МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. В.Г. БЕЛИНСКОГО
Факультет педагогики, психологии
Кафедра «Теория и методика
и социальных наук
дошкольного и начального
образования»
Направление подготовки
44.03.01 Педагогическое образование
Профиль подготовки
«Начальное образование»
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
на тему
МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ АЛГОРИТМА УМНОЖЕНИЯ
МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ В 4 КЛАССЕ
Студент
_______________
Зайцева Ирина
Руководитель
_______________
Тихонова Н.Б.
Нормоконтролер _______________
Осипова Н.Н.
Работа допущена к защите (протокол заседания кафедры от ______ № ___)
Заведующий кафедрой ____________
Мали Л.Д.
Работа защищена с отметкой ______(протокол заседания ГАК от ____№ _)
Секретарь ГЭК _____________
Кулагина Т. В.
Пенза 2019
Содержание
Введение……………………………………………………………………3
Глава 1. Теоретические основы изучения алгоритма умножения многозначных чисел……………………………………………………………………..5
1.1. Актуальность использования алгоритмического подхода в процессе
изучения математики в начальной школе……………………………………….5
1.2. Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в процессе
обучения математике……………………………………………………………..8
1.3. Анализ учебников математики различных УМК по обучению
умножению
многозначных
чисел
младших
школьни-
ков………………………..12
ГЛАВА 2. Методические основы изучения алгоритма умножения многозначных чисел в 4 классе……………………………………………………..19
2.1 Методика обучения умножения многозначных чисел……………..19
2.2 Методические приемы, направленные на обучение умножению
многозначных чисел……………………………………………………………..23
2.3. Виды заданий, направленные на изучение алгоритма умножения
многозначных чисел……………………………………………………………..28
Глава 3. Исследование изученности алгоритма умножения многозначных чисел учащимися 4 класса…………………………………………………36
3.1. Констатирующий этап эксперимента……………………………….36
3.2. Обучающий этап эксперимента……………………………………..39
3.3. Контрольный этап эксперимента……………………………………46
Заключение………………………………………………………………..50
Список литературы……………………………………………………….51
2
ВВЕДЕНИЕ
Федеральным государственным общеобразовательным стандартом
начального общего образования (ФГОС НОО), основанном на Законе «Об
образовании в Российской Федерации» [1], предусмотрены следующие требования к предметным результатам освоения математики в начальной школе:
1) использование начальных математических знаний для описания и
объяснения окружающих предметов, процессов, явлений, а также оценки их
количественных и пространственных отношений;
2) овладение основами логического и алгоритмического мышления,
пространственного воображения и математической речи, измерения, пересчета, прикидки и оценки, наглядного представления данных и процессов,
записи и выполнения алгоритмов;
3) получение начального опыта применения математических знаний
для решения учебно-практических и учебно-познавательных задач;
4) умение выполнять устно и письменно арифметические действия с
числами и числовыми выражениями [2].
Учащиеся должны не только знать числа и уметь составлять числовые
выражения, но и обладать навыками выполнения арифметических действий
над ними. С нашей точки зрения, одной из сложной области изучения является – умножение многозначных чисел, что и обуславливает актуальность
настоящего исследования.
Цель исследования – рассмотреть возможные приемы обучения умножению многозначных чисел младших школьников.
Объектом данной работы является процесс обучения младших школьников алгоритму умножения многозначных чисел, предметом – особенности
формирования умножения многозначных чисел у младших школьников.
Для достижения наставленной нами цели были выделены следующие
задачи:
3
1) раскрыть актуальность использования алгоритмического подхода в
процессе изучения математики в начальной школе;
2) изучить алгоритм умножения многозначных чисел в процессе обучения математике;
3) рассмотреть подходы по изучению алгоритма умножения многозначных чисел (Моро М.И., Истомина Н.Б., Рудницкая Н.В.);
4) выявить методические приемы, направленные на изучение алгоритма умножения многозначных чисел;
5) подобрать и разработать виды заданий, направленные на изучение
умножению многозначных чисел;
6) исследовать изученность алгоритма умножения многозначных чисел
учащимися 4 класса.
Методами исследования являются: изучение научно-методической
литературы, наблюдение за деятельностью учащихся, анализ их письменных
работ.
4
Глава 1. Теоретические основы изучения алгоритма умножения
многозначных чисел
1.1. Актуальность использования алгоритмического подхода в
процессе изучения математики в начальной школе
В век нанотехнологий алгоритмическая грамотность необходима каждому, ее формирование должно осуществляться на основе логических знаний и
умений учащихся.
Алгоритмическая культура начинает формироваться на уроках математики в начальной школе (правила выполнения арифметических действий).
Такая система определений и правил для однотипной и точной записи алгоритмов создает алгоритмический язык, который ориентирован на пользователя.
Указания, включенные в алгоритмы, должны быть строго определены,
то есть должен быть указан точный характер и условия каждого действия.
Запись алгоритма должна быть максимально сжатой с использованием, где
это возможно, символизации, схем, знаков.
Обучение элементам алгоритмизации в начальных классах очень важно
с пропедевтической точки зрения. Описание любого процесса по шагам, этапам доступно младшим школьникам. Составление алгоритма позволяет ученикам не только научиться решать примеры, но и контролировать свои действия. Дети, участвующие в составлении алгоритма, настолько увлекаются
процессом пошаговых действий, что при его использовании ошибочных ответов почти не допускают.
«Алгоритм – система правил, сформулированная на понятном исполнителю языке, которая определяет процесс перехода от допустимых исходных данных к некоторому результату и обладает свойствами массовости, конечности, определенности, детерминированности».
5
Слово «алгоритм» произошло от имени выдающегося математика
средневекового Востока Мухаммеда бена Муса аль-Хорезми. В одном из
своих трудов он описал десятичную систему счисления и впервые сформулировал правила выполнения арифметических действий над целыми числами и
обыкновенными дробями.
Аль-Хорезми стремился к тому, чтобы сформулированные им правила
были понятными. Этого было трудно достигнуть в IX веке, когда еще не была разработана математическая символика (знаки операций, скобки, буквенные обозначения и т.д.). Однако он сумел выработать четкий стиль строгого
словесного предписания, который не давал читателю возможность уклонится
от предписанного или пропустить какие-либо действия.
Правила в книгах Ал-Хорезми в латинском переводе начинались словами «Алгоризми сказал». В других латинских переводах автор именовался
как Алгоритмус. Со временем было забыто, что Алгоризми (Алгоритмус) это автор правил, и эти правила стали называть алгоритмами [35].
Ниже приведен список наиболее важных свойств алгоритма:
1. Дискретность;
2. Элементарность шагов;
3. Определенность (детерминированность).
4. Результативность.
5. Массовость.
Дискретность. Шаги в алгоритме должны идти в определенной последовательности. Это означает, что в любом алгоритме для следующего шага
(кроме последнего) можно указать единственный непосредственно следующий за ним шаг, то есть такой, что между ними нет других шагов. Это свойство дискретности организмов.
Дискретная структура алгоритмов хорошо видна в алгоритмах выполнения арифметических действий.
Элементарность шагов. Каждый шаг программы, которая задает алгоритм, должен состоять из выполнимых действий. Это означает, что преду6
смотренные действия были выполнимы теми исполнителями, которым она
адресована.
Кроме того, в алгоритме также недопустимы ситуации, когда после выполнения очередного действия исполнителю непонятно, какое из них следует
выполнять на следующем этапе.
Все сказанное характеризует свойство алгоритма, которое называется
свойством элементарных шагов.
Определенность. Каждая программа, которая задает алгоритм, должна
состоять из конечного числа шагов, и каждый шаг должен быть точно и однозначно определен. Это свойство алгоритмов называется свойством определенности (или детерминированности).
Результативности. Программа, задающая алгоритм должна быть нацелена на получение определенного результата. Получение результата за конечное число шагов составляет свойство результативности алгоритма. Эта
особенность выражается в том, что алгоритм всегда нацелен на получение
некоторого искомого результата. Эта особенность алгоритма, однако, не
предполагает, что алгоритмы приводят к получению необходимого результата при всех исходных данных, которые принадлежат к определенному классу, возможно, что алгоритм неприменим к некоторым исходным данным, и
тогда процесс выполнения алгоритма либо завершается без результата, либо
никогда не заканчивается [35].
Массовость. Программа, которая задает алгоритм, должна быть применима к любой задаче рассматриваемого типа. Другими словами, каждый алгоритм предназначен для решения не одной, а любой из некоторого бесконечного класса однотипных задач.
Одним из источников алгоритмов является практика, которая дает нам
две основные возможности: наблюдение и эксперимент (а также любые их
комбинации).
Согласно исследованиям психологов, оптимальный возраст для развития алгоритмического мышления школьников – 10-15 лет, так как для него
7
характерно становление избирательности, целенаправленности восприятия,
становление устойчивого, произвольного внимания и логической памяти. В
это время активно формируется абстрактное, теоретическое мышление, основанное на понятиях, не связанных с конкретными представлениями, развиваются гипотетико-дедуктивные процессы, появляется возможность строить
сложные умозаключения, выдвигать гипотезы и проверять их. Именно формирование мышления приводит к развитию рефлексии – способности делать
предметом своей мысли саму мысль – средства, с помощью которого подросток может размышлять о себе, то есть, становится возможным развитие самосознания. Важнейшим периодом в этом отношении является 11-12 лет (5-6
класс) – время перехода от мышления, основанного на оперировании конкретными представлениями к мышлению теоретическому, от непосредственной памяти к логической.
Одной из педагогических задач в рамках алгоритмизации является
формирование у учащихся такого понятия как алгоритмическая культура, являющегося частью общей культуры человека. Ученики, овладевшие алгоритмической культурой, хорошо понимают значение алгоритма и алгоритмического типа деятельности, роль алгоритма в системах управления, знают основные типы алгоритмов и способы их описания, способны представить нечто сложное через более простое [36].
1.2. Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в процессе обучения математике
Обучение элементам алгоритмизации в начальных классах очень важно
с пропедевтической точки зрения. Описание любого процесса по шагам, этапам доступно ученикам начальных классов. Составление алгоритма позволяет детям не только научиться решать примеры, но и контролировать свои
действия. Дети, участвующие в составлении алгоритма, настолько увлекают8
ся процессом пошаговых действий, что при его использовании ошибочных
ответов почти не допускают.
В процессе обучения умножению многозначных чисел вводятся основные письменные и устные приемы. Эти приемы вводятся параллельно.
Основой для изучения письменных приемов вычисления, таких как:
умножение на однозначное число, умножение на разрядные числа, умножение на двузначные и трехзначные числа, являются устные внетабличные
приемы [17].
Важность темы заключается в расширении и углублении знаний учеников об умножении, для создания новых условий применения табличных случаев умножения, для своевременной подготовки младших школьников к изучению письменных приемов.
Как известнo из курса математики, письменнoе умножение oпирается
на:
- запись числа в десятичнoй системе счисления;
- таблицу умнoжения oднозначных чисел;
- законы слoжения и умнoжения;
- таблицу слoжения однозначных чисел.
Поэтому младшие шкoльники знакомятся с алгoритмом письменногo
умнoжения после изучения всех вышеперечисленных пoнятий.
У многих учеников, при умнoжении мнoгозначного числа на однозначное число, в случаях с переходом через разряд, вoзникает необходимость закрепить прoмежуточный результат.
Это усложняет вычислительную задачу, поэтому возникает необходимость познакомить младших школьников с алгоритмом письменного умножения, или с умножением «в столбик».
Практика показывает, что детям трудно уловить связь между устными
и письменными вычислениями, поэтому следует сопоставить запись в строчку и «в столбик». Например:
284×4=(200+80+4) ×4=200×4+80×4+4×4=800+320+16=1136
9
284
4
1136
При знакомстве младших школьников с записью умножения « в столбик» следует обратить их внимание на то, что при умножении второе число
(множитель) записывается под первым так, чтобы его разряды были под соответствующими разрядами первого множителя. Следует так же подчеркнуть, что: 1)умножение начинается с единиц низшего (первого) разряда; 2)
записывая полученный результат, следим за тем, чтобы каждый разряд числа,
полученного в значении произведения, записывался под соответствующим
ему разрядом [17].
К примеру, приступая к умножению чисел 426*3, необходимо, прежде
всего, выполнить правильную запись «в столбик»:
Потом необходимо обратить внимание на то, что умножение начинаем
с единиц низшего разряда: 6*3=18, 18- это 1 дес. и 8 ед. Но так как в разряде
единиц можно записать только цифру, которая обозначает единицы, то пишем в разряде единиц 8, а 1 дес. запоминаем.
После объяснения алгоритма умножения на однозначное число, ученикам предлагаются задания для отработки последовательности операций.
Важно, чтобы школьники понимали, что способ записи, с которым они
познакомились на первом уроке изучения алгоритма, правомерен и для случая умножения чисел, которые оканчиваются нулями, на однозначное число.
Для того, чтобы не выполнять лишних операций, связанных с умножением нуля на число, принято использовать запись следующего вида:
10
Алгоритм письменного умножения на однозначное число является основой для усвоения алгоритма письменного умножения на двузначные и
трехзначные числа. При знакомстве с этими случаями умножения, можно использовать анализ выполненных действий.
Использование в учебной деятельности алгоритмов позволяет младшим
школьникам реализовывать следующие предметные и метапредметные результаты [17]:
планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей и
условиями её реализации;
осуществлять итоговый и пошаговый контроль по результату;
поиск и выделение необходимой информации;
структурирование знаний;
самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении
проблем творческого и поискового характера;
овладение основами логического и алгоритмического мышления.
Следовательно, алгоритмизация может быть отличным средством развития ученика начальной школы как личности, не только гармонично развитой со всех сторон, но и владеющей контролем своих действий. Поэтому
очень важно учителям в свой учебный процесс включать алгоритмы не только уже известных видов, но можно ввести и новые.
11
1.3. Анализ учебников математики различных УМК по обучению
умножению многозначных чисел младших школьников
Цели и задачи обучения математике в начальной школе формулируются исходя из требования ФГОС к результатам усвоения программы. В аспекте обучения умножению чисел требования ФГОС к предметным результатам
усвоения программы в начальной школе предусматривают формирование:
– умения использовать в речи названия компонентов и результатов
действий умножения;
– умения применять все законы умножения чисел;
– навыка осознанного следования алгоритма при умножении;
Согласно требованиям ФГОС к предметным результатам усвоения программы строится программная система обучения математики в начальной
школе.
Наиболее популярными УМК можно назвать:
1. УМК «Школа России»
2. УМК «Начальная школа XXI века»
3. УМК «Перспективная начальная школа»
В УМК «Школа России» на начальном этапе изучения нумерации осуществляется подготовительная работа к изучению чисел, в ходе которой
младшие школьники учатся сравнивать и считать предметы, а также соотносить цифру и число предметов, устанавливать закономерности в расположении объектов. Вводятся проблемные ситуации типа: «Как сделать так, чтобы
красных и синих треугольников стало поровну? Чтобы красных треугольников стало больше, чем синих? Синих меньше, чем красных?» (на рисунке к
заданию один под другим изображены два ряда треугольников – 6 красных, 7
синих).
Помимо этого, задаются проблемные ситуации, где присутствуют элементы игры, например: «Это игра в домино. Какие числа пропущены?» (к за-
12
данию – иллюстрация цепочки домино, где пропущены некоторые числа).
Учащиеся решают данные задания на основе уже имеющегося опыта.
В процессе изучения темы «Числа от 1 до 100» на уроках математики
во 2 классе младшие школьники учатся читать, записывать и сравнивать числа в пределах 100. Учащимся предлагаются задания, основанные на решении
проблемных ситуаций, следующих типов:
1) Рассмотри, как получается каждое следующее число в ряду, продолжи его и прочитай числа:
100, 90, 80, 70, 60, *, *, *, *, *.
12, 23, 34, 45, *, *, *, *.
98, 88, 78, 68, *, *,* ,*.
2) Один ученик прыгнул в высоту с шестом на 23 дм, а другой – в
3раза больше.
3) Разность чисел 54 и 20увеличь в 3 раза.
4) Вычисли с объяснением. Проверь вычисления разными способами:
73*2, 80*2, 56*2, 90*2.
В первом полугодии 3 класса продолжается изучение умножения чисел
в пределах 100, учебный материал во втором полугодии направлен на умение
умножать двухзначные числа, сравнивать трехзначные числа и записывать
результат сравнения, упорядочивать заданные числа, заменять трехзначное
число суммой разрядных слагаемых. В связи с этим применяются такие проблемные ситуации как:
1) Запиши число, в котором 3 сотни, 5 десятков и 7 единиц; в котором 3
сотни, 7 десятков и 5 единиц. Сколько всего единиц в каждом из этих чисел?
2) Запиши 5 любых трёхзначных числа. Уменьши каждое на 73.
3) Какое число умножили на 87, если получили 435?
4) Поставь скобки, чтобы равенство стало верным: 8×30-30:3×5=238.
В 4 классе продолжается изучение умножения в пределах тысячи, со
второй четверти вводятся умножение многозначных чисел. Некоторые учебные задания построены таким образом, что младшему школьнику требует13
ся исследовать проблемные ситуации повышенного уровня сложности. Приведём примеры подобных заданий:
1) Сколько в числе 15400 всего десятков? Сотен? Тысяч? Сколько единиц в числе, содержащем 208 десятков? 32 сотни?
2) Реши ребус:
.
3) В магазин привезли 15200 тетрадей в пачках, по а штук в каждой, и
9500 блокнотов в пачках, по в штук в каждой. Объясни, что показывают выражения: 15200:а; 9500:в; 15200:а+9500:в.
4) Увеличь в 306 раз каждое из чисел: 58, 109, 231, 569.
Отличительной
чертой
учебника
математики
программы
УМК
«Начальная школа XXI века» [31] является то, что авторы поставили перед
собой задачу: усилить внимание к творческой деятельности учащихся, которая включает инициативу и самостоятельность каждого обучающегося. Это
достигается преобладанием заданий проблемного характера (по сравнению с
репродуктивными), наличием системы специальных творческих заданий,
усложняющихся от класса к классу. Кроме того, в учебниках математики
вводятся персонажи Волк и Заяц, которые создают проблемную ситуацию в
начале темы.
На уроках математики во 2 классе изучается нумерация в пределах 100,
вводится понятие умножение. Для активизации познавательных процессов
рекомендуются следующие проблемные ситуации:
1) Прибавь к числу 23 такое число, чтобы в сумме получилось 34, 31,
25, 23.
2) В корзине лежат 35 шоколадных конфет и 17 ирисок. Каких конфет
меньше: ирисок или шоколадных?
3) Перепиши числа в порядке убывания
98, 89, 78, 87, 64, 46, 52, 25.
23,32,48,84, 19, 11, 91.
4) Найди закономерность и продолжи ряд чисел:
14
90, 70, 80, 60, 70, 50, 60, 40, 50, ... .
20, 50, 30, 60, 40, 70, 50,80, 60, ... .
5) Сколько находится домов между домами № 26 и № 55?
6) Увеличь на 1 число 60.
7) Начало рассказа помещено на 16 странице, а конец на 31. Сколько
страниц занимает этот рассказ?
В 3 классе продолжается работа по изучению умножения в пределах
сотни. Предлагаются такие задания как:
1) Какие числа можно вставить, чтобы получились верные неравенства:
***>**; **>99; **<43?
2) Найди ошибки: 3*17>12*8; 3*25=26*3; 39> 99.
3) Сколько единиц в числах: 53, 10, 17, 23, 99.
4) Сравни числа 54 и 45. В чем их сходство и различие?
Во втором полугодии изучается умножение в концентре тысяча, сравнение трёхзначных чисел, закрепляется правило поразрядного сравнения чисел.
Далее по программе, в 4 классе изучается умножение многозначных
чисел. Приведём примеры проблемных ситуаций, рекомендованных авторами учебников.
1) Заполни пропуски: 99996, ..., ..., 99999; 1010, ..., ..., ..., 1006.
2) Найди закономерность и продолжи ряд чисел: 900, 700, 800, 600, 700,
500, ... .
3) Увеличь каждое число в 25 раз: 123,24356, 200987, 5674
4) Найди ошибки: 45*1889 > 54*1588; 443564*130 < 40454*234;
5) Запиши каждое число в виде суммы разрядных слагаемых: 7085;
8075; 7508.
УМК «Перспективная начальная школа» создан на основе научных
идей развивающего обучения Л.В. Занкова и Д. Эльконина – В. Давыдова.
Основной задачей данного комплекта является развитие личности школьника, его творческих способностей, формирование желания и умения учиться.
15
В комплекте «Перспективная начальная школа» способы и приёмы организации учебной деятельности школьников представлены как основное
средство личностно-ориентированного обучения. В учебники данного комплекта включены проблемные задания, которые провоцируют ученика на
самостоятельное добывание знаний, опираясь на его индивидуальный опыт.
Включены разноуровневые задания, вариативность в решении учебных задач. Кроме того, введены персонажи Маша и Миша, которые создают проблемные ситуации для самостоятельного решения.
В третьем классе изучается умножение многозначных чисел и их сравнение. Вводятся проблемные ситуации следующих типов:
1) Последовательность чисел начинается с числа 6, а каждое следующее число на 10 больше предыдущего. На каком месте в последовательности
находится число 46? Может ли встретиться в этой последовательности число
50?
2) Какие числа надо вставить в окошки, чтобы получались верные равенства, неравенства: 35>335, 871=71, >.
3) Какие числа меньше 444? 449, 443, 445, 498.
Далее, в 4 классе, продолжается изучение многозначных чисел, где
вводятся задания типа:
1) Какая цифра пропущена в записи четырёхзначного числа *561, если
при делении этого числа на число 2 получается трёхзначное неполное частное? Раздели найденное четырёхзначное число на число 2.
2) Чем отличаются друг от друга числа в каждой паре: 507 и 8507, 2378
и 3378.
3) Найди методом подбора наибольшее число, при умножении которого на число 23 получается число, не превосходящее число 117. Можно ли это
число считать неполным частным при делении числа 117 на число 23? Как
вычислить остаток, используя найденное неполное частное. Выполни деление столбиком числа 117 на число 23.
16
Концептуальный анализ УМК, составляющих основу программы
«Начальная школа 21 века», показал, что обучение нумерации и умножению
многозначных чисел строится на деятельностном подходе. В рамках данного
подхода актуализируется ориентировочная основа деятельности (ООД), которая обеспечивает овладение обобщенными способами формирования системных понятий, умения решать задачи, выбирать рациональный способ
действий [7]. Большое внимание уделяется созданию мотивации учащихся,
выведению знаний самими обучающимися, широкому использованию материальных и материализованных средств (учебных карт, схем, моделей, знаков, символов), организации предметной деятельности, речевой отработке,
начиная с первых шагов поступления в школу [9].
УМК, положенные в основу реализации программы «Начальная школа
21 века», ориентированы на деятельностный подход к обучению математике,
используют сочетание концентрической и линейной моделей, что является их
преимуществом.
Таким образом, проведённый сравнительный анализ учебников УМК
«Школа России», «Начальная школа XXI века», «Перспективная начальная
школа» позволяет сделать вывод о том, что умножению во всех УМК начинают обучать во втором классе. Эти математические операции постепенно
автоматизируются, причем основным приемом является «прием в столбик».
Учащиеся быстро осваивают данный прием, он актуализируется и при обучении операциям над многозначными числами.
Во втором классе изучаются разряды единиц и десятков. В этих пределах осваивается и операция умножения. Вместе с тем в УМК В.Н. Рудницкая
умножение дается на примере уже двухзначных чисел, в то время как в двух
других УМК закрепляются знания таблицы умножения, являющейся основной опорой при осуществлении данной математической операции в начальной школе. При этом в УМК В.Н. Рудницкая приводится ряд мнемонических
правил для лучшего запоминания таблицы умножения [31]. В третьем классе
17
по всем УМК учащиеся осваивают прием умножения двухзначного числа на
однозначное и двухзначного числа на двухзначное – «в столбик».
В четвертом классе задача по умножению усложняется, используются
числа из крупных разрядов, однако актуализируемым приемом остается – «в
столбик».
18
ГЛАВА 2. Методические основы изучения алгоритма умножения
многозначных чисел в 4 классе
2.1 Методика обучения умножения многозначных чисел
Одна из основных целей начального курса математики – сформировать
у учащихся умение производить все арифметические действия в области неотрицательных чисел [13]. Основные трудности связаны с усвоением учащимися навыков письменного умножения и деления [8].
Линейный принцип, на котором строится соответствующая программная модель, соотносится с деятельностным подходом. Данный подход, реализуемый в рамках программы «Начальная школа 21 века» подразумевает:
1) начало изучения операций умножения и деления с повторения, то
есть включения всей совокупности знаний, необходимых для формирования
новых,
2) обучение и отработку последовательности и записи при умножении
и делении чисел до выполнения самих действий,
3) введение приема приближенных вычислений,
4) одновременное изучение умножения и деления (а не разбив их на
операционные концентры),
5) одновременную отработку всех видов заданий.
Поскольку в основу освоения умножения и деления многозначных чисел положено понятие меры, то повторение при линейном типе организации
обучения может осуществляться в двух аспектах:
1) использование меры в измерении величин (происходит обобщение
зависимости между величиной, мерой и количеством меток);
2) использование меры для счета предметов (предметы можно считать
группами).
19
В повторение включается разрядный состав числа, который лежит в
основе умножения и деления многозначных чисел. Любое число может быть
представлено не только в мере единиц, но и в других более крупных мерах.
Отработка последовательности операций и записи при умножении и
делении (без выполнения самих действий) включает следующее:
– отработку записи умножения при разном числе разрядных единиц во
втором множителе;
– умение выделять и записывать неполные произведения при умножении столбиком;
– умение выделять неполное делимое и определять количество цифр в
частном.
Прием приближенных вычислений является подготовительным этапом
к делению многозначных чисел столбиком.
Таким образом, линейная система выстраивания методики ознакомления учащихся с многозначными числами, а также с операциями умножения и
деления предполагает:
1) усвоение понятие меры,
2) усвоение действий умножения и деления,
3) усвоение десятичной системы счисления и понятия о разрядном составе,
4) умножение и деление на границы разрядов (на 10, на 100, на 1000),
5) умножение и деление круглых чисел,
6) внетабличное умножение и деление,
7) разноуровневые задачи.
Таким образом, умножение многозначных чисел в методологическом
аспекте делится на следующие элементы:
1) умножение многозначных чисел на однозначное число,
2) умножение многозначных чисел на границы разрядов (на 10, на 100,
на 1000),
3) умножение круглых многозначных чисел,
20
4) перемножение многозначных чисел.
Самым распространенным и универсальным методом умножения многозначных чисел является вычислительный приём «столбик». Данным приёмом можно умножать любые многозначные числа [25].
Рассмотрим данный приём на примере двух чисел 427 * 36.
1. Запишем числа друг под другом, так чтобы 427 было на верху, а 36
внизу, разряд под разрядом, то есть 6 под 7, 3 под 2.
2. Умножение начинаем с наименьшего разряда, т.е. с крайней правой
цифры нижнего числа. То есть порядок умножения таков: 6 * 7, 6 * 2, 6 * 4,
затем так же с тройкой: 3 * 7, 3 * 2, 3 * 4. Итак, умножаем сначала 6 на 7, ответ:42. Записываем так: так как получилось 42, то 4 – десятки, а 2 – единицы,
запись происходит аналогично сложению, а значит 2 записываем под шестеркой, а 4 прибавляем к двойке числа 427.
3. Затем аналогично делаем с 6 * 2. Ответ: 12. Первый десяток, который
прибавляется к четверке числа 427, а второй – единицы. Складываем полученную двойку с четверкой от предыдущего умножения.
4. Умножаем 6 на 4. Ответа 24 и прибавляем 1 от предыдущего умножения. Получаем 25.
5. Совершаем аналогичные действия с цифрой 3. Получаем ответ
умножения 427 * 3=1281.
21
6. Затем полученные ответы при умножении складываем и получаем
итоговый ответ умножения 427 * 36.
Ответ: 15372.
Методика получает широкое распространение при обучении умножению многозначных чисел в начальной школе. Вместе с тем данная методика,
которая содержит в себе операционный прием, представляет и некоторые
трудности для обучающихся. Частые ошибки при использовании данной методики указывают на то, что далеко не все младшие школьники легко ее
усваивают. Например, школьники часто забывают о том, что результат второго умножения нужно начать записывать под второй цифрой первого результата.
Следовательно, модели организации процесса формирования знаний о
многозначных числах, о нумерации, системах счисления, а также об основных арифметических действиях дифференцируются в зависимости от принципов, положенных в базис конструирования программы. Оптимальным решением методической задачи по формированию соответствующих навыков и
умений умножения многозначных чисел служит сочетание концентров с
определенными линейными последовательностями в изучении программного
материала.
22
2.2 Методические приемы, направленные на обучение умножению многозначных чисел
В основу методологии изучения многозначных чисел положены методы и приемы, позволяющие сформировать четкое представление о таких числах, осознать их многообразие, научить производит над ними арифметические действия. Речь идет не только о приемах, положенных в основу методики «столбик».
Изучение самих многозначных чисел, их структуры в десятичной системе счисления может проходить в рамках применения табличного метода,
включающего в себя несколько приемов [12]. Метод требует построения таблицы разрядов, пример которой приведен на рисунке 1.
Таблица 1 – Дидактическая таблица разрядов при изучении четырехзначных чисел
Число
10
100
1000
1977
Разряд тысяч
–
–
1
1
Разряд сотен
–
1
0
9
Разряд десятков
1
0
0
7
Разряд единиц
0
0
0
7
Карточка № 1. Данный прием позволяет экстраполировать данные таблицы 1 на другие числа. Таблица 1 при реализации такого приема служит
опорной. Учащиеся составляют учебную таблицу, пример которой приведен
на рисунке 2.
Таблица 2 – Учебная таблица разрядов при изучении четырехзначных чисел
Число
28
336
2552
?
Разряд тысяч
–
–
2
?
Разряд сотен
–
3
5
?
Разряд десятков
2
3
5
?
Последнюю строку учащиеся заполняют любым числом.
23
Разряд единиц
8
6
2
?
Карточка № 2. Данный прием служит способом актуализации данных
таблицы 1. Таблица 1 при реализации такого приема тоже является опорной.
Учащиеся составляют учебную таблицу, пример которой приведен на рисунке 3.
Таблица 3 – Учебная таблица разрядов при изучении четырехзначных чисел
Число
55
112
3645
3342
?
Разряд тысяч
–
–
3
?
?
Разряд сотен
–
1
?
3
?
Разряд десятков
5
1
?
?
?
Разряд единиц
5
2
5
2
?
Учащиеся самостоятельно заполняют некоторые графы, а последняя
строка предназначена для заполнения любым числом по желанию учащегося.
Карточка № 3. Прием предполагает построение многозначных чисел в
виде таблицы, подобной той, что изображена на рисунке 4.
Таблица 4 – Учебная таблица разрядов при изучении трехзначных чисел
Число
123
132
213
231
312
321
Разряд сотен
?
?
?
?
?
?
Разряд десятков
?
?
?
?
?
?
Разряд единиц
?
?
?
?
?
?
Учащимся предлагается составить из трех цифр шесть различных трехзначных чисел и заполнить таблицу 4.
Формирование навыка умножения многозначных чисел происходит в
следующих аспектах:
1) формирование навыка умножения многозначного числа на однозначное,
2) формирование навыка умножения многозначного числа на 10, 100,
1000,
3) формирование навыка умножения круглых многозначных чисел,
24
4) формирование навыка умножения многозначного числа на многозначное число.
В линейной системе построения программного материала данные аспекты выстраиваются в последовательность от 1 до 4, при этом на каждом
этапе актуализируются свои приемы обучения.
Основным приемом реализации каждого этапа является «столбик».
Данный прием широко представлен во всех УМК и дидактических пособиях
по математике для начальной школы. Однако, прием «столбик» составляет
основу соответствующей методике, рассмотренной в 2.1. Данный прием
пользуется широкой известностью и популярностью в методологии преподавания арифметики в начальной школе.
Карточка для реализации приема представлена в таблице 5.
Таблица 5 – Карточка умножения
Выполнить умножение в столбик
235
* 6
*
20
*400
453
100
122
*56
Однако мы предлагаем иные приемы формирования навыка умножения
многозначных чисел.
При умножении многозначного числа на однозначное целесообразно
использовать распределительный закон, с которым учащиеся знакомятся уже
в третьем классе.
Тактика применения данного приема включает в себя:
25
1) представление многозначного числа в десятичной системе исчисления,
2) запись распределительного закона,
3) выполнение умножения,
4) суммирование.
Однако использование приема подразумевает отработку навыка умножения круглого числа на однозначное число. Учащиеся знают, что данная задача сводится к приписыванию нулей к результату, полученному из данных
таблицы умножения.
Карточка для отработки представлена в таблице 5.
Таблица 5 – Карточка отработки навыка умножения круглого числа на однозначное
число
Множимое
20
300
4000
Множитель
2
3
4
Произведение
?
?
?
После отработки навыка умножения круглого числа на однозначное
число приступаем к операции умножения многозначного числа на однозначное. При этом учащимся целесообразно рекомендовать использование таблицы 1 и ей подобных таблиц (творчество учителя здесь не ограничено никакими пределами, кроме возрастных и психолого-педагогических особенностей
учащихся). Однако мы рекомендуем использовать не только распределительный закон в пределах одной задачи – таким образом, задача сведется к формированию навыка умножения многозначного числа на однозначное и применения таблицы умножения.
На данном этапе учащимся предлагается использовать алгоритм, который рассмотрим на примере 49 * 7:
1. Представить многозначное число в виде суммы:
49 = 40 + 9.
26
2. Применить распределительный закон, затем – сочетательный закон,
который учащиеся усвоили ранее:
49 * 7 = (40 + 9) * 7 = 40 * 7 + 9 * 7 = 4 * 7 * 10 + 9 * 7.
3. Найти все произведения и сложить их, используя сочетательный и
переместительные законы, с которыми учащиеся познакомились ранее, в
младших классах:
4 * 7 * 10 + 9 * 7 = 28 * 10 + 9 * 7 = 280 + 63 = 250 + 30 + 50 + 13= 250 +
50 + 30 + 13 = 343.
Карточка для отработки представлена в таблице 6.
Таблица 6 – Карточка отработки навыка умножения многозначного числа на однозначное
Множимое
45
112
2113
Множитель
3
5
2
Произведение
?
?
?
На этапе закрепления можно использовать логические задачи, на активный перебор вариантов отношений, задачи на установление временных,
пространственных и функциональных отношений, а так же решение магических квадратов, треугольников и прохождение по магическим лабиринтам,
определение множеств, заполнение таблиц, работу с линейными и столбчатыми диаграммами, решение задач с помощью «дерева выбора», определение
истинности и ложности высказываний и т.д.
Для решения задач исследовательского характера использует построение схемы, что способствует упрощению поиска решения задачи.
На уроках можно использовать опережающие задания поискового характера для группы сильных учащихся. Так, например, предлагается не только решить неравенства, состоящие из двух примеров, но и самим придумать
такие задания, а также решение задач, в которых нужно подобрать значения
переменных.
27
Учащиеся при изучении данного материала и планируемых результатов
его освоения должны уметь сравнивать разные способы вычислений, выбирать удобный. Моделировать ситуации, иллюстрирующие арифметическое
действие и ход его выполнения. Использовать математическую терминологию при записи и выполнении арифметического действия (умножения, деления). Моделировать изученные арифметические зависимости. Составлять инструкцию, план решения, алгоритм выполнения задания (при записи числового выражения, нахождении значения числового выражения и т.д.). Прогнозировать результат вычисления. Контролировать и осуществлять пошаговый
контроль правильности и полноты выполнения алгоритма арифметического
действия.
Использовать различные приёмы проверки правильности вычисления
результата действия, нахождения значения числового выражения
Таким образом, формирование навыка умножения многозначных чисел
является сложным методическим процессом, состоящим из нескольких аспектов, реализуемых на соответствующих этапах обучения.
2.3. Виды заданий, направленные на изучение алгоритма умножения многозначных чисел
При знакомстве детей с алгоритмом письменного умножения на
двузначное число целесообразно предложить следующее задание. Задание
представлено детям на доске, так как при работе с учебником дети могут
прочитать подсказку, содержащуюся в нем. Учащимся предлагается
составить план работы над этим заданием, что позволяет развивать одно из
регулятивных умений – планирование. После этого перейти непосредственно
к учебнику, в котором дети повторяют распределительное свойство
умножения,
а
затем
сравнивают
записи
и
пытаются
описать
последовательность действий при умножении «в столбик» на двузначное
28
число. Таким образом, они соотносят уже известное им распределительное
свойство и неизвестный алгоритм письменного умножения на двузначное
число, что является еще одним из регулятивных учебных действий –
целеполаганием.
Задание используется на этапе первичного закрепления. Необходимо
выполнить умножение, то есть повторить алгоритм письменного умножения
и осознать, в полной ли мере усвоен этот алгоритм, то есть формируется
регулятивное умение планирование. Далее учащимся предлагается сравнить
результаты в каждой паре, то есть составить план действий для ответа на
вопрос: «На сколько второе произведение больше, чем первое?». Учащиеся
записывают два умножения в столбик из первой пары. Затем они
анализируют полученные записи, выявляют признаки сходства и различия в
способах действия при умножении на однозначное и двузначное число,
Важно обратить внимание на оформление записи «в столбик». Для этого при
умножении в столбик 3800 на 44 нужно обратить внимание на запись
неполных произведений (нули) и обсудить: 1) верно ли утверждение, что,
выполняя разные записи умножения «в столбик», мы получаем одинаковый
результат? (Верно, так как при умножении нуля на число мы получаем нуль,
29
при сложении нулей мы также получим нуль).Вывод: в данном случае в
неполных произведениях можно нули не записывать, достаточно записать их
только в результате. [26]
Следующее задание целесообразно использовать на этапе закрепления.
В задании школьникам предлагается вычислить значения произведений,
пользуясь алгоритмом умножения многозначного числа на однозначное и
распределительным свойством умножения, а затем сравнить результаты.
Выполняется по вариантам. I вариант вычисляет значение произведения,
пользуясь алгоритмом письменного умножения. II вариант пользуется
распределительным свойством умножения. Затем ученики сравнивают
полученные результаты. Если они получились разными, обсуждается, кто
допустил ошибку, в чем ее причина. Ошибка корректируется. Таким образом,
у учащихся развивается самоконтроль и коррекция.
Задания на вычисление.
На этапе знакомства с алгоритмом письменного умножения на
однозначное число используется такое задание. При его выполнении лучше
не использовать сначала учебник, так как там дети могут увидеть сразу
правильный ход рассуждений. Учитель записывает на доске выражения:
30
19•5,
324•2,
48712•8.
После того, как ребята вычислили значения произведений 19•5 и 324•2
с помощью распределительного свойства умножения, они столкнутся с
трудностью при нахождении значения выражения 48712•8, преодоление
которой и обусловит необходимость знакомства с новым способом действия.
Этот способ может рассказать детям учитель, или дети прочитают в
учебнике, как можно действовать при умножении многозначного числа на
однозначное, и попытаются самостоятельно выполнить умножение любого
многозначного числа на однозначное, продумав сначала план действий, а
затем выполнив его. Это способствует формированию регулятивного умения
планировать.
Таким
распределительное
образом,
свойство
они
и
соотносят
неизвестный
уже
известное
алгоритм
им
письменного
умножения на однозначное число, что является еще одним из регулятивных
учебных действий - целеполаганием.
На этапе первичного закрепления используется следующее задание. В
задании № 60 даны выражения, записанные в столбик, с окошками.
Учащиеся выполняют самостоятельно с последующей взаимопроверкой, то
есть обмениваются тетрадями в парах. Также это можно сопровождать
вставкой
цифр
на
интерактивной
доске.
Ответы
обсуждаются
и
корректируются. Таким образом, для выполнения данного задания ребята
должны повторить алгоритм письменного умножения на однозначное число,
то есть спланировать свои действия. При взаимопроверке и исправлении
31
ошибок, развивается самоконтроль и коррекция.
На этапе закрепления учитель может использовать задание, которое
содержит произведения многозначных и однозначных чисел. После
нахождения значения выражений необходимо из каждого полученного
равенства составить еще три верных равенства. Ученики выполняют
самостоятельно по вариантам, упражняясь в умножении многозначного
числа на однозначное. При этом им необходимо следить за четкостью
выполнения алгоритма письменного умножения, следуя ему, развивая тем
самым регулятивное умение планирование. Составляя из каждого равенства
еще три верных равенства и выполняя действия в них, дети контролируют
выполнение своей работы, так как если умножение было выполнено неверно,
то значение произведения на один из множителей может не дать в ответе
второй множитель. Таким образом, формируются такие регулятивные
умения, как самоконтрольи коррекция (в случае неверно выполненного
умножения).
Задания на преобразование.
На этапе знакомства с алгоритмом письменного умножения можно
предложить задание, в котором даны произведения для вычисления, но один
из множителей записан в виде суммы из трех слагаемых. Учащиеся могут
32
выполнить умножения, используя распределительный закон умножения или
алгоритм письменного умножения. При выполнении умножения, используя
распределительный закон, дети сталкиваются с тем, что запись получается
достаточно объемной, и им необходимо каким-то образом сократить ее, что
приводит к целесообразности использования
алгоритма письменного
умножения. Таким образом, задание способствует развитию регулятивного
умения целеполагания (соотнесение известного распределительного закона и
неизвестного алгоритма письменного умножения) и планирования.
На этапе первичного закрепления используется задание, в котором для
вычислений дано произведение, один из множителей которого записан в виде
суммы однозначных чисел. Таким образом, для выполнения умножения
необходимо сначала выполнить сложение, а затем умножение, используя
алгоритм письменного умножения, что приводит к развитию такого
регулятивного умения, как планирование.
На этапе закрепления можно использовать задание, в котором ребята
сначала находят значение первого произведения, используя алгоритм
умножения на двузначное число. Затем устно определяют значение второго
выражения, выполняя вычисления с помощью переместительного свойства
умножения и представляя двузначные числа в виде произведения чисел.
Таким образом, составляется план действий, способствуя развитию умения
планировать.
33
Задания на прогнозирование.
На этапе знакомства с алгоритмом письменного умножения можно
предложить детям задание, в котором необходимо сделать прикидку
количества знаков в каждом из произведений. Для этого ребятам нужно
составить план действий, то есть развивается регулятивное умение
планирование.
Далее
они
делают
прикидку,
то
есть
развивается
прогнозирование. Затем нужно сравнить свои ответы и свой план действий с
рассуждениями Маши и Миши, где описан правильный ход рассуждений для
прикидки, таким образом, развивается регулятивное умение коррекция. А
после рассуждений дано задание проверить свои ответы, выполнив
умножение в столбик, что будет способствовать осмыслению алгоритма
письменного умножения и развитию умения действовать по алгоритму
(целеполаганию). [49]
На этапе первичного закрепления может быть использовано задание,
суть которого заключается в том, чтобы, не вычисляя значений выражений,
записанных в первом столбике, выбрать правильный ответ из чисел,
записанных справа. Данное задание направлено на отработку осмысления
34
одного из шагов алгоритма письменного умножения – умножение разряда
единиц. В процессе выполнения задания ребята осознают, что в данном
случае для того чтобы найти значение произведения не нужно осуществлять
все шаги алгоритма. Достаточно осуществить только умножение разряда
единиц. Таким образом, развивается регулятивное умение прогнозирование.
Далее ребятам предлагается выполнить умножение, следуя алгоритму, тем
самым формируя самоконтроль и коррекцию. [34]
На этапе закрепления можно использовать задание, в котором
необходимо
сделать
прикидку количества
знаков
в
делимом.
При
выполнении этого задания ребенок будет ориентироваться на умножение
многозначного
числа
на
однозначное.
Таким
образом,
развивается
регулятивное действие прогнозирование. Затем учащимся предлагается
осуществить проверку своих предположений, используя знания взаимосвязи
умножения и деления и воспользовавшись алгоритмом письменного
умножения. В ходе работы над этим заданием будут развиваться
планирование (четкое следование алгоритму), самоконтроль (проверка своих
предположений) и коррекция (исправление ошибок в случае необходимости)
[41].
Таким образом, обучение алгоритмам умножения требует комплексного подхода. Целесообразно использовать систему актуализирующих и рефлексирующих заданий, позволяющих достичь образовательной цели.
35
Глава 3. Исследование изученности алгоритма умножения многозначных чисел учащимися 4 класса
3.1. Констатирующий этап эксперимента
Исследование проводилось на базе МБОУ СОШ им. С.Е. Кузнецова
с. Чемодановка в 4 «а» классе, состоящем из 22 учеников. Эксперимент проводился в течение 3 недель: с 8.10.18 по 27.10.18 г.
Констатирующий этап эксперимента был направлен на выявление количества ошибок, которые допускают учащиеся при выполнении письменных вычислений по теме «Алгоритм письменного умножения». Выделим
группы типичных ошибок учащихся:
1) ошибки, связанные с незнанием алгоритма;
2) ошибки вычислительного характера;
3) ошибки, связанные с психологическими особенностями учеников.
Для этого нами была выбрана следующая традиционная форма проверки знания – самостоятельная работа с заданиями, которые соответствуют
данной теме.
Задания, включенные в самостоятельную работу, были следующими:
З а д а н и е 1. Выбери верную запись для нахождения значений выражений.
З а д а н и е 2. Соедини запись в строчку с правильной записью в столбик.
36
З а д а н и е 3. Соедини выражение с соответствующим ему равенством.
З а д а н и е 4. Допиши нули в каждом произведении.
З а д а н и е 5. Допиши нули у множителей.
З а д а н и е 6. Пользуясь полученными равенствами, восстанови запись в
столбик, не вычисляя:
З а д а н и е 7. Найди значения выражений и выполни умножение в столбик.
З а д а н и е 8. Вставь числа в «окошки», не выполняя вычислений.
З а д а н и е 9. Найди ошибку.
37
З а д а н и е 10. Восстанови записи.
После написания самостоятельной работы, мы выявили виды ошибок,
которые были допущены учениками.
Результаты работ представлены в таблице 1.
Таблица 1 – Виды ошибок, допущенных детьми на начальном этапе эксперимента
Виды ошибок
Ошибки, связанОшибки вычисОшибки, связанные с
ные с незнанием
лительного хапсихологическими осоалгоритма
рактера
бенностями учеников
Кол-во оши12
15
8
бок, (шт.)
Кол-во учени9
8
3
ков, (чел.)
%
40,9
36,4
13,7
Проанализировав работы учащихся 4 «а» класса, пришли к выводу, что
чаще всего учащиеся допускают ошибки вычислительного характера и по незнанию алгоритма. Из-за невнимательности или неаккуратности допущено
меньше ошибок.
Правильно выполнили все задания только 2 ученика (9%), у 9 учащихся
(40,9%) допущены ошибки, связанные с незнанием алгоритма. Ошибки вычислительного характера допустили 8 человек (36,4%), у трех учеников
(13,7%) допущены ошибки из-за невнимательности.
Наглядно это можно представить на диаграмме:
38
13,7
9
40,9
36,4
ошибки, связанные с
незнаниями алгоритма
ошибки вычислительного
характера
ошибки, связанные с
психологическими
особенностями учеников
Рис. 1 - Виды ошибок, допущенных детьми на начальном этапе эксперимента
Следовательно, по результатам самостоятельной работы мы видим, что
только 2 человека из 22 выполнили работу без ошибок, у остальных допущены ошибки разных видов. Из этого можно сделать вывод, что ученики плохо
усвоили тему «Алгоритм умножения многозначных чисел».
3.2. Обучающий этап эксперимента
На обучающем этапе эксперимента были проведены занятия по изучаемой теме, разработаны дополнительные упражнения по предупреждению
ошибок.
Эти занятия направлены на усвоение алгоритма умножения, так как
умножение многозначного числа на двузначное или трехзначное число - достаточно сложный и трудоемкий процесс, требующий знания не только шагов алгоритма, но и таблиц умножения, сложения, а также устно выполнять
сложение двузначных чисел.
Рассмотрим технологические карты этих занятий.
39
Технологическая карта урока обучения младших школьников
умножению многозначных чисел
Аспект
Тема урока
Цель урока
Задачи урока
Класс, УМК
Формы
Средства
Этапы
организационный
актуализирующий
метод интерактивной
беседы
метод выполнения заданий
формирующий
метод объяснения
дидактическая игра «С
ноликами я дружу»
Содержание
Умножение трехзначных чисел на однозначное число
Обучение операции умножения трехзначных чисел на однозначное число
обучающие:
1) формирование умения умножать трехзначное число на
двухзначное,
воспитательные:
1) воспитание интереса к труду, к познанию,
2) воспитание трудолюбия, аккуратности;
развивающие:
1) развитие памяти, мышления и речи,
2) развитие мотивации
IV, Начальная школа 21 века
беседа, выполнение заданий, игровые
Таблица умножения, дидактические и учебные карточки, таблички с цифрами, со знаками математических операций: суммы и умножения, равенства
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
создает учебный настрой,
благоприятную атмосферу
урока, отмечает отсутствующих
1) объявляется тема и цель
урока
2) учитель задает актуализирующие вопросы:
а) какое число называется
трехзначным?
б) из каких разрядов состоит трехзначное число?
3) детям предлагается выполнить задания:
а) составить таблицу, в которую нужно занести следующие числа: 145, 453,
787, 865, 955, указать их
разряды,
б) в состав числа входит
пять сотен, три десятка и
семь единиц, записать и
назвать это число
1) формирует навык десятичного представления
трехзначного числа
2) развивает навык умножения однозначного числа
40
готовятся к уроку
слушают
отвечают на вопросы устно
выполняют упражнения в парах
со взаимной проверкой
выполняют закрепляющие
упражнения
фиксируют алгоритм на примере:
дидактическая игра
«Нам бы еще… нолик»
объяснение
рефлексирующий
метод выполнения заданий
метод выполнения заданий
дидактическая игра
«Умножь меня»
Домашнее задание
на 100
3) развивает навык умножения двухзначного числа
на 10
4) предлагает алгоритм
умножения трехзначного
числа на однозначное
1) развивает навык десятичного представления
трехзначного числа – предлагает выполнить рефлексирующее задание:
представить числа в виду
суммы сотен, десятков и
единиц: 251, 452, 867, 718,
299
2) развивает навык умножения трехзначного числа
на однозначное – предлагает выполнить рефлексирующее задание:
из цифр 2, 5, 6, 8, 9 составить трехзначное число и
умножить его на одну из
этих цифр
3) развивает навык умножения трехзначного числа
на однозначное
объясняет задания на дом
125 * 9
1. 125 * 9 = (100 + 20 + 5) * 9
2. (100 + 20 + 5) * 9 = 100 * 9 +
20 * 9 + 5 * 9
3. 900 + 2 * 9 * 10 + 45 = 900 +
18 * 10 + 45
4. 900 + 18 * 10 + 45 = 900 + 180
+ 45
5. 900 + 180 + 45 = 900 + 100 +
80 + 45 =
1000 + 80 + 45 = 1125
выполняют упражнения в парах
со взаимной проверкой
выполняют упражнения в индивидуальном порядке
игра проводится в группах
записывают задания на дом
Технологическая карта урока на тему: Алгоритм умножения многозначных чисел
Цель урока: сформировать знания учащихся по теме: умножение многозначного числа на трёхзначное.
Задачи урока:
1. Сформировать способность к умножению многозначного числа на
трёхзначное.
2. Способствовать формированию навыков составления алгоритма
умножения многозначного числа на трёхзначное.
41
3. Воспроизвести и откорректировать знания и умения при умножении
на двузначное число, при решении задач на нахождение площади и периметра.
4. Способствовать развитию логического мышления, умения анализировать, рассуждать, работать в группе.
5. Создать условия для осознания ценности изучаемого предмета.
Познавательные универсальные учебные действия.
1. Использование моделей, схем при решении задач.
Регулятивные универсальные учебные действия.
1.Организовывать рабочее место, свою деятельность.
2. Принимать, ставить учебно-познавательною задачу.
3. Планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей .
4. Строить логические рассуждения, включающие установление причинно следственных связей.
Коммуникативные универсальные учебные действия.
1. Использовать речь регуляции своих действий.
2. Осуществлять взаимный контроль и оказывать в сотрудничестве необходимую помощь.
№
п/п
Этапы работы
Содержание этапа
Деятельность учителя
Деятельность
обучающихся
1
– Здравствуйте, ребята.
Организационный мо– Математика очень трудная наука. – Да!
мент
Цели для учащихся: вклю- Вы готовы преодолеть трудности на
читься в учебную деятель- пути к знаниям?
– У нас всё полуность;
– Тогда пожелайте друг другу удачи. чится!
· осознать ценность изучаемого предмета.
– На доске вы видите буквы:
Цели и задачи для учите- У Н Ж Е О М Н Е И
ля: подготовить учащихся – Нужно из букв собрать слово, и ток работе на уроке;
гда мы узнаем о каком арифметиче· определить содержаском действии пойдёт речь на уроке.
тельные рамки урока.
– Верно!
– УМНОЖЕНИЕ
2
Актуализация знаний
Цели для учащихся:
Устный счет (Минутка развития)
1. Какой самый тяжёлый день неде42
1. Понедельник
· тренировка мыслитель- ли?
ных операций;
2. Она бывает газонной, сорной или
· развитие логического
лекарственной?
мышления;
3. Сколько яблок у Раи, если у неё
· повторение алгоритма
было целое яблоко, две половинки и
умножения многозначного четыре четвертинки?
числа на двузначное;
4. Как называется знак вычитания в
Цели и задачи для учите- математике?
ля:
5. Как называется сторона света, где
· способствовать умению заходит солнце?– Молодцы, ответибыстро ориентироваться в ли на все вопросы.
вопросах общего характе- Повторение
ра;
– Какой вид умножения мы изучали
· организовать учебное
на предыдущих уроках?
затруднение, связанное с – Что нужно знать для того чтобы
отсутствием алгоритма
выполнять умножение многозначноумножения многозначного го числа на двузначное?
числа на трёхзначное.
2. Трава
3. 3
4. Минус
5. Запад
Умножение многозначного числа
на двузначное.
Знать алгоритм
умножения многозначного числа
на двузначное,
– Давайте найдём значение произве- хорошо знать
дения: 218 x 72
таблицу умноже(На доске)
ния.
3
Усвоение новых знаний – Предлагаю решить вам следующие
и способов деятельности выражения:
186 x 293 2903 x 186
Создание проблемной
ситуации и выход из неё.
Цели для учащихся:
– Что скажете об этих выражениях?
должны уметь формули- – Чем они отличаются от предыдуровать учебную задачу,
щего выражения?– Есть ли у вас
предлагать пути её реше- предположения как найти значения
ния;
этих выражений?
Цели и задачи для учите- – Что надо сделать, чтобы решить
ля: создать условия для
данные примеры?
развития у учащихся умений формулировать учеб- – Попробуйте в группах составить
ные задачи, предлагать
алгоритм умножения на трёхзначное
пути их решения;
число.
· обеспечить восприятие,
осмысление и запомина- – Какая группа точнее справилась с
ние нового материала;
заданием?
Проектирование и фик- – Молодцы!
сация нового знания.
Цели для учащихся: составить алгоритм совместно с одноклассниками
в группе;
Цели и задачи для учителя: построить с учениками
43
Умножение многозначных чисел
на трёхзначные.
Научиться умножать примеры
данного вида.
Составить алгоритм умножения
на трёхзначное
число.
Алгоритм:
1. Умножу на
число единиц,
получу 1 неполное произведение;
2. Умножу на
число десятков,
получу 2 неполное произведение;
3. Умножу на
число сотен, получу 3 неполное
новый способ действия;
4
5
произведение;
4. Сложу неполные произведения;
5. Читаю ответ.
Закрепление новых зна- – Решим выражения на доске:
ний и способов деятель- 186 x 293 2903 x 186
ности
Цели для учащихся: за– Решим задачу из учебника № 207,
фиксировать новый алго- с. 73.
ритм в речи;
– Запишем данные задачи в таблицу.
уметь применять алгоритм
и решать примеры, используя его;
Цели и задачи для учителя: обеспечить закрепление учащимися знаний и
способов деятельности;·
обеспечить повышение
уровня осмысления изученного материала;
– Чему новому сегодня научились?
Рефлексия. Д. з.
– Какой алгоритм составили?
Итог урока
Цели для учащихся:
– Где будем использовать данный
· самооценка результатов приём умножения?
деятельности;
– Отметки за урок ...
· получить инструктаж по – Давайте запишем задание на дом:
выполнению домашнего № 204 (1), № 201 (задача).
задания;
Цели и задачи для учителя:
· оценить учебную деятельность класса;
· зафиксировать затруднения как направления будущей учебной деятельности;
· обсудить и записать домашнее задание, обеспечить понимание цели, содержание и способов его
выполнения;
Масса одного чемодана - 3 части,
масса другого 1
часть.
всего 4 части
20 : 4 = 5(кг) масса меньшего чемодана
5 * 3 = 15(кг)
масса большего
чемодана
Умножать на
трёхзначное число. В решении
задач, примеров.
А так же были разработаны обучающие задания, направленные на предупреждение возможных ошибок учащихся при усвоении алгоритма письменного умножения.
1. Выполни умножение.
44
796
4
8504
6
97802
3
12526
5
.
2. Выбери верную запись для нахождения значения выражений.
3. Соедини выражение с соответствующим ему равенством:
4. Восстанови запись умножения «в столбик».
308
54
.
1540
16632
5. Впиши пропущенный множитель и выполни умножение.
1607
42
.
6. Впиши пропущенные цифры.
5908
5
,
95 0
..8
7
,
50 . .
..3
8
41 . .
...
7
.
. . .5
Таким образом, разработанные нами задания полифункциональны. Они
направлены на формирование умения пользоваться алгоритмами письменного умножения, развитие приемов умственной деятельности, а также предупреждение типичных ошибок младших школьников.
45
3.3. Контрольный этап эксперимента
Задача контрольного эксперимента – проверить характер знаний учеников по интересующему нас вопросу.
Для этого мы провели контрольный срез, который состоял из заданий,
подобных заданиям самостоятельной работы, которую мы проводили на
начальном этапе эксперимента.
З а д а н и е 1. Выбери верную запись для нахождения значений выражений.
З а д а н и е 2. Соедини запись в строчку с правильной записью в столбик.
З а д а н и е 3. Соедини выражение с соответствующим ему равенством.
З а д а н и е 4. Допиши нули в каждом произведении.
З а д а н и е 5. Допиши нули у множителей.
З а д а н и е 6. Пользуясь полученными равенствами, восстанови запись в
столбик, не вычисляя:
46
З а д а н и е 7. Найди значения выражений и выполни умножение в столбик.
З а д а н и е 8. Вставь числа в «окошки», не выполняя вычислений.
З а д а н и е 9. Найди ошибку.
З а д а н и е 10. Восстанови запись.
После написания работы, мы выявили виды ошибок, которые были допущены учениками.
Результаты работ представлены в таблице 2.
Таблица 2 – Виды ошибок, допущенных детьми на контрольном этапе эксперимента
Виды ошибок
Ошибки, связанОшибки вычислиОшибки, связанные
ные с незнанием тельного характера с психологическими
алгоритма
особенностями учеников
Кол-во ошибок,
6
10
5
(шт.)
Кол-во учени5
4
2
47
ков, (чел.)
%
22,7
18,2
9,1
Проанализировав работы учащихся 4 «а» класса, пришли к выводу, что
правильно выполнили все задания 11 учеников (50%), у 5 учащихся (22,7%)
допущены ошибки, связанные с незнанием алгоритма. Ошибки вычислительного характера допустили 4 человека (18,2%), у двух учеников (9,1%) допущены ошибки из-за невнимательности.
Наглядно это можно представить на диаграмме:
22,7
50
18,2
ошибки, связанные с
незнаниями алгоритма
9,1
ошибки вычислительного
характера
ошибки, связанные с
психологическими
особенностями учеников
Рис. 1 - Виды ошибок, допущенных детьми на контрольном этапе эксперимента
Сравнение результатов констатирующего и контрольного этапов эксперимента наглядно представим на диаграмме:
48
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
К
п
п
эта
эта
й
й
и
ы
ьн
ющ
л
у
о
р
ти
нтр
а
о
т
к
с
он
ошибки, связанные с незнанием
алгоритма
ошибки вычислительного характера
ошибки, связанные с психологическими
особенностями учеников
без ошибок
Рис. 2 – Сравнение результатов эксперимента
По результатам эксперимента мы видим, что количество допущенных
ошибок сократилось почти в 2 раза, а количество учеников, выполнивших
работу без ошибок увеличилось на 9 человек. Из этого можно сделать вывод
о том, что дети усвоили алгоритм умножения многозначных чисел.
Следовательно, результаты эксперимента показали, что изначально качество знаний было ниже. После проведенных уроков качество знаний возросло, а это значит, что предложенные методы работы способствуют лучшему пониманию алгоритма умножения многозначных чисел.
Проанализировав контрольный этап эксперимента, мы видим, что ученики усвоили алгоритм умножения многозначных чисел и могут использовать его на практике после уроков.
49
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате проведенной работы была определена эффективность использования проблемных ситуаций на уроках математики при обучении умножению многозначных чисел.
Согласно цели исследования проанализированы возможные приемы
обучения умножению многозначных чисел младших школьников.
На первом этапе была раскрыта актуальность использования алгоритмического подхода в процессе изучения математики в начальной школе; рассмотрено изучение алгоритма умножения многозначных чисел в процессе
обучения математике. А также был проведен анализ учебников математики в
различных УМК на предмет обучения умножению многозначных чисел
младших школьников. Мы считаем, что наиболее эффективны в рамках решения методической задачи исследования УМК, которые составлены из концентрической и линейных систем построения программного материала.
Нами рассмотрена методика обучения младших школьников алгоритму
умножения многозначных чисел; приемы, направленные на обучение умножению многозначных чисел; виды заданий, направленные на изучение
умножения многозначных чисел. Наиболее продуктивным из подходов для
решения соответствующих дидактических задач служит деятельностный
подход, подразумевающий систему не только рефлексирующих, но и актуализирующих заданий, а также систему дидактических игр.
А также было проведено экспериментальное исследование уровня обученности учеников 4 «а» класса алгоритму умножения многозначных чисел.
Результаты констатирующего и контрольного этапов эксперимента
позволяют сделать вывод о достаточно высоких результатах, что говорит об
эффективности описанных заданий, и дает возможность утверждать:
формирование регулятивных умений у младших школьников будет
эффективным при условии:
- специально подобранных заданий и систематичности работы с ними.
50
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Закон «Об образовании в Российской Федерации» / Принят
29.12.2012 г. (в ред. от 03 июля 2016 г.) // № 273-ФЗ. 01.01.2010. Собрание
законодательства РФ.
2. Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации
об утверждении и введении в действие Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования / Издан 06 октября
2009 г. (в ред. 29 декабря 2014 г) // № 373, № 1643. 01.01.2016. Собрание законодательства РФ.
3. Аматова Г.М., Аматова М.А. Математика. В 2 книгах / Г.М. Аматова, М.А. Аматова. – М.: Академия, 2008.
4. Аргинская И.И., Вороницына Е.В. Особенности обучения младших
школьников математике // Первое сентября №24. 2005. с. 12-21.
5. Артемов А.К., Истомина Н.Б. Теоретические основы методики обучения математике в начальных классах / А.К. Артемов, Н.Б. Истомина. – 3-е
изд., стереотип. – М., Воронеж, 2016. – 343 с.
6. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики
в начальных классах / М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова. – 4-е изд., перераб. и
дополн. – М., 2014. – 178 с.
7. Башмаков М.И., Нефедова М.Г. Математика. [1-4 класс]. В двух частях. Учебник из УМК «Начальная школа 21 века» / М.И. Башмаков, М.Г.
Нефедов. – М.: Астрель, 2014.
8. Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе
/ А.В. Белошистая. – М.: Владос, 2011. – 211 с.
9. Белошистая А.В. Обучение математике в начальной школе. Методическое пособие. М.: «Academia», 2006.
10. Воителева Г.В., Калинина И.Г. Алгоритм письменного умножения. // Начальная школа. - №10. – 2018. – с. 50-53.
51
11. Гребенникова Н.Л. в мире математики: Дидактические материалы
для внеурочных занятий: - Стерлитамак: Стерлитамак гос. пед. академия им.
Зайнаб Биишевой, 2010. - 19 с.
12. Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике.
М. 2003.
13. Демидова Т. Е., Чижевская Л. И. Методика обучения математике в
начальных классах: Курс лекций: вопросы частной методики. - Брянск: Издательство БГУ, 2001.
14. Зайцева С.А. Методика обучения математике в начальной школе. –
М.: ВЛАДОС, 2012.
15. Зайцева С.А., Румянцева И.Б. Методика обучения математике в
начальной школе / С.А. Зайцева, И.Б. Румянцева. – 4-е изд., перераб. и дополн. – М.: Эксмо, 2014. – 154 с.
16. Истомина Н.Б. Активизация учащихся на уроках математики в
начальных классах / Н.Б. Истомина. – 4-е изд., перераб. и дополн. – М., 2015.
– 314 с.
17. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. — М.: Просвещение, 2010.
18. Канин Е.С. Изучение системы счисления в начальных классах / Е.С.
Канин // Начальная школа. – 2011. – № 5. – С. 9-12.
19. Каплан Б.С., Рузин Н.К., Столяр А.А., Методы обучения математике
/ Б.С. Каплан [и др.]. – 6-е изд., перераб. и дополн. – М., 2013.
20. Кожухов С.К. Изучение чисел в младшей школе / С.К. Кожухов //
Начальная школа. – 2015. – № 3. – С. 11-16.
21. Математика 3 класс. Учеб. Для общеобразовательных учреждений –
Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.. Изд. 3-е испр.- М.: Баласс. Издательство Школьный дом – 2013 г. (Образовательная система «Школа 2100»)
22. Математика: Учеб. для 3 кл. общеобразовательных учреждений /
Истомина Н.Б. — Смоленск: Ассоциация ХХI век, 2010.
52
23. Математика: Учеб. для 4 кл. общеобразовательных учреждений /
Истомина Н.Б. — Смоленск: Ассоциация ХХI век, 2010.
24. Методика начального обучения математике: Учеб. пособие для
пед. ин-тов / В.Л. Дрозд, А.Т. Касатонова, Л.А. Латотин и др.; Под общ. Ред.
А.А. Столяра, В.Л. Дрозда. - Мн.: Выш. шк., 1988. - 254 с.
25. Методика начального обучения математике / Под ред. А.А.Столяра
и В.Л. Дрозда. – 4-е изд., перераб. и дополн. – Минск, 2015. – 213 с.
26. Методика преподавания начального курса математики: учебное пособие для студенческих учреждений среднего профессионального образования/ Шикова А.В., Леонович Е.Н., под редактором Калинченко А.В.. – 2-ое
издание, стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 208с.
27. Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. Математика. [1-4 класс]. В
двух частях. Учебник из УМК «Начальная школа 21 века» / С.С. Минаева [и
др.]. – М.: Вентана-Граф, 2013.
28. Моро М.И., Бантова М.А. Математика 4 класс 2 часть. М.: «Просвещение», 2014.
29. Никифоров Н.И. К вопросу изучения многозначных чисел / Н.И.
Никифоров // Начальная школа. – 2014. – № 2. – С. 13-17.
30. Основы начального курса математики: учебно – методическое пособие/ Рыбдылова Д.Д., Лубсанова Л.Б., Габеева Л.Н., Шадаров Б.Г. – Улан –
Удэ: Издательство Бурятского госуниверситета, 2013.
31. Рудницкая В.Н., Кочурова Е.Э., Рыдзе О.А. Математика. [1-4 класс].
В двух частях. Учебник из УМК «Начальная школа 21 века» / В.Н. Рудницкая
[и др.]. – М.: Вентана-Граф, 2011.
32. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в начальной школе /
Г.И. Саранцев. – 6-е изд., стереотип. – М.: Просвещение, 2012. – 355 с.
33. Ситникова Т. Н. Поурочные разработки по математике к УМК Моро
М.И. / Ситникова Т.Н., Яценко И.Ф.. – М. : Вако, 2012. – 463 с.
34. Смирнова В.В. Некоторые приемы изучения трудных тем в математике // Начальная школа плюс до и после. - 2009. - № 7. - С. 26-29.
53
35. Стойлова Л.П. Математика: учеб. пособие для студентов высш. пед.
учеб. завед. / Л.П. Стойлова. – М.: Академия, 2002. – 424 с.
36. Стойлова Л.П. Теоретические основы начального курса математики:
учебное пособие для студ. Учреждений среднего профессионального образования / Л.П. Стойлова, - М. : Издательский центр «Академия», 2014. – 272с.
37. Тихоненко А.В. Теоретические и методические основы изучения математики в начальной школе. — Ростов н/Д.: Феникс, 2008. —
349 c.
38. Узорова О.В., Нефёдова Е.А. Математика. 2-3 классы. Табличное
умножение и деление. Более 800 примеров для вычисления. М.: АСТ, Клевер-Медиа-Групп, 2014. — 1
39. Фридман, Л.М. Теоретические основы методики обучения математике [Текст] / Л.М. Фридман – М.: Флинта, 2008. – 224 с.
40. Шевкин А.В. Особенности обучения младших школьников нумерации многозначных чисел / А.В. Шевкин // Начальная школа. – 2015. – № 17. –
С. 23-30.
41. Шклярова Т.В. Как научить младшего школьника нумерации и счету / Т.В. Шклярова. – 2-е изд., перераб. и дополн. – М.: Грамотей, 2017. – 125
с.
54
