Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Векторная алгебра
Индивидуальные задания
Пособие разработано доцентом Майзелес С. Б..
Одобрено методической комиссией кафедры
«Высшая математика»
© 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ
Пермь 2007
Образец решения варианта
Задание 1.
Коллинеарны ли векторы c1 и c2 , разложенные по векторам a и b , где
c1 5a 3b , c2 4a b , a 2; 1;5 b 7;1; 3.
Решение:
1. Вычислим проекции векторов c1, c2 :
c1 5a 3b 5 2 3 7;5 1 3 1;5 5 3 3 31; 2;16,
c2 4a b 4 2 7;4 1 1;4 5 3 15; 3;17
2. Два вектора коллинеарны, если их проекции пропорциональны, следовательно,
проверим пропорциональность проекций векторов:
c1 31 2 16
, c1 , c2 не коллинеарны.
c2 15 3 17
Задание 2.
Перпендикулярны ли векторы a 7;1;2, b 3;2; 1 ?
Решение:
Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0, вычислим
скалярное произведение:
a , b 7 3 1 2 2 1 21 0 векторы не перпендикулярны.
Задание 3.
Компланарны ли векторы a 1;2; 1, b 0;2;1, c 2;0;3 ?
Решение:
Три вектора компланарны, если смешанное произведение векторов равно 0,
вычислим смешанное произведение векторов:
1 2 1
abc 0 2 1 6 4 0 4 0 0 2 0 векторы не компланарны.
2 0 3
Задание 4.
Найти угол между векторами AB, AC, где A 2;1;3 , B 3;1;4 , C 2;5;3 .
Решение:
Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:
cos AB, AC
AB, AC 3 2;1 1;4 3,2 2;5 1;3 3 1 0 0 4 1 0 0 0
12 02 12 02 42 02
AB AC
AB, AC arc cos 0
2
.
Задание 5.
Даны точки: A 1;0; 1 , B 0;1;3 , C 2;0;1 .
Найти:
1. пр BC AB ;
2. пр
AB CB
2 AC 3CB ;
3. AB 4 BC ;
2 16
4 2
4. AB CB, AB ;
;
6. AB 4 BC , BA AC ;
5. AB, BC
7. AB, BC ;
8. AB 2 BC , CB AB ;
9. AB BC AC ;
10. AB BC , BC , AC ;
11. AB, BC BC ;
12. орт вектора AB .
Решение:
1. Проекция вектора на вектор вычисляется по формуле:
AB, BC
находим проекции векторов:
пр BC AB
BC
AB 0 1;1 0;3 1 1;1;4,
BC 2 0;0 1;1 3 2; 1; 2
вычисляем скалярное произведение векторов и длину вектора:
AB, BC 1 2 1 1 4 2 11,
BC 22 1 2 3.
2
2
11
.
3
2. Находим проекции векторов:
AB 1;1;4, CB 2;1;2, AC 1;0;2,
пр BC AB
AB CB 3;2;6, 2 AC 3CB 4;3;10,
AB CB , 2 AC 3CB 78,
AB CB 7
пр
AB CB
2 AC 3CB 787 ;
3. Находим проекции векторов:
AB 1;1;4, BC 2; 1; 2, AB 4 BC 7; 3; 4
AB 4 BC 74 ;
4. Находим проекции векторов:
AB 1;1;4, CB 2;1;2, AB CB 1;0;2
AB CB, AB arccos
AB CB, AB arccos 1 1 0 1 2 4 arccos 7 ;
AB CB AB
5. AB, BC 1 2 1 1 4 2 11 ;
5 18
3 10
6.
AB 4 BC 7; 3; 4, BA AC 0; 1; 6
AB 4 BC , BA AC 27
7. Векторное произведение векторов вычисляется по формуле:
i
j
k
a , b ax
by
ay
by
az
bz
i
j k
где a a x ; a y ; a z , b bx ; by ; bz AB, BC 1 1 4 2i 6 j k 2;6; 1 ;
2 1 2
8.
AB 2 BC 3; 1;0, BA AC 0; 1; 6
i
j k
;
AB 2 BC , BA AC 3 1 0 6i 18 j 3k .
0 1 6
ax
9. Смешанное произведение векторов вычисляется по формуле: a b c bx
ay
by
az
bz , где
cx
cy
cz
a a x ; a y ; a z , b bx ; by ; bz , c cx ; c y ; cz
1
AB BC AC 2
1
1
4
1 2 0 ;
0 2
i
j k
10. AB BC , BC 1 0 2 2i 6 j k 2;6; 1
2 1 2
i j k
AB BC , BC , AC 2 6 1 12i 5 j 6k ;
1 0 2
11.
AB, BC 11, AB, BC BC 11 2; 1; 2 22;11;22 ;
1
4
1
;
;
12. Орт вектора AB
, так как орт- это вектор единичной длины
3 2 3 2 3 2
необходимо каждую проекцию вектора разделить на его длину.
Задание 6.
Даны координаты вершин пирамиды: A 1;4;3 , B 2;3;1 , C 2;1;3 , D 0;1;2 .
Вычислить:
1. объем пирамиды;
2. длину ребра AB ;
3. площадь грани ABC ;
4. угол между ребрами AB и AD .
Решение:
1.
Объем пирамиды вычисляется по формуле: V
1
AB AC AD
6
1 1 2
1
1
1
V 3 3 0 3 0 18 6 0 3 6 1 ;
6
6
6
1 3 1
2.
Длина ребра AB AB
AB 12 1 2 6 ;
2
3.
2
Площадь грани ABC вычисляется по формуле: S ABC
i
j k
1
1
S ABC
1 1 2 6i 6 j 6k
2
2
3 3 0
1
AB, AC
2
1
6
36 36 36
3 3 3;
2
2
4.
Угол между ребрами AB и AD вычисляется по
AB, AD
AB , AD arccos
AB AD
AB , AD arccos
1 1 1 3 2 1
6 11
Задание 7.
Имеет ли смысл выражение
arccos
формуле:
4
.
66
a b , c , d , a b ? Обосновать.
Решение:
a b , c , d , a b смысла не имеет, так как складывать числа с
Выражение
векторами нельзя: в результате скалярного призведения b , c получим число, затем мы
должны сложить вектор a с результатом скалярного произведения (число), что не
возможно.
Задание 8.
Придумать исходные данные на указанные типы задач векторной алгебры и решить их.
Решение:
Рассмотрим одну из указанных задач, например, задачу 8,3:
Дано: x a 1;2;1, x b 1;3;2, x , oy тупой, x 2 <0, x 2.
Найти: x x1; x 2 ; x 3. .
Решение:
По условию:
x a x , a 0 1 x 1 2 x 2 1 x 3 0,
x b x , b 0 1 x 1 3 x 2 2 x 3 0,
x 2 x1 x2 x3 2.
Итак, получили систему трех уравнений с тремя неизвестными, решением которой и
будут проекции исходного вектора:
2
2
2
x2
x1
x 2 x 1 0
x 2x x 0
3
3
2
3
1
x2
x1
x1 3x2 2 x3 0 3 2 0 по формулам Крамера находим отношение
x3
2
x3
2
2
x
x
x
2
2
2
x x x 2 4
2
3
1
2
3
1
коэффициентов:
1 2
1 1
x1 2 3 1 x2 1 2 3
,
1 2 5 x3
1 2
x3
5
1 3
1 3
1
3
x3 , x2
x3
5
5
1 2 9 2
100 20
20
2
2
x3
x3 x3 4 x3
x3
.
25
25
35
7
7
x1
Условие x2 0
выполняется
при
x3 0
то
есть
x3
20
7
20
2
3 20
6
20
10
, x2
, x3
.
5 7
35
5 7
35
7
35
6
10
2
Ответ: x
;
;
.
35 35
35
x1
Второй способ решения:
По условию:
i
j
k
x a , x b x y a , b 1 2 1 i 3 j 5k 1; 3;5
1 3 2
x1 x2 x3
t , x1 t , x2 3t , x3 5t.
1 3 5
Найденные значения x1 , x2 , x3 подставим в условие x 2 , найдем t так, что бы x2 0 .
Итак: x x1 x2 x3 t 2 9t 2 25t 2 35t 2 t
2
2
2
Так как по условию x2 0, то t
Итак:
2
6
10
, x2
, x3
.
35
35
35
6
10
2
Ответ: x
;
;
.
35 35
35
x1
2
.
35
2
.
35
Задания для индивидуальной контрольной работы
Задание 1
Коллинеарны ли векторы c1 и c2 , разложенные по векторам a и b ?
Задание 2
Перпендикулярны ли векторы a и b ?
Задание 3
Компланарны ли векторы a , b , c ?
Задание 4
Найти угол между векторами AB и AC .
Задание 5
Даны координаты точек A, B, C . Вычислить:
1) пр BC AB ;
2) пр AB CB (2 AC 3CB ) ;
3) AB 4 BC ;
4) ( AB CB ), AB ;
5) ( AB, BC ) ;
6)
AB 4BC , BA AC ;
7) AB, BC ;
8) AB 2 BC , CB AB ;
9) AB BC AC ;
10) AB BC , BC , AC ;
11) AB, BC AC ;
12) орт вектора AB ;
Задание 6
Даны координаты вершин пирамиды ABCD . Вычислить:
1) объем пирамиды;
2) длину ребра AB ;
3) площадь грани ABC ;
4) угол между ребрами AB и AD ;
Задание 7
Имеет ли смысл выражение ? Обосновать.
Задание 8
Придумать исходные данные на указанные типы задач векторной алгебры и решить их.
8.1 Дано: x a a x ; a y ; a z , x , oz острый (или с любой другой осью, тупой или
острый), x A , где A произвольное число.
Найти: x x1; x2 ; x3.
8.2 Дано: x a a x ; a y ; a z , x , a A .
Найти: x x1; x2 ; x3.
8.3 Дано: x a a x ; a y ; a z , x b bx ; by ; bz , x , oy тупой(острый или с любой
другой осью), x A.
Найти: x x1; x2 ; x3.
8.4 Дано: x oz (любой другой оси), x , a A, a a x ; a y ; a z , x , b B, b bx ; by ; bz .
Найти: x x1; x2 ; x3.
8,5 Дано: x , a A, x , b B, x , c C , где
a a x ; a y ; az , b bx ; by ; bz , c cx ; c y ; cz , A, B, C произвольные числа.
Найти: x x1; x2 ; x3.
Варианты для индивидуальной контрольной работы.
ВАРИАНТ 1
1.1 a 1; 2;3, b 3;0;1, c1 2a 4b , c2 3a b.
2.1 a 1;3; 1, b 3; 2;3.
3.1 a 2;3; 1, b 1; 1;3, c 1;9; 1.
4.1 A 1; 2;3 , B 0; 1;2 , C 3; 4;5 .
5.1 A 1;2;1 , B 1;3;4 , C 0;1;2 .
6.1 A 1;1;1 , B 1;2;4 , C 2;0;6 , D 2;5; 1 .
7.1 a , b , c , c .
ВАРИАНТ 2
1.2 a 1;0;1, b 2;3;5, c1 a 2b , c2 3a 2b.
2.2 a 2;1;4, b 4;1;3.
3.2 a 3; 2;1, b 2;1;1, c 3; 1; 2.
4.2 A 0; 3;6 , B 12; 3; 3 , C 9; 3; 6 .
5.2 A 0;1;2 , B 3; 1;2 , C 1;2;5 .
6.2 A 0;5;0 , B 2;3; 4 , C 0;0;6 , D 3;1; 1 .
7.2
a, b, c , a .
ВАРИАНТ 3
1.3 a 2;4;1, b 1; 2;7, c1 5a 3b , c2 2a b .
2.3 a 0;1;2, b 1;3; 2.
3.3 a 2; 1;2, b 1;2; 3, c 3; 4;7.
4.3 A 3;3; 1 , B 5;5; 2 , C 4;1;1 .
5.3 A 0;2;3 , B 3;1;2 , C 1;5;1 .
6.3 A 0;0;6 , B 4;0; 4 , C 1;3; 1 , D 4; 1; 3 .
7.3 a , b c , d .
ВАРИАНТ 4
1.4 a 1;2; 3, b 2; 1; 1, c1 5a 3b , c2 8a b.
2.4 a 1;2;1, b 3;1;2.
3.4 a 1;2;4, b 2;1; 5, c 1; 1; 1.
4.4 A 1;2; 3 , B 3;4; 6 , C 1;1; 1 .
5.4 A 1;0;3 , B 1;4;1 , C 0;2;3 .
6.4 A 5;6; 1 , B 6; 5;2 , C 6;5;1 , D 0;0;2 .
7.4 a b , c , d .
ВАРИАНТ 5
1.5 a 3;5;4, b 5;9;7, c1 2a b , c2 3a 2b.
2.5 a 2;1;7, b 2;4; 3.
3.5 a 2; 1;1, b 1;2;3, c 1; 3; 2.
4.5 A 4; 2;0 , B 1; 2;4 , C 3; 2;1 .
5.5 A 1;1;0 , B 4;1;2 , C 1;2;3 .
6.5 A 2; 5;3 , B 3;2; 5 , C 5; 3; 2 , D 5;3; 2 .
7.5 a ,5d , b , c .
ВАРИАНТ 6
1.6 a 1;4; 2, b 1;1; 1, c1 a b , c2 4a 2b.
2.6 a 4;1;5, b 1;3;1.
3.6 a 3; 1;2, b 2; 1; 1, c 4; 2; 2.
4.6 A 5;3; 1 , B 5;2;0 , C 6;4; 1 .
5.6 A 1;4;2 , B 5;2;3 , C 0;1;2 .
6.6 A 6;0;4 , B 0;6;4 , C 4;6;0 , D 0; 6;4 .
7.6 a , b , c , d .
ВАРИАНТ 7
1.7 a 1; 2;5, b 3; 1;6, c1 4a 2b , c2 b 2a.
2.7 a 3; 1;2, b 2;3; 1.
3.7 a 1;1; 1, b 7;3; 6, c 1;1;9.
4.7 A 3; 7; 5 , B 0; 1; 2 , C 2;3;0 .
5.7 A 3; 2;1 , B 1;3;2 , C 2;4;1 .
6.7 A 3;2;4 , B 2;4;3 , C 4;3; 2 , D 4; 2; 3 .
7.7
a, b , c .
ВАРИАНТ 8
1.8 a 3;5; 1, b 2; 1;1, c1 6a 3b , c2 b 2a.
2.8 a 4; 1;5, b 1; 3;1.
3.8 a 2; 4;9, b 2;0; 3, c 7;9; 3.
4.8 A 2; 4;6 , B 0; 2;4 , C 2;3;0 .
5.8 A 1;3; 1 , B 3;2;3 , C 1;3;0 .
6.8 A 6;3;5 , B 5; 6;3 , C 3;5;6 , D 6; 1;2 .
7.8
a, b , c c.
ВАРИАНТ 9
1.9 a 2; 3; 2, b 1;0;5, c1 3a 9b , c2 a 3b .
2.9 a 9;1;2, b 1;1;4.
3.9 a 1;1;1, b 1;1; 1, c 6;0;5.
4.9 A 0;1; 2 , B 3;1;2 , C 4;1;1 .
5.9 A 1; 1;6 , B 4;5; 2 , C 1;3;0 .
6.9 A 5; 2; 1 , B 4;0;0 , C 2;5;1 , D 1;2;5 .
7.9 a b , c , a .
ВАРИАНТ 10
1.10 a 1;4;2, b 3; 2;6, c1 2a b , c2 3b 6a.
2.10 a 8;2;3, b 2;8;0.
3.10 a 7;2;3, b 5; 3;2, c 10; 11;5.
4.10 A 3;3;1 , B 1;5; 2 , C 4;1;1 .
5.10 A 7;1;2 , B 5;3; 2 , C 3;2;5 .
6.10 A 4;2;5 , B 3;0;4 , C 0;2;3 , D 5; 2; 4 .
7.10 пр
d
a, b .
ВАРИАНТ 11
1.11 a 5;0; 1, b 7;2;3, c1 2a b , c2 3b 6a.
2.11 a 7;3;4, b 1; 1;1.
3.11 a 1;2;1, b 3; 5;3, c 2;7;1.
4.11 A 2;1; 1 , B 6; 1;5 , C 4;2;1 .
5.11 A 2;3; 2 , B 2; 3;2 , C 1;3;0 .
6.11 A 4;2;5 , B 3;0;4 , C 0;2;3 , D 5;2; 4 .
7.11 пр
d , c .
d c
ВАРИАНТ 12
1.12 a 0;3; 2, b 1; 2;1, c1 5a 2b , c2 3a 2b.
2.12 a 6; 4;2, b 1;2;7.
3.12 a 2;1; 1, b 3; 5;3, c 2; 1;3.
4.12 A 1; 2;1 , B 4; 2;5 , C 5; 2;2 .
5.12 A 4;2; 1 , B 3;0;4 , C 1;2;1 .
6.12 A 4;4;10 , B 7;10;2 , C 2;8;4 , D 9;6;9 .
7.12 пр
d ,c
a 3b .
ВАРИАНТ 13
1.13 a 2;7;1, b 3;5;2, c1 2a 3b , c2 3a 2b.
2.13 a 1; 2;3, b 3;2;1.
3.13 a 1; 1; 1, b 1;4;2, c 3;7;3.
4.13 A 6; 2;3 , B 6;3; 2 , C 7;3; 3 .
5.13 A 1;2;3 , B 1;2; 3 , C 2;3;1 .
6.13 A 4;6;5 , B 6;9;4 , C 2;10;10 , D 7;5;9 .
7.13 пр
a , b , c .
c 3d
ВАРИАНТ 14
1.14 a 3;7;0, b 1; 3;4, c1 4a 2b , c2 b 2a.
2.14 a 2;4;1, b 2;1;0.
3.14 a 7;2; 3, b 5;3;2, c 10;11; 5.
4.14 A 0;0;4 , B 3; 6;1 , C 5; 10; 1 .
5.14 A 4; 5;2 , B 1; 3;4 , C 5;2; 4 .
6.14 A 3;5;4 , B 8;7;4 , C 5;10;3 , D 4;7;8 .
7.14 пр
4 c 7 d
a, b , c .
ВАРИАНТ 15
1.15 a 1;2; 1, b 2; 7;1, c1 6a 2b , c2 b 2a.
2.15 a 3;4;1, b 1;1;7.
3.15 a 1; 2;1, b 5;3;1, c 7;2;1.
4.15 A 2; 8; 1 , B 4; 6;0 , C 2; 5; 1 .
5..15 A 4;4;9 , B 7;10;2 , C 2;8;4 .
6.15 A 10;6;5 , B 2;8;4 , C 6;8;9 , D 7;10;3 .
7.15 пр
3d b , c .
c ,d
ВАРИАНТ 16
1.16 a 7;9; 2, b 5;4;3, c1 4a b , c2 4b a.
2.16 a 1;4;2, b 2;2;3.
3.16 a 2;4; 9, b 7;3;6, c 1;1;1.
4.16 A 3; 6;9 , B 0; 3;6 , C 9; 12;15 .
5.16 A 4;6;5 , B 6;9;4 , C 7;5;9 .
6.16 A 1;8;2 , B 5;2;6 , C 5;7;4 , D 4;10;9 .
7.16 пр b , a , c .
3c
ВАРИАНТ 17
1.17 a 5;0; 2, b 6;4;3, c1 5a 3b , c2 6b 10a.
2.17 a 5;1;3, b 2;1;3.
3.17 a 3;4;5, b 2;1;3, c 1;4;3.
4.17 A 0;2; 4 , B 8;2;2 , C 6;2;4 .
5.17 A 3;5;4 , B 8;7;4 , C 4;7;8 .
6.17 A 6;6;5 , B 4;9;5 , C 4;6;11 , D 5;9;3 .
7.17 пр
2 a c ,d
a b .
ВАРИАНТ 18
1.18 a 8;3; 1, b 4;1;3, c1 2a b , c2 2b 4a.
2.18 a 4;3;7, b 4;1;3.
3.18 a 5;6; 2, b 2; 3;1, c 2;1; 1.
4.18 A 3;3; 1 , B 5;1; 2 , C 4;1;1 .
5.18 A 10;6;5 , B 2;8;4 , C 7;10;3 .
6,18 A 7;2;2 , B 5;7;7 , C 5;3;1 , D 2;3;7 .
7.18 пр
a b
3b d , b .
ВАРИАНТ 19
1.19 a 3; 1;6, b 5;7;10, c1 4a 2b , c2 2b 4a.
2.19 a 4;2;1, b 1; 2;1.
3.19 a 5;6;1, b 4;1;1, c 2; 1;2.
4.19 A 4;3;0 , B 0;1;3 , C 2;4; 2 .
5.19 A 6;3;5 , B 8;7;3 , C 5;10;4 .
6.19 A 8;6;4 , B 10;5;5 , C 5;6;8 , D 8;10; 7 .
7.19 пр
5b c
4c, d , a .
ВАРИАНТ 20
1.20 a 1; 2;4, b 7;3;5, c1 6a 3b , c2 b 2a.
2.20 a 6;7;1, b 3;2;4.
3.20 a 2; 1;4, b 4; 1;1, c 3;4;1.
4.20 A 1; 1;0 , B 2; 1;4 , C 8; 1; 1 .
5.20 A 1;8;2 , B 5;2;6 , C 6;9;3 .
6.20 A 7;7;3 , B 6;5;8 , C 3;6;7 , D 8;4;1 .
7.20 d , c , a b .
ВАРИАНТ 21
1.21 a 3;7;0, b 4;6; 1, c1 3a 2b , c2 5a 7b.
2.21 a 6; 7; 1, b 2;1;5.
3.21 a 2; 1;4, b 4;1; 1, c 1;1;2.
4.21 A 7;0;2 B 8;1;3 , C 6; 1;2 .
5.21 A 7;2;2 , B 5;7;6 , C 2;3;7 .
6.21 A 4;0;0 , B 2;1;2 , C 1;3;2 , D 3;2;7 .
7.21 a , b , c , d .
ВАРИАНТ 22
1.22 a 2; 1;4, b 3; 7; 6, c1 2a 3b , c2 3a 3b.
2.22 a 3; 3;4, b 2;1; 1.
3.22 a 2;1;3, b 3; 2;1, c 4; 2;3.
4.22 A 2;3;2 , B 1;3; 2 , C 3; 7; 3 .
5.22 A 5;6; 1 , B 2;4;3 , C 5;2; 4 .
6.22 A 2;1;2 , B 4;0;1 , C 3;2;7 , D 1;3;2 .
7.22 b , a 2b , c .
ВАРИАНТ 23
1.23 a 5; 1; 2, b 6;0;7, c1 3a 2b , c2 4b 6a.
2.23 a 4; 5;1, b 2;3;7.
3.23 a 3;1; 4, b 4;3;1, c 1;2;2.
4.23 A 2;2;7 , B 0; 1;6 , C 2;5;7 .
5.23 A 3;2;4 , B 3;1; 2 , C 5; 2;3 .
6.23 A 1;3;2 , B 3;2;7 , C 4;0;1 , D 2;1; 2 .
7.23
a, d , a , b .
ВАРИАНТ 24
1.24 a 3;6;3, b 7;1;2, c1 2a b , c2 3a 5b.
2.24 a 5;4;2, b 2; 1;1.
3.24 a 4;3; 2, b 1;2;2, c 2;2;1.
4.24 A 1;2; 3 , B 0;1; 2 , C 3;4; 5 .
5.24 A 5; 2;1 , B 4;2;5 , C 1;2;4 .
6.24 A 3;2;7 , B 1;3;2 , C 2;1;3 , D 4; 2;3 .
7.24 a b , c , d .
ВАРИАНТ 25
1.25 a 4;2;9, b 0; 1;3, c1 4b 3a , c2 4a 3b.
2.25 a 5; 4;2, b 3;5;2.
3.25 a 3;1;4, b 2;1;1, c 5;4;3.
4.25 A 0;3; 6 , B 9;3;6 , C 12;3;3 .
5.25 A 7;5;6 , B 2; 5;2 , C 3;1;0 .
6.25 A 3;1; 2 , B 1; 2;1 , C 2;1;0 , D 2;2;5 .
a , b , d .
7.25 пр
a b
ВАРИАНТ 26
1.26 a 2; 1;6, b 1;3;8, c1 5a 2b , c2 2a 5b.
2.26 a 5;4; 2, b 4;4;3.
3.26 a 1;2;1, b 3;2; 1, c 5;6;1.
4.26 A 3;3; 1 , B 5;1; 2 , C 4;1; 3 .
5.26 A 2;1;2 , B 1; 2;2 , C 3; 1;4 .
6.26 A 1; 2;1 , B 3;1; 2 , C 2;2;5 , D 2;1;0 .
a, b , c .
7.26 пр
b
2
a
ВАРИАНТ 27
1.27 a 5;0;8, b 3;1;7, c1 3a 4b , c 12b 9a.
2.27 a 7; 3;1, b 1;1; 4.
3.27 a 1;2; 2, b 4;5;4, c 6;5;1.
4.27 A 2;1;1 , B 2;3;2 , C 0;1;3 .
5.27 A 1;3;2 , B 2;3;2 , C 5;6;8 .
6.27 A 3;2;1 , B 2;1;0 , C 1; 2;1 , D 3;1;2 .
7.27 пр
b ,c
b, d .
ВАРИАНТ 28
1.28 a 1;3;4, b 2; 1;0, c1 3a 2b , c2 b 3a.
2.28 a 8; 2;3, b 1;3;2.
3.28 a 2; 1;2, b 3;3;3, c 4;5;1.
4.28 A 1;4; 1 , B 2;3; 5 , C 8;4;0 .
5.28 A 3;1; 2 , B 4; 2;7 , C 2;1;2 .
6.28 A 1; 2;1 , B 3;1; 2 , C 2;2;5 , D 2;1;0 .
7.28 пр
a ,b
b, c .
ВАРИАНТ 29
1.29 a 4;2; 7, b 5;0; 3, c1 2a 5b , c2 6b 2a.
2.29 a 8;2; 3, b 2;2;3.
3.29 a 2;1; 3, b 2;2;1, c 1;1;2.
4.29 A 0;1;0 , B 0;2;1 , C 1;2;5 .
5.29 A 1; 2;1 , B 2;3;2 , C 1;3; 2 .
6.29 A 3;1;2 , B 2;1;1 , C 1; 2;3 , D 3;2;1 .
7.29 a b , c , d , c .
ВАРИАНТ 30
1.30 a 2;0; 5, b 1; 3; 4, c1 2a 6b , c2 5a 2b.
2.30 a 3;6; 7, b 1;2;1.
3.30 a 2; 1;4, b 1;1;2, c 1;2; 3.
4.30 A 4;0;4 , B 1;6;7 , C 1;10;9 .
5.30 A 2;2;5 , B 3;2;7 , C 3;5;8 .
6.30 A 2; 1;1 , B 2;2;5 , C 3;2;1 , D 1; 2;1 .
7.30 a , 2a b , d .
