Пояснительная записка.
Цели обучения математике в образовательной школе определяются её ролью в
развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека.
Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются
фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные
отношения – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до
достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей.
Математическая подготовка играет значительную роль в общем образовании
современного человека, особенно у выпускников профильных классов математического
направления.
Данный курс «Избранные вопросы математики» предназначен для учащихся 11
классов.
В этом курсе рассматриваются простейшие уравнения и неравенства (уравнения и
неравенства с модулями; рациональные уравнения и неравенства; уравнения и
неравенства с радикалами) и более сложные (показательные; логарифмические;
смешанные тригонометрические и содержащие одновременно логарифмы, модули,
радикалы и т.п.). Таким образом, курс охватывает значительную часть математики,
помогает сформировать у выпускников такие качества, как:
умение грамотно выполнять алгоритмические предписания и инструкции;
умение пользоваться математическими формулами, самостоятельно составлять
формулы зависимостей между величинами на основе обобщения частных
случаев;
умение применять приобретенные алгебраические преобразования и
функционально – графические представления для описания и анализа
закономерностей, существующих в окружающем мире и в смежных предметах;
мышление,
характерное
для
математики,
с
его
абстрактностью,
доказательностью, строгостью.
Уравнения и неравенства применяют во многих областях науки, поэтому данный
курс помогает анализировать и исследовать, применяя математические методы, процессы
и явления в природе и обществе.
Курс «Избранные вопросы математики» позволяет подготовить учащихся к ЕГЭ и
вступительным экзаменам по математике, где часто предлагают задания на решение
уравнений и неравенств.
На изучение вопросов, представленных в программе, отводится 68 часов, 2 часа в
неделю. Курс является предметно – ориентированным и рассчитан на учащихся, имеющих
базовую математическую подготовку.
Данный курс укрепляет и расширяет базовый уровень знаний учащихся за счет
теоретического материала, помогающего в решении некоторых неравенств и уравнений,
выходящего за рамки школьной программы и углубляет его через решение задач
повышенной сложности.
Цели курса:
формирование у учащихся предметных компетентностей, направленных на
успешную сдачу ЕГЭ и вступительных экзаменов, и продолжение освоения курса
математики в профильных ВУЗах;
освоение учащимися основных методов решения уравнений и неравенств,
рассматриваемых в данном курсе;
овладение системой математических знаний и умений, необходимых для
применения в практической деятельности;
развитие таких качеств личности, как ясность и точность мысли, логическое
мышление, алгоритмическая культура, интуиция, критичность и самокритичность.
Задачи:
систематизация, углубление и расширение знаний, полученных учащимися на
уроках алгебры в 7, 8, 9 и 10 классах при изучении тем, связанных с уравнениями
и неравенствами различных видов;
обучение методам и приёмам решения уравнений и неравенств, рассматриваемых
в данном элективном курсе, математических задач, развивающих научно –
теоретическое и алгоритмическое мышление;
формирование необходимых практических навыков и умений у учащихся для
решения различных уравнений и неравенств;
развитие у школьников коммуникативных умений и навыков, навыков
самостоятельной работы, самооценки и взаимооценки;
формирование навыков и интереса к научной и исследовательской деятельности и
воспитание устойчивого интереса к математике;
оказание помощи ученику в оценке своего потенциала с точки зрения
образовательной перспективы.
Используемые технологии:
лекционно-семинарская система обучения;
модульное обучение;
исследовательский метод в обучении;
индивидуальные формы работы;
дифференцированное обучение.
Для реализации целей и задач данного элективного курса предлагается использовать
следующие формы занятий: лекции, беседы с элементами обсуждения, коллективное
исследование поставленной проблемы и практикумы по решению основных типов задач, а
также домашние контрольные работы учащихся с последующей совместной проверкой и
самооценкой.
Формой итогового контроля может стать тестовая работа, включающая
разноуровневые задачи, рассмотренные на занятиях. Результат освоения курса считается
положительным, если по итогам теста набрано более 32 баллов из 100 возможных.
Требования к уровню освоения содержания курса:
В результате изучения курса, учащиеся овладевают следующими знаниями, умениями
и способами деятельности:
имеют представление о роли математики в познании действительности;
умеют анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать,
самостоятельно работать с математической литературой и использовать
информационные технологии;
знают и умеют применять различные способы решений уравнений и неравенств
разных видов;
умеют ставить цели и планировать действия для их достижения;
умеют объективно оценивать свои индивидуальные возможности в соответствии с
избираемой деятельностью;
умеют проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата.
Результатом освоения курса станет отработка у выпускников предметных знаний,
умений и навыков, направленные на дальнейшее успешное изучение математики в ВУЗах.
Ожидаемые результаты:
Учащиеся должны знать, что такое уравнение, корень уравнения, равносильные
уравнения, уравнения – следствия, посторонний корень, потерянный корень уравнения;
уметь решать уравнения по видам и решать их предлагаемыми способами, выбирать более
рациональный способ решения, если возможно одно и тоже уравнение решать
различными способами.
Содержание курса:
№
Тема
Количество часов
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17
18.
19.
20
21.
Уравнения и неравенства с модулем
Рациональные уравнения и неравенства
Уравнения и неравенства с радикалами
Показательные уравнения
Показательные неравенства
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства
Тригонометрические уравнения
Тригонометрические неравенства
Уравнения, содержащие логарифм, модуль и
радикалы
Неравенства, содержащие логарифм, модуль и
радикалы
Итоговый контроль
Решение тригонометрических уравнений.
Разложение на множители.
Решение тригонометрических уравнений,
сводящихся к квадратным. Однородные
уравнения.
Решение уравнений преобразованием суммы
тригонометрических функций в произведение.
Решение уравнений с помощью введения
вспомогательного аргумента.
Решение уравнений преобразованием
произведения тригонометрических функций в
сумму.
Решение уравнений с применением формул
понижения степени.
Решение уравнений с применением тройного
аргумента.
Решение уравнений умножением на некоторую
тригонометрическую функцию.
Практикум по решению заданий ЕГЭ
Всего
3
4
5
2
3
3
3
2
2
3
3
1
2
4
4
4
3
3
3
3
8
68
Основное содержание курса:
I.
Простейшие уравнения и неравенства. (12 ч.)
1. Уравнения и неравенства с модулями. (3 ч.)
Уравнения с модулями. Раскрытие модулей - стандартные схемы. Метод
интервалов при раскрытии модулей. Неравенства с модулями. Простейшие неравенства.
Схемы освобождения от модулей в неравенствах. Эквивалентные замены разностей
модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).
Уравнения, содержащие модули.
Систематизация различных видов уравнений и систем с модулем. Методы
решения: раскрытие модуля исходя из определения; возведение обеих частей уравнения в
квадрат; метод разбиения на промежутки; графический и аналитический способы решения
уравнений и систем уравнений с модулем. Алгоритмы решения уравнений, содержащих
модуль:
решение линейных уравнений;
решение квадратных уравнений;
решение тригонометрических уравнений;
решение показательных и логарифмических уравнений.
Тестирование по теме : решение уравнений с модулем с выбором рационального
способа решения.
Неравенства, содержащие модуль.
Классификация различных типов неравенств с модулем и способы их решения.
Алгоритмы решения неравенств, содержащих модуль.
Графический и аналитический способы решения линейных неравенств и
неравенств второй степени с модулем:
неравенства, содержащие выражения ׀x;׀
неравенства вида ׀ƒ(x) >׀g(x)
неравенства вида ׀ƒ1(x)׀±׀ƒ2(x)׀±…± ׀ƒn(x) >׀g(x).
Системы неравенств, содержащие неизвестное под знаком модуля.
Тригонометрические неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля.
Показательные и логарифмические неравенства с модулем.
Самостоятельная работа: решение неравенств с модулем с выбором
рационального способа решения.
2. Рациональные уравнения и неравенства. (4ч.)
Представление о рациональных алгебраических выражениях. Дробнорациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения. Метод замены при
решении дробно- рациональных уравнений. Дробно- рациональные алгебраические
неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем. Метод
интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств. Метод замены при
решении неравенств.
В результате изучения темы учащиеся должны:
уметь решать рациональные уравнения и неравенства различных типов,
используя изученные алгоритмы;
уметь подбирать наиболее эффективные и рациональные способы решения
уравнений и неравенств углубленного уровня.
3.Уравнения и неравенства с радикалами. (5 ч.)
Уравнения и неравенства с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с
ограничениями. Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки. Метод
эквивалентных преобразований уравнений и с квадратными радикалами. Освобождение от
кубических радикалов. Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы
освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям
систем). Метод интервалов при решении иррациональных неравенств. Замена при
решении иррациональных неравенств.
Знать, понимать
строить графики элементарных функций;
применять графический метод в системе (х; у) при решении иррациональных
уравнений;
методы решения иррациональных уравнений.
Уметь
применять аналитические методы решения иррациональных уравнений,
содержащих параметры: f ( x) g ( x) ; f ( x) g ( x) c ; f ( x) g ( x) 0 ;
введение новой переменной;
введение двух переменных.
II.Более сложные уравнения и неравенства. (21 ч.)
1. Показательные уравнения и неравенства (5 ч.)
Свойства показательных функций. Основные свойства степеней. Методы решения
показательных уравнений и неравенств: функционально – графический метод; метод
уравнивания показателей; метод введения новой переменной. Метод интервалов при
решении показательных неравенств.
В результате изучения темы учащиеся должны:
уметь решать показательные уравнения и неравенства различных типов, используя
изученные алгоритмы;
уметь подбирать наиболее эффективные и рациональные способы решения уравнений
и неравенств углубленного уровня.
2. Логарифмические уравнения и неравенства. (6ч.)
Основное логарифмическое тождество. Формулы преобразования логарифмов.
Эквивалентные переходы, позволяющие избавится от логарифмов. Основные методы
решения логарифмических уравнений и неравенств: функционально – графический метод;
метод потенцирования; метод введения новой переменной.
В результате изучения темы учащиеся должны:
уметь решать логарифмические уравнения и неравенства различных типов, используя
изученные алгоритмы;
уметь подбирать наиболее эффективные и рациональные способы решения уравнений
и неравенств углубленного уровня.
3.
Смешанная тригонометрия. (4 ч.)
Тригонометрические методы решения уравнений, методы решения уравнений с
радикалами. Методы решения уравнений, содержащие модули.
В результате изучения темы учащиеся должны:
уметь решать смешанные тригонометрические уравнения и неравенства различных
типов, используя изученные алгоритмы;
уметь подбирать наиболее эффективные и рациональные способы решения уравнений
и неравенств углубленного уровня.
3. Уравнения и неравенства, содержащие одновременно логарифмы, модули, радикалы и
т.п. (6 ч.)
В результате изучения темы учащиеся должны:
уметь решать уравнения и неравенства различных типов, используя изученные
алгоритмы;
уметь подбирать наиболее эффективные и рациональные способы решения уравнений
и неравенств углубленного уровня.
5. Итоговый урок. (1 ч.)
6. Решение тригонометрических уравнений. Разложение на множители. (2 час)
Простейшие тригонометрические уравнения. Методы решения тригонометрических
уравнений: метод замены переменной, метод разложения на множители.
Основная цель - расширить и углубить знания и умения, связанные с тождественными
преобразованиями тригонометрических выражений.
7. Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным. Однородные
уравнения. (4 часа)
Решать тригонометрические уравнения; различать тип тригонометрического уравнения и
находить способ решения; иметь представление о решении тригонометрических
неравенств; решать простейшие системы тригонометрических уравнений.
Основная цель - научить применять равносильные преобразования при решении
уравнений и систем уравнений; научить применять преобразования, приводящие к
уравнению-следствию, с обязательной проверкой корней уравнения-следствия, научить
применять различные методы решения тригонометрических уравнений.
8. Решение уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в
произведение. (4 часа)
Формулы сложения, приведения, двойного аргумента, понижения степени.
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в
сумму.
Основная цель - обучающиеся должны знать основные формулы тригонометрии, методы
решения тригонометрических уравнений, должны уметь использовать основные формулы
при решении уравнений.
9. Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.
(4 часа)
Метод введения вспомогательного аргумента.
Основная цель- обучающиеся должны уметь решать тригонометрические уравнения
методом введения вспомогательного аргумента, различать тип тригонометрического
уравнения и находить способ решения.
10. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в
сумму. ( 3 часа)
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.
Основная цель - применение формул при преобразовании тригонометрических
выражений, практическая деятельность при решении уравнений.
11. Решение уравнений с применением формул понижения степени. (3 часа)
Формулы сложения, приведения, двойного аргумента, понижения степени.
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение, и произведения в
сумму.
Основная цель - ученики должны знать основные формулы тригонометрии, методы
решения тригонометрических уравнений, должны уметь использовать основные формулы
при решении уравнений.
12. Решение уравнений с применением тройного аргумента. (3 часа)
Формула тройного угла Основная цель - познакомиться с тригонометрическими
формулами тройного угла, повторить формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса
двойного и половинного угла. Применение формул при решении уравнений.
13. Решение уравнений умножением на некоторую тригонометрическую функцию. (3
часа)
Метод умножения на тригонометрическую функцию, метод введения вспомогательного
угла.
Основная цель - преобразование тригонометрических выражений, решение
тригонометрических уравнений методом умножения на некоторую тригонометрическую
функцию. Учащиеся должны знать основные методы решения тригонометрических
уравнений, анализировать и выбирать оптимальные способы решения уравнений.
14. Решение заданий ЕГЭ. (8 часов)
Основная цель - формирование навыков решения тригонометрических уравнений
различных видов (квадратные относительно одной из тригонометрических функций,
однородные уравнения первой и второй степени, уравнения, решаемые разложением на
множители, методом универсальной подстановки и др.) Учащиеся должны знать основные
методы решения тригонометрических уравнений, анализировать и выбирать оптимальные
способы решения уравнений
Список использованной литературы:
1. В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н Олехник, П.И. Пасиченко. Задачи по математике.
Уравнения и неравенства. Москва, «Наука»,1987.
2. В.В. Вавилов . Задачи по математике Уравнения и неравенства. М.,
«Просвещение», 1999
3. А.Г.Каспаржак «Элективные курсы в профильном обучении», М., НФПК,
2004.
4. М.К. Потапов и др. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Москва,
изд. МГУ, 1991.
5. В.В.Ткачук. Математика абитуриенту. Москва, изд. МЦНМО, 2006.
6.Захарова О.В. «Тригонометрические уравнения» - Волгоград: «Учитель», 2011г
7.«Тригонометрические уравнения и неравенства и методика их преподавания»
П.Ф.Севрюков , А.Н.Смоляков.
8.Максютин, А.А. Математика -10 / А.А. Максютин. – Самара, 2002
9.Панферов В.С., Сергеев И.Н. «Математика- решение сложных задач»,-М:» ИнтеллектЦентр»,2012г
10. С.И. Колесникова «Подготовка к ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач ЕГЭ».
М.,2005
11. Гесева К.С., ЕГЭ. Математика: Раздаточный материал тренировочных тестов. СПб.:
Тригон, 2006
12. И.Н. Сергеев «Математика. ЕГЭ. Экзамен». Москва, 2009.
13. А.Г. Мордкович «Решаем уравнения» – М.: «Школа – пресс», 1995.
Календарно тематический план
№ п.п.
Тема занятия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
Уравнения и неравенства с модулем
Уравнения и неравенства с модулем
Уравнения и неравенства с модулем
Рациональные уравнения и неравенства
Рациональные уравнения и неравенства
Рациональные уравнения и неравенства
Рациональные уравнения и неравенства
Уравнения и неравенства с радикалами
Уравнения и неравенства с радикалами
Уравнения и неравенства с радикалами
Уравнения и неравенства с радикалами
Уравнения и неравенства с радикалами
Показательные уравнения
Показательные уравнения
Показательные неравенства
Показательные неравенства
Показательные неравенства
Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства
Логарифмические неравенства
Логарифмические неравенства
Тригонометрические уравнения
Тригонометрические уравнения
Тригонометрические неравенства
Тригонометрические неравенства
Уравнения, содержащие логарифм, модуль и радикалы
Уравнения, содержащие логарифм, модуль и радикалы
Уравнения, содержащие логарифм, модуль и радикалы
Неравенства, содержащие логарифм, модуль и радикалы
Неравенства, содержащие логарифм, модуль и радикалы
Неравенства, содержащие логарифм, модуль и радикалы
Итоговый контроль
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
Решение тригонометрических уравнений. Разложение на множители.
Решение тригонометрических уравнений. Разложение на множители.
Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным. Однородные уравнения.
Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным. Однородные уравнения.
Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным. Однородные уравнения.
Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным. Однородные уравнения.
Решение уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение.
Решение уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение.
Решение уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение.
Решение уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение.
Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.
Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.
Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.
Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.
Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.
Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.
Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.
Решение уравнений с применением формул понижения степени.
Решение уравнений с применением формул понижения степени.
Решение уравнений с применением формул понижения степени.
Решение уравнений с применением тройного аргумента.
Решение уравнений с применением тройного аргумента.
Решение уравнений с применением тройного аргумента.
Решение уравнений умножением на некоторую тригонометрическую функцию.
Решение уравнений умножением на некоторую тригонометрическую функцию.
Решение уравнений умножением на некоторую тригонометрическую функцию.
Решение заданий ЕГЭ
Решение заданий ЕГЭ
Решение заданий ЕГЭ
Решение заданий ЕГЭ
Решение заданий ЕГЭ
Решение заданий ЕГЭ
Решение заданий ЕГЭ
Решение заданий ЕГЭ
