Тема: Механический смысл производной
Задания:
1. Ответьте на вопросы (сделав конспект)
- В чем заключается механический смысл производной первого порядка.
- Как найти производную второго порядка, n-го порядка.
- В чем заключается механический смысл производной второго порядка.
2. Разберите решение приведенных примеров и выполните задания:
1. Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t) = -
1 3
t + 2t2 + 5t.
3
Найдите:
а) формулу для вычисления скорости движения в любой момент времени t;
б) скорость в момент времени t = 2с (перемещение измеряется в метрах)?
2. Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t) = t3 – 4t2. Найдите
скорость и ускорение в момент времени t = 5с. (перемещение измеряется в
метрах)
3. Точка движется прямолинейно по закону х(t) = 2t3 +x – 1. Найдите ускорение в
момент времени t. В какой момент времени ускорение будет равно 1м/с2
t3
4. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = + t – 5. Найдите момент
6
времени t, когда ускорение равно нулю;
Пусть задана материальная точка на плоскости. Закон её движения вдоль координатной оси
описывается по закону x(t), где t задаёт время. Тогда за время от t0 до t0+Δt точка проходит путь
Δx = x(t0+Δt)−x(t0).
Получается, что средняя скорость такой точки находится по формуле: vcp=Δx / Δt.
Если устремить Δt к нулю, то значение средней скорости будет стремиться к величине
называемой мгновенной скоростью в точке t0:
∆х
lim
= 𝑣(𝑡0 )
∆х→0 ∆𝑡
По определению производной через предел получаем связь между скоростью и законом
движения пути материальной точки:
∆х
= х/ (𝑡)
∆𝑥→0 ∆𝑡
𝑣(𝑡0 ) = lim
Определение: Механический (физический) смысл производной заключается в том, что
скорость материальной точки равна производной закона пути движения этой точки: x′(t)
= v(t)
Примеры решений
Пример 1
Вычислить мгновенную скорость материальной точки в момент времени t0=1, двигающейся
по закону x(t)=t2+3t−1
Решение
По определению механического смысла производной получим закон скорости материальной
точки:
v(t) = x′(t) = (t2+3t−1)′ = 2t + 3
Зная момент времени t0=1 из условия задачи, находим скорость в этот момент времени
(делаем подстановку значения t в найденную производную):
v(t0)=2⋅1+3=2+3=5
Получили, что мгновенная скорость точки в момент t0=1 равна v=5.
Ответ: v(t0)=5
Пример 2
Движение материальной точки задано законом x(t) = t2−t+3. Найти в какой момент
времени t0 скорость этой точки будет нулевой.
Решение
Так как скорость это производная закона пути движения:
v(t) = x′(t) = (t2−t+3)′ = (t2)′−(t)′+(3)′ = 2t−1
Чтобы найти в какой момент времени t0 скорость будет равна нулю составим уравнение v(t0)=0 и
решим его относительно t0:
2t0−1=0
2t0=1
t0=1/2
Итак, в момент времени t0=1/2 скорость движения материальной точки будет нулевой.
Ответ: t0=1/2
Производная второго порядка. Производная n-го порядка.
Производная от данной функции называется первой производной или производной первого
порядка.
Если будем искать производную от производной , то мы получим производную второго порядка
или вторую производную и обозначается fʹʹ(x) или yʹ .
Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается
y''' или f'''(x). Производную n-го порядка обозначают f(n)(x) или y(n).
Примеры. Найдем производные четвёртого порядка для заданных функций:
а) f(x)= sin 2x
f ʹ(x)=(sin2x)ʹ = cos 2x∙(2x) = 2cos 2x
f (x)= (2cos2x)ʹ = - 2sin2x∙(2x)ʹ = - 4sin2x
f '''(x) = (- 4sin2x)ʹ = -4 cos 2x∙(2x)ʹ = - 8cos2x
f(4)(x)= (-8cos2x)ʹ = 8 sin2x∙(2x)ʹ= 16 sin 2x
б) f(x)=23x
f ʹ(x)=(23х)ʹ = 3∙ 23x ∙ln2
f (x)= (3∙ 23x ∙ln2)ʹ = 9∙ 23x ∙ln22
f'''(x)= (9∙ 23x ∙ln22)ʹ = 27∙ 23x ∙ln32
f(4)(x)= (27∙ 23x ∙ln32)ʹ = 81∙ 23x ∙ln42
Механический смысл второй производной.
Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса,
заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение,
то есть 𝑎(𝑡) = 𝑣ʹ(t) = xʹʹ(t)
Итак, первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная –
ускорение.
Пример. Точка движется прямолинейно по закону S(t)= 3t2 - 3t + 8. Найти скорость и ускорение
точки в момент t=4 c.
Решение:
найдём скорость точки в любой момент времени t.
v(t) =Sʹ(t) = (3t2-3t+8)ʹ = 6t - 3.
Вычислим скорость в момент времени t=4 c.
v(4) = 6∙4-3 = 21(м/с)
Найдём ускорение точки в любой момент времени t.
a(t)= vʹ(t) = (6t-3)ʹ=6
Найдем ускорение точки в момент времени t = 4c.
a(4) = 6 (м/с2) , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.
Ответ: v(4)=21(м/с); a(4)= 6 (м/с2).
Пример. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону S(t)=t3-3t2+5. Найти силу,
действующую на тело в момент времени t=4 c.
Решение: сила, действующая на тело, находится по формуле F=ma (из курса физики).
Найдём скорость движения точки в любой момент времени t.
v(t)=Sʹ(t)= (t3-3t2+5)ʹ = 3t2 - 6t.
Тогда v(4)= 3∙42 - 6∙4 = 24 (м/с).
Найдём ускорение: a(t) = vʹ(t) = (3t2 - 6t)ʹ = 6t - 6.
Тогда a(4) = 6∙4 – 6 = 18 (м/с2).
F=ma=3∙18= 54 Н
Ответ: F= 54 Н
