Министерство образования и науки Республики Казахстан
Костанайский государственный университет им. А.Байтурсынова
Кафедра информатики и математики
Беркімбай Р.Ә.
ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА
Учебно-методическое пособие
специальность 5В060100-Математика
Костанай, 2012
ББК 22.17
Б 45
Авторы:
Беркімбай Р.Ә. – старший преподаватель кафедры информатики и математики
КГУ им. А.Байтурсынова
Рецензенты:
Ж.Кужукеев – кандидат ф-м.н., профессор кафедры машиностроительных
технологий КИнЭУ им. М.Дулатова
М.Калжанов – кандидат ф-м.н., доцент кафедры информатики и математики
КГУ им. А.Байтурсынова
С.Кудубаева - кандидат технических наук, доцент кафедры информатики и
математики КГУ им. А.Байтурсынова
Б 45. Беркімбай Р.Ә. Финансовая математика. Учебно-методическое пособие
для студентов специальности 5В060100-Математика – Костанай: КГУ им.
А.Байтурсынова, 2012 – 61 с.
В данном пособии рассматриваются основные понятия, которыми
оперируют в финансовых вычислениях. Такие как процент, ставка процента,
учетная ставка, современная стоимость платежа, методы наращения и
дисконтирования платежей.
Подробно обсуждаются различные методы начисления процентов,
обобщающие характеристики потоков платежей, методики определения
эффективности производственных инвестиции и облигации.
Рассмотренный в курсе материал имеет общий характер и может быть
применен в расчетах часто встречающихся на практике финансовых операций:
в страховом деле, в анализе инвестиционных проектов, расчете кредитных и
коммерческих операций.
Утверждена Учебно-методическим советом КГУ им. А.Байтурсынова от ___ .
___ 2012 г, протокол №_____.
© Костанайский государственный
университет им. А.Байтурсынова
2
Содержание
Содержание ……………………………………………………………………...........................
Тема 1. Простые проценты ..................................................................................
1.1 Время как фактор в финансовых расчетах …………………………………
1.2 Основные понятия кредитной операции . . . . . . . . . . . . ... . . . .....................
1.3 Простые проценты . . . .. . .. . . . . . . . .............................................................
1.4 Банковский учет. Учет векселей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................
1.5 Одновременное наращение и дисконтирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Формулы доходности финансовых операций .. . . . . . . . . . . . . .................
1.7 Простые переменные ставки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . ...................
1.8 Реинвестирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Тема 2. Сложные проценты . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Наращение по сложным процентам ………………………………………..
2.2 Наращение процентов m раз в году. Номинальная ставка. . . . . . . . . . .. . . .
2.3 Непрерывные проценты. Дисконтирование по сложным процентам. . . . . .
2.4 Наращение и дисконтирование по сложной учетной ставке. . . .. . . . . . . . .
2.5 Эквивалентные ставки. . . . . . . . . . ………. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Основные уравнения эквивалентности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Тема 3. Инфляция ……………………………………………………………….
3.1 Инфляция и дефляция ……………………………………………………….
3.2 Характеристики инфляции …………………………………………………..
3.3 Два случая учета инфляции …………………………………………………
Тема 4. Консолидация и пролонгация финансовых обязательств. . . . . . . . . . . .
4.1 Эквивалентные обязательства. Постановка задач на консолидацию и пролонгацию ..
4.2 Задача о нахождении суммы консолидированного платежа при известных сроках
выплат всех платежей .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ..................................................................
4.3 Задача о нахождении срока консолидированного платежа при известных суммах
выплат всех платежей ………………………………………………………………………….
Тема 5. Финансовые ренты …………………………………………………………………….
5.1 Характеристики ренты ………………………………………………................................
5.2 Классификация рент …………………………………………………………. …………
5.3 Наращенная сумма S ренты ……………………………………………………………….
5.4 Современная стоимость ренты ……………………………………………………………
Тема 6. Анализ инвестиционных проектов …………………………………………………..
6.1 Чистый приведенный доход NPV (net present value) …………………………………
6.2 Индекс рентабельности инвестиций PI (profitability index) ..............................................
6.3 Норма рентабельности инвестиции IRR (Internal rate of return) ………………………
6.4 Срок окупаемости инвестиций РР ………………………………………………………
Тема 7. Кредиты ………………………………………………………………………………..
7.1 Планирование погашения долгосрочной задолженности ……………………………….
7.2 Планирование погасительного фонда …………………………………………………….
7.3 Погашение долга в рассрочку ……………………………………………………………
7.4 Погашение потребительского кредита. …………………………………………………
Тема 8. Финансовые расчеты по ценным бумагам ……………………………………………
8.1 Облигации. Виды цен облигаций ………………………………………………………..
8.2 Два источника дохода от облигаций. Доходность облигаций ………………………..
8.3 Облигации с нулевым купоном. Облигации с постоянным доходом …………………
8.4 Акции. Текущая стоимость обыкновенных акций. Расчет дивидендов ……………..
Список рекомендуемой литературы ……………………………………………...…….............
3
3
4
4
5
7
9
10
11
12
12
13
13
15
17
17
18
19
22
22
22
23
27
27
28
29
31
32
32
33
36
39
39
41
41
42
43
43
44
45
47
51
51
53
55
56
61
Тема 1. Простые проценты
Цель лекции: Ввести основные понятия кредитной операции. Ознакомить с
правилами вычисления дохода кредитора методом простых процентов. Ввести
понятие учетной ставки. Ознакомить с формулой наращения по учетной ставке,
с формулами доходности финансовых операций.
Вопросы, выносимые на рассмотрение:
1.1 Время как фактор в финансовых расчетах;
1.2 Основные понятия кредитной операции;
1.3 Простые проценты;
1.4 Банковский учет. Учет векселей;
1.5 Одновременное наращение и дисконтирование;
1.6 Формулы доходности финансовых операций;
1.7 Простые переменные ставки;
1.8 Реинвестирование.
1.1 Время как фактор в финансовых расчетах
Любой человек имеющий свободные деньги может предоставить их в
долг другому лицу (инвестировать) за определенное вознаграждение.
Сумма денег, данных взаймы, называется основной суммой или
капиталом.
Доход
от
инвестированного
капитала,
другими
словами
вознаграждение за использование денег, называется процентными деньгами
или процентами.
Процентная ставка – отношение суммы процентных денег,
выплачиваемых за фиксированный отрезок времени, к величине основной
суммы (капитала). Измеряется в процентах или в виде десятичной дроби.
Интервал времени, к которому относится процентная ставка, называют
периодом начисления (обычно год, полугодие, квартал, месяц). Как правило
начисление процентов производится дискретно (в отдельные, обычно
равноотстоящие, моменты времени).
Проценты либо выплачиваются кредитору сразу после начисления,
либо присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к
сумме, которая служила базой для их начисления, называется капитализацией
процентов.
В основе финансово-экономических расчетов лежит понятие временной
ценности денег. В практических финансовых и коммерческих операциях суммы
денег обязательно связываются с некоторыми конкретными моментами или
интервалами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие
сроки, даты, периодичность поступлений денежных средств или их выплат.
4
Фактор времени играет не менее важную роль, чем размеры денежных
сумм. Необходимость учета фактора времени определяется принципом не
равноценности денег, относящихся к разным периодам времени.
Дело в том, что, даже в условиях отсутствия инфляции и риска, 1000
тенге, полученных через год, не равноценен этой же сумме, полученной
сегодня. Не равноценность определяется тем, что любая сумма денег
может быть инвестирована сегодня и принести доход в будущем.
Поступившие доходы в свою очередь могут быть реинвестированы и т.д.
Следовательно, сегодняшние деньги в этом смысле ценнее будущих, а
будущие поступления менее ценны, чем современные.
Известный афоризм, «время - деньги» (Time is money) как нельзя лучше
выражает сущность современного количественного финансового анализа.
Расчет и анализ любой финансовой операции начинается с приведения
всех платежей, осуществленных в различные моменты времени, к одному
моменту (настоящему или будущему), только после этого денежные суммы
можно между собой сравнивать, вычитать, складывать.
Описание изменения денежных сумм во времени производится путем
вычисления дохода от инвестирования денег, т.е. путем начисления процента на
первоначальную сумму, поэтому теория процентных ставок – основа временной
стоимости денег.
1.2 Основные понятия кредитной операции
Получение кредита – наиболее распространенная финансовая сделка. Она
характеризуется следующими величинами:
K – начальный капитал или сумма ссуды;
S – наращенная сумма или полная стоимость кредита с процентами.
I = S - K – доход (процентные деньги, проценты), получаемый кредитором от
предоставления денег в долг;
n – период начисления процентов в годах,
i
I
SK
K
K
, n =1 год – процентная ставка – относительная величина дохода
в сумме долга за единицу времени.
Процентная ставка i может измеряться в процентах (%), в виде десятичной
или натуральной дроби.
Например: i=15% =0,15;
i=200%=2,0 и т.д.
В формулах для финансовых расчетов процентная ставка берется в виде
десятичной дроби.
5
1. По базе начисления проценты делятся на простые и сложные.
Если база постоянна на весь период начисления процентов, используют
простые проценты. Обычно период начисления в этом случае n < 1 года.
Если за базу для начисления принимается сумма, полученная из
предыдущей, с прибавлением к ней процентов, то используют сложные
проценты (иначе, процент на процент)
2. По принципу расчета процентов различают ставки наращения i и
учетные ставки d.
Плата за кредит может взиматься как в конце срока, так и в его начале.
В первом случае проценты начисляются в конце срока, исходя из величины
предоставляемой суммы K, и возврату подлежит сумма долга вместе с
процентами, т.е S = K + I . Такой способ начисления процентов называется
декурсивным.
Процентная ставка i
I
SK
,
K
K
(n=1 год) называется
ставкой
наращения.
Во втором случае процентный доход D называемый дисконтом,
выплачивается в начале срока ссуды. При этом должнику выдается сумма,
уменьшенная на его величину , т.е S - D; а возврату в конце срока подлежит вся
исходная ссуда S. Такой способ начисления процентов
называется
антисипативным, а процентная ставка – учетной ставкой.
Учетная ставка d
D SK
, n=1 год.
S
S
3. Процентные ставки могут быть фиксированными (постоянными), когда в
контракте (сделке, финансовой операции) указывается их размер или
«плавающие», когда фиксируется не сама ставка, а изменяющиеся во времени
базовая ставка и надбавка к ней, называемая маржой.
4. По периоду начисления проценты делятся на дискретные и непрерывные.
Дискретные проценты начисляются за фиксированные в договоре
интервалы времени (год, полгода, квартал, месяц, день). Непрерывные
проценты связаны с непрерывным интервалом начисления.
Наращение
K
Сегодня
Дисконтирование
S
Будущее
Рис.1
Операция наращения состоит в том, что по сегодняшней сумме ссуды K
рассчитывается ее будущая стоимость S.
Операция дисконтирования состоит в том, что на сегодняшний момент
времени пересчитывается некоторая будущая сумма денег S. (Рис.1)
В этом случае сумму K называют современной или приведенной
величиной.
6
1.3 Простые проценты
Простые проценты - это метод расчета дохода кредитора от
предоставления денег в долг заемщику.
Сущность простых процентов состоит в том, что они начисляются на одну
и ту же величину капитала К в течение всего срока ссуды. Простые проценты
дают больший доход при их начислении на срок меньше года.
Основная формула простых процентов:
K
I
100
pn
или I
Kpn
100
, где
К - начальный капитал,
I - доход (процентный платеж, процентные деньги или просто проценты),
получаемый кредитором от заемщика за пользование денежной ссудой;
p - процентная ставка, показывающая сколько денежных единиц должен
заплатить заемщик за пользование 100 ед. капитала за год, т. е. годовая ставка в
процентах. Если ставка измеряется в долях единицы, то она обозначается
буквой i
p
.
100
Если деньги отданы взаймы под проценты, то заемщик возвращает
наращенную сумму S = K + I = K + Kni = K(1 + ni), где i p - процентная
100
ставка в долях единицы, n - время в долях года. Доход за n лет I = Kni,
(1 + ni) - множитель наращения по простым процентам.
Итак, если по начальному капиталу (сегодняшним деньгам) K находится
будущая сумма денег S, то операция называется наращением. Если же, зная
будущие деньги S, находят их сегодняшнюю сумму K по формуле: K
операция
называется
математическим
дисконтированием,
S
1 ni
1
, то
-
1 ni
дисконтный множитель.
Задача1.
Капитал 200 тыс.тенге вложен в банк на 8 месяцев под 12% годовых.
Найти сумму, которая будет получена к концу срока.
К = 200 тыс.тенге., n =
8
года, i = 0,12, p = 12% . S = ?
12
Решение:
I способ.
S = K + I, I =
Kpm
1200
.
I=
200 12 8
1200
= 16 тысяч тенге.
S = 200 + 16 = 216 тысяч тенге.
II способ.
месяцев =
Ставка годовая, срок n в месяцах переведем в доли года: n = 8
8
года.
12
S = K(1 + ni)=200(1 +
7
8
.0,12) = 216 тысяч тенге.
12
Задача 2.
Капитал 200 тыс.тенге вложен в банк на 80 дней под 12% годовых. Найти
величину вклада через 80 дней. Расчет сделать точным и банковским методом.
Решение:
K = 200 тысяч тенге. n =
80
360
года или n =
80
365
года, i = 0,12, S=?
1.Точный метод:
Т.к. ставка годовая, срок n переведем в доли года: n =
S = K(1 + ni) = 200 (1
80
365
80
365
года,
0,12) 205,26 тыс.тенге
1. Банковский метод:
Срок n =
80
360
года,
S K(1 ni) 200(1
80
360
0,12) 205,33 тыс.тенге
Банковский метод дает большее наращение. Ставка i и время n в этих формулах
соразмеримы. Это значит, что если ставка годовая, время измеряется в годах;
если ставка полугодовая – время в полугодиях и т.д.
Задача 3.
Начальный капитал 30 млн. тенге. Найти наращенную сумму через 5
месяцев по а) ежегодной ставке 30 %;
б) ежемесячной ставке 3 %;
в) квартальной ставке 5 %.
Решение:
S = K(1 + ni), K = 30 млн. тенге, n = 5 месяцев.
а) Т. к. 30 % - годовая ставка, время переводим в доли года n = 5 месяцев n
года. S 30 (1
5
12
5
12
0,3) = 33,75 млн. тенге.
б) I способ. Рассчитаем наращенную стоимость, используя ежемесячную ставку
и время в месяцах: 3 % - ежемесячная ставка, n = 5 месяцев,
S = 30(1 + 5 0,03) = 34,5 млн. тенге.
II способ. Рассчитаем наращенную стоимость, переведя ежемесячную ставку в
годовую, и время в месяцах переведем в доли года: 3 % 12 месяцев = 36 % годовая ставка, n = 5 месяцев, n
5
12
года, S 30 (1
5
12
0,36) = 34,5 млн. тенге
в) I способ. Рассчитаем наращенную стоимость, используя ежеквартальную
ставку, и время в месяцах переведем в кварталы, помня о том, что 1 квартал
равен 3 месяцам:
5 % - ежеквартальная ставка, n = 5 месяцев =
5
3
S 30 (1 0,05) = 32,5 млн. тенге.
8
5
3
квартала,
II способ. Рассчитаем наращенную стоимость, переведя ежеквартальную ставку
в годовую, и время в месяцах – в доли года:
5 % 4 квартала = 20%
S = 30(1 +
5
12
- годовая ставка, n = 5 месяцев n
5
12
года,
0,2) = 32,5 млн. тенге.
III способ. Рассчитаем наращенную стоимость, используя ежемесячную ставку
и время в месяцах:
5
5 % : 3 % - ежемесячная ставка, n = 5 месяцев,
3
S 30 (1 5
5
) = 32,5 млн. тенге.
300
Обратите внимание: Ставка годовая, срок измеряется в годах;
Ставка ежемесячная, срок – в месяцах и т.д.
1.4 Банковский учет. Учет векселей
Оформление денежных отношений между партнерами финансовой сделки
может производиться при помощи векселей.
Вексель – письменное обязательство заплатить определенную сумму
денег в установленный срок.
Вексель выдается
заемщиком (векселедателем)
кредитору
(векселедержателю) и имеет строго установленную форму.
Дата, до которой деньги должны быть выплачены, называется датой
погашения.
Cумма денег, которая должна быть выплачена, называется суммой
погашения или номинальной стоимостью векселя.
Вексель обладает следующими свойствами:
- абстрактность, т.е. отсутствие объяснения причин возникновения долга;
- бесспорность, т.е. обязательность оплаты;
- обращаемость, т.е. вексель посредством передаточной подписи может
обращаться среди неограниченного числа клиентов.
Операция по учету векселей состоит в том, что банк до срока погашения
покупает (учитывает) вексель у его держателя. При работе с векселями
начальный капитал К находят, используя учетную ставку d.
K S(1 nd) S Snd S D ; (1 - nd) - называется дисконтным множителем.
Такое дисконтирование называется банковским учетом или учетом векселей.
Согласно этому методу, проценты за использование ссуды в виде
дисконта D = Snd начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока
(т.е. не на начальный капитал К, а на наращенную сумму S).
Из
формулы
банковского
учета
K S (1 nd ), следовательно , S
K
.
1 nd
Это
формула
наращения по простой учетной ставке.
В этих формулах n – срок от момента учета векселя до момента его
погашения.
9
Задача 4. Векселедержатель предъявил для учета вексель на 5 млн.тенге со
сроком погашения 28.09.96. Вексель предъявлен 13.09.96. Какую сумму
получит векселедержатель, если:
а) вексель погашается по учетной ставке d = 0,75;
б) вексель погашается по процентной ставке i = 0,75?
Решение:
1) по учетной ставке К = S(1 - nd) = 5(1 2) по процентной ставке
К=
S
1 ni
15
0,75) = 4,844 млн.тенге
360
5
1
15
360
= 4,848 млн.тенге
0,75
Вексель выгоднее учитывать по процентной
векселедержатель получает большую сумму.
ставке,
в
этом
случае
1.5 Одновременное наращение и дисконтирование
В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство,
предусматривающее начисление простых процентов на первоначальную сумму
долга K, необходимо решить две задачи:
1. определить конечную сумму долга S на момент его погашения;
2. рассчитать сумму K1, получаемую при учете, путем дисконтирования
конечной суммы долга, применяя учетную ставку, действующую в
момент учета.
В задачах такого типа при работе с векселями рассматриваются три даты:
выдачи векселя, его учета и его погашения. Срок между датами выдачи и
погашения обозначим n, за это время первоначальная сумма K по ставке i
вырастет до суммы S = K(1+ni). Срок между датами учета векселя и его
погашением обозначим через n1. Найдем сумму, полученную при учете векселя,
дисконтируя сумму S по ставке d: K1 = S(1-n1d). Оба действия можно
объединить в одно (Рис.2):
K1 = K (1+ni)(1-n1d).
K
Дата
выдачи
векселя
n
S
Дата учета
векселя
Рис.2
n1
Дата
погашен
ия
векселя
Задача 5. Платежное обязательство уплатить через 100 дней 2 млн. тенге с
процентами, начисляемыми по ставке простых процентов i=20% годовых, было
учтено за 40 дней до срока погашения по учетной ставке d =15%. Требуется
найти сумму, полученную при учете.
Решение: K1 2(1
100
40
0,2)(1
0,15) 2,074 млн.тенге
365
360
10
1.6 Формулы доходности финансовых операций
Если в формулах наращения по процентной и учетной ставке принять
срок n = 1 году, то получим, что i S K , d S K . Если n 1 году, i S K , d S K .
K
S
Kn
Sn
Эти формулы принято называть формулами доходности или эффективности
по простой ставке процентов и учетной ставке соответственно.
Задача 6. Предприятие получило кредит на 1 год в размере 100 млн. тенге с
условием возврата 150 млн. тенге. Найти доходность операции для кредитора в
виде процентной и дисконтной (учетной) ставок.
К = 100 млн.тенге, S = 150 млн.тенге, n = 1 год. I = ?, d = ?
Решение:
SK
i
,
Kn
i
150 100
0,5 50%;
100 1
d
SK
150 100
, d
0,33 33%.
Sn
150 1
Дисконтная ставка всегда меньше процентной, ибо она учитывает время
более жестко.
Иногда размер дисконта в контрактах фиксируется за весь срок ссуды в
виде доли (или процента) от суммы погасительного платежа. Таким образом,
уровень процентной ставки задается в неявном виде. Выведем формулы, с
помощью которых можно вычислить значения этих ставок.
Пусть S- размер погасительного платежа (сумма ссуды к концу срока), dn
– доля этого платежа, определяющая величину дисконта за весь срок ссуды.
К = S(1 – dn) – реально выдаваемая ссуда в момент заключения договора. Тогда
i
dn
S K S S (1 d n )
Kn
S (1 d n )n
(1 d n )n ;
d
S K S S (1 d n ) d n
.
Sn
Sn
n
Задача 7. Кредитор и заемщик договорились, что из суммы кредита, выданного
на 200 дней, сразу удерживается дисконт в размере 25% указанной суммы.
Требуется определить цену кредита в виде простой годовой учетной ставки d и
годовой простой ставки i. Год полагать равным 365 дней.
Решение:
d
0,25
0,45625 , т.е. 45,625 %.
200 / 365
i
0,25
0,60833 , т.е. 60,833 %.
(1 0,25) 200 / 365
11
1.7 Простые переменные ставки
В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во
времени процентные ставки. Если i1, i2,… ik – последовательные во времени
простые ставки, а n1, n2,… nk – периоды, в течение которых применяются
соответствующие ставки, тогда наращенная сумма определяется следующим
образом:
S K (1 n1i1 n2 i2 ... nk ik ).
Задача 8
Контракт предусматривает следующий порядок начисления
процентов: первый год – ставка 16%, в каждый последующем полугодии ставка
повышается на 1%. Определить множитель наращения за 2,5 года.
Решение: Дано: n1=1 год, i1 =16%, n2=1/2 года, i2 =(16+1)% = 17%,
n3=1/2 года, i3 =(17+1)% = 18%, n4=1/2 года, i4 =(18+1)% = 19%.
Общий срок начисления процентов 1+1/2+1/2+1/2=2,5 года. Множитель
наращения = 1 1 0,16 1 / 2 0,17 1 / 2 0,18 1 / 2 0,19 1,43. Иначе, за 2,5 года
начальный капитал увеличился в 1,43 раза.
1.8 Реинвестирование
В практике при реинвестировании средств в краткосрочные депозиты
иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению
наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока, т.е. к
реинвестированию средств, полученных на каждом этапе наращения.
(Напоминает наращение по сложным процентам, но только напоминает!).
В этом случае наращенная сумма для всего срока составит:
S K (1 n1 i1 )(1 n2i2 ) (1 nk ik ),
k – количество реинвестиций.
Если периоды начисления и ставки не изменяются во времени, то
формула реинвестирования примет вид: S K (1 ni) k ,
k – количество
реинвестиций.
Задача 9. Сумму в 100 тысяч тенге положили 1 января на месячный депозит
под 20% годовых. Каковой будет
наращенная сумма, если операция
повторяется 3 раза? Расчет сделать по точным и банковским процентам.
Решение: По условию задачи депозит в 100 тысяч тенге реинвестируется
трижды по простым процентам. По точным процентам:
31
28
31
S 100 (1
0,2)(1
0,2)(1
0,2) 105,013 тыс.тенге
365
365
365
(Помните, что в январе 31 день, в феврале – 28 дней, в марте – 31 день!)
По банковским процентам при условии, что в каждом месяце по 30 дней:
S 100 (1
30
0,2) 3 105,084 тыс.тенге.
360
12
Вопросы для самопроверки:
1. Что называется основной суммой?
2. Что называется процентной ставкой?
3. Что называется периодом начисления?
4. Что называется капитализацией процентов?
5. Что называется ставкой наращения?
6. Что называется учетной ставкой?
7. Что называется операцией наращения?
8. Что называется операцией дисконтирования?
Тема 2. Сложные проценты
Цель лекции: Дать информацию о сложных процентах. Ввести понятие
номинальной ставки. Ознакомить с правилами вычисления наращенной суммы
по сложным процентам. Ввести понятие непрерывных процентов. Ознакомить с
методами вычисления наращение и дисконтирование по сложной учетной
ставке.
Вопросы, выносимые на рассмотрение:
2.1 Наращение по сложным процентам;
2.2 Наращение процентов m раз в году. Номинальная ставка;
2.3 Непрерывные проценты. Дисконтирование по сложным процентам;
2.4 Наращение и дисконтирование по сложной учетной ставке;
2.5 Эквивалентные ставки;
2.6 Основные уравнения эквивалентности.
2.1 Наращение по сложным процентам
В средних и долгосрочных операциях, если проценты не выплачиваются
сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, то для наращения
используются сложные проценты.
Сложные проценты отличаются от простых процентов базой начисления.
Если в простых процентах она остается постоянной на весь срок начисления, то
в сложных при каждом начислении процентные деньги присоединяются к
первоначальной базе. Говорят, идет капитализация процентов.
Формула наращения по сложным процентам, если проценты начисляются один
раз в году, имеет вид S K(1 i) n , где i - годовая (номинальная) процентная
ставка, n - число лет начисления, (1 i)n - множитель наращения
по сложным процентам.
Задача 1. Сумма, равная 800 тыс. тенге, инвестируется на 3 года под 80%
годовых. Найти наращенную сумму и сумму процентов за этот срок, используя
простые и сложные проценты.
13
Решение:
1.Сложные проценты:
S K (1 i) n 800(1 0,8) 3 800 5,832 4665,6 тыс. тенге.
Доход I 4665,6 800 3865,6 тыс. тенге.
2. Простые проценты:
S K (1 ni) 800(1 3 0,8) 800 3,4 2720 тыс. тенге.
Доход I 2720 800 1920 тыс. тенге.
За 3 года 800 тыс. тенге увеличились в 5,832 раза по сложным процентам и
только в 3,4 раза по простым процентам.
Задача 2. Сумма, равная 800 тыс. тенге, инвестируется на 3 месяца под 80%
годовых. Найти наращенную сумму и сумму процентов за этот срок, используя
простые и сложные проценты.
Решение:
1.Сложные проценты:
S K (1 i) n 800 (1 0,8) 3 / 12 800 1,158 926,63 тыс. тенге.
Доход
I 926,63 800 126,63 тыс. тенге.
2. Простые проценты:
S K (1 ni) 800(1 3 / 12 0,8) 800 1,2 960 тыс. тенге.
Доход I 960 800 160 тыс. тенге.
Итак, сложные проценты работают лучше, если срок n больше 1 года и простые
проценты лучше работают (дают большее наращение) внутри года. Если срок
начисления процентов 1 год, простые и сложные проценты дают одинаковый
результат.
Задача 3. Найти сумму долга в 15 млн. тенге через 8 месяцев, 320 дней, 2 года,
10 лет по сложным годовым ставкам 5% и 8%.
Решение: S K(1 i)n .
8
S 15(1 + 0,05)
S 15(1 0.05)
12
320
360
15,495;
S 15(1 0,08)
15,665;
S 15(1 0,08)
2
10
320
360
15,790;
16,062;
2
S 15(1 0,05) 16,538;
S 15(1 0,05)
8
12
S 15(1 0,08) 17,496;
24,433 ;
S 15(1 0,08)
10
32,384 .
Сумма долга зависит от процентной ставки и числа лет начисления.
Сравните суммы по годам и по процентным ставкам. (Сумма долга растет с
увеличением и процентной ставки, и числа лет начисления).
14
2.2 Наращение процентов m раз в году. Номинальная ставка
Номинальная ставка - годовая ставка, по которой проценты
начисляются m раз в году. Обозначим эту ставку через j.
Если проценты начисляются m раз в году, то наращение процентов
происходит по ставке
j
m
, общее число начислений процентов за срок n равно
m·n.
Формула наращения процентов по номинальной ставке j при m-разовом
начислении процентов в году примет вид:
S K (1
j mn
) .
m
Если j - номинальная ставка сложных процентов, то
при m = 2 получается полугодовая ставка,
при m = 4 - квартальная,
при m = 12 - ежемесячная,
при m = 365 (360) - ежедневная ставка процентов.
Следующая очень важная задача! Обязательная задача при зачете по сложным
процентам.
Задача 4. Вложены деньги в банк в сумме 5 млн. тенге на 2 года с
полугодовым начислением процентов под 20% годовых. Составить схему
наращения капитала, найти наращенные суммы по периодам начисления и к
концу срока двумя способами:
1. по определению сложных процентов (как процент на процент);
j mn
2. по формуле S K(1 m )
, срок n
1
; 1;
2
3
2
; 2 , число начислений процентов в
году m=2
Решение: Рассчитаем полугодовую ставку
наращения 1
j
m
j
m
20%
2 100%
0,1 ; множитель
1,1.
1 способ.
По первому способу сумма, с которой идет наращение, увеличивается с
каждым наращением процентов, т.к. по определению сложных процентов база
для начисления изменяется за счет присоединения полученных на предыдущем
шаге процентов, т.е. Si Ki (1
j
m
).
S 3 6,05 1,1 6,655 млн. тенге;
S 4 6,655 1,1 7,3205 млн. тенге.
S1 5 1,1 5,5 млн. тенге;
S 2 5,5 1,1 6,05 млн. тенге;
15
2 способ.
По второму способу наращения начальный капитал К=5,0 млн. тенге остается
неизменным.
2
S1 5,0 1,1
1
2
2
5,5 млн. тенге;
S 3 5,0 1,1
21
3
2
23
S 2 5,0 1,1 6,05 млн. тенге;
S 4 5,0 1,1
6,655 млн. тенге;
7,3205 млн. тенге.
Естественно, что по обоим способам результаты получились одинаковыми.
Задача 6. Сумма 10 млн. тенге инвестирована на 2 года по годовой ставке
120%. Найти наращенные за это время суммы и приросты при начислениях:
1. ежегодном (m=1),
2. полугодовом (m=2),
3. ежеквартальном (m=4),
4. ежемесячном (m=12),
5. ежедневном (m=365).
Решение:
1. при ежегодном начислении процентов
S 10(1
1,2 12
) 48, 4
1
млн. тенге.
Прирост I = 48,4 – 10 = 38,4 млн. тенге.
2. при полугодовом начислении процентов
1,2 2 2
S 10(1
)
65,536 млн. тенге.
2
Прирост I = 65,536 – 10 = 55,536 млн. тенге.
3. при ежеквартальном начислении процентов
S 10(1
1,2 42
) 81,573 млн. тенге.
4
Прирост I = 81,573 – 10 = 71,573 млн. тенге.
4.
при ежемесячном начислении процентов
S 10(1
1,2 122
)
98,497 млн. тенге.
12
Прирост I = 98,497 – 10 = 88,497 млн. тенге.
5. при ежедневном начислении процентов
S 10(1
1,2 365 2
)
109,799 млн. тенге.
365
Прирост I = 109,799 – 10 = 99,799 млн. тенге.
Итак, чем чаще начисляются проценты, тем больше получается наращенная
сумма.
16
Помните, что это справедливо при прочих равных условиях, а именно, ставка,
срок, начальный капитал остаются неизменными, меняется только число
начислений процентов в году.
2.3 Непрерывные проценты. Дисконтирование по сложным процентам
Если число начислений процентов в году m, то формула наращения
принимает вид S = Кe
n
, где - непрерывная ставка, e
n
- показатель
роста.
Задача 7. На сумму 10 млн. тенге начислить проценты по непрерывной ставке
=12% за 5 лет.
n
0,125
10 1,8221188 18,221188 млн. тенге
Решение: S K e 10 e
Найдя из всех формул начальный капитал К, получим уравнение
дисконтирования. Полученная при дисконтировании величина К часто
называется сегодняшней или современной величиной
K S(1
j
m
)
mn
,
K Se
n
.
2.4 Наращение и дисконтирование по сложной учетной ставке
Начислять проценты можно и по сложной учетной ставке: S K(1 d) n
или S K(1
f mn
, где d и f - годовые сложные учетные ставки, m - число
)
m
начислений процентов в году (при m=1, d = f ).
Начисление процентов по ставке i называется декурсивным, а по учетной
ставке d - антисипативным.
Антисипативное начисление дает большую наращенную сумму и используется
в условиях высокой инфляции.
Задача 8. Вексель на 10 млн. тенге со сроком платежа через 5 лет учтен:
сложной учетной ставке 10% годовых;
2. по простой учетной ставке 10% годовых.
Какое дисконтирование выгоднее векселедержателю?
Решение:
1)
по сложной учетной ставке
K S (1 d ) n 10(1 0,1) 5 5,9049 млн. тенге.
2)
по простой учетной ставке
S K (1 nd ) 10(1 5 0,1) 5 млн. тенге.
17
1. по
Итак, векселедержателю выгоднее дисконтирование по сложной учетной
ставке, т.к. в день учета он получит большую сумму.
Задача 9. Капитал 20 млн. тенге вложен на 4 года под 4% годовых. Найти
доход от вложения денег при 1) декурсивном, 2) антисипативном способах
расчета. Какое вложение выгоднее кредитору?
Решение:
Т.к. срок вложения денег больше 1 года, расчет сделаем по сложным
процентам.
1. декурсивные проценты
Доход I = 3,397 млн. тенге.
S K (1 i) n 20(1 0,04) 4 23,397 млн. тенге.
2. антисипативные проценты
S
K
20
23,548 млн. тенге.
n
(1 d )
(1 0,04) 4
Доход I = 3,548 млн. тенге.
Антисипативное начисление процентов выгоднее кредитору, т.к. он получает
больший доход.
2.5 Эквивалентные ставки
Мы рассмотрели все возможные способы начисления процентов.
Однако, по какой бы ставке не начислялись проценты, следует соблюдать
принцип эквивалентности, в соответствии с которым финансовый результат
должен быть одинаков при начислении по любой ставке. Такие ставки
называются эквивалентными и находятся из равенства взятых попарно
множителей наращения или дисконтирования.
Сравним, к примеру, множители наращения сложных процентов при
начислении один раз и m раз в году:
(1 i)
n
(1
j mn
)
.
m
Из равенства найдем i (1
j m
) 1.
m
Ставка i называется эффективной годовой ставкой. Она дает тот же
финансовый результат, что и номинальная ставка j при m-разовом начислении в
году. Это наиболее часто используемая ставка среди всех эквивалентных
ставок.
Задача 8.
Рассчитать накопленную сумму процентов за 1 год, если
начальный капитал К = 1000 тенге, годовая ставка j = 10%, при ежегодном,
полугодовом, квартальном, ежемесячном, ежедневном и непрерывном
начислении процентов. Найти базисные и цепные наращения. Для каждого
случая рассчитать эффективные ставки и сделать по ним начисления на ту
же сумму начального капитала.
18
Решение:
Базисное
наращение
(сравнение с
ежегодным
начислением
процентов)
-
Цепное
наращение
(сравнение по
цепочке с
предыдущим
начислением)
2,50
1104,71
1102,5-1100 =
2,50
1103,81-1100 =
3,81
4,71
1105,16
5,16
1103,81-1102,50 =
1,31
1104,71-1103,81 =
0,90
0,45
1105,17=
1000e 0,1
5,17
0,01
Частота
Начальный
капитал
К
начисления
процентов в
году m
Наращенная
сумма
S K(1
ежегодное
(m = 1)
полугодовое
(m = 2)
квартальное
(m = 4)
ежемесячно
е (m =12)
ежедневное
(m =365)
непрерывно
е (m = )
1000
1000
1000
1000
1000
1000
j mn
)
m
1100
1102,50
1103,81
Рассчитаем эффективные ставки:
i
э
(1
j
m
)
m
1 и сделаем начисление на 1000 тенге по эффективной ставке,
S K (1 iэ ) n , n = 1 год.
Число
начислений m
Эффективная
ставка i
Наращенная
сумма
m=1
m=2
m=4
m=12
m=365
m=
0,1
0,1025
0,10381
0,10471
0,10516
0,10517
1100
1102,50
1103,81
1047,1
1051,6
1051,7
Сравните наращенные суммы в таблицах. Они одинаковы, что по
эффективной ставке, что по номинальной ставке при определенном числе
начислений процентов в году. Этот факт следует из понятия эквивалентных
ставок: они обязаны давать одинаковый финансовый результат.
2.6 Основные уравнения эквивалентности
1. Простой процентной ставки i и простой учетной ставки d:
1 ni
1
1 nd ;
19
2. Простых и сложных ставок:
а) Простой процентной ставки i и сложной учетной ставки f при m-разовом
начислении процентов в году:
1 ni (1
f mn
)
m
б) Простой процентной ставки i и сложной процентной ставки j при m-разовом
начислении процентов в году:
j mn
)
m
1 ni (1
3. Сложной процентной ставки j и сложной учетной ставки f:
(1
j mn
f
) (1 ) mn
m
m
4. Сложных и непрерывных ставок:
а) Сложной ставки i и непрерывной ставки :
(1 i) n en ;
б) Сложной процентной ставки j при m-разовом начислении процентов и
непрерывной ставки :
(1
j mn
) en ;
m
в) Сложной учетной ставки f при m-разовом начислении процентов и
непрерывной ставки :
(1
f mn n
) e ;
m
Из каждого соотношения при любой известной ставке можно найти
эквивалентную ей ставку.
Задача 9.
Найти номинальную процентную ставку, если полугодовая эффективная
ставка 6 %.
Решение:
Из уравнения эквивалентности номинальной j и эффективной i ставок найдем j:
(1 i)
n
(1
j
m
)
mn
,
(1
j
m
)
m
1 i,
Заметьте: номинальная
эффективной.
j m ( 1 i 1).
m
годовая
20
ставка
j 2( 1 0.06 1) 0,05913.
всегда
чуть
меньше
Задача 10.
Найти эквивалентную учетную ставку d для сложной годовой ставки
j=0,12 при квартальном начислении процентов(m=4). Начислить проценты по
обеим ставкам на 1000 тенге. Сравнить результаты (Срок n=1 год).
Решение:
Уравнение эквивалентности:
(1
j
m
)
mn
(1
d mn
)
,
m
1
j
m
(1
d 1
) ,
m
1
0,12
4
(1
d 1
) ,
4
d 0,1165
Наращенная сумма по сложной годовой процентной ставке j=12% при
квартальном начислении процентов:
S1 K(1
j
m
)
mn
1000(1
0,12 41
) 1125,5 тенге.
4
Наращенная сумма по эквивалентной сложной годовой учетной ставке
f =11,65% при квартальном начислении процентов:
S 2 K(1
d mn
0,1165 41
)
1000(1
)
1125,5 тенге.
m
4
Естественно, что
наращение.
S1 S 2 ,
т.к. эквивалентные ставки дают одинаковое
Задача 12.
Годовая ставка сложных процентов равна 15%. Чему равна эквивалентная
сила роста?
Решение:
Воспользуемся уравнением эквивалентности сложной и непрерывной ставок:
(1 i) n en . Найдем из этого уравнения непрерывную ставку.
ln(1 i) ln(1 0,15) 0,13976 13,976%.
Непрерывная ставка =13,976% и сложная ставка I=15% дают одинаковый
финансовый результат. Например, при начальном капитале K=2000 руб., сроке
n=4 года, имеем
S 2000 e 40,13976 3498 тенге по непрерывной ставке;
S 2000 (1 0,15) 4 3498 тенге по сложной ставке.
Вопросы для самопроверки:
1. Чем отличается сложные проценты от простых процентов?
2. Что называется номинальной ставкой?
3. Что называется эффективной ставкой?
4. Напишите основные уравнения эквивалентности?
21
Тема 3. Инфляция
Цель лекции: Дать определение инфляции и дефляции. Ознакомить с видами
инфляции. Рассмотреть характеристики инфляции и два случая его учета.
Вопросы, выносимые на рассмотрение:
3.1 Инфляция и дефляция;
3.2 Характеристики инфляции;
3.3 Два случая учета инфляции.
3.1 Инфляция и дефляция
Инфляция – это обесценивание денег.
В экономике различают более 20 видов инфляции: инфляция, связанная с
эмиссией денег; с большими кредитными расходами; превышения спроса над
предложением; с ожиданием роста цен; с изменение цен на сырье; с ростом
заработной платы и т.д.
Различают скрытую и открытую инфляции. Скрытой инфляции присущи
дефицит товаров, отложенный спрос и постоянные цены. При открытой
инфляции освобождаются цены и растут доходы.
Освобождение цен при накопившихся излишках денег ускоряет обращение
денег в десятки раз в связи с боязнью населения нового витка повышения цен,
что приводит к гиперинфляции.
Дефляция – сдерживание обесценивания денег или мероприятия по
ограничению денежной массы в обращении. Осуществляется путем увеличения
налогов, повышения процентных ставок, ограничения кредитов, снижения
роста заработной платы, ограничения продажи ценных государственных бумаг
на открытом рынке.
3.2 Характеристики инфляции
1. Индекс цен
Ip
I p или индекс покупательной способности I nc .
цена в отчетном периоде
;
цена в базисном периоде
I ïñ
1
.
Ip
Индекс цен показывает, во сколько раз приросли цены за соответствующий
период. Индекс покупательной способности показывает, во сколько раз
уменьшилась покупательная способность за этот же период.
Например, пусть сегодня получены 5000 тенге. Известно, что за три
предшествующих года цены возросли в 5 раз,
т.е. Ip 5 , тогда
Inc
реальная стоимость С сегодняшних денег в деньгах трехлетней давности
С = 5000
1
= 1000 тенге.
5
22
1
5
и
2. Темп инфляции Н - относительный прирост цен за период. Измеряется в %,
находится по формуле: H 100(Ip 1) .
Например, если цены
Следовательно, Ip 1
H
100
.
увеличились в 2 раза, то их прирост составил
H 100(2 1) 100%.
И наоборот, если темп прироста цен составил 70%, то цены увеличились в
Ip 1
70
100
1,7 раза.
3. Среднегодовой темп роста цен ip n Ip , среднегодовой темп инфляции
h 100 n I p 1 .
Если рассматривается индекс цен за несколько периодов, то
Ip (1
h1
100
)(1
h2
100
)...(1
hn
100
Если h1 h 2 ... hn , то
).
Ip (1
h
100
n
) .
Задача 9.
Темп инфляции h=10% в месяц. Найти рост цен за год и годовой темп
инфляции.
Решение:
h 100(n Ip 1) ,
12
10 1 0 012
( Ip 1 ) I,p 1 , 1 3 , 1 3 8 4т.е. цены выросли за год в
3,1384 раза или на H 100(Ip 1) 213,84% .
Задача 10.
Последовательный прирост цен за 3 месяца составил 25%, 20%, 18%.
Найти темп инфляции за эти месяцы.
Решение:
Ip (1 0,25)(1 0,2)(1 0,18) 1,77 , т.е. цены за 3 месяца выросли в 1,77
раза или на H 100(Ip 1) 77% .
3.3 Два случая учета инфляции
Первый случай учета инфляции: при расчете наращенной суммы.
Пусть S - наращенная сумма, С - та же сумма с учетом инфляции. C S I пс
Конкретизируем формулу:
23
S
.
Ip
Для простых процентов:
Наращенная сумма простых процентов S K (1 ni) .
Тогда C
K (1 ni) K (1 ni) K (1 ni)
.
H
h n
Ip
1
(1
)
100
100
Для сложных процентов:
n
Наращенная сумма сложных процентов S K (1 i ) . Тогда
n
n
n
n
K (1 i )
K (1 i )
K (1 i )
1
i
C
K
H
h n
h .
Ip
1
(1
)
1
100
100
100
Если i
если i
если i =
h
100
h
100
h
100
- реальный рост суммы денег;
- “эрозия” капитала, нет реального роста денег;
- наращение поглощается инфляцией.
Задача 11.
Последовательный прирост цен за 3 месяца составил 25%, 20%, 18%.
Найти реальную сумму 1,5 млн. тенге, накопленные проценты и инфляционную
сумму, реальный доход, реальную доходность, если наращение идет по ставке
i=50% а) сложных годовых, б) простых процентов.
Решение:
Индекс инфляции найден в задаче 10. Цены за 3 месяца увеличились в 1,77 раз.
Рассчитаем реальную сумму 1,5 млн. тенге.
А) по сложным процентам:
3
Наращенная сумма по сложным процентам S 1,5(1 0,5) 12 1,66 млн. тенге;
С
S
Ip
1,66
1,77
0,938 млн. тенге
- реальная стоимость 1,66 млн. тенге с учетом
инфляции. Накопленные проценты I = S – K = 1,66 – 1,5 = 0,16 млн. тенге;
инфляционная сумма (сумма, которую “съела” инфляция)
Kh = S – C = 1,66 – 0,938 = 0,722 млн. тенге;
реальный доход
I
I1 = C – K = 0,938 – 1,5 = - 0,562 млн. руб.; реальная
доходность i 1
Kn
0,562
1,5
3
1,5 150% .
12
24
Сложная годовая ставка 50% при трехмесячной инфляции 77% дает
отрицательную годовую доходность 150%.
б) По простым процентам:
Наращенная сумма по простым процентам
S 1,5(1
3
12
0,5) 1,6875
млн. тенге;
С
1,6875
0 , 9 5 3млн. тенге - реальная
1,77
стоимость 1,6875 млн. тенге с учетом инфляции по простым процентам.
Накопленные проценты I S K 1,6875 1,5 0,1875. млн. тенге;
инфляционная сумма K h S C 1,6875 0,953 0,7345 млн. тенге;
реальный доход I1 = C – K = 0,953 – 1,5 = – 0,547 млн. тенге;
0,547
I
реальная доходность i 1
Kn
1,5
3
1,46 146% .
12
Простая годовая ставка 50% при трехмесячной инфляции 77% дает годовую
отрицательную доходность 146% .
Второй случай учета инфляции:
(доходности) финансовой операции
при
измерении
эффективности
В этом случае применяется индексация процентной ставки, которая
сводится к увеличению ставки процентов на величину, так называемой,
инфляционной премии.
Назовем ставку с поправкой на инфляцию брутто-ставкой и обозначим
ее r (ставка i + маржа). Для нахождения брутто-ставки составляется уравнение
эквивалентности множителей наращения по брутто-ставке и по ставке i с
учетом инфляции. Рассчитаем брутто-ставки:
1. Для простых процентов:
Уравнение эквивалентности имеет вид: 1 nr (1 ni) I p , следовательно,
брутто-ставка
r
(1 ni) I p 1
n
,
реальная ставка
1 nr 1
i
1
I
n
p
2. Для сложных процентов:
h n
) , следовательно,
100
1 r
1.
реальная ставка i
h
1
100
Уравнение эквивалентности имеет вид: (1 r ) n (1 i) n (1
брутто-ставка
r i
h
h
i
,
100
100
25
Задача 12.
Продолжим решать задачу 11. В условиях этой задачи рассчитаем бруттоставки для годовой простой и сложной ставки 50%.
а) Брутто-ставка простых процентов
(1
r
3
12
0,5) 1,77 1
3,965.
3/12
Простая годовая ставка 396,5% годовых компенсирует инфляцию и дает
реальный доход 50% годовых.
Проверка:
1) Наращенная сумма денег с учетом инфляции по брутто-ставке:
1,5 1 3,965
S
3
12
1,77
1,6875 млн. тенге.
2) Наращенная сумма по ставке i без учета инфляции:
3
1,6875 млн. тенге.
12
б) Брутто-ставка сложных процентов
S 1,5 1 0,5
Т.к. ставка i – годовая ставка, то темп инфляции должен быть рассчитан за год.
h
Ip 1
100
n
3
h 12
1,77 1
100
4
h 100 (1,77 1) 8
8
1-
, 5 столько
%
на
процентов
увеличились цены за год.
r 0,5
881,5
100
881,5
100
0,5 13,7225 1372,25%
Годовая сложная брутто-ставка r= 1372,25% компенсирует инфляцию и
дает годовой доход 50% .
Проверка:
1) Наращенная сумма денег с учетом инфляции по брутто-ставке r :
S
1,5 (1 13,7225)
1,77
3
12
1,66 млн . тенге.
2) Наращенная сумма по ставке i без учета инфляции:
3
S 1,5(1 0,5) 12 1,66 млн. тенге.
26
Вопросы для самопроверки:
1. Дать определение инфляции и дефляции?
2. Какие существуют характеристики инфляции?
3. При каких случаях учитывается инфляция?
Тема 4. Консолидация и пролонгация финансовых обязательств
Цель лекции: Дать информацию о эквивалентных платежах. Ввести понятие
консолидации и пролонгации финансовых обязательств. Ознакомить с
правилами вычисления суммы консолидированного платежа при известных
сроках выплат всех платежей и с методами вычисления срока
консолидированного платежа при известных суммах выплат всех платежей.
Вопросы, выносимые на рассмотрение:
4.1 Эквивалентные обязательства. Постановка задач на консолидацию и
пролонгацию
4.2 Задача о нахождении суммы консолидированного платежа при известных
сроках выплат всех платежей
4.3 Задача о нахождении срока консолидированного платежа при известных
суммах выплат всех платежей
4.4 Общая постановка задачи изменения условий выплаты платежей
4.1 Эквивалентные обязательства. Постановка задач на консолидацию и
пролонгацию
В практике нередко возникают случаи, когда необходимо изменить
условия финансовых сделок (досрочно погасить задолженность, объединить
(консолидировать) несколько платежей в один, продлить платежи и т.д.) В
данных ситуациях прибегают к принципу финансовой эквивалентности
обязательств, который предполагает неизменность финансовых отношений
сторон до и после изменения контракта.
Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи
“приведены” к одному моменту времени, оказываются равными. Приведение
осуществляется путем дисконтирования к более ранней дате или, наоборот,
наращения суммы платежа, если эта дата относится к будущему.
Две суммы денег S1 и S 2 , выплачиваемые в разные моменты времени,
считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины,
рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени,
одинаковы.
Общий метод решения задач подобного рода заключается в разработке
уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей,
приведенных к некоторому моменту времени, называемому базовым,
приравнивается к сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той
же дате.
27
Наиболее распространенным способом изменения условий контрактов
является консолидация (объединение) и пролонгация (продление) финансовых
обязательств.
Здесь решаются две задачи:
1) при известных суммах платежей и их сроках, известном сроке
объединяемого платежа, находится его сумма;
2) при известных суммах платежей и их сроках, известной сумме
консолидированного платежа, находится срок его выплаты.
4.2 Задача о нахождении суммы консолидированного платежа при
известных сроках выплат всех платежей
Здесь можно рассмотреть 3 случая.
Случай 1.
Консолидированный платеж S0 расположен между консолидируемыми
платежами. Иначе, есть платежи до и после консолидированного платежа.
Расположим платежи на временной оси в порядке возрастания их дат (рис.3).
S1
S2
Sj
S0
Sk-1
Sk
t
n1
nj
n2
nk-1
n0
nk
Рис.3
Найдем величину консолидированного платежа S0, используя простую
процентную ставку i.
Платежи S1, S2 , Sj производятся раньше
консолидированного платежа s0, поэтому они наращиваются. Платежи
Sк-1, Sк производятся позднее консолидированного платежа s0, поэтому они
дисконтируются.
Формула для расчета консолидированного платежа будет выглядеть так:
Sk
S 0 S j (1 (n0 n j ) i )
.
j
k 1 ( n k n0 ) i
Случай 2.
Консолидированный
платеж
S0
расположен раньше
всех
консолидируемых платежей. (Рис.4)
S0
S2
S3
Sk-1
Sk
t
n0
n2
n3
nk-1
nk
Рис.4
Формула для расчета консолидированного платежа будет выглядеть так:
Sk
S0
.
k 1 ( n k n0 ) i
28
Случай 3.
Консолидированный платеж
консолидируемых платежей (Рис.5).
S1
S2
расположен
S0
S3
позднее
всех
S0
Sk
t
n1
n3
n2
nk
n0
Рис.5
Формула для расчета консолидированного платежа будет выглядеть так:
S 0 S j (1 (n0 n j ) i) .
j
Задача 4.
Три платежа S1 1 млн. руб., S 2 2 млн. тенге, S3 3 млн тенге со
сроками уплаты соответственно через 100, 120 и 150 дней заменяются одним со
сроком уплаты через 180 дней при простой ставке 20%. Найти сумму
консолидированного платежа (год принять равным 360 дней).
Решение:
Платежи и даты их выплат изобразим точками на временной оси в
порядке возрастания дней выплат (Рис.6):
S1
S2
S0
S3
t
100 дн.
120 дн.
150 дн.
180 дн.
Рис.6
За базовую дату примем день выплаты консолидированного платежа S0 .
Т.к. срок объединяемых платежей меньше срока платежа S 0 , то приведение
платежей к моменту выплаты консолидированного платежа S 0 будет
выполняться с помощью операции наращения.
S 0 S1 (1 n1i) S 2 (1 n 2 i) S 3 (1 n 3 i)
180 - 100 0,2 2 1 180 - 120 0,2 3 1 180 150 0,2 6,164
млн. тенге.
360
360
360
1 1
4.3 Задача о нахождении срока консолидированного платежа при
известных суммах выплат всех платежей
В этом случае все платежи приводятся на одну более раннюю дату
операцией дисконтирования. Составляется уравнение эквивалентности, в левой
части которого стоит дисконтированная стоимость платежа S 0, а в правой –
сумма дисконтированных стоимостей объединяемых платежей P0 (Рис.7).
S1
S2
S3
S0
Sk-1
Sk
n1
n2
n3
n0
nk-1
nk
t
0
Рис.7
29
Решаем задачу, используя ставку i. Запишем уравнение эквивалентности,
дисконтируя все платежи, включая S0 на начальную дату «0».
S0
Sk
.
1 n0 i
k 1 nk i
Обозначим через P0 сумму дисконтированных стоимостей объединяемых
Sk
платежей, т.е. P0
.
k 1 nk i
P0
Тогда
S
1
n0 0 1
P0
i
S0
S
; 1 n0 i 0 ;
1 n0 i
P0
Очевидно, что в полученной формуле консолидированная стоимость
платежей S0 должна быть больше суммы дисконтированных консолидируемых
платежей P0. Иначе срок платежа n0 получится отрицательным.
Задача 6.
Фирма, в погашение задолженности банку за предоставленный кредит
под 70% годовых, должна произвести 2 платежа в сроки 18.05 (138-й день),
1.09 (244-й день) суммами S1 2,7 млн. тенге и S 2 3,5 млн. тенге. Фирма
договорилась объединить оба платежа в один суммой S 0 7,0 млн. тенге с
продлением срока выплаты. Найти срок выплаты консолидированного платежа.
(В скобках указан порядковый номер даты платежа)
Решение:
Срок выплаты консолидированного платежа найдем по формуле
1 S0
n0 (
1) , где P 0 -современная величина консолидируемых платежей.
i P0
P0
S1
1 n1i
n0
1
(
S2
1 n2i
7,0
0,7 4,5
2,7
1
138
360
3,5
0,7
1) 0,7937 года.
1
244
360
4,5 млн. тенге.
0,7
t = 365 дней 0,7937287 дней. По календарю
это 14 октября (приложение табл.1).
4.4 Общая постановка задачи изменения условий выплаты платежей
При решении задачи изменения условий выплаты платежей составляется
уравнение консолидации по следующему правилу:
«Старые» долги равны «новым» долгам, но и те, и другие должны быть
приведены на одну дату консолидации.
30
Дата консолидации либо устанавливается во взаимном соглашении, либо
выбирается произвольно.
Задача 7.
Две суммы 12 и 8 млн. тенге должны быть выплачены 1.09.00 (244) и
1.01.01 (1). Стороны договорились пересмотреть условия контракта: должник
1.12.00 (335) выплачивает 10 млн. тенге, остаток долга гасится 1.04.01 (91).
Найти эту сумму при условии, что пересчет осуществляется по ставке простых
процентов, равной 12% (год равен 365 дней) (Рис.8).
Решение
S1==12 млн.
1.09.00
S3=10 млн.
S2=8млн.
млн.млн.
1.12.00
1.01.01.
S0
t
1.044.01
Рис.8
Возьмем за базовую дату 1.04.01 и составим уравнение эквивалентности,
учитывая два условия:
1) все платежи приведены к базовой дате;
2) старые долги равны новым долгам.
Т.к. базовая дата самая поздняя из всех, то платежи S1 , S 2 и S3 наращиваются.
S1 (1 n1i) S 2 (1 n 2 i) S 0 S 3 (1 n 3 i) ;
12(1
365 244 91
365
0,12) 8(1
91 1
365
0,12) S 0 10(1
365 335 91
365
0,12) ;
S 0 10,675 млн. тенге.
Вопросы для самопроверки:
1. Какие платежи называются эквивалентными?
2. Какие существуют способы изменения условий контрактов?
3. Что называется консолидацией? Что называется пролонгацией?
4. Какие задачи решаются при изменении контрактов?
Тема 5. Финансовые ренты
Цель лекции: Дать информацию о финансовых рентах. Ввести понятия
характеристики и классификации рент. Ознакомить с правилами вычисления
наращенной суммы ренты и методами вычисления современной стоимости
ренты.
Вопросы, выносимые на рассмотрение:
5.1 Характеристики ренты;
5.2 Классификация рент;
5.3 Наращенная сумма S ренты;
5.4 Современная стоимость ренты.
31
Современные финансово-банковские операции часто предполагают не
отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во
времени. Например, погашение задолженности в рассрочку, периодическое
поступление доходов от инвестиций, выплата пенсий и т.д.
Такие последовательности называются потоком платежей, а отдельный
элемент последовательности - членом потока.
Поток платежей, все члены которого положительные величины, а
временные интервалы между платежами одинаковы, называется финансовой
рентой или аннуитетом.
5.1 Характеристики ренты
Рента характеризуется следующими параметрами:
член ренты R - размер отдельного годового платежа; процентная ставка i;
период ренты - временной интервал между двумя последовательными
платежами;
срок ренты n - время от начала первого периода ренты до конца последнего
периода;
число p платежей в году; частота m начисления процентов.
5.2 Классификация рент
1. ренты немедленные (начало срока ренты и начало действия контракта
совпадают) и ренты отсроченные;
2. ренты с ежегодным начислением процентов (m=1), начислением
процентов m раз в году и непрерывным начислением процентов;
3. ренты с постоянными и переменными членами;
4. ренты конечные и бесконечные. Если срок ренты более 50 лет, рента
считается вечной.
5. рента обычная или постнумерандо, если платежи производятся в конце
периода; рента пренумерандо, если платежи производятся в начале периода.
Пример 4-х летней ренты постнумерандо (Рис 9):
R
R
R
R
t
0
1
2
3
4
Рис.9
Пример 4-х летней ренты пренумерандо (Рис.10):
R
R
R
R
t
0
1
2
3
4
Рис.10
Обычно анализ потока платежей предполагает расчет или наращенной суммы
или современной стоимости.
32
5.3 Наращенная сумма S ренты
Наращенная сумма - сумма всех членов потока платежей с
начисленными на них к концу срока процентами.
1. Годовая рента постнумерандо
Ее характеристики: член ренты R, срок ренты n, ставка i, число выплат в
году p=1, число начислений процентов в году m=1.
Положим n=4 года и выведем формулу наращенной суммы ренты.
Построим схему наращения членов ренты на временной оси. Т.к. срок
ренты больше одного года, естественно использовать сложные проценты.
Например, на член ренты R, внесенный в конце первого года, будут
начисляться проценты 3 года. К концу срока ренты эта сумма будет составлять
R(1 i) 3 .
Подобным образом, на член ренты R, внесенный в конце второго года, будут
начисляться проценты 2 года. К концу срока ренты эта сумма будет составлять
R(1 i) 2 . И т. д. (Рис.11).
R
R
R
R
t
1
0
2
3
4
R(1+i)3
R(1+i)2
R(1+i)1
Рис.11
По определению наращенной суммы ренты
S R(1 i ) 3 R(1 i ) 2 R(1 i )1 R R(1 (1 i ) (1 i ) 2 (1 i ) 3 )
(1 i ) 3 (1 i ) 1
(1 i ) 4 1
R
R
.
1 i 1
i
Замечание:
Воспользовались формулой возрастающей геометрической прогрессии:
S
a n q a1
, первый член прогрессии a1 1 , знаменатель прогрессии q 1 i ,
q 1
n-й член прогрессии an (1 i) .
Тогда общая формула наращенной суммы ренты будет иметь вид:
3
SR
Sn,i
(1 i)
n
i
1
(1 i ) n 1
.
i
- коэффициент наращения ренты,
пользуясь математическим калькулятором.
33
будем находить его,
Пример 1.
Создается фонд. Средства в фонд поступают в виде годовой постоянной
ренты в течении 6 лет в конце года. Размер разового годового платежа 20 тыс.
тенге. На поступившие взносы начисляются 25% годовых. Найти величину
фонда к концу срока.
Решение:
Рассматривается годовая рента постнумерандо, член ренты R=20 тыс. тенге,
срок ренты n=6 лет, ставка i=25%. Величина фонда к концу срока
S R
(1 i ) n 1
(1 0,25) 6 1
20
225,176 тыс. тенге.
i
0,25
2. Годовая рента, постнумерандо, начисление процентов m раз в году,
выплаты p один раз в году
(Характеристики ренты R, n, j, m1, p=1). Наращенная сумма ренты
j n
) 1
m
S R
.
j m
(1 ) 1
m
(1
Пример 2.
В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если
проценты начисляются ежеквартально, т.е. m=4.
Решение:
j n
0,25 46
) 1
(1
) 1
m
4
S R
20
239 ,33 тыс.тенге.
j m
0,25 4
(1 ) 1
(1
) 1
m
4
(1
Внимание! Наращенная стоимость возрасла. Следовательно, чем чаще
начисляются проценты, тем больше S.
3. Рента p-срочная постнумерандо, проценты начисляются один раз в году,
выплаты p раз в году
(Характеристики ренты R, n, i, m=1, p1). Наращенная сумма ренты
R (1 i) n 1
S
.
p (1 i)1 / p 1
Пример 3.
В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если выплаты
делаются ежеквартально, т.е. p=4.
Решение:
S
R (1 i) n 1 20 (1 0,25) 6 1
246,90 тыс. тенге.
p (1 i)1 / p 1 4 (1 0,25)1 / 4 1
34
4. Рента p-срочная постнумерандо, проценты начисляются m раз в году,
число выплат в году p равно числу начислений процентов m
(Характеристики ренты R, n, j, m=p1). Наращенная сумма ренты
S R
(1
j n
) 1
m
.
j
Пример 4.
В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если проценты
начисляются ежеквартально, т.е. m=4, число выплат в году также равно p=4.
Решение:
S R
(1
j n
0,25 46
) 1
(1
) 1
m
4
20
262,76 тыс. тенге.
j
0,25
5. Рента р – срочная, проценты начисляются m раз в году, выплаты p не
совпадают с начислением процентов
(Характеристики ренты R, n, j,
m p 1 ).
Наращенная сумма ренты
j
(1 ) mn 1
R
m
.
S
p (1 i ) m / p 1
Пример 5.
В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если выплаты
делаются ежемесячно, т.е. m=12, число выплат в году равно p=4.
Решение:
j mn
) 1
R
20 (1 0,25)126 1
m
S
267 ,43 тыс. тенге.
p (1 i ) m / p 1 4 (1 0,25)12 / 4 1
(1
6.Рента годовая постнумерандо, проценты начисляются непрерывно
e n 1
(Характеристики ренты R, n, , p=1). Наращенная сумма ренты S R
.
e 1
Пример 6.
В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если непрерывная
ставка = 25%.
Решение:
SR
e n 1
e 0, 256 1
20
245,19 тыс. тенге.
e 1
e 0, 25 1
7. Годовая рента пренумерандо, проценты начисляются один раз в году
(Характеристики ренты R, i, n, m=1, p=1) (Рис.12)
35
R
R
R
R
t
0
1
2
3
4
R(1+i)4
R(1+i)3
R(1+i)2
R(1+i)1
Рис.12
Положим, что n =4 года и выведем формулу наращенной суммы ренты. Снова
применим сумму геометрической прогрессии (см. выше ренту постнумерандо)
S R(1 i ) 4 R(1 i ) 3 R(1 i ) 2 R(1 i ) R(1 i )(1 (1 i ) (1 i ) 2 (1 i ) 3 )
(1 i ) 3 (1 i ) 1
(1 i ) 4 1
R(1 i )
.
1 i 1
i
(1 i ) n 1
Наращенная сумма ренты S R(1 i )
.
i
R(1 i )
Наращенная сумма ренты пренумерандо больше наращенной суммы
постнумерандо с такими же параметрами в (1+i) раз!
Пример 7.
В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если выплаты
делаются ежегодно в начале года.
Решение:
Рента годовая пренумерандо.
S R (1 i )
(1 i ) n 1
(1 0,25) 6 1
20 (1 0,25)
281,47 тыс. тенге.
i
0,25
5.4 Современная стоимость ренты
Под современной стоимостью А потока платежей понимают сумму всех
его членов, дисконтированных на начало срока ренты.
1. Годовая рента постнумерандо (Характеристики ренты R. n, i, p=1, m=1).
Схема дисконтирования:
Пусть n=4 года. Найдем современную стоимость ренты (Рис.13).
36
R
R
R
R
t
0
1
2
3
4
R / (1+i)
R / (1+i)2
R / (1+i)3
R / (1+i)4
Рис.13
A
R
R
R
R
R
1
1
1
1
2
3
4
2
(1 i ) (1 i )
(1 i ) (1 i ) (1 i )
(1 i )
(1 i )
(1 i ) 3
R
(1 i )
1
1
1
1
1
3
(1 i ) (1 i )
(1 i ) 4
R
.
1
i
1
(1 i )
Замечание:
Воспользовались формулой суммы убывающей геометрической прогрессии
a an q
S 1
, первый член прогрессии a1 1 , знаменатель прогрессии q 1 i ,
1 q
3
n-й член прогрессии a n (1 i) . Современная стоимость ренты сроком n лет
1
A R
an i
?
1 (1 i)
i
1
1 (1 i ) n
(1 i ) n
R
.
i
i
n
- коэффициент приведения ренты.
Пример 8.
Рента постнумерандо характеризуется следующими параметрами: Член
ренты R=4 млн. тенге, срок ренты n=5 лет, годовая ставка i = 18,5%. Найти
сегодняшнюю стоимость ренты.
1 (1 i ) n
1 (1 0,185 ) 5
A R
4
12,368 тыс. тенге.
i
0,185
Полученная сумма означает, что если сегодня положить 12,368 млн. тенге под
годовую ставку 18,5%, то в течении 5 лет в конце каждого года можно получать
по 4 млн. тенге.
2. Годовая рента постнумерандо, начисление процентов m раз в году
(Характеристики ренты R, n, j, m1, p=1). Современная стоимость
1 (1
AR
(1
j
m
j
m
)
m
37
)
mn
;
1
3. Рента р-срочная постнумерандо, проценты начисляются 1 раз в году
(Характеристики ренты R, n, i, m=1, p1). Современная стоимость
A
R 1 (1 i)
p (1 i)
1/p
n
;
1
4. Рента р-срочная постнумерандо, проценты начисляются m раз в году,
число выплат p совпадает с числом начисления процентов m
(Характеристики ренты R, n, j, mp1). Современная стоимость
R
A
1 (1
m
j
m
)
mn
;
j/m
5. Рента р-срочная постнумерандо, проценты начисляются m раз в году,
периоды выплат p не совпадают с периодами начислений процентов
(Характеристики ренты R, n, j, mp1). Современная стоимость
A
R
p
1 (1
(1
j
m
)
j
m
)
m/p
mn
.
1
6. Вечная рента постнумерандо
В последней формуле современной стоимости ренты увеличим срок
ренты n до бесконечности (n). Коэффициент приведения ренты аni
стремится к величине
1
j
(1 ) m / p 1
m
, поэтому современная величина такой ренты,
называемой вечной, имеет вид
7. Годовая рента пренумерандо
A
R
p
1
j
(1 ) m / p 1
m
.
(Характеристики ренты R, n, i, m=1, р=1).
Схема дисконтирования (Рис.14)
R
R
R
R
t
0
1
2
3
4
R / (1+i)
R / (1+i)2
R / (1+i)3
Рис.14
Современная стоимость ренты
A R(1 i)
38
1 (1 i)
i
n
.
Вопросы для самопроверки:
1. Какими параметрами характеризуется рента?
2. Какие существуют виды рент?
3. Как находят наращенную сумму рент?
4. Что называется современной стоимостью рент?
Тема 6. Анализ инвестиционных проектов
Цель лекции: Дать информацию о чистом приведенном доходе. Ввести
понятия индекса рентабельности инвестиций и нормы рентабельности
инвестиции. Ознакомить с методами вычисления срока окупаемости
инвестиций.
Вопросы, выносимые на рассмотрение:
6.1 Чистый приведенный доход NPV (net present value)
6.2 Индекс рентабельности инвестиций PI (profitability index)
6.3 Норма рентабельности инвестиции IRR (Internal rate of return)
6.4 Срок окупаемости инвестиций РР
Основными
показателями
инвестиций
являются:
чистый
приведенный эффект (доход), индекс рентабельности, внутренняя норма
доходности, срок окупаемости инвестиций.
6.1 Чистый приведенный доход NPV (net present value)
Метод расчета чистого приведенного дохода основан на сопоставлении
величины исходной инвестиции IC с общей суммой дисконтированных чистых
денежных поступлений PV, генерируемых ею в течение прогнозируемого срока
n. Т.к. приток денежных средств распределен во времени, он дисконтируется по
ставке r, установленной инвестором.
Пусть делается прогноз, что инвестиция IC будет генерировать в течение
n лет годовые доходы P1, P2,…, Pn (Рис.15).
-IC
P1
P2
P3
Pn
0
1
2
3
... n
t
Рис.15
Тогда сумма дисконтированных доходов
n
Pk
PV
k
k 1 (1 r )
Чистый приведенный доход
n
Pk
NPV PV IC
IC
k
k 1 (1 r )
Общее правило:
Если NPV > 0, то проект следует принять, иначе его следует отклонить.
39
(1)
(2)
Основное достоинство этого метода: показатели NPV различных проектов
можно суммировать
Типовые примеры на расчет показателя чистого приведенного дохода
Пример1:
Фирма собирается вложить средства в приобретение нового
оборудования, стоимость которого вместе с доставкой и установкой составит
100 000 ден. ед. Ожидается, что внедрение оборудования обеспечит получение
на протяжении 6 лет чистых доходов в 25 000, 30 000, 35 000, 40 000, 45 000, и
50 000 ден. ед. соответственно. Принятая норма дисконта равна 10%.
Определить экономическую эффективность проекта.
Решение:
Изобразим ежегодные поступления от инвестиций на временной оси
(Рис.16).
-100000
25000 30000 35000 40000
0
1
2
3
45000
50000
5
6
4
t
Рис.16
NPV
25000
30000 35000
40000
45000
50000
100000 57302 ,37 0
2
3
4
5
1 0,1 (1 0,1) (1 0,1)
(1 0,1)
(1 0,1)
(1 0,1) 6
проект следует принять.
Как видим, при условии правильной оценки денежного потока проект
обеспечивает возмещение произведенных затрат (примерно к концу четвертого
года) и получение 10% чистой прибыли, а также дополнительной (сверх
установленной нормы) прибыли, равной величине NPV=57 302,37.
Другое объяснение полученного показателя NPV могло бы состоять в
следующем: если проект финансировался за счет долгосрочной ссуды из 100
000 ден. ед., взятой на 6 лет под 10% годовых, ее величина и проценты могли
бы быть полностью выплачены из поступлений наличности проекта. Кроме
того, после расчетов с кредиторами остаток полученной от проекта наличности
составил бы сумму в 57 302,37 ден. ед.
Пример 2:
Проект, требующий инвестиций в размере IC=160 000 $, предполагает
получение годового дохода в размере PK=30 000$ на промежуток n = 15 лет.
Оценить
целесообразность
такой
инвестиции,
если
коэффициент
дисконтирования r =15%.
Решение:
Обратите внимание на тот факт, что все ежегодные поступления
одинаковы, поэтому можно принять при расчете формулу современной
стоимости ренты.
40
Рассчитаем чистый приведенный доход проекта:
30000
1 (1 0,15)15
160000
30000
160000 15421,1 0 , проект
15
0,15
k 1 (1 0,15)
15
NPV
следует принять.
6.2 Индекс рентабельности инвестиций PI (profitability index)
Индекс рентабельности PI рассчитывается по формуле:
PI =
k
Pk
(1 r )
k
: IC
PV
IC
Общее правило:
Если PI > 1, то проект следует принять, иначе его следует отклонить.
Этот относительный показатель, удобен при выборе одного проекта из ряда
альтернативных, имеющих одинаковый NPV, либо при комплектовании
портфеля инвестиций с максимальным суммарным NPV.
6.3 Норма рентабельности инвестиции IRR (Internal rate of return)
Под нормой рентабельности (внутренней нормой доходности) IRR
инвестиции понимают значение коэффициента дисконтирования, при котором
чистый приведенный эффект проекта равен нулю,
т.е. IRR = r, при котором NPV = f ( r ) = 0.
IRR показывает максимально допустимый относительный уровень
доходов, которые могут быть ассоциированы с данным проектом.
Например, если проект полностью финансируется за счет ссуды
коммерческого банка, то IRR показывает верхнюю границу допустимого
уровня банковской процентной ставки, превышение которой делает проект
убыточным.
На практике IRR сравнивается с r - заданной нормой дисконта,
которая отражает минимум возврата на вложенный в его деятельность
капитал.
Общее правило:
Если IRR > r, то проект следует принять, иначе его следует отклонить.
Пример 4: Найдите IRR денежного потока: -100, +230, -132.
Решение:
Схему вложения денег изобразим на временной оси (Рис.17).
41
-100
230
-132
0
1
2
t
230
(1 r )
132
(1 r ) 2
Рис.17
Воспользовавшись определением IRR: NPV (IRR) = NPV(r)=0, составим
уравнение для нахождения этого показателя.
230
132
100
-100(1+r)2 + 230(1+r) – 132 = 0,
0,
2
(1 r )
(1 r )
50r2 - 15r + 2 = 0,
r1 = 0,2 = 20%;
r2 = 0,1 = 10%.
Для данного проекта существуют две ставки внутренней доходности.
Эти ставки показывают, что все финансовые операции по ставке выше
IRR = 20% и по ставке ниже IRR = 10% убыточны для рассматриваемого
проекта.
6.4 Срок окупаемости инвестиций РР
Если доход распределен по годам равномерно, то срок окупаемости РР
рассчитывается делением единовременных затрат на величину годового дохода,
обусловленного ими. При получении дробного числа оно округляется в сторону
увеличения до ближайшего целого. Если прибыль распределена неравномерно,
то срок окупаемости рассчитывается прямым подсчетом числа лет, в течение
которых инвестиция требует погашения кумулятивным (суммарным) доходом
K, т.е.:
n
РР = n, при котором Pk IC .
k 1
Пример 5:
Задана динамика денежных потоков по годам для проектов А, Б, В и их
комбинации:
Год
Проекты
А
Б
В
АиБ
БиВ
0-й
-10
-10
-10
-20
-20
1-й
0
10
0
0
10
2-й
20
0
0
20
0
3-й
5
15
15
20
30
Периоды
окупаемости
2
1
3
2
3
проектов
Основными недостатками срока окупаемости являются:
1. Метод не учитывает влияние доходов последних периодов.
42
Например: проекты А и В имеют одинаковые затраты – 10 млн. тенге; годовые
доходы: по проекту А по 4,2 млн. тенге в течение трех лет;
по проекту В по 3,8 млн. тенге в течение десяти лет.
Оба проекта в течение трех лет окупают вложения, но проект В более выгоден.
2. Метод основан на недисконтированных потоках, если потоки
дисконтировать, срок окупаемости проектов увеличивается.
3. Показатель не обладает свойством аддитивности, т.е. сроки по разным
проектам нельзя суммировать.
Вопросы для самопроверки:
1. Что является основными показателями инвестиции?
2. В чем заключается метод чистый приведенный доход?
3. По какой формуле рассчитывается индекс рентабельности?
4. Как определяется срок окупаемости инвестиции?
Тема 7. Кредиты
Цель лекции: Дать информацию о плане погашения долгосрочной
задолженности. Ввести понятия планирования погасительного фонда и
потребительского кредита. Ознакомить с методом погашения долга в рассрочку
и с методом погашения потребительского кредита.
Вопросы, выносимые на рассмотрение:
7.1 Планирование погашения долгосрочной задолженности;
7.2 Планирование погасительного фонда;
7.3 Погашение долга в рассрочку;
7.4 Погашение потребительского кредита.
7.1 Планирование погашения долгосрочной задолженности
В это теме речь пойдет о разработке плана погашения займа, который
состоит в составлении графика периодических платежей должника.
Расходы должника обычно называются срочными уплатами или расходами
по займу.
Методы определения размера срочных уплат зависят от условий
погашения долга, которые предусматривают:
1. срок займа n;
2. уровень и вид процентной ставки g (простая; сложная, проценты
выплачиваются 1 раз в году, m раз в году);
3. методы уплаты процентов (сразу на всю сумму, и дальнейшее распределение
одинаковыми суммами по периодам или проценты начисляются на
непогашенный остаток долга);
4. способы погашения основной суммы долга (погашение основного долга
равными суммами или погашение всей задолженности срочными уплатами).
43
Введем обозначения:
D сумма задолжника (основная сумма без процентов);
Y срочная уплата;
I проценты по займу;
R расходы по погашению основного долга;
g ставка процентов по займу;
n общий срок займа;
i - проценты по депозиту.
7.2 Планирование погасительного фонда
Если по условиям займа должник обязуется вернуть сумму долга в конце
срока в виде разового платежа, то для накопления таковой суммы обычно
создается погасительный фонд.
Погасительный фонд создается из последовательных взносов должника,
на которые начисляются проценты. Очевидно, что сумма взносов в фонд вместе
с начисленными процентами, накопленная к концу срока долга, должна быть
равна его сумме.
Рассмотрим случай формирования фонда, когда взносы регулярны и
одинаковы по величине и вносятся в конце года, т.е. речь идет о годовой ренте
постнумерандо.
Накопленная к концу срока фонда сумма долга D с процентами есть
наращенная сумма ренты S, равная
S D R
(1 i ) n 1
.
i
Обозначим множитель наращения ренты через S n,i
R
(1 i ) n 1
, тогда член ренты
i
D
D
.
и в фонд систематически вносится сумма Y Dg
S n,i
S n ,i
Величина процентного платежа I t , исчисленного по сложным процентам,
вычисляют по формуле:
I t D (1 g ) t 1 g , где t 1,2....n.
Если условия контракта предусматривают присоединение процентов к сумме
D(1 g ) n
основного долга по ставке g, то срочная уплата Y
.
Sn,i
Для расчета накопленных за t лет сумм погасительного фонда используется
формула наращенных сумм постоянных рент:
S t 1 S t (1 i) R.
44
Пример 1.
Долг суммой 100 тыс. тенге выдан на 5 лет под ставку g= 20%. Для его
погашения создается фонд. На инвестируемые средства начисляются проценты
по ставке i = 22%. Необходимо найти размеры срочных уплат. Взносы
производятся в конце каждого года равными суммами.
Решение:
Множитель
наращения
S n,i
(1 0,22)5 1
7,7396 ,
0,22
присоединяются к сумме долга, то срочная уплата Y
если
проценты
100 (1 0,2) 5
32,1506 тыс.
7,7396
тенге. Если проценты не присоединяются к сумме долга, то ежегодные взносы в
банк R
100
12,9206 тыс. тенге
7,7396
7.3 Погашение долга в рассрочку
Метод погашения долга в рассрочку частями называется амортизацией
долга. Рассмотрим 2 способа погашения долга в рассрочку.
Первый способ: Погашение основного долга равными суммами
Пусть долг D погашается в течение n лет,
D - сумма, ежегодно идущая
n
на погашение долга.
Размер долга уменьшается, и остатки долга соответственно равны:
D;
D
D
;
n
D
2D
;
n
D
3D
; ...
n
Т.к. проценты начисляются на непогашенный остаток долга, то они также
уменьшаются.
Пусть проценты выплачиваются один раз в году по ставке g.
Процентные платежи по годам соответственно равны:
D
2D
D; D g ; D
g ;...
n
n
Сумма выплаченных процентов:
1 2
n 1
J D g 1 1 1 ... 1
D g
n
n n
n 1
1 1
n 1
n
nD g
2
2
Общая сумма погашения кредита:
n 1
S D J D 1 g
.
2
Если взносы в погашение кредита будут осуществляться р раз в году, то общая
сумма выплаченных процентов
n P 1
D
.
J
g
P
2
45
Пример 2.
Долг 1000 тыс. тенге необходимо погасить последовательными равными
суммами за 5 лет платежами постнумерандо. За заем выплачиваются проценты
по годовой ставке 10%. Составить план погашения кредита.
Решение:
Итак, долг D = 1 000 тыс. тенге, ежегодная выплата долга
D
= 200 тыс. тенге.
5
Выплаченные проценты за 1-й год J1 = 1 000 0,1 = 100 тыс. тенге;
Выплаченные проценты за 2-й год J2 = (1 000 – 200) 0,1 = 80 тыс. тенге и т.д.
Расчеты по погашению долга приведены в таблице 1.
Таблица 1
Год
1
2
3
4
5
Итого
Остаток
долга на
начало года
1 000
800
600
400
200
Расходы по
займу Y
300
280
260
240
220
1300
Погашение
основного
долга R
200
200
200
200
200
1000
Проценты
I
100
80
60
40
20
300
Расход по займу равен сумме расходов по погашению основного долга и
расходов по выплаченным процентам, т.е. Y = R +I.
Основной недостаток такого расчета погашения долга – большие
платежи в начале выплат.
Второй способ: погашение долга равными срочными выплатами
По этому способу расходы должника по обслуживанию долга постоянны
на протяжение всего срока его погашения.
Из общей суммы расходов должника часть выделяется на уплату
процентов, остаток идет на погашение основного долга. Периодическая
выплата постоянной суммы Y = R равнозначна ренте с заданными
параметрами. Ее современная стоимость A = сумме долга D, т.е.
1 (1 g ) n
ADR
.
g
1 (1 g ) n
- коэффициент приведения годовой ренты со
g
ставкой процентов g и сроком n.
Обозначим через an, g
46
Тогда расход по займу R Y
D
a
,
а сумма первого взноса по
n,g
погашению основного долга d1 = Y – Dg.
Пример 3.
Долг 1 000 тыс. тенге погашается в течение 5 лет платежами
постнумерандо по ставке g = 10%. Составить план погашения кредита равными
срочными выплатами с начислением процентов на непогашенный остаток.
Решение:
Рассчитаем расход по займу R = Y.
Y
D
a
n, g
1 000
1 000
1 000
263,787
n
5
3,79
1 (1 g )
1 1,1
g
0,1
тыс. тенге.
Первая выплата основного долга d1 = 263,787 – 1 000 0,1 = 163,787 тыс.
тенге;
остаток долга D1 = 1 000 – 163,787 = 836,203 тыс. тенге;
Вторая выплата основного долга d2 = 263,783 – 836,2030,1 = 180, 177 тыс.
тенге и т. д.
Расчеты по погашению долга приведены в таблице 2.
Таблица 2
Год Остаток долга
на начало года
Расходы по
займу Y
Проценты I
1
2
3
4
5
Итого
263,787
263,787
263,787
263,787
263,787
1318,935
100,00
83,620
65,603
45,783
23,928
318,935
1 000
836,203
656,026
457,831
239,816
Погашение
основного
долга R
163,787
180,177
198,195
218,014
239,816
1000
При таком погашении долга процентные платежи уменьшаются во времени, а
сумма погашения основного долга увеличивается, расходы по займу остаются
постоянными на весь срок, однако в этом случае должник немного
переплачивает.
7.4 Погашение потребительского кредита
В потребительском кредите проценты, как правило, начисляются на всю
сумму кредита и присоединяются к основному долгу уже в момент открытия
кредита, т.е разовым начислением процентов.
47
Величина разового погасительного платежа
D(1 ng )
np
, где n – срок кредита в годах,
Y
p – число платежей в году.
Для решения проблемы определения остатка задолженности на любой момент
времени следует разбить величину Y на проценты и сумму, идущую на
погашение основного долга.
Рассмотрим возможность такового разбиения двумя способами
Первый способ: равномерное распределение выплаты процентов
Величину разового платежа Y представим в виде суммы
Y
D Dg
RI
pn
p
, где
D – цена товара (сумма основного долга без процентов);
R – размер погашения основного долга;
I – процентный платеж.
Замечание:
В случае срока кредита больше года применяются сложные проценты. Тогда
процентный платеж I=D((1+g)n-1).
Второй способ: правило 78
Сумма порядковых номеров месяцев в году равна 78, отсюда и название
правила.
Допустим, что срок кредита равен 1 год. Тогда согласно правилу 78 доля
процентов в сумме расходов в первом месяце равна 12/78, во втором она
составит 11/78 и т.д. Последняя уплата процентов равна 1/78. Таким образом,
доля процентов убывает, сумма погашения основного долга увеличивается.
Для годового срока:
I
t
Dg ;
78
R Y I
D(1 g ) t
Dg .
12
78
Пример:
Потребительский кредит размером 240 тыс. тенге, предоставленный на 1
год по ставке 20% годовых погасить по правилу 78.
Решение:
Общая сумма задолженности S = 240(1+0.2) = 288 тыс. тенге. Общая сумма
выплаченных процентов I = 48 тыс. тенге. Сумма расходов по обслуживанию
долга (ежемесячная выплата) Y = 288/12 = 24 тыс. тенге. Находим.
процентные платежи по месяцам.
Для первого месяца:
I1
12
48 7.385;
78
R1 24 7.385 16.615 тыс. тенге.
48
Для второго месяца:
11
48 6.769
78
I2
I2
11
48 6.769
78
тыс. тенге и т.д.
Для двенадцатого месяца:
1
48 0.615;
78
I12
R12 24 0.615 23.385 тыс. руб.
Обобщим правило 78 для кредита со сроком N месяцев.
Последовательные номера месяцев в обратном порядке представляют собой
числа:
t = N, N-1,..., 1.
Сумма этих чисел находится по формуле суммы арифметической прогрессии:
(1 N ) N
2
.
N
t
1
Ежемесячные выплаты процентов
I
t
t
Dgn;
Сумма списания основного долга
R Y
t
t
Dgn;
В каждом месяце выплаты процентов сокращаются на величину
Dg n
t
, на такую же величину увеличивается сумма списания основного долга.
Важно отметить, что в потребительском кредите при разовом начислении
процентов должник фактически выплачивает проценты и за описанные суммы
долга, т.е. кредит обошелся бы дешевле, если бы проценты начислялись на
остатки долга.
Пример:
Потребительский кредит в сумме 10 млн. тенге выдан на три года при
разовом начислении процентов по ставке 10% годовых. Погашение
задолженности помесячное. Составить амортизационные планы погашения
кредита a) по правилу 78;
б) по методу равномерного распределения выплат процентов.
Решение:
а) по правилу 78:
Общая сумма долга S 10000 (1 3 0,1) 13000 тенге.
Сумма расходов по обслуживанию долга Y
13000
361,111 тыс. тенге.
12 3
Сумма последовательных номеров месяцев
36
t
1
(1 36)36
666 ,
2
1
2
30 31 32 33 34 35 36
t 36, 35, 7 , 6, 5 , 4, 3, 2, 1
49
Рассчитаем процентные платежи I и суммы погашения основного долга R:
Для 1-го месяца
I
36
3000 162,162 тыс. тенге;
666
R 361,111 162,162 198,949 тыс. тенге.
Для 2-го месяца
I
35
3000 157 ,658 тыс. тенге;
666
R 361,111 157,688 203,453 тыс. тенге.
Для 30-го месяца
I
7
3000 31,532 тыс. тенге;
666
R 329,579 тыс. тенге.
Для 36-го месяца
I
1
3000 4,505 тыс. тенге;
666
R 356,606 тыс. тенге.
Общая сумма процентных платежей
I 3000 тенге.
Общая сумма выплат основного долга
R 10000 тенге
б) по методу равномерного распределения выплат процентов:
Величину разового платежа Y представим в виде суммы
Y
D Dg
RI
pn
p
, где
ежемесячная выплата основного долга
R
D 10000
277 ,778 тыс. тенге.
pn 12 3
ежемесячная выплата процентного платежа
I
Dg 10000 0,1
83,333 тыс. тенге.
p
12
Вопросы для самопроверки:
1. Как формируется погасительный фонд?
2. Что называется амортизацией долга?
3. Как определяется величина разового платежа при равномерном
распределении выплаты процентов?
4. Почему правило называется 78?
5. Как определяется процентный платеж для годового срока по правилу 78?
50
Тема 8. Финансовые расчеты по ценным бумагам
Цель лекции: Дать информацию о ценных бумагах. Ознакомить с правилами
вычисления курса и дохода облигации. Рассмотреть методы вычисления дохода
по акциям.
Вопросы, выносимые на рассмотрение:
8.1 Облигации. Виды цен облигаций
8.2 Два источника дохода от облигаций. Доходность облигаций
8.3 Облигации с нулевым купоном. Облигации с постоянным доходом
8.4 Акции. Текущая стоимость обыкновенных акций
5 Расчет дивидендов
8.1 Облигации. Виды цен облигаций
Облигации – ценные бумаги с фиксированным доходом. Они могут
выпускаться в обращение государством, региональными властями,
финансовыми институтами, а также различными корпорациями.
Облигация – ценная бумага, подтверждающая обязательство эмитента
возместить владельцу её номинальную стоимость в оговоренный срок и
выплатить причитающийся доход.
По способам выплат дохода различают облигации:
с фиксированной купонной ставкой;
с плавающей купонной ставкой;
с равномерно возрастающей купонной ставкой;
с нулевым купоном (эмиссионный курс облигации ниже
номинального, разница выплачивается в момент погашения облигаций, процент
не выплачивается);
смешанного типа.
По способам обеспечения:
с имущественным залогом;
с залогом в форме будущих залоговых поступлений;
с определенными гарантийными обязательствами;
необеспеченные (беззакладные).
По характеру обращения:
конвертируемые;
обычные.
По сроку действия:
краткосрочные (1-3 года);
среднесрочные (3-7 лет);
долгосрочные (7-30 лет);
бессрочные.
51
К основным параметрам облигаций относятся: номинальная цена; выкупная
цена в случае, если она отличается от номинальной; норма доходности и сроки
выплаты процентов. Периодическая выплата процентов по облигациям
осуществляется по купонам 1 раз в год, 1 раз в полугодие, 1 раз в квартал, в
неопределенное заранее время.
Виды цен облигаций:
1) Нарицательная или номинальная цена N:
N
сумма займа
число выпущенных облигаций .
2) Эмиссионная цена Р или цена первичного размещения долговых
обязательств.
Если Р < N, цена называется дисконтной или со скидкой.
Если Р > N, цена называется с премией (ажио).
3) Рыночная или курсовая цена Pr .
Рыночные цены существенно различаются между собой, поэтому для
достижения их сопоставимости рассчитывается курс облигации.
Под курсом облигации понимают покупную цену одной облигации в
расчете на 100 денежных единиц номинала, т.е.
K
Pr
100
N
.
4) Выкупная цена или цена по истечению срока займа S.
Пример1:
Определить курс облигации номиналом N=1000 руб., если она реализована на
рынке по цене а) 920,30 тенге; б) 1125,0 тенге.
Решение:
а) Курс облигации К а
920 ,30
100 92,03 ;
1000
б) Курс облигации К б
1125 ,0
100 112 ,5
1000
В случае а) облигация приобретена с дисконтом 1000 - 920,30 = 79,70 тенге;
в случае б) – с премией 1000 – 1125 = -125 тенге, означающей снижение общей
доходности операций для инвестора.
Пример 2.
Облигации номиналом N=25 тыс. тенге продаются по цене 24,5 тыс.
тенге. Найти курс облигаций.
Решение:
Курс облигации К
24,5
100 98 . Облигация куплена с дисконтом.
25
52
Пример 3.
Курс ГКО (государственные краткосрочные облигации) номиналом N=100 тыс.
тенге равен 77,5. Найти текущую цену облигации.
Решение:
Текущая цена облигации равна
A
100000 77,5
77,5 тыс. тенге.
100
8.2 Два источника дохода от облигаций. Доходность облигаций
1. Купонный доход I k N ik , где ik - купонная норма доходности, т.е.
процентная ставка, по которой владельцу облигации выплачивается
периодический доход.
2. Разность между ценой погашения (выкупа) Р и ценой приобретения Pr
P P Pr .
Пример 1.
Определить величину ежегодного дохода по облигации номиналом 1000
тенге при купонной ставке 8,2%.
Купонный доход I k 1000 0,082 82 тенге.
Если облигация продана в течении финансового года, то купонный доход
делится между прежним (1) и новым (2) владельцами так:
I k(1)
I k (360 t )
360
,
I k( 2)
Ikt
360 ,
t – длительность в днях владения ценной бумагой новым владельцем.
Пример 2.
Облигация Государственного Сберегательного Займа (ОГСЗ) пятой
серии, номиналом 100 тыс. тенге, выпущенная 18.04.96 года, была продана
18.03.97. Дата предыдущей выплаты купона 10.01.97, дата ближайшей выплаты
10.04.97. Текущая купонная ставка установлена в размере 33,33% годовых.
Число выплат по купонам составляет 4 раза в год.
Определить:
1. Величину купонного дохода;
2. Распределение купонного дохода между старым и новым владельцами.
Решение:
1. Величина купонного дохода
I k 100000
0,3333
8332 ,50 тенге.
4
53
2. Для расчета купонного дохода между старым и новым владельцами
изобразим операции с облигацией на временной оси. (Рис.18)
Облигация
выпущена
Выплата
купона
Облигация
продана
Выплата
купона
18.04.96
10.01.97
18.03.97
10.04.97
Рис.18
Время между датами первой купонной выплаты и продажи облигации
составляет 67 дней, время между датами второй купонной выплаты и продажи
облигации составляет 23 дня.
Величина купонного дохода старого владельца:
I k1
8332 ,50 67
6203,08 тенге.
360
4
Величина купонного дохода нового владельца:
I k2
8332 ,50 23
2129 ,42 тенге.
360
4
Доходность облигации характеризуется рядом параметров, которые
зависят от условий, предложенных эмитентом. Для облигаций, погашаемых в
конце срока, на который они выпущены, доходность измеряется купонной
доходностью, текущей доходностью и полной доходностью.
1. Купонная доходность ik - норма процента, которая указана на ценной
бумаге и которую эмитент обязуется уплатить по каждому купону.
2. Текущая доходность
Y
N ik
i
100 k 100
Pr
K
, где
N - номинал облигации;
Pr – цена покупки или рыночная цена;
ik - годовая ставка купона.
3. Полная доходность учитывает все источники дохода. Иногда полную
доходность называют ставкой помещения.
Ставка помещения является
расчетной величиной и в явном виде на рынке ценных бумаг не выступает.
Пример 1.
На облигации указана купонная доходность 11,75% годовых. Номинал
облигации 1000 тенге. На каждый год имеются 2 купона. Найти доход от
облигации за полгода и за год.
54
Решение:
Доход от облигации за полгода равен
I k 1000
0,1175
58,7 тенге.
2
Доход от облигации за год
I k 1000 0,1175 117 ,5 тенге.
Пример 2.
Найти текущую доходность облигации, если купонная доходность
ik 11,75% , курс облигации K= 95,0.
Решение:
Текущая доходность облигации
Y
11,75
100 12,37%
95
8.3 Облигации с нулевым купоном. Облигации с постоянным доходом
Текущая стоимость облигации с нулевым купоном рассчитывается по
формуле дисконтирования сложных процентов:
A
S
(1 r ) n , где
r - рыночная норма доходности облигации;
n – срок погашения облигации;
S – сумма, выплачиваемая при погашении облигации.
Пример1.
Облигации с нулевым купоном нарицательной стоимости 100 000 тенге и
сроком погашения через 5 лет продаются за 63012 тенге. Проанализировать
целесообразность приобретения этих облигаций, если есть возможность
альтернативного инвестирования с нормой доходности 12 %.
Решение:
63012
100000
(1 r ) 5 ;
r5
100000
1 0,097 9,7%.
63012
.
Приобретение облигаций нецелесообразно, т.к. альтернативное инвестирование
имеет большую норму доходности. Иначе, 9,7% < 12%.
Текущая стоимость A такой облигации складывается из одинаковых по
годам поступлений R и нарицательной стоимости облигации S, выплачиваемой
в момент погашения облигации.
R
S
1 (1 r ) n
S
A
R
i
n
r
(1 r )
(1 r ) n .
i 1 (1 r )
n
55
Иначе, облигацию с постоянным доходом можно считать рентой и применять к
ней все формулы для расчета рент.
Пример.
Оценить текущую стоимость облигации нарицательной стоимостью 100
тыс. тенге, купонной ставкой 15% годовых и сроком погашения через 4 года,
если рыночная норма дохода равна 1) 10 % и 2) 18 %. Купоны по облигации
выплачиваются дважды в год.
Решение:
Денежные поступления по облигации изобразим на временной оси (Рис.19):
7,5
0
7,5
7,5
1
7,5
7,5
2
7,5
7,5 7,5+100
3
4
Рис.19
Если годовая купонная ставка 15%, то полугодовая ставка, естественно, равна
7,5%. Тогда разовая полугодовая выплата равна
I k R 100000 0,075 7,5 тыс. тенге.
1. Текущая стоимость облигации при рыночной норме доходности 10% равна
0,1
1 1
2
A 7,5
0,05
24
100
0,1
1
2
24
116,2 тыс. тенге.
2. Текущая стоимость облигации при рыночной норме доходности 18% равна
1
100
1,09 8
91,695 тыс. тенге.
0,09
1 0,09 8
1
A 7,5
Выводы:
1) если рыночная норма дохода больше купонной ставки (18% >15%), то
облигация продается со скидкой (дисконтом) по цене меньше номинала;
2) если рыночная норма дохода меньше купонной ставке (10% <15%),
облигация продается c премией (ажио);
3) если рыночная норма дохода = купонной ставке, облигация продается по
нарицательной стоимости.
8.4 Акции. Текущая стоимость обыкновенных акций. Расчет дивидендов
Несмотря на привлекательность получения гарантированного дохода по
облигациям, значительную часть рынка ценных бумаг составляют акции.
Акции, за исключением привилегированных акций, не относятся к ценным
бумагам с фиксированным доходом. Поэтому эффективность операций с
акциями может быть прогнозируема лишь условно. Инвестор, вложивший свои
средства в акции, подвергается воздействию большего финансового риска, чем
владелец облигации.
56
При этом под риском будем понимать неопределенность в получении
будущих доходов, т.е. возможность возникновения убытков или получения
доходов, размеры которых меньше прогнозируемых.
Доход по акциям определяется двумя элементами:
1. доходом от выплачиваемых дивидендов;
2. разницей в цене покупки и продажи.
Если эффективность инвестиций в акцию выразить относительной
величиной, то она может быть записана в следующем виде:
r
P1 P0 d
, где
P0
P0 - цена покупки; P1 -цена продажи; d – дивиденды,
полученные за время владения акцией.
Акции различают простые и привилегированные.
Привилегированные акции является формой облигаций. Владелец имеет право
получать фиксированную сумму каждый год, например 9 % от номинала.
Привилегирование состоит в том, что выплата дивидендов по этим акциям
должна осуществляться до распределения дивидендов по остальным акциям.
Владение этими акциями не дает прав по управлению корпорациями.
Привилегированные акции, как и бессрочные облигации, генерируют
доход неопределенно долго, поэтому их текущая стоимость определяется по
формуле:
À
D
, где D - годовой дивидендный доход,
r
r - рыночная норма прибыли.
Пример 1.
Чистая прибыль АОЗТ за год составила 48 млн. тенге. Количество
привилегированных акций составляет 10.000 акций. Средняя ставка ЦБРФ по
централизованным кредитам – 90% годовых. Рассчитать курсовую стоимость
привилегированной акции.
Решение:
Цена одной акции
N
48000000
4800 тенге.
10000
Курсовая (текущая) стоимость акции
Pr
N 4800
5333,3 тенге.
r
0,9
Различают несколько видов цены акции:
1) Номинальная – цена, указывается на бланке акции;
2) Эмиссионная – цена, по которой акция продается на первичном рынке;
3) Ликвидационная цена определяется в момент ликвидации общества.
57
Она показывает, какая часть стоимости активов по ценам, возможной
реализации, оставшаяся после расчетов с кредиторами, приходится на одну
акцию.
Особенность простых акций: они предоставляют право на часть
собственности, а доход от вклада капитала в акции (дивиденд) является долей
дохода корпорации, выпустившей акции.
Обычные акционеры являются юридическими совладельцами доли корпорации.
Пример 2.
Прибыль АОЗТ для выплаты дивидендов равна 1.200.000 тенге. Общая
сумма акций 5.000.000.
В том числе: привилегированных акций
с
фиксированным процентом, равным 30% – 500.000 акций; обыкновенных акций
– 4.500.000. Определить величину дивидендов по обыкновенным акциям.
Решение:
Рассчитаем сумму, приходящуюся на все привилегированные акции:
I привилегированное 1200000 0,3 360000 тенге.
На одну привилегированную акцию приходится
360000
0,72 тенге.
500000
На одну обыкновенную акцию приходится
1200000 360000
0,187 тенге.
4500000
Пример3.
Имеется АО с величиной акционерного капитала 30 млн. тенге, разбитого
на 3000 акций по 10000 тенге каждая. По окончании года работы АО получило
прибыль 9 млн. тенге, 1/3 которой, т.е. 3 млн. тенге, была выплачена
акционерам в виде дивидендов, а 2/3 нераспределенной прибыли было
реинвестировано на расширение производства.
1) Определить величину дивиденда D.
2) Величину дивиденда в будущем году, если все условия останутся
неизменными.
Решение:
1) Дивиденд
D
прибыль, распределенная на дивиденды 3000000
1000 тенге.
общее количество акций
3000
2) Величина собственного капитала = 30 млн. тенге + 6 млн. тенге =36 млн.
тенге.
Стоимость акции
Pï
36000000
12000 тенге.
3000
58
Дивиденд
D
36000000 0,3
3000
1
3 1200 тенге.
Текущая стоимость обычных акций рассчитывается по методу, основанному на
оценке их будущих поступлений, т.е.
Si
i
i (1 r )
.
A
По этой формуле рассчитывается текущая стоимость акции, когда инвестор
собирается купить акции некоторой компании и владеть ими вечно.
Однако, более типичной является ситуация, когда инвестор покупает
акции с намерением продать их при повышении цены. При таком подходе
ожидаемая цена акции складывается из текущей стоимости тех дивидендов,
которые акционер собирается получить, и текущей стоимости суммы,
вырученной от продажи акции. Существует тесная связь между динамикой
дивидендов и ценой акции.
Существует 3 варианта динамики прогнозных значений дивидендов,
согласно которым рассчитываются допустимые с позиции инвестора вложения
в ценные бумаги:
1 вариант: дивиденды во времени не меняются, расчет дохода по акциям
соответствует рыночной цене акций.
Текущая цена акции
A
D
,
r
r – приемлемая рыночная норма доходности инвестиций на момент
приобретения. По этой формуле можно рассчитывать также текущая стоимость
привилегированной акции.
Пример 4.
Величина выплаченного дивиденда составила 2.000 тенге. Банки по
вкладам выплачивают 10% годовых. Найти текущую цену акции.
Решение:
A
D 2000
20000 тенге.
r
0,1
2 вариант: дивиденды возрастают с постоянным темпом прироста g:
Если D – базовая величина дивидендов, g – ежегодный темп прироста
дивиденда, то текущую стоимость акции можно рассчитать по формуле:
A
D(1 g ) D(1 g ) 2
D(1 g )
...
1
2
rg .
(1 r )
(1 r )
(Применяется формула бесконечно убывающей геометрической прогрессии)
Эта формула называется моделью Гордона.
59
Пример 5.
Дивиденд за прошлый год составил 500 тенге. Ожидается прирост
дивиденда g =10% в год. Найти дивиденд за текущий год и за следующий год.
Решение:
Дивиденд за текущий год
D1 D0 (1 g ) 500 (1 0,1) 550 тенге.
Дивиденд за следующий год
D2 D0 (1 g ) 2 500 (1 0,1) 2 605 тенге.
Пример 6.
Дивиденд за прошлый год составил 500 тенге. Ожидаемый ежегодный
темп прироста дивиденда g=10% в год, требуемый уровень доходности r = 13%.
Найти рыночную цену акции.
Решение:
Рыночная цена акции равна
A
D0 (1 g ) 500 (1 0,1)
18,333 тенге.
rg
0,13 0,1
3 вариант: дивиденды возрастают с изменяющимся темпом прироста
дивидендов.
n
(1 g ) i
(1 p) i
D
,
k
i
i
i 1 (1 r )
i k 1 (1 r )
, где
K
A D0
D0 – дивиденд, выплачиваемый в базисный период;
Dk – прогноз дивиденда в к-том периоде;
g – прогноз темпа прироста дивиденда в первые к периодов;
p - прогноз темпа прироста дивиденда в последние периоды.
Пример7.
Последний выплаченный дивиденд по акции равен 1$. Ожидается, что он
будет возрастать в течение следующих трех лет с темпом 14%; затем темп
прироста стабилизируется на величине 5%. Какова цена акции, если рыночная
норма прибыли 15%.
Решение:
Применим формулу текущей стоимости акций с изменяющимся темпом
прироста дивидендов:
n
3
(1 g ) i
(1 p ) i
(1 0,14) i
(1 0,05) i
3
D
1
1
(
1
0
,
14
)
1 (1 0,15) i
4 (1 0,15) i
k
i
i
i 1 (1 r )
i k 1 (1 r )
K
A D0
2
3
1,14 1,14 1,14
1,05
18,5$
1,14 3
1,15 1,15 1,15
0,15 0,05
60
Список рекомендуемой литературы
Основная:
1. Четыркин Е.М. Финансовая математика. М., Дело, 2000.
2. Мелкумов Я.С. Финансовые вычисления. Теория и практика. М.,
ИНФРА-М, 2002.
3. Ковалев В.В. Финансовый анализ. М., Финансы и статистика, 1996.
4. Черкасов В. Е. Финансовый анализ в коммерческом банке. М., Инфра-М.,
1995.
5. Сидорова О.Л. Финансово-экономические расчеты. Методические
указания. Тюмень, 1997.
6. Ковалев В. В. Сборник задач по финансовому анализу. М. ИнфраМ.,1997.
Дополнительная:
7. 1.И.Я. Лукасевич И.Я. Анализ финансовых операций. М, Финансы,
ЮНИТИ, 1998.
8. Касимова О.Ю. Введение в финансовую математику. М, АНКИЛ, 2001.
9. Кочович Е. Финансовая математика: теория и практика финансовобанковских расчетов. М., Финансы и статистика, 1994.
10.Башарин Г. П. Начала финансовой математики. М., 1997.
11.Е. К. Овчаренко, О. П. Ильина, Е. В. Балыбердин Финансовоэкономические расчеты в EXCEL, изд. 2, М.: Филин, 1998 г.
12.В.В. Капитоленко Финансовая математика и ее приложения. М.: ПРИОР,
1998.
13.В.И. Малыхин Финансовая математика. М.: ЮНИТИ, 2000.
14.Ю.П. Лукашин Финансовая математика. Учебно-практическое пособие.
МЭСИ, дистанционное образование.
15.Количественные методы финансового анализа. Под редакцией Стивена
Дж. Брауна, Марка П. Крицмена. М.: ИНФРА-М, 1996.
61
62
63
64
