Министерство образования и науки Республики Казахстан
Павлодарский государственный университет
им. С.Торайгырова
Колледж
МНОГОГРАННИКИ В
ГЕОМЕТРИИ
Методические указания
Павлодар
УДК 514.113.5(07)
ББК 22.151.0я7
У91
Рекомендовано к изданию предметно-цикловой комиссией естественноматематических дисциплин колледжа ПГУ им. С. Торайгырова
Рецензент:
кандидат физико-математических наук, профессор Павлюк И.И.
Составитель Ш.Ж.Смагулова
У91 Многогранники в геометрии : методические указания по математике.
– Павлодар, 2008. – 35 с.
Методические указания разработаны в соответствии с
требованиями, предъявляемыми типовой программой, утвержденной
приказом № 672 от 18.10.2005 г. МОиН РК. Методические указания
предусматривают различные формы контроля и самоконтроля знаний
учащихся по теме «Многогранники в геометрии».
УДК 514.113.5 (07)
ББК 22.151. 0 я 7
© Смагулова Ш.Ж., 2008
©Павлодарский государственный университет
им. С. Торайгырова, 2008
2
Введение
Интуицию, пространственное воображение и логическое
рассуждение можно развивать комплексно именно благодаря
системному изучению геометрии. Геометрия с древнейших времен
помогает людям в решении многих утилитарных задач.
В данном методическом указании представлен достаточный
материал для самостоятельного изучения темы «Многогранники в
геометрии». Достаточный теоретический материал, сопровождаемый
рисунками, все необходимые формулы выделены в таблицу. Для
самоконтроля предлагаются тематические тесты.
Тесты как система оценки успеваемости учащихся имеет целый
ряд положительных характеристик, которые позволяют:
1) учитывать индивидуальные особенности учащихся в ходе
проверки результатов обучения;
2) проверять качество усвоения учащимися теоретического и
практического материала;
3) оживить процесс обучения, вводя не только новую для
учащихся форму контроля, но и различные виды тестов;
4) сэкономить учебное время, затраченное на опрос, и личное
время преподавателя, идущее на проверку результатов выполненной
учащимися работы;
5) обеспечить оперативность проверки выполненной работы.
С помощью тестов можно проверить большой объем изученного
материала малыми порциями, быстро диагностировать овладение
учебным материалом большим массивом учащихся.
В методическое указание включены контрольно-обобщающие
таблицы. Таблицы составлены в двух равноценных вариантах. Каждая
таблица сопровождается инструкцией по заполнению. При этом
строка таблицы считается заполненной правильно (и добавляет один
балл к оценке), если в ней верно заполнены все строки или
расставлены знаки «+», а не только часть из них. Время заполнения
одного варианта таблицы – до 10 минут.
В методическом указании представлены кроссворды,
дополнительные задачи для более глубокого усвоения темы.
Предложенные задания могут быть использованы как для
закрепления изученного
материала, так и для проверки усвоения
знаний учащимися.
Данные методические указания рекомендованы не только для
преподавателей, но и для учащихся, желающих самостоятельно
проверить свои знания.
3
1 Понятие о многогранниках
Поверхность,
составленная
из
многоугольников
и
ограничивающая некоторое геометрическое тело, называется
многогранной поверхностью или многогранником.
Многогранники
бывают
выпуклые
и
невыпуклые.
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну
сторону плоскости от каждого плоского многоугольника на его
поверхности.
Простейшие многогранники – призма, пирамида.
1.1 Призма
Призмой называется многогранник, состоящий из двух плоских
многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых
параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих
соответствующие точки этих многоугольников.
Рассмотрим два равных многоугольника А1А2…Аn и В1В2…Вn ,
расположенных в параллельных плоскостях и так, что отрезки
А1В1, А2В2…АnВn, соединяющие соответственные вершины
многоугольников, параллельны. Эти многоугольники называются
основаниями. Каждый из n-четырехугольников А1А2 В2В1, А2А3 В3В2,
…, Аn А1 В1Вn является параллелограммом, так как имеет попарно
параллельные противоположные стороны.
Параллелограммы называются боковыми гранями призмы.
Отрезки А1В1, А2В2…АnВn называются боковыми ребрами призмы.
Боковые ребра, как противоположные стороны параллелограммов,
равны и параллельны.
Высотой призмы называется расстояние между плоскостями
оснований. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не
принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы.
4
Призма называется n-угольной, если ее основания – nугольники.
Призма называется прямой, если ее боковые ребра
перпендикулярны основаниям.
Прямая призма называется правильной, если ее основания –
правильные многоугольники.
Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей
всех ее граней. Или площадь полной поверхности призмы равна
сумме площадей боковой поверхности и площади основания.
Sполн.пов. = Sбок. + 2 Sосн.
Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей
ее боковых граней. Площадь боковой поверхности прямой призмы
равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Sбок = Pocн , - высота (длина бокового ребра).
5
1.2 Параллелепипед
Параллелепипедом называется призма, в основании которой
лежит
параллелограмм.
Все
грани
параллелепипеда
–
параллелограммы. Противоположные грани параллелепипеда равны и
параллельны.
Прямоугольным
параллелепипедом
называется
прямой
параллелепипед, у которого основания являются прямоугольниками.
Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны,
называется кубом.
1.3 Пирамида. Усеченная пирамида
Пирамидой называется многогранник,
одна грань которого – произвольный
многоугольник, а остальные грани –
треугольники, имеющие общую вершину.
6
Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к
плоскости основания, называется высотой пирамиды.
Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма
площадей всех ее граней (т.е. основания и боковых граней), а
площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее
боковых граней.
Пирамида называется правильной, если ее основание –
правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину
пирамиды с центром основания, является ее высотой.
Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые
грани являются равными равнобедренными треугольниками.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее
вершины, называется апофемой. Все апофемы правильной пирамиды
равны друг другу.
Теорема: площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна
половине произведения периметра основания на апофему.
S бок,пов,
p
2
где р - периметр основания;
- апофема.
Теорема: Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная
ее основанию, отсекает подобную пирамиду.
Усеченной пирамидой называется часть полной пирамиды,
заключенная между основанием и параллельным ему сечением.
7
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного
основания к плоскости другого основания, называется высотой
усеченной пирамиды.
Боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.
Усеченная пирамида называется правильной, если она
получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной
основанию. Основания правильной усеченной пирамиды –
правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные
трапеции. Высоты этих трапеций называются апофемами.
Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды
называется сумма площадей ее боковых граней.
Площадь боковой поверхности правильной усеченной
пирамиды равна произведению полусуммы периметра оснований на
апофему.
1.4 Правильные многогранники
Рассмотрим пять типов правильных выпуклых многогранников.
В дословном переводе с греческого языка названия означают:
«тетраэдр» - четырехгранник;
«октаэдр» - восьмигранник,
«додекаэдр» - двенадцатигранник; «икосаэдр» - двадцатигранник;
куб имеет греческое наименование «гексаэдр», то есть шестигранник.
8
2 Формулы площадей полной и боковой поверхности
многогранников
Таблица 2.1
Название формулы
Формула
Обозначения
1
2
3
Площадь поверхности
куба
S = 6a2
a - длина ребра куба
Sб.б. = Ph
Sб.б.
боковая
поверхность,
h высота, P - периметр
основания
Sб.б = Pl
P
периметр
перпендикулярного
сечения,
l - длина
бокового ребра
Площадь
боковой
поверхности
параллелепипеда
Площадь
боковой
поверхности призмы
P – периметр основания,
Площадь
полной
Sп.п. = 2Sосн + Ph
поверхности призмы
h – высота.
Sосн
основания,
Площадь
полной
Sп.п. =2 Sосн + Sосн.
поверхности призмы
Sосн.
–
основания.
9
площадь
площадь
Продолжение таблицы 2.1
1
Площадь
поверхности
призмы
2
боковой
прямой
Площадь
боковой
поверхности
правильной пирамиды
Площадь
боковой
поверхности
правильной усеченной
пирамиды
3
P
основания,
Sбок = Ph
периметр
h- высота
Sбок = Ph;
P
основания,
периметр
Q
основания,
площадь
величина
двугранного угла при
стороне основания
Sбок =
P1, P2 - периметры
оснований,
Sбок =
m
m - апофема
3 Программированные тесты
Вариант 1
$$$ 1 Что такое апофема пирамиды?
A) высота боковой грани, проведенной из вершины пирамиды
B) диагональ пирамиды
C) высота пирамиды
D)вершина пирамиды
E) высота основания
$$$ 2 Какие многоугольники лежат в основании правильной
четырёхугольной усеченной пирамиды?
A) нет правильного ответа
B) шестиугольники
C) пятиугольники
D) четырёхугольники
10
E) треугольники
$$$ 3 Сколько правильный тетраэдр имеет
симметрии?
A) 4
B) 1
C) 6
D) множество
E) не имеет
центров
$$$ 4 Выберите лишнее понятие
A) додекаэдр
B) треугольник
C) куб
D) правильный тетраэдр
E) октаэдр
$$$ 5 Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна
8 см, одна из диагоналей равна 12 см.
Чему равно боковое
ребро?
A) 4 см
B) 8 см
C ) 10 см
D) 5 см
E) 12 см
$$$ 6 Сколько диагональных сечений имеет треугольная
призма?
A) 2
B) 3
C) 0
D) 8
E) 1
$$$ 7 Какое число граней, вершин, ребер и боковых ребер
имеет треугольная призма?
A) 5 граней, 6 вершин, 9 ребер, 3 боковых ребра.
B) 6 граней, 5 вершин, 8 ребер, 3 боковых ребра.
C) 3 граней, 8 вершин, 3 ребер, 6 боковых ребра.
D) 6 граней, 5 вершин, 3 ребра, 9 боковых ребер.
E) 5 граней, 9 вершин, 6 ребер, 3 боковых ребра.
11
$$$ 8 Чему равна площадь полной поверхности куба с
ребром 6 см?
А) 36 см2
B) 144 см2
C) 64 см2
D) 216 см2
Е) 12 см2
$$$ 9 Чему равна площадь полной поверхности призмы?
A) Sполн.пов. = Pocн + 2 Sосн
B) Sполн.пов. = Pocн + Sосн
C) Sполн.пов. = 2 Pocн + Sосн
D) Sполн.пов. = 2 Pocн + 2 Sосн
E) Sполн.пов. = Pocн + Sосн/2
Р – периметр основания, - высота
$$$ 10 Боковое ребро прямой призмы равно 5 см, периметр
основания 7 см. Чему равна боковая поверхность призмы?
A) 12 см2
B) 6 см2
C) 35 см2
D) 17,2 см2
E) 10 см2
Вариант 2
$$$ 1 Как называется многогранник, изображённый на
рисунке
A) наклонная призма
B) параллелепипед
C) четырёхугольная пирамида
D) цилиндр
E) призма
$$$ 2 Боковое ребро наклонной призмы равно 8 см. и
наклонено плоскости основания под углом 300 . Найти высоту
призмы
12
A) 3 см
B) 4 см
C) 5см
D) 6 см
E) 7 см
$$$ 3 Сколько оснований у усеченной пирамиды?
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) нет правильного ответа
$$$ 4 Сколько центров симметрии имеет куб?
A) 1
B) 2
C) 3
D) не имеет вообще
E) нет правильного ответа
$$$ 5 Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна
4 см, одна из диагоналей равна 6 см. Чему равно боковое ребро?
A) 4см
B) 5см
C ) 7 см
D) 10 см
E) нет правильного ответа
$$$ 6 Какое число граней, вершин, ребер и боковых ребер
имеет четырехугольная призма?
A) 8 граней, 6 вершин, 9 ребер, 3 боковых ребра.
B) 6 граней, 8 вершин, 10 ребер, 4 боковых ребра.
C) 6 граней, 10 вершин, 10 ребер, 6 боковых ребра.
D) 6 граней, 8 вершин, 4 ребра, 12 боковых ребер.
E) 6 граней, 8 вершин, 12 ребер, 4 боковых ребра.
$$$ 7
Вычислить длину диагонали прямоугольного
параллелепипеда с измерениями 12, 16, 21
A) 29
B) 39
13
C) 899
D) 36
E) нет правильного ответа
$$$ 8 Чему равна площадь полной поверхности куба с
ребром 2 см.?
A) 24 см2
B) 144 см2
C) 36 см2
D) 64 см2
E)12 см2
$$$ 9 Площадь боковой поверхности прямой призмы
выражается формулой
A) Sбок = Росн.h
B) Sбок = 2Росн.h
D) Sбок = - Росн.h
E) Sбок =
C) Sбок = Росн.h/2
1
Росн.h
2
$$$ 10 Боковые грани усеченной пирамиды представляют
собой:
A) треугольники
B) параллелограммы
C) трапеции
D) четырехугольники
E) прямоугольники
Вариант 3
$$$ 1 Что такое апофема пирамиды?
A) высота боковой грани, проведенной из вершины пирамиды
B) высота основания
C) высота пирамиды
D) вершина пирамиды
E) диагональ пирамиды.
$$$ 2 Выберите лишнее понятие
A) отрезок
B) грань
C) ребро
D) линейный угол
14
E) вершина
$$$ 3 Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна
4 см, одна из
диагоналей равна 6 см. Чему равно боковое
ребро?
A) 3см
B) 4 5 см
C) 5 см
D) 10 см
E) нет правильного ответа
$$$ 4 Сколько диагональных сечений имеет
четырехугольная призма?
A) 2
B) 4
C) 0
D) 3
E) 1
$$$ 5 Вычислить длину диагонали
параллелепипеда с измерениями 2, 4, 6.
A) 2 14
B) 12
C) 56
D) 2 3
E) нет правильного ответа
прямоугольного
$$$ 6 Боковое ребро наклонной призмы равно 18 см. и
наклонено к плоскости основания под углом 450 . Найти высоту
призмы.
A) 9 см
B) 2 см
C) 9 2 см
D)12 см
E) 6 см
$$$ 7 Прямоугольный параллелепипед имеет измерения 5, 8,
10 см. Какова площадь его полной поверхности?
A) 400 см2
D) 23 см2
B) 260 см2
E) нет правильного ответа
2
C) 340 см
15
$$$ 8 Площадь боковой поверхности правильной пирамиды
равна
A) половине произведения периметра основания на апофему.
B) произведению периметра основания на апофему.
C) половине произведения периметра основания на высоту
пирамиды.
D) произведению периметра основания на высоту пирамиды.
E) половине произведения высоты пирамиды на апофему.
$$$ 9 Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не
принадлежащие одной грани, называется
A) диагональю боковой грани
B) диагональю основания
C) высотой призмы
D) диагональю призмы
E) осью симметрии.
$$$10 Сколько правильный тетраэдр имеет
симметрии?
A) 4
B) 1
C) не имеет
D) множество
E) 6
центров
Вариант 4
$$$ 1 Как называется многогранник, изображённый на
рисунке
A) наклонная призма
B) параллелепипед
C) четырёхугольная пирамида
D) цилиндр
E) прямоугольник
$$$ 2 Что такое апофема пирамиды?
A) высота пирамиды
B) высота основания
C) высота боковой грани, проведенной из вершины пирамиды
D) вершина пирамиды
E) диагональ пирамиды
16
$$$ 3 Боковое ребро наклонной призмы равно 18 см. и
наклонено к
плоскости основания под углом 450 . Найти
высоту призмы.
A) 9 см
B) 2 см
C) 9 2 см
D)12 см
E) 6 см
$$$ 4 Какие многоугольники лежат
в основании
правильной четырёхугольной усеченной пирамиды?
A) треугольники
B) шестиугольники
C) четырёхугольники
D) пятиугольники
E) другой вариант
$$$ 5 Сколько правильный тетраэдр имеет
симметрии?
A) 1
B) не имеет
C) 4
D) множество
E) 4
центров
$$$ 6 Выберите лишнее понятие
A) додекаэдр
B) треугольник
C) куб
D) правильный тетраэдр
E) октаэдр
$$$ 7 Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна
8 см, одна из диагоналей основания равна 12 см. Чему равно
боковое ребро?
A) 12 см
B) 4 см
C) 8 см
D) 5 см
E) 10 см
17
$$$ 8 Найти диагонали прямоугольного параллелепипеда по
трем его измерениям 1, 2, 2.
A) 5
B) 5
C) 9
D) 3
E) нет правильного ответа
$$$ 9 Чему равна площадь боковой поверхности усеченной
пирамиды?
A)
P1 P2
2
B) Р1 + Р2/2
C) (Р1 + Р2)
D)
1
Р1 + Р2
2
E) нет правильного ответа
где Р1, Р2 – основания, - апофема
$$$ 10 Боковое ребро прямой призмы равно 2 см, периметр
основания 7 см. Чему равна боковая поверхность призмы?
A) 9 см2
B) 14 см2
C) 35 см2
D) 7/2 см2
E) нет правильного ответа
Вариант 5
$$$ 1 Как называется многогранник, изображённый на
рисунке
A) наклонная призма
B) параллелепипед
C) четырёхугольная пирамида
D) цилиндр
E) прямоугольник
18
$$$ 2 Боковое ребро наклонной призмы равно 8 см. и
наклонено к плоскости основания
под углом 300 . Найти
высоту призмы.
A) 7 см
B) 4 см
C) 5 см
D) 6 см
E) 3 см
$$$ 3 Сколько оснований у усеченной пирамиды?
A) 2
B) 3
C) 1
D) 4
E) нет правильного ответа
$$$ 4 Сколько центов симметрии имеет куб?
A) 2
B) не имеет вообще
C) 3
D) 1
E) нет правильного ответа
$$$ 5 Высота правильной четырёхугольной пирамиды
равна 4 см, одна из диагоналей основания равна 6 см. Чему
равно боковое ребро?
A) 5см
B) 10см
C ) 4 см
D) 7 см
D) нет правильного ответа
$$$ 6 Дан куб. Чему равен угол между плоскостью нижней
грани и плоскостью, проходящей через прямые А1 В1 и ДС ?
A) 600
B) 450
C) 900
D) 1200
E) нет правильного ответа
19
$$$ 7 Выберите лишнее понятие
A) вершина
B) ребро
C) отрезок
D) линейный угол
E) грань
$$$ 8 Чему равна площадь боковой поверхности куба с
ребром 10 см?
A) 40 см2
B) 100 см2
C) 400 см
D) 400 см2
E) нет правильного ответа
$$$ 9 Боковое ребро прямой призмы равно 6 см, периметр
основания 12 см. Чему равна боковая поверхность призмы?
A) 8 см2
B) 18 см2
C) 2 см2
D) 72 см
E) 72 см2
$$$ 10 Какими фигурами являются боковые грани прямой
призмы?
A) треугольники
B) ромбы
C) равносторонние треугольники
D) прямоугольники
E) нет правильного ответа
Вариант 6
$$$ 1 Прямоугольный параллелепипед имеет измерения
5,8,10 см. Какова площадь его полной поверхности?
A) 400 см2
B) 260 см2
C) 340 см2
D) 23 см2
E) нет правильного ответа
20
$$$ 2 Боковое ребро наклонной призмы равно 18 см. и
наклонено к плоскости
основания под углом 300 . Найти
высоту призмы.
A) 7 см
B) 9 см
C) 5 см
D) 6 см
E) нет правильного ответа
$$$ 3 Сколько вершин имеет четырехугольная пирамида
A) 3
B) 5
C) 4
D) 6
E) нет правильного ответа
$$$ 4 Выберите лишнее понятие
A) грань
B) отрезок
C) ребро
D) линейный угол
E) вершина
$$$ 5 Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна
4 см, одна из диагоналей основания равна 16 см. Чему равно
боковое ребро?
A) 3см
B) 20см
C) 4 см
D) 4 5 см
E) нет правильного ответа
$$$ 6 Какое число граней, вершин, ребер и боковых ребер
имеет шестиугольная призма?
A) 8 граней, 9 вершин, 12 ребер, 18 боковых ребра.
B) 12 граней, 18 вершин, 6 ребер, 12 боковых ребер.
C) 8 граней, 12 вершин, 18 ребер, 6 боковых ребер.
D) 12 граней, 18 вершин, 12 ребер, 9 боковых ребер.
E) 8 граней, 18 вершин, 12 ребер, 8 боковых ребер
21
$$$ 7 Чему равна площадь боковой поверхности куба с
ребром 3 см?
A) 40 см2
B)100 см2
C) 36 см2
D) 54 см2
E) нет правильного ответа
$$$ 8 Какими фигурами являются
правильной пирамиды?
A) треугольники
B) равнобедренные треугольники
C) равносторонний треугольник
D) прямоугольники
E) нет правильного ответа
боковые
грани
$$$ 9 Основания усечённой пирамиды
A) равны и лежат в параллельных плоскостях
B) не равны
C) не лежат в параллельных плоскостях
D) не равны и лежат в параллельных плоскостях
E) нет правильного ответа
$$$ 10 Площадь боковой поверхности прямой призмы
выражается формулой
A) Sбок =
1
Росн.h
2
B) Sбок = Росн.h/2
C) Sбок = 2Росн.h
D) Sбок = - Росн.h
E) Sбок = Росн.h
Вариант 7
$$$ 1 Как называется многогранник, изображённый
рисунке
A) призма
B) цилиндр
C) пирамида
D) конус
E) нет правильного ответа
22
на
$$$ 2 Боковое ребро наклонной призмы равно 8 см и
наклонено к плоскости основания под углом 450 . Найти высоту
призмы.
A) 3 см
B) 2 см
C) 4см
D) 8см
E) нет правильного ответа
$$$ 3 Какими фигурами являются боковые грани прямой
призмы?
A) треугольники
B) ромбы
C) равносторонние треугольники
D) прямоугольники
E) нет правильного ответа
$$$ 4 Выберите лишнее понятие
A) грань
B) диаметр
C) ребро
D) линейный угол
E) вершина
$$$ 5 Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна
4 см, одна из диагоналей основания равна 6 см. Чему равно
боковое ребро?
A) 3см
B) 10см
C) 4 см
D) 5 см
E) нет правильного ответа
$$$ 6 Сколько диагональных сечений имеет шестиугольная
призма?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 18
E) 12.
23
$$$ 7 Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда по
трем его измерениям 2, 3, 6.
A) 13
B) 49
C) 11
D) 46
E) 7
$$$ 8 Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами
12 см и 16 см; каждое боковое ребро пирамиды равно 26 см.
Найдите высоту пирамиды.
A) 24 см
B) 576 см
C) 24 см2
D) 28
E) нет правильного ответа
$$$ 9 Чему равна площадь полной поверхности призмы?
A) Sполн.пов. = 2 Pocн + 2 Sосн
B) Sполн.пов. = Pocн + Sосн
C) Sполн.пов. = 2 Pocн + Sосн
D) Sполн.пов. = Pocн + 2 Sосн
E) Sполн.пов. = Pocн + Sосн/2
Р – периметр основания, - высота
$$$ 10 Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не
принадлежащие одной грани, называется
A) диагональю боковой грани
B) диагональю призмы
C) высотой призмы
D) диагональю основания
E) осью симметрии
Вариант 8
$$$ 1 Чему равна площадь боковой поверхности куба с
ребром 3 см?
A) 40 см2
B) 36 см2
C) 100 см2
D) 54 см 2
E) нет правильного ответа
24
$$$ 2 Боковое ребро наклонной призмы равно 18 см. и
наклонено к плоскости
основания
под углом 450 . Найти
высоту призмы.
A) 9 2 см
B) 2 см
C) 4см
D) 8см
E) нет правильного ответа
$$$ 3
Какими фигурами являются боковые грани
пирамиды?
A) треугольники
B) ромбы
C) равносторонний треугольник
D) прямоугольника
E) нет правильного ответа
$$$ 4 Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна
7 см, одна из диагоналей основания равна 6 см. Чему равно
боковое ребро?
A) 13см
B) 10см
C) 42 см
D) 58 см
E) нет правильного ответа
$$$ 5 Основания усечённой пирамиды
A) равны и лежат в параллельных плоскостях
B) не равны
C) не лежат в параллельных плоскостях
D) не равны и лежат в параллельных плоскостях
E) нет правильного ответа
$$$ 6 При каком условии многогранник является
правильным?
A) диагонали пересекаются в одной точке
B) противоположные грани равны
C) все грани–равные правильные многоугольники и в каждой
его вершине сходится одно и тоже число ребер
D) боковое ребро перпендикулярно основанию
E) высота многогранника равна боковому ребру
25
$$$ 7 Найти диагонали прямоугольного параллелепипеда
по трем его измерения 6, 6, 7.
A) 72
B) 11
C) 121
D) 19
E) нет правильного ответа
$$$ 8 Что такое апофема пирамиды?
A) высота пирамиды
B) высота основания
C) вершина пирамиды
D) высота боковой грани, проведенной из вершины пирамиды
E) диагональ пирамиды
$$$ 9 Площадь боковой поверхности прямой призмы
выражается формулой
A) Sбок = Росн.h
B) Sбок = 2Росн.h
C) Sбок = Росн.h/2
D) Sбок = - Росн.h
E) Sбок =
1
Росн.h
2
$$$ 10 Выберите лишнее понятие
A) додекаэдр
B) треугольник
C) куб
D) правильный тетраэдр
E) октаэдр
26
4 Кроссворды
4.1 кроссворд № 1 Призма
6
8
1
2
11
7
3
9
10
4
5
По горизонтали
1 Тело, поверхность которого состоит из конечного числа
плоских многоугольников.
2 Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не
принадлежащие одной грани.
3 Призма, в основании которой лежит параллелограмм.
4 Расстояние между плоскостями оснований призмы.
5 Грань куба.
По вертикали
6 Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин.
7 Сторона грани многогранника.
8 Плоский многоугольник, являющийся частью поверхности
многогранника.
9 Прямая призма, в основании которой правильный
многоугольник.
10 Призма, боковые ребра которой перпендикулярны
основанию.
11 Правильный многогранник.
27
4.2 кроссворд № 2 Многогранники. Пирамида
По горизонтали:
1 Количество сходящихся ребер у октаэдра.
2 Грань додекаэдра.
3 Боковая грань усеченной пирамиды.
4 Правильный многогранник.
5 Сечение, проходящее через вершину пирамиды и диагональ
основания.
По вертикали:
2 Граница многогранника.
6 Правильная треугольная пирамида.
7 Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на
плоскость основания.
8 Элемент пирамиды.
9 Пирамида, у которой основание правильный многогранник, а
вершина проектируется в его центр.
9
7
1
2
6
3
4
5
28
5 Контрольно-обобщающие таблицы
5.1 Призма. Параллелепипед
Таблица заполняется после изучения тем «Параллелепипед» и
«Призма».
В каждой строке таблицы необходимо поставить один или
несколько знаков «+», указывающих, какие из названных видов
многогранников обладают описанным свойством (таблица 5.1.1)
(1) прямая призма (не параллелепипед)
(2) прямой параллелепипед (не прямоугольный)
(3) прямоугольный параллелепипед
Таблица 5.1.1
Вариант 2
Вариант 1
свойство
(1) (2)
образе Противоположные
грани
такого
+
ц
многогранника равны.
1. Основанием такого многогранника
может быть ромб, не являющийся
квадратом.
2.Все плоские углы такого многогранника
– прямые.
3.
Диагональные
сечения
такого
многогранника могут быть неравными
четырехугольниками.
4. К такому виду многогранников
относится правильная четырехугольная
призма.
5. Все боковые грани такого многогранника
– прямоугольники.
1. Основанием такого многогранника
может быть трапеция.
2. Все двугранные углы
такого
многогранника – прямые.
3. Диагонали такого многогранника точкой
пересечения делятся пополам.
4. К такому виду многогранников
относится куб.
5. Все боковые ребра такого многогранника
перпендикулярны к плоскости основания.
29
(3)
+
5.2 Пирамида. Правильные многогранники
Таблица заполняется после изучения тем «Пирамида» и
«Правильные многогранники».
В каждой строке таблицы необходимо поставить один или
несколько знаков «+», указывающих, какие из названных видов
многогранников обладают описанным свойством (таблица 5.2.1)
(1) треугольная пирамида (не правильная)
(2) правильная треугольная пирамида (не правильный
тетраэдр)
(3) правильный тетраэдр
Таблица 5.2.1
Вариант 2
Вариант 1
свойство
(1) (2)
образе Две грани такой пирамиды могут не быть +
+
ц
равными.
1. Боковые грани такой пирамиды могут не
быть равными.
2. Все двугранные углы такой пирамиды
равны.
3. Основание такой пирамиды –
равносторонний треугольник.
4. Боковые грани такой пирамиды могут
быть тупоугольными треугольниками.
5. Скрещивающиеся ребра такой пирамиды
взаимно перпендикулярны.
1. Боковые грани такой пирамиды равны
между собой, но не равны основанию.
2. Все плоские углы такой пирамиды равны.
3. Основанием высоты такой пирамиды
является центр описанной и вписанной
окружностей основания пирамиды.
4. Боковые грани такой пирамиды могут
быть прямоугольными треугольниками.
5. Сечение такой пирамиды, проходящее
через боковое ребро и середину
скрещивающегося с ним ребра основания,
перпендикулярно к ребру основания.
30
(3)
6 Задачи для самостоятельного решения
6.1 Призма. Параллелепипед
1. В правильной шестиугольной призме сторона основания
равна m, а боковые грани – квадраты. Найти диагонали призмы и
площади диагональных сечений.
Ответ: 2m и m 5 ; m2 3 и 2m2
2. В правильной четырехугольной призме диагональ основания
равна m, а диагональ боковой грани равна n. Вычислить диагональ
призмы.
n 2 0.5m 2
Ответ:
3. В правильной четырехугольной призме диагональ наклонена
к боковой грани под углом 300. Вычислите угол наклона ее к
основанию.
Ответ: 450
4. В прямой треугольной призме стороны оснований равны 13,
20 и 21 см, а высота призмы равна 25 см. Вычислить площадь
сечения, проведенного
через боковое ребро и меньшую высоту
основания.
Ответ: 300 см2
5. Основанием прямой призмы служит ромб; диагонали призмы
и высота соответственно равны 8, 5 и 2 см. Вычислите сторону
основания призмы.
Ответ: 4,5 см
6.
Вычислить
длину
диагонали
прямоугольного
параллелепипеда с измерениями: 1) 12, 16, 21; 2) 2, 4, 6.
Ответ: 1) 29; 2) 2 14
7. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, если
диагонали его граней соответственно равны 11, 19 и 20.
Ответ: 21
8. В прямом параллелепипеде диагонали образуют с плоскостью
основания углы 450 и 600. Стороны основания равны 17 и 31 см.
Вычислить диагонали этого параллелепипеда.
Ответ: 50 и 25 6 см
9. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны
6 и 8 см, а площадь диагонального сечения 180 см2. Вычислить
площадь полной поверхности параллелепипеда.
Ответ: 600 см2
31
10. В прямоугольном параллелепипеде боковое ребро равно 12
см, площадь диагонального сечения 312 см2 и площадь основания 240
см2. Вычислите стороны основания.
Ответ: 10 и 24 см
11. Диагонали прямого параллелепипеда образуют с плоскостью
основания углы
30 и 450, а стороны оснований равны 6 и 8 см.
Вычислить площадь боковой поверхности параллелепипеда.
Ответ: 140 2 см2
12. В прямой треугольной призме стороны основания относятся,
как 17 : 15 : 8, а боковое ребро равно 20см. Площадь полной
поверхности этой призмы равна 2080 см2. Найти площадь ее боковой
поверхности.
Ответ: 1600 см2
13. В прямой треугольной призме стороны основания равны 34,
50 и 52 см. Площадь сечения, проведенного через боковое ребро и
большую высоту основания, равна 480 см2. Вычислить площадь
боковой поверхности призмы.
Ответ: 2696 см2
6.2 Пирамида
1. Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 12 см и
16 см; каждое боковое ребро пирамиды равно 26 см. Найдите высоту
пирамиды.
Ответ: 24 см.
2 Основание пирамиды – треугольник со сторонами 20, 21 и 29
см. Боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания углы
в 450. Найти высоту пирамиды.
Ответ: 6 см
3. Основанием пирамиды служит параллелограмм, у которого
стороны равны 3 и 7 см, а одна из диагоналей равна 6 см. Высота
пирамиды равна 4 см и проходит через точку пересечения диагоналей
основания. Найти боковые ребра пирамиды.
Ответ: 5 и 6 см
4. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник, у
которого основание равно 12 см, а боковая сторона равна 10 см.
Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы,
содержащие по 450. Вычислить высоту этой пирамиды.
Ответ: 3 см
32
5 Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной
пирамиды равны 10 и 2 дм, а высота ее 2 дм. Найти боковое ребро
пирамиды.
Ответ: 6 дм
6. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота
равна 7 см, а стороны оснований равны 3 и 5 см. Найти диагональ
этой усеченной пирамиды.
Ответ: 9 см
7. Основание пирамиды – квадрат со стороной 16 см, а две ее
боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Вычислить
площадь полной поверхности пирамиды, если ее высота равна 12 см.
Ответ: 768 см2
8. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны
оснований равны 24 и 8 см, а высота равна 15 см. Найти площадь
полной поверхности.
Ответ: 1728 см2
33
Литература
1 Богомолов Н.В. Практические занятия по математике для
высшей школы. – М. : Просвещение. 2003. – 256 с.
2 Ершова А.П. , Голобородько В.В. Устная геометрия для 10-11
классов. – М. : Илекса, 2005. – 88 с.
3 Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс
геометрии – М. : Просвещение, 1992. – 193 с.
4 Погорелов А.В. Геометрия. – М. : «Просвещение», 2004. –
58 с.
34
Содержание
Введение ……………………………………………………...3
1 Понятие о многогранниках…………………………………..4
2 Формулы площадей полной и боковой
поверхности многогранников……………………………….9
3 Программированные тесты………………………………....10
4 Кроссворды………………………………………………….27
5 Контрольно-обобщающие таблицы………………………..29
6 Задачи для самостоятельного решения…………………….31
7 Литература…………………………………………………..34
35
