Высшая математика: учебные материалы для заочников

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Забайкальский государственный университет»
(ФГБОУ ВО «ЗабГУ»)
Факультет энергетический
Кафедра математики и черчения
УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
для студентов заочной формы обучения
(с полным сроком обучения)
по дисциплине «Высшая математика»
2 семестр
для направления подготовки 18.03.02 Энерго- и ресурсосберегающие процессы
в химической технологии, нефтехимии и биотехнологии
Общая трудоемкость дисциплины – 18 зачетных единиц,
в семестре – 5 зачетных единиц
Форма текущего контроля в семестре – контрольная работа
Курсовая работа (курсовой проект) (КР, КП) – нет
Форма промежуточного контроля в семестре – экзамен
Краткое содержание курса
Перечень изучаемых разделов
Раздел 1. Комплексные числа.
Раздел 2. Дифференциальное исчисление функций нескольких
переменных.
Раздел 3. Неопределенный интеграл.
Раздел 4. Определенный интеграл. Несобственные интегралы.
Раздел 5. Понятие о кратных, криволинейных, поверхностных
интегралах.
Раздел 6. Элементы теории поля.
Семестр 2
Форма текущего контроля
Контрольная работа №2
Рекомендации по определению варианта, задания для выполнения
контрольной работы, методические рекомендации по выполнению заданий.
При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживаться
указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не
зачитываются и возвращаются студенту для переработки.
1. Студенты
выполняют контрольную работу до начала зачетно-
экзаменационной сессии.
2. Студенты должны выполнить один из 10 вариантов, номер, которого
определяется по последней цифре номера зачетной книжки.
3. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной
тетради в клетку пастой любого цвета, кроме красного и зеленого,
аккуратно и разборчивым почерком. Чертежи выполняются простым
карандашом с использованием инструмента. Необходимо оставлять
поля шириной 4-5 см. для замечаний рецензента.
4. На обложке тетради должен быть наклеен специальный бланк, на
котором должны быть ясно написаны фамилия, имя, отчество студента
полностью, учебный номер зачетной книжки (шифр), номер варианта,
название дисциплины, номер контрольной работы.
2
5. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании,
строго по положенному варианту. Контрольные работы, содержащие не
все задачи, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.
6. Решение задач надо располагать в порядке возрастания их номеров,
указанных в заданиях, сохраняя номера задач.
7. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. В
том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачи
своего варианта, имеют общую формулировку, следует, переписывая
условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из
соответствующего номера.
8. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и
мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые
чертежи.
9. После получения прорецензированной работы, как не зачтенной, так и
зачтенной, студент должен исправить все отмеченные рецензентом
ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента. Если
рецензент предлагает внести в решения задач те или иные исправления
и или дополнения и предоставить их для повторной проверки, то это
следует сделать в короткий срок. При
исправлениях
должны
обязательно находиться прорецензированная контрольная работа.
Поэтому рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять
в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и
исправлений в соответствии с указаниями рецензента. Вносить
исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.
Образец бланка для титульного листа контрольной работы
3
ФГБОУ ВО «ЗабГУ»
Энергетический факультет
Кафедра математики и черчения
Контрольная работа № 2
по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
студент группы ____________ шифр зачетной книжки__________вариант___
Ф.И.О. студента _________________________________________________
Оценка работы__________________________________________________
Рецензент ______________________________________________________
Контрольная работа №2 второго семестра состоит из 7 заданий. Номера
заданий берутся из следующей таблицы:
№
№ задания
варианта
1
91
231
261
281
301
311
371
2
92
232
262
282
302
312
372
3
93
233
263
283
303
313
373
4
94
234
264
284
304
314
374
5
95
235
265
285
305
315
375
6
96
236
266
286
306
316
376
7
97
237
267
287
307
317
377
8
98
238
268
288
308
318
378
9
99
239
269
289
309
319
379
0
100
240
270
290
310
320
380
Задания контрольной работы № 2
Комплексные числа
91-100. Дано комплексное число z . Требуется: 1) записать его в алгебраической,
3
тригонометрической и показательной формах; 2) найти все корни уравнения w  z  0.
4
3
.
1 i 3
1
92. z 
1 i 3
2 2
93. z 
.
1 i
4
94. z 
3 i
1
95. z 
.
1  i
4
.
1 i 3
1
97. z 
.
1 i
1
98. z  
.
1 i
1
99. z 
3 i
2 2
100. z 
.
1 i
91. z 
96. z 
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
2
d 2z
2 d z
y
 0.
231. Дана функция z  e . Показать, что x
dx 2
dy 2
d 2z d 2z
 cos x  y 
232. Дана функция z  e
. Показать, что 2  2 .
dy
dx
d 2z d 2z
2
2

 0.
233. Дана функция z  ln  x  y  2 y  1 . Показать, что
dx 2 dy 2
d 2z d 2z
2
.
234. Дана функция z  sin  y  2 x  . Показать, что 4 2 
dy
dx 2
2
2
d 2z
y
2 d z
2 d z
 2 xy
y
 0.
235. Дана функция z  . Показать, что x
dx 2
dxdy
dy 2
x
x
d 2z d 2z

 0.
236. Дана функция z  arctg . Показать, что
dx 2 dy 2
y
d 2z
d 2z
9 2 .
237. Дана функция z  sin  x  3 y  . Показать, что
dy 2
dx
2
xy
2
2
x
2 d z
2 d z
. Показать, что x
y
 0.
238. Дана функция z  y
y
dx 2
dy 2
dz d 2 z dz d 2 z

 
 0.

dx dxdy dy dx 2
x
d 2 z dz

 0.
240. Дана функция z  . Показать, что x
dxdy dy
y
239. Дана функция z  ln x  e
y
. Показать, что
Элементы теории поля
261-270. Даны: функция z  z  x, y  , точка A  x0 , y0  и вектор a. Найти: 1) grad z в точке
A ; 2) производную в точке A в направлении вектора a .
5
261. z  3 x  xy  y ,
2
2
A  2;1 , a  3i  4 j.
A  1;1 , a  i  j.
262. z  arctgxy,
263. z  3 x  xy  3 y ,
A 1;1 , a  5i  12 j.
264. z  5 x  xy  3 y ,
A  2;1 , a  2i  3 j.
2
2
2
2
265. z  ln  2 x  y  ,
A  2;2  , a  2i  3 j.
266. z  3 x y  xy ,
A  1;1 , a  3i  4 j.
2
2
267. z  arcsin
x
,
y
A 1;1 , a  6i  8 j.
x y
, A 1; 2  , a  2i  j.
x y
2
2
269. z  3 x  3 xy  2 y , A  1;1 , a  2i  j.
268. z 

270. z  ln 2 x  3 y
2
2
 , A 1; 1 , a  3i  4 j.
Неопределенный интеграл
281-290. Найти неопределенные интегралы. В пунктах а) и б) результаты проверить
дифференцированием.
cos xdx
281. а)
 sin x ;
2
5
3x 3  2
 3 dx;
в) x  x
sin 2 xdx
;

1

cos
2
x
282. а)
x5  x3  1
 x 2  x dx;
в)
e x dx
 2x ;
283. а) 4  e
cos 5 xdx
;

284. а) 3  2 sin 5 x
x 3  5 x 2  5 x  23
 x 2  1  x  5 dx;
в)

 
x ln x 2 dx;
3
x
dx.

г) 1  x
б) 
x sin 3xdx;
dx
.

x
x

1
г)
б) 
x2  3
 4 2 dx;
в) x  5 x  6

б) 
x arcsin xdx;
dx
.

г) 4  5 sin x
б) 
x  2  e 5 x dx;
 x  1
 4  x  x dx.
г)
4
4
6
3

285. а)
5  3 ln x 4 dx ;
1
x
 x arcsin x dx;
б)
x  5 x 2  5 x  23
 x 2  1  x  5 dx;
в)
 5x  1 dx.
г)
3


e 3 x dx
;
6x

286. а) 16  e
б) 
x 3  3 x 2  12
dx;

в)  x  4    x  3x
sin xdx
 2  3 cos x ;
287. а)
2 2 x3
2

dx;
3x  7
dx;

в) x  4 x  4 x  16
3
2
xdx
;

289. а) x  1
6
dx
;

в) x  x  2 x  2
2
x 3 dx
 8;
290. а) 1  x
3
б) 
x 3 arctgxdx;
г) 
sin 5 xdx.


x 3  ln 1  x 2 dx;
cos x
dx.

г) 1  cos x
б) 
2 x 2  3x  1
 x 3  1 dx;
в)
x
dx.

г) 1  x
б) 
4
3
dx
.

г) 5  4 cos x
x
2 x 4  5x 2  8x  8
 x  x 2  4 dx;
в)

x  arctg3xdx;
dx;

б) sin x
3
x e
288. а) 
x
3
x  3 x dx;
dx
.

sin
x

tgx
г)
Определенный интеграл. Несобственные интегралы
301-310. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
3

x
 xe dx.
301. 0
302. 

dx
1 x 2  x  1 .
303.
2
305. 1
1

2
2
2
x 2 dx
3
304. 0 1  x
2
dx
 x  1 .
xdx
 x  1 .
2
dx
.
 x  3 .
2
306. 3
7

3
dx
2 x ln x .
307.
1
309. 0
2
308. 0
dx
 x  3
3
dx
 x  2 .
2
0
dx
 x  4x  5 .
.
310. 
2
2
2
311. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами y  x  1 и y  9  x.
312. Вычислить площадь фигуры, ограниченной гиперболой xy  4 и прямой x  y  5  0.
313. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой x  3 cos t , y  3 sin t.
314. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r  31  cos  и окружностью
3
3
r  3 cos.
315. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной
прямой x  y  1  0,
дугой косинусоиды y  cos x и осью Ox.
316. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной
8
y 2
2
x  4 и параболой x  4 y.
локоном Аньези
317.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox одной арки циклоиды
x  2t  sin t , y  21  cos t  и осью Ox.
x2
y
2 от начала координат до точки с абсциссой
318. Вычислить длину дуги параболы
x  6.
319. Вычислить длину одной арки циклоиды x  3t  sin t , y  31  cos t , 0  t  2 .
320. Вычислить длину первого витка архимедовой спирали r  5 , 0    2 .
Понятие о кратных, криволинейных, поверхностных интегралах
371-380. Вычислить с помощью двойного интеграла площадь фигуры, ограниченной
указанными линиями. Сделать чертеж фигуры.
371. y 
3
, y  4e x , y  3 , y  4 .
x
372. x  36  y 2 , x  6  36  y 2 .
373. y  sin x, y  cos x, x  0  x  0  .
374. x  8  y 2 , x  2 y.
2
375. y  , y  5e x , y  2, y  5.
x
376. y 
x
1
,y
, x  16.
2
2x
377. x  5  y 2 , x  4 y.
8
378. x 2  y 2  36,3 2  y  x 2  y  0  .
379. y  12  x 2 , y  2 3  12  x 2 , x  0  x  0  .
380. y 
3
3
x, y 
, x  9.
2
2x
Форма промежуточного контроля
Экзамен
Перечень примерных вопросов для подготовки к экзамену
Комплексные числа
1. Комплексные числа. Геометрическое изображение. Модуль и аргумент. Три
формы записи. Формула Эйлера. Операции над комплексными числами.
Формулы Муавра-Лапласа.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
2. Функции нескольких переменных (понятие, способы задания, область
определения, график).
3. Предел, непрерывность функции двух переменных.
4. Частные производные функции двух переменных.
5. Дифференцируемость и полный дифференциал функции двух переменных.
Необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции в точке.
6. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы полного
дифференциала сложной функции.
7. Дифференцирование неявных функций одной и двух переменных.
8. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции двух
переменных.
9. Применение дифференциала функции двух переменных в приближенных
вычислениях.
10.Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
11.Экстремумы функции двух переменных. Необходимое и достаточные
условия.
12.Условный экстремум функции двух переменных (понятие).
9
13.Наибольшее
и
наименьшее
значения
функции
двух
переменных,
непрерывной в ограниченной замкнутой области.
Неопределенный интеграл
14.Первообразная функции и ее свойства.
15.Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов.
16.Основные методы интегрирования (непосредственное интегрирование,
интегрирование заменой переменной и по частям).
17.Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Интегрирование
простейших
рациональных
дробей.
Интегрирование
рациональных дробей.
18.Интегрирование тригонометрических функций.
19.Интегрирование иррациональных выражений.
20.Примеры функций, интегралы от которых не берутся в конечном виде.
Определенный интеграл. Несобственные интегралы
21.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный
интеграл и его основные свойства. Геометрический смысл.
22.Основные теоремы об определенном интеграле. Теорема о среднем.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула
Ньютона-Лейбница.
23.Методы вычисления определенного интеграла (подстановкой и по частям).
24.Приложения определенного интеграла.
25.Несобственные интегралы.
Понятие о кратных, криволинейных, поверхностных интегралах
26.Двойной интеграл. Вычисление в прямоугольных координатах. Вычисление
двойного интеграла в полярных координатах.
Элементы теории поля
27.Скалярное и векторное поля. Определения, примеры, свойства. Производная
скалярного поля по направлению. Вычисление. Градиент функции.
Свойства.
10
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература
Печатные издания
1. Письменный, Дмитрий Трофимович. Конспект лекций по высшей
математике : полный курс / Д.Т. Письменный. - 7-е изд. - Москва : АйрисПресс, 2008. - 608 с.
2. Высшая математика в упражнениях и задачах : учеб. пособие / Данко
Павел Ефимович [и др.]. - 7-е изд., испр. - Москва : Оникс : Мир и образование,
2008. - 816 с.
Издания из ЭБС
1. Шипачев, Виктор Семенович. Высшая математика. Полный курс в 2 т.
Том 1 :учебник для вузов / В.С. Шипачев; под редакцией А.Н. Тихонова. - 4-е
изд., испр. и доп. - Москва : Издательство Юрайт, 2022. - 248 с.
2. Шипачев, Виктор Семенович. Высшая математика. Полный курс в 2 т.
Том 2 : учебник для вузов / В.С. Шипачев; под редакцией А.Н. Тихонова. - 4-е
изд., испр. и доп. - Москва : Издательство Юрайт, 2022. - 305 с.
Дополнительная литература
Печатные издания
1. Берман, Георгий Николаевич. Сборник задач по курсу математического
анализа : учеб. пособие / Г. Н. Берман. - 22-е изд., перераб. - Санкт- Петербург :
Профессия, 2008. - 432 с.
Издания из ЭБС
1. Пименов, Владимир Германович. Численные методы в 2 ч. Ч. 1 :
учебное пособие для вузов / В.Г. Пименов. - Москва : Издательство Юрайт,
2022. - 111 с.
Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы
11
1) https://e.lanbook.com/ Электронно-библиотечная система «Издательство
«Лань».
2)
https://www.biblio-online.ru/
Электронно-библиотечная
система
http://www.studentlibrary.ru/
Электронно-библиотечная
система
«Юрайт».
3)
«Консультант студента».
4) http://www.edu.ru Федеральный портал «Российское образование».
5) http://window.edu.ru Информационная система «Единое окно доступа к
образовательным ресурсам» предоставляет свободный доступ к каталогу
образовательных Интернет-ресурсов и полнотекстовой электронной учебнометодической библиотеке для общего и профессионального образования.
6) http://ilib.mccme.ru Интернет-библиотека по математике.
7) http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm Учебная физико-математическая
библиотека.
8) http://www.math.ru/lib/formats Math.ru - библиотека.
9) http://www.benran.ru/ Библиотека по естественным наукам.
10) http://studentam.net/ Электронная библиотека учебников.
Преподаватель
Швецова И.И.
Заведующий кафедрой
Швецова И.И.
12