5000
международных издательств);
 «SpringerNature» http://www.springernature.com/gp/librarians (международная издательская компания, специализирующаяся на
издании академических журналов и книг по естественнонаучным направлениям);
9.4.2 Профессиональные базы данных и информационно-справочные системы
 http://arxiv.org — база данных полнотекстовых электронных публикаций научных статей по физике, математике, информатике;
9.4.3 Лицензионное программное обеспечение
 Microsoft® Windows® XP Professional Russian Upgrade/Software Assurance Pack Academic OPEN No Level, артикул Е85-00638; № лицензии 18582213 от 30.12.2004 (бессрочная корпоративная академическая лицензия).
 Microsoft® Office Professional Win 32 Russian License/Software Assurance Pack Academic OPEN No Level, артикул 269-05620; лицензия
№18582213 от 30.12.2004.
 Microsoft Windows Professional 7 Russian Upgrade Academic Open No Level, артикул FQC-02306, лицензия № 46255382 от 11.12.2009,
(копия лицензии);
 Microsoft Office Professional Plus 2010 Russian Academic Open No Level, лицензия 47122150 от 30.06.2010, справка Microsoft «Условия
использования лицензии»;
 Система автоматизации библиотек ИРБИС64, договора на оказание услуг по поставке программного обеспечения №1/28-10-13 от
22.11.2013г.; №1/21-03-14 от 31.03.2014г. (копии договоров);
 Google Chrome (свободно распространяемое);
 Adobe Reader (свободно распространяемое);
23

Kaspersky Endpoint Secunty для бизнеса - Стандартный Russian Edition, 250-499 Node 1 year Educational Renewal License; № лицензии
17EO-171228-092222-983-1666 от 28.12.2017, (копия лицензии).
9.4 Информационное обеспечение учебного процесса
9.4.1. Ресурсы электронной библиотеки
 ЭБС Znanium.com» научно-издательского центра «Инфра-М» http://znanium.com/ (учебники и учебные пособия, монографии,
сборники научных трудов, научная периодика, профильные журналы, справочники, энциклопедии);
Электронные издания «РГУ им. А.Н. Косыгина» на платформе ЭБС «Znanium.com» http://znanium.com/ (электронные ресурсы:
монографии, учебные пособия, учебно-методическими материалы, выпущенными в Университете за последние 10 лет);
 Scopus https://www.scopus.com (международная универсальная реферативная база данных, индексирующая более 21 тыс.
наименований научно-технических, гуманитарных и медицинских журналов, материалов конференций примерно 5000
международных издательств);
 «SpringerNature» http://www.springernature.com/gp/librarians (международная издательская компания, специализирующаяся на
издании академических журналов и книг по естественнонаучным направлениям);
9.4.2 Профессиональные базы данных и информационно-справочные системы
 http://arxiv.org — база данных полнотекстовых электронных публикаций научных статей по физике, математике, информатике;
9.4.3 Лицензионное программное обеспечение
 Microsoft® Windows® XP Professional Russian Upgrade/Software Assurance Pack Academic OPEN No Level, артикул Е85-00638; № лицензии 18582213 от 30.12.2004 (бессрочная корпоративная академическая лицензия).
 Microsoft® Office Professional Win 32 Russian License/Software Assurance Pack Academic OPEN No Level, артикул 269-05620; лицензия
№18582213 от 30.12.2004.
 Microsoft Windows Professional 7 Russian Upgrade Academic Open No Level, артикул FQC-02306, лицензия № 46255382 от 11.12.2009,
(копия лицензии);
 Microsoft Office Professional Plus 2010 Russian Academic Open No Level, лицензия 47122150 от 30.06.2010, справка Microsoft «Условия
использования лицензии»;
 Система автоматизации библиотек ИРБИС64, договора на оказание услуг по поставке программного обеспечения №1/28-10-13 от
22.11.2013г.; №1/21-03-14 от 31.03.2014г. (копии договоров);
 Google Chrome (свободно распространяемое);
 Adobe Reader (свободно распространяемое);
 Kaspersky Endpoint Secunty для бизнеса - Стандартный Russian Edition, 250-499 Node 1 year Educational Renewal License; № лицензии
17EO-171228-092222-983-1666 от 28.12.2017, (копия лицензии).
24