Исследование функции с помощью производной

Тема: Исследование функции с помощью производной.
Цель: рассмотреть схему полного исследования функции для построения графика.
Теоретическая справка.
Определение. Область определения функции (D) – это все значения переменной x, для которых
функция имеет смысл.
Определение . Функция называется чётной, если выполняется равенство: 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥). Функция
называется нечётной, если выполняется равенство: 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥).
Свойство. График чётной функции симметричен относительно оси OY, график нечётной функции
симметричен относительно начала координат.
Промежутки монотонности, экстремумы функции
Определение. Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого
интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей,
если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Теорема. Если производная функции y=f(x) положительна (отрицательна) в некотором интервале,
то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).
Правило нахождения интервалов монотонности
1. Вычисляют производную f'(x) данной функции.
2. Находят точки, в которых производная f'(x) равна нулю или не существует. Эти точки
называют критическими для функции f(x).
3. Найденными точками область определения функции f(x) разбивается на интервалы, на каждом
из которых производная f'(x) сохраняет свой знак. Эти интервалы являются интервалами
монотонности.
4. Исследуют знак f'(x) на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом
интервале f'(x)>0, то на этом интервале f(x) возрастает; если же f'(x)<0, то на таком интервале
f(x) убывает.
Экстремумы функции
Определение. Точка х=а называется точкой максимума (минимума) функции f(x), если имеет место
неравенство: f(a)>f(x) (соответственно f(a)<f(x)) для любого х из некоторой окрестности точки x=a.
Если х=а точка максимума (минимума) функции f(x), то говорят, что f(x) имеет максимум
(минимум) в точке х=а.
Максимум и минимум функции объединяют названием экстремум функции, а точки максимума и
минимума называют точками экстремума (экстремальными точками).
Теорема (необходимый признак экстремума). Если х=а является точкой экстремума функции y=f(x)и
производная в этой точке существует, то она равна нулю: f(x)=0.
Теорема (достаточный признак экстремума). Если производная f'(x) при переходе х через а меняет
знак, то а является точкой экстремума.
1 способ ( с помощью первой производной)
Правило исследование функции на экстремум с помощью первой производной
1. Находим производную f'(x).
2. Находим все критические точки из области определения функции, для этого решаем
уравнение: f'(x)=0.
3. Устанавливаем знаки производной при переходе через критические точки и записываем точки
экстремума.
4. Вычисляем значения функции в каждой критической точке.
2 способ ( с помощью второй производной)
Знак первой производной характеризует возрастание и убывание функции. Знак второй производной
характеризует возрастание и убывание первой производной.
Правило исследование функции на экстремум с помощью второй производной
1. Находим первую производную f'(x).
2. Приравняв её к нулю, находят действительные корни полученного уравнения, т.е.
критические точки.
3. Находят вторую производную f''(x).
4. Во вторую производную подставляют поочерёдно все критические значения; если при
подстановке вторая производная окажется положительной, то в этой точке функция
имеет минимум; если же вторая производная окажется отрицательной, то функция
имеет максимум.
Исследование функции на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба
Чтобы исследовать более подробно особенности поведения функции, введём понятие выпуклость и
вогнутости, точек перегиба.
Определение. Кривая называется выпуклой в точке x=a, если в некоторой окрестности этой точки она
расположена под своей касательной в точке (a; f(a)).
Кривая называется вогнутой в точке x=a, если в некоторой окрестности этой точки она расположена
над своей касательной в точке (a; f(a)).
Промежутки выпуклости (вогнутости) можно находить с помощью производной.
Теорема (признак выпуклости и вогнутости). Если вторая производная функции y=f(x) в данном
промежутке положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна – выпукла в
этом промежутке.
y
y
x
0
Выпуклый график
x
0
Вогнутый график
Правило нахождения промежутков выпуклости (вогнутости)
1. Находят вторую производную функции и точки, в которых она равна нулю или не существует
(они называются критическими точками II рода)
2. Определяют интервалы, на которые область определения функции разбивается найденными
критическими точками II рода.
3. Устанавливают знаки второй производной в каждом из найденных интервалов. Если f''(x)<0,
то в рассматриваемом интервале кривая выпукла; если f''(x)>0, то вогнута.
Определение. Точка перегиба – это точка, которая отделяет выпуклую часть от вогнутой.
Теорема (признак существования точек перегиба) Если вторая производная f''(x) непрерывна и
меняет знак при переходе через точку x=x0, то точка (x0; f(x0)) является точкой перегиба кривой
y=f(x).
Правило нахождения точки перегиба
1. Находят вторую производную функции.
2. Решают уравнение f''(x)=0.
3. Устанавливают знак второй производной при переходе через найденные точки. Изменение
знака указывает на наличие точек перегиба.
4. Находят ординаты точек перегиба.
Схема исследования функций (алгоритм)
1. Находят область определения функции и определяют точки разрыва, если они имеются.
2. Выясняют, является функция чётной или нечётной: если f(-x)=f(x), то функция является
чётной, если f(-x)=-f(x), то функция является нечётной.
3. Определяют точки пересечения графика функции с координатными осями, полагая
последовательно х=0 и у=0.
4. Находят критические точки функции.
5. Определяют промежутки монотонности и экстремумы функции, значения функции в точках
экстремума.
6. Находят промежутки выпуклости (вогнутости) функции с помощью второй производной.
7. Используя результаты исследования, изображают точки на координатной плоскости,
соединяют их плавной кривой. Иногда для большей точности находят координаты нескольких
дополнительных точек, их находят, пользуясь уравнением кривой.
Пример исследования
1
Исследовать функцию f(x)= x4-4x2+1 и построить ее график.
2
Проведем исследование по схеме:
1) D(f)=R, т.к. f(x)-многочлен.
2) Так как f(-x)=f(x), тогда функция является четной. График симметричен отн.
Oy.
3)Точки пересечения графика с осью Ox:
1 4
x -4x2+1=0
2
(-2,782;0); (-0,5;0) (0,5;0) (2,782;0).
При x=0; y=1
(0;1) -точка пересечения графика с осью Oy
4)Функция не является периодической.
5) f’(x)=2x3-8x=2x(x+2)(x-2)
2x(x+2)(x-2)=0
X=0; x=2; x=-2-критические точки
Функция убывает при x∈ (−∞;-2] ∪ [0; 2].
Функция возрастает при x∈ [−2; 0] ∪ [2: +∞].
(-2;-7);(2;-7)-min
(0;1)-max.
6)
Для более точного построения графика функции можно найти асимптоты и
промежутки выпуклости, точки перегиба.
Задание. Исследуйте и постройте графики функции:
б) f  x  
а) f x   3x 4  4 x 3  1 ;
№
План исследования
шага
Функции
1
Находим
область
определения
функции
x2
x2 1
.
Применение плана
б) f  x  
а) f x   3x 4  4 x 3  1
D f   R
x2
x2 1
x 2  1  0 , x  1 ,
D f    ;  1   1;1 
 1;  
2
3
Исследуем функцию f  x   3x 4  4 x 3  1   f ( x )
на
четность,  функция ни четная, ни
нечетность
нечетная
Находим
нули
(корни) функции и
промежутки
её
знакопостоянства

f  x  

x2
 x3  1  0 ,
x2 1

x  12 3x 2  2 x  1  0 ,
x2 1
 f x  
функция четная
3x 4  4 x 3  1  0, 3x 4  3x 3 

x2
0,
x  0 - нуль функции
x  1  0 , x  1 - нуль функции
4
Находим
производную
функции
и
её
критические точки


f / x   3x 4  4 x 3  1  12 x 3 
 12 x 2  12 x 2 x  1 ,
/
f ' x   0  x  0;1 критические точки функции
/
 x2 
 
f  x    2

 x  1
/



2x x 2  1  2x 3
x  1
2
2

2x
x  1
2
2
f ' x   0  x  0 - критическая
точка функции
5
Находим
промежутки
монотонности, точки
экстремума
и
экстремумы функции
y'  1  0, y' 0,5  0, y' 2  0
y'  2  0, y'  0,5  0,
х=0 – не является точкой
экстремума, х=1 – точка
y' 0,5  0, y' 2  0 ,
минимума, y min  y1  0
х=0 – точка максимума,
y max  y0  0
Находим
функции
6
предел
при
x  

4
3

lim 3x  4 x  1  
x
lim
x2
x x 2  1
1
Строим
эскиз
графика функции
7
Практическая работа №17
Тема: Исследование функции и построение её графика.
1вариант
1.
2.
1.
у  x3  3  x2  1
2
y 2
x 4
2 вариант
1.
2.
2.
у  x3  3  x 2  3
6
y 2
x 4
2.
у  x3  3  x2  4
8
y 2
x 4
2.
1.
2.
2
у  x  x x2
5
y 2
x 4
3
2
у  x3  x2  x  3
12
y 2
x 4
у  x3  3  x2 1
2
y 2
x 4
9 вариант
1.
5 вариант
1.
2.
у  x x x2
20
y 2
x 4
3
8 вариант
4 вариант
1.
7 вариант
1.
3 вариант
1.
2.
у  x3  x2  x  1
16
y 2
x 4
2.
у  x3  3  x 2  2
6
y 2
x 4
10 вариант
1.
2.
у  x3  3  x 2  3
8
y 2
x 4
6 вариант
11 вариант
1.
2.
у  x3  3  x 2  4
4
y 2
x 4
12 вариант
1.
2.
у  x3  3  x2  1
5
y 2
x 4
13 вариант
1.
2.
у  x3  3  x 2  5
 12
y 2
x 4
14 вариант
1.
2.
у  x3  3  x2  6
 16
y 2
x 4
15 вариант
1.
2.
у  x3  3  x 2  5
 20
y 2
x 4
16 вариант
1.
2.
у  x3  3  x2  6
3
y 2
x 9
17 вариант
1.
2.
2.
2.
у  x3  3  x 2  5
18
y 2
x 9
1 3
x  x2 1
3
36
y 2
x 9
у
21 вариант
1.
2.
2.
1
у  x3  x2 1
3
у
1.
23 вариант
1.
2.
1 3
x  x2  2
3
6
y 2
x 9
у
24 вариант
2.
у  x3  3  x2  1
9
y 2
x 9
25 вариант
1.
2.
у  x3  3  x 2  2
 18
y 2
x 9
у  x3  3  x2 1
 27
y 2
x 9
27 вариант
1.
2.
1.
2.
1 3
x  x2  2
3
3
y 2
x 9
у  x3  3  x 2  4
9
y 2
x 9
1.
20 вариант
1.
26 вариант
22 вариант
19 вариант
1.
27
2
x 9
y
у  x3  3  x 2  4
6
y 2
x 9
18 вариант
1.
2.
у  x3  3  x 2  2
 36
y 2
x 9
28 вариант
1.
2.
у  x3  3  x 2  3
 24
y 2
x 4
29 вариант
1.
2.
у  x3  3  x 2  3
24
y 2
x 4
30 вариант
1.
2.
у  x3  3  x 2  5
45
y 2
x 9
Тема: Неопределённый интеграл и его свойства.
1. Основные понятия.
Определение. Функция F x  называется первообразной функции f x  на интервале a; b  , если для
любого x  a; b выполняется равенство
F x   f x  .
Определение. Совокупность всех первообразных функций F x  +С для функции
неопределенным интегралом функции f x 
f x 
называется
 f x dx  F x   C
Свойства неопределенного интеграла.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
 a  f x dx  a  f x dx , a - число
2. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен
алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций
  f x   g x dx   f xdx   g x dx
Таблица основных интегралов
1.  dx  x  C
2.  x n dx 
10.  dx
 tgx  C
11.  dx
 ctgx  C
cos2 x
x n1
 C,
n 1
n  1
sin 2 x
dx
3.  dx   1  C
12. 
4.  dx  2 x  C
13.  dx 2  arctgx  C
5.  dx  ln x  C
14. 
x
2
x
x
x
1  x2
 arcsin x  C
1 x
dx
a x
2
2
dx

 arcsin
x
C
a
1
x
arctg  C
a
a
6.  sin xdx   cos x  C
15.  2
7.  cos xdx  sin x  C
16.  tgxdx   ln cos x  C
17.  ctgxdx  ln sin x  C
8.  e x dx  e x  C
9.  a x dx  a
x
ln a
C
a  x2
18.
dx
 x  a  ln x  x  a  C
2
2
2
2
2. Метод непосредственного интегрирования.
При непосредственном интегрировании применяют:
- тождественные преобразования подынтегральной функции f x  ;
- свойства неопределенного интеграла;
- таблицу основных интегралов.
Пример 2.1. Найти интеграл  x 
2
x
x
dx .
1
1
1 
 
 x2


x2  x
x
2 
2 




dx


dx

x

x
dx

x

x
 x
  x x   



dx 



=
 xdx   x

1
x11
2 dx 

11
1
 1
x 2

1
1
2
C 
1
x2
2
x
x2

C 
2 x C
1
2
2
2
Пример 2.2. Найти интеграл
dx
 4  4x .
2

dx
4  4x
2


dx
41 x
2


dx
4  1 x
2

1
dx
1
 arcsin x  C

2 1  x2 2
Пример 2.3. Найти интеграл   13  3 x 2 dx .
x
2
1
x3
2

5
x3
x 31
x2
33
1
 1 3 2
3

C 
  C  x5  2  C
  3  x dx   x dx   x 3 dx 
2
5
 3 1
2
5
2x
x

1
3
3
Задания для самостоятельной работы
1.  1 
Задания

2
x dx
Ответы
1. x  4
3
x3 
x2
C
2
2.   1  e x dx
2. ln x  e x  C
3.  3sin x  2 cos xdx
3. 2 sin x  3 cos x  C
4.  x  2 dx
4. 3 1 3 x 5  3 x 2   C
x
x

3
5.  a x 1  a  x dx


x 
2
5
5. a
x
ln a


1
C
x