Методические указания по математике для заочников

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ ПМР
ГОУ СПО КАМЕНСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ
МЕТОДИЧЕСКИЕ
УКАЗАНИЯ
к контрольной работе
по дисциплине «МАТЕМАТИКА»
для студентов I курса заочного отделения
специальностей:
«Технология продукции общественного питания»
Каменка, 2014
СОДЕРЖАНИЕ
1.
СОДЕРЖАНИЕ ......................................................................................................... 2
2.
ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ........................ 3
3.
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ ..................................................................... 5
4.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ.............................................................................. 13
5.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ................................................................... 20
2
ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Контрольная работа должна содержать:
1. Титульный лист
2. Рецензия
3. Оглавление
4. Содержание работы
5. Список используемой литературы
Работа выполняется вручную.
Контрольная работа может быть выполнена по усмотрению студента:
- либо в обычной ученической тетради,
- либо на листах формата А4.
Титульный лист.
На титульном листе указывается название учебного заведения; дисциплина; номер
группы; номер варианта; Ф. И. О студента, выполнившего контрольную работу; Ф. И.
О. преподавателя, проверяющего контрольную работу; нормоконтроль; год выполнения
контрольной работы.
Рецензия. Содержит один чистый лист для рецензии работы.
Оглавление. Содержит перечень заданий с указанием номеров страниц.
Содержание работы.
Каждый вариант контрольной работы содержит 9 заданий. Задания выполняются в указанном порядке. Условия заданий должны быть записаны полностью. Каждое задание
начинается с новой страницы. В решении задач необходимо указать все используемые
формулы; решение должно содержать комментарии или пояснения, указаны все расчеты и показаны все преобразования выполняемые с алгебраическими выражениями.
Список используемой литературы.
Литературные источники приводятся в следующем порядке: по алфавиту фамилии и
инициалы авторов, точное название, место издания, издательство, год издания.
Пример: Зотова С. И. Практикум по MS Access. – М.: Финансы и статистика, 2003.
После выполнения контрольная работа сдается в методический кабинет заочного отделения, где регистрируется в журнале контрольных работ.
Далее преподаватель ее проверяет.
Студент должен ознакомиться с результатами проверки работы. Если работе не зачтена,
то контрольная работа забирается студентом на доработку и, после устранения недостатков, вновь регистрируется и сдается в методический кабинет.
Номер варианта выбирается по последней цифре зачетной книжки.
3
ЦИФРА
1
2
3
4
5
ВАРИАНТ
1 вариант
2 вариант
3 вариант
4 вариант
5 вариант
ЦИФРА
6
7
8
9
0
ВАРИАНТ
6 вариант
7 вариант
8 вариант
9 вариант
10 вариант
Номера задач каждого варианта приведены в таблице:
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Номера заданий
31
41
51
32
42
52
33
43
53
34
44
54
35
45
55
36
46
56
37
47
57
38
48
58
39
49
59
40
50
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
Вопросы для самостоятельного изучения:
1. Определение предела. Теоремы о вычислении пределов.
2. Правила вычисления пределов. I замечательный предел.
3. Избавление от неопределенностей вида
0 
, .
0 
4. Производная. Формулы дифференцирования.
5. Правила дифференцирования.
6. Дифференцирование сложной функции.
7. Производные I и II порядков, их приложение.
8. Схема исследования функции с помощью производной.
9. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
10.Формулы интегрирования.
11.Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод замены переменной.
12.Площадь криволинейной трапеции.
13.Дифференциальное уравнение. Определение. Общее и частное решение.
14.Однородное дифференциальное уравнение I порядка.
15.Линейное однородное дифференциальное уравнение II порядка с постоянными
коэффициентами.
16.Случайная величина. Закон распределения случайной величины.
17.Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
4
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ
Упражнение 1. Найти указанные пределы.
Решение:
x 2  6x  5 22  6 * 2  5
3
1

 
1) lim
2
2
x 2 2 x  x  1
2 * 2  2 1
9
3
2
2
2 x  3x  9 2 * 3  3 * 3  9  0 

 
2) lim
x 3 x 2  x  6
32  3  6
0
При подстановке вместо переменно х ее предельного значения 3 получается неопределенность вида  0  . Для избавления от этого типа неопределенности в этом случае пред0
ставим квадратные трехчлены числителя и знаменателя в виде произведения линейных
множителей, воспользовавшись известной формулой
ax 2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ) , где x1 , x2 - корни квадратного трехчлена
3
2
2
ax 2  bx  c . У нас 2 x  3x  9  2( x  3)( x  ) , т.к. дискриминант квадратного
трехчлена D  9  4 * 2 * (9)  81 , а следовательно, x1  3, x2  
3
.
2
Аналогично x  x  6  ( x  3)( x  2) .
Теперь условие примера можно переписать а другом виде и продолжить решение:
3
2( x  3)( x  )
2
2 x  3x  9
2  lim 2 x  3  2 * 3  3  9
lim 2
 lim
.
x3 x  x  6
x3 ( x  3)( x  2)
x3 x  2
3 2
5
2x2  x  4   
  .
3) lim
x  3 x 2  2 x  5
 
Здесь сталкиваемся с неопределенностью вида    , избавиться от которой можно выне2
 
сением за скобки в числителе и знаменателе дроби старшей степени переменной:
1 4
x 2 (2   2 )
2
2x  x  4
x x 2
lim 2
 lim
.
x  3 x  2 x  5
x  2
2 5
x (3   2 ) 3
x x
4) lim
x 0
x sin 2 x
.
tg 2 4 x
В данном случае для освобождения от возникшей неопределенности вида будем использовать I замечательный предел и одно из его очевидных следствий:
sin 
tg
lim
 1; _ lim
1.
 0 
 0 
Решение примера будет выглядеть следующим образом:
5
x sin 2 x
x sin 2 x
1 4 x sin 2 x 4 x 1 1

lim

lim
*
*
*
* 
x0 tg 2 4 x
x 0 tg 4 x * tg 4 x
x 0 4
tg 4 x
2x
tg 4 x 2 8
lim
Упражнение 2. Найти производные, пользуясь правилами и формулами дифференцирования.
Решение:
Кроме формул дифференцирования нужно использовать правила дифференцирования
(суммы, разности, произведения, частного).
Необходима и теорема о производной сложной функции:
если задана сложная функция y  f (u) , где u   (x) , то есть y  f ( ( x)) ; если каждая из функций y  f (u) и u   (x) дифференцируема по своему аргументу, то
y   yu * u x .
1) y  (2 x  3 x  1)  u , u  2 x  3 x  1 ,
5
3
6
3
2
6
5
3
3
2
y  6u u  6(2 x  3x  1) (2 x  3x  1) 
5
5
3
2
5
5
1
9
9
 6(2 x  3x  1) (10 x  x 2 )  6(2 x 5  3 x 3  1) 5 (10 x 4 
x) .
2
2
cos 7 x
y

2)
,
1  3x 4
5
y 
5
4
(cos 7 x) * 1  3x 4  cos 7 x( 1  3x 4 )
( 1  3x )
4
2
 sin 7 x * (7 x) 1  3x 4  cos 7 x

 7 sin 7 x 1  3 x 4 

1  3x 4
cos 7 x1
2 1  3x
1  3x 4
4
1
2 1  3x 4
(12 x 3 )


(1  3x 4 )

 7 sin 7 x(1  3 x 4 )  6 x 3 cos 7 x
(1  3 x 4 ) 1  3 x 4
tgx
3) y  3 sin 5 x
y  (3tgx ) sin 5 x  3tgx (sin 5 x)  3tgx ln 3
1
sin 5 x  5 * 3tgx cos 5 x
2
cos x
4) y  ln arcsin 6 x
1
6
1
1
1
*
y 
(arcsin 6 x) 
*
(6 x) 
arcsin 6 x
arcsin 6 x
arcsin 6 x
1  36 x 2
1  (6 x ) 2
Упражнение 3. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и
начертить график.
Исследование функции и построение графика рекомендуется проводить по следующей
схеме:
1) найти область определения функции D(y);
6
2) найти точки экстремума функции и определить интервалы ее монотонности;
3) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и
вогнутости графика функции;
4) найти асимптоты графика функции;
5) построить график, используя результаты предыдущих исследований;
6) дополнительно найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке  ;   .
Решение:
1
4
Дана функция: y  ( x 3  9 x 2  15 x  9; _   3; _   0
1) Областью определения данной функции являются все действительные значения
аргумента х, то есть D(y): x  (;) , а это значит, что функция непрерывна на
всей числовой прямой и график ее не имеет вертикальных асимптот.
2) Исследуем функцию на экстремум и интервалы монотонности. С этой целью
найдем ее производную и приравняем к нулю:
1
1
y   ( ( x 3  9 x 2  15 x  9))  (3x 2  18 x  15)
4
4
1
(3x 2  18 x  15)  0
4
3x 2  18x  15  0
Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет
две критические точки I рода х1 = -5, х2 = -1. Разбиваем область определения этими
точками на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки
монотонности и наличие экстремума:
(1;)
(;5)
(5;1)
x
-5
-1
f (x)
+
0
0
+
f (x)
max
min





1
(5) 3  9(5) 2  15(5)  9  4
4
1
y min  y (1)  (1) 3  9(1) 2  15(1)  9  4
4
y max  y (5) 


3) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем II производную заданной функции и приравняем ее к
нулю:
1
1
y   ( y )   ( (3x 2  18 x  15))   (6 x  18)
4
4
1
y   0 , т.е. (6 x  18)  0
4
6 x  18  0
x 30
x  3
Итак, функция имеет одну критическую точку 2 рода x  3 . Разобьем область опре-
деления полученной точкой на части, в каждой из которой установим знак II производной:
(;3)
(3;)
x
-3
f (x)
0
+
f (x)
т.п.


7
Значение x  3 является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината
этой точки y (3) 


1
(3) 3  9(3) 2  15(3)  9  0
4
4) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты y  kx  b воспользуемся формулами:
f ( x)
k  lim
; _ b  lim ( f ( x)  kx) .
x 
x 
x
1 3
( x  9 x 2  15 x  9)
1
9
4
 lim ( x 2  9 x  15  )   .
Имеем k  lim
x 
x  4
x
x
Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.
5) Для построения графика в выбранной
системе координат изобразим точки
максимума А1(-5; 4), минимума А2(-1; 4), перегиба А3 (-3; 0) и точку пересе9
чения графика с осью Оу А4 (0;  ). С
4
учетом результатов предыдущих исследований построим кривую.
6) Найдем наибольшее и наименьшее значения заданной функции на отрезке
 3;0 . Для этого посчитаем значения
функции на концах этого отрезка, в
критических точках I рода, попавших на
отрезок, и сравним результаты:
9
y (3)  0; _ y (1)  4; _ y (0)   .
4
f ( x)  4; _ max f ( x)  0 .
Очевидно, что min
3; 0 
3; 0 
Упражнение 4. Задан закон s(t) изменения пути движения материальной точки; нужно
найти значения скорости и ускорения этой точки в момент времени t0.
Решение:
4
3
Пусть s(t )  3t  2t  t  1; _ t 0  2 .
Известно, что значения скорости и ускорения материальной точки в некоторый момент
времени являются соответственно значениями в этот момент I и II производных функции, задающей закон изменения пути движения точки.
4
3
3
2
У нас v  s(t )  (3t  2t  t  1)  12t  6t  1
v(2)  12 * 23  6 * 2 2  1  73 (ед. ск.)
a  v  s(t )  (12t 3  6t 2  1)  36t 2  12t
a(2)  36 * 2 2  12 * 2  120 (ед. уск.)
Упражнение 5. Найти неопределенные интегралы
8
dx
2 x3 3 2
x dx ;
, e
x
б) применяя метод интегрирования по частям  (2 x  8) cos 7 xdx ,  arctg3xdx .
а) способом подстановки (методом замена переменной)  (ln x)

8
Решение:
dx
dx
: применим подстановку t  ln x . Тогда dt  (ln x)dx 
и
x
x
1 9
1
8 dx
8
9
 (ln x) x   t dt  9 t  C  9 (ln x)  C
а)  (ln x)
8
2 x 3 2
 e x dx : применим подстановку t  2x3  3 . Тогда dt  (2x3  3)dx  6x 2 dx ,
3
1
1
1 3
1
2 x 3 3 2
x dx  et dt  et  C  e 2 x 3  C
dt  x 2 dx , откуда e
6
6
6
6
б)  (2 x  8) cos 7 xdx : применим формулу интегрирования по частям  udv  uv   vdu .


1
7
Положим u  2 x  8, _ dv  cos 7 x . Тогда du  2dx, _ v   cos 7 xdx  sin 7 x .
Следовательно,
1
2
1
2
(2 x  8) sin 7 x   sin 7 xdx  (2 x  8) sin 7 x 
cos 7 x  C .
7
7
7
49
3
 arctg3xdx : положим u  arctg3x, _ dv  dx . Тогда du  1  9 x 2 dx, _ v   dx  x .
xdx
Отсюда  arctg3xdx  xarctg3x  3
. Применяя в последнем интеграле подстановку
1  9x2
t  1  9 x 2 , получаем dt  18 xdx , следовательно,
xdx
3 dt 3
3
3


ln
t

C

ln(1  9 x 2 )  C .
2

1  9x
18 t 18
18
3
2
Отсюда  arctg3xdx  xarctg3x  ln(1  9 x )  C .
18
 (2 x  8) cos 7 xdx 
Упражнение 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченную параболами.
y1  2 x 2  x  2; _ y 2   x 2  x  1
Решение:
Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений: 2 x 2  x  2   x 2  x  1 .
Решаем полученное квадратное уравнение:
3x 2  2 x  1  0, _ D  4  4 * 3  16
24
24
1
x1 
 1, _ x 2 
 .
6
6
3
Вычисление площади фигуры осуществляем по
b
формуле S    f 2 ( x)  f 1 ( x)dx , где f1 ( x), f 2 ( x) - криa
вые, ограничивающие фигуру ( f 2 ( x)  f1 ( x)) .
9
В нашем случае


x3
x2
34
S   ( x  x  1)  (2 x  x  2) dx    3x  2 x  1 dx    3  2
 x  |1 1 
(кв. ед.)

3
2
27
1
1


3


1
3

2
2

1


2
3
Упражнение 7. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравне2 xy
ния I порядка y   2
.
x  y2
Решение:
2 xy
Правая часть уравнения f ( x, y )  2
обладает свойством
x  y2
2(x)(y )
f ( x,  y ) 
 f ( x, y ) . Поэтому заданное уравнение является однородным
( x ) 2  ( y ) 2
y
дифференциальным уравнением I порядка. Совершим замену u  , где u - некоторая
x
функция от аргумента х. Отсюда y  ux, _ y  ux  u . Исходное уравнение приобретает
2 x * ux
2u

вид u x  u 2
.
2 2
x u x
1 u2
2u
2u  u 3 u (1  u 2 ) du
u (1  u 2 )
u 

x
Продолжаем преобразования: u x 
;
.
1 u2
1 u2
1 u2
dx
1 u2
(1  u 2 )du dx
 .
Производим разделение переменных:
x
u (1  u 2 )
После интегрирования обеих частей уравнения получаем
1  u 2  2u 2
du
2u 2 du
2u
2
du



ln
u

 u (1  u 2 )
 u  u (1  u 2 )
 1  u 2 du  ln u  ln(1  u )  ln C ;
dx
 x  ln x .
u 

2
 ln x .
Таким образом ln u  ln(1  u )  ln C  ln x ; ln C
2
 1  u 
y
x
u
 x ; Cxy  x .
 x или C
2
Потенцируя, находим C
2
y
x2  y2
1 u
1 2
x
Итак, общий интеграл исходного уравнения приобретает вид
Cy  x 2  y 2 , где С – произвольная постоянная.
Упражнение 8. Найти частное решение линейного однородного дифференциального
уравнения II порядка с постоянными коэффициентами:
а) y   6 y   8 y  0, _ y(0)  1, _ y (0)  2
б) y   8 y   16 y  0, _ y(0)  2, _ y (0)  5
в) y   4 y   13 y  0, _ y( )  0, _ y ( )  1
10
Решение:
а) Для заданного дифференциального уравнения y  6 y  8 y  0 составим соответствующее характеристическое уравнение k 2  6k  8  0 по принципу:
y  k 2 , _ y  k 1  k , _ y  k 0  1 . Решаем полученное квадратное уравнение и получаем два вещественных разных корня k1  2, _ k2  4 .
Т.к. k1  k 2 , то общее решение данных уравнений записывается в виде
y  C1e k1x  C2 e k2 x . В нашем случае y  C1e 2 x  C2 e 4 x , где C1 , _ C2 - произвольные постоянные.
Отсюда y( x)  (C1e 2 x  C2 e 4 x ) , y( x)  2C1e 2 x  4C2 e 4 x .
Используя начальные условия y(0)  1: C1e 2*0  C2 e 4*0  1, т.е. C1  C2  1 .
Из того что y(0)  2 следует 2C1e 2*0  4C2 e 4*0  2 , т.е. 2C1  4C2  2 , C1  2C2  1 .
 C1  C 2  1
, получаем C1  1, _ C2  0 .
C1  2C 2  1
Решая систему уравнений 
Теперь в наше общее решение y  C1e 2 x  C2 e 4 x подставим найденные значения
C1  1, _ C2  0 . Частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным
начальным условиям, приобретает вид y  e 2 x .
б) Для заданного дифференциального уравнения y  8 y  16 y  0 составим соответствующее характеристическое уравнение k 2  8k  16  0 по принципу:
y  k 2 , _ y  k 1  k , _ y  k 0  1 . Решаем полученное квадратное уравнение и получаем два равных вещественных корня k1  k 2  4 .
Т.к. k1  k 2 , то общее решение данных уравнений записывается в виде
y  C1e kx  C2 xe kx . В нашем случае y  C1e 4 x  C2 xe 4 x , где C1 , _ C2 - произвольные
постоянные.
Отсюда y( x)  (C1e 4 x  C2 xe 4 x ) , y( x)  4C1e 4 x  C2 e 4 x  4C2 xe 4 x .
Учитывая начальные условия, получаем систему уравнений для определения
 C1  C 2  2
C1 , _ C2 : 
. Решая систему, получаем C1  1, _ C2  1 .
4C1  C2  5
Искомое частное решение имеет вид: y  e 4 x  xe 4 x  e 4 x ( x  1)
в) Для заданного дифференциального уравнения y  4 y  13 y  0 составим соответствующее характеристическое уравнение k 2  4k  13  0 . Решая это уравнение, убежда-
ем, что оно не имеет вещественных корней.
В этом случае общее решение соответствующего дифференциального уравнения
p
p2
x
x



,


q

, _( p, q записывается в виде y  C1e cos x  C2 e sin x , где
2
4
коэффициенты характеристического уравнения).
У нас   2, _   3 поэтому общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид y  C1e 2 x cos 3x  C2 e 2 x sin 3x .
Отсюда
y( x)  (C1e 2 x cos 3x  C2 e 2 x sin 3x) 
 2C1e 2 x cos 3x  3C1e 2 x sin 3x  2C2 e 2 x sin 3x  3C2 e 2 x cos 3x .
11
Таким образом, для определения значений C1 , _ C2 исходя из начальных условий,

получаем систему уравнений 
C1e 2  0
2
2
2C1e  3C2 e  1
1
решая которую имеем C1  0, _ C2   e 2 .
3
,
Итак, искомое частное решение приобретает вид
1
1
y   e 2 e 2 x sin 3x   e 2( x ) sin 3x
3
3
Упражнение 9. Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения х1 и х2 , причем х1 < х2. Найти закон распределения величины Х, если известно,
что математическое ожидание М (х) = 1,4, дисперсия D (х) = 0,24 и вероятность р1 того,
что Х примет значение х1, равна 0,6.
Решение:
Так как сумма вероятностей всех возможных значений Х равна 1, то вероятность p2 того, что Х примет значение х2, равна p2 = 1 - p1 = 1 – 0,6 = 0,4.
Напишем закон распределения Х:
Х
х1
х2
p
0,6
0,4
Для отыскания х1 и х2 составим два уравнения.
Для составления первого уравнения воспользуемся тем, что математическое ожидание
M(x) определяется по формуле M(x) = х1 р1 + х2 р2 + … + хn рn
В нашем случае: M(x) = х1 р1 + х2 р2
Учитывая, что по условию M(x) = 1,4, можем записать первое уравнение:
0,6х1 + 0,4х2 = 1,4.
Учитывая, что по условию D(x) = 0,24, пользуясь формулой D (х) = M (X2) – [M(X)]2,
напишем второе уравнение:
0,6 х12 + 0,4 х22 - 1,42 = 0,24, или
0,6 х12 + 0,4 х22 = 2,2.
Решив полученную систему уравнений, найдем два решения:
х1 = 1, х2 = 2 и х1 = 1,8, х2 = 0,8.
По условию, х1 < х2, поэтому задаче удовлетворяет лишь первое решение.
Окончательно получим искомый закон распределения:
Х
1
2
p
0,6
0,4
12
ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
В задачах 1-10 найти указанные пределы:
№ 1.
2x 2  x  1
;
2
0 x
 3x  4
а) х0 = 2;
x 2  3x  2
2 ;
0 4  x  3x
а) х0 = - 1; б) х0 = 1;
tg 2 x
sin 3x
б) х0 = - 1; в) х0 = 
2). lim
x 0
в) х0 = 
2). lim
x 0
б) х0 = - 2; в) х0 = 
2). lim
x 0
xtg 3 x
sin 2 2 x
в) х0 = 
2). lim
x0
sin 5 x * tg3x
x2
x 2  5x  4
1) xlim
; а) х0 = - 2; б) х0 = - 1; в) х0 = 
 x0 2 x 2  3 x  5
№ 6.
2). lim
x 0
sin 6 x
tg 2 x
1) xlim
x
№ 2.
1) xlim
x
sin 4 x
2 x cos 3 x
№ 3.
2 x 2  x  10
1) xlim
; а) х0 = 2;
 x0 x 2  3 x  2
№ 4.
x 2  3x  2
1) xlim
;
 x0 14  x  3 x 2
а) х0 = 1;
б) х0 = 2;
№ 5.
4 x 2  5x  1
1) xlim
;
 x0 3 x  x 2  2
в) х0 = 
2). lim
x 0
3 x cos 5 x
sin 3 x
б) х0 = - 2; в) х0 = 
2). lim
x 0
2 x * tg 4 x
sin 2 6 x
а) х0 = - 1; б) х0 = 1;
№ 7.
x 2  5x  6
1) xlim
;
 x0 3 x 2  x  14
а) х0 = 2;
№ 8.
2x2  7x  6
1) xlim
; а) х0 = 1;
 x0 6  x  x 2
в) х0 = 
2). lim
x0
x2  6x  7
; а) х0 = - 2; б) х0 = - 1; в) х0 = 
x  x0 3 x 2  x  2
2). lim
б) х0 = 2;
sin 2 x * tg 4 x
x2
№ 9.
1) lim
sin 8 x
x 0 tg 5 x
№ 10.
3x 2  x  4
1) xlim
; а) х0 = - 1; б) х0 = 1;
 x0 4 x  x 2  3
13
в) х0 = 
2). lim
x 0
4 x cos 7 x
sin 2 x
В задачах 11-20 найти производные, пользуясь правилами и формулами дифференцирования:
№ 11.
№ 16.
4
3
а). y  (3x  4 x  2)
4 x  7tgx
б). y 
1  9x2
№ 12.
а). y  (6 x 2 
б). y 
3
2
2
3
а). y  (3x  2 x  1)
arcsin 3 x
б). y 
1  8x 2
1
 5 x )4
3
x
arcsin 7 x
б). y  4
x  ex
№ 18.
2
4
а). y  ( x  25 x  4)
x3  e x
б). y 
4  9x5
№ 14.
№ 19.
3
 4) 3
x
5
а). y  (3x 
sin 2 x
cos 5 x
б). y 
5
 2) 5
3
x
cos 6 x
sin 3x
№ 20.
а). y  ( x 4  23 x  1) 2
№ 15.
5
5
а). y  ( x  3 x  1)
б). y 
3x 2  4
а). y  ( x 3  44 x 3  2) 3
arctg7 x
б). y 
2  9x2
2
а). y  ( x 
б). y 
cos 3 x
№ 17.
№ 13.
2
а). y  (4 x 
2
 5) 2
4
x
3  5x3
б). y  x
e  ctgx
1  4x
2 x  tgx
2
14
В задачах 21-30 исследовать функцию методами дифференциального исчисления и начертить график:
№ 21
y  2 x3  9 x 2  12 x; _   1; _   3
№ 26
№ 22
№ 27
y  2 x3  3x 2  12 x  5; _   2; _   3
y  x3  6 x 2  9 x  1; _   1; _   2
y  2 x3  9 x 2  12 x; _   1; _   3
№ 23
№ 28
y  x3  3x 2  9 x  10; _   2; _   4
y  2 x3  9 x 2  12 x  7; _   3; _   1
№ 24
№ 29
y  x3  3x 2  9 x  10; _   1; _   2
y  2 x3  15 x 2  36 x  32; _   1; _   4
№ 25
№ 30
y  2 x3  3x 2  36 x  20; _   1; _   4
y  x3  6 x 2  9 x  2; _   0; _   4
В задачах 31-40 задан закон s(t) изменения пути движения материальной точки;
нужно найти значения скорости и ускорения этой точки в момент времени t0:
№ 31
s(t )  2t 4  3t 2  t  2; _ t0  2
№36
s(t )  3t 4  t 2  2t  1; _ t0  1
№ 32
s(t )  3t 4  2t 2  t  1; _ t0  1
№ 37
№ 33
№ 38
s(t )  4t 4  3t 2  t  2; _ t0  2
2
s(t )  4t  3t  2t  1; _ t0  2
s(t )  2t 4  4t 2  5t  1; _ t0  1
№ 34
s(t )  t 4  t 2  3t  1; _ t0  1
№ 39
s(t )  3t 4  t 2  2t  1; _ t0  2
№ 35
№ 40
4
s(t )  4t 4  2t 2  7t  3; _ t0  1
s(t )  2t  2t  t  2; _ t0  2
4
2
15
В задачах 41-50 найти неопределенные интегралы
а) способом подстановки (методом замены переменной),
б) применяя метод интегрирования по частям:
№ 41
а)  cos x sin xdx
№ 46
sin x
dx
cos 2 x
б)  x 3 ln xdx
а) 
б)  ln xdx
№ 42
№ 47
dx
а)  (ln x)
x
б)  (2 x  1) sin 3xdx
3
x2
dx
2x3  3
б)  (3x  7) cos 5 xdx
а) 
№ 43
№ 48
arctgx
dx
1  x2
б)  ( x  1)e 2 x dx
а) 
а)  5 x 4  3 x 3 dx
б)  (12 x  2) sin 3xdx
№ 44
№ 49
2 x 3 1
а)  x e dx
cos x
dx
а)  3
sin x
б)  x cos 2 xdx
б)  3 x ln 2 xdx
№ 50
№ 45
а)  e  x xdx
2
а) 
x3
dx
8x 4  1
б)  x sin 8 xdx
б)  arctg2 xdx
16
В задачах 51-60 вычислить площадь плоской фигуры, ограниченную параболами:
№ 51
y1 
№ 56
y1  2 x 2  6 x  1; _ y 2   x 2  x  1
1 2
1
x  x  1; _ y 2   x 2  3x  6
2
2
№ 52
№ 57
1
1
y1  x 2  x  2; _ y 2   x 2  5 x  9
2
2
y1 
№ 53
№ 58
1
2
y1  x 2  3x  2; _ y 2   x 2  2 x  4
3
3
y1  x 2  5x  3; _ y 2  3x 2  2 x  1
1 2
2
x  2 x  4; _ y 2   x 2  x  6
3
3
№ 59
y1  x 2  2 x  5; _ y 2   x 2  x  1
№ 54
y1  2 x 2  6 x  3; _ y 2   x 2  x  5
№ 60
№ 55
y1  3x 2  5x  1; _ y 2   x 2  2 x  1
y1 
1 2
3
x  2 x  5; _ y 2   x 2  x  1
4
4
В задачах 61-70 найти общее решение (общий интеграл) дифференциального
уравнения I порядка:
№ 61
x  8y
y 
8x  y
№ 66
y 
№ 62
xyy   x 2  y 2
y
y
 sin
x
x
№ 67
xyy   x 2  y 2
№ 63
x y
y 
x y
№ 68
( x  y) y   2 x  y
№ 69
№ 64
xy   y ln 2
y
xy   xtg  y
x
y
0
x
№ 70
№ 65
xy  ln
y
xy   y ln  0
x
17
y
y
 x  y ln
x
x
Задания 71-80 необходимо решить применяя основы теории вероятности.
№ 71.
а) Сколькими способами из группы, включающей 25 учащихся, можно выбрать актив
группы в составе старосты и профорга?
б) В урне находится 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают 2 шара.
Какова вероятность того, что оба шара красные.
№72.
а) Найти количество всех трехзначных чисел, состоящих из чисел 1,2,3,4,5.
б) Набирая номер телефона, абонент забыл три последние цифры, и помня только, что они
различны, набрал их наудачу. Какова вероятность, что он набрал нужные цифры.
№73.
а) Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек.
б) К концу дня в магазине осталось 60 арбузов, из которых 50 спелых Покупатель выбирает 2 арбуза. Какова вероятность, что оба арбуза спелые?
№74.
а) Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд в однокруговом чемпионате?
б) Девять книг, из которых 4 одинаковые, а остальные различны, расставлены наудачу на
одной полке. Найти вероятность того, что эти 4 книги окажутся поставленными рядом.
№75.
а) В третьем классе изучается 10 предметов. В понедельник 4 урока. Сколькими
способами можно составить расписание на этот день?
б) В партии из 24 деталей 6 бракованных. Из партии выбирают наугад детали. Найти вероятность того, что они все будут бракованными.
№76.
а) Сколькими способами можно из 20 человек назначить двух дежурных, из которых один
старший?
б) Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В тираже участвуют 6 чисел. Какова вероятность того, что будет верно угадано 4 числа?
№77.
а) В подразделении 30 солдат и 3 офицера. Сколькими способами можно выделить патруль, состоящий из 3 солдат и одного офицера?
б) Из группы, состоящей из 10 юношей и 8 девушек, выбирают по жребию дежурных. Какова вероятность того, что все выбранные окажутся юношами?
№78.
а) Из 8 различных цветков нужно составить букет так, чтобы в него входило не менее 2
цветков. Сколько существует способов для составления такого букета?
б) Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Вычислить вероятность того, что студент
знает 2 вопроса из билета.
№79. а) Сколькими способами можно выбрать четырёх человек на четыре различные
должности из девяти кандидатов на эти должности?
б) В лотерее из 50 билетов 8 выигрышных. Какова вероятность того, что 4 наугад выбранных билета будут выигрышными?
№80.
а) Из 7 бегунов и 3 прыгунов нужно составить команду из 5 человек, в которую должен
входить хотя бы один прыгун. Сколькими способами это можно сделать?)
б) В партии из 10 деталей имеются 3 нестандартных. Найти вероятность того, что 3 наудачу взятые детали будут стандартными.
В задачах 81-90 найти закон распределения дискретной случайной величины,
если известно, что: дискретная случайная величина Х может принимать только два значения х1 и х2 , причем х1 < х2; известна вероятность р1 возможного
значения х1, математическое ожидание М (х) и дисперсия D (х):
№ 81
p1 = 0,1;
M(x) = 3,9;
D(x) = 0,09;
№ 82
p1 = 0,3;
M(x) = 3,7;
D(x) = 0,21;
№ 83
p1 = 0,5;
M(x) = 3,5;
D(x) = 0,25;
№ 84
p1 = 0,7;
M(x) = 3,3;
D(x) = 0,21;
№ 85
p1 = 0,9;
M(x) = 3,1;
D(x) = 0,09;
№ 86
p1 = 0,9;
M(x) = 2,2;
D(x) = 0,36;
№ 87
p1 = 0,8;
M(x) = 3,2;
D(x) = 0,16;
№ 88
p1 = 0,6;
M(x) = 3,4;
D(x) = 0,24;
№ 89
p1 = 0,4;
M(x) = 3,6;
D(x) = 0,24;
№ 90
p1 = 0,2;
M(x) = 3,8;
D(x) = 0,16.
19
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов. – М.: Наука. Гл. ред. Физ.мат. лит.,
1990 – 576 с.: ил.
2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2. - М.: ООО
"Издательство Оникс", 2006. - 416 с.
3. Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов. - М.: Дрофа, 2006. - 395 с.
4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высш. шк., 2002. 495 с.
5. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. - М.: Дрофа, 2003. - 208 с.
6. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов - М.: ЮНИТИ, 2002. - 471 с.
7. Пехлецкий И.Д. Математика. - М.: Издательский центр "Академия", 2002. - 304
с.
8. Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов. М.: ООО "Издательский дом "ОНИКС 21 век", 2003. - 464 с.
20