ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ ГЕОДЕЗИИ
Краткий исторический очерк
Основная задача высшей геодезии состоит в определении формы и
размеров Земли.
Первое представление людей о Земле – Земля плоская, стоит на трех китах.
В последствии Аристотель высказал мнение о том, что Земля круглая:
появление корабля из-за горизонта;
округлая форма горизонта;
изменение высоты полюса мира над горизонтом;
лунные затмения, округлая форма тени на луне.
В I – II век до н.э. александрийский астроном и геометр Эратосфен впервые
определил радиус Земли по наблюдению за Солнцем. Он измерил в городе
Александрии в полдень зенитное расстояние, а в городе Сиена, находящимся
на одном меридиане с Александрией в это момент солнце было в зените
(освещало дно колодцев). Расстояние от Александрии до Сиены он
определил по скорости движения караванов. Расстояние получилось равным
5 тысяч египетских стадий.
Но на самом деле Александрия и Сиена находятся не на одном меридиане,
следовательно, задача Эратосфена нарушена.
Радиус по данным Эратосфена равен 6 000 километров.
360 * егип.ст.
R
2 * z
В XVII веке И. Ньютон показал, что Земля имеет форму эллипсоида
вращения, определил сжатие:
а
1
,
а в 230
где а – большая полуось,
в – малая полуось эллипса.
Современное значение сжатия:
1
298,32
В 1743 году французский физик Клеро показал, что теорию фигуры Земли
можно основывать на законах гидростатики.
g = ge (1+β2 sinφ),
где g - сила тяжести,
ge – сила тяжести на экваторе,
1
φ – географическая широта.
β = 5/2 q – α
2a
q
,
ge
где q – нормальная сила тяжести,
ω – угловая скорость.
В 1840 году Стокс обобщил выводы Клера и сформулировал Теорему
Стокса: Если известна уровенная поверхность и угловая скорость, то
определяется сила тяжести на этой уровенной поверхности и во внешнем
пространстве этой уровенной поверхности.
Кроме того он решил и обратную задачу: По известному значению силы
тяжести определяется уровенная поверхность.
Если Земля является сфероидом, то по формуле Клеро определяется
распределение силы тяжести на этой уровенной поверхности.
В действительности распределение плотностей внутри Земли не однородно
(не концентрическое), поэтому уравнение Клеро не дает решений,
совпадающих с определенным значением силы тяжести.
Условие определяется по движению искусственных спутников Земли.
1958 год
рис.1
В разных странах производилось определение элементов референцэллипсоида (а, в, α).
1940 год – вычислены элементы референц-эллипсоида Красовского.
1985 год – Международный астрономический съезд (МАС) установил
элементы референц-эллипсоида Красовского, как элементы общего земного
эллипсоида.
2
- Английский референцэллипсоид
рис.2
После 1985 г. издаются газеты. Выдается медаль Красовскому и
иностранцу.
Геоид
В 1873 году немецкий физик Листинг ввел понятие геоида.
Геоид – это уровенная поверхность морей и океанов, мысленно
продолженная под материками.
Несовпадение геоида с эллипсоидом составляет 100 – 150 м.
Уравнение геоида сложно и описывается сотнями дифференциальных
уравнений по x и y, где x и y – пространственные координаты.
Для геоида неизвестно направление нормали и нивелировка лишь
приближенно определяет направление нормали к геоиду.
В
высшей
геодезии
проводятся
гравиметрические
работы
(гравиметрические съемки) – определяется сила тяжести с помощью прибора
гравиметра.
Зная силу тяжести, по Теореме Стокса определяют уровенную поверхность.
Геометрический способ определения размеров Земли.
Этот способ содержит 4 основные задачи:
1. Измерение углов между точками земной поверхности;
2. Выбор референц-эллипсоида внутри Земли для данного района;
3. Редуцирование на эллипсоид;
4. Решение задач на поверхности эллипсоида.
Уклонение отвесных линий от нормалей приводит к несовместимости
координат на эллипсоиде с координатами, определенными астрономическим
путем.
3
рис.3
а – большая полуось эллипсоида,
в – малая полуось эллипсоида.
Проведем нормаль N к точке А на поверхности эллипсоида.
А` - точка на поверхности шара,
О – центр окружности.
Соединим точки О и А` → получим отвесную линию.
Угол между нормалью и отвесной линией (η) – уклонение отвесной линии.
Инструмент позволяет установить положение отвесной линии.
Координаты на референц-эллипсоиде называются геодезическими (B, L)
B – геодезическая широта,
L – геодезическая долгота.
Основным методом определения длин дуг на поверхности Земли является
метод триангуляции. Он был предложен галандским астрономом
Снеллиусом. (Длина дуги = 111 км) Существует 4 класса триангуляции (I, II,
III, IV).
Метод триангуляции.
4
- Вычисляют приращения координат по широте и долготе (∆B, ∆L).
- Вычисляют координаты пунктов триангуляции.
- Решают обратную задачу по координатам.
Редуцирование длины дуги на эллипсоиде
Физическая поверхность Земли
Эллипсоид
R
l
,
l1 R H
где H – высота линии над эллипсоидом.
R H
- Формула приближенная
l1 l *
R
6400 8
l1 250 *
250,313
6400
Ошибка редукции: Средуцированная длина дуги изменяется на 313 м.
l = 250 км,
Н = 8 км (эверест);
Относительная ошибка =
1
1000
5
1) Сохраняем Н = 8 км, l = 250 км, а R , берем 6378 км
6378 8
l1 250 *
250,3136
6378
Относительная ошибка:
1
1000
2) Сохраняем l = 250 км, а Н берем 0,5 км, R = 6378 км.
6378 0,5
l1 250 *
250 ,0196
6378
Относительная ошибка:
1
.
12500
Понятие об уравнивании.
Полигонометрический метод определения опорных точек.
Нивелирование.
Понятие о радиогеодезических методах определения координат.
При построении триангуляции производится измерений больше, чем это
требуется или говорят производится избыточные измерения.
Необходимо и достаточно измерить одну сторону в треугольнике и два
угла. Остальные элементы можно вычислить.
180º - ∑2 углов
Стороны определяются по Теореме
синусов.
Необходимых измерений будет 2 (n - 2) углов,
где n – количество точек. 2 (3-2)=2 угла
Избыточное количество измерений: (n-2)
Всего измерений: 3 (n-2)
Обозначим через φ – избыточные углы, через α – необходимые углы.
Решая систему уравнений, связывающих избыточные углы с
необходимыми и находя разность вычисленных и измеренных углов, мы
определяем поправку к измеренным углам.
6
Таким образом, находим уравненное значение угла, решая систему
находим поправку.
Вводя поправку в α и решая систему, находим окончательно-уравненные
углы.
При решении систем уравнивания, возникают условия, то есть
необходимы дополнительные уравнения, их называют условными
уравнениями.
Рассмотрим некоторые из этих уравнений:
1) Условие фигур
В треугольнике три измерения
(3 угла)
Сумма углов = 180º
С – сферический избыток
В сферическом треугольнике
С = 90º
7
Сумма углов в треугольнике:
от 180º до 540º
Сmax = 360º
Каждый угол имеет 3 поправки (∆1, ∆2, ∆3).
1+∆1+ 2+∆2+ 3+∆3 = 180º+С
В сети треугольников будет таких уравнений по числу треугольников, т.е.
(n-2).
2) Условие горизонта
При наличии в триангуляции центральных фигур возникает условие
горизонта (360º).
Число таких условий в сети равно числу центральных фигур.
→
Центральная фигура
8
3) Боковые условия
возникают
четырехугольник).
при
наличии
диагоналей
(геодезический
Условия в геодезическом четырехугольнике:
1) ∑1,2 = ∑3,4
2) ∑2´,3´= ∑ 1´, 4´
- Боковые условия
3) ∑углов = 360º
4) Условие горизонта (360º)
4) Условие базисов
- возникает, когда в конце триангуляции измерен дополнительный
базис.
5) Азимутальное условие
αисх=αкон± измеренный
угол
9
6) Полигональное условие
Триангуляция I класса строится в виде полигонов с длиной сторон 200 –
250 км вдоль параллелей и меридиан.
Разряды:
I класс
II
III
IV
25-30 км
20 км
> 15 км
> 10 км
В каждом полигоне возникают четыре полигональных условия:
1. Условие базисов
2. Условие широт
3. Условие долгот
4. Условие азимутов
Кроме перечисленных условий возникают также некоторые другие.
Все это составляет систему условных уравнений. Решая её по способу
наименьших квадратов, находят наименьшие поправки в целом.
Такую триангуляцию называют «жесткой» и она является опорной
геодезической сетью.
Полигонометрический метод определения опорных точек.
Полигонометрия – это ход, у которого измерены стороны и углы.
Подразделяется на 4 класса, как и триангуляция. Прокладывается звеньями.
Длина звена: I класс 20 - 25 км
Относительная ошибка измерения сторон I класса:
1
300000
Ошибка угла 0,4´´
Число сторон 10
IV класс стороны 20км
10
Относительная ошибка измерения сторон:
1
50000
Ошибка угла ± 2´´.
Решение основных задач на эллипсоиде вращения
Система геодезических координат
В – геодезическая широта
L - геодезическая долгота
- координаты являются криволинейными.
Геодезическая широта – это угол между нормалью и плоскостью
экватора. Отсчитывается от 0º до ± 90º
Геодезическая долгота – это двугранный угол между нулевым
меридианом и меридианом в данной точке. Отсчитывается от 0º с запада на
восток.
Рассмотрим связь геодезической широты и геодезической долготы с
прямоугольными координатами
а –большая полуось
в – малая полуось
М–точка на
эллипсоиде
Проведем касательную в точке М и восстановим нормаль N.
М´ - точка на шаре,
U – приведенная широта
x, y – прямоугольные координаты.
Приведенная широта – это угол между отвесной линией и экватором.
Уравнение эллипса в канонической форме:
11
x2 y2
2 1
2
a
в
(1)
Из рисунка следует, что
x = a ∙ cosU
y = в ∙ sinU
Продифференцируем уравнение (1) по x и y, в результате получим:
x
y dx
0
a 2 в 2 dy
dx в 2 x
dy a 2 y
dx
tg (90 B ) cos B
dy
в a 1 e2 ,
где е – эксцентриситет.
Учитывая это, находим формулу связи:
a2 y
tgB 2
в x
Также можно установить обратную связь, т.е.
a cos B
в sin B
x
y
,
1 e 2 sin 2 B
1 e 2 sin 2 B
Связь между геодезической и геоцентрической широтами
В – геодезическая широта
Ф – геоцентрическая широта
x, y – прямоугольные
координаты
N - нормаль
12
Геоцентрическая широта – угол между линией, соединяющей точку на
эллипсоиде с центром Земли и плоскостью экватора.
1
tgB tgФ
(1 e 2 )
Если е = 0, то В = Ф, это условие выполняется для шара.
Основные параметры земного эллипсоида
Сжатие:
Эксцентриситет:
aв
,
а
е
а2 в2
,
а2
aв
в
е
а2 в2
в2
а – большая полуось,
в – малая полуось
По одной оси – сжатие, по другой – растяжение; также существует два
эксцентриситета.
Связи параметров эллипсоида:
в а 1 е2
а в 1 е2
1
в
1 1 е2
а
е 2 2 2
Последняя формула является приближенной, но она достаточно точна и
может быть использована в целях редуцирования в I и II классе
триангуляции.
Радиус кривизны
Кривизна определяется
формулой:
К lim
δ – расстояние между точками
δ→0
13
Для окружности:
К
1
R
1
→ R К
- радиус кривизны.
Радиус кривизны (R) - величина обратная кривизне (К).
Для любой точки эллипсоида существует максимальный и минимальный
радиус кривизны:
минимальный радиус кривизны соответствует меридиану;
максимальный радиус кривизны соответствует первому вертикалу.
Плоскость первого вертикала перпендикулярна плоскости меридионального
эллипса.
WE – первый вертикал
NS – меридиан
Обозначим R через М (для меридиана)
М
M
dS
dB - отношение приращения дуги (S) к приращению широты (B).
a 1 e2
1 e sin B
2
N
3
2
a cos B
1 e sin B
2
2
1
2
- радиус кривизны для меридиана
2
- радиус кривизны для первого вертикала
Rcp M N
- средний радиус кривизны
В промежутке между геодезической широтой от 0º до 90º радиус кривизны
меняется. Наиболее сильно он меняется в первом вертикале.
Нормальные сечения и главные радиусы кривизны
Нормальные сечения – это сечения, проходящие через нормаль в данной
точке. Кривая, образованная сечением называется нормальным сечением.
14
Выделяют два экстремальных значения кривизны – они называются
главными нормальными сечениями.
ABC – сферический треугольник на поверхности эллипсоида.
В сферическом треугольнике разомкнутые линии. Чтобы избежать
двойственности переходят к геодезическим линиям.
Геодезическая линия – это кратчайшее расстояние на поверхности
эллипсоида между двумя точками.
Математическое определение геодезической линии
a cos U r ,
где r – радиус параллели
r ∙ sinα = const - это уравнение определяет
геодезическую линию
Геодезическая линия – это линия, в каждой точке которой главная нормаль
совпадает с нормалью в данной точке; - произведение радиуса параллели на
синус азимута данной параллели есть величина постоянная.
Длина дуг меридианов и параллелей
Для сферы длина дуги находится весьма просто. Сложнее эта задача
решается для эллипсоида.
dS = M∙dB
Для нахождения длины дуги
B2
S M dB ,
B1
S a 1 e
B2
2
B1
dB
1 e sin B
2
2
3
,
2
где S – эллиптический интеграл, который не интегрируется в элементарных
функциях; для практических целей подынтегральное выражение
15
раскладывают в степенной ряд с определенным количеством членов ряда, в
зависимости от характера поставленной задачи.
Выражение для вычисления дуги меридиана
1
S a 1 e 2 A1 B2 B1 A2 sin 2 B2 sin B1 ...
2
А1 = 1,0050517739
А2 = 0,0056622776
А3 = 0,0010624500
А4 = 0,0000020800
Коэффициенты А1 и А2 используются для решения задач со сторонами
треугольника в несколько десятков километров.
Для решения задач со сторонами треугольника в сотни километров
используются коэффициенты А3 и А4.
Длина дуги параллели
Параллель имеет форму окружности.
r = M ∙ cosB - радиус дуги параллели
S пар
l' '
l' '
a cos B
N cos B
,
''
' ' 1 e 2 sin 2 B 12
где l´´ - разность долгот в секундах дуги
l´ = L2 – L1
ρ´´ = 206265´´ (радиан в секундах)
В
0
90
В
30
70
1º
1´´
Дуга меридиана (м)
110576,13
30,7
110675,8
32,0
Дуга параллели (м)
55800,9
15,5
38187,7
10,6
Длина дуги в 1º изменяется примерно на 100 м от 0º до 90º.
Максимальная длина дуги меридиана на полюсе, а максимальная длина
параллели будет на экваторе и равна она 110 км.
16
Определение геодезических координат и расстояний на эллипсоиде
относимости
Постановка задачи
Определение координат опорных пунктов с помощью астрономических
наблюдений выполняется, когда инструмент устанавливается по отвесной
линии.
Отвесная линия не совпадает с нормалью, между ними есть угол или
уклонение. Это уклонение отвесной линии находится как проекция на
плоскость меридиана и первого вертикала.
Поэтому астрономические координаты не совпадают с геодезическими, это
выражается разностью
В–φ
λ–L
Геодезические координаты относятся к эллипсоиду, а астрономические – к
сфере.
Зенит – это точка над головой
наблюдателя.
(В – φ)
(λ – L)
- расхождения между
координатами
Прямая и обратная геодезические задача
Прямая геодезическая задача
Если известны геодезические координаты точки М, направление на
определяемую точку и расстояние между ними, нужно определить
расстояние (по прямой) и азимут на другую точку N.
Обратная геодезическая задача
По известным координатам двух точек можно определить расстояние
между точками и азимуты.
Сферический избыток
В плоском треугольнике
сумма углов равна 180º, в
сферическом
треугольнике
сумма углов больше.
С – сферический избыток
Сmax = 360º
17
Формула для вычисления сферического избытка
С
S aвc
1
... ,
2
R
242
где ρ´´ = 206265
S – площадь сферического треугольника.
Площадь сферического треугольника определяется по формуле Герона:
S
рa р в р с р
р
авс
2
С ( ´´)
0,07
0,25
8
27
l (км)
5
10
60
120
l – сторона треугольника
Понятие о редукционной проблеме в высшей геодезии
ha , hв – высоты над геоидом
Существует два метода решения редуцирования:
1) Метод развертывания;
2) Метод проектирования – его развитие связано с развитием гравиметрии
(науки о гравитационном поле Земли).
Ломоносов первым предложил газовый гравиметр.
g
M
2
R ,
g – ускорение силы тяжести,
γ – гравитационная константа,
М - масса Земли,
R - радиус Земли.
18
Метод развертывания
S – длина линии ав определяется из геодезического нивелирования.
Последовательность выполнения:
1) Длины и углы редуцируются на уровень моря (геоид) и далее на
эллипсоид. Перенос на геоид осуществляется по радиусам кривизны
R M N ,
где R – средний радиус кривизны,
M – радиус кривизны для меридиана,
N – радиус кривизны для первого вертикала.
S
R h
,
S0
R
где h – высота над поверхностью геоида.
h
S0 S 1
R
После разложения в ряд по аргументу
1
h
получим
R
h
h2
S0 S
...
R R 2
2
h
- очень малая величина, поэтому
R 2
S0 S
h
R
Редуцирование на эллипсоиде выполняется простым откладыванием, так
как мы не знаем точное значение высоты.
Редукционная поправка при редуцировании на эллипсоид будет
представлять малую величину в долях миллиметра.
Не учитываются отклонения отвесных линий, их величина несколько
секунд. Уклонение отвесной линии – ξ ..
Выведем формулу для редуцирования по высоте:
S 2 1
Тогда формула редуцирования с учетом методов редуцирования принимает
вид
19
h
h2
S0 S
S
R R 2
Влияние уклонения отвесных линий на φ, λ, α
φ – астрономическая широта,
λ – астрономическая долгота,
α – астрономический азимут.
Плоскость истинного горизонта параллельна плоскости видимого
горизонта. Радиус сферы произвольный, поэтому кажется, что звезды
находятся от нас на одинаковом расстоянии.
Выполним рисунок небесной сферы и покажем на нем астрономические
координаты φ и λ.
О – центр небесной сферы,
Z – зенит,
n – надир,
Zn – отвесная линия,
PN – северный полюс мира,
PS – южный полюс мира,
PN, PS – ось вращения небесной
сферы, ось мира,
N – точка севера,
S – точка юга,
E – точка востока,
W – точка запада.
Небесная сфера – это воображаемая сфера произвольного радиуса, на
которой мы видим небесные тела.
Центром сферы является глаз наблюдателя.
Истинный горизонт – окружность перпендикулярная отвесной линии,
проходящая через центр небесной сферы.
Видимый горизонт параллелен истинному горизонту.
Плоскость перпендикулярная к оси мира называется плоскостью экватора.
Её пересечение с небесной сферой дает круг, который называется небесный
экватор.
Круг плоскости рисунка называется небесный меридиан.
Отображение вращения сферы есть отображение вращения Земли.
Высота полюса мира над горизонтом равна географической широте. На
экваторе высота полюса равна 0º, а на полюсе - 90º.
Ось мира параллельна оси вращения Земли.
Долгота отсчитывается от Гринвичского меридиана с запада на восток.
20
Азимут астрономически отсчитывается от точки юга по ходу часовой
стрелки до вертикала данного светила.
Геодезический азимут равен астрономический азимут + 180º.
Астрономический азимут точки запада = 90º
севера = 180º
востока = 270º
Геодезический азимут точки запада = 270º
востока = 90º
юга = 180º
Первый вертикал – это большой круг небесной сферы, проходящий через
точку запада и востока.
На рисунке небесной сферы показано:
Z – геодезический зенит т.А,
Z1 – астрономический зенит,
AM – направление из т.А в т.М
ZM – зенитное расстояние т.М
Z1M – астрономическое
зенитное расстояние
Z1Z – полное уклонение
отвесной линии
Z1Z2 – (η) – состовляющее
уклонение отвесной
линии в первом вертикале
ZZ2 – (ξ) – состовляющее
уклонение отвесной линии в
плоскости меридиана
Am – геодезический азимут
αm – астрономический азимут
ZP = 90º - β
Z2P = 90º-β-ξ
∆ℓ= λ-L
- разность долгот
∆ZZ1Z2
- сферический треугольник
U 2 2 - полное уклонение
ηиξ
η = U∙sinQ
tgQ = ξ / η
- уклонение отвеса
21
С учетом элементов геодезической и астрономической широты эти
уклонения определяются из специальных наблюдений, геодезических и
астрономических измерений, тогда U (полное уклонение) определяется:
U
B 2 L 2 cos 2
Решая сферические треугольники ∆ZZ2Z1 , ∆Z2Z1Р и ∆ZМZ1 , определяем
выражение геодезического азимута через астрономический:
Am = αm – (λ – L)∙sinφ
Максимальное уклонение отвесной линии рассчитывается по уравнению
Лапласа и формулам
ξ = U∙sinφ
η = U∙cosφ
Эти уравнения Лапласа позволяют контролировать боковые сдвиги в сетях
триангуляции; так как длина звеньев триангуляции может достигать сотни
километров, азимуты Лапласа позволяют контролировать смещение
триангуляционных сетей.
Оценка точности азимутов Лапласа определяется формулой
m m 2 m 2 A sin 0.7
Расстояние между азимутами Лапласа – 120 км
Азимуты Лапласа используются для контроля в триангуляции I класса.
Определение основных элементов фигуры Земли из градусных
измерений.
Установление исходных геодезических дат.
Эллипсоид Красовского.
Основными элементами фигуры Земли является:
большая полуось (а),
квадрат эксцентриситета (с2),
сжатие (α).
Для определения этих данных необходимо произвести измерения длин
параллели и меридиана.
1 3
S a B2 B1 1 cos 2 Bm e2 ...
(1)
4 4
B B2
Bm 1
2
2
e = 2α – α2
(2)
В формуле (1) два неизвестных – а и е2. Необходимо для решения
измерения по крайней мере двух дуг на двух или на одном меридиане, т.е. на
разных широтах. Такая методика применялась в 19 веке.
22
В 20 веке эта методика изменилась. Она выполняется методом нахождения
поправок к ранее получаемым результатам.
Эти поправки можно представить так:
а = а0 +∆α
2
е = е 2 0 + ∆ е2
(3)
а0 и е – исходная дата измерений;
∆α и ∆е2 - поправки
Формула (3) показывает нахождение элементов фигуры Земли.
Подставив формулы (3) в формулу (1), получим:
1 3
2
S а0 B2 B1 1 cos 2 Bm e0 е 2 ...
(4)
4 4
Необходимо учесть радиус кривизны меридиана:
M
a 1 e2
1 e sin B
2
2
3
(5)
2
Если в формуле (5) знаменатель разложить в ряд, ограничиваясь
элементами порядка е4 , получим:
1 3
2
М 0 a 1 cos 2 Bm e0 ... ,
(6)
4 4
тогда формула (4) примет следующий вид:
а а 1 3
S
2
B2 B1 1
cos 2 Bm е ...
(7)
М0
М0 М0 4 4
Т.к. поправки две, следовательно, составляется система уравнений. Решая
её получим значения поправок.
Определение элементов а и α по градусным измерениям, выполненным
вдоль параллелей
Длина дуги параллели определяется по формуле:
l
S N cos B
,
(8)
где N – радиус кривизны первого вертикала,
l – разность долгот.
a cos B
N
1 e 2 sin 2 B 12
Дальнейший ход рассуждений остается таким же, как при определении на
меридиане. Решая систему уравнений находим поправки ∆а, ∆α, ∆е2.
Определив соответствующие уклонения отвесных линий, определяется
ориентировка эллипсоида внутри Земли.
23
Определение а и α по большим астрономическим
и геодезическим сетям.
1/6 поверхности территории бывшего СССР в течение двух десятков лет,
начиная с 1920 по 1940 гг. была покрыта сплошной сетью триангуляции I, II,
III, IV класса, поэтому представилась возможность получить а и α по
обработке сетей на большой территории как по меридиану, так и по
параллели. Вычисления выполнялись для разных широт и долгот.
17 апреля 1946 года были утверждены элементы эллипсоида Красовского
а = 6378245 м
1
α=
298,3
В 1958 году состоялся Международный геофизический год. Элементы
эллипсоида Красовского были утверждены как элементы общего земного
эллипсоида.
Установление исходных геодезических дат
Первое решение об установлении геодезических дат может быть такое:
- примем уклонение в первом вертикале ξ = 0 и η в плоскости меридиана = 0,
тогда В0 = φ0 , L0 = λ0 .
Азимут геодезический может быть принят за астрономический, А0 = α0 .
ε – высота над поверхностью геоида также равна 0.
На самом деле уклонение отвеса необходимо определить. Поэтому для
установления исходных геодезических дат надо проводить геодезические,
астрономические и гравиметрические работы.
Изучение фигуры физической поверхности Земли.
Постановка задачи.
Координаты точек и дифференциал дуги
на физической поверхности Земли.
Определение высот. Редукционная задача.
Принципиально можно построить строгую фигуру поверхности Земли
чисто геометрическим путем в замкнутом виде в сфероидической геодезии в
системе пространственных прямоугольных координат X, Y, Z.
Наша задача получить координаты А (H, B, L)
Введем координаты X – перпендикулярно плоскости нулевого меридиана;
Y – ось в плоскости экватора по направлению с запада на восток;
Z – параллельно оси вращения Земли.
24
В каждой точке на поверхности Земли будет своя система координат,
которая определяется астрономически. Всегда можно определить углы и
координаты относительно оси вращения Земли или относительно плоскости
экватора.
Принципиально все системы можно свести в одну. Но для этого
необходимо установить отсчетную поверхность, за которую принимается
уравнение эллипсоида вращения:
x2 y2 z2
2 1
a2
в
H – высота физической поверхности Земли над эллипсоидом по нормали.
Тогда мы можем задаться уравнением вида:
H = H (B, L)
Эти координаты соответствуют основанию широты.
Введем прямоугольные координаты x0, y0, z0. Эти координаты
определяются следующими уравнениями:
x0 = N∙cosB∙cosL,
y0 = N∙cosB∙sinL,
(1)
в2
z 2 N sin B
а
Направление элемента дуги dS можно определить, если измерить зенитное
расстояние и азимут этой дуги, который отсчитывается от геодезического
зенита и меридиана.
Проекция отрезка dS на координатные линии дает следующие выражения:
dS ∙ sinZ = dH
dS ∙ sinZ ∙ cosA = (M + N) ∙ dB
(2)
dS ∙ sinZ ∙ sinA = cosB ∙ dB
25
Решая данную систему окончательно получим для dS2 следующие
выражения:
dS dH 2 M N dB N H sin A cos A dL
2
(3)
Формула (3) есть окончательное решение поставленной задачи об определении координат на физической поверхности земли и на поверхность эллипсоида.
Определение высот.
Определение высот производится методом элементарного
нивелирования. ∆h = а — b
Элементарное нивелирование производится по отвесной линии, если
установить рейки а и в по нормали
эллипсоиду, тогда отсчеты будут а` и в`.
Тогда мы получаем некоторое другое
превышение ∆Н.
∆h – H = U∙∆ℓ
U-уклонение
отвеса;
∆ℓ = a∙a` + в∙в`
∆H = ∆h – (ξ∙сosA + η∙sinA)∙∆ℓ
(4)
Она устанавливает связь между элементарным нивелированием и
нивелированием относительно эллипсоида относимости. Эту величину
можно получить из геометрического и астрономического нивелирования.
Для пунктов А и В можно записать следующее:
Редукционная задача.
(5)
Эта задача решается для азимутов, когда их редуцируют на поверхность
эллипсоида относимости. При этом ставят условие при редуцировании. Если
Н = Н — азимут не редуцированный находится над поверхностью
эллипсоида. При Н = 0 - редуцирован на поверхности эллипсоида. Имеются и
разработаны формулы такой редукции. Воспользуемся известной формулой
тригонометрии.
(6)
26
Формула (6) показывает, что для редуцирования азимута на поверхностити эллипсоида надо знать высоту физической поверхности над эллипсоидом, это величина Н.
N1 и N2 - радиусы кривизны в первом вертикале, а также B1 и В2 и L1 и
L2 соответственно геодезические широты и долготы.
Редукция базиса.
Для решения этой задачи воспользуемся формулами 2 и 3 приняв Н
равное 0 и пользуясь ортогональной проекцией дуги ds., учитывая, что
sinZ=l, где Z-зенитное расстояние близкое к 90°. Тогда,
ds0 = М∙cosA∙dB + N sinA∙cosB∙dL,
где М и N-радиусы кривизны меридиана и первого вертикала, А-азимут дуги
ds, В - геодезическая широта, dB и dL – изменение широты и долготы
соответственно. Дуга ds небольшая по величине.
Гравиметрический способ изучения фигуры земли.
Некоторые сведения о гравиметрических измерениях.
Принципы построения мировой гравиметрической съемки.
1. Гравиметрическое измерение фигуры земли стало возможно, когда
накопилась значительное количество гравиметрических измерений на земном
шаре, их точность стала значительно высока.
2. Гравиметрическое измерение производится относительным методом,
т.е. измеряются приращения силы тяжести от одной точки к другой.
Абсолютные измерения производятся в ограниченном числе пунктов. В
18981904 годах основным был принят маятниковый пункт в Потсдаме, где были
произведены абсолютные определения силы тяжести.
3. Все измерения должны производиться в единой системе. Все измерения
в других странах редуцировались, привязывались к пункту в Потсдаме, то
есть находилась разница ∆g. Так была организована единая Потсдамская
гравиметрическая система.
4. Внутри каждой страны развивались сети первоклассных опорных
пунктов высокой точности, а далее развивались местные опорные сети. Их
назначение было для производства отдельных гравиметрических съемок.
5. Связь всех исходных национальных пунктов позволяет уточнить мировую
гравиметрическую систему, повысить точность определения α - сжатие
земли и ξ – высота геоида над эллипсоидом.
6. Гравиметрический метод изучения фигуры земли имеет преимущество
перед геометрическим методом, так как в настоящее время гравиметрические
измерения могут производиться на всей поверхности земли, а
геометрический метод или способ применим для материков.
7. В настоящее время не вся земля покрыта гравиметрической съемкой.
Слабо изучены океаны. В последнее время гравиметрические измерения в
27
морях и океанах ведутся интенсивнее.
8. Хорошо изучены в гравиметрическом отношении: Европа, Северная
Америка, Австралия, значительная часть Азии. Слабо изучены южная
Америка, Антарктида. Только несколько гравиметрических ходов были
выполнены советскими и американскими гравиметристами.
Сила тяжести, ускорение силы тяжести.
Допускаем, что точка М находится на поверхности эллипсоида.
На эту точку действует две силы:
MF - сила земного притяжения;
МР - центробежная сила перпендикулярная к оси
вращения;
MG - результирующая сила. Она направлена по
нормали к поверхности геоида.
Если F — сила земного притяжения, Р центробежная сила, G – сила тяжести, то по
рисунку видно: G = F + Р
Если принять землю за шар и ввести обозначения через, m - масса
некоторой точки А, М - масса земли, R - радиус земли, f – гравитационная
постоянная, то сила земного притяжения будет равна:
(1)
Условно принято если действует сила притяжения, то знак (-), а если сила
отталкивания знак (+).
Центробежная сила определяется:
P
mV 2
где m - масса, V - линейная скорость, ρ - расстояние.
Известно, что линейная скорость связана с угловой до оси вращение.
Р = ω2mρ
Угловая скорость определяется по формуле:
(2)
(3)
Это выражение звездного года в средних секундах.
Так как Р << F, то результирующая G характеризуется ускорением силы
тяжести g, которая выражается в галлах.
Измерение ускорения производиться с точностью до тысячных долей Галла
и даже до стотысячных. За единицу ускорения силы тяжести принимает
одна тысячная Галла.
28
Сила земного притяжения, ее потенциал.
Пусть точка В имеет единичную массу и она
переместилась по некоторому направлению А
в положение В1. Обозначим расстояние ВА = г,
a B1A = r1. Введем систему кoординат, где
F-сила земного притяжения. Она будет определяться формулой:
(4)
Определим работу силы F при перемещении
точки В в положение В1, обозначив работу R:
Результат интегрирования дает следующее:
1 1
R f M
r r1
Полагая, что верхний предел r1 стремиться к бесконечности, мы получим:
M
Rf
Vпритяж.
r
где V - потенциал силы притяжения.
Дадим определение потенциала силы притяжения в данной точке, равного
работе, которую необходимо совершить силе, противоположной по
направлению силе притяжения, для перемещения притягиваемой точки с
единичной массой в бесконечность.
Центробежная сила, ее потенциал.
Так как притягиваемая точка имеет массу
m=1,тогда центробежная сила будет равна:
P 2R
R - расстояние до центра вращения;
ω – угловая скорость.
Если совместить ось вращения Земли с осью Z, то
сила Р будет спроектирована с осью XY, a Z будет
равно 0.
x=R∙cosα
y = R∙sinβ
29
Соответственно получим проекцию центробежной силы:
Рх и Ру являются частными производными по координатам, тогда потенциал
центробежной силы определяется:
2
N
2
x y
Сила тяжести и ее потенциал.
Обозначим через g - вектор силы тяжести:
Найдя проекции величины g на координатные оси, как частные производные, по потенциалам силы притяжения и центробежной силы, мы получим
выражение потенциала силы тяжести:
Нормальное гравитационное поле Земли.
Нормальный земной эллипсоид.
Теорема Клеро о распределении силы тяжести на земной поверхности.
Формулы нормального значения силы тяжести.
Масса и средняя плотность Земли.
Ньютон, рассчитывая сжатие Земли, считал, что она однородная вращающаяся жидкость, а = 1/230 (сжатие).
Клеро в своих расчетах считал, что Земля жидкая и, учитывая законы
гидростатики, определил фигуры уровненной поверхности Земли. Доказал
теорему о распределении силы тяжести на этой поверхности. Доказал, что
плотность изменяется с глубиной, но между двумя уровненными
поверхностями, на малом расстоянии она остается постоянной.
В промежутке между отдельными слоями плотность может меняться по
любому закону. Клеро вывел 2 уравнения, которые принято называть
теоремой Клеро:
(1)
где В - геодезическая широта, β = 5.2q - α
где ge - ускорение силы тяжести на экваторе.
Если B = 0, то мы получаем ускорение на экваторе. Если B= φ/2,
получаем ускорение на полюсе.
Тогда мы можем определить β – коэффициент:
(2)
30
Смысл коэффициента β выражен формулой (2). Это есть избыток силы
тяжести по отношению к экватору.
Сила Клеро позволяет найти сжатие α на уровненной поверхности
сфероида, если известна его большая полуось, построить земной эллипсоид и
решить обратную задачу. То есть, если известны элементы эллипсоида, можно определить закон определения силы тяжести.
Формула (1) называется формулой нормального распределения силы
тяжести. Закон распределения на идеальном земном эллипсоиде вращения,
сжатие α = 1/298,3. Клеро полагал, что земная поверхность совпадает с поверхностью океана. Эта поверхность является эллипсоидом вращения, что
отвесные линии совпадают с нормалью эллипсоида. В начале Х1Х века стало
ясно, что это не так и было введено понятие геоида - уровненной
поверхности, совпадающей на океанах с условием невозмущенной воды, как
поверхности везде нормальной отвесным линиям.
В триангуляции нормальные углы должны давать углы на геоиде. Приведенные к горизонту базисы длины дуг параллельны геоиду, а астрономические
координаты φ и λ должны определять направление нормали к геоиду. А
результаты нивелирования должны давать высоты над геоидом. Такое
представление Земли и связь астрономических и триангуляционных измерений
позволили при обработке геодезических измерений пользоваться методом
развертывания т. е. углы, длины, координаты на физической поверхности Земли
редуцировались за счет высот над геоидом.
В 1849 г. Стокс показал, что изменение силы тяжести на поверхности
Земли и зависимость ее от α для данного эллипсоида необязательно связано
с гипотезой гидростатического равновесия Земли. Он поставил и решил в
частном случае задачу определения внешнего потенциала силы тяжести при
данной внешней поверхности и известных на ней значениях силы тяжести и
потенциала.
Масса и средняя плотность Земли.
Поскольку сила тяжести есть функция массы Земли и скорости ее вращения (ω), то по известным значениям силы тяжести и угловой скорости
большой полуоси можно определить массу Земли. По астрономическим законам масса Земли выражается в относительных единицах по отношению к
массе Солнца. Запишем третий уточненный закон Кеплера:
2
3
Т 1 М m1
a1
3
2
T2 M m2 a 2
где T1, T2 - периоды обращения планет вокруг Солнца;
m1, m2 - массы планет;
а1 , а2 - расстояние планет от Солнца;
М - масса Солнца.
31
Учитывая, что m << M, то из третьего закона Кеплера мы можем выразить
массу Солнца в массу Земли.
М = 32000 М
Потенциал Земли можно представить как:
Современная точность измерения гравитационной постоянной
составляет 0.1%. При решении некоторых задач физики, геофизики
требуется более высокая точность массы Земли, значит нужно точнее
определять гравитационную постоянную.
Проблема регуляризации Земли и редукция силы тяжести.
Поправка за рельеф местности.
Редукция Буге.
Топографическая редукция.
Уравнение, определяющее значение силы тяжести:
γ=γ∙(1 + β∙sinВ-β΄∙sin22B + β΄΄cos2В∙ cos2(λ- λ 0) + )
(1)
Эта формула определяет нормальные значения силы тяжести на уровненном эллипсоиде. Уравнение (1) имеет 3 неизвестных: ge, β, β΄. Для решения
поставленной задачи необходимо как минимум в трёx разных точках
определить (измерить) значение силы тяжести. Чем больше будет определений, тем точнее будут определяться эти неизвестные. Данная формула
справедлива для идеализированной Земли, т.е. все массы находятся внутри
эллипсоида, и они распределены равномерно, а в действительности это не
так. Часть масс находится выше эллипсоида (например континенты).
Операция устранения выступающих за уровненную поверхность масс получило название регуляризации Земли. Возможны 2 пути решения этой
задачи:
1) Перенос масс во внутрь эллипсоида. Это сложно, т.к. нужно знать
распределение масс внутри Земли.
2) Отказ уровненной поверхности, близко совпадающей с реальной
32
физической поверхностью Земли и построение поверхности относимости на
высоте, охватывающей все массы Земли (геоид Бриллуэна). Задача решается
строго, но трудность редуцирования силы тяжести по вертикалам, т. к не
известен ее вертикальный градиент. Задача имеет весьма ограниченный
практический смысл, т.к. сглаживаются аномалии силы тяжести, что
неприемлемо для решения некоторых задач в геологии, геофизики и т.д.
Вряд ли такая поверхность может отобразить физическую поверхность
Земли.
Все определения силы тяжести должны быть определены по теории Стокса
к единой поверхности, Так возникает редукционная проблема. При
регуляризации Земли необходимо сохранить ее массу и форму уровненной поверхности или знать, как она изменяется, необходимо знать распределение
при их переносе.
В XX веке Молоденский М.С. разработал вопрос решения всех задач без
регуляризации земли. Он отказался от геоида, а для решения задач
геодезической гравиметрии использовал физическую поверхность Земли, но
задача регуляризации не снимается, но значительно упрощается. Редуцирование производится в нормальном силовом поле. Нормальное значение силы
тяжести, определенное на эллипсоиде (формула (1)), должно переноситься в
точку с геодезической высотой h, определенной в нормальном силовом поле. Эта точка будет располагаться на некоторой глубине ζ, равной расстоянию до квазигеоида. Это позволяет заменить изучение силы тяжести
изучением небольших отклонений ее от нормальных значений.
Введем некоторые обозначения, которые в дальнейшем будем применять
при решении задач геодезической гравиметрии.
γ0 – нормальное значение силы тяжести на референц-эллипсоиде;
g – нормальное значение силы тяжести на геоиде;
g – измеренное значение силы тяжести;
γ – нормальное значение силы тяжести на высоте ζ над геоидом.
Значение g и γ отнесены к различным поверхностям. Образование аномалий
- смещения, тогда (g - γ) - есть аномалия, (g0 - γ0) - тоже аномалия, то есть
аномалий много. Сделаем рисунок, поясняющий наши рассуждения.
33
В дальнейшем будем пользоваться следующими обозначениями:
γ – нормальное значение силы тяжести;
γ0 – нормальное значение силы тяжести на эллипсоиде;
g – олпределённое значение силы тяжести;
g0 – определенное значение силы тяжести на уровне моря;
g0΄ - определенное значение силы тяжести, но исправленное за рельеф;
g0΄΄ - определенное значение силы тяжести, но исправленное за влияние
промежуточных слоев.
Аномалия-это разность между различными значениями силы тяжести.
Выделим из них основные:
∆g = g0 - γ0 – аномалия с редукцией в пустоте (свободном воздухе).
∆g = g0΄- γ – полная аномалия (с редукцией в свободном воздухе и
исправленная за рельеф).
∆g = g0΄΄ - γ – аномалия Буге. Это аномалия с редукцией в свободном
воздухе и исправленная за влиянием промежуточных слоев.
Поправка за рельеф местности.
1. Цель этой поправки - учесть влияние притяжения всех форм рельефа и
привести значение силы тяжести в данной точке, которое бы
получилось, если бы под точкой располагался ровный слой масс и
впадин.
2. Не учет поправки за рельеф нарушает условие Стокса.
3. При расчете поправки за рельеф применяется различная методика.
Теоретические расчеты сводятся к тому: когда реальный рельеф
заменяется притяжением цилиндра, призмы в наклонной плоскости и
т.д., то есть берется потенциал этих геометрических фигур.
4. Влияние рельефа убывает пропорционально квадрату расстояния, в
равнинной местности он мало эффективен. Влияние велико в горной
и всхолмленной местности.
Редукция Буге.
Последовательность образования редукции Буге:
1. В измеренное значение силы тяжести в точке с высотой Н над
геоидом вносится поправка за рельеф, что сводит влияние близких
масс, лежащих между геоидом и точкой к влиянию притяжения
пластины толщиной Н.
2. Исключая влияние притяжения этой пластины, приводит к удалению
всех масс над геоидом.
3. Определяется поправка за высоту, что соответствует опусканию точки
на геоид и сохранению условия Стокса, отсутствию масс вне
уровенной поверхности. Однако это нарушает сохранность самих
масс.
34
Редукция Буге ведет к заметным деформациям геоида. Редукцию Буге
можно представить, как сумму, состоящую из редукции в свободном воздухе
и поправки за влияние промежуточного слоя, что выражается формулой:
Рабочая формула редукции Буге примет вид:
4. Редукция Буге применяется для интерполяции в свободном воздухе
аномалии силы тяжести. В геодезических работах эта аномалия не
применяется, так как расхождение в определение высоты геоида над
эллипсоидом получается завышенным, а применяется в инженерной
геологии для выявления резких аномалий.
Топографическая редукция.
Смысл поправки заключается в отнесении наблюденного значения силы
тяжести геоиду с исключением притяжения всех выступающих за геоид масс
на всей Земле. Эта поправка называется полной топографической редукцией.
Ведение полной топографической редукции трудоемко. Как правило,
ограничиваются вычислением влияния масс, близко расположенных к
исследуемой точке (неполная топографическая редукция на расстояние 200
км). Для этих целей составлены специальные таблицы Хейворда на
максимальное расстояние 166.7 км. Чаще поправка за притяжение топографических масс заменяется поправкой за притяжение бесконечно плоской
пластины, которой как бы заменяются топографические массы вблизи исследуемой точки, что редукцию Буге.
Аномальное гравиметрическое поле.
Геоид регуляризованной Земли.
Практика вычисления высот геоида.
Карта геоида.
1. Если Землю представить в форме эллипсоида вращения, то мы имели
бы нормальное распределение силы тяжести. Нами был показан путь
определения α (сжатия Земли). По значениям силы тяжести,
измеренным на ее поверхности для трехосного эллипсоида, была
получена формула Жонголовичем.
2. Если взять нормальное значение силы тяжести, то сжатие α будет
равно 1/296.6. Чтобы знать реальную фигуру Земли, необходимо знать
35
расстояние от эллипсоида относимости до точек физической
поверхности Земли, то есть геодезические высоты. В этом случае
можно говорить о точном значении фигуры Земли. Точность будет
завесить от густоты точек.
3. Геоид - уровенная поверхность океана и морей в невозмущенном
состоянии, мысленно продолженная под материками. Геоид можно было
бы считать вторым приближением истинной поверхности земли. Но в
районе материков мы просто не знаем, как расположена эта
уровенная поверхность.
4. Задача будет решена полностью при определении фигуры Земли, если
астрономогеодезические и гравиметрические сети будут покрывать всю
поверхность Земли. В настоящее время это еще не выполнено
полностью.
Теорема Брукса.
Обозначим силу тяжести на геоиде g0. Нормальное значение силы тяжести на
эллипсоиде γ0. Их разность дает смешенную аномалию, которая характеризуется
расхождением уровенных поверхностей. Это дает материал для определения
высоты геоида над эллипсоидом. Обозначим через ζ высоту геоида над
эллипсоидом. Тогда теорема Брукса выражается как:
36
