Вычисление пределов функций: Практическая работа

Практическая работа №5
“ Вычисление пределов функции. ”
Цель работы:
На конкретных примерах научиться вычислять пределы различными способами.
Содержание работы:
Типы неопределенностей и методы их раскрытия
Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение теорем о
пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее
знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо
тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем. Рассмотрим некоторые приемы
раскрытия неопределенностей.
0
I. Неопределенность вида
0
x 5
Пример 1. Вычислить предел lim
х 5 x2  25
Решение: При подстановке вместо переменной х числа 5 видим, что получается неопределенность
0
вида . Для ее раскрытия нужно разложить знаменатель на множители: х2 -25 = (х-5)*(х+5),
0
получили общий множитель (х-5), на который можно сократить дробь. Заданный предел примет вид:
1
х
х 5  5
lim
. Подставив х=5, получим результат: lim
x 5
х 5 x  25
Пример 2. Вычислить предел lim х
х 3
2
2
= lim
х 5
х 5 х  25
2
1
х
х 5  5
= lim
= 1
10
 5х  6
х 9
2
Решение: При подстановке вместо переменной х числа 3 видим, что получается неопределенность
0
вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий
0
множитель х-3. В результате получим новый предел, знаменатель которого при подстановке вместо
переменной х числа 3 не равен нулю. Этот предел легко вычисляется по теоремам. Таким образом,
неопределенность будет раскрыта.
( x  3)( x  2)
x 2 32 1
х  5х  6 
lim ( x  3)( x  3)  lim x  3  3  3  6
2
x3
х3
x3
х 9
2
lim
sin 2 x
х 0 sin 3x
Пример 3. Вычислить предел lim
Решение: При подстановке вместо переменной х числа 0 видим, что получается неопределенность
0
sin x
вида . Для ее раскрытия воспользуемся первым замечательным пределом lim
 1 и его
0
х0 x
x
 1 . После чего предел легко вычисляется по теоремам. Таким образом,
sin
x
х 0
следствием lim
sin 2 x
sin 2 x 3x 2
2 2
 lim (

 )  11 
2 x sin 3x 3
3 3
х 0 sin 3 x
x0
неопределенность будет раскрыта. lim
I I. Неопределенность вида


1  8х
х  4 х  5
Пример 4. Вычислить предел lim
Решение: При подстановке вместо переменной х бесконечности (  ) видим, что получается

неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно числитель и знаменатель разделить на наивысшую

степень, в данном случае на х. Получим:
1 8х
1

8
1  8х
= lim 4хх х5 = lim x 5  0  8   8  2 , т.к. величины 1 , 5 являются бесконечно
lim
40
4
x x
х  4 х  5 х 
х  4 

х х
x
малыми и их пределы равны 0.
Задания для самостоятельной работы:
I вариант
II вариант
«3»
5х  2
х 4 2 х  3
б) lim 3  2 х
х 1
х 
а) lim
а) lim 3 x  8
4x  2
а) lim 4 х  2
б) lim 3x  5
б) lim 1  8 х
x5
в) lim х  9
х 2
в) lim х  36
в) lim
х5
x  25
г) lim sin 2 x
г) lim
x
sin 3x
х6
х 6
x
х 0
4х  5
х 
2
2
х 0
5х  1
х3
2x  7
х 
2
III вариант
х3
х3
г) lim
x
sin 5 x
х 0
«4»
а) lim х2
3
х 3
а) lim х  4 х  5
3
 2х  3
х  3х  3
б) lim
lim х  6х4 8
в)
в)
2
4 х  х  7х  8
3
х 
2
2
х
х 2
г)
2
lim sintg43xx
3
х 0
4
х  2 х  4х  2
х 
х  5х  6
lim
х 3
х 9
lim 5 х 4х1  1
2
в)
2
г)
3
5
2
2
х  5х  2
б) lim 4 х3  2 х2  3х  1
3
4
4
х1
х  3х  2
х 
х  2 х  3х  1
б) lim 3 х  2 х  3х  1
3
х 6
х 2
х 1
а) lim
х
х1
2x
lim sin
sin 3x
г)
2
lim sintgx3x
х 0
х 0
«5»
а) lim x  1
3
 27
а) lim x
x 1
х1
х 3
б) lim 8 x 3 3 x  2 x
3
х 
2
б) lim
4 x  2x  1
4 x x 2
lim
х1
x 1
2
x
sin 3
г) lim
х 0
x
2
3
x3
2 x  4x  5
х 
в)
lim
б) lim
x 4
2
х 
2
x  2x
2
х 2
г)
2
lim 2 x x
х 0
x  2x  3
2
3
1  x  x  7  2x  x
x2
х 2
2
2
в)
8
а) lim x
3
2
sin 5
Итог занятия.
в)
lim
х 0
300 x  1000
1 x  x  1 x  x
2
x x
2
2
tg 4 x
г) lim
х 0
sin x
2
2