Производные функций: урок с примерами и задачами

УРОК 144/2
Тема: «Решение задач на вычисление производной функции»
1. Применяя формулу: uv '  uv'uv' , выберите правильный ответ
Пример . Найдем производную функции y  4  sin x .
x
Используя правило, получаем:

  
y '  4 x  sin x '  4 x ' sin x  4 x  sin x  '  4 x  ln 4  sin x  4 x  cos x .
1) Производная функции h( x) 
x  arctgx имеет вид …
arctgx  1
arctgx
x
;

2 x 1 x2
а) h ' ( x) 
в) h ' ( x) 

2 x 1 x
2

б) h ' ( x) 
;
arctgx
x
;

2 x 1 x2
г) h ' ( x) 
arctgx
x
.

x
1 x2
2) Производная функции f ( x)  7  5 x   log 3 x имеет вид …
а) f ' ( x)  5  log 3 x 
в) f ' ( x)  5  log 3 x 
7  5x
;
x  ln 3
7  5x
;
x
7  5x
;
x  ln 3
7  5x
г) f ' ( x)  5  log 3 x 
.
x  ln 3
б) f ' ( x)  5 log 3 x 
'
 u  u ' v  uv'
2. Применяя формулу:   
, выберите правильный ответ
v
v2
Пример. Найдем производную функции y 
x
.
sin x
Используя правило, получаем:
 x  x' sin x  x  sin x ' sin x  x  cos x
y ' 

 
2
sin
x
sin x
sin 2 x


sin x
Производная функции f ( x) 
имеет вид …
1 x
'
а) f ' ( x) 
 cos x  1  x   sin x  1  x 
1  x 
cos x  1  x   sin x
в) f ' ( x) 
;
1  x 2
2
3. Найдите производную функции:
ex
а) f  x   2 .
x
;
б) f ' ( x) 
г) f ' ( x) 
cos x  1  x sin x
;
1 x
 cos x  1  x   sin x
1  x 2
.
УРОК 146/2
Тема: «Геометрический и механический смысл производной»
Рассмотрим график функции y = f ( x ):
Из рисунка видно, что для любых двух точек A и B графика функции:
f x0  x   f x0 
 tg , где  – угол наклона секущей AB. Таким образом, разностное
x
отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать
по направлению к ней точку B, то x неограниченно уменьшается и приближается к 0, а
секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения
равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует геометрический
смысл производной: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к
графику этой функции в этой точке: k  tg  f '  x0  .
Уравнение касательной к графику функции в точке A( x0 ; f ( x0 )) имеет вид
y  f ( x0 )  f ' ( x0 )x  x0  .
Пример 1. Составим уравнение касательной к графику функции y  x  1 в точке с
2
абсциссой x 0  3 .
Для того чтобы составить уравнение касательной, необходимо найти f ( x0 ) , f ' ( x) и
f ' ( x0 ) .
1. найдем значение функции в точке x0 : f ( x0 )  f (3)  (3)  1  10 ;
2


2. найдем производную функции: f ' ( x)  x  1 '  2 x ;
3. найдем значение производной в точке x0 :
f ' ( x0 )  f ' (3)  2  (3)  6 ;
4. составим уравнение касательной:
y  10  6  x  (3) ,
2
y  10  6  x  3 ,
y  6 x  8 – уравнение касательной.
Механический смысл производной состоит в том, что производная от координаты
по времени есть скорость: v(t )  x ' (t ) .
Производная от скорости по времени есть ускорение: a  v ' (t ) .
Пример 2. Тело движется прямолинейно по закону xt   t  2t  3 . Найдем
3
скорость и ускорение тела в момент времени t  2 с.

2

Скорость этого движения такова: v(t )  x ' (t )  t  2t  3 '  3t  4t .
3
2
2
Тогда скорость движения тела в момент t  2 с: v(2)  3  2  4  2  4 м / с .
2
Аналогично найдем ускорение.


a  v ' (t )  3t 2  4t '  6t  4  a(2)  6  2  4  8 м / с 2 .
Задания для самостоятельного выполнения:
1. Выполните задания и сверьте с ответом.
1) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции y  f (x) в точке с
абсциссой x0 :
а) f ( x)  x , x0  1;
3
Ответ: 3.
б) f ( x)  ln x , x0  2 ;
Ответ: 0,5.

2
.
4
2
2) Напишите уравнение касательной к графику функции y  f (x) в точке с
в) f ( x)  sin x , x0 
;
Ответ:
абсциссой x0 :
а) f ( x)  x  3x , x0  2 ;
2
б) f ( x) 
x , x0  1 ;
Ответ: y  11x  12 .
Ответ: y 
1
1
x .
2
2
2. Материальная точка движется прямолинейно по закону xt   t  4t . Найдите
3
скорость и ускорение в момент t  5 с.
2
УРОК 148/2
Тема: «Производная сложной функции»
Пусть переменная y есть функция от переменной u , т.е. y  f (u ) , а переменная u
в свою очередь есть функция от независимой переменной x , то говорят, что задана сложная
функция y  f (u ( x)) , где u - промежуточный аргумент. Например:
1. пусть
y  u 4 , если u  2 x  3 , то
y  2 x  34 – сложная функция с
промежуточным аргументом 2 x  3 ;
2. пусть
y  sin u , если u  4 x , то y  sin 4 x – сложная
функция
с
промежуточным аргументом 4 x ;
3. пусть
y  u , если u  3 x  4 , то y  3x  4 – сложная функция с
промежуточным аргументом 3 x  4 .
Правило нахождения производной сложной функции. Если y  f (u ) и
u  g (x) – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной
функции существует и равна производной данной функции по промежуточному
аргументу, умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой
переменной: y x  f ' (u )  u x .
'
'
Пример 1. Найдем производную функции y  sin x .
3
Пусть y  u , где u  sin x , тогда
3
 
y '  u 3 '  3u 2  u '  3 sin 2 x  sin x  '  3 sin 2 x  cos x .
Пример 2. Найдем производную функции y  2 x  3 .
4
Пусть y  u , где u  2 x  3 , тогда
4
 
y '  u 4 '  4u 3  u '  4  2 x  33  2 x  3 '  4  2 x  33  2  8  2 x  33 .Прим


ер 3. Найдем производную функции y  3 sin  5 x 
Пусть y  3 sin u , где u  5 x 

4
, тогда

.
4




y '  3 sin u  '  3 sin u  u '  3  cos u   5 x   '  3 cos  5 x    5 
4
4




 15 cos  5 x  .
4

Пример 4. Найдем производную функции y 
Пусть y 
y '
3x  4 .
u , где u  3 x  4 , тогда
 u '  1  u ' 
2 u
1
3
.
 3x  4 ' 
2 3x  4
2 3x  4
Задание для самостоятельного выполнения:
Найдите производные функций:
а) y  5 x  4  ;
б) y 
в) y  ln5 x  3;
г) y  cos  4 x 
д) y  arcsin 4 x ;
е) y  e
7
9  2x ;


cos x
.

;
3