МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Волгодонский инженерно-технический институт -
филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования
«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
(ВИТИ НИЯУ МИФИ)
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
по организации самостоятельной работы студентов
учебной дисциплины ЕН.01 Математика
для специальности
09.02.05 Прикладная информатика (по отраслям)
Волгодонск
2018
ОДОБРЕНЫ:
МЦК естественнонаучных дисциплин и
информационных технологий
УТВЕРЖДЕНЫ:
Заместитель директора по учебной работе
Председатель МЦК ______ Н.Ю. Шапошникова
_________________ А.В. Анцибор
Протокол № _ от « __» _______ 2018 г.
«__» ______ 2018 г.
Методические рекомендации по организации самостоятельной работы
студентов
составлены в соответствии с рабочей программой учебной
дисциплины, разработанной на основе Федерального государственного
образовательного стандарта по специальности среднего профессионального
образования 09.02.05 Прикладная информатика (по отраслям)
Составитель: Шапошникова Н. Ю. – преподаватель ВИТИ НИЯУ МИФИ
2
Содержание
1. Введение
4
2. Пояснительная записка
5
3. Перечень самостоятельных работ по математике для студентов II
7
курса
4. Содержание самостоятельной работы
9
5. Требования к написанию творческой работы
42
6. Требования к выполнению заданий по образцу
43
7. Контроль результатов самостоятельной работы студентов
44
8. Критерии оценки результатов
45
9.
Учебно-методическое и информационное обеспечение
47
10.
Приложение1 Образец титульного листа
48
3
Введение
Изучение учебной дисциплины ЕН.01 Математика базируется на знаниях,
умениях и навыках, полученных студентами при изучении математики в курсе
основной общеобразовательной школы.
Самостоятельная работа студентов проводится с целью:
–
систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и
практических умений студентов;
–
углубления и расширения теоретических знаний;
–
формирования умений использовать нормативную и правовую
документацию, справочную и специальную литературу;
–
развития познавательных способностей и активности студентов:
творческой
инициативы,
самостоятельности,
ответственности
и
организованности;
–формирования самостоятельности мышления, способностей к
саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации;
–
развития исследовательских умений.
Предлагаемые
методические
рекомендации
по
организации
самостоятельной работы по дисциплине ЕН.01 Математика предназначены для
студентов 2 курса техникумов, позволяют систематизировать материалы по
планированию
и
проведению
самостоятельной
работы
студентов
образовательных учреждений среднего профессионального образования.
4
Пояснительная записка
Самостоятельная работа студента – вид учебной деятельности студента,
требующий
большой
подготовительной
деятельности
преподавателя
математики. Самостоятельная работа позволяет оптимально сочетать
теоретическую и практическую составляющие обучения. При этом
обеспечивается переосмысление места и роли теоретических знаний, их
упорядочивание, что, в конечном счёте, приводит к повышению мотивации
обучающихся в их освоении. Самостоятельная работа планируется и
организуется с целью углубления и расширения теоретических знаний,
формирования логического мышления, осуществления дифференцированного
подхода к студентам, овладения умениями решать прикладные задачи в области
профессиональной деятельности. Планомерная организация этой работы
позволяет оперативно обновлять содержание образования, создавая предпосылки
для формирования общих компетенций и обеспечивая, таким образом, качество
подготовки специалистов на конкурентоспособном уровне.
В ходе выполнения самостоятельной работы по математике у студентов
формируются следующие общие компетенции:
ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей
профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые
методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и
нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой
для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в
профессиональной деятельности.
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать
повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в
профессиональной деятельности.
Возможны следующие виды самостоятельной работы студентов по
математике:
решение заданий по образцу;
опережающие домашние задания;
выполнение заданий по алгоритму;
типовые расчеты;
составление алгоритмов для типовых заданий;
составление и решение самостоятельно составленных заданий;
5
выполнение расчетно-графических работ;
составление и заполнение таблиц для систематизации учебного
материала;
составление теста и эталона к нему;
ответы на контрольные вопросы;
составление или решение математического кроссворда на
математические понятия, определения и т.п.;
творческие работы (реферат, доклад, сообщение, сочинение);
разработка проекта, включающего элементы самостоятельного
исследования и направленного на поиск новых методов решения поставленных
задач (например, «Математика в моей профессии»).
Данные методические рекомендации составлены на основании
«Рекомендации по планированию и организации самостоятельной работы
студентов общеобразовательных учреждений среднего профессионального
образования в условиях действия ГОС СПО» (Приложение к письму
Минобразования России от 29.12.2000 № 16-52-138 ин16/13).
В новых социально-экономических условиях все более актуальной
становится проблема формирования
активной личности, способной
самостоятельно ставить перед собой цели и задачи, и затем объективно
оценивать результаты своей деятельности. Современному обществу требуются
специалисты, обладающие логическим мышлением, умеющие рационально
организовывать свою деятельность и, главное, способные самостоятельно
приобретать знания, необходимые для дальнейшего самообразования и
карьерного профессионального роста.
6
Перечень самостоятельных работ по математике для студентов II
курса
Раздел
Кол-во
часов
Раздел 1
Линейная алгебра
5
Раздел 2
Основы
аналитической
геометрии
5
Вид работы
Цель
Контроль
Изучение
материала
и
решение заданий
по образцу
Углубление
ранее
изученного
материала,
формирование
умений
Индивидуальная
защита
выполненного
задания
Самостоятельное
изучение
материала
(творческая
работа)
(Приложение 1, 2)
Изучение
материала и
решение заданий
по образцу
Раздел 3
Математический
анализ
Индивидуальная
защита
выполненного
задания
Индивидуальная
защита
выполненного
задания
18
Самостоятельное
изучение
материала
(творческая
работа)
(Приложение 1, 2)
Изучение
материала и
решение заданий
по образцу
Раздел 4
Основы
теории
вероятностей
и
математической
статистики
Дополнительное
изучение
теоретического
материала и
практического
применения по
разделу.
Углубление
ранее
изученного
и
изучение
нового
материала,
формирование
умений
Дополнительное
изучение
теоретического
материала и
практического
применения по
разделу.
Углубление
ранее
изученного
и
изучение
нового
материала,
формирование
умений
Индивидуальная
защита
выполненного
задания
Индивидуальная
защита
выполненного
задания
4
Самостоятельное
изучение
материала
(творческая
работа)
(Приложение 1, 2)
Составление и
решение задач на
определение
числовых
характеристик
случайных
Дополнительное
изучение
теоретического
материала и
практического
применения по
разделу.
Выработка умений и
навыков студентов
по
самостоятельному
составлению
заданий
Индивидуальная
защита реферата,
доклада и
обсуждение по
выполнению
задания
Индивидуальная
защита
составленных
индивидуальных
заданий
7
величин
Раздел 5.
Численные
методы
9
Работа с
конспектом,
подготовка
сообщений,
докладов.
Численное
интегрирование с
использованием
программы MS
Excel
Дополнительное
изучение
теоретического
материала и
практического
применения по
разделу.
Индивидуальная
защита реферата,
доклада и
обсуждение по
выполнению
задания
8
Содержание самостоятельной работы
Раздел 1. Линейная алгебра
1.1 Нахождение обратной матрицы.
Цели работы:
получить навыки нахождения обратной матрицы;
закрепить теоретические знания и практические умения по данной
теме.
1.
1.
Краткие теоретические сведения.
Матрица А-1, обратная к квадратной матрице А, – такая матрица,
1
что
0
1 0
0 0 1
А-1* А = = А* А-1= Е, где Е = 0
0
- единичная матрица того же
порядка.
Свойства обратных матриц:
(А-1)-1 = А; (АВ)-1 = В-1 А-1; (А-1)/ = (А/)-1
2.
Квадратная матрица А называется невырожденной или
неособенной, если её определитель отличен от нуля, т. е. |A| 0.
3.
Обратная матрица А-1 существует (и единственна) тогда и только
тогда, когда исходная матрица А невырожденная, т. е. |A| 0. В этом случае её
можно найти по формуле:
A 1
1 ~
A,
A
где A~ - присоединённая матрица, элементы которой Aks = A/ks равны
алгебраическим дополнениям элементов матрицы А/, транспонированной к
матрице А.
2. Пример выполнения.
Задача. Найти матрицу, обратную к матрице А, используя
преобразования исходной матрицы к единичной Е:
2
A 5
7
1
2
3
1
4
4
Решение. Определитель матрицы |A| = -20 0, значит, матрица А имеет
обратную, матрицу А можно привести к единичной Е элементарными
преобразованиями только строк или только столбцов, при этом единичная
матрица, подвергаемая тем же преобразованиям, перейдёт в матрицу А-1. Удобно
совершать элементарные преобразования над матрицами А и Е одновременно,
записывая обе матрицы рядом, через черту в виде объединённой матрицы:
9
2
5
7
1
2
1 1
4 0
0
1
3
4 0
0
0
0
1
Поменяем местами 1 – й и 2 – й столбцы.
Затем к элементам 3 – го столбца прибавим элементы 1 – го, а к
элементам 2 – го – 1 – го, умноженные на (-2). Получим:
1 2 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0
2 5 4 1 0 0 2 1 6 1 2 1
3 7 4 0 0 1 3 1 7 0 0 1
( 2 )
(1)
(-2)
(1)
( 2 )
( 6 )
(-2)
(-6)
К элементам 1 – го столбца прибавим элементы 2 – го, умноженные на (2), а к элементам 3 – го столбца – умноженные на (-6). Далее в полученной
матрице к элементам 1 – го и 2 – го столбцов прибавляем элементы 3 – го,
умноженные на (-1).
1
2
3
2
10
1
5
41
0
40
0
7
( 1)
( 1)
0 1
0 0
1 0
(-1)
(1)
0
1
0 4
0 8
7
15
0
1 1
1
6
13
1
Слева получили единичную матрицу. Найденная справа от черты
квадратная матрица является обратной к исходной матрице А:
4
A 8
1
1
7
15
1
6
13
1
3.Варианты заданий.
Вариант №1
1. Найти обратную матрицу А-1двумя способами – с помощью
присоединённой матрицы и с помощью элементарных преобразований:
1
A 2
1
2
1
7
2.
2
B 5
1
1
1
3
1
Найти матрицу С-1, обратную к матрице С = А * В/ + 3 * Е: A 3
5
2
4
6
0
4
2
10
Вариант №2
1. Найти обратную матрицу А-1двумя способами – с помощью
присоединённой матрицы и с помощью элементарных преобразований:
0
A 2
3
1
3
5
2.
1
B 1
0
3
5
7
2
Найти матрицу С , обратную к матрице С = А* В + 3* Е: A 4
0
-1
/
1
2
1
1
1
1
4.Дополнительное задание:
Найти обратную матрицу А-1двумя способами – с помощью
присоединённой матрицы и с помощью элементарных преобразований:
1
3
A
2
3
2
8
2
1
0
4
8
1
2
4
3
6
1.2 Решение систем m линейных уравнений с n переменными.
Цели работы:
получить навыки нахождения ранга матрицы и решения систем m
линейных уравнений с n переменными;
закрепить теоретические знания и практические умения по данной
теме.
1.Краткие теоретические сведения.
1. Рангом матрицы А (rang A или r(A)) называется наивысший порядок
отличных от нуля миноров этой матрицы.
2. Свойства ранга матрицы:
a. Если матрица А имеет размеры m×n, то rang A min (m, n).
b. rang A = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы А равны
0.
c. Если матрица А – квадратная порядка n, то rang A = n тогда и только
тогда, когда |A| 0.
3.
Элементарные преобразования, не меняющие ранга матрицы:
a. Отбрасывание нулевой строки (столбца).
11
b. Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не
равное нулю.
c. Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.
d. Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца)
соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое
число.
e. Транспонирование матрицы.
4. С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести
к ступенчатому виду:
a11
0
A
0
a12
a22
0
a1r a1k
a2 r a1k
,
arr ark
где aii 0, i = 1, … , r; r k. Ранг ступенчатой матрицы равен r.
5.
Теорема Кронекера – Капелли. Система m линейных уравнений с
n переменными совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А
равен рангу расширенной матрицы (A|B).
6.
Пусть r(A) = r, r < n; r переменных х1, х2, … , хr называются
основными (базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них
(т. е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные n – r переменных называются
неосновными (или свободными).
Решение системы m линейных уравнений с n переменными, в котором все
n – r неосновных переменных равны нулю, называется базисным.
Совместная система m линейных уравнений с n переменными имеет:
единственное решение, если r = n, и бесконечное множество решений, если r <
r
n; число базисных решений конечно и не превосходит C n .
2.Пример выполнения.
Задача. Методом Гаусса решить систему уравнений:
x1 2 x2 3x3 2 x4 1
2 x1 3x2 x3 3x4 3
5 x 9 x 10 x 9 x 0
2
3
4
1
Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:
1
2
5
2
3
9
3 2 1 1
1 3 3 0
10 9 0 0
2
1
3
5
1
5
2 1 1
1 5 0
1 5 0
2
1
3
5
0
0
2 1
1 5
0 0
Следовательно, ранг матрицы системы r(A) = 2.
Определитель при переменных х1, х2 (базисный минор) отличен от нуля:
1
2
0
1
0, эти переменные берём за основные. Остальные, неосновные
переменные х3, х4 (с их коэффициентами) переносим в правые части уравнений:
12
x1 2 x2 3x 3 2 x4 1
x2 5 x3 x4 5
откуда x1 = -2x2 + 3x3 + 2x4 +1 = -2 * (5x3 + x4 + 5) + 3x3 + 2x4 +1 = -10x3 –
2x4 – 10 +3x3 + 2x4 + 1 = -7x3 - 9 .
Задавая неосновным переменным произвольные значения x3 = c1, x4 = c2,
найдём бесконечное множество решений системы:
(х1 = -7с1 – 9, х2 = 5с1 + с2 + 5, х3 = с1, х4 = с2).
3.Варианты заданий.
Вариант №1
1. Методом Гаусса решить систему линейных уравнений и найти все
базисные решения:
x1 2 x2 2 x3 5 x4 3
3x1 2 x2 12 x3 7 x4 5
2 x2 3x3 4 x4 2
2. Исследовать систему уравнений относительно параметра и найти
общее решение системы:
x1 2 x3 3
3x1 x2 6 x3 9
2 x x x 4
1
2
3
Вариант №2
1. Методом Гаусса решить систему линейных уравнений и найти все
базисные решения:
6 x1 9 x2 3x3 2 x4 4
2 x1 3x2 5 x3 4 x4 2
4 x 6 x 4 x 3 x 3
1
2
3
4
2. Исследовать систему уравнений относительно параметра и найти
общее решение системы:
x1 2 x2 3x3 3
x1 4 x3 2
x 2x x 0
2
3
1
13
Раздел 2. Основы аналитической геометрии.
2.1 Творческая работа (подготовка рефератов и докладов по темам).
Темы рефератов и докладов:
«Разновидности уравнений на плоскости»
«Разновидности уравнений в пространстве»
«Векторное пространство»
«Общее уравнение линий второго порядка»
Раздел 3. Математический анализ
3.1 Творческая работа (подготовка рефератов и докладов по темам).
Темы рефератов и докладов:
«Производные и дифференциалы высших порядков»
«Приближенные вычисления с помощью дифференциала»
«Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских
фигур и объемов тел. Приложение определенного интеграла»
«Интегрирование функции, содержащих квадратный трехчлен»
«Поверхность тела вращения»
«Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго
порядка с постоянными коэффициентами»
«Задачи на составление дифференциальных уравнений»
«Уравнение Бернулли»
«Составление уравнений касательной и нормали»
3.2 Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя.
Цели работы:
получить навыки раскрытия неопределённостей с помощью правила
Лопиталя;
закрепить теоретические знания и практические умения по данной
теме.
1.Краткие теоретические сведения.
Правило Лопиталя:
представляет собой метод вычисления пределов, имеющих
неопределенность
типа или .
Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно
бесконечности.
14
Если
и
, то
Если
и
2.Примеры выполнения:
;
, то аналогично
.
x 2 1 ln x
Пример1: Найти предел lim
.
x 1
ex e
Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела
0
. Функции, входящие в числитель и
0
получается неопределенность вида
знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
f(x) = 2x +
1
;
х
f ( x)
x 1 g ( x )
g(x) = ex;
Пример2: Найти предел lim
lim
2arctgx
3
x
x
2
;
f ( x)
1 x2
1
x 2 1 3 ;
x
e
e
e
2x
.
e 1
3
x
3
g ( x) e 2 ;
x
2x 2
2
2
lim
.
3
x
(0 1) 1 (3) 3
(1 x 2 )e x (3)
Если при решении примера после применения правила Лопиталя
попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило
Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен
результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь
полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы
Лопиталя.
x
xe 2
Пример3: Найти предел lim
.
x x e x
x
2
x
x
x
x
1
1
1
x
1
f ( x) e (1 x) ;
g ( x) 1 e x ; f ( x) e 2 e 2 e 2 e 2 (4 x) ;
2
2
2
4
4
x
1 2
1
e (4 x)
(4 x)
x
1 2
1
x
4
4
g ( x ) e ;
f ( x) ;
lim
lim
g ( x) e ;
x
x
x
2
4
ex
2
e
1
lim x 0;
x
2e 2
15
Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из
способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом
Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена
переменных, домножение и др.).
Пример4: Найти предел lim
x 0
f ( x) e x e x 2 ;
e x ex 2x
.
x sin x
g ( x) 1 cos x ;
e x ex 2 1 1 2 0
- опять получилась неопределенность.
x 0
1 cos x
11
0
lim
Применим правило Лопиталя еще раз.
f ( x) e x e x ;
lim
x 0
x
e e
sin x
x
g ( x) sin x ;
11 0
- применяем правило Лопиталя еще раз.
0
0
g ( x) cos x ;
f ( x) e x e x ;
lim
x 0
x
e e
2
2;
cos x
1
x
Неопределенности вида 0 0 ; 1 ; 0 можно раскрыть с помощью
логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении
пределов функций вида y f ( x)g ( x ) , f(x)>0 вблизи точки а при ха. Для
нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny =
g(x)lnf(x).
xx .
Пример5: Найти предел lim
x 0
x 0
Здесь y = x , lny = xlnx.
x
ln x правило
1/ x
lim
lim x 0;
0 1/ x 2
x 0
1
Лопиталя xx
x 0
x 0
x 0
0
x 0
x
Следовательно lim ln y ln lim y 0; lim y lim x x 1
Тогда lim
ln y lim x ln x lim
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x2
e
.
x 0
x 0
Пример6: Найти предел lim
.
x 2 x
f ( x) 2 x;
g ( x) 2e 2 x ;
lim
x
x
e
2x
; - получили неопределенность.
Применяем правило Лопиталя еще раз.
f ( x) 2;
g ( x) 4e 2 x ;
lim
x
1
1
0;
2x
2e
Примеры для самоконтроля:
16
1.
.
2.
.
3.
.
4.
5.
Обозначим
.
Прологарифмируем это равенство
. Найдем
.
Так как lny функция непрерывная, то
или
. Следовательно,
.
2.Варианты задания
2.1Вычислить предел
2.
1.
3.
5.
7.
4.
8.
6.
Ответы к заданиям для самоконтроля:
Пример 1. Вычислить предел
.
Решение.
17
Дифференцируя числитель и знаменатель, находим значение предела:
Пример 2. Вычислить предел
.
Решение.
Поскольку прямая подстановка приводит к неопределенности типа
применяем правило Лопиталя.
Пример 3. Найти предел
,
.
Решение.
Предел содержит неопределенность типа
. Пусть
. Тогда
По правилу Лопиталя получаем
Следовательно,
Пример 4. Найти предел
Решение.
.
Предел имеет неопределенность типа
. Применяем правило Лопиталя
n раз.
18
Пример 5
Вычислить предел
.
Решение.
Здесь мы имеем дело с неопределенностью типа
преобразований, получаем
. После простых
ример 6
Вычислить предел
.
Решение.
В соответствии с правилом Лопиталя дифференцируем числитель и
знаменатель данной дроби несколько раз, пока не исчезнет неопределенность.
Пример 7. Вычислить
Решение. Подстановка в заданную функцию значения x= 2 приводит к
неопределённости вида 0/0. Поэтому применим правило Лопиталя:
19
Замечание 1. Если предел отношения производных представляет собой
неопределённость вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить правило
Лопиталя, т.е. перейти к пределу отношения вторых производных, и т.д.
Пример 8. Вычислить
Решение. Находим
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел
отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость
вида ∞/∞.
Замечание 2. Применение правила Лопиталя к раскрытию
неопределённостей вида 0∙∞ или ∞ - ∞ возможно лишь после преобразования их
к виду 0/0 или ∞/∞ (0∙∞ - символическая запись произведения бесконечно малой
величины на бесконечно большую).
2.2. Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя.
а) lim
2 x 2 3x 5
2
5
x 2 x 9 x 10
2
;
3
cosx cos x
;
xtgx
x0
в) lim
б) lim
x2 9
x3 1 x 2
г) lim 2 3x
;
4x
2
3 x 2 x 1
1
x
3
.
Ответы к заданию 2.2.
Решение.
5
x x 1
2
5
1
2 x 3x 5 0
= lim
2
7.
а). lim5 2
5
0 x 5
x 2 x 9 x 10
5
2
2
2
x x 2
2
2
2
20
б).
x2 9
0
lim
lim
x 3 1 x 2
0 x 3
x 9 1 x 2
2
1 x 2
x 3 x 3 1 x 2
24
x 3
x 3
1 x 2
x 9 1 x 2
2
lim
x 3
1 x 4
lim
в).
cos x 1 cos x
cos x cos3 x 0
cos x sin 2 x Ďđč x 0
cos x x 2
lim
lim
lim
lim
1
x 0
x 0
xtgx
xtgx
x tgx
0 x 0
x sin x tg x x0 x x
2
b
lim 1 a x x e ab
4x
x 0
3 x 2 2 x 1
1
1
1
lim 2 3 x
= y x , x y ; ďđč x , y 0
1
3
3
3
x
3
4 y 1 3
4x
4x
2 3 x 1 3 y;
3 x 2 2 x 1 3 x 1 x 1 3 3 y 4 3 y
г). lim
1 3 y
y 0
lim
y 0
4 y 1 3
3 y 4 3 y
lim 1 3 y
y 0
1 3 y
1 y
4 y 1 3
1 y 3 y 4 3
4 y 1 3 4 3 1
lim
4
3
y 0 3 y 4 3
13
e.
21
3.3 Исследование функций с помощью производной
Цели работы:
получить навыки применения производной при исследовании
функций;
закрепить теоретические знания и практические умения по данной
теме.
1.Краткие теоретические сведения.
Общая схема исследования функций с помощью производной
1. Нахождение области определения функции.
2. Проверка того, является ли функция четной, нечетной,
периодической или эта функция – функция общего вида.
3. Определение точек пересечения с осями координат.
4. Нахождение критических точек
( точек, в которых производная равна нулю или не существует).
5. Определение промежутков знакопостоянства функции.
6. Определение промежутков возрастания и убывания функции
(промежутков, на которых производная положительна или отрицательна).
7. Определение экстремумов функции.
8. Исследование функции на выпуклость, вогнутость, определение
точек перегиба (исследование проводится по второй производной функции).
9. Нахождение асимптот функции.
10. Уточнение графика функции по точкам (произвести окончательное
уточнение графика, в особенности на участках, где информация о нем
недостаточна).
Данную схему можно варьировать в зависимости от конкретных
особенностей функции, переставлять отдельные этапы, некоторые из них
опускать, какие-то, наоборот, добавлять.
22
2. Варианты заданий
1. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = 3x – x3
3. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = x3 – 12x
5. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = x3 – 3x – 1
7. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = 1 + 4x - x3
2.
Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = x3 – 12x
4. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = 5x - x3
6. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = 2 + x3
8. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = x3 – x + 3
9. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = 4x3 – 6x2
11. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) =3x2 – 2x3
13. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) =4x3 - 6x2
15. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = 2x3 + 3x2 - 2
17. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = 1 – 3x2 – x3
19. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = x3 – 2x2 + 1
10. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = 3x2 – x3
12. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = x3 + 3x2
14. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = -x3 -3x2
16. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = 1 + 3x2 – 2x3
18. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = x3 - 3x2 + 3
20. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = 2 + x2 - x3
23
21. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = 4 + 3x – x2 - x3
23. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = x3 – 6x2 + 9x - 3
25. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = 8x2 - x4 - 7
27. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = x4 -2x2 – 6
29. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = x3 – 3x
22. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = x3 + x2 -2x
24. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = x3 + 6x2 + 9x + 8
26. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = x4 - -2x2 – 5
28. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = -x4 + 2x2 + 3
30. Исследуйте функцию с
помощью производной и постройте
ее график:
f(x) = x3 + 3x2
Раздел 4. Основы теории вероятностей и математической статистики
4.1 Творческая работа (подготовка рефератов и докладов по темам).
Темы рефератов и докладов:
«Метод Монте-Карло. Популярная комбинаторика»
«Работа с конспектом, подготовка сообщений, докладов, создание
презентации по теме.
«Обработки и использования статистических данных для научных и
практических выводов»
«Приложения математической статистики»
«Закон больших чисел. Теорема Чебышева»
4.2 Задание:
Изучить ниже изложенные теоретические сведения по теме случайные
величины, составить задачи(по аналогии) в рамках данной темы и оформить их
решение.
4.2.1 Случайные величины
Часто в результате испытания происходят события, заключающиеся в
том, что некоторая величина принимает одно из своих возможных значений.
В таких случаях удобно вместо множества событий рассматривать одну
переменную величину (называемую случайной величиной). Случайная величина
обозначается через X, Y, Z, … и т.д.
24
Случайной называется величина, которая в результате испытания может
принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно
одно.
Пример. В студенческой группе 25 человек. Пусть величина Х – число
студентов, находящихся в аудитории перед началом занятий. Ее возможными
значениями будут числа 0, 1, 2,…,25.
При каждом испытании (начало занятий) величина Х обязательно примет
одно из своих возможных значений, т.е. наступит одно из событий Х = 0, Х = 1,
…,
Х
=
25.
Пример. Измерение курса акции некоторого предприятия. Возможные
события заключаются в том, что стоимость акции Y примет некоторое значение в
пределах от 0 до ∞.
Пример. Однократное бросание игральной кости. Возможные события
заключаются в том, что на верхней грани выпадает Z: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Пример. Подбрасывается монета n раз. Возможные результаты: герб выпал 0,
1, 2, …, n раз.
Различают дискретные и непрерывные случайные величины.
Если множество возможных значений случайной величины конечно или
образуют бесконечную числовую последовательность, то такая случайная
величина называется дискретной (примеры 3.1, 3.3, 3.4).
Случайная величина, множество значений которой заполняет сплошь
некоторый числовой промежуток, называется непрерывной (пример 3.2).
Заметим, что дискретные и непрерывные величины не исчерпывают все типы
случайных
величин.
Если случайная величина не относится ни к дискретным, ни к непрерывным
случайным величинам, то ее называют смешанной.
Очевидно, что для полной характеристики дискретной случайной
величины мало знать ее значения. Необходимо им поставить в соответствие
вероятности.
Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной
величины и их вероятностями называется законом распределения данной
случайной величины.
Простейшая формой задания закона распределения дискретной
случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные
значения случайной величины (обычно в порядке возрастания) и
соответствующие им вероятности:
Х
х1
х2
…
хn
…
Р
р1
р2
…
рn
…
Такая таблица называется рядом распределения. Допустим, что число
возможных значений случайной величины конечно: х1, х2, …, хn. При одном
испытании случайная величина принимает одно и только одно постоянное
значение. Поэтому события Х = хi (i = 1, 2, … , n) образуют полную группу
попарно независимых событий. Следовательно, р1 + р2 + … + рn = 1.
25
Можно закон распределения изобразить и графически, откладывая на оси
абсцисс возможные значения случайной величины, а на оси ординат –
соответствующие вероятности. Для большей выразительности полученные точки
соединяются прямолинейными отрезками. Получающая при этом фигура
называется многоугольником (полигоном) распределения.
4.2.2. Функция распределения вероятностей
Непрерывную случайную величину нельзя охарактеризовать перечнем
всех возможных ее значений и их вероятностей. Естественно, встает вопрос о
том, нельзя ли охарактеризовать случайную величину иным способом,
одинаково годным как для дискретных, так и для непрерывных случайных
величин.
Функцией распределения случайной величины Х называют функцию F(x),
определяющую для каждого значения х, вероятность того, что случайная
величина Х примет значение меньше х, т.е.F(x) = P (X <x).
Иногда функцию F(x) называют интегральной функцией распределения.
Функция
распределения
обладает
следующими
свойствами:
1. Значение функции распределения принадлежит отрезку [0,1]: 0 ≤ F(x) ≤ 1.
2.Функции
распределения
есть
неубывающая
функция.
3. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное
в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом
интервале:
Р(а < X < b) = F(b) – F(а).
(2.1)
4. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат
интервалу (а, b), то F(x) = 0 при х ≤ а ;F(x) = 1 при х ≥ b.
5.
Справедливы следующие предельные отношения:
.
Для дискретной случайной величины Х, которая может принимать значения
х1 ,
х2 ,
…,хn,
функция
распределения
имеет
вид
где неравенство под знаком суммы означает, что
суммирование касается всех тех значений хi, величина которых меньше х.
Поясним эту формулу исходя из определения функции F(x). Предположим,
что аргумент х принял какое-то определенное, но такое, что выполняется
неравенство xi<x≤xi+1. Тогда левее числа х на числовой оси окажутся только те
значения случайной величины, которые имеют индекс 1, 2, 3, …, i. Поэтому
неравенство Х<x выполняется, если величина Х примет значения хк, где k = 1, 2,
…, i. Таким образом, событие Х<x наступит, если наступит любое, неважно
какое, из событий Х = х1, Х=х2, Х=х3, …, Х=хi. Так как эти события несовместны,
то
по
теореме
сложения
вероятностей
имеем
.
(2.2)
Предположим теперь, что для непрерывной случайной величины Х ее
функция распределения F(x) имеет непрерывную производную F'(x)=φ(x).
26
Функцию φ(x) называют плотностью вероятности (для данного
распределения) или дифференциальной функцией.
Так как плотность вероятности φ(x) является производной неубывающей
функции F(x), то она неотрицательна: φ(x)≥0. В отличие от функции
распределения, плотность вероятности может принимать сколь угодно большие
значения.
Так как F(x) является первообразной для φ(x), то на основании формулы
Ньютона-Лейбница имеем
. Отсюда в силу (3.1) получаем
P(a ≤ X ≤ b) =
.
(2.3)
Полагая а=–∞ и b=+∞, получаем достоверное событие Х принадлежащее
(–∞, +∞), вероятность которого равна единице. Следовательно,
.
В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат
интервалу (а, b), то
. Полагая в формуле а = –∞, b = х и обозначая для
ясности переменную интегрирования t, получим функцию распределения
F(x) = P(– ∞ < X < x) =
.
Задача 1. Найти интегральную функцию распределения случайной
величины Х, заданной рядом распределения:
Х
1
2
3
Р
0,3
0,2
0,5
и построить ее график.
Решение. Пусть х ≤ 1, тогда F(x) = 0, так как событие Х < х будет
невозможным. Если 1 < х ≤ 2, то на основании равенства (3.2) имеем F(x) = p1 =
0,3. Если 2 < х ≤ 3, то F(x) = p1 + p2 = 0,5.
Если х > 3, то F(x) = p1 + p2 + p3 = 1. Окончательно получаем
График функции F(х) изображен на рис. 1.
27
Рис.1
Задача 2.2. Функция распределения случайной величины Х задана
выражением
Найти коэффициент α; вероятность попадания значения случайной величины Х
в результате опыта в интервал (π/4; 3π/4); построить график функции.
Решение . При х=3 π/4 функция F(x ) равна 1, т.е. α∙ sin (3π/4–π/4)+1/2=1, или
α∙si n(π/2) + 1/2 = 1. Откуда α = 1/2.Подставляя а = π/4 и b = 3π/4 в равенство
(3.1),
получаем
π (π/4 <X<3π/4) = F(3π/4) - F(π/4) = 1/2 × sin(π/2)+1/2–1/2 × sin 0 – 1/2 = 1/2.
График функции у =1/2∙sin(х-π/4 )+1/2 отличается от графика функции у =
sinх тем, что он «сжат» по оси Оу в два раза, сдвинут вправо на π/4, поднят вверх
на 1/2. Воспользовавшись этим замечанием, отразим график F(x) (рис. 2).
Рис.
1
Задача 2 Средняя продолжительность срока реализации товара (в часах)
имеет
следующую
плотность
распределения:
φ(х)=
Вычислить а) вероятность того, что товар будет реализован позднее 150
часов;
б) вероятность того, что товар будет реализован позднее 200 часов и в то же
время не позднее 300 часов.
Решение. а) Обозначим срок реализации товара через Х. Мы знаем, что
Р(Х > 150) = 1 – Р(Х < 150) и что Р(Х < 150) = F (150). В то же время
. Следовательно, Р(Х > 150) = 1 –
б)
.
.
28
4.2.3. Числовые характеристики случайной величины
Функция распределения содержит полную информацию о случайной
величине. На практике функцию распределения не всегда можно установить;
иногда такого исчерпывающего знания и не требуется. Частичную информацию
о случайной величине дают числовые характеристики, которые в зависимости от
рода
информации
делятся
на
следующие
группы.
1. Характеристики положения случайной величины на числовой оси (мода
Мo,
медиана
Мe,
математическое
ожидание
М(Х)).
2. Характеристики разброса случайной величины около среднего значения
(дисперсия
D(X),
среднее
квадратическое
отклонение
σ(х)).
3. Характеристики формы кривой y = φ(x) (асимметрия As, эксцесс Ех).
Рассмотрим
подробнее
каждую
из
указанных
характеристик.
Математическое ожидание случайной величины Х указывает некоторое
среднее значение, около которого группируются все возможные значения Х. Для
дискретной случайной величины, которая может принимать лишь конечное
число возможных значений, математическим ожиданием называют сумму
произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность
этих
значений:
.
(2.4)
Для непрерывной случайной величины Х, имеющей заданную плотность
распределения φ(x) математическим ожиданием называется следующий
интеграл:
.
(2.5)
Здесь предполагается, что несобственный интеграл
сходится
абсолютно,
т.е.
существует.
Свойства
математического
ожидания:
1. М(С) = C, где С = const;
2. M(C∙Х) = С∙М(Х);
3. М(Х ± Y) = М(Х) ± М(Y), где X и Y – любые случайные величины;
4. М(Х∙Y)=М(Х)∙М(Y), где X и Y – независимые случайные величины.
Две случайные величины называются независимыми, если закон
распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения
приняла другая величина.
Модой дискретной случайной величины, обозначаемой Мо, называется ее
наиболее вероятное значение (рис. 3), а модой непрерывной случайной величины
– значение, при котором плотность вероятности максимальна (рис. 4).
29
Рис. 3
Рис. 4
Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее
значение Ме, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина
меньше или больше Ме, т.е.Р(Х < Ме) = Р(X > Ме)
Из определения медианы следует, что Р(Х<Ме) = 0,5, т.е. F (Ме) = 0,5.
Геометрически медиану можно истолковывать как абсциссу, в которой ордината
φ(x) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения (рис. 5). В
случае симметричного распределения медиана совпадает с модой и
математическим ожиданием (рис. 6).
Рис. 5
Рис. 6
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание
квадрата
ее
отклонения
от
математического
ожидания
2
D(X) = M(X –М(Х)) .Дисперсию случайной величины Х удобно вычислять по
формуле:
а)
для
дискретной
величины
;
(2.6)
б) для непрерывной случайной величины
j(х)dx
–
[M(X)]2
.
(2.7)
Дисперсия обладает следующими свойствами:
1. D(C) = 0, где С = const;
2. D(C×X) = C2∙D(X);
3. D(X±Y) = D(X) + D(Y), если X и Y независимые случайные величины.
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется
арифметический
корень
из
дисперсии,
т.е.
σ(X)
=
.
Заметим, что размерность σ(х) совпадает с размерностью самой случайной
величины Х, поэтому среднее квадратическое отклонение более удобно для
30
характеристики
рассеяния.
Обобщением основных числовых характеристик случайных величин является
понятие моментов случайной величины.
Начальным моментом k-го порядка αk случайной величины Х
называется математическое ожидание величины Хk, т.е. αk = М(Хk).
Начальный момент первого порядка – это математическое ожидание
случайной
величины.
Центральным моментом k-го порядка μk случайной величины Х называется
математическое ожидание величины (Х–М(Х))k, т.е. μk = М(Х–М(Х))k.
Центральный момент второго порядка – это дисперсия случайной величины.
Для дискретной случайной величины начальный момент выражается суммой
αk =
, а центральный – суммой μk =
где рi = p(X = xi). Для
начального и центрального моментов непрерывной случайной величины можно
получить следующие равенства:αk =
, μk =
,
где φ(x) – плотность распределения случайной величины Х.
Величина As = μ3 / σ3 называется коэффициентом асимметрии.
Если коэффициент асимметрии отрицательный, то это говорит о большом
влиянии на величину m3 отрицательных отклонений. В этом случае кривая
распределения (рис.2.7) более полога слева от М(Х). Если коэффициент As
положительный, а значит, преобладает влияние положительных отклонений, то
кривая распределения (рис.2.7) более полога справа. Практически определяют
знак асимметрии по расположению кривой распределения относительно моды
(точки максимума дифференциальной функции).
Рис. 7
Эксцессом Еk называется величина Еk = μ4 / σ4 – 3.
Можно показать, что для наиболее распространенного в природе нормального
закона распределения, который будет рассматриваться в следующем параграфе,
отношение μ4 / σ4 = 3. Поэтому эксцесс служит для сравнения данного
распределения с нормальным, у которого эксцесс равен нулю. Можно было бы
доказать, что распределения более островершинные, чем нормальное, имеют
эксцесс Еk > 0, а более плосковершинные – имеют эксцесс Еk < 0 (рис.8).
31
Рис. 8
Задача. Дискретная случайная величина Х, имеющая смысл числа курьеров,
задействованных для доставки корреспонденции в коммерческой организации,
задана законом распределения:
Х
0
1
2
3
Р
0,4
0,1
0,3
0,2
Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое
отклонение.
Решение. Так как случайная величина является дискретной, то для
вычисления
М(Х)
воспользуемся
формулой
(3.4).
Имеем
М( х) = х1 × р1 + х2 × р2 + х3 × р3 + х4 × р4 = 0 × 0,4 + 1 ×0,1 + 2 × 0,3 + 3 × 0,2 =
1,3.
Найдем дисперсию D(x). Предварительно найдем математическое ожидание от
х2 :
М(х2) = х12 × р1 + х22 × р2+ х32 × р3+ х42 × р4 = 02 × 0,4 + 12 × 0,1 + 22 × 0,3 +
32 × 0,2 = 3,1. Далее по формуле (3.6) получаем D(X) = 3,1 – 1,32 = 3,1 – 1,69 =
1,41.
Найдем среднее квадратическое отклонение. Имеем σ(х) =
.
Таким образом, среднее число курьеров равно 1,3 со средним разбросом 1,22.
Задача. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения
Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение . По определению дифференциальной функции φ(х) = F ¢ ( x ).
Отсюда
В точках х = 0 и х = π функция φ(х) не дифференцируема. По формуле (3.5)
получаем
32
Находим сначала М(Х2). Имеем
Далее по формуле (3.7) получаем
.
Задача. Случайная величина задана функцией
Найти коэффициент асимметрии и эксцесс.
Решение. Предварительно вычислим начальные моменты до четвертого
порядка.
Имеем:
Теперь, воспользовавшись следующими формулами (они легко получаются из
определения и свойств математического ожидания и дисперсии), найдем
центральные
моменты:
33
Отсюда
Далее имеем
следует,
что
.
.
4.2.4. Теоретические распределения
4.2.4.1. Биномиальное распределение
Пусть в каждом из n независимых испытаний событие А может
произойти с одной и той же вероятностью р (следовательно, вероятность
непоявления q =1 – p). Дискретная случайная величина Х – число наступлений
события А – имеет распределение, которое называется биномиальным.
Очевидно, событие А в n испытаниях может либо не появиться, либо
появиться 1 раз, либо 2 раза, …, либо n раз. Таким образом, возможные значения
Х таковы: х1 = 0, х2 = 1, х3 = 2,…, хn+1 = n. Вероятность возможного значения Х = k
(числа k появления события) вычисляют по формуле Бернулли: Pn(k) = Cnk·pk·qn–
k
, где k = 0, 1, 2, …, n.Ряд распределения случайной величины Х, подчиненной
биномиальному закону, можно представить в виде следующей таблицы:
Х
…
…
0
1
k
n
Р
Cn0· p0·qn
Cn1 ·p1·qn–1
…
…
Cnk·pk·qn–k
Cnn·pn·q
0
Название закона связано с тем, что вероятности Pn(k) при k = 0, 1, 2, …, n
являются
членами
разложения
бинома
Ньютона
n
n
1 1 n–1
k k n–k
n
(p + q) = q + Cn ·p ·q + … + Cn ·p ·q + … +p .
Отсюда сразу видно, что сумма всех вероятностей второй строки таблицы
равна 1, так как p +q =1.
Задача. В цехе работают четыре станка. Вероятность остановки в течение
часа каждого из них равна 0,8. 1) Найти закон распределения случайной
величины Х – числа станков, остановившихся в течение часа. 2) Найти
вероятность остановки в течение часа: а) более двух станков; б) от одного до
трех
станков.
Решение. 1) Возможные значения Х следующие: 0, 1, 2, 3, 4. Вероятность
этих значений можно найти по формуле Бернулли, потому что Х имеет
биномиальное распределение (станки останавливаются независимо друг от друга
с
постоянной
вероятностью
р=0,8).
Получаем
р4(0)=q4=0,0016,
р4(1)=C41p1q3=0,0256, р4(2)= C42 p2q2 = 0,154, р4(3)=C43 · p3· q1=0,41, р4(4)= p 4 =
0,41.
Ряд
распределения
имеет
вид
Х
Р
0
1
2
3
4
0,0016
0,0256
0,154
0,41
0,41
2)
а)
Р(X>2)=
P(X
=3)+P(X=4)=0,41+0,41=0,82.
б) P1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+ P(X=3)=0,0256+0,154+0,41=0,59.
34
4.2.4.2. Распределение Пуассона
Это распределение представляет собой предельный случай
биномиального, когда вероятность р очень мала, а число испытаний n велико.
Таким образом, им можно пользоваться при описании частот распределения
редких событий, таких, например, как случай обширных наводнений на
протяжении долгого периода времени наблюдений.
Дискретная случайная величина Х, которая может принимать только
целые неотрицательные значения с вероятностями
, (8)где k – число
появления событий в n независимых испытаниях, λ = n· p (среднее число
появлений события в n испытаниях), называется распределенной по закону
Пуассона с параметром λ.
В отличие от биномиального распределения здесь случайная величина
может принимать бесконечное множество значений, представляющее собой
бесконечную последовательность целых чисел 0, 1, 2, 3, … .
Закон Пуассона описывает число событий k, происходящих за одинаковые
промежутки времени. При этом полагается, что события появляются независимо
друг от друга с постоянной средней интенсивностью, которая характеризуется
параметром λ = n·p . Так как для распределения Пуассона вероятность р
появления события в каждом испытании мала, то это распределение называют
законом распределения редких явлений.
По распределению Пуассона распределено, например число посетителей
магазина или банка за определенный промежуток времени, при этом λ – среднее
число посетителей за это время.
Предположим, что в среднем в магазин приходит 2,1 покупатель в
минуту. Тогда, используя (3.8), получаем, например, вероятности того, что
магазин
посетят
за
минуту
1,
4
и
10
посетителей:
,
,
.
Основанием считать статистическое распределение пуассоновским является
близость значений статистических характеристик
и S2 (которые являются
статистическими приближениями математического ожидания и дисперсии), так
как для теоретического распределения Пуассона имеет место: М(Х) = D( X) = λ.
4.2.4.3. Равномерное распределение
на
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение
отрезке [a, b], если ее плотность имеет следующий вид:
35
График
плотности
распределения
показан
на
рис.
2.9.
φ(х)
Рис.
9
Найдем значение постоянной С. Так как площадь, ограниченная кривой
распределения
и
осью
Ох,
равна
1,
то
,
откуда
С
=
Пусть [ α, β ] Ì [a, b]. Тогда
1/(b
–
a).
,
т.е.
,
(2.9)
где L – длина (линейная мера) всего отрезка [a, b] и – длина частичного
отрезка
[
α,
β].
Значения случайной величины Х, т.е. точки х отрезка [a,b], можно
рассматривать как всевозможные элементарные исходы некоторого испытания.
Пусть событие А состоит в том, что результат испытания принадлежит отрезку [
α, β] Ì [a, b]. Тогда точки отрезка [ α, β] есть благоприятные элементарные
исходы
события
А.
Согласно формуле (2.9) имеем геометрическое определение вероятности:
под вероятностью события А понимается отношение меры
множества
элементарных исходов, благоприятствующих событию А, к мере L множества
всех возможных элементарных исходов в предположении, что они
равновозможны:
.
Это определение естественно переносит классическое определение
вероятности на случай бесконечного числа элементарных исходов (случаев).
Аналогичное определение можно ввести также тогда, когда элементарные
исходы испытания представляют собой точки плоскости или пространства.
Задача. В течение часа 0 ≤ t ≤ 1 (t – время в часах) на остановку прибывает
один и только один автобус. Какова вероятность того, что пассажиру,
пришедшему на эту остановку в момент времени t = 0, придется ожидать автобус
не
более
10
минут?
Решение . Здесь множество всех элементарных исходов образует отрезок
[0,1], временная длина которого L =1, а множество благоприятных элементарных
исходов
составляет
отрезок
[0,1/6]
временной
длины
=1/6.
Поэтому
искомая
вероятность
есть
36
.
Задача. В квадрат К со стороной а с вписанным в него кругом S (рис. 3.10)
случайно бросается материальная точка М. Какова вероятность того, что эта
точка
попадает
в
круг
S?
Решение . Здесь площадь квадрата К = а2, а площадь круга
.
За
искомую
вероятность
естественно
принять
отношение
.
Эта вероятность, а следовательно, и число π, очевидно, могут быть
определены экспериментально.
4.2.4.4. Показательное распределение
задается
Непрерывная случайная величина Х, функция плотности которой
выражением
называется случайной величиной, имеющей показательное, или
экспоненциальное, распределение. Здесь параметр λ постоянная положительная
величина.
Величина срока службы различных устройств и времени безотказной работы
отдельных элементов этих устройств при выполнении определенных условий
обычно подчиняется
показательному распределению.
Также
этому
распределению подчиняется время ожидания клиента в системе массового
обслуживания (магазин, мастерская, банк, парикмахерская и т.д.). Другими
словами, величина промежутка времени между появлениями двух
последовательных редких событий подчиняется зачастую показательному
распределению.
График
дифференциальной
функции
показательного
распределения показан на рис. 11.
Рис. 11
4.2.4.5. Нормальное распределение
Случайная величина Х имеет нормальное распределение (или
распределение по закону Гаусса), если ее плотность вероятности имеет вид:
37
,
где параметры а – любое действительное число и σ >0.
График дифференциальной функции нормального распределения называют
нормальной кривой (кривой Гаусса). Нормальная кривая (рис. 12) симметрична
относительно прямой х =а, имеет максимальную ординату
х = а ± σ – перегиб.
, а в точках
Рис. 12
Доказано, что параметр а является математическим ожиданием (также модой
и медианой), а σ – средним квадратическим отклонением. Коэффициенты
асимметрии и эксцесса для нормального распределения равны нулю: As = Ex = 0.
Установим теперь, как влияет изменение параметров а и σ на вид нормальной
кривой. При изменении параметра а форма нормальной кривой не изменяется. В
этом случае, если математическое ожидание (параметр а) уменьшилось или
увеличилось, график нормальной кривой сдвигается влево или вправо (рис. 13).
При изменении параметра σ изменяется форма нормальной кривой. Если этот
параметр увеличивается, то максимальное значение
функции убывает, и
наоборот. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох,
должна быть постоянной и равной 1, то с увеличением параметра σ кривая
приближается к оси Ох и растягивается вдоль нее, а с уменьшением σ кривая
стягивается к прямой х = а (рис. 14).
Рис.
13
Рис.
14
38
Функция плотности нормального распределения φ(х) с параметрами а = 0, σ =
1 называется плотностью стандартной нормальной случайной величины, а
ее график – стандартной кривой Гаусса.
Функция плотности нормальной стандартной величины определяется
формулой
, а ее график изображен на рис. 2.15.
Из свойств математического ожидания и дисперсии следует, что для
величины
, D(U)=1, M(U) = 0. Поэтому стандартную нор мальную
кривую можно рассматривать как кривую распределения случайной величины
, где Х – случайная величина, подчиненная нормальному закону
распределения
с
параметрами
а
и
σ.
Нормальный закон распределения случайной величины в интегральной форме
имеет
вид
(2.10)
Полагая
в
интеграле
(3.10)
,
получим
,
где
трапеции,
. Первое слагаемое равно 1/2 (половине площади криволинейной
изображенной
на
рис.
15).
Второе
слагаемое
(2.11)
называется функцией Лапласа, а также интегралом вероятности.
Поскольку интеграл в формуле (2.11) не выражается через элементарные
функции, для удобства расчетов составлена для z ≥ 0 таблица функции Лапласа.
Чтобы вычислить функцию Лапласа для отрицательных значений z, необходимо
воспользоваться нечетностью функции Лапласа: Ф(–z) = – Ф(z). Окончательно
получаем расчетную формулу
Отсюда получаем, что для случайной величины Х, подчиняющейся
нормальному закону, вероятность ее попадания на отрезок [ α, β] есть
(2.12)
С помощью формулы (2.12) найдем вероятность того, что модуль отклонения
нормального распределения величины Х от ее центра распределения а меньше
3σ.
Имеем
39
Р(|x – a| < 3 s) =P(а–3 s< X< а+3 s)= Ф(3) – Ф(–3) = 2Ф(3) »0,9973.
Значение
Ф(3)
получено
по
таблице
функции
Лапласа.
Принято считать событие практически достоверным, если его вероятность
близка к единице, и практически невозможным, если его вероятность близка к
нулю.
Мы получили так называемое правило трех сигм: для нормального
распределения
событие
(|x–a|
<
3σ)
практически
достоверно.
Правило трех сигм можно сформулировать иначе: хотя нормальная случайная
величина распределена на всей оси х, интервал ее практически возможных
значений есть (a–3σ, a+3σ).
Нормальное распределение имеет ряд свойств, делающих его одним из
самых употребительных в статистике распределений.
Если предоставляется возможность рассматривать некоторую случайную
величину как сумму достаточно большого числа других случайных величин, то
данная случайная величина обычно подчиняется нормальному закону
распределения. Суммируемые случайные величины могут подчиняться каким
угодно распределениям, но при этом должно выполняться условие их
независимости (или слабой независимости). Также ни одна из суммируемых
случайных величин не должна резко отличаться от других, т.е. каждая из них
должна играть в общей сумме примерно одинаковую роль и не иметь
исключительно большую по сравнению с другими величинами дисперсию.
Этим и объясняется широкая распространенность нормального
распределения. Оно возникает во всех явлениях, процессах, где рассеяния
случайной изучаемой величины вызывается большим количеством случайных
причин, влияние каждой из которых в отдельности на рассеяние ничтожно мало.
Большинство встречающихся на практике случайных величин (таких,
например, как количества продаж некоторого товара, ошибка измерения;
отклонение снарядов от цели по дальности или по направлению; отклонение
действительных размеров деталей, обработанных на станке, от номинальных
размеров и т.д.) может быть представлено как сумма большого числа
независимых случайных величин, оказывающих равномерно малое влияние на
рассеяние суммы. Такие случайные величины принято считать нормально
распределенными. Гипотеза о нормальности подобных величин находит свое
теоретическое обоснование в центральной предельной теореме и получила
многочисленные практические подтверждения.
Представим себе, что некоторый товар реализуется в нескольких
торговых точках. Из–за случайного влияния различных факторов количества
продаж товара в каждой точке будут несколько различаться, но среднее всех
значений будет приближаться к истинному среднему числу продаж.
Отклонения числа продаж в каждой торговой точке от среднего образуют
симметричную кривую распределения, близкую к кривой нормального
распределения. Любое систематическое влияние какого-либо фактора проявится
в
асимметрии
распределения.
Задача . Случайная величина распределена нормально с параметрами а = 8, σ
40
= 3.Найти вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет
значение,
заключенной
в
интервале
(12,5;
14).
Решение.
Воспользуемся
формулой
(2.12).
Имеем
Задача . Число проданного за неделю товара определенного вида Х можно
считать распределенной нормально. Математическое ожидание числа продаж
тыс. шт. Среднее квадратическое отклонение этой случайной
величины σ = 0,8 тыс. шт. Найти вероятность того, что за неделю будет продано
от 15 до 17 тыс. шт. товара.
Решение. Случайная величина Х распределена нормально с параметрами
а = М(Х) = 15,7; σ = 0,8. Требуется вычислить вероятность неравенства 15 ≤ X ≤
17.
По
формуле
(2.12)
получаем
41
Требования к написанию творческой работы
Внеаудиторная самостоятельная работа по математике – спланированное,
организованное и контролируемое мероприятие, выполняемое по тщательно
разработанным заданиям преподавателя. Разрабатывая задания, была учтена
профильная направленность изучения дисциплины, предельный объем заданий,
оптимальные затраты времени на их выполнение, типичные ошибки при
выполнении различных видов работ, причины их возникновения и способы
устранения, вариативность заданий, уровень обученности студентов,
особенности и способности обучающихся.
1. Студенческая творческая работа — самостоятельное творческое
исследование по избранной теме должно начинаться с обоснования выбранной
темы и личного отношения к ней (чем тема привлекает, в чем ее актуальность).
2. Содержание работы должно сочетать как теоретический, так и
практический материал (важен подбор наглядного материала).
3. Работа должна быть аккуратно оформлена (напечатана на
компьютере и размещена в папке).
4. Титульный лист должен быть составлен по образцу (он первый, но
не нумеруется), приложение 1, 2.
5. Все следующие страницы надо пронумеровать. Цифры ставят в
середине верхнего поля страницы.
6. На второй странице должно быть напечатано содержание работы
(план, для доклада можно простой: введение, основная часть, заключение,
список литературы, примерный план для реферата: введение, глава 1, глава 2,…,
заключение, список литературы).
7. В конце работы следует включить отдельную страницу со списком
использованной литературы, составленным алфавитной порядке: Ф.И.О. автора,
название книги (статьи), и место и название издательства, год издания. При
использовании Интернета следует указать название сайта.
8. Если в тексте работы встречаются цитаты, то внизу страницы
следует в сносках указать Ф.И.О. автора, название книги, место, года издания,
страницу, на которой встречается цитата.
9. Ко всем иллюстрациям следует дать пояснения.
10. Общий объем творческой работы—5-10 страниц, формат—А4,
интервал—одинарный или полуторный, шрифт—12 или 14.
42
Требования к выполнению заданий по образцу
Для более эффективной работы с данным пособием, необходимо очень
внимательно изучить все возможные инструкции и предложенные теоретические
сведения, затем внимательно разобрать примеры выполнения и прочитать
критерии оценки. Затем четко по инструкции выполнить вариант задания,
выданного преподавателем. Успешно защитить работу у преподавателя и
получить заслуженную оценку.
Студенту, выполняющему задание по образцу необходимо:
1. Изучить краткие теоретические сведения
2. Прочитать соответствующий теме задания источник литературы,
указанный в перечне
3. Изучить примеры выполнения
4. Оформить выполненное задание в тетради для самостоятельных
работ студента. Запись должна содержать: номер и название раздела, условие
задания, решение с промежуточными выкладками, полный ответ, проверку, если
необходимо.
5. Сдать работу преподавателю не позднее одной недели после
получения задания.
43
Контроль результатов самостоятельной работы студентов
Обязанность контроля своевременности и качества выполнения
аудиторной и, особенно, внеаудиторной СРС — это соотношение достигнутых
студентами результатов в ходе самостоятельной работы с запланированными
целями обучения. Его основная цель состоит в выявлении достижений, успехов
студентов, в определении путей их совершенствования, углубления знаний,
умений, с тем, чтобы создавались условия для последующего включения
студентов в активную самостоятельную творческую деятельность.
Эта цель, в первую очередь, связана с определением качества усвоения
студентами учебного материала в рамках требований ФГОС СПО. Во-вторых,
конкретизация основной цели контроля СРС связана с обучением студентов
приемам взаимоконтроля и самоконтроля, формированием потребности в
самоконтроле. В-третьих, эта цель предполагает воспитание у студентов таких
качеств личности, как ответственность за выполнение самостоятельной работы,
проявление инициативы.
В качестве форм и методов контроля используются:
зачеты,
контрольные работы,
взаимопроверки учебно-творческими бригадами,
защита творческих работ.
44
Критерии оценки результатов самостоятельной внеаудиторной
работы студента
Содержание и направленность заданий для самостоятельной работы
должны определяться на основе дифференцированного подхода к способностям
и возможностям студентов.
Условно студентов каждой учебной группы можно разделить на четыре
подгруппы:
первая подгруппа: студенты, обладающие глубокими знаниями,
развитыми способностями, готовностью к самостоятельной работе, высоким
темпом учебной деятельности. Их интересует действенный интерес к предмету,
и, тем не менее, при выполнении самостоятельных работ они испытывают
трудности из-за слабых навыков самопроверки, невнимательности при
вычислениях.
вторая подгруппа: студенты, отличающиеся старательностью и
способностью. Они хорошо знают изучаемый программный материал, легко
справляются с однотипными заданиями, проявляют интерес к предмету, но в
отличие от первой группы, эти студенты не обнаруживают творческого подхода
при выполнении заданий. Они встречают затруднения из-за недостаточно
сформированных обще-учебных навыков, а также из-за неумения
контролировать и проверять себя.
третья подгруппа: студенты неглубоко знают теоретический материал,
интерес к предмету у них не выражен. Затруднений при выполнении самостоятельной
работы гораздо больше. Они слабо владеют общеучебными умениями и навыками, не
умеют применять знания, полученные при изучении других дисциплин.
четвертая подгруппа: студенты плохо знают теоретический материал, у
них отсутствуют навыки самостоятельной работы, поэтому с заданиями на
начальном этапе они не справляются, так как не всегда понимают их суть.
Общие критерии оценки результатов самостоятельной работы студентов:
уровень освоения студентом учебного материала;
умения студента использовать теоретические знания при
выполнении практических задач;
сформированность общеучебных умений;
обоснованность и четкость изложения ответа;
оформление материала в соответствии с требованиями.
Критерии оценки написания творческой работы:
1. содержательность реферата (доклада), соответствие плану;
2. отражение
основных
положений,
результатов
работы
автора, выводов;
3. ясность, лаконичность изложения мыслей студента;
4. наличие
схем,
графическое
выделение
особо
значимой
информации;
45
5. соответствие оформления требованиям;
6. грамотность изложения;
7. реферат (доклад) сдан в срок.
Оценка «Зачтено» ставится при условии выполнения всех семи пунктов
критерия оценки написания творческой работы.
Оценка «Условно зачтено» ставится при условии выполнения 1 - 5
пунктов критерия оценки написания творческой работы.
Оценка «Не зачтено» ставится при условии не выполнения всех семи
пунктов критерия оценки написания творческой работы.
Критерии оценки выполнения заданий по образцу:
1. соответствие работы выданному заданию;
2. полное аккуратное и правильное оформление работы, в соответствии
с требованиями;
3. наличие всех промежуточных выкладок;
4. наличие
схем,
графическое
выделение
особо
значимой
информации (если необходимо);
5. наличие правильного ответа и проверки правильности выполнения;
6. грамотность изложения;
7. своевременная сдача работы.
Оценка «Зачтено» ставится при условии выполнения всех семи пунктов
критерия оценки написания творческой работы.
Оценка «Условно зачтено» ставится при условии выполнения 1 - 5
пунктов критерия оценки написания творческой работы.
Оценка «Не зачтено» ставится при условии не выполнения всех семи
пунктов критерия оценки написания творческой работы.
46
Учебно-методическое и информационное обеспечение
Основная литература:
1. Гончаренко, В.М. Элементы высшей математики : учебник / Гончаренко
В.М., Липагина Л.В., Рылов А.А. — Москва : КноРус, 2019. — 363 с. —
(СПО). — ISBN 978-5-406-06878-6. — URL: https://book.ru/book/931506
2. Горюшкин, А. П. Математика [Электронный ресурс] : учебное пособие / А.
П. Горюшкин ; под ред. М. И. Водинчара. — Электрон. текстовые данные.
— Саратов : Ай Пи Эр Медиа, 2019. — 824 c. — 978-5-4486-0735-6. —
Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/83654.html
3. Макаров, С.И. Математика для экономистов : учебное пособие / Макаров
С.И. — Москва : КноРус, 2015. — 264 с. — ISBN 978-5-406-04283-0. —
URL: https://book.ru/book/918784
Дополнительная литература:
1. Башмаков, М. И. Математика [Текст] : учеб. для нач. и сред. проф.
образования / М. И. Башмаков. - 9-е изд., стер. - Москва : Академия, 2014. - 256
с.
2. Григорьев, С. С. Математика [Текст] : учеб. для сред. проф. образования /
С. Г. Григорьев, С. В. Иволгина ; под ред. В. А. Гусева. - 7-е изд., стер. - М. :
Академия, 2012. - 416 с.
3. Григорьев, В. П. Сборник задач по высшей математике [Текст] : учеб.
пособие для сред. проф. образования / В. П. Григорьев, Т. Н. Сабурова. - 2-е изд.,
стер. - М. : Академия, 2011. - 160 с.
4. Лисичкин, В. Т. Математика в задачах с решениями [Текст] : учеб.
пособие / В. Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – 3-е изд., стер. – СПб. : Лань, 2011.
– 464 с.
5. Спирина, М. С. Теория вероятностей и математическая статистика
[Текст] : учеб. для сред. проф. образования / М. С. Спирина, П. А. Спирин. – 5-е
изд., стер. – М. : Академия , 2013. - 352 с.
47
Приложение1 Образец титульного листа
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Волгодонский инженерно-технический институт -
филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования
«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
(ВИТИ НИЯУ МИФИ)
Доклад
Тема:______________________________________________
_____________________________________________________
Выполни л (а): Ф. И. О. студента,
Курс____, группа__________,
Специальность________________
Руководитель: Ф.И.О. преподавателя
Волгодонск
20__
48
