Квантовая оптика: Тепловое излучение - Лекция

Лекция 1. Квантово-оптические явления. Тепловое излучение.
1. Тепловое излучение.
Самым распространенным типом излучения является свечение тел,
обусловленное их нагреванием. Этот вид излучения называется тепловым
(или температурным). Такое излучение имеет место при любой температуре,
однако, при невысоких температурах излучаются практически лишь длинные
(инфракрасные) волны. Лишний раз подчеркнем, что излучение нагретых
тел, так же как и свет, радиоволны и т.д. относится к электромагнитным
явлениям.
Окружим излучающее тело непроницаемой оболочкой с идеальной
отражающей внутренней поверхностью (рис.1.1.). Воздух из оболочки
удален. Излучение от тела отражается оболочкой
(полностью или частично) и вновь попадает на тело.
Следовательно, будет происходить непрерывный
обмен энергией между телом и оболочкой. Если
распределение энергии между телом и излучением
остается неизменным для каждой длины волны, то
состояние
системы
“тело-излучение”
будет
равновесным.
Опыт показывает, что единственным видом
Рис. 1.1.
излучения, которое может находиться в равновесии с
излучающими телами, является тепловое излучение.
Все остальные виды излучения, объединенные под общим названием
“люминесценция”, являются неравновесными. Эта способность теплового
излучения обусловлена тем, что интенсивность излучения возрастает при
повышении температуры.
Пусть равновесие между телом и излучением нарушено, и тело
излучает энергии больше, чем поглощает. Тогда внутренняя энергия тела
убывает, что приводит к уменьшению температуры тела и, следовательно, к
уменьшению количества излучаемой энергии. Температура тела будет
понижаться до тех, пока количество излучаемой телом энергии не станет
равным количеству поглощаемой энергии.
Если равновесие нарушится в другую сторону, то температура тела
будет возрастать, пока снова не установится равновесие. Таким образом,
нарушение равновесия в системе “тело-излучение” вызывает возникновение
процессов, восстанавливающих равновесие.
Итак, из всех видов излучения равновесным может быть только
тепловое излучение. К равновесным состояниям и процессам применимы
законы термодинамики. Следовательно, и тепловое излучение должно
подчиняться некоторым общим закономерностям, вытекающим из
принципов термодинамики. Рассмотрим эти закономерности, но сначала
введем некоторые понятия и определения.
2. Испускательная и поглощательная способность тела. Абсолютно
черное тело.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Поток энергии, испускаемый единицей поверхности
излучающего тела по всем направлениям (а пределах
телесного
угла
2),
называется
энергетической
светимостью Rэ.
Обозначим поток энергии, испускаемый единицей поверхности тела в
интервале частот d, через dR. Если d мал, то поток dR пропорционален
d, т.е.
dR  r d
Величина (коэффициент пропорциональности) r называется
испускательной способностью тела. Опыт показывает, что r есть функция
частоты
и
температуры.
Следовательно,
энергетическая светимость тела Rэ тоже является
С
функцией температуры.
Зная испускательную способность можно
рассчитать энергетичекую светимость:



Rэ  dRЭТ  rT d .
0
Пусть на некоторую элементарную площадку
поверхности тела падает поток лучистой энергии
dФ, обусловленный электромагнитными волнами, частота которых
находится в интервале d. Часть этого потока dФ будет поглощена телом,
Рис. 1.2.
тогда величина
dФ
 а T
dФ
 называется поглощательной способностью тела и является функцией
частоты и температуры, т.е. aT  f  , T  . Видно, что всегда aT  1 .
Если aT  1 , то тело полностью поглощает упавшее на него излучение
всех частот. Такое тело называется абсолютно черным. Для видимой части
спектра телом близким по своим свойствам к абсолютно черному является
сажа или платиновая чернь ( aT  0,95 ).
Если aT  1 , то тело называется серым.
Если aT  0 , то тело называется белым.
3. Закон Кирхгофа.
Между испускательной и поглощательной способностью любого тела
существует определенная связь. Чтобы убедиться в этом рассмотрим
следующий
эксперимент.
Пусть
внутри
замкнутой
оболочки,
поддерживаемой при постоянной температуре, помещены несколько тел
(рис.1.2.). Внутри полости вакуум, так что тела могут обмениваться энергией
между собой и оболочкой лишь путем испускания и поглощения
электромагнитных волн. Опыт показал, что такая система через некоторое
время придет в состояние теплового равновесия, все тела примут одну и ту
же температуру, равную температуре оболочки T.
В таком состоянии тело, обладающее большей испускательной
способностью rT, теряет в единицу времени с единицы поверхности больше
энергии, чем тело с меньшей испускательной способностью rT.
Т.к. температура (следовательно, и энергия) тел не меняется, то тело
испускающее больше энергии, должно и больше поглощать, т.е. обладать
большей aT.
Отсюда вытекает соотношение:
 rT   rT   rT 

 
 
  ...
 aT 1  aT 2  aT 3
Здесь индексы 1, 2, 3, и т.д. относятся к разным телам. На основании этого
Кирхгоф сформулировал следующий закон.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Закон Кирхгофа – отношение испускательной и
поглощательной способностей не зависит от природы тела,
оно является для всех тел одной и той же (универсальной)
функцией частоты (длины волны) и температуры:
rT
 f  ,T  ,
aT
f  ,T   универсальная функция Кирхгофа.
Доказательство закона Кирхгофа (иногда говорят – теоремы Кирхгофа)
основано на II законе термодинамики, по которому тепловое равновесие,
установившееся в замкнутой системе, не может быть нарушено простым
обменом тепла между частями системы.
По определению для абсолютно черного тела aT  1 , следовательно,
универсальная функция Кирхгофа f  ,T  есть ни что иное, как
испускательная способность абсолютно черного тела.
В природе абсолютно черного тела не существует, однако можно
создать устройство, по своим свойствам сколь угодно близкое к абсолютно
черному телу. Такое устройство представляет собой почти замкнутую
полость с малым отверстием. Излучение, проникшее внутрь через отверстие,
прежде чем выйти наружу обратно из отверстия, претерпевает многократные
отражения. При каждом отражении часть энергии поглощается, в результате
чего практически все излучение любой частоты поглощается такой полостью.
По той же причине внутренность комнаты в яркий солнечный день при
рассмотрении через открытое окно кажется темной.
4. Распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного тела.
Согласно закону Кирхгофа испускательная способность абсолютно
черного тела rT  f  , T  , где T – температура стенок полости. Если
температуру стенок полости поддерживать постоянной и равной T, то из
отверстия вышеописанной полости выходит излучение весьма близкое по
спектральному составу к излучению абсолютно черного тела при той же
температуре. Разлагая это излучение в спектр (например, при помощи
дифракционной решетки) и измеряя балометром интенсивность различных
участков спектра, можно найти экспериментально вид функции f  , T  или
  , T  (рис.1.3.).
Разные кривые относятся к разным значениям температуры абсолютно
черного тела. Площадь, охватываемая кривой дает энергетическую
светимость абсолютно черного тела при соответствующей температуре.
Анализ этих кривых позволяет сделать следующие выводы:
1) Спектр излучения абсолютно черного тела имеет сплошной характер, т.е. в
спектре этого излучения представлен непрерывный ряд длин волн.
2) Существует отчетливо выраженный максимум излучательной способности
и с повышением температуры этот максимум смещается в сторону более
коротких длин волн.
3) Излучательная способность абсолютно черного тела уменьшается в
сторону коротких длин волн более резко, чем в сторону более длинных волн.
5. Законы излучения.
Теоретическое объяснение
излучения абсолютно черного
тела имело огромное значение в
истории физики – оно привело к
открытию
квантов
энергии.
Посмотрим, как это происходило
исторически.
1) Закон Стефанаi - Больцманаii.
Долгое время многочисленные
попытки получить теоретически
вид функции f  , T  не давали
общего решения задачи.
Стефан (1879г.), анализируя
1 <2 <3
экспериментальные
данные,
пришел
к
выводу,
что
Рис. 1.3.
энергетическая
светимость
4
любого тела Rэ~T (~ четвертой степени абсолютной температуры).
Больцман (1884г.), исходя из термодинамических соображений,
получил для абсолютно черного тела соотношение:

RЭ 
 f  , T d  T
0
4
 которое известно под названием закона Стефана-
Больцмана.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Закон Стефана-Больцмана: полная лучеиспускающая
способность (энергетическая светимость) абсолютно
черного тела пропорциональна четвертой степени
абсолютной температуры.
  постоянная Стефана-Больцмана. =5,710-8Вт/(м2град4).
2) Закон Вина. Винiii (1893г.), воспользовавшись кроме термодинамики,
электромагнитной теорией, показал, что функция спектрального
распределения должна иметь вид:
 
f  , T    3 F   .
T 
На основании этого он вывел следующие законы:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Закон смещения Вина: длина волны, на которую
приходится максимум излучательной способности обратно,
пропорциональна абсолютной температуре:
m 
b
T
b=2,9103мкК – 1ая постоянная Вина.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Максимальная излучательная способность абсолютно
черного тела rmax возрастает пропорционально пятой
степени абсолютной температуры:
r max  cT 5
с=1,310-3Вт/м2К5 – 2ая постоянная Вина.
На законе Вина основан метод определения температуры раскаленных
тел (оптическая пирометрия) по спектру их излучения. Именно этим методом
впервые была определена температура поверхности Солнца. Максимум
энергии солнечного излучения приходится на длину волны m=0,47мкм.
Следовательно, абсолютная температура поверхности Солнца равна
T
2,9  10 3 мкм  К
 6160 0 К .
0,47 мкм
3) Рэлей и Джинсiv сделали попытку определить функцию f  , T  , исходя из
теоремы классической статистики о равномерном распределении энергии по
степеням свободы. Они предположили, что на каждое электромагнитное
колебание приходится в среднем энергия, равная двум половинкам kT: одна
половинка на электрическую, а другая на магнитную энергию волны.
Предположив также, что в некоторой полости излучение представляет собой
систему стоячих волн, они получили, что
f  , T  
2
kT  формула Рэлея4 2 c 2
Джинса.
Оказывается, что формула
Рэлея-Джинса,
вывод
которой
безупречен с классической точки
зрения (он основан на применении
законов термодинамики и теоремы
Больцмана о равнораспределении
энергии по степеням свободы)
удовлетворительно согласуется с
экспериментальными данными лишь
при больших длинах волн и резко
расходится с опытом для малых
длин
волн.
Интегрирование
Рис. 1.4. Зависимость испускательной
представляющего
способности абсолютно черного тела от  выражения,
формулу Рэлея-Джинса, по  от 0 до
из опыта (1) и по Рэлею-Джинсу (2).
 дает для равновесной плотности
энергии (также как и для энергетической светимости Rэ) бесконечно большие
значения (рис.1.4.). Эти расхождения теории и эксперимента, обнаруженные
на рубеже XIX и XX веков, получили название ультрафиолетовой
катастрофы.
Посмотрим, как удалось разрешить сложившееся противоречие.
Расхождения
теории
и
эксперимента
явились
серьезным
предостережением, выходящим далеко за рамки задачи о построении
универсальной функции f  , T  . Расхождение формулы Рэлея-Джинса с
экспериментом указывало на существование каких-то закономерностей,
несовместимых с представлениями классической статистической физики и
электродинамики. Смысл общего вывода заключается в том, что вся
классическая физика имеет определенные границы применимости и
использование ее законов и методов вне границ приводит к противоречию с
опытом, являющимся основным критерием правильности той или иной
теории.
6. Формула Планка.
В 1900г. Планку удалось найти вид функции f  , T  в точности,
соответствующий опытным данным. Но для этого ему пришлось сделать
предположение, совершенно чуждое классическим представлениям, а именно
допустить, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных
порций энергии  (квантов), величина которых пропорциональна частоте
излучения. А именно:    . Здесь   постоянная Планка,  =1,0541034
Джс.  
h
, поэтому h=6,6210-34Джс.
2
В основе рассуждений, приводящих к определенному Планком виду
функции спектрального распределения f  , T  , лежит выражение для средней
энергии излучения с частотой , которая вычисляется согласно следующей
формуле:

 
e

kT
(*)
1
Если бы энергия могла принимать непрерывный ряд значений, то ее среднее
значение было бы равно   kT . В этом можно убедиться, положив

e kT  1   , что выполняется тем точнее, чем меньше  (т.е., чем
kT
больше ).
Заменив в формуле Рэлея-Джинса kT выражением (*), получим
формулу, найденную Планком:
f  , T  
 3
1
2 2

4 c e kT  1
Получим выражение для средней энергии излучения частоты , исходя
из представлений Планка об испускании электромагнитного излучения в
виде квантов энергии.
Если излучение испускается квантами (порциями)  , то энергия n
должна быть кратной этой величине, т.е.
 n  n , (n=0, 1, 2, 3,…).
Согласно закону Больцмана вероятность Pn того, что энергия излучения
имеет величину n, определяется выражением:
Pn  Ae  n kT  Ae  n kT .
Нормировочный множитель A можно найти, исходя из условия, что сумма
всех Pn должна быть равна единице. Действительно, сумма Pn представляет
собой вероятность того, что энергия имеет одно из возможных для нее
значений. Такое событие является достоверным и, следовательно, имеет


n 0
n 0
вероятность, равную единице. Итак,  Pn  A e n kT  1 .
e  n kT
Тогда, найдя значение A, получим, что Pn  
e
n kT
.
n 0
Предположив возможность измерения значения энергии данной
спектральной составляющей излучения в любой момент времени, произведем
через равные промежутки времени очень большое число таких измерений N.
Разделив сумму полученных значений на число измерений N, найдем среднее
по времени значение энергии  . При очень большом N количество
измерений Nn, которые дадут результат n, будет равно NPn. Поэтому

1 
1 

N n n 
NPn n 
Pn n .
N n 0
N n 0
n 0



Следовательно, среднее значение энергии излучения частоты  будет
определяться следующим выражением:

 n e n kT
  n 0 
e
n kT
.
n 0
Дальнейшие вычисления легко провести, приняв, что  kT  x , тогда

 ne nx
   n0

 
e nx

d
ln
e nx .
dx n0

n 0
Выражение, стоящее под знаком логарифма, представляет собой сумму
членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым
членом, равным единице и знаменателем прогрессии, равным e  x . Поэтому

по известной из алгебры формуле  e nx 
т 0
1
. Учитывая этот результат,
1  ex
имеем после дифференцирования
d
1
ex

   ln
.
 x  
x  x
dx 1  e
1 e
e 1
Наконец, заменив x его значением  kT , получим окончательное выражение
для средней энергии излучения частоты :


e  kT  1
.
Переходя к длинам волн формулу Планка можно записать в виде:
  , T  
4 2  c 2


1
2с kT
.
1
Заметим, что при выполнении условия   kT квантовая формула
5
e
Планка переходит в классическую формулу Рэлея-Джинса. Следовательно,
условие малости кванта энергии  по сравнению с величиной kT
определяет границы применимости классической теории. Если нельзя
считать   kT , то использование формулы Рэлея-Джинса незаконно и для
описания свойств теплового излучения нужно применять формулу Планка.
Применим формулу Планка для вывода законов Стефана-Больцмана и
закона смещения Вина.
1) Энергетическая светимость абсолютно черного тела Rэ:

Rэ 

f  , T d 
0
Пусть

 3
1
d .
2 2

4 c e kT  1
0


kT
kT
 x , тогда  
x и d 
dx . Сделав такую замену, получаем:
kT


 2k 4

4
xdx
 kT 
Rэ 
.

2 2 
4 c    0 e x  1


Значение
интеграла
xdx
4

,
e x  1 15
0

поэтому
 2k 4
4
T
  , получаем закон Стефана-Больцмана:
.
Обозначив
60c 2  3
60c 2  3
Rэ  T 4 . А подставив в формулу числовые значения для , k, c,  , получаем,
Rэ 
что =5,669610-8Вт/(м2град4), что очень хорошо согласуется с
экспериментальным значением.
2) Для вывода закона смещения Вина воспользуемся связью между
функциями f  , T  и   , T  .
Участку спектра d соответствует интервал длин волн d.
Определяющие один и тот же участок спектра величина d и d связаны
простым
соотношением,
Дифференцирование дает
вытекающим
из
2 c
2
d .
2 c
d  

d  
2
формулы:

c


2 c

.
Знак ““ можно не
учитывать в дальнейших вычислениях, он лишь указывает, что с
возрастанием  частота  убывает и наоборот.
Если интервалы d и d относятся к одному и тому же участку спектра,
то величины dRэ и dR должны совпадать, т.е.
r d  r d
или
r d  r
2 c

d  r
2
2
d
2 c
()
Для абсолютно черного тела rT  f  , T  , тогда аналогично формуле ()
получаем f  , T  
Отсюда   , T  
2
  , T   формулу связи функций f  , T  и   , T  .
2 c
2 c
2
f  , T  
2 c


2
 3
1
 3
1
. Видно, что


 
2 2

2
4 с e kT  1 2  с e kT  1
функция   , T  зависит от  и от . Выразим эту функцию через , учтя, что

2 c

.
Тогда имеем
  , T  
  8 3c3
1
  4 2c 2
1
.


 2 c
 2 c
2
3
5
    2 с e kT  1

kT
e
1
Далее возьмем первую производную функции   , T  по  и приравняем ее
нулю (условие экстремума).
2 c

 2 c

4 2  c 2 2  c  k T  e kT  5 e kT  1
d  , T 




0
2
2c
d
6

kT
 e
 1


Удовлетворяющие этому уравнению значения =0 и =
соответствуют минимуму функции   , T  . Значение m, при котором
функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в
числителе в квадратных скобках. Обозначим
2 c
 x , получим уравнение:
kT
xe x  5(e x  1)  0 .
Решение этого трансцендентного уравнения дает значение x=4,965.
Следовательно,
2 c
2 c
 4,965 . Откуда Tm 
 b  закон смещения Вина.
4,965 k
kT
Подстановка числовых значений , c, k,  дает значение для
b=2,9103(мкмК).
Таким образом, формула Планка дает исчерпывающее описание
равновесного теплового излучения.
САМОСТОЯТЕЛЬНО: Оптическая пирометрия, Типы пирометров:
радиационные, яркостные, цветовые; принцип действия.
Стефан Йозеф (1835-1893) – австр. физик. Экспериментально установил (1879) закон
излучения абсолютно черного тела (закон Стефана-Больцмана). Труды по диффузии,
теплопроводности газов, оптике и др.
ii
Больцман Людвиг (1844-1906)
Стефан Йозеф (1835-1893) – австр. физик.
Экспериментально установил (1879) закон излучения абсолютно черного тела (закон
Стефана-Больцмана). Труды по диффузии, теплопроводности газов, оптике и др.
– австр. физик, один из основателей статистической физики и физической кинетики.
Иностранный член-корреспондент Петербургской АН (1899). Вывел функцию
распределения, названную его именем, и основное кинетическое уравнение газов. Дал
(1872) статистическое обоснование второго начала термодинамики. Вывел один из
законов теплового излучения (закон Стефана-Больцмана).
Вин Вильгельм (1864-1928) – нем. физик, Труды по теории излучения, оптике,
термодинамике, физике газового разряда. Вывел (1893) законы излучения и смещения,
названные его именем. Измерил длину рентгеновского излучения. Нобелевская премия
(1911).
Джинс Джеймс Хопвуд (1877-1946) – англ. физик и астрофизик. Основные труды по
кинетической теории газов, теории теплового излучения, фигурам равновесия
вращающихся жидких тел, строению и эволюции звезд, звездных систем и туманностей.
Вывел (1905-1909 независимо от Дж. У. Рэлея) закон излучения (назван позднее законом
Рэлея-Джинса).