Круги Эйлера: просто и доступно. Математика

Всероссийский конкурс учебно-исследовательских работ старшеклассников
по политехническим дисциплинам для учащихся 9-11 классов
Математика
Круги Эйлера – просто и доступно
Шмелев Денис Зафарович,
7 класс, МАОУ СОШ №24,
г. Краснотурьинск
Арефьева Татьяна Викторовна,
учитель математики
Пермь. 2021.
1
Оглавление
Введение…………………………………………………………………..3
1. Теоретическая часть………………………………………………….6
1.1. Из истории кругов Эйлера …………………………………………6
1.2. Немного о множествах. Основные понятия теории множества.…7
1.3. Действия над множествами…………………………………………8
1.4. Круги Эйлера………………………………………………….……9
2. Практическая часть…………………………………………….……12
2.1. Решение задач методом кругов Эйлера ……………………..……12
2.2. Мини – исследование. Выводы ……………………………….…...21
2.3.Прикладное назначение кругов Эйлера……………………..…….22
Заключение………………………………………………………………25
Список используемых источников и литературы…………………27
Приложения……………………………………………………………..28
2
Введение
Почему я выбрал эту тему для исследования?
Мне была предложена задача. В классе 35 пять учеников, 12 ребят
занимаются в математическом кружке и 9 учеников занимаются в
биологическом кружке. 16 ребят не посещают эти кружки. Сколько ребят
увлекается математикой и биологией? Решить задачу нужно было двумя
способами. Я решил задачу.
1). 35 – 16 =19 (учеников занимается в математическом и биологическом
кружках).
2). 19 – 12 = 7 (учеников не занимается в математическом кружке, значит,
они посещают только биологический кружок).
3). 9 – 7 = 2 (ученика посещают биологический и математический кружок)
Ответ. 2 ученика увлекаются биологией и математикой.
Задача была решена правильно. А вот со вторым способом у меня возникла
проблема. Оказывается, решить задачу можно легко и быстро, если условие
изобразить с помощью кругов Эйлера. Меня заинтересовал метод решения с
помощью кругов Эйлера, и я решил провести исследовательскую работу по
теме «Круги Эйлера – просто и доступно».
Прежде всего, я выяснил, насколько важна и актуальна данная тема.
Следует отметить, что решение задач методом кругов Эйлера, а особенно с
громоздкими условиями и со многими данными, не вызывает затруднений.
Задачи такого типа заставляют задумываться и подходить к решению какойнибудь проблемы с разных сторон. Учат выбирать из множества способов
решения наиболее простой и легкий. Способствуют повышению
интеллектуального развития, помогают вырабатывать умение наблюдать,
анализировать и делать выводы. С помощью кругов Эйлера можно решать
задачи не только в математике, но в статистике, логистике, менеджменте, и
даже, казалось бы, в таких достаточно «далеких» от математики областях
науки: как биология, философия и социология. Круги Эйлера применяются для
решения задач в формате ОГЭ и ЕГЭ по теме « Поисковые запросы в сети
интернет», для решения задач на математических олимпиадах. Поэтому тема
«Круги Эйлера – просто и доступно» я считаю актуальна.
Вывод прост: знать, что представляют собой круги Эйлера и уметь их
применять для решения задач, я считаю должен каждый.
Провел опрос среди учащихся. Учащимся было предложено ответить на
вопросы.
1. Что представляют собой круги Эйлера?
2. Для чего используют круги Эйлера?
3. Используете ли вы метод кругов Эйлера при решении задач?
Опрос показал, что многие слышали о кругах Эйлера, но не все могут
объяснить, что представляют собой круги Эйлера и большинство
3
одноклассников испытывают затруднение при решении задач методом кругов
Эйлера
Значит, работа принесет не только мне пользу, но и будет хорошим
источником информации на практике.
Цель исследования: изучить метод кругов Эйлера, научится применять
его для решения логических задач и исследовать целесообразность применения
метода кругов Эйлера для решения задач.
Объектом исследования являются круги Эйлера.
Предметом исследования являются задачи, решаемые с помощью кругов
Эйлера.
Гипотеза исследования: круги Эйлера упрощают рассуждения при
решении задач и помогают решить задачу легко и быстро.
Для достижения цели исследования и обоснования гипотезы я
предположил решение таких задач:
1. Найти учебную и научную литературу, информацию в сети Интернет по
теме «Круги Эйлера - просто и доступно».
2. Отобрать материал для исследования, выбрать информацию главную,
интересную.
3. Показать, что круги Эйлера являются средством визуализации понятий
теории множеств.
4. Исследовать решения задач на диаграммах Эйлера-Венна и показать
целесообразность применения метода кругов Эйлера при решении задач.
5. Раскрыть прикладную значимость кругов Эйлера.
6. Создать электронную презентацию работы для предоставления
собранного материала при изучении темы
«Круги Эйлера» на уроках
математики, информатики, для подготовки выпускников к ОГЭ и ЕГЭ и для
тех, кто заинтересуется решением задач с помощью кругов Эйлера.
7. Полученные результаты и выводы использовать для составления
информационной карты «Круги Эйлера – просто и доступно» и рубрики
«Тренажеры».
Ожидаемые результаты (продукт исследовательской деятельности).
1. В исследовательской работе будет собрана вся необходимая информация
для понимания, что такое круги Эйлера, для решения каких задач, как решать
задачи методом Эйлера. Полученную информацию можно использовать на
практике.
2. Результаты и выводы работы будут являться рекомендациями для
решения задач методом Эйлера.
3. Приобрету, навык исследовательской работы, что позволит мне,
успешно использовать полученные навыки при изучении предметов в будущем.
Научусь работать с интернет - ресурсами.
Теоретическая значимость исследовательской работы заключается в том,
что информация, изложенная в работе, позволит понять «Что представляют
собой круги Эйлера» и как круги Эйлера помогают решать задачи.
При исследовании использованы следующие приемы и методы:
4
- опрос (анкетирование);
- анализ (статистическая обработка данных);
- практическая работа;
- наблюдения;
- поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а
также поиск необходимой информации в сети Интернет;
- практический метод решение задач методом Эйлера;
- анализ полученных в ходе исследования данных.
5
1. Теоретическая часть
В математике существуют множество приемов и способов решения задач.
Часто при решении используется рисунок, что упрощает и облегчает путь к ее
решению. Особенно важно наглядное представление при решении логических
задач связанных с множествами. Одним из таких наглядным и удобным
способов являются круги Эйлера. Круги Эйлера были изобретены и названы по
имени швейцарского, немецкого и российского математика Леонарда Эйлера.
(Приложение 1). С помощью кругов Эйлер решал сложнейшие математические
задачи. Применение кругов позволяло Эйлеру свести решение любой, даже
самой сложной задачи, к максимальному упрощению рассуждений.
Что же представляют собой круги Эйлера?
В интернет – энциклопедии: Википедия
(режим доступа:
http://ru.wikipedia.org): я узнал, что круги Эйлера – это геометрическая схема,
которая позволяет наглядно изобразить отношения между множествами и
подмножествами. Благодаря наглядности они значительно упрощают любые
рассуждения и помогают быстрее находить ответы на вопросы.
В энциклопедии «Юный математик»: круги Эйлера - это фигуры, условно
изображающие множества и наглядно иллюстрирующие операции над
множествами.
Анализируя определения, я пришел к выводу, что круги Эйлера, это
рисунки, изображающие множества и отношения между ними в виде кругов, и
они помогают решать задачи.
1.1.
Из истории кругов Эйлера
Рисунки в виде кругов, изображающих множества, использовали давно.
Одним из первых, кто пользовался этим методом, был выдающийся немецкий
математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716). В его
черновых набросках были обнаружены рисунки с такими кругами. Затем этот
метод довольно основательно развил Леонард Эйлер (1707 – 1783 г.г.) –
математик, механик, физик и астроном. По происхождению швейцарец, а
работал в основном в России и в Германии. В 1726 году был приглашен в
Петербургскую АН и в 1727 году переехал в Россию. К этому времени
относятся его знаменитые «Письма к немецкой принцессе», написанные в
период с 1761 по 1768 год. В некоторых из этих «Писем…» Эйлер как раз и
рассказывает об изображении множеств в виде кругов и отмечает, что при
решении задач такое изображение «очень подходят для того, чтобы облегчить
наши размышления». Поэтому схемы изображения множеств названы кругами
Эйлера. После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард
Больцано (1781 – 1848). Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а
прямоугольные схемы множеств.
Методом Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнест Шредер (1841
– 1902). Этот метод широко используется в книге «Алгебра логики». Но
6
наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского
логика Джона Венна (1843 – 1923). С наибольшей полнотой этот метод изложен
им в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. В честь
Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда
диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также диаграммами (или
кругами) Эйлера – Венна.
Так как круги Эйлера связаны с множествами, я решил познакомиться с
теорией множеств, чтобы понимать, что представляют собой круги Эйлера и
как их использовать для решения задач. Пользуясь электронной книгой Н.Я
Виленкина «Рассказы о множествах», 3-е издание. — М.: МЦНМО, 2005. –
150с, я изучил основные понятия теории множеств и операции над
множествами.
1.2.
Немного о множествах.
Слово «множество» мы часто используем в своей повседневной жизни.
Строгого определения понятия множества не существует. Его смысл
выражается словами: совокупность, собрание, класс, набор, команда и т.д. В
толковом словаре С.М.Ожегова дается такое понятие «множество - это очень
большое количество чего-нибудь».
ПРИМЕР. Можно говорить о множестве дней в году, о множестве
карандашей, о множестве цветов, о множестве животных, о множестве всех
жителей на Земле и т.д. (Рис.1).
Рис.1
Основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845–
1918) (Приложение 2) так определил множество – «многое, мыслимое как
единое, целое». Поэтому мы имеем право говорить, что множество - это
совокупность объектов (предметов, понятий) объединенных каким – либо
общим признаком.
Математика имеет дело с множествами на каждом шагу. Примерами таких
множеств могут служить: а) множество всех натуральных чисел; б) множество
всех целых чисел; в) множество линий; г) множество всех действительных
чисел; д) множество площадей правильных многоугольников и т.д.
Множества обозначают большими буквами латинского алфавита А, В, С и
т.д. Числовые множества натуральных чисел и целых чисел всегда обозначают
буквами N и Z .
7
Множество может, объединят любое количество предметов, чисел,
существ и т. д.
Каждый предмет множества называется элементом.
ПРИМЕР. Множество дней недели. Оно состоит из 7 элементов –
понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота и воскресенье.
Множества, состоящие из конечного числа элементов, называют
конечными. Если количество элементов множества неизвестно, т.е. бесконечно,
то такое множество называется бесконечным. Примером конечного множества
может служить множество учеников в классе, множество цифр, примером
бесконечного множества является множество натуральных чисел (Рис.2).
Рис.2
На первый взгляд кажется, что слово «множество» предполагает, что
элементов в нем «много». Однако, это не так. Существует понятие пустого
множества. Пустое множество – это множество, которое не содержит ни
одного элемента. Обозначается пустое множество знаком . Примером пустого
множества может служить множество точек пересечения параллельных
прямых.
Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.
Если каждый элемент множества А является в то же время элементом
множества В, то множество А является подмножеством В.
ПРИМЕР. Рассмотрим множества А={1; 5; 3} и В={1; 3; 5; 6; 7; 9;}.
Множество А является подмножеством множества В.
Множества А и В называются равными, если они содержат одни и те же
элементы.
ПРИМЕР. Множества А = 1;2;3 и В = {3; 2; 1} равны, так как
содержат одинаковые элементы: А = В.
1.3.
Действия над множествами.
Выполняя действия над множествами можно получать новые множества.
8
Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество,
состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных
множеств. Объединение записывается так А  В.
ПРИМЕР. Пусть А={1; 3; 6; 8} и
В ={2; 4; 6; 8}. Тогда
объединение А и В есть А  В={1; 2; 3; 4; 6; 8}. Аналогичным образом
определяется объединение более чем двух множеств.
Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество,
состоящее из элементов, одновременно принадлежащих множеству А и
множеству В. Произведение множеств записывается так А  В .
ПРИМЕР. Пусть А={2; 5; 7; 8} и В={3; 5; 6; 7}. Тогда пересечением А и
В является новое множество, элементами которого являются числа 5 и 7, т.е. А
 В = {5; 7}.
Пересечение более чем двух множеств определяется аналогичным
образом. Если множества А и В не имеют общих элементов, то их пересечение
пусто:
.
Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех
элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.
ПРИМЕР. Пусть А={1; 2; 5; 7} и В={1; 3; 5; 6}. Разностью множеств А и В
является множество, элементами которого являются числа 2 и 7, т.е. А\В ={2;7}.
Если множество B является подмножеством множества А, то
А\В
разность называют дополнением
множества
В
до
множества
Аи
обозначают
ПРИМЕР.
В случае числовых множеств запись
означает дополнение
множества А до множества R действительных чисел.
Для наглядной геометрической иллюстрации множеств и отношений
между ними Эйлер использовал круги, как отмечалось изначально.
1.4.
Круги Эйлера
Рассмотрим наглядную картину.
1. Каждое множество Эйлер изображал в виде круга, элементы
множества изображались внутри круга точками (элементы можно и не
изображать) (Рис. 3).
А
. ..
. В
. . .
Рис. 3. Наглядная картина
А, множества В.
. множества
. .
2. Подмножество изображалось внутри большого круга (множества)
(Рис. 4).
9
А
В
А В
Рис. 4. Наглядная картина отношений множества В и подмножества А.
3. Элемент
х принадлежит множеству, а элемент с не
принадлежит множеству В, Эйлер изображал так (Рис. 5):
С
В
х
Рис. 5. Наглядная картина утверждения: «Элемент х принадлежит
множеству В, а элемент с не принадлежит множеству В».
4. Изображение пересечения множеств А и В (Рис. 6).
Рис. 6. Пересечение множеств А и В является множество С выделено
на диаграмме Эйлера-Венна.
ПРИМЕР 1. Множество А – это ребята из нашего класса, которые
зарегистрированы в социальной сети «Контакты» и множество В ребят,
которые пользуются другой сетью – «Одноклассники». Есть ребята, которые
пользуются одновременно двумя сетями – это множество выделено
штриховкой. Данное множество образуется пересечением (общей частью) двух
множеств А и В (Рис.6(а)).
ПРИМЕР 2. Пусть А – множество компьютеров, В – множество учеников
6А класса. Эти два множества не имеют ничего общего, так как нет
компьютеров среди учеников 6-го класса, и нет среди компьютеров таких
понятий, как ученик (Рис.6(б)).
5. Объединение множеств А и В (Рис.7).
10
Рис.7. Объединение множеств А и В выделено штриховкой на диаграмме
Эйлера-Венна.
ПРИМЕР. Множество А – это ребята из нашего класса, которые
зарегистрированы в социальной сети «Контакты» и множество В ребят,
которые пользуются другой сетью «Одноклассники». Множество ребят из
нашего класса, которые пользуются хотя бы одной сетью или сразу двумя
изображаются объединением множеств А и В. (Рис. 7(а, б)).
6. Разность множеств А и В.
Рис. 8. Разность множеств А и В выделена штриховкой на диаграмме
Эйлера-Венна.
ПРИМЕР. Множество А – это ребята из нашего класса, которые
зарегистрированы в социальной сети «Контакты» и множество В ребят,
которые пользуются другой сетью «Одноклассники». Есть ребята, которые
пользуются одновременно двумя сетями. Множество ребят, которые
пользуются только одной сетью «Контакты» изображается разностью множеств
А и В (Рис. 8(а,б)).
Примечание. С помощью кругов можно изобразить пересечение,
объединение и разность более чем двух множеств (Рис. 9).
Рис. 9.
Вывод. Круги Эйлера являются средством визуализации основных
понятий теории множеств и операций над ними, они упрощают понимание и
доступно отражают сущность определений. Круги Эйлера просты и понятны
(Приложение 3).
Разобравшись в том, что представляют собой круги Эйлера, я решил
выяснить, как круги Эйлера помогают решать логические задачи.
11
2. Практическая часть.
2.1.Решение задач на кругах Эйлера (диаграммах Эйлера – Венна).
Рассмотрим решения нескольких задач. Для этого я выбрал несколько
задач из образовательного портала для подготовки к экзаменам "Решу
ОГЭ".(http://math.oge.sdamgia.ru/) и учебников:
Г.Д. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина и др. Математика - 6 класс, учебник для
учащихся общеобразовательных учреждений;
А.Г.Мордкович, Л.А. Александров и др. Алгебра – 9 класс. Ч. 2. Задачник
для учащихся общеобразовательных учреждений.
Задача №1. В классе 35 учеников, 12 ребят занимаются в математическом
кружке и 9 учеников занимаются в биологическом кружке. 16 ребят не
посещают эти кружки. Сколько ребят увлекается математикой и биологией?
Решение. Воспользуемся кругами Эйлера и составим диаграмму. Из 35
учащихся 19 посещают два кружка: математический и биологический, значит,
в задаче будем использовать одно множество и два подмножества, т.е. будем
рисовать три круга.
Так как в классе есть ученики, посещающие оба кружка, то нарисуем два
круга (внутри большого круга), так чтобы была общая часть и в общей части
запишем Х, так как неизвестно, сколько учеников посещает оба кружка.
Нанесем данные задачи на круги. Получим наглядную картину задачи (Рис. 1).
35
35
16
19 16
Х
2
7
М. 12.
Б. 9.
М. 12.
Б. 9.
Рис. 1
Рис. 2
Используя схему, рассуждая и анализируя, отвечаем на вопрос задачи.
1). 19 – 12 = 7 (учеников не занимается в математическом кружке).
2). 9 – 7 = 2 (ученика занимается в математическом кружке и
биологическом) (Рис. 2).
Ответ. 2 ученика увлекается математикой и биологией.
Задача №2. В поход ходили 80 % учеников класса, на экскурсии
было 60 %, причем каждый ученик был в походе или на экскурсии.
Сколько процентов учащихся класса были и там, и там?
Решение. Составим схему задачи, используя круги Эйлера. Рисуем два
круга, так как в задаче два множества.
12
Так как несколько ребят были в походе и на экскурсии, изображаем круги
так, чтобы была общая часть. В общей части кругов напишем х, так как
неизвестно, сколько процентов учащихся класса были в походе и на
экскурсии. Нанесем данные задачи на круги. Получим наглядную картину
задачи (Рис.1).
Всего 100%.
Всего 100%.


П.80%
Э.60%
Х
П.80%
20%
Э.60%
40%
Рис.1.
Рис.2.
Круги Эйлера рис.1 помогают решить задачу.
1). 100 % – 60 % = 20 % (учащиеся ходили только в поход).
2). Х = 60 % – 20 % = 40 % (учащиеся посетили экскурсию и были в
походе) (Рис. 2).
Ответ. 40% учащихся посетили экскурсию и были в походе.
Задача №3. Все мои друзья, занимаются каким – либо спортом, 6 из них
увлекаются футболом, 4 посещают бассейн и только двое из них увлекаются
тем и другим видом спорта. Сколько у меня друзей?
Решение. Составим схему задачи в виде диаграммы. В задаче два
множества: друзья, которые увлекаются футболом и друзья посещающие
бассейн.
Так как среди друзей есть 2 друга, увлекающих футболом и плаванием, то
нужно рисовать два круга, так чтобы была общая часть и в общей части ставим
2.
Диаграмма будет иметь вид (Рис.1):
4
2
2
2
Ф. 6
Б. 4
Рис. 1.
Б. 4
Ф. 6
Рис. 2.
13
Пользуясь схемой, определяем, сколько увлекается только футболом 6 – 2
= 4 (друга) и сколько играют только в спортивные игры 4 – 2 = 2 (друга).
Указываем результаты на схеме. Всего 4 + 2+ 2 = 8 (друзей) (Рис. 2).
Ответ. 8 друзей.
Задача №4. В классе 15 учащихся. Из них 9 занимаются в секции лёгкой
атлетики, 5 – в секции плавания и 3 – в обеих секциях. Сколько учащихся
класса не посещают секции?
Решение. Составим схему задачи, используя круги Эйлера. В задаче одно
множество и два подмножества, т.е. рисуем три круга.
Так как в классе 3 ученика посещают обе секции, то два круга будут
пересекаться, и рисуем их внутри большого круга (Рис.1).
15
15
?
А.9.
4
П.5.
А.9.
П.5.
2
3
6
3
2
Рис.1.
Рис.2.
Используя схему рис.1, размышляя, решаем задачу.
1). 9 - 3 = 6 (учеников, которые занимаются только легкой атлетикой).
2). 5 – 3= 2 (ученика занимаются только плаванием).
3). 15 – (6 +3 + 2) = 4 (ученика) (Рис. 2).
Ответ. 4 ученика не посещают секции.
Задача №5. В языке запросов поискового сервера для обозначения
логической операции "ИЛИ" (объединение) используется символ "|", а для
логической операции "И" (пересечение) - символ "&".
В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц
некоторого сегмента сети Интернет.
Запрос
Найдено страниц (в тысячах)
Торты | Пироги
12000
Торты & Пироги
6500
Пироги
7700
Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Торты?
(Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так
что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время
выполнения запросов.)
Решение. Для решения задачи изобразим множества Тортов и Пирогов в виде
кругов Эйлера. Получим схему задачи (Рис.1).
14
12000 страниц
Торты 
Торты
Пироги
7700
6500
Рис.1
12000 страниц

Торты
Торты
4300
Пироги
7700
6500
Рис. 2
Используя схему, решаем задачу.
Из общего множества (Пироги  Торты) отнимем множество Пироги.
1). 12000 – 7700 = 4300 (тысяч запросов только Торты).
2). 4300 + 6500 = 10800 (тысяч запросов Торты) (Рис.2).
Ответ. 10800 тысяч запросов Торты.
Задача №6. При опросе 100 учеников 6-х классов выяснилось, что у 78
человек есть планшет, у 85 - смартфон, а у 8 учеников нет ни планшета, ни
смартфона. У скольких учеников есть и планшет, и смартфон?
Решение. Имеют смартфоны и планшеты в классе 100 – 8 = 92 ученика.
Составим схему задачи в виде кругов Эйлера и запишем условие задачи на
кругах. В задаче одно множество и два подмножества, значит, изображаем три
круга.
Так как в классе есть ученики, которые имеют и планшет, и смартфон, то
круги будут пересекаться и находится внутри большого круга (Рис. 1).
15
8
100
100
П. 78.
С.85
П. 78.
71
?
8
С.85
14
Рис.1
Рис.2
Рассуждая и анализируя схему задачи по рис.1, решаем задачу.
1). 92 - 78 = 14 (учеников имеют только смартфон);
2). 85 – 14 = 71(ученик имеют и планшет, и смартфон) (Рис. 2).
Ответ. 71 ученик.
Задача №7. На полу площадью 12 м2 лежит 3 ковра, площадь первого
ковра – 5 м2. площадь второго – 4 м2, третьего – 3 м2. Каждые два ковра
перекрываются на площади 1,5 м2, причем 0,5 м2 приходится на участок, где
перекрывается 3 ковра. Какая площадь пола не перекрыта коврами?
Решение. Составим схему задачи в виде кругов Эйлера. Начертим три
пересекающихся круга. На кругах напишем данные задачи (Рис.1).
5
1
1
4
0,5
1
3
12 м2
Рис.1
Рассуждая и анализируя схему задачи, решаем задачу.
12 – ( 5 + (4 - 1,5) + (3 – 1,5 -1,5)) = 3,5 м2
Ответ. 3,5 м2
Задача №8. Группа туристов выехала за границу. Из них владеет
английским языком 28 человек, французским -15, немецким – 10, английским и
французским -8, французским и немецким –5, английским и немецким - 6,
всеми тремя языками двое, а 41 человек не владеет ни одним из трех языков.
Сколько всего туристов?
Решение. Воспользуемся кругами Эйлера. Начертим три пересекающихся
круга внутри большого круга, так чтобы они имели общую часть, и нанесем
данные задачи на круги. Получим схему задачи (Рис. 1).
16
Всего?
41
А.28
Ф.15
6
2
4
3
Н.10
Рис.1.
Всего?
41
А.28
16
6
4
Н.10
Ф.15
4
2
3
1
Рис.2.
Рассуждая и анализируя схему задачи на диаграмме Эйлера – Венна
рис.1., определим, что английский язык знают только 28 - 12 =16(туристов),
французский только 15 – 11= 4 (туриста), немецкий только 10- 9 = 1(турист)
(Рис.2).
Пользуясь схемой рис. 2 отвечаем на вопрос задачи.
16+4+2+6+4+3+1+41=77. Значит всего туристов 77.
Ответ.77 туристов.
Задача №9. Ребята посещают три кружка: математики, физики и химии.
Решено было организовать кружок робототехники и пригласить тех ребят,
которые не занимаются в кружках. Сколько таких ребят, если в классе 36
человек, 18- математикой, физикой занимаются 14, учащихся, химией – 10, 2 –
посещают все кружки, 8 – математику и физику, 5 – математику и химию, 3химию и физику.
Решение. Составим схему задачи. В классе три группы учащихся
посещают кружки, рисуем три пересекающихся круга внутри большого круга.
На кругах запишем данные задачи.
17
Всего 36 ребят.
Р.?
М. 18.
Всего 36 ребят.
Р.8
М. 18.
Ф.14.
6
6
7
2
3
5
Ф.14.
2
3
1
1
Х.10.
4
Х.10.
Рис.1
Рис.2
Рассуждая и анализируя схему задачи рис.1., решаем задачу.
1). 18 – 11 = 7 (учеников занимаются только математикой)
2). 14 – 9 = 5 (учеников занимаются только физикой)
3). 10 – 6 = 4 (учеников занимаются только химией)
Определим, сколько учеников посещает кружки 6 +2+1+3+7+5+4 =
28(учеников) (Рис. 2).
36-28= 8 (учеников не посещают кружки).
Ответ. Кружок робототехники будет посещать 8 учеников.
С помощью кругов Эйлера можно ответить на множество вопросов,
поставленных к одному условию задачи.
Задача №10. На школьной спартакиаде каждый из 25 учеников 9 –го
класса выполнил норматив или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба
норматива выполнили 7 человек, а 11 учеников выполнили норматив по бегу,
но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько учеников
выполнили норматив: а) по бегу; б) по прыжкам при условии, что не выполнен
норматив по бегу; в) по прыжкам в высоту.
Решение. Составим схему задачи, используя круги Эйлера. Рисуем два
круга, так как в задаче два множества.
Изобразим два пересекающихся круга, так как 7 учащихся сдали оба
норматива. Запишем данные в круги. Получим схему задачи (Рис.1).
25 учеников
25 учеников

В.
Б.
11
7

Б.
11
В.
7
7
Рис.1.
Рис.2.
Рассуждая и анализируя рис.1., решаем задачу.
1). 11 + 7 = 18 (учеников выполнили норматив по бегу),
18
2). 25 – 18 = 7 (учеников выполнили норматив только по прыжкам в
высоту),
3). 7 + 7 = 14 (учеников выполнили норматив по прыжкам в высоту).
(Рис.2.)
Ответ. а) 18 учеников; б) 7 учеников; в) 14 учеников.
Задача №11. По плану застройки участок площадью 1500 м2 состоит из
двух пересекающихся прямоугольников, их пересечение отведено под гараж.
Площадь первого прямоугольника равна 900 м2, площадь второго — 700 м2.
Найдите площадь: а) участка, отведенного под гараж; б) части первого
прямоугольника, не отведенного под гараж; в) части второго прямоугольника,
не отведенного под гараж; г) части застройки без учета гаража.
Решение. Составим схему задачи, используя круги Эйлера. В задаче два
пересекающихся множества (прямоугольника). Рис.1 .
а) 900 +700 – Х = 1500, Х = 100
1 участок
900
2 участок
Х
700
б) 900 – 100 = 800
в) 700 – 100 = 600
г) 1500 – 100 =1400
Ответ. а) 100 кв.м.; б) 800 кв.м.; в) 600 кв.м.; г) 1400 кв.м.
Задача №12. В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в
хоккей, 18 - в футбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и
хоккеем - четверо, баскетболом и футболом - трое, футболом и хоккеем пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом. Сколько
ребят увлекается одновременно тремя видами спорта? Сколько ребят
увлекается лишь одним из этих видов спорта?
Решение. 38 – 3 = 35 (учеников в классе увлекается спортом). Выясним
сколько в задаче множеств. В задаче одно множество и три подмножества.
Воспользуемся кругами Эйлера и составим схему.
Так как есть ребята, которые увлекаются одновременно тремя видами
спорта, то три круга (внутри большого круга) будут пересекаться. Общую часть
- пересечение обозначим Х.
Составим схему задачи и запишем данные задачи в круги (Рис.1).
19
38
38
3
3
Б.
9-Х
Б.
4
3
4
3
Х
5
Ф.
Х.
Х
10 - Х
Ф.
Х.
8-Х
5
Рис.1.
Рис.2
Следует заметить, что в классе увлекается спортом 38 – 3 = 35 ребят.
Пользуясь изображением задачи (Рис.1) легко определить, что одним лишь
видом спорта - баскетболом занимаются 16 - (4 + Х + 3) = 9 – Х (ребят); одним
лишь хоккеем 17 - (4 + Х+ 5) = 8 – Х (ребят); одним лишь футболом 18 - (3 +
х+5) = 10 –Х (ребят).
Заносим данные, полученные рассуждением на круги Эйлера (Рис.2).
Всего увлекается спортом 35 учеников, значит нужно найти объединение
множеств. Получим уравнение (9 -Х) + (8 - Х) + (10 -Х) + 4 + 3 + 5 + Х = 35.
Найдем Х.
9- Х +8 –Х + 10 –Х+12+Х =35, 2Х =4, Х= 2
Таким образом, двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта.
Определим, сколько учеников занимается только одним видом спорта.
7 учеников занимается только баскетболом, 6 – только хоккеем и 8- только
футболом.
Теперь можно определить количество ребят, увлекающихся лишь одним
видом спорта: 7 + 6 + 8 = 21 (ученик).
Ответ. Два ученика увлекаются всеми тремя видами спорта. Увлекается
одним видом спорта 21 ученик.
Вывод. При решении задач на кругах Эйлера я пользовался алгоритмом.
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
1. Внимательно изучаем условие задачи.
2. Определяем число множеств (кругов Эйлера)
3. Строим схему задачи, используя круги Эйлера.
4. Записываем исходные данные в круги.
5. Рассуждая и анализируя условие задачи, записываем недостающие
данные в круги Эйлера.
6. Решаем задачу и записываем ответ.
Решение задач с помощью кругов Эйлера сводится к построению
геометрической схемы (диаграммы Эйлера-Венна) для наглядного
20
представления условия задачи и использованию действий над множествами.
При решении задач круги Эйлера действительно упрощают рассуждения и
помогают решать задачи без затруднений и быстро. Гипотеза подтвердилась.
Способ решения задач с использованием «кругов Эйлера», я считаю, простым и
доступным, так как он облегчает понимание задачи и упрощает путь к
решению задачи, делая его наглядным.
2.2. Мини - исследование.
А умеют ли старшеклассники использовать круги Эйлера для решения
подобного типа задач?
Мини - исследование, участники учащиеся 8 - 9 классов.
Участникам было предложено решить задачи.
Задача 1. В классе 34 ученика. Все они ходят в спортивные секции. Из них
21 ученик занимается футболом, а 19 – волейболом. Какое количество
школьников занимается только футболом и только волейболом? Ответ. 15 и 13.
Задача 2. В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35
холодильников, 36 микроволновых печей, 37 телевизоров, 20 из них купили и
холодильник и микроволновую печь, 19 - и микроволновую печь и телевизор,
15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был
ли среди них посетитель, не купивший ничего? Ответ. 7 человек.
Первую задачу решили 8 человек, вторую только один. При решении все
использовали арифметический способ, так как затруднялись использовать
метод Эйлера.
Я провел МАСТЕР-КЛАСС. Разобрал с участниками решение нескольких
задач методом Эйлера и ребятам предложил задачи для самостоятельного
решения.
Задача №1. В классе 15 учебных парт. 10 из них необходимо помыть и 9
покрасить. Сколько парт необходимо и помыть и покрасить? Ответ. 4.
Задача №2. Из 40 учащихся нашего класса 32 любят читать книги, 21 –
кататься на велосипеде, а 15 – и то и другое. Сколько ребят в нашем классе не
любят ни читать, ни кататься на велосипеде? Ответ. 2.
Задача №3. 12 мальчиков в моем дворе любят подтягиваться , 18 –
отжиматься, трое обожают и то, и другое, а один вообще не любит спорт.
Сколько всего мальчиков в моем дворе? Ответ. 28.
Задача №4. В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в
драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из
хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена
посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом,
не занимаются в драмкружке? Ответ. 19.
Все участники решили задачи правильно.
Так как ребята решали задачи изначально арифметическим способом, я
решил выяснить: каким методом проще решать задачи арифметическим или
21
методом Эйлера. Предложил участникам решить 2 задачи методом Эйлера и
арифметическим методом.
Задача №1. На доске нарисованы два круга, внутри которых отмечено
несколько точек. Внутри первого из них всего 190 отмеченных точек. Внутри
второго — всего 230 отмеченные точки. Внутри обоих кругов одновременно
находится ровно 70 точек. А сколько отмеченных точек всего? Ответ. 350.
Задача №2. В лагере в смене актива отдыхали: 30 отличников, 28
победителей олимпиад и 42 спортсмена. 10 человек были и отличниками
и победителями олимпиад, 5 — отличниками и спортсменами, 8 —
спортсменами и победителями олимпиад, 3 — и отличники, и
спортсмены, и победители олимпиад. Сколько ребят отдыхало в лагере?
Ответ. 80 ребят.
Результаты исследования
Способы решения
Количество учащихся
1 задача
2 задача
Метод кругов Эйлера
10
10
Арифметический метод
8
1
Анализ результатов эксперимента позволил мне сделать вывод.
Вывод. Метод Эйлера является незаменимым при решении логических
задач.
Выбор метода решения задач зависит от условия задачи. Задачи на
пересечение и объединение двух множеств можно решить двумя способами:
арифметическим способом и методом кругов Эйлера, но методом кругов задачи
решать проще. Решение задач на пересечение и объединение более чем двух
множеств арифметическим способом приводит в «тупик». Для решения задач
целесообразно использовать метод кругов Эйлера.
2.3.Прикладное назначение кругов Эйлера.
Несмотря на то, что круги Эйлера помогают решать математические
задачи, они имеют достаточно большое прикладное назначение.
Дело в том, что с помощью кругов Эйлера можно описывать не только
множества, но и понятия. С их помощью можно исследовать отношения между
различными группами. Убедимся на примерах.
ПРИМЕР
№1.
Высказывание:
«Все
квадраты
являются
прямоугольниками» (Рис. 1).
К.
П.
Рис.1. Изображение высказывания «Все квадраты являются
прямоугольниками» на кругах Эйлера.
22
ПРИМЕР№2. Диаграмма Эйлера – Венна (Рис.2) может помочь тем, кто не
определился с выбором профессии. Достаточно вписать ответы на вопросы. Те
варианты, которые окажутся на пересечении всех трех кругов, и есть
профессия, которая не только сможет вас прокормить, но и будет вам
нравиться.
Что я
люблю делать
Что у меня
получается
Профессия
Чем я могу
заработать
Рис.2. Выбор профессии с помощью кругов Эйлера.
ПРИМЕР№3. Необходимо найти число учащихся в школе в возрасте 12 –
15 лет, зарегистрированных одновременно в известных социальных сетях «В
контакте» и «Одноклассники». Чтобы проанализировать ситуацию, нужно
результаты опроса изобразить на кругах Эйлера (Рис. 3).
«В
контакте»
«Одноклассники»
Множество учащихся «В
контакте» и « Одноклассниках»
Рис. 3. Анализ ситуации в социологическом опросе.
ПРИМЕР№4. Задачи на кругах Эйлера используются детском саду для
развития речи (Рис. 5).
23
Рис. 5. Пример использования кругов Эйлера в детском саду.
ПРИМЕР
№5.
Аналитические отчеты с целью
восприятия
предоставленной информации изображают на кругах Эйлера.
Схемы в виде кругов Эйлера легли в основу многих популярных интернетмемов (растиражированных в сети изображений на определенную тему) (Рис.
6).
Рис. 6. Схема «Памятка заказчику» в виде кругов Эйлера.
Забавно, правда? И главное, все сразу становится понятно. Можно
потратить много слов, объясняя свою точку зрения, а можно просто нарисовать
простую схему, которая сразу расставит все по местам.
ПРИМЕР №6. В рассказе Кона Дойла «Пять апельсиновых зернышек»
знаменитый сыщик Шерлок Холм должен установить название одного
парусника. Об этом судне он знал лишь то, что в январе 1883 году оно было в
Пондишире, январе 1885 году – в Данди, сейчас стояло в Лондоне. Сравнив
списки парусников, находившихся в указанное время в указанных местах,
Шерлок Холмс установил, что только американское судно «Одинокая звезда»
входило в каждый из них. В результате преступление было раскрыто. Если
использовать круги Эйлера, то сыщик имел три множества, построил новое
множество, содержащее их общие элементы, оказалось что это множество
состоит всего из одного элемента - американского судна «Одинокая звезда».
Вывод. Приведенные примеры показывают, что действительно круги
Эйлера имеют прикладное назначение.
24
Заключение
Работая над темой «Круги Эйлера – просто и доступно» я убедился, что
круги Эйлера являются средством визуализации основных понятий теории
множеств и операций над ними, они упрощают понимание и доступно
отражают сущность определений. Круги Эйлера просты и понятны
(Приложение 3).
Знание основ теории множеств и их наглядного представления в виде
кругов Эйлера позволило мне научиться решать логические задачи.
Исследуя решения задач методом Эйлера, я пришел к выводу:
а) применение кругов Эйлера придает задачам наглядность и простоту, что
облегчает рассуждения;
б) задачи с помощью кругов Эйлера решаются по алгоритму:
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
1. Внимательно изучаем условие задачи.
2. Определяем количество множеств.
3. Строим схему задачи в виде кругов Эйлера.
4. Записываем исходные данные в круги.
5. Рассуждая и анализируя условие задачи, записываем недостающие
данные в круги Эйлера.
6. Решаем задачу и записываем ответ.
в) решение задач сводится к построению геометрической схемы
(диаграммы Эйлера-Венна) для наглядного представления условия задачи и
нахождению логических связей, что позволяет решить задачу без затруднений.
Анализируя результаты эксперимента, я убедился в целесообразности
применения метода Эйлера и сделал вывод:
1. Метод Эйлера является незаменимым при решении логических задач.
2. Выбор метода решения задач зависит от условия задачи. Задачи на
пересечение и объединение двух множеств можно решить двумя способами:
арифметическим способом и методом Эйлера, но методом Эйлера задачи
решаются проще. Решение задач на пересечение и объединение более чем двух
множеств арифметическим способом приводит в «тупик».
Способ решения задач с использованием кругов Эйлера, я считаю,
простым и доступным, так как он упрощает путь к решению задачи, делая его
наглядным.
Раскрыта значимость кругов Эйлера не только в математике, но и в других
прикладных направлениях.
Таким образом, поставленные в ходе исследования задачи решены,
гипотеза подтверждена, цель исследования достигнута.
Моя работа имеет практическую направленность, так как теория и
презентация по теме исследования могут быть использованы для подготовки к
урокам по математике и информатике, для подготовки выпускников к ОГЭ и
ЕГЭ, для проведения факультативных занятий. Информационная карта «Круги
25
Эйлера – просто и доступно» и выводы являются рекомендациями для
практического применения. Создана рубрика «Тренажеры».
В перспективе я планирую собрать сборник логических задач, которые
решаются на кругах Эйлера (Приложение 4). В сборник войдут не только
задачи, которые решаются на уроках математики, на олимпиадах, содержатся в
контрольно – измерительных материалах ОГЭ и ЕГЭ, но и задачи достаточно
«далеких» от математики науках: как биология, философия и социология.
Попытаюсь создавать мемы к урокам математики.
26
Список использованной литературы
1. Н. Я. Виленкина. Рассказы о множествах. 3-е издание. — М.: МЦНМО,
2005. – 150стр.
2. Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б.Суворова и др. Математика, 6класс:
учебник для образовательных учреждений, издательство «Просвещение»,
2015г. изд.
3. А.Г. Мордкович, Л.А.Александрова и др. Алгебра, 9класс. Ч.2.Задачник
для учащихся образовательных учреждений. 12- изд., испр.- Мнемозина, 2010.
4. Т.Д. Гаврилова. Занимательная математика. 5-11классы. Волгоград:
Учитель, 2010.
Интернет ресурсы
1. http://ru.wikipedia.org
2. https://blog.tutoronline.ru/krugi-jejlera
3. https://yourtutor.info
4. https://school-science.ru
5. http://math.oge.sdamgia.ru/
6. https://obrazovaka.ru/georg-cantor.html#ixzz5Zw9T7GwE
7. "Решу ОГЭ".(http://math.oge.sdamgia.ru/
27
Приложение 1
Биография
Леонард Эйлер (1707—1783), математик, физик, механик, астроном.
В 1707 году в швейцарском городе Базель в семье священника Пауля
Эйлера родился мальчик по имени Леонардо, которому было предписано
стать одним из выдающихся математиков того времени. Феноменальная
память, высокая трудоспособность, стремление к новым знаниям Леонардо
Эйлер проявил уже в раннем возрасте. В 13 лет Леонардо Эйлер был зачислен
на факультет искусства Базельского университета. Отец мечтал о карьере
священника для своего любимого сына Леонардо. Однако незаурядные
математические способности, которыми обладал мальчик, нельзя было
зарывать
в землю.
Вскоре
Леонардо
станет
учеником
известного
швейцарского математика Иоганна Бернулли.
Спустя некоторое время сыновья Иоганна Бернулли был приглашены
в Петербург, а вместе с ними и Леонардо Эйлер. Чрезвычайно талантливый
молодой ученый быстро становится широко известным. Его приглашают
в Академию наук. В 1727 г. Леонардо Эйлер вступает в Академию наук
в звании адъюнкта по физиологии. В 1731
получает звание профессора
физики и становится действительным членом Академии наук. Через 8 лет он
28
переезжает из Петербурга в Берлин по приглашению Фридриха Великого. Но
трудясь в Берлине, не забывал он и про Петербург – был почетным членом
Петербургской академии наук, вел переписку с Ломоносовым и писал статьи.
Также обучал он в Берлине и русских математиков Котельникова, Румовского и
Софронова, выкупал для России книги по наукам и экзаменовал кандидатов.
Там «король математиков» работал с 1741 по 1766 год; потом он покинул
Берлин и приехал в Россию, где оставался до конца своей жизни.
За первые 14 лет, проведенные в Петербурге Леонардо Эйлер издает
более 80 крупных научных работ.
Эрудиция Эйлера поражала его современников. Он знал греческий,
латинский язык, прекрасно владел немецким, французским, русским и другими
языками. Помимо математики, физики и астрономии, имел глубокие познания
в области географии, химии, ботаники, анатомии, медицины и в других
отраслях науки и техники. Увлекался музыкой и литературой.
Научная
деятельность
Эйлера
восхищала
глубиной
мысли,
разнообразием интересов, идей и невероятной продуктивностью. Эйлер
одновременно являлся членом многих европейских академий научных школ.
Грандиозная и напряженная работа Эйлера негативно сказалась на его
здоровье. В 1735 году Леонардо Эйлер лишился правого глаза, а в 1766 г.
потерял и второй глаз. Потеряв зрение полностью, Эйлер не прекратил своей
научной деятельности, его трудоспособности могли лишь позавидовать.
Часть своих трудов ослепший ученый диктовал писцу. Писцом Эйлера был
мальчик-портной, которого ученый приютил и обучил грамоте.
В сентябре 1783г. учёный стал ощущать головные боли и слабость. 18
сентября он внезапно почувствовал себя плохо. Эйлер успел произнести «Я
умираю» - и потерял сознание. Через несколько часов, так и не приходя в
сознание, он скончался от кровоизлияния в мозг. Его похоронили на
Смоленском кладбище в Петербурге.
29
Научное наследие Эйлера чрезвычайно велико. Он сумел добиться
блестящих результатов в математическом анализе, геометрии, теории чисел,
вариационном исчислении, механике и других приложениях математики.
Полное собрание научных трудов Леонардо Эйлера состоит из 72 томов.
Эйлер являет собой образец научного гения, чья деятельность стала
достоянием
всего
человечества.
Школьники
всего
мира
изучают
тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. В высшей
школе студенты обучаются высшей математике согласно классическим
монографиям Эйлера. Гениальный математик, Эйлер знал, что плодотворной
почвой науки прежде всего является практическая деятельность.
Пожалуй, нет ни одной значимой области математики, в которой
не оставил бы след один из лучших математиков XVIII в. Леонард Эйлер.
В память о его огромном вкладе в науку, портрет Эйлера появился на
швейцарских 10-франковых банкнотах шестой серии, а также на ряде
российских, швейцарских и немецких марок. В его честь назван астероид «2002
Эйлер». 24 мая лютеранская церковь чтит его память по календарю святых,
поскольку Эйлер был убеждённым приверженцем христианства.
30
Приложение 2
Биография
Гео́рг Ка́нтор (нем. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor)
(1845- 1918) – немецкий математик.
Гео́рг Ка́нтор — немецкий математик, ученик Вейерштрасса. Наиболее
известен как создатель теории множеств. Основатель и первый президент
Германского математического общества, инициатор создания Международного
конгресса математиков.
Георг Кантор родился 4 марта 1845 года в Санкт-Петербурге. Его отец был
немцем, а мать россиянкой.
играл
на
скрипке,
Георг был старшим из шести детей. Он виртуозно
унаследовав
от
своих
родителей
значительные
художественные и музыкальные таланты. С ранних лет у Кантора был частный
преподаватель. В 1856 году, когда Кантору было одиннадцать лет, его семья
переехала в Германию, которую Кантор так никогда и не смог полюбить.
Во Франкфурте Кантор учился в гимназии, которую закончил с отличием в
1860 году. Его учителя отмечали, что ему хорошо давалась математика,
особенно тригонометрия. После гимназии в 1862 году Кантор поступил в
федеральный университет Цюриха, в котором изучал математику. Получив
одобрение родителей, он учился в нём в течение пары лет, пока смерть отца не
положила учёбе конец. После смерти отца Кантор перешёл в университет
Берлина.
31
В начале своей карьеры Кантор был активным членом математических
союзов и сообществ. В 1869 году его назначили профессором в университете
Галле. Он продолжал работу над различными диссертациями по теории чисел и
анализу. В это же время Кантор решил продолжить изучение тригонометрии и
начал размышлять над уникальностью геометрического изображения функций
тригонометрического ряда. К 1870 году Кантор справился с задачей, доказав
уникальность геометрического изображения. В 1879 году он занял должность
профессора высшей категории. Он был благодарен за назначение, но всё, же
хотел получить должность в более престижном университете.
Кантор продолжил публиковать свои работы, но в 1884 году у него
случился нервный срыв, от которого он вскоре оправился и принял решение
преподавать философию. В 1874 году Кантор женился, у пары родилось шесть
детей. Считается, что Кантор, несмотря на статус известного математика, не
мог содержать свою семью. При наличии свободного времени он играл на
скрипке и погружался в искусство и литературу. Он был награждён медалью
Сильвестра за свои изыскания в математике. В 1913 году Кантор вышел на
пенсию, так как был морально неустойчив, страдал от постоянных психических
расстройств и, в конце концов, он оказался в здравнице, где и пробыл до своей
смерти.
Георг Кантор умер 6 января 1918 года в Галле, после продолжительного
психического расстройства. О Канторе вышло множество публикаций, одной из
которых была публикация в книге «Творцы математики» и заметка в «Истории
математики». Большинство его научных работ используется до сих пор.
32
Приложение 3
Информационная карта «Круги Эйлера – просто и доступно»
Обозначение
Определение
Обозначение
кругами
Эйлера
Примеры.
Множество
А, В, С,…
Подмножество

«Многое,
Если каждый
мыслимое как
элемент множества
единое, целое».
В принадлежит
Г. Кантор
множеству А, то
множество В
называется
Множество - это
группа
подмножеством.
Подмножество это
предметов
часть множества
(понятий, чисел)
с общим
названием.
А
А
Пересечение (и)
Объедин

Пересечением двух
множеств, называется третье
множество С,
сформированное из
элементов, которые входят в
оба множества.
Объедин
множеств, на
множ
сформиров
элементов о
1. Пусть А = 1;3;4;7 и
В = 1;2;3;4;5;6, тогда
А  В = 1;3;4.
2.Пусть А = 8;9;10 и
В = 20;33;46;... , тогда
А В = 
1.Пусть А
В = {2; 4
А  В = {1
В
А В
1. Множество
книг.
2. Множество
простых чисел
1. Учебники
являются
подмножеством
множества книг.
2. Простые числа
являются
подмножеством
натуральных чисел
2. Пусть А
В={2
А В={
33
Приложение 4
Сборник логических задач
Задача №1. Изобразите с помощью кругов Эйлера объединение и
пересечение множеств:
а) четных цифр и нечетных;
б) однозначных и простых чисел;
в) составных чисел и натуральных.
Задача №2. Изобразите с помощью диаграммы Эйлера-Вена множество
чисел кратных 5-и и 3-ем, которые входят в множество натуральных чисел
меньших 50.
Задача №3. Множество А состоит из 99 элементов, множество В — из 199
элементов, а множество А и В — из 73 элементов. Сколько элементов: а)
принадлежит множеству А, но не принадлежит множеству В; б) принадлежит
множеству В, но не принадлежит множеству А; в) принадлежит множеству А и
В всего? Ответ. а) 26 б)126 в) 226
Задача №4. У 28 человек класса на собрание пришли папы и мамы. Мам
было 24, пап — 18. У скольких учеников на собрание пришли одновременно и
папа, и мама? Ответ.14
Задача №5. В школе 1400 учеников. Из них 1250 умеют кататься на лыжах,
952 – на коньках. Ни на лыжах, ни на коньках не умеют кататься 60 учащихся.
Сколько учеников умеет кататься и на коньках и на лыжах? Ответ. 862
Задача№6. Каждый ученик в классе изучает английский или китайский,
или оба этих языка. Английский язык изучают 25 человек, китайский — 27
человек, а тот и другой — 18 человек. Сколько всего учеников в классе?
Задача №7. В детском саду 52 ребенка. Каждый из них любит пирожное
или мороженое, или то и другое. Половина детей любит пирожное, а 20 человек
- пирожное и мороженое. Сколько детей любит мороженое? Ответ.46
34