Методические указания по математике ЧГУ

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова»
(ФГБОУ ВО «ЧГУ им. И.Н.Ульянова)
Алатырский филиал
Методические указания
к выполнению расчетно-графической работы
по дисциплине
МАТЕМАТИКА
Алатырь 2020
2
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ
Цель изучения дисциплины - освоение обучающимися математического
аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач
экономического содержания. Развитие у обучающихся способностей
самостоятельного изучения математической литературы и умения выражать
математическим языком задачи экономического содержания.
Задачи:
- изучение основ математического анализа;
- изучение методов вычисления пределов функций;
- изучение основных методов дифференцирования функции одной
переменной;
- изучение основных методов интегрирования функции одной
переменной
(интегрирование
рациональных,
иррациональных
и
тригонометрических функций);
- изучение методов решения дифференциальных уравнений;
- изучение методов исследования числовых рядов на сходимость;
- изучение освоение методов дифференцирования функции нескольких
переменных;
- изучение методов вычисления кратных интегралов;
- изучение методов матричного анализа;
- приобретение навыков работы со специальной математической
литературой.
3
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
ТЕМА 1.1 ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ
Область определения функции. Множество значений функции. Четность,
нечетность функции.
В результате изучения темы Вы должны уметь:
— находить область определения функции;
— строить графики известных степенных функций;
— применять сдвиг и деформацию при построении графиков;
— по графику функции устанавливать ее важнейшие свойства.
Вы должны уметь решать задачи следующих типов:
1. Найдите зависимость площади квадрата от длины его стороны. Постройте
график этой зависимости.
2. Найдите область определения функции:
у  2 x  1 б) у=
5x
x  2x  3
2
в) у= 3x  5
7x 1
3. По графику функции, изображенному на рис. 1, установите:
а) область определения функции;
б) множество значений функции;
в) точки, в которых функция обращается в нуль;
г) промежутки возрастания и убывания функции;
д) является ли функция четной или нечетной.
4. Постройте график функции:
a) у= x  2 б) у=(x-1)2 в) у=3+ 1 г) у=–2х+1
x
Для того чтобы научиться решать задачи таких типов, Вам нужно усвоить
следующие вопросы:
Числовая функция. Способы задания функции. Числовая
последовательность. График функции. Простейшие преобразования графиков
функций.
Монотонность, ограниченность, четность и нечетность, периодичность
функций. Обратная функция.
Рис. 1
4
С понятием функции Вы уже познакомились в школьном курсе математики.
Поэтому мы лишь напомним некоторые простейшие свойства
функциональных зависимостей, а также графики некоторых элементарных
функций.
Если каждому числу х из некоторого числового множества D
соответствует единственное значение переменной у, то говорят, что на
множестве D определена функция. Множество чисел, на котором задана
функция, называется областью определения функции и обозначается D (у).
При аналитическом способе задания функции под ее областью определения
(если она не указана) понимают множество всех тех значений х, при которых
формула, определяющая функцию, имеет смысл.
Функция у=f'(х) называется четной, если для каждого х из области
определения функции число — х также принадлежит ее области определения
и выполняется равенство f(-х) =f (x).
Функция у=f (х) называется нечетной, если для каждого х из области
определения функции число — х также принадлежит ее области определения
и выполняется равенство f ( — х) = — f (х).
График четной функции симметричен относительно оси ординат, а нечетной
— относительно начала координат.
Функция у=f(х) называется возрастающей на множестве Х, если для любых
х1 и х2 из этого множества и таких, что x1 < х2, выполняется неравенство f(х )
<f(х2).
Функция у=f (х) называется убывающей на множестве Х, если для любых х1
и х2 из этого множества и таких, что х1 <x2 выполняется неравенство f (х1)
>f(х2).
Если функция возрастает (убывает) на всей области определения, то говорят,
что функция у=f(х) возрастающая (убывающая).
Задача 1. Найти зависимость объема куба от длины его ребра и построить
график этой зависимости.
Δ Как известно, объем куба равен кубу длины его ребра, т. е. V=x3, где V —
объем куба, а х — длина его ребра. Обратите внимание, что эта функция
определена при х> 0 (длина ребра положительна). Ее график изображен на
рис. 3.
Рис. 3
Задача 2. Найти область определения функции:
1
x
2
а) у= x  3 ; б) у= 3x  1 ; в) у= x  3x  2
Δ а) Функция у= 1
x3
определена на всей числовой прямой за исключением
значения х=3, при котором знаменатель х — 3 равен нулю, а дробь не имеет
смысла: D (у) = ( —  ; — 3)  (3; +  ).
5
б) Областью определения функции у= 3x  1 является множество точек
числовой прямой, при которых подкоренное выражение неотрицательно: 3х+
1  0; х  — 1/3. Значит,
D (у) =[ — 1/3; +  ).
в) Функция у= 2 x
x  3x  2
определена на всей числовой прямой за
исключением точек, в которых знаменатель х2 — Зх+2 равен нулю. Решив
квадратное уравнение х2 — Зх+2= О, получим х= 1,5  2,25  2 = 1,5  0,5,
откуда х1= 2, x2 =1. Итак, D (у) = ( —  ; 1)  (1; 2)  (2; +  ).
Задача 3. По графику функции, изображенному на рис. 4, установить: а)
область определения функции; б) множество значений функции; в) точки, в
которых функция обращается в нуль; г) промежутки возрастания и убывания
функции; д) является ли функция четной или нечетной.
Δ а) Функция определена при х  [ — 1; О) и (О; 1,5].
б) Множество значений функции [ — 1; 1).
в) Функция обращается в нуль при х= — 1.
r) Функция возрастает при x  [-1; О) и убывает при x  (0; 1,5].
д) Данная функция не является ни четной, ни нечетной,
Рис. 4
Рис. 5
так как, например число х= 1,5 принадлежит области определения, а число —
1,5 не входит в нее.
Часто бывает известен график функции у =f (х), а требуется построить
графики функций у=f (x)+a, у =f (х+ b), y = kf (х), у =f(  х), где а, b, k  0 —
некоторые постоянные.
Если точка (х0,у0,) принадлежит графику функции у=f(х), то точка (х0, vo+ а)
принадлежит графику функции y =f (x) + а. Следовательно, график функции
у =f (х) + и можно получить из графика функции у =f(х) сдвигом последнего
вдоль оси у на а единиц: в положительном направлении оси, если a> 0, и в
отрицательном, если a<0.
Аналогично, график функции у=f (х+b)можно получить из графика функции
у=f (х) сдвигом последнего вдоль оси х на |b|единиц: в отрицательном
направлении оси, если b>0, и в положительном, если b<0. График функции
у=kf(х), где k> 0, можно получить из графика функции у=f (х) растяжением
последнего от оси абсцисс в k раз, если k>1, или сжатием его к оси абсцисс в
1/k раз, если 0<k<1. График функции у=f (  х) можно получить из графика
функции у=f(х) сжатием последнего к оси ординат в  раз, если  > 1; или
растяжением его от оси ординат в 1/  раз, если 0<  <1.
6
При отрицательных значениях k и  дополнительно выполняется
преобразование симметрии относительно оси х и у соответственно.
Задача 4. Построить график функции:
а) у= х  3 ; б) у= 1  2 ; в) у=3x2,
x
Δ а) Функция у= х  3 имеет вид у=f (x+b), где f(х) = х , b = — 3. Ее график
получается из графика функции у= х сдвигом последнего на 3 единицы
вдоль оси х в положительном направлении (рис. 5).
б) Функция у= 1  2 имеет вид у=f(х) + а, где f x   1 , a  2 . Ее график
x
x
1
получается из графика функции у= сдвигом вдоль оси у на 2 единицы в
x
отрицательном направлении
оси (рис. 6).
Рис. 6
Рис. 7
в) Функция у=Зх2 имеет вид y=kf (x), где а (х) =х2 k=3. Ее график получается
из графика функции y=>x2 растяжением от оси абсцисс в 3 раза (рис. 7). ~
ТЕМА1.2 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.
Предел функции. Теоремы о пределах. Предел дробно-рациональной
функции. Предел многочлена.
В результате изучения темы вы должны уметь:

При вычислении предела функции пользоваться теоремами о
пределах

Вычислять предел многочлена (целой рациональной функции)

Вычислять предел дробно-рациональной функции
1
 Пользоваться соотношением
x
1
(
1

)  lim(1 )  
lim
x
x 
x 0
Вы должны уметь решать задачи следующих типов:
Вычислить пределы:
1. а) lim (5 x 4  2 x3  4 x 2  6)
x0

7
б) lim 5 x2  2
3x  10
2. а) lim 4
x  2 5 x  10
б) lim 6
x  2 x  1
2
3. а) lim x 2 5 x  6
3x  9 x
x 3
5
4
3
б) lim x  3x 4 2 x  3
5x  5
x 
x2
Для того, чтобы научиться решать такие задачи, вам нужно усвоить
следующие вопросы:
Предел функции. Основные свойства предела. Непрерывность функции в
точке и на промежутке. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Теорема о пределах. Следствие из теорем.
Если график функции можно начертить не отрывая карандаша от бумаги, то
такую функцию называют непрерывной.
Число А называется пределом функции у=f(x) при х, стремящемся к (х→а),
если для любого ε >0 существует число δ(ε)>0 такое, что при 0<|х-а|<δ(ε)
выполняется неравенство f(х-А)<ε. Это записывается так
lim f ( x)  A или f(x)→A при х→а
xa
Функция f(x) называется бесконечно малой (большой) при х→а ,если
lim f ( x)  0
( lim f ( x)   )
xa
xa
1
1
 
 0
0
; 
.
Теоремы о пределах:
Если существуют конечные пределы
lim f ( x) и lim  ( x) то:
xa
x a
1) lim  f ( x)   ( x) = lim f ( x)  lim  ( x)
xa
xa
xa
xa
xa
2) lim  f ( x)   ( x) = lim f ( x)  lim  ( x)
xa
lim f ( x)
lim ( x)
3) lim f ( x)  x  a
xa
 ( x)
lim  ( x)  0
xa
xa
4) lim f ( x) 
 ( x)
xa
xa

lim
  lim f ( x) 
 xa

Следствия:
1. lim c  f ( x)  c  lim f ( x)
xa
x a
 ( x)
8
2. если п – натуральное число, то
lim x  a lim x  a
n
n
xa
n
n
xa
3. Предел многочлена
Р(х) = а0хп+а1хп-1+а2хп-2+…+ап-1х+ап
При х→а: lim
x) 1хm-1
P (+в
a )2хm-2+…+вm-1х+вm
в0хPm(+в
xa
4. Предел дробно-рациональной функции
п
п-1
п-2
R(x)= P ( x)  а0х +а1х +а2х +…+ап-1х+ап
Q( x)
При х→а: lim R( x)  R(a)
xa
Если при х→а и числитель, и знаменатель имеют предел, равный 0, надо
разделить их на х-а и перейти к пределу. Если после деления окажется, что
при х→а числитель и знаменатель снова имеют пределы, равные 0, то надо
произвести повторное деление на х-а. Случаи, когда подстановка
предельного значения аргумента приводит к одной из неопределенностей: ∞∞; 0·∞; 0 ;  ; 1 ; 00 ; 0
0 
Здесь могут оказаться полезными так называемые замечательные пределы:
1) lim sin x  1
x
x 0
1
2) lim(1  1 ) x  lim(1   )  e
x
x 0
x 
Вычислить пределы:
Задача 1
x2  x  1
lim
x3
x2
Так как при x=2 знаменатель дроби ≠0, то по правилу прохождения предела
дробно-рациональной функции получим:
x 2  x  1 22  2  1

 3
lim
x3
23
x 2
Задача 2
5
lim 4 x  8
x 2
Предел делителя равен нулю: lim (4 x  8)  4  2  8  0 теорему о пределе
x2
частного применить нельзя. Т.к. lim (4 x  8)  0 , то 4х-8 при х→2 есть
x2
величина бесконечно малая, а обратная ей величина
1
– бесконечно
(4 x  8)
9
большая. Поэтому при x→2 выражение
1
 5 есть величина
(4 x  8)
5

x  2 ( 4 x  8)
бесконечно большая т.е. lim
Задача 3
а) lim 3x 2  2 x
2
2x  5x
2
б) lim x 2 5 x  6
3x  9 x
x 3
4
2
в) lim x  23 x  3
3x  5
x 
x 0
а) Непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного
значения вычислить предел нельзя, т.к. получается отношение 2-x
бесконечно малых величин  0 
0
Произведем сокращение дроби на общий множитель. Имеем:
x(3 x  2)
3x 2  2 x
3x  2 3x  2 3  0  2 2
 lim
 lim



lim
2
x0 x ( 2 x  5)
2x  5 2  0  5 5
x0 2 x  5 x
x0 2 x  5
б) Пределы числителя и знаменателя при x→0 равны 0. Используя следствие
4, разложим числитель и знаменатель на множители, разделив их на x-3:
_х2-5х+6
х2-3х
-2х+6
-2х+6
0
х-3
х-2
_3х2-9х
3х2-9х
0
х-3
3х
Получим: lim x 2 5 x  6  lim ( x  3)( x  2)  lim x  2  3  2  1
2
x 3
3x  9 x
x 3
3x( x  3)
x 3
3x
33
9
в) При подстановке предельного значения аргумента получаем
неопределенность вида  .Разделим числитель и знаменатель на наивысшую

3
степень аргумента в знаменателе, т.е. на x :
x2  3 3
x
x
lim
5
3  3
x
x
При x→  имеем lim( x  2  33 )  
x 
x
x
10
5
lim(3  x )  3
x 
3
x4  2x2  3 
 
3x 3  5
3
x
 lim
Задача 4
x
lim 5  x  5  x
x0
Пределы числителя и знаменателя при x→0 равны нулю. Умножив числитель
и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель, получим:
lim
x0
x( 5  x  5  x )
x
x( 5  x  5  x )

 lim

lim
x  0 ( 5  x  5  x )( 5  x  5  x )
5  x  (5  x)
5 x  5 x
x 0
x( 5  x  5  x ) 2 5

 5
 2x
2
x0
lim
Контрольные вопросы
1. Если функция f(x) бесконечно малая при x→а, то чему равен lim f ( x) ?
x a
2. Если функция f(x) бесконечно большая при x→а, то чему равен lim f ( x) ?
x a
3. Какие виды неопределенностей вы знаете?
4. Что необходимо делать, если при решении предела дробно-рациональой
функции получается неопределенность?
f ( x)
f ( x) lim
x

a
5. При каком условии выполняется равенство: lim
?


(
x
)
x  a  ( x)
lim
xa
6. Чему равен lim 2 ? Ваши рассуждения?
xa
2x  1
ТЕМА 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Производная функции. Производная сложной функции. Производная второго
порядка.
Промежутки монотонности функции. Возрастание, убывание функции.
Экстремум функции. Исследование функции на экстремум при помощи
производной.
В результате изучения этой темы Вы должны уметь:
— дифференцировать функции, используя таблицу производных и правила
дифференцирования, находить производные сложных функций вида f (ax+b);
вычислять значение производной функции в указанной точке;
11
— находить производные второго порядка, применять вторую производную
для решения физических задач;
— применять производную для нахождения промежутков монотонности и
экстремумов функции;
— проводить исследования и строить графики многочленов, находить
наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной в промежутке;
— решать несложные прикладные задачи на нахождение наибольших и
наименьших значений реальных величин.
Вы должны уметь решать задачи следующих типов:
1. Найдите производную функции: 1
а) у = x 2 2  1 , б) y(5x — 1)6 при х=0.
x
2. Найдите вторую производную функции у= 3
1 x
3. По графику функции, изображенному на рис. 41, укажите: а) промежутки,
где ее производная отрицательна; б) критические точки функции; в) точки
экстремума.
4. Дана функция у= 2 x 3  7 x 2  15 x  2
3
2
а) Найдите промежутки возрастания, убывания и точки экстремума функции.
Рис. 41.
б) Постройте эскиз ее графика.
В процессе изучения темы Вы должны рассмотреть следующие
вопросы:
Производная, ее геометрический и физический смысл. Производная
степенной функции с натуральным показателем. Производная синуса и
косинуса.
Производные суммы, произведения и частного двух функций.
Правило дифференцирования сложной функции. Производные creses- пой,
показательной, логарифмической функций. Вторая производная и ее
физический смысл.
Дифференциал функции и его геометрический смысл. Приложение
дифференциала к приближенным вычислениям.
Признаки постоянства, возрастания и убывания функции. Экстремум
функции. Исследование функция на экстремум.
Применение производной к построению графиков функций. Наибольшее и
наименьшее значения функция на промежутке.
Изучая понятие производной функции, обратите внимание на ключевой
момент: трактовку производной как скорости изменения функции. Функция
у=f(х) описывает зависимость между двумя переменными величинами х и у.
Если независимая переменная х в точке х0 получила приращение Δх (т. е. х
стало равным х0+ Δх), то переменная у получит приращение Δу=Δf(xo)
12
=f(хо+Δх) — f (xo) Предел отношения
у
, если Δх стремится к нулю,
х
называется производной функции f (х) в точке х0 и обозначается /' (х0).
y
.
x0 x
Другими словами, f / ( x0 )  lim
Если функция х=х (t) описывает закон прямолинейного движения
материальной точки, т. е. зависимость координаты точки х от времени t, то
Δх=х (t0+Δt) — х (tо) — перемещение точки, а
x
— ее средняя скорость за
t
время Δt. Чем меньше промежуток времени Δt, тем лучше средняя скорость
на этом промежутке характеризует движение в момент t,. Предел
x
lim t  x (t ) называется мгновенной скоростью в момент t0. В этом
t 0
/
0
заключается механический смысл производной.
Необходимость изучения мгновенной скорости изменения функции
возникает и во многих других случаях. Например, можно говорить о
скорости химической реакции, скорости испарения жидкости, скорости
изменения длины стержня при изменении температуры и т. п.
Обратим внимание на следующую терминологию. Операция нахождения
производной функции называется дифференцированием. Функция, имеющая
производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой кочке,
а функция имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, —
дифференцируемой на этом промежутке. При решении задач Вы должны
использовать и твердо знать таблицу производных для основных функций,
которые дифференцируемы на любом интервале, где они определены.
1. (С)/=0, где С– постоянная
2. ( x a ) /  axa 1 ( x  0)
3. (а х ) /  а х ln a
4. (e х )/  e х
5. (log a x) / 
6. (ln x) / 
1
x ln a
1
x
1
cos 2 x
(sin x) /  cos x
7. (tg x) / 
8.
9. (cos x)/   sin x
10. (ctg x) / 
1
sin 2 x
Кроме того, Вы должны запомнить следующие правила нахождения
производных:
13
1. (f(x)+g(x))`=f`(x)+g`(x);
2. (cf(x))`=cf`(x), где с – постоянная.
3. (f(x)·g(x))`=f`(x)·g(x)+g`(x)·f(x);

 f ( x) 
f ( x)  g ( x)  g ( x)  f ( x)
 
, g ( x)  0;
4. 
2
g
(
x
)
g
(
x
)


5. (f(g(x)))`=f`(u)·g`(x), где u=g(x), в частности, (f(ax+b))`=af(ax+b).
Задача 1. Вычислить производную функции:
а) y 
x3
;б) y 
2x  3
x 2  1прих  3.
Решение.
а) y 
( x3 )(2 x  3)  x3 (2 x  3) 3x 2 (2 x  3)  x3 2 x ln 2

.
(2 x  3) 2
(2 x  3) 2
б) Данную функцию можно рассматривать как сложную вида y= u , где
u=x2+1. Тогда, согласно правилу (5),
y  ( u )( x 2  1) 
Отсюда y`(3)=
1
2 u
2x 
x
x2  1
.
3
.
10
Задача 2. Составить уравнение касательной к графику функции y=2ex+4 в
точке с абциссой х=0.
Δ Поскольку y(0)=2e0 +4=6 , y/=2ex, y(0)=2, то искомое уравнение имеет вид
у-6=2(х-0) или у=2х+6.
Пусть функция у=f(x) дифференцируема на некотором промежутке. Тогда ее
производная у=f/(х) также является функцией, заданной на этом промежутке.
Если у=f '(х), в свою очередь, дифференцируема, то ее производную
называют второй производной функции v=f(x) и обозначают f" (х). Если
учесть, что производная выражает скорость изменения функции, то вторая
производная, как «скорость изменения скорости» функции f(х) трактуется
как ускорение изменения функции y=f(x) в точке х. В случае прямолинейного
движения материальной точки по закону x= x(t) вторая производная х" (t) —
это обычное ускорение точки в данный момент времени.
Задача 4. Найти вторую производную функции y=ln x+x2
1
х
Δ Воспользовавшись правилом 1 и формулами (6), (2), получим у'= +2х.
/
1
1
Далее, у"=   2 х  = — 2 +2.
х
х

Задача 5. Материальная точка движется по закону х= 6 cos

3
t, где х —
координата точки, см; t — время, с. Найти ускорение точки в момент
времени to=3 с.
14
Δ Для вычисления ускорения найдем вторую производную х" (t):
x / (t )  6 sin
  

t  t   2 sin t ;
3 3 
3
  
2 2

x (t )  2 cos t  t   
cos t;
3 3 
3
3
//
/
2 2
2 2
cos 
.
Искомое ускорение равно x (3)  
3
3
//
Контрольные вопросы:
х
х
1. Верно ли, что: а) (е )'=е ;
1
2 x
;
д) (ln х)' -;
х
х
б) (5 )'=5 ;
1
x
е) (lg х)'= ;
/
1
1
в)    2
х
 х
г) ( x )'=
ж) (cos х)' =sin х?
2. Функция y=f(x) дифференцируема в точке х0. К чему стремится разность
Δf(x0) — df(х0) если Δх→0?
3. Для какой функции дифференциал в каждой точке совпадает с ее
приращением?
4. Дифференциал функции в некоторой точке х0 равен нулю при любом
приращении аргумента. Что означает это геометрически?
5. Верны ли утверждения:
а) если дифференцируемая функция возрастает, то ее производная
положительна;
б) если f '(х) >0 на отрезке fa; b), то функция y=f(x) возрастает
нa [a; b];
в) если f (х) >О на отрезке [а; Ь], то функция возрастает на [а; Ь];
г) если f '(х) >О на отрезке [а; Ь], то функция y=f(x) является не- убывающей
на [а; b);
д) если производная функции в точке хе равна нулю, то хе — точка
экстремума функции?
6. Обязательно ли критическая точка функции является точкой ее
экстремума?
7. Областью определения функции является отрезок [а; b]. Могут ли точки а,
b быть точками экстремума функции?
8. Может ли возрастающая функция иметь точки экстремума?
9. Может ли ограниченная на отрезке функция не иметь на этом отрезке
наибольшего значения?
10. Обязательно ли наибольшее (наименьшее) значение функции совпадает с
некоторым максимумом (минимумом) функции?
15
ТЕМА 4. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Первообразная функции. Неопределенный интеграл. Определенный
интеграл. Интегральная сумма. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление
интеграла методом замены и по частям. Вычисление площади плоской
фигуры при помощи определенного интеграла.
В результате изучения этой темы Вы должны уметь:
— находить неопределенные интегралы, сводящиеся к табличным, с
помощью основных свойств и простейших преобразований; выделять
первообразную, удовлетворяющую заданным начальным условиям;
— вычислять определенный интеграл с помощью основных свойств и
формулы Ньютона - Лейбница; находить площади криволинейных трапеций,
других фигур;
- решить простейшие. прикладные задачи, сводящиеся к нахождению
интеграла;
- вычислять неопределенный и определенный интегралы методами замены
переменной и по частям.
Вы должны уметь решать задачи следующих типов:
1. Докажите, что функция F(x) =
f ( x)  
x 1
является первообразной для функции
x 1
2
( x  1) 2
2. Найдите неопределенный интеграл:
а)   3 cos t  e / 

5
2
dt ; б)  (у+1) du; в)  2 x  1dx
4t 
3. Вычислите определенный интеграл:
1
1
3
0
а)  (cos
x
2
4
1
б)   4 x  4 dx
 3x ln 3  3)dx
1

x
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
a ) y  sin x,0  x   , y  0, x  
4
4
б) y  2  x2 y  1 .
5. Вычислите неопределенный интеграл:
а) методом замены переменной:

cos 3 x
3
x2
б) по частям:  ln 3x dx
x
6. Вычислите определенный интеграл методом:

4
а) замены переменной:  1 2tgx dx

e4
б) по частям:  x ln xdx .
1
cos x
4
16
В процессе изучения темы Вы должны рассмотреть следующие вопросы.
Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Нахождение
неопределенного интеграла.
Определенный интеграл и его геометрический смысл. Основные свойства
определенного интеграла и его вычисление.
Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла.
Вычисление неопределенного и определенного интеграла методом замены
переменной и по частям.
В предыдущей теме Вы познакомились с многочисленными приложениями
задачи о нахождении для данной функции f(х) ее производной f/(х). Однако
часто приходится решать задачи, в которых по производной требуется
восстановить функцию; например по скорости движения следует
восстановить закон движения. Функция у=F(x) называется первообразной для
функции у=f(x) на данном промежутке, если для всех х из этого промежутка
F(x) =f(x).
Так, функция у= сои х — первообразная для функции у = — sin x на
интервале ( —  ; +  ), поскольку (соs х)'= -sin x на всей числовой оси.
Обратим внимание на то, что операция нахождения по данной функции ее
первообразной неоднозначна. Если y=F(x) — первообразная для функции
y=f(x) на некотором промежутке, то существует бесконечное множество
первообразных и все они имеют вид y=F(x)+ С, где С — произвольная
постоянная. Ясно, что графики любых двух первообразных можно получить
друг из друга параллельным переносом вдоль оси ординат (рис. 52).
Выбором постоянной С всегда можно добиться того, чтобы график
первообразной проходил через заданную точку А плоскости.
2
Задача 1. Доказать, что функция F(x) = e x x 3 является первообразной для
функции f ( x) 
2
(3 x  2)e x
на интервале (0; +  ). Δ Так как
33 x
2
2
F / ( x )  (e x ) / x 3  e x ( x 3 ) /  e x x 3  e x
 2
3x  2
2 13
2 
 f ( x)
x  e x 3  1   e x 3
3
3 x
3x 3 

для всех х из интервала (0; +  ), то F(x) — первообразная для f(х) на этом
интервале.
Совокупность всех первообразных F(x) + С для функции f(z) на некотором
промежутке принято называть неопределенным интегралом для функции f(х)
на этом промежутке и обозначать  fх) dx, т. е.  f'(х) dx=F(x)+ С.
Сама процедура нахождения неопределенного интеграла называется
интегрированием функции.
Учитывая, что операция интегрирования является обратной по отношению к
операции дифференцирования, на основании таблицы производных
основных функций нетрудно составить следующую таблицу интегралов:
1)  x a dx 
x a1
 c, a  1
a 1
17
ax
c
ln a
3)  cos xdx  sin x  c
2)  a x dx 
4)  sin xdx   cos x  c
dx
 ln x  c
x
6)  e x dx  e x  c
5) 
Интегралы другого вида, которые Вам предстоит вычислять, сводятся к
табличным с помощью следующих правил интегрирования:
I.  kf ( x)dx  k  f ( x)dx , где k – постоянная
II.   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx
1
k
III. если  f ( x)dx  F ( x)  с , то  f (kx  b)dx  F (kx  b)  с где k  0, b–
постоянные
Задача 2. Найти неопределенный интеграл:
а)   2 sin x   3 dx
5
x


б)  u (3u  1)du
1 x
1 2
в)    dx
3
Δ а) Применяя последовательно правила II и I, представим интеграл в виде
суммы табличных интегралов:

5

1
  2 sin x  x  3 dx  2 sin xdx  5 x dx  3  2 cos x  5 ln x  3x  c
б) Преобразуем подынтегральное выражение, затем применим правила II, I и
формулу (1):
3

3
2
1
2
3
2
1
2
1
1
1
u2
u2
6
2
u (3u  1)du   (3u  1 )du  3 u du   u du  3

 c  u2 u  u u  c
3
1
5
3
1
1
2
2
в) Здесь целесообразно применить правило III и формулу (2):
1 x
1 1
 x
2
1 2
1 2
dx

 



 3
 3
1 1
 x
2
1 1 2
dx 
 
1
ln 3  3 
2
1 x
2 1 2
c  
  c
ln 3  3 
Задача 3. Скорость прямолинейно движущейся точки изменяется по закону
v=t3+1, где v — скорость, м/с; t — время, с. Найти закон движения точки,
если в момент времени t=2 с точка находилась в начале координат.
Δ Скорость v есть производная от закона движения x(t) по времени, т. е. нам
надо по заданной производной v=th+1 восстановить функцию х.
18
Первообразными для функции v=t3+1 являются функции вида х=
t4
+t+C,
4
где С — произвольная постоянная. Постоянную С можно найти из условия
24
+2+ C=0, С= — 6. Таким образом, материальная точка
4
t4
движется по закону x= +t — 6.
4
х(2) =0. Отсюда
Сущность интегрирования методом замены переменной (способом
подстановки) заключается в преобразовании интеграла  f ( x)dx в интеграл
 F (u )du который легко вычисляется по какой-либо из основных формул.
Заменяем переменную x новой переменной u с помощью подстановки
x=  (u).
Дифференцируя это равенство, получим dx   `(u)du . Далее подставляем в
подынтегральное выражение вместо x и dx их значения, выраженные через u
и du. Получаем:
 f ( x)dx    (u) `(u)du   F (u)du
После вычисления интеграла возвращаемся к переменной x.
Задача 4.
Найти интегралы:
4
а)  (4 x  1) dx
3
2
б)  2 x  2 x dx
3 x2
2
 2 x dx
в)
а) Введем подстановку 4x-1=u. Дифференцируя это равенство, имеем
1
4dx=du  dx= 4 du
Произведем замену:
4 1
1 u5
u5
(4 x  1)5
1 4


c


c

c
u

du

u
du

 (4 x  1) dx   4
4 5
20
20
4
4
б) Полагая 2х3+2=u, имеем 6х2 dx=du.
1
 x dx= 6 du. Произведем замену:
2
3

2 x3  2 x 2dx  
1
3
3
1 u2
1
1
1
1
 c  u 2  c  (2 x 3  2) 2  c.
u du   u 2 du 
9
9
6
6
6 3
2
1
6
в) Здесь обозначим 3х2=u. Тогда 6xdx=dxxdx= du. Имеем:
19
2
2
3x2
1
1
1 24
2 3x
xdx   2
du   2 u du  
c
c
6
6
6 ln 2
6 ln 2
u
Интегрирование по частям.
С помощью формулы  udv  uv   vdu вычисление интеграла  udv сводится к
вычислению интеграла  vdu , если последний окажется проще исходного.
Задача 5.
Найти интегралы:
x
2
ln x
б)  2 dx
x
а)  (1  ) sin xdx
x
2
а) Положим u=1- , dv  sin xdx . Тогда du  
dx
, v   sin xdx   cos x
2
Используя формулу (*), получим:

x
 dx 

x
 (1  2 ) sin xdx  1  2    cos x     cos x     2     cos x1  2   2  cos xdx 
x
1
x 1

 cos x1    sin x  c
2 2

dx
x 1
1
1
2
2
c c
б) Здесь u=ln x, dv  2  x dx . Тогда du  dx, v   x dx 
1
x
x
x
Применим формулу (*):
ln x
  1
  1 1
ln x
ln x
1
 x dx  ln  x     x  x dx   x   x dx   x  x  c
2
2
Основной идеей, приводящей к определенному интегралу, является идея
суммирования, составления целого из частей, которую обычно
иллюстрируют на примере вычисления площади криволинейной трапеции, т.
е. фигуры, ограниченной прямыми x=a, х=b, y=0 и графиком непрерывной
функции у=f(x) (рис. 53).
Если отрезок [а, Ь] разбить точками х,= и, х1 < х2 < ...
<хi-1 <хi... хn=b на n равных частей, то площадь
криволинейной трапеции можно представить как
сумму площадей малых криволинейных трапеций
вида хi-1,хi, f(хi), f(хi-1 ) (на рис. 53 эта
трапеция заштрихована). Площадь каждой из этих
полосок
Рис. 53
можно считать приближенно равной (хi–хi-1) f(хi) —
площади прямоугольника с основанием Δх=,хi – хi-1 и
высотой
f(хi). Учитывая определение дифференциала, f(хi) Δх= f(хi) dx= dF(x)  ΔF=(xi)
— F(xi-1), где F(x) — первообразная для функции f(х). Тогда сумма площадей
всех прямоугольных полосок Sn приближенно равна
(F(xi) — F(x0) ) + (F(x2 )— F(x1) ) + ... + (F(xn)—
20
-F(xn-1)) =F(b) — F(a).
Предел суммы Sn площадей всех прямоугольников при n   совпадает с
F(b) — F(a) и называется площадью S криволинейной трапеции.
Многие другие задачи математики, физики, техники приводят к
необходимости вычисления сумм вида Sn при n   . В связи с этим
возникает необходимость введения понятия определенного интеграла
b
 f ( x)dx от непрерывной на [а, b] функции f(х) как предела сумм вида Sn при
a
n   . Для определения интеграла справедлива формула Ньютона —
Лейбница
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)  F ( x)
b
a
a
т. е. определенный интеграл равен приращению первообразной функции F(x)
для f(х) на этом отрезке.
Формула Ньютона-Лейбница позволяет сводить вычисление определенного
b
интеграла  f ( x)dx к вычислению неопределенного интеграла  f ( x)dx на [a;b]
a
(точнее, к нахождению не всех, а одной из первообразных F(x) для функции
f(x) на [a;b]) и разности F(b)-F(a) значений первообразной от пределов
интегрирования b и a. В связи с этим для вычисления определенных
интегралов также важно знать табличные неопределенные интегралы.
Кроме того, следует использовать следующие свойства и правила
вычисления определенных интегралов:
b
b
a
a
1.  kf ( x)dx  k  f ( x)dx, где k – постоянная,
b
b
b
2.  ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx,
a
a
b
c
a
a
a
b
3.  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx,
c
b
a
a
b
4.  f ( x)dx    f ( x)dx,
a
5.  f ( x)  0,
a
b
b
a
a
6.Если f ( x)  g ( x) при всех x  [a; b], то  f ( x)dx   g ( x)dx.
b
7. Если m  f ( x)  M при всех х  [a; b], тоm(b  a)   f ( x)dx  M (b  a).
a
Задача 6. Вычислить определенный интеграл:
21

2
1


а)   0,5 sin x 
 1dx
2
cos 0,5 x 
0
1
б)  3 x (2 x  3)dx
1
Δ а) Применяя последовательно свойства IIи I, представим определенный
интеграл как сумму трех более простых интегралов и применим к каждому из
них формулу Ньютона — Лейбница:




2
2
2
1
dx


а)   0,5 sin x 

1
dx

sin
x
dx




0
0 cos2 0,5 x 0 dx 
cos 2 0,5 x 
0



 
 

 0,5 cos 0 2  2tg 0,5 x 0 2  x 0 2    0,5 cos  0,5 cos 0    2tg 0,5  2tg 0     0  
2
2

 
 2

2
 0,5  2 

2
 2,5 

 3,07
2
3
3
6 6
9 9
12
б)  x (2 x  3)dx  2  x dx  3  x1 3dx  2 x 7 3 11  3 x 4 3 11         
1
1
1
1
43
3
1
7
1
4
7
7 4
4
7
Мы дали геометрическую интерпретацию определенного интеграла как
площади криволинейной трапеции. Это позволяет использовать
определенный интеграл для вычисления площадей фигур, разбивая их в
случае необходимости на криволинейные трапеции.
Рис. 54
Рис. 55
Задача 7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
а) у=х2 — 1, x=1, у=О, х=3;
б) у=ех, у=е, x=0.
Δа) Заданная в условии фигура представляет собой криволинейную трапецию
(на рис. 54 она заштрихована).
 x3

20
Поэтому ее площадь равна  ( x  1)dx    x  13 
3
3

1
3
2
22
б) Графики функций у=ех и у =е пересекаются в точке А(1; е), поэтому
площадь S данной фигуры (на рис. 55 она заштрихована) равна разности
площади прямоугольника ОВАС и криволинейной трапеции, ограниченной
координатными осями, прямой х=1 и графиком функции
1
y  e x : S  OB  OC   e x dx  e  e x 10  e  e  1  1
0
Метод замены переменной при вычислении определенного интеграла.
Интеграл преобразуется с помощью подстановки u=(x) или х=(u) в
определенный интеграл
относительно новой переменой u. При этом старые пределы интегрирования
заменяются новыми пределами , которые находятся на исходной
подстановке.
Таким образом имеем:
b


a


 f ( x)dx   f  (u) `du   F (u)du
Задача 8
Решить методом замены определенные интегралы
1
а)  (2 x 3  1) 4 x 2 dx
0
0
б)  1  sin z cos zdz

2
1
6
а) Положим 2х3+1=u; тогда 6х2 dx=du, х2dx= du.
Вычисляем новые пределы интегрирования:
uн=203+1=1, uв=213+1=3. Таким образом,
1
3


1 4
1 u5 3 1 5
1
(
2
x

1
)
x
dx

u
du


3  15  8
1
0

61
6 5
30
15
3
4
2

б) Положим 1+sin z=u, тогда –cos z dz=du, cos z dz=-du uн=1+sin    =1-1=0,

2
uв=1+sin0=1
0
1
таким образом  1  sin z cos zdz   

2
0
1
3
3
2u 2 1
2  32
2
u du    u 2 du  
1  0 2   
0 

3
3
3
0
1
Интегрирование по частям в определенном интеграле производится при
помощи формулы:
b
b
a
a
b
 udu  uv a   udu
Задача 9.
4
Вычислить определенный интеграл по частям:  x ln xdx
e
23
x2
. Следовательно,
2
4
4
2
 44 e 2 
x2 4 x2 1
x2
42
e2
4 1 x 4
e x ln xdx  ln x  2 e e 2  x dx  2  ln x e  2  2 e  2 ln 4  2 ln e   4  4  
1
x
Положим u=ln x, dv=xdx. Тогда du  dx, v   xdx 
 8 ln 4 
e2
e2
e2
 4   8 ln 4  4  .
2
4
4
Контрольные вопросы
1.Может ли функция иметь единственную первообразную на некотором
промежутке?
2.Верны ли утверждения:
а) графики любых двух первообразных можно получить друг из друга
параллельным переносом вдоль оси х;
б) графики любых двух первообразных можно получить друг из друга
параллельным переносом вдоль оси у;
в) графики первообразных одной функции могут пересекаться;
r) функция y=ln ( — х) является первообразной для функции у=1/х на
интервале ( —  ; 0)?
3.Верно ли, что:
а)  dx=x+C; б)  eхdx=eх+С; в)  2хdx=2х+ С;
г)  sin хdх = соs х+ С; д) (  tg xdx)' = tg х; е)  dx = 1; о
1
ж)  е x dx  e1  e
1
 4
0
з)  tgxdx   tgxdx  0
 2
0
0
4.Каков знак интеграла: а)  3 х dx б)
1
0
 cos xdx

2
5. Чем отличается решение неопределенного и определенного интегралов
методом замены.
6.Сущность метода интегрирования по частям.
ТЕМА 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
Дифференциальные
уравнения.
Общее
и
частное
решения
дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
с
разделяющимися
переменными
и
однородные.
Неполные
дифференциальные уравнения 2-го порядка.
В результате изучения темы вы должны уметь:
- решать дифференциальные уравнения I порядка с разделяющимися
переменными,
- решать однородные дифференциальные уравнения I порядка,
- решать дифференциальные уравнения II порядка (неполные),
24
- понимать, как составляются и решаются дифференциальные уравнения
процессов, в описании которых указана зависимость между некоторой
величиной и скоростью ее изменения.
Вы должны уметь решать задачи следующих типов:
1. Проверьте, является ли функция y 
1
решением уравнения y /  3y 2
3x  1
2. Найти общее решение уравнений I порядка:
a. 1  x 2 dy  x 1  y 2 dx  0
b. (2 xy  x ) dy  ydx  0
3. Найти частные решение уравнений I порядка:
a.
dy
dx
Н.У.: у=3 при х=0

x 1 y  2
dy xy  y 2

b.
Н.У.: у=1 при х=1
dx
x2
4. Найти частные решения уравнений II порядка:
d 2s
ds
 14t  1 , s=3,
 6 , t=0
2
dt
dt
5. Ускорение свободного падающего тела удовлетворяет уравнению
d 2s
g
dt 2
g  9,8 м с . Найти закон движения тела, если S=S , dsdt  v в момент
2
0
0
времени t=0/
6. Найти закон движения тела по оси Ох, если оно начало двигаться из точки
А(6;0) со скоростью v=3t+2t2
В процессе изучения вы должны изучить следующие вопросы:
Дифференциальные уравнения I порядка с разделяющимися переменными и
однородные.
Дифференциальные уравнения II порядка. Неполные дифференциальные
уравнения II порядка.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между
собой независимую переменную х, искомую функцию у, ее производные.
Решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая
обращает это уравнение в тождество.
Общим решением дифференциального уравнения называется такое решение,
в какое входит столько независимых произвольных постоянных, каков
порядок уравнения.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей
производной, входящей в данное уравнение. Так, уравнения y΄=xy 2 ,
dx
=cos
dt
t- уравнения 1 порядка, y΄΄+y=0, y΄΄=  y 12 -уравнения 2 порядка.
Задача 1. Проверить, является ли функция y=-  5 x решением уравнения
y΄=5y.
25
Подставив функцию в уравнение, имеем (  5 x )΄=5(-  5 x ) или -5  5 x =-5  5 x .
Получим тождество  данная функция является решением
дифференциального уравнения.
Частным решением дифференциального уравнения называется решение,
полученное из общего при различных числовых значениях произвольных
постоянных.
График частного решения д.у. называется интегральной кривой. Общему
решению соответствует совокупность всех интегральных кривых.
Дифференциальным уравнением 1 порядка с разделяющимися переменными
называется уравнение вида
dy
=f(x)  (y).
dx
Для решения этого уравнения надо сначала разделить переменные, а затем
проинтегрировать обе части полученного равенства.
Задача 2. найти частные решения уравнений:

3
а) stgtdt+ds=0
Н.У. : s=-4, t= ,
б) уdy=xdx
Н.У.: у=2,х=1
а) Разделив переменные, имеем tgtdt=-
ds
s
проинтегрируем обе части равенства:
ds
 tgtdt   s
 ln cos t   ln s  ln c
ln s  ln c  ln cos t
s=c·cost– это общее решение уравнения. Теперь подставим начальные

3

3
1
2
условия s=4 и t= , : 4=с сos , или 4=с  , откуда с=8
 s  8 cos t –частное решение
б)  ydy   xdx
y2 x2

 c – общее решение
2
2
Подставим начальные условия:
2 2 (1) 2
1

 c , 2= +с, откуда с=1,5
2
2
2
2
2
y
x
3


 – частное решение.
2
2 2
Однородные Д.У. I порядка.
Однородной функции переменных х и у называется функция, все члены
которой имеют одинаковую степень, например:
f ( x, y )  2 x 2  5 xy, f ( x, y )  2 x  x 2  y 2  3 у
26
Уравнение вида f(x,y)dx=  (x,y) где f(x,y) – однородные функции одной и
той же степени, называется однородным.
Однородные уравнения при помощи подстановки y=υx приводится к
уравнению с разделяющимися переменными.
Задача 3
Решить уравнение Д.У. 1 порядка.
y
x
y
x
а) x cos( )(ydx+xdy)-y sin( )(xdy-ydx)=0
Полагая y=υx, находим dy=υdx+xdυ. Подставим выражение для y и dy в
уравнение:
y
x
x cos( )(υxdx+x(υdx+xdυ))-υx(sin(
x
x
)(x(υdx+xdυ)-υxdx)=0;
x cos υ(υxdx+xυdx+x 2 dυ)-υx sin υ(xυdx+x 2 dυ-υxdx)=0;
x cos υ(2υxdx+x 2 dυ)-υx sin υ(x 2 dυ)=0;
2 υx 2 cos υdx+x 3 cos υdυ-υx 3 sin υdυ=0;
2 υx 2 cos υdx+x 3 (cos υ-υ sin υ)dυ=0;
Получим уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные
и интегрируя, находим
2 x 2 dx (cos   sin  )d
+
=0;
x3
 cos
dx d
2 + -tg υdυ=0;

x
dx
d
2  =  -  tg υdυ= n c;

x
2  n x+ n υ+ n (cos υ)= n c;
Потенцируя, получаем общее рещение данного уравнения x 2 υ cos υ=c.
Вернемся к замене, т.к. y  vx  v 
y
x
y
y
y
Тогда: x 2   cos   c , или xy cos  c  общее решение
x x
б) ( x  y)dy  ydx
x
Н.У.: у=1, х=1
пусть у=vx, тогда dy=xdv+vdx
Тогда: (х-vx)(xdv+vdx)=xvdx;
х2dv+xvdx-x2vdv-v2xdx=xvdx;
х2dv-x2vdv =v2xdx;
х2(1-v)dv =v2xdx – уравнение с разделяющимися переменными.
(1  v)dv xdx
 2 ;
v2
x
(1  v)dv
xdx
 v2   x2 ;
dv
dv
xdx
 v2   v   x2 ;
1
  ln v  ln x  c
v
27
1
 ln x  ln v  c
v
х
y
y
т.к. v  , то
 ln  ln x  c
у
x
x
1
1
ln 1  0
Подставим Н.У.:   ln  ln 1  c
1
1
 c  1
x
y
 1   ln  ln x – частное решение.
y
x

Неполные дифференциальные уравнения II порядка.
Уравнение, содержащее производные не выше II порядка, называется
d2y
dy
дифференциальным уравнением II порядка. Общий вид: 2  f ( x, y, )
dx
dx
Рассмотрим на примерах Д.У. II порядка.
Задача 4.
Найти общее решение уравнения
d2y
 sin x
dx 2
dy
 z . Тогда уравнение можно записать в виде:
dx
d  dy 
dz
   sin x, т.е.  sin x
dx  dx 
dx
Полагаем
откуда dz=sinxdx
Интегрируя последнее равенство, получим:
 dz   sin xdx , т.е. dy  ( cos x c1 )dx
 dy   ( cos x  c )dx или y   sin x  c1 x  c2
1
Это есть общее решение данного уравнения.
Задача 5.
Найти частное решение уравнения
d 2 y 2dy

dx
dx 2
3 dy
 1, x  1
2 dx
d 2 y dz
dy
dz


 2z
Положим
 z . Тогда
2
dx
dx
dx
dx
если Н.У.: y  ,
dz
Проинтегрируем, получим:
 2dx
z
dy
dz
 e 2 x  c1 ; (*)
z  e 2 x  c1 ; 
 z  2 dx т.е. ln z  2 x  c1
dx
2 x  c1
2 x  c1
Проинтегрируем  dy   e dx
dy  e
dx
1
2
(**) Т.Е. y  e 2 x  c  c 2 – общее решение
1
Подставим Н.У. в соотношения (*) и (**):
28
1  e 20  c1
1  e c1


 3 1 2 0  c 1
3 1 c
 c2   e 1  c2
  e
2 2
2 2
откуда с1=0, с2=1
1
2
Таким образом: y  e 2 x  1 – частное решение
Контрольные вопросы
1. Какие из следующих уравнений являются дифференциальными?
Найдите среди них дифференциальное уравнение первого порядка:
2
2
 dy 
x d x
y  5 x  3; y  2 x  1; y  4 x  1;    x  e ; 2  x  t.
dt
 dx 
2
2. Какие из следующих уравнений являются дифференциальными
уравнениями 2-го порядка:
y  Cosx; y  y  0; y  y 2  0; y  2 y  y  0; xy  e x y  y; y  x 2 y  Sinx.
3. Может ли дифференциальное уравнение y  f (x) иметь конечное
число решений?
4. Сколько произвольных постоянных содержится в решении
дифференциального уравнения 2-го порядка?
5. Каким образом находим частное решение при имеющихся общем
решении и начальным условиям?
ЗАДАНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Номера задач к выполнению обучающийся определяет по своему номеру в
списке группы и по таблице.
№ в списке группы
1
11
21
2
12
22
3
13
23
4
14
24
5
15
25
6
16
26
7
17
27
8
18
28
9
19
29
10
20
30
№ задания для выполнения
1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91
2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92
3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93
4, 14, 24, 34, 44, 54, 64, 74, 84, 94
5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95
6, 16, 26, 36, 46, 56, 66, 76, 86, 96
7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97
8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98
9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
1. Найдите область определения функции F(x), f(x), g(x), h(x) и
постройте их графики:
29
1) F(x)=3x-5; f ( x)  1  2 ; g ( x)  x  2 ; h( x)  1 x 2
x
2) F(x)= 1 x+2; f ( x)  1 ; g ( x)  х  1 ;
2
1
h( x)  ( x  3) 2
2
x2
3) F(x)=1-4х; f ( x)  1 ; g ( x)  х  2 ; h( x)  2 x 2  1
x 1
1
4) F(x)=  2  x ; f ( x)  1  1 ; g ( x)  х  3 ; h( x)   x 2  3
2
x
5) F(x)=2х+1; f ( x)   1  2 ; g ( x)  х  1 ; h( x)  3x 2  1
x
1
6) F(x)=-х+ ; f ( x)   1 ; g ( x)   х  2 ; h( x)  2( x  1) 2
2
x2
2
7) F(x)=2х-3; f ( x)  1 ; g ( x)  х  1 ; h( x)  x
3
2x
8) F(x)=-3х-1; f ( x)   2 ; g ( x)  х  2 ; h( x)  x 2  2
x
1
9) F(x)=-2х+ ; f ( x)   1  1 ; g ( x)  2  х ; h( x)  4 x 2
3
x
10) F(x)= 1 x-4; f ( x)  1 ; g ( x)  2 х ; h( x)  3x 2  2
3
x3
3
2. Вычислите пределы функции:
x3  7x 2  6
б) lim 25
3
2
x2 x  5 x  2 x  8
x 1 2 x  2
2
3
2
12) а) lim x 3 2 x  x  2 б) lim 6 x  x3
x 1
x 0 3 x  2 x
x  13 x  12
13)
а) lim x  6
б) lim  2 6  1 
x 3 x  9
x 6
3
x3 3

3
2
2
14)
а) lim 3x  2 x б) lim x 3  3x 2  13 x  15
x  3 3 x  3 x  10 x  24
x  6 x  1
5
2
2
15)
а) lim 68 x  33 x  7
б) lim x 2  5 x  6
x  3 x  5 x  3 x  5
x2 x  3x  2
4
2
16)
а) lim x  23 x  3 б) lim x  3 2
x 
x  1 ( x  1)
3x  5
11) а) lim
а) lim x3  x 2  1
4
17)
3
б) lim x 2  4 x  5
2
x  2x  3
а) lim x 3  3x 2  б) lim x  4
x 
x 0 x  2
а) lim 2 x  6 б) lim x  1
x 0
x 1 4 x  1
x x2
3
2
2
а) lim 5 x4  3x2
б) lim 3x 2  2 x  1
x 0 x  2 x
x 0  x  x  2
x 
x  2x  x
x  1
2
18)
19)
20)
3. Даны функции f(x), g(x), h(x)
30
a. Найти производные f/ (x), g/ (x), h/ (x);
b. Найти вторую производную h// (x);
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
3

x )
2
3
2
t
f ( x)  2 x  3x  x  1 ; g (t )  e  1 t ; h( x)  x  sin 2 x
1
f ( x)  x 4  3x 2  4 ; g (t )  ln 2t  1 ; h( x)   cos 3 x
2
3
f ( x)  2 x ; g (t )  1  ln 2t ; h( x)  x sin 2 x
f ( x)  4 x 3  2 x 2  1 ;
g ( x)  3 0,5t 1 ;

f ( x)  x 4  4 x  1 ;
h( x )  (

g (t )  t  2 t ;
h( x)  x 2  2 cos x
sin 2 x
f ( x)  2 x 3  3x 2  4 ; g (t )  2 t  2 ln t ; h( x) 
x
3
2
;
;
f ( x)  x  2 x  x  1 g (t )  2  ln t
h( x)  2 sin(3x  1)
f ( x)  2 x 3  x 2  4 ;
g (t )  ln t  t; h( x)  3 x 2  cos 3x
f ( x)   x 3  2 x 2  x ;
g (t )  e t  ln t ;
h( x)  sin 3x  3 x
f ( x)  x 4  x 3  2 x ;
g (t )  2 ln t  1 ;
h( x)  3 x 2  sin 2 x
31)
f ( x)  5 x 4  3Sinx  Cosx  9; g (t )  (t 3  2t  7) 4 ; h( x)  x3  4 x 3  3 x 2 .
32)
f ( x) 
33)
f ( x) 
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
3x 2  8
; g (t )  Cos(3t 2  1); h( x)  (5 x  3)(6 x 2  1).
2
3x  8
x3  3 x 2
; g (t )  3 Sin2t ; h( x)  ( x3  4)( x 2  x  1).
x  x
f ( x)  Cos( x3  2); g (t )  Cos3t (Sin3t  1); h( x)  x 4  3Cosx  Sinx  ln x  29.
2
3
f ( x)  Sin2 x  tgx; g (t )  3 t 
 3  25; h( x)  4 ln x  x 3 .
t
33 t 2
1
f ( x)  Ctgx 
; g (t )  5Sin3t ; h( x)  x 5  2 ln x;
Ctgx
4
3
2  tgt
x2  3
f ( x)  3Sin(2 x  1); g (t ) 
; h( x)  ln 2
.
tgt
x 3
ln t  2
f ( x)  ( x 2  3) x 2  3) ; g (t ) 
; h( x)  ln( 4 x 3  7).
2  ln t
3
et  1
f ( x)  52 x ; g (t )  t
; h( x)  ln(3x 2  1).
e 1
2  Sinx
x3  1
2
3
5
f ( x) 
; g (t )  3 (3t  1) ; h( x)  ln 3 .
2  Sinx
x 1
2
4. Дана функция. Найти промежутки монотонности и точки
экстремума.
41)
42)
43)
44)
f ( x)  x 2  6 x  5
f ( x)  x 3  3 x 2
f ( x)  2 x 3  9 x 2  12 x  8
f ( x)  2 x 3  3x 2  12 x  2
31
45)
46)
47)
48)
49)
50)
51)
52)
53)
54)
55)
56)
57)
58)
59)
60)
f ( x)  x 3  2 x 2  x  3
f ( x)  2 x 3  9 x 2  12 x  2
f ( x)   x 2  x  6
f ( x)  2 x 3  3 x 2  2
f ( x)  3 x 3  x  2
f ( x)  4 x 3  2 x 2  3
1
f ( x)  x 3  x 2  1
6
f ( x)  2 x 3  3 x 2
1
f ( x)  x 3  2 x 2  3x  2
3
1
f ( x)  x 3  2 x 2  3 x  1
3
f ( x)  x3  9 x 2  24 x  12
1
f ( x)  x 3  x  2
3
f ( x)  4 x3  12 x
1
1
f ( x)  x 3  x 2 
3
3
3
2
f ( x)  2 x  9 x  12 x  3
1
f ( x)   x 3  x 2  3x  9.
3
5. Вычислите интегралы.
61)

4
3
а)   x 3  x 2  5 dx
4
3


2
б)  (e x  1)dx


6

62)
63)
64)
б)  (e x  2 x)dx
а)  x( x  3)dx
а) 
x2
dx
x
б)  5 x x dx
2
в)  3
1
а)  x  1x  3dx
65)
66)
а) 
а) 
x dx
2

6
dx
x2

3 cos x 
б)   
dx
x 
 x
3
2x x
2
t  3t
3
t
5
4
б)  (e t  t )dt
0
б)  sin x  5dx
6
в)  (cos x  sin x)dx
1
в)  e x dx
1

4
4dx
2
0 cos x
в) 

в)  
2
1
2
в)  cos xdx
1
1 

dx
2
sin 2 x 
  cos x
3
6
32
67)
x x
dx
x2
а) 
б) 
68)
а)  3 x  e x  1dx
69)
а)   x 
70)
x  2x
dx
x
3
а) 

1


1
б)  (3 x  x )dx
e
0
4
dx
2
3 25  x
dx
2
 sin x
6
в)  (4 x  3
1
3 x2
1
)dx
3
dx
64  x
3
в) 
8
б) 
б) 
1 
dx
x
в)   x 
1
1
1
 dx
5
2
3x

4
dz
3 sin z
2
в)  (4 x 3  3x 2  2 x  1)dx
2
6. Вычислите интегралы при помощи метода (замены или по частям).
71)
а)  (1  x) sin xdx
(по частям)
3
б)  (2 x  1) 3 dx
2
(замена)
72)
а)  2 x sin xdx
3
б)  9 x 3  1dx
(по частям)
(замена)
2

73)
2
а)  x cos xdx
б) 
x  1
(замена)
(замена)
б)  x 2 ln xdx
(по
(замена)
б)  xe x dx
(по частям)
(замена)
б) 
ln x
dx
x2
(замена)
б)
 cos x dx
0
5
74)
dx
а) 
2
3
x  3
2
xdx
(по частям)
3
2
частям)

75)
2
а)  3 sin x  1 cos xdx
0

76)
а)
3
sin xdx
 3  cos x
0
(по
частям)
77)
а)
5
dx
 x  3 dx
2
3
2
x
2
(по
частям)
78)
а)  2 sin x  cos xdx

(замена)б)  (  x) sin xdx
(по частям)
0
79)
80)
а) 
а)
x 3 dx
sin 2 x 4
2
(замена)
 1  cos x sin xdx

3
2
3
б)  (2 x  3)e  x dx
2
б)
ln x
 x dx
3
(по частям)
33
7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
81)
82)
83)
84)
85)
86)
87)
88)
89)
90)
y  cos x; х  0, х 

;у 0
4
y  x 2  1; х  1, х  1; у  0
у=1–х , у=0, х=1, х=3
y  x ; y  0, х  4;
y  3x; х  2; у  0
x  2 y  4  0, y  0, x  3, x  2
y 2  x; х  4, х  1; у  0
y  x 2 ; y  4
2 x 1  y  3  0 , х=0, у=0, х=4
y  3x; х  2; у  0
9. Решить дифференциальное уравнение .
91)
x(1+y2)dx=ydy
Н.У.: х=1, у=1
переменными
Д.У. с разделяющимися
92)
(х+у)dx+xdy
93)
Д.У. II порядка (неполное)
94)
(х-у)dy=ydх
Н.У.: х=0, у=1
Д.У. I порядка
95)
ds
 dt
3t  2t
Н.У.: S=4; t=2
Д.У. с разделяющимися
2
Однородное Д.У. I порядка
d 2s
 18t  2
dt 2
Н.У.: S  4,
ds
 5; t  0
dt
переменными
96)
Д.У. II порядка (неполное)
d2y
 4x
dx 2
Н.У.: у=1, х=1
97)
x(1+y2)dx=ydy
Н.У.: ч=1, у=1
Д.У. I порядка с
разделяющимися переменными
98)
(х2+у2)dx=xydy
Н.У.: х=1, у=0
Д.У. I порядка
однородное
99)
(1+х)уdx=–(1–y)xdy
Н.У.: х=1, у=1
Д.У. I порядка с
разделяющимися переменными
100)
(x–y)dx +xdy=0
Н.У.: x=1, у=1
Д.У. I порядка
однородное
34
35
ЛИТЕРАТУРА
Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям / [Н.Ш. Кремер и др.]; под
ред. проф. H.Ш. Кремера. - 3-е изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010 - 479 с.
Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям / [Н.Ш. Кремер и др.]; под
ред. проф. H.Ш. Кремера. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА,
2007 - 479 с.
36
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Чувашский государственный университет имени
И.Н.Ульянова»
(ФГБОУ ВО «ЧГУ им. И.Н. Ульянова»)
Алатырский филиал
Факультет управления и экономики
Кафедра _______________________________________
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
по дисциплине: ___________________________________
вариант № ________ шифр _________ студента ___ курса
___________________________________
Работа выслана в Алатырский филиал
«_____» ________________________________ 20___ г.
передана на кафедру ______________________________
Оценка ___________ «____» _______________ 20__ г.
Преподаватель: ___________________________________
Алатырь 20__
37