Лекция 1
Тема:"Перпендикуляр и наклонная"
Тип занятия –лекция
Учебная задача:
- ввести и отработать определение перпендикуляра, наклонной и ее
проекции
- отработать теорему о трех перпендикулярах.
Студент должен знать:
-определение перпендикуляра, наклонной, проекции;
- формулировки теорем о трех перпендикулярах.
уметь:
- строить перпендикуляр, наклонную и ее проекцию;
- применять теорему о трех перпендикулярах в решении задач.
Наклонной, проведённой из данной точки к данной плоскости,
называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости,
не являющийся перпендикуляром к плоскости.
Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием
наклонной.
AB — наклонная;
B — основание наклонной.
Перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной плоскости,
называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, и
лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.
Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием
перпендикуляра.
AC — перпендикуляр;
C — основание перпендикуляра.
Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра,
проведённого из этой точки к плоскости.
Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной,
проведённых из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
CB — проекция наклонной AB на плоскость α.
Треугольник ABC прямоугольный.
Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой
наклонной и её проекцией на плоскость.
∢ CBA — угол между наклонной AB и плоскостью α.
Если AD>AB, то DC>BC.
Если из данной точки к данной плоскости провести несколько
наклонных, то большей наклонной соответствует большая проекция.
∢ DAB — угол между наклонными;
∢ DCB — угол между проекциями.
Отрезок DB — расстояние между основаниями наклонных.
Теорема о трех перпендикулярах
Формулировка теоремы о трех перпендикулярах
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной,
перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной
Обратная теореме о трех перпендикулярах
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной,
перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.
Задача
Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного
треугольника АВС, точка М – середина стороны ВС.
1) Докажите, что МК ⊥ ВС
Дано:
AB = BC = CA,
AK ⊥ ABC,
BM = MC.
Доказать: МК ⊥ ВС.
Доказательство:
АМ - это проекция наклонной КМ на плоскость АВС. АМ - медиана.
По свойству правильного треугольника медиана АМ является и высотой, то
есть прямые ВС и АМ перпендикулярны.
Прямая ВС перпендикулярна АМ - проекции наклонной МК. По
теореме о трёх перпендикулярах получаем, что прямая ВС перпендикулярна
и наклонной МК, что и требовалось доказать.
Домшнее задание:
Геометрия 10-11 кл/ Л.С.Атанасян.
Глава 2, п. 19,20 , номера 149,152,155
Список литературы:1.
1.Геометрия.10-11класс: учебник для учащихся образовательных
учреждений под редакцией Л. С. Атанасяна
2.Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных
учреждений (базовый и профильный уровни)
3. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных
заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа 1999- 208 с.:ил.
Лекция 2
Тема: «Двугранный угол. Угол между плоскостями»
Тип занятия - лекция
Учебная задача
- ввести и отработать понятие двугранного угла, линейного угла
- отработать решение задач на нахождение градусной меры
двугранного угла
Диагностические цели
Студент знает:
- определение двугранного угла, линейного угла
уметь:
- находить двугранный угол, строить линейный угол
- вычислять градусную меру двугранного угла
Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями,
исходящими из одной прямой.
При этом прямая AB\ ABAB – это ребро двугранного угла, а
полуплоскости α\ и β\ \betaβ - стороны или грани двугранного угла.
Двугранный угол получает обозначение по своему ребру: «двугранный
угол AB\ ABAB».
С понятием двугранного угла тесно связано понятия: угол между
плоскостями.
Угол между плоскостями – наименьший из двугранных углов,
образованных при пересечении плоскостей.
Итак, внимание! Различие между двугранным углом и углом между
плоскостями в том, что:
Двугранный угол может быть и острым, и тупым, а угол между
плоскостями только острым! НЕ ПУТАЙ!
Как измерить двугранный угол?
Нужно поступить так: из произвольной точки на ребре двугранного
угла провести в каждой плоскости по перпендикуляру к этому ребру.
Зачем этот линейный угол? Запомни, это очень ВАЖНО:
Двугранный угол измеряется величиной своего линейного угла.
Вот и ключ к поиску величины двугранного угла и угла между
плоскостями:
Чтобы найти величину двугранного угла или угла между плоскостями,
нужно построить линейный угол и найти величину этого линейного угла.
Ещё раз немного о названиях.
Прямой двугранный угол – двугранный угол, который равен
90∘\displaystyle 90{}^\circ90∘, то есть тот, у которого линейный угол равен
90∘\displaystyle 90{}^\circ90∘.
Как найти угол между плоскостями.
Находить угол между плоскостями будем геометрическим способом
При геометрическом способе нужно сначала построить угол
двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из
планиметрии.
Определение. Градусной мерой двугранного угла называется градусная
мера любого из его линейных углов.
Поэтому ищем градусную меру линейного угла
Задача
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны
основания равны 6 см, а боковые ребра равны 10 см. На ребре AA1 отмечена
точка K так, что AK:KA1=3:2. Найдите угол между плоскостями (ABC) и
(BKD1).
При нахождении угла между двумя пересекающимися плоскостями
сначала необходимо выполнить дополнительные построения, чтобы увидеть
пересекающиеся прямые, угол между которыми равен искомому углу между
заданными плоскостями, и после этого связывать этот угол с исходными
данными.
Домашнее задание:
Гл 2,п.22 номер 168, 170
Учебник Геометрия 10- 11 кл. под ред Л.С.Атанасян
Список литературы:
1.Геометрия.10-11класс: учебник для учащихся образовательных
учреждений под редакцией Л. С. Атанасяна
2.Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных
учреждений (базовый и профильный уровни)
3.Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных
заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа 1999- 208 с.:ил.
Лекция 3
Тема: «Перпендикулярность плоскостей»
Учебная задача
-ввести и отработать понятие перпендикулярности плоскостей
- отработать признак перпендикулярности плоскостей
Диагностические цели
студент знает
- определение перпендикулярных плоскостей
- признак перпендикулярности плоскостей
Умеет
- применять признак рерпендикулярности плоскостей при решении
задач
Вопросы занятия:
- рассмотрим перпендикулярные плоскости;
- сформулируем и докажем признак перпендикулярности двух
плоскостей.
Материал лекции.
Для начала давайте вспомним определение двугранного угла.
Итак, двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя
полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.
Причем, полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его
гранями. А прямая а – общая граница полуплоскостей – называется ребром
двугранного угла.
Введем понятие угла между плоскостями.
Определение. Углом между пересекающимися
плоскостями называется угол между прямыми, проведенными в плоскостях
перпендикулярно их линии пересечения через некоторую точку.
Заметим, что определение угла между плоскостями не зависит от
выбора прямых а и b, проведенных в плоскостях и перпендикулярных их
линии пересечения. Действительно, если в данных плоскостях провести
какие-нибудь другие прямые a1 и b1 перпендикулярно их линии
пересечения l через точку O1, то прямая а будет параллельна прямой a1 и
прямая b будет параллельна прямой b1. А следовательно, угол между
прямыми а и b равен углу между прямыми a1 и b1.
Если плоскости параллельны, то угол между ними считается равным
0°. Угол между плоскостями α и β обозначают следующим образом
.
Если в пространстве пересекаются две плоскости, то они образуют
четыре двугранных угла с общим ребром (аналогично как при пересечении
двух прямых получаются четыре угла).
Если известен один из этих двугранных углов, то можно найти и
другие три двугранных угла. Т.е. если один из этих двугранных углов равен
φ, то другие три угла равны соответственно 180°-φ, φ и 180°-φ.
Если при пересечении плоскостей один из углов прямой (т.е. фи равен
90°), то и остальные три угла прямые. Такие плоскости
называют перпендикулярными.
Если φ – тот из четырех углов, который не превосходит каждого из
остальных, то говорят, что угол между пересекающимися плоскостями равен
φ. Очевидно, что угол φ лежит в промежутке от 0° до 90°.
Определение. Две пересекающиеся плоскости называются
перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между
ними равен девяносто градусов.
Пусть есть две плоскости α и β, которые пересекаются по прямой l.
Отметим произвольную точку М на прямой l. Затем через точку М проведем
две прямые а и b перпендикулярные к прямой l в плоскости α и в плоскости β
соответственно. На построенных прямых отметим точки А и B
соответственно. Обратите внимание, мы получили угол AMB. Угол AMB –
это линейный угол двугранного угла. Если угол AMB равен 90°, то плоскости
α и β называются перпендикулярными.
Действительно, прямая b перпендикулярна прямой l по построению.
Прямая b перпендикулярна прямой а, так как угол между плоскостями α и β
равен 90°. Следовательно, прямая b перпендикулярна двум пересекающимся
прямым а и l из плоскости α. Значит, прямая b перпендикулярна плоскости α.
Аналогично можно показать, что прямая а перпендикулярна плоскости
β. Прямая а перпендикулярна прямой l по построению. Прямая а
перпендикулярна прямой b, так как угол между плоскостями α и β равен 90°.
Отсюда следует, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся
прямым b и l из плоскости β. Значит, прямая а перпендикулярна плоскости β.
Примером взаимно перпендикулярных плоскостей служат плоскости
стены и пола комнаты.
Ясно, что все четыре двугранных угла, образованные взаимно
перпендикулярными плоскостями, прямые.
Теорема. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую,
перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости
перпендикулярны.
Доказательство.
Пусть даны плоскости α и β. Причем такие, что плоскость альфа
проходит через прямую а, перпендикулярную к плоскости β. Докажем, что
плоскости α и β перпендикулярны.
Пусть точка О – точка пересечения прямой а с плоскостью β. Точка О –
общая точка плоскостей α и β, следовательно, данные плоскости
пересекаются по прямой l, проходящей через точку О.
В плоскости β через точку О проведем прямую b, перпендикулярную
прямой l.
Прямые b и l лежат в плоскости β и по условию прямая а
перпендикулярна плоскости β. Следовательно, прямая а перпендикулярна
прямой b и прямая а перпендикулярна прямой l. Таким образом, получаем,
что прямая а лежит в плоскости α, перпендикулярна прямой l и прямая b
лежит в плоскости β перпендикулярно прямой l. Значит, угол между
плоскостями α и β равен углу между прямыми а и b и равен 90°. Т.е.
получили, что плоскости α и β перпендикулярны.
Теорема доказана.
Следствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой
пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих
плоскостей.
Доказательство. Пусть даны две перпендикулярные плоскости α и β,
которые пересекаются по прямой l. И дана плоскость γ, которая
перпендикулярна линии пересечения плоскостей α и β, т.е. перпендикулярна
прямой l. Докажем, что каждая из плоскостей α и β перпендикулярна
плоскости γ.
Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость α проходит через
прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости α
и γ перпендикулярны.
Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость β проходит через
прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости β
и γ перпендикулярны.
Таким образом, получаем, что плоскость α перпендикулярна плоскости
γ и плоскость β перпендикулярна плоскости γ.
Что и требовалось доказать.
Второе следствие. Прямая, проведенная в одной из двух
перпендикулярных плоскостей перпендикулярно прямой, по которой они
пересекаются, перпендикулярна другой плоскости.
Доказательство. Пусть даны две перпендикулярные плоскости α и β,
которые пересекаются по прямой l. И дана прямая b, которая лежит в
плоскости β и перпендикулярна линии пересечения плоскостей α и β, т.е.
перпендикулярна прямой l. Докажем, что прямая b перпендикулярна
плоскости α.
Обозначим буквой О точку пересечения прямой b с прямой l. Затем
проведем в плоскости α через точку О прямую а перпендикулярно прямой l.
Прямые а и b перпендикулярны прямой l, по которой пересекаются
плоскости α и β. Следовательно, угол между прямыми а и b равен углу между
плоскостями α и β. Значит, равен 90°.
Таким образом, прямая b перпендикулярна пересекающимся прямым а
и l плоскости α. Следовательно, прямая b перпендикулярна плоскости α.
Что и требовалось доказать.
Доказательство.
Что и требовалось доказать.
Подведем итоги урока. На этом уроке мы узнали, что две
пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно
перпендикулярными), если угол между ними равен девяносто градусов.
Сформулировали и доказали признак перпендикулярности двух плоскостей.
А также вывели и доказали некоторые следствия.
Список литературы:1.
1.Геометрия.10-11класс: учебник для учащихся образовательных
учреждений под редакцией Л. С. Атанасяна
2.Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных
учреждений (базовый и профильный уровни)
3.Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных
заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа 1999- 208 с.:ил.
Домашнее задание:
Гл 2,п.22 номер 168, 170
Учебник Геометрия 10- 11 кл под ред Л.С.Атанасян
Список литературы:1.
1.Геометрия.10-11класс:
учебник для учащихся
образовптельных учреждений под редакцией Л. С. Атанасяна
2.Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных
учреждений (базовый и профильный уровни)
3.Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных
заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа 1999- 208 с.:ил.
Лекция 4.
Тема: «Понятие многогранника. Его виды, геометрическое тело»
Определение многогранника и его элементов;
Виды многогранников;
Многогранник как модель реального объекта;
Теорема Эйлера для многогранников.
Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом
плоских многоугольников.
Грани многогранника – многоугольники, ограничивающие
многогранники.
Ребра многогранника – стороны граней многогранника.
Вершины многогранника – концы ребер многогранника (вершины
граней многогранника).
Диагональ многогранника – отрезок, соединяющий две вершины, не
принадлежащие одной грани.
Выпуклый многогранник – многогранник, расположенный по одну
сторону от плоскости его любой грани.
Невыпуклый многогранник – многогранник, у которого найдется по
крайней мере одна грань такая, что плоскость, проведенная через эту грань,
делит данный многогранник на две или более частей.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Понятие многогранника
К определению понятия многогранника существует два подхода.
Проведем аналогию с понятием многоугольника. Напомним, что в
планиметрии под многоугольником мы понимали замкнутую линию без
самопересечений, составленную из отрезков (рис. 1а). Также многоугольник
можно рассматривать как часть плоскости, ограниченную этой линией,
включая ее саму (рис. 1б). При изучении тел в пространстве мы будем
пользоваться вторым толкованием понятия многоугольник. Так, любой
многоугольник в пространстве есть плоская поверхность.
А)
Б)
Рисунок 1 – разные подходы к определению многоугольника
По аналогии с первым толкованием понятия многоугольника
рассматривается следующее толкование понятия многогранника.
Многогранник - поверхность, составленная из многоугольников и
ограничивающая некоторое геометрическое тело. В данной трактовке
многогранник можно называть еще многогранной поверхностью.
Вторая трактовка понятия определяет многогранник как
геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских
многоугольников.
В дальнейшем, мы будем использовать вторую трактовку понятия
многогранника.
Примеры многогранников
Уже известные вам тетраэдр и параллелепипед являются
многогранниками. Потому что они являются геометрическими телами,
ограниченные конечным числом плоских многоугольников. Еще один
пример многогранника — октаэдр (рис. 2)
Рисунок 2 – изображение октаэдра
Элементы многогранника
Многоугольники, ограничивающие многогранник, называются
его гранями. Так, у тетраэдра и октаэдра гранями являются треугольники. У
тетраэдра 4 грани, отсюда и его название от греч. τετρά-εδρον —
четырёхгранник. У октаэдра 8 граней, а от греческого οκτάεδρον от οκτώ
«восемь» + έδρα «основание».
Стороны граней называются ребрами, а концы ребер —
вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не
принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.
Виды многогранников
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну
сторону от плоскости каждой его грани. В остальных случаях многогранник
называется невыпуклым (рис.3).
Рисунок 3 – Виды многогранников
Сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника
Утверждение. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов
при каждой его вершине меньше 3600.
Пояснить данное утверждение поможет рисунок 4. “Разрежем”
многогранник вдоль его ребер и все его грани с общей вершиной расположим
так, чтобы они оказались в одной плоскости. Видим, что сумма всех плоских
углов действительно меньше 3600.
Рисунок 4 – сумма плоских углов пи вершине многогранника
Теорема Эйлера. Пусть В — число вершин выпуклого многогранника,
Р — число его ребер, а Г — число его граней. Тогда верно равенство В –
Р+Г= 2.
Теорема Эйлера играет огромную роль в математике. С ее помощью
было доказано огромное количество теорем. Находясь в центре постоянного
внимания со стороны математиков, теорема Эйлера получила далеко идущие
обобщения. Более того, эта теорема открыла новую главу в математике,
которая называется топологией.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Задание 1. Какие из перечисленных объектов НЕ могут быть
элементами многогранника? Укажите номера в порядке возрастания.
1) отрезок
2) плоскость
3) точка
4) луч
5) многоугольник
6) многогранник
7) прямая
8) трапеция
Решение
Элементы многогранника, которые мы выделили: ребра, грани,
вершины и диагонали. Ребро и диагональ многогранника – это отрезок. Грань
многогранника – многоугольник, или иначе ограниченная часть плоскости.
Вершины представляют собой точки. Таким образом, элементами
многогранника не могут быть плоскость, луч, многогранник, прямая.
Ответ: 2467
Задание 2. Сопоставьте геометрическим фигурам их вид
А) плоская фигура
Б) пространственная фигура
В) Многогранник
Решение
Вспомним, что изобразить пространственную фигуру можно разными
способами. Например, с помощью теней или изображением невидимых
линий пунктиром. Так, среди всех изображений плоской фигурой является
фигура под номером 1.
Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом
плоских многоугольников. Только на изображении 2 фигура ограничена
многоугольниками. Таким образом, получаем следующий ответ: 1-А, 2-В, 3-Б
Список литературы:
1 Атанасян Л. С., В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. Математика:
алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11
классы: учеб. Для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровния. –
М.: Просвещение, 2014. – 255 с. (стр. 58, стр. 60 – 61)
2 Долбилин Н. П. Жемчужины теории многогранников М. : – МЦНМО,
2000. – 40 с.: ил. (стр. 27 – 31)
Открытые электронные ресурсы:
Долбилин Н. П. Три теоремы о выпуклых многогранниках. Журнал
Квант.
Часть 1 // Квант. 2001. № 5. С. 7—
12. http://www.etudes.ru/data/localdocs/dolbilin_kvant1.pdf
Часть 2 // Квант. 2001. № 6. С. 3—
10. http://www.etudes.ru/data/localdocs/dolbilin_kvant2.pdf
Лекция 5
Тема: «Призма. Виды призмы»
Понятие призмы и виды призм;
Элементы призмы: вершины, ребра, грани;
Понятие площади боковой поверхности и площади полной
поверхности призмы, формулы для вычисления;
Призма как модель реальных объектов;
Пространственная теорема Пифагора.
Глоссарий по теме
Призма – многогранник, составленный из равных многоугольников,
расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов.
Боковые грани – все грани, кроме оснований.
Боковые ребра – общие стороны боковых граней.
Основания призмы – равные многоугольники, расположенные в
параллельных плоскостях.
Прямая призма – призма, боковые ребра которой перпендикулярны
основаниям.
Правильная призма – прямая призма, в основании которой лежит
правильный многоугольник.
Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех ее
граней.
Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых
граней.
Параллелепипед – призма, все грани которой – параллелограммы.
Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед в основании
которого лежит прямоугольник.
Основная литература:
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика:
алгебра и начала математического анализа,
геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват.
организаций : базовый и углубл. Уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255 с.
Открытые электронные ресурсы:
Открытый банк заданий ФИПИ http://ege.fipi.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Определение призмы. Элементы призмы.
Рассмотрим два равных многоугольника А1А2...Аn и В1В2...Вn,
расположенных в параллельных плоскостях α и β соответственно так, что
отрезки А1В1, А2В2...АnВn, соединяющие соответственные вершины
многоугольников, параллельны (рис. 1).
Рисунок 1 – Призма
Заметим, что каждый из n четырехугольников (A1A2B1B2, ...AnA1B1Bn)
является параллелограммом. Убедимся в этом на примере четырехугольника
A1A2B1B2. A1A2 и B1B2 параллельны по свойству параллельных плоскостей,
пересеченных третьей плоскостью. А1В1 и А2В2 по условию. Таким образом,
в четырехугольнике A1A2B1B2 противоположные стороны попарно
параллельны, значит этот четырехугольник — параллелограмм по
определению.
Дадим определение призмы. Призма – многогранник, составленный из
равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n
параллелограммов.
При этом равные многоугольники, расположенные в параллельных
плоскостях, называются основаниями призмы, а параллелограммы –
боковыми гранями призмы. Общие стороны боковых граней будем
называть боковыми ребрами призмы.
На рисунке 1 основаниями призмы являются
многоугольники А1А2...Аn и В1В2...Вn. Боковые грани – параллелограммы
A1A2B1B2, …, AnA1B1Bn, а боковые ребра - отрезки А1В1, А2В2, …, АnВn.
Отметим, что все боковые ребра призмы равны и параллельны (как
противоположные стороны параллелограммов).
Призму с основаниями А1А2...Аn и В1В2...Вn обозначают
А1А2...АnВ1В2...Вn и называют n-угольной призмой.
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания
к плоскости другого основания, называется высотой призмы. Обратите
внимание, что все высоты призмы равны между собой, так как основания
расположены на параллельных плоскостях. Также высота призмы может
лежать вне призмы (рис. 2).
Рисунок 2 – Наклонная призма
Виды призм
Если боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям, то призма
называется прямой. В противном случае, призма называется наклонной.
Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
На рисунке 3 приведены примеры прямых призм
Рисунок 3 – Виды призм.
Прямая призма называется правильной, если ее основание –
правильный многоугольник. В правильной призме все боковые грани –
равные прямоугольники.
Иногда четырехугольную призму, грани которой параллелограммы
называют параллелепипедом. Известный вам правильный параллелепипед –
это куб.
Площадь полной поверхности призмы. Площадь боковой поверхности
призмы.
Площадью полной поверхности призмы (Sполн) называется сумма
площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности (Sбок) призмы –
сумма площадей ее боковых граней.
Таким образом, верно следующее равенство: Sполн= Sбок+2Sосн, то есть
площадь полной поверхности есть сумма площади боковой поверхности и
удвоенной площади основания.
Чему равна площадь боковой поверхности прямой призмы?
Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна
произведению периметра основания на высоту призмы.
Доказательство
Боковые грани прямой призмы – прямоугольники, основания которых –
стороны основания призмы, а высоты равны высоте призмы – h. Площадь
боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней, то есть
прямоугольников. Площадь каждого прямоугольника есть произведение
высоты h и стороны основания. Просуммируем эти площади и вынесем
множитель h за скобки. В скобках получим сумму всех сторон основания, то
есть периметр основания P. Таким образом Sбок=Pоснh.
Пространственная теорема Пифагора
Прямой параллелепипед, основание которого – прямоугольник
называется прямоугольным.
Теорема. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда
равен сумме квадратов длин трех его ребер, исходящих из одной вершины.
Рисунок 4 – Прямоугольный параллелепипед
Доказательство
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и найдем
квадрат длины его диагонали А1С.
Для этого рассмотрим треугольник А1АС:
Ребро АА1 перпендикулярно плоскости основания (ABC) (т.к.
параллелепипед прямой), значит АА1 перпендикулярна любой прямой,
лежащей в плоскости основания, в том числе АС. Таким образом, ΔА1АС –
прямоугольный.
По теореме Пифагора получаем: А1С2=АА12+АС2 (1).
Выразим теперь АС. По условию в основании лежит прямоугольник,
значит ΔАВС – прямоугольный. По тереме Пифагора получаем:
АС2=ВС2+АВ2.
Подставив результат в (1), получим: А1С2=АА12+ВС2+АВ2.
Так как в основании прямоугольник, то ВС=АD.
Таким образом, А1С2=АА12+АD2+АВ2.
Что и требовалось доказать
Доказанная теорема является аналогом теоремы Пифагора (для
прямоугольного треугольника), поэтому ее иногда
называют пространственной теоремой Пифагора.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Задание 1.
Найдите для каждой картинки пару
1)
3)
2)
4)
5)
6)
Решение
Все изображения можно разделить на две группы: призмы и
многоугольники. Вспомним, что основанием призмы является
многоугольник. Теперь необходимо посчитать количество вершин
многоугольников в основаниях призм и сопоставить их с нужным
изображением. Таким образом, получаем следующий ответ: 1 и 3, 2 и 4, 5 и 6.
Задание 2
Какие из перечисленных объектов могут быть элементами призмы?
1) параллельные плоскости
2) отрезок
3) точка
4) четырехугольник
Решение:
Вспомним сначала, какие элементы есть у призмы. Это ребра, грани,
вершины, основания, высота, диагональ.
Ребра, высота и диагональ призмы представляют собой отрезок. Грани
и основания – это многоугольники, то есть части плоскостей. Вершины –
точки. Таким образом, подходят варианты 2, 3,4.
Список литературы:
1 Атанасян Л. С., В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. Математика:
алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11
классы: учеб. Для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровния. –
М.: Просвещение, 2014. – 255 с. (стр. 58, стр. 60 – 61)
2 Долбилин Н. П. Жемчужины теории многогранников М. : – МЦНМО,
2000. – 40 с.: ил. (стр. 27 – 31)
Открытые электронные ресурсы:
Долбилин Н. П. Три теоремы о выпуклых многогранниках. Журнал
Квант.
Часть 1 // Квант. 2001. № 5. С. 7—
12. http://www.etudes.ru/data/localdocs/dolbilin_kvant1.pdf
Часть 2 // Квант. 2001. № 6. С. 3—
10. http://www.etudes.ru/data/localdocs/dolbilin_kvant2.pdf
Лекция 6
Тема: «Параллелепипед. Куб»
Что такое параллелепипед
Что за слово такое мудреное – «параллелепипед»? Что за
многогранник скрывается за этим словом? Что-то должно быть связано с
параллельностью, не правда ли?
Так и есть:
Параллелепипед – многоугольник, образованный пересечением
трех пар параллельных плоскостей.
Если слишком сложно, просто посмотри на картинку.
Какую фигуру из планиметрии (геометрии с «плоскими» фигурами)
напоминает параллелепипед?
Немного похоже на параллелограмм, правда? Только «потолще» и
слово подлиннее.
Основные понятия
Смотри, запоминай и не путай!
Высота – перпендикуляр, опущенный из любой вершины
параллелепипеда на противоположную грань.
Та грань, на которую опущена высота, называется основанием.
Свойства параллелепипеда
Все грани параллелепипеда – параллелограммы.
Противоположные грани параллелепипеда
параллельны и равны.
Внимание: передняя и задняя грани параллелепипеда равны, верхняя и
нижняя – тоже равны, но не равны (не обязаны быть равны) передняя и
верхняя грани – потому что они не противоположные, а смежные.
Боковые ребра параллелепипеда равны:
Диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам.
Точка пересечения диагоналей называется центром параллелепипеда.
Прямой параллелепипед
Прямым называется параллелепипед, у которого боковые ребра
перпендикулярны основанию.
Вот так:
У прямого параллелепипеда в основании – параллелограмм,
а боковые грани - прямоугольники.
Прямоугольный параллелепипед
Прямоугольным называется параллелепипед, у которого в
основании прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны
основанию.
Это такая обувная коробка:
У прямоугольного параллелепипеда все грани –
прямоугольники.
Давай-ка теперь выведем одну интересную формулу для диагонали
прямоугольного параллелепипеда.
Видишь, как красиво? На теорему Пифагора похоже, правда? И
формула эта как раз и получается из теоремы Пифагора.
Смотри:
ΔBAD\ BADΔBAD - прямоугольный, поэтому
BD2=AB2+AD2=b2+c2
Куб
Куб – параллелепипед, у которого все грани квадраты.
Все ребра куба равны.
Кстати, заметь, что куб – частный вид прямоугольного
параллелепипеда.
Поэтому для диагонали куба действует формула, которую мы получили
для прямоугольного параллелепипеда.
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. КУБ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
1. Определения:
Параллелепипед
— это четырехугольная
призма (многогранник
с 6\ 66 гранями), все
грани которой —
параллелограммы.
Прямой
параллелепипед - это
параллелепипед, у
которого 4\ 44 боковые
грани - прямоугольники.
Прямоугольный
параллелепипед параллелепипед, у которого
все грани - прямоугольники
Куб – параллелепипед,
у которого все грани
квадраты.
Высота параллелепипеда – перпендикуляр, опущенный из любой
вершины параллелепипеда на противоположную грань.
2. Свойства:
Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и
равны.
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и
делятся ею пополам.
Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности
параллелепипеда и проходящий через точку пересечения диагоналей
(центр параллелепипеда), делится ею пополам.
Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны
между собой и равны сумме квадратов его измерений.
Список литературы:
1 Атанасян Л. С., В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. Математика:
алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11
классы: учеб. Для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровния. –
М.: Просвещение
2 Долбилин Н. П. Жемчужины теории многогранников М. : – МЦНМО,
2000. –
Открытые электронные ресурсы:
Долбилин Н. П. Три теоремы о выпуклых многогранниках. Журнал
Квант.
Часть 1 // Квант. 2001. —
12. http://www.etudes.ru/data/localdocs/dolbilin_kvant1.pdf
Часть 2 // Квант. 2001. —
10. http://www.etudes.ru/data/localdocs/dolbilin_kvant2.pdf
Лекция 7
Тема: «Пирамида. Усеченная пирамида»
Понятие пирамиды;
Виды пирамид;
Элементы пирамиды: вершина, ребра, грани, основание;
Площадь боковой поверхности и полной поверхности пирамиды.
Глоссарий по теме
Пирамида – многогранник, составленный из n-угольника
и n треугольников
Основание пирамиды – грань пирамиды, являющаяся n-угольником
Вершина пирамиды – общая точка всех треугольников, лежащих в
боковых гранях.
Боковая грань – грань пирамиды, являющаяся треугольником
Боковые ребра – общие отрезки боковых граней
Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее
основание
Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды
Правильная пирамида – пирамида, в основании которой лежит
правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину и центр
основания пирамиды, является высотой
Усеченная пирамида – многогранник, образованный двумя nугольниками, расположенными в параллельных плоскостях (нижнее и
верхнее основание) и n-четырехугольников (боковые грани).
Площадь полной поверхности пирамиды – сумма площадей всех
граней пирамиды
Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей
боковых граней пирамиды
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Определение пирамиды
Рассмотрим многоугольник A1A2...An и точку Р, не лежащую в
плоскости этого многоугольника (рис.1). Соединив точку Р с вершинами
многоугольника, получим n треугольников: PA1A2, PA2A3,…, PAnA1.
Многогранник, составленный из n-угольника A1A2...An и n
треугольников, называется пирамидой. Многоугольник
A1A2...An называется основанием, а треугольники PA1A2, PA2A3,…, PAnA1 –
боковые грани пирамиды, отрезки PA1, PA2,…, PAn – боковые
ребра пирамиды, точка Р – вершина пирамиды. Пирамиду с основанием
A1A2...An и вершиной Р называют n-угольной пирамидой и обозначают
PA1A2...An.
Рисунок 1 - пирамида
Высота пирамиды
Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости
основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 1 PH является
высотой. Обратите внимание, что высота может лежать и вне пирамиды (рис.
3) или быть одним из боковых ребер (рис. 4).
Рисунок 3 – высота вне пирамиды
Рисунок 4 – Высота пирамиды - боковое ребро
Правильная пирамида
Будем называть пирамиду правильной, если ее основание – правильный
многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром
основания, является ее высотой. Напомним, что центром правильного
многоугольника называется центр вписанной в него (или описанной около
него) окружности (рис.5).
Рисунок 5 – Правильная пирамида
Правильная пирамида обладает несколькими хорошими свойствами.
Давайте выясним, какими.
Рассмотрим правильную пирамиду PA1A2...An (рис. 5).
Пусть О – центр описанной около основания окружности, тогда РО –
высота пирамиды, значит РО перпендикулярен любой прямой, лежащей в
плоскости основания. Таким образом, высота РО перпендикулярна радиусам
А1О, А2О,...АnО.
Образованные высотой и радиусами треугольники являются
прямоугольными. Причем, эти треугольники имеют общий катет – РО и
равные катеты А1О, А2О,...АnО (равны как радиусы). Значит, треугольники
РОА1, РОА2,...РОАn равны по двум катетам, значит равны гипотенузы PA1
, РA2... РAn, которые являются боковыми ребрами правильной пирамиды.
Боковые ребра пирамиды равны, значит боковые грани –
равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников равны друг
другу, так как в основании лежит правильный многоугольник.
Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства
треугольников.
Таким образом, верны следующие утверждения:
Все боковые ребра правильной пирамиды равны.
Боковые ребра правильной пирамиды являются равными
равнобедренными треугольниками.
Введем еще одно определение. Апофемой называется высота боковой
грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На рисунке 5 PE –
одна из апофем.
Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу как высоты в
равных треугольниках.
Усеченная пирамида
Возьмем произвольную пирамиду PA1A2...An и проведем секущую
плоскость β, параллельную плоскости основания пирамиды α и
пересекающую боковые ребра в точках В1,В2,...Вn (рис. 6). Плоскость β
разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого
являются n-угольники A1A2...An и В1В2...Вn (нижнее и верхнее основания
соответственно), расположенные в параллельных плоскостях и n
четырехугольников A1A2B2B1, A2A3B3B2, … A1AnBnB1 (боковые грани),
называется усеченной пирамидой.
Рисунок 6 – Усеченная пирамида
Отрезки A1B1, A2B2, … AnBn называют боковыми ребрами усеченной
пирамиды.
Усеченную пирамиду с основаниями A1A2...An и В1В2...Вn обозначают
следующим образом: A1A2...AnВ1В2...Вn.
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания
к плоскости другого основания называется высотой усеченной
пирамиды. На рисунке 7 отрезки HH1 и В1O –высоты усеченной пирамиды.
Рисунок 7 – Высота усеченной пирамиды
Площадь поверхности пирамиды
Площадью полной поверхности пирамиды называются сумма
площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды –
сумма площадей ее боковых граней.
Для пирамиды, верно равенство Sполн= Sбок+Sосн.
Докажем теорему для площади боковой поверхности правильной
пирамиды.
Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна
половине произведения периметра основания на апофему.
Для площади боковой поверхности усеченной пирамиды верна
следующая теорема
Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной
пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на
апофему.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Задание 1. В пятиугольной пирамиде все боковые грани равны между
собой. Площадь основания равна 42, а площадь боковой грани на 15 меньше.
Чему равна площадь полной поверхности пирамиды?
Решение
Поскольку в пирамиде все боковые грани равны, то и площади их
будут равны. Знаем, что площадь боковой грани на 15 меньше площади
основания, значит она равна 27. В пятиугольной пирамиде боковых граней 5.
Таким образом площадь полной поверхности равна 27*5+42 = 177.
Ответ: 177
Задание 2. В правильной пирамиде высота боковой грани равна 10, а в
основании лежит квадрат со стороной 4. Чему равна площадь боковой
поверхности?
Решение
Боковая грань пирамиды – это треугольник. Все боковые грани этой
пирамиды равны между собой, так как пирамида правильная. Вычислим
площадь треугольника: ½*4*10=20. В основании пирамиды лежит квадрат,
значит боковых граней будет 4. Таким образом, площадь боковой
поверхности равна 4* 20=80.
Список литературы:
Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с
углубл. и профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений..
– М.: Дрофа, 2009. – 368 с.: ил. (117 с. – 121 с.)
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика:
алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11
классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни –
М. : Просвещение, 2014. – 255 с. (65 с. – 68 с.)
Открытые электронные ресурсы:
Многогранники.ru – сайт о создании моделей многогранников из
бумаги https://www.mnogogranniki.ru/
Образовательный портал «Решу ЕГЭ». https://mathbege.sdamgia.ru/test?theme=177
