Табличное умножение и деление: Методика изучения

Табличное умножение и деление
1. Задачи изучения табличного умножения и деления.
2. Различные подходы к изучению табличного умножения и деления.
3. Подготовка к изучению табличного умножения и деления
4. Методика изучения табличного умножения и деления.
5. Приемы запоминания таблиц умножения и деления.
1. Задачи изучения табличного умножения и деления
Изучение таблицы умножения является центральной задачей обучения математике.
К табличному умножению относятся случаи умножения однозначных натуральных
чисел на однозначные натуральные числа, результаты которых находятся на основе
конкретного смысла действия умножения (находят суммы одинаковых слагаемых).
Результаты табличного умножения в соответствии с требованиями программы к
знаниям и умениям дети должны знать наизусть.
Центральной задачей темы является формирование навыков табличного
умножения и деления.
2. Различные подходы к изучению табличного умножения и деления
1-ый подход к изучению табличного умножения.
Первые приемы составления таблиц умножения связаны со смыслом действия умножения.
Результаты этих таблиц получают последовательным сложением одинаковых слагаемых.
2+2
2∙2
2+2+2
2∙3
2+2+2+2
2∙4
2+2+2+2+2
2∙5
Расположенный рядом рисунок помогает ребенку получить результат пересчетом фигур.
При небольших значениях множителей прием присчитывания для получения табличного
значения произведения вполне приемлем, и учитель им часто пользуется при получении
результатов таблиц значений умножения чисел 2,3,4.Приведенный пример показывает,
что этот прием показывает, что этот прием удобен лишь при небольших значениях
второго множителя.
Для значений второго множителя больше 5, удобнее использовать для получения
результатов табличных значений другой прием: прием прибавления к предыдущему
результату.
Например:
2∙6=2∙5+2=
2∙7=2∙6+2
и т.д.
Следующим приемом, на основе которого составляется таблица умножения чисел,
является прием перестановки множителей. На этой основе составляется таблица
умножения на 2.
Две таблицы деления составляются из первой таблицы с помощью правила нахождения
множителя по произведению и другому множителю.
Аналогичным образом составляются и другие таблицы умножения и деления.
2-ой подход к изучению табличного умножения.
1. Составление и усвоение таблиц умножения (деления) органически включается в
содержательную линию курса. В связи с этим в учебнике нет заголовков «Умножение на
2» и т.д. Табличные случаи умножения учащиеся усваивают в процессе изучения смысла
умножения, переместительного свойства умножения, понятия «увеличить в несколько
раз» и тем «Площадь фигуры», «Измерение площади», «Сочетательное свойство
умножения». Это позволяет предложить детям интересные содержательные упражнения,
выполнение которых способствует непроизвольному запоминанию таблицы умножения.
1
Результаты работы по формированию табличных навыков умножения подводятся к теме
«Таблица умножения», где учащимся дается задание, при выполнении которого они могут
проверить, как каждый из них усвоил таблицу умножения.
Т.о, сначала формируются навыки табличного умножения. При этом работа, связанная с
составлением и усвоением таблицы умножения, распределяются по времени. При
формировании навыков табличного деления выполняются те же условия. А именно:
усвоение табличного деления распределено по времени и органически включается в
содержательную линию курса.
Для этой цели в процесс усвоения смысла деления, правил о взаимосвязи компонентов и
результатов действий умножения и деления, при изучении понятия «увеличить в
несколько раз» и кратного сравнения включены задания на деление чисел, при
выполнении которых учащиеся используют таблицу умножения.
2. Составление и усвоение таблицы умножения и деления начинается со случаев
умножения числа 9. Это позволяет учащимся не только упражняться в сложении и
вычитании чисел с переходом через десяток (заменяя произведение суммой), но и
сосредоточить внимание на сложных для запоминания случаев табличного умножения
9∙8, 9∙7, 9∙6, по отношению к которым дается установка на запоминание.
3.Учитывая, что не все дети могут непроизвольно запоминать таблицу умножения в
процессе выполнения обучающих заданий в учебнике, в определенной системе даются
установки на запоминание трех-четырех табличных случаев. При этом установка на
запоминание таблицы ориентирована не на последовательное увеличение второго
множителя (9∙2, 9∙3, 9∙4, 9∙5 и т.д.), а на запоминание определенных табличных случаев.
Например, первая «порция», рекомендуемая для запоминания в таблице умножения
числа9, включает случаи: 9∙5, 9∙6, 9∙7. В качестве опорного может выступать случай 9∙5.
От него учащиеся легко переходят к случаям 9∙4 и 9∙6.
Вторая «порция», рекомендуемая для запоминания, включает случаи: 9∙2, 9∙3, 9∙4. Здесь
внимание учащихся акцентируется на случае 9∙3. И, наконец, последняя «порция»
включает случаи 9∙8 и 9∙9, где в качестве опорного может выступать случай 9∙7.
Таким образом, данная методика формирования навыков табличного умножения
позволяет учесть индивидуальные особенности памяти каждого ребенка, создавая условия
как для непроизвольного, так и для произвольного запоминания таблицы и активизируя
при этом смысловую память.
Положительную роль играет тот факт, что таблица умножения числа 9 является самой
большой по объему и все случаи этой таблицы включаются в установку: «Постарайся
запомнить».
Т.к. знакомство с переместительным свойством умножения и его использование при
составлении таблицы умножения сокращает объем последующих таблиц, то один
табличный случай содержится в таблице умножения числа 2 (2∙2=4). Два случая- в
таблице умножения числа 3 ( 3∙3, 3∙2). Таблица умножения числа 4 содержится случаи:
4∙4,4∙3,4∙2. Запоминание этого материала не вызывает у детей затруднений.
Если же учащиеся затрудняются при вычислении значений произведений 2∙6, 2∙7,2∙8, то
используя переместительный закон умножения, они получают произведения, которые
были включены в установку на запоминание: 6∙2,7∙2,8∙2.
4. Для организации самостоятельной работы учащихся, целью которой является усвоение
таблицы умножения, каждый случай табличного умножения рекомендуется фиксировать
на карточке: на одной стороне выражение, например, 9∙3, а на другой его значение 27.
Целесообразно на отдельные карточки занести и случаи 3∙9, так как в конечном итоге
ставится задача усвоения одного и другого случая на уровне навыка.
2
Аналогично следует поступить со всеми случаями табличного деления. Это поможет
учащимся действовать самостоятельно при запоминании табличных случаев умножения и
деления и осуществлять самоконтроль.
3. Подготовка к изучению табличного умножения и деления
Составлению таблиц умножения и деления предшествует подготовительная работа,
включающая рассмотрение следующих вопросов:
- смысл действий умножения и деления; (См лекцию №3)
- названия компонентов действий и их результатов;
- переместительное свойство умножения;
- взаимосвязь между компонентами и результатами действия умножения.
4. Методика изучения табличного умножения и деления
Первые приемы составления таблиц умножения связаны со смыслом действия
умножения. Результаты этих таблиц получают последовательным сложением одинаковых
слагаемых.
Например: Умножение числа 2
2+2
2•2
2+2+2
2•3
2+2+2+2
2•4
2+2+2+2+2
2•5
Расположенный рядом рисунок помогает получить результат пересчетом фигурок.
При небольших значениях множителей прием присчитывания для получения табличного
значения произведения вполне приемлем, и учитель им часто пользуется при получении
результатов таблиц значений умножения чисел 2, 3, 4. Приведенный пример показывает,
что этот прием удобен лишь при небольших значениях второго множителя.
При значении второго множителя больше 5, удобнее использовать для получения
результатов табличных значений другой прием: прием прибавления к предыдущему
результату.
2•6=2•5+2=
2•7=2•6+2=
2•8=2•7+2=
2•9=2•8+2=
Следующий прием, на основе которого составляют таблицы значений умножения
чисел - прием перестановки множителей.
На основе правила перестановки
множителей составляется таблица умножения на 2.
2•2=4
2•3=6
3•2=
2•4=8
4•2=
2•5=10
5•2=
2•6=12
6•2=
2•7=14
7•2=
2•8=16
8•2=
2•9=18
9•2=
Составление двух первых таблиц дает возможность сокращать количество случаев для
запоминания: для запоминания количество случаев в таблице умножения двух-8, трех-7,
четырех-6,пяти-5, шести-4 , семи-3 , восьми-2 , девяти-1. Наибольшее количество случаев
содержит наиболее легкая для запоминания таблица умножения числа 2. а наиболее
трудная для запоминания таблица умножения числа 9 содержит всего один случай.
3
Таблицы деления составляются на основе взаимосвязи умножения и деления с
использованием правила нахождения неизвестного множителя.
2•2=4
4:2=
2•3=6
3•2=
6:2=
6:3=
2•4=8
4•2=
8:2=
8:4=
2•5=10
5•2=
10:2=
10:5=
2•6=12
6•2=
12:2=
12:6=
2•7=14
7•2=
14:2=
14:7=
2•8=16
8•2=
16:2=
16:8=
2•9=18
9•2=
18:2=
18:9=
Алгоритм изучения умножения чисел первого десятка
1. Изготовление на интегрированном уроке математики и технологии изделий для
составления задач и построения их предметных моделей.
2. Коллективное составление и запись учителем на доске ТУ числа (от 1 до 10) с
использованием «Абака».
3. Анализ таблицы, поиски «узелков на память» с опорой на наглядность и теоретические
знания.
4. Подведение итогов запоминания.
5. Проверка и закрепление столбика ТУ.
6. Построение предметной (рисунки), знаковой (выражения) и графической (домик из
«Города умножения») модели умножения числа в «Волшебной тетрадочке».
Использование созданных моделей для организации игры «Школа», осуществления
взаимопроверки, самопроверки и оценки знаний.
7. Проверка учителем знания каждым учеником ТУ определенного числа при помощи
«Цветовой сигнальной ленты» и «Цветовых сигнальных карточек».
8. Подведение итогов.
При изучении ТУ остальных чисел первого десятка используются и другие пособия,
поэтому структура алгоритма будет расширена.
Последовательное, целенаправленное использование наглядных пособий определяет
структуру алгоритма и обеспечивает эффективность изучения ТУ.
Реализация алгоритма в технологииизучения умножения числа 1
1. Изготовление на интегрированном уроке математики и технологии изделий для
составления задач и построения их предметных моделей.
До непосредственного составления ТУ числа 1 на интегрированном уроке математики и
технологии, используя способ симметричного вырезания из бумаги, изготавливаются
изображения предметов. Например, учащиеся 1-го варианта вырезают «елочку» из
треугольника, 2-го — «яблоко» из квадрата (рис. 4.9).
Рис. 4.9. Изготовление изделий для построения предметных моделей
Для этого детям раздаются геометрические фигуры разного цвета и размера.
4
Затем из вырезанных изделий составляются предметные модели.
Пример.
Модель 1. 6 учеников вырезали по 1 маленькой елочке. Сколько всего маленьких елочек
они вырезали?
Модель 2. 4 яблока нужно разложить по 1 на блюдца. Сколько понадобится блюдец?
2. Коллективное составление и запись учителем на доске
ТУ числа 1 с использованием «Абака»
Учитель выдвигает верхнюю полоску «Абака» (появляется кружочек) и говорит: «По 1
взять 1 раз, получится 1» и записывает на доске. Далее запись ведется под диктовку
учащихся.
3. Анализ таблицы, поиски «узелков на память» с опорой на наглядность и
теоретические знания (рис. 4.10).
При анализе составленных таблиц используются следующие обозначения: легкие случаи
умножения обводятся рамочкой-, более трудные — ломаной линией П и трудные — ∟
уголком.
При умножении числа 1 учащиеся заметили, что значение произведения равно числу, на
которое умножаем, т.е. II множителю.
Знание этого правила и является «узелком на память», следовательно, все значения
произведений можно отнести к легким случаям, т.е. обвести рамочкой.
Рис. 4.10. Оформление доски к уроку «Умножение числа 1»
4. Подведение итогов запоминания. Учащиеся делают вывод о том, что они знают
правило, по которому можно найти произведение умножения числа 1 на любое число.
5. Проверка и закрепление столбика таблицы. Учитель с доски вытирает значения
произведений, оставив обозначения, показывает вперемешку выражения, а учащиеся
хором называют их значения.
6. Построение предметной (рисунки), знаковой (выражения) и графической (домик из
«Города умножения») моделей умножения числа 1 в «Волшебной тетрадочке». Их
использование для организации игры «Школа», осуществления взаимопроверки,
самопроверки и оценки знаний.
«Волшебная тетрадочка» изготавливается из ученической тетради. На изучение
умножения каждого числа первого десятка отводится 1 лист. Каждый следующий лист
должен быть на 2 клетки шире предыдущего и на 1 — длиннее его.
5
Рис. 4.11. Заполнение первой страницы.
Общий вид «Волшебной тетрадочки» (после заполнения 10 листов)
Изготовление и использование пособия Волшебная тетрадочка.
Заполнение первой страницы «Волшебной тетрадочки
Построение предметной и знаковой модели таблицы умножения числа 1:
 рисуем, например, 1 яблоко, пропускаем вправо 2 клетки и записываем первое
выражение 1 x 1 = ;
 пропускаем 3 клетки (для того, чтобы при самопроверке надеть полоску шириной
3 клетки) и обозначаем линию сгиба;
 от нее пропускаем 2 клетки вправо и обозначаем вертикальную линию отреза;
 сначала делаем линию сгиба, а затем отрезаем лишнюю часть листа (от нее будет
отрезать полоски шириной 3 клетки для самопроверки);
 значение произведения первого выражения записываем после линии сгиба — 1;
 опять рисуем яблоко (их уже 2), записываем выражение 1 x 2 =, после линии сгиба
— его значение — 2 и т.д.
Так строится предметная (рисунки) и знаковая (столбик равенств) модели умножения
числа 1.
Затем учитель рассказывает «Сказку о Злом волшебнике и фее Радуге».
«Давным-давно, чтобы легче было считать, люди придумали таблицу умножения. Она им
помогала в строительстве прекрасных дворцов, в создании сложных машин, в торговле…
и жизнь становилась всё радостнее, что было не по душе Злому волшебнику. Долго он
думал, как навредить людям, и придумал: “Уничтожу я одно из самых главных их знаний
— таблицу умножения. Вот пусть попробуют без нее обойтись”. Нагнал он грозовые
тучи, засверкали молнии, и хлынул зловещий дождь, который смыл все таблицы
умножения из учебников, тетрадей и, самое страшное, из памяти людей. И сразу же
испортились все компьютеры, остановилась работа на стройках, перестали работать
заводы, в магазинах образовались огромные очереди, ученики второго класса не могли решить задачи и перейти в третий класс. Загоревали люди, а Злой волшебник обрадовался и
улетел в дальние края. Но вскоре дождь закончился. Небо посветлело, вдали появился
дворец, а над ним —радуга. Из дворца вышла фея Радуга. Сопровождали ее пажи,
которых звали Красный цвет, Желтый цвет и Синий цвет. “Не печальтесь, люди, —
казала фея, — Я спрятала ваше драгоценное знание в этом прекрасном городе. Ищите
его!”»
Учитель показывает демонстрационную таблицу «Город умножения» (рис. 4.12) и
спрашивает: «В каком домике спряталась таблица умножения числа 1?». Учащиеся
догадываются и называют домик 12.
6
Рис. 4.12. Наглядное пособие «Город умножения»
В «Городе умножения» — 10 разноцветных домиков. Количество этажей в каждом из
них зависит от умножаемого числа. Домики с нечетными номерами расположены слева от
дорожки, а с четными — справа. Окрашены они следующим образом: № 1 — белый,
одноэтажный; № 2 — красный, двухэтажный; № 3 — оран- жевый, трехэтажный и т.д.
Над домиками расположены цифры от 1 до 10 для ориентировки по вертикали — «по
подъездам». Справа — десятки для ориентировки по горизонтали. Число десятков
соответствует номеру этажа (10 — это 1 десяток — 1-й этаж, 20 — это 2 десятка —
2-й этаж, 80 — 8-й этаж и т.д.). Этажи растут сверху вниз, как в Подземном царстве,
потому что мы, как правило, считаем сверху вниз и слева направо. Рекомендации по
изготовлению «Города умножения».
За структурную единицу построения пособия взят квадрат. В «Волшебной тетрадочке»
это клетка тетради, в демонстрационном — квадрат со стороной не менее 2 см. Домик № 1
можно просто расчертить на квадраты и наклеить в середине черные кружочки диаметром
1 см.
При изучении ТУ остальных чисел домики можно выполнить в виде аппликации. Так, в
домике № 2 чередуются светло-красные и темно-красные прямоугольники, состоящие из 2
квадратов.
В домике № 3 прямоугольники светло-оранжевого и темно- оранжевого цвета, состоящие
из 3 квадратов и т.д. В последних квадратах наклеиваются кружочки. По их
месторасположению в домике определяется значение произведения. Например,
по 3 взять 4 раза. Первый множитель — 3. Значит, значение произведения находится в
оранжевом домике. 4-й кружочек расположен на втором этаже, во 2-м подъезде, т.е. в 12-й
клетке — значение произведения — 12 (рис. 4.13).
Рис. 4.13. Графическая модель умножения чисел 2 и 3
На первых порах, пока дети учатся умножать числа 1, 2, 3, работа ведется под
руководством учителя: он записывает часть равенств и рисует домик на доске, потом —
самостоятельно.
Построить графическую модель умножения числа 1 можно в «Волшебной тетрадочке»
(рис. 4.11, домик № 1).
7
Отступив от последнего равенства 3 клетки, строится домик. Высота его равна 1 клетке, а
длина — 10 клеткам. Итак, мы построили домик, в котором будут жить значения
произведений от умножения числа 1. Теперь нужно их расселить. Учитель обводит
указкой 1 клетку, говорит: «По одной клеточке взять 1 раз, получится… (1) и записывает 1
в первой клетке.
Затем он обводит 2 клетки и продолжает: «По одной клеточке взять 2 раза, получится …
(2) и записывает во второй клетке и т.д.
Затем учащиеся обводят клеточки по воздуху, шепотом проговаривают выражение (по 1
взять 1 раз) и записывают его значение в первой клетке; обводят по воздуху 2 клетки,
проговаривают (по 1 взять 2 раза), записывают 2 и т.д.
Для взаимопроверки знаний используется игра в паре «Школа». Один ученик —
«учитель» — показывает выражения в столбике, например, 1 x 3, а другой — «ученик» —
показывает его значение в «домике» — 3. Ответы на полоске тетради до игры
подгибаются вниз. «Учитель» оценивает знания «ученика». Дети меняются ролями и
играют снова.
Организовать работу по самопроверке знаний можно следующим образом. Из оставшейся
части листа вырезаем полоску шириной 3 клетки. Сгибаем пополам и надеваем на листок
после знака равно. Полоску тетрадочки с готовыми ответами подгибаем. Записываем на
наложенной полоске значения выражений, полоску тетради отгибаем, ответы сверяем и
работу оцениваем, например, смайликом.
Итак, вся предыдущая работа была направлена на понимание и запоминание ТУ по
порядку. На этом технологию изучения умножения чисел (1, 2, 3, и т.д.) следует прервать,
для того чтобы ТУ улеглась в памяти по порядку. Для ее закрепления нужно
порекомендовать поиграть дома в «Школу» и проверить свои знания с помощью полоски,
перевернув ее на другую сторону.
Следующий урок можно начать с игры в «Школу» или самопроверки, а далее продолжить
работу с «Волшебной тетрадочкой».- Подготовка второй странички листа к работе
Учитель. Переверните листок и поверните тетрадь так, чтобы верх тетради оказался
внизу, — говорит учитель. — Снова линия сгиба окажется справа. На этой страничке дети
должны записать столбик таблицы вперемешку и опять провести взаимопроверку,
самопроверку и оценку знаний.
— Раз тетрадь перевернули, то и работать будем «наоборот», — говорит учитель.
Построение графической и предметной модели ТУ числа 1
— Сначала внизу построим одноэтажный домик и выделим квартиры для произведений
числа 1, т.е. поставим точки там, где они должны быть записаны. Учащиеся диктуют
хором: «Один, два, три… десять». Учитель ставит эти точки в домике, нарисованном на
доске. Затем учащиеся ставят их в своих тетрадях.
— А сейчас представьте, что первым «приехало» в свою квартиру произведение 5
(произведения выбираются произвольно). Записываем вместо точки 5. Скучно пятерке в
пустом домике. Пошла она погулять по дорожке (по отмеченной линией сгиба
полоске) вверх и остановилась в самом ее конце. Пишем 5. Пропустив 3 клетки от линии
сгиба влево, пишем множители этого произведения — 1 x 5.
— Какое произведение приедет вторым? (2) Записываем его вместо точки. Пошло и оно
гулять по дорожке. Дети записывают на полоске 2 под 5 и множители — 1 x 2 и т.д.
Таким образом, они запишут все равенства вперемешку, ни одного не пропустив и ни
одного не записав дважды (рис. 4.14).
Для того чтобы понятнее было расположение информации на второй странице, даем ее
рядом с первой страницей второго листа (рис. 4.15).
Так учащимися создается индивидуальное наглядное пособие, в котором полученные
знания хранятся в предметных, знаковых и графических моделях. Для проверки знаний
8
«Цветовая сигнальная лента» вывешивается на доске, и рядом с карточками по порядку
записываются значения произведений 2, 3, …, 9 (см. рис. 4.11). Учитель называет
выражение, например по 1 взять 4 раза, а ученики показывают ту карточку, рядом с
которой написано 4. Таким образом, в течение одной минуты учитель проверяет знание
каждым учеником ТУ числа 1.
Рис. 4.15. Индивидуальное наглядное пособие
«Волшебная тетрадочка» (вторая страница первого листа и первая — второго).
Рис. 4.14. Образец заполнения второй страницы первого листа
5. Приемы запоминания таблицы умножения.
Большой объем материала, требующего заучивания наизусть, сложность в
образовании ассоциативных связей при запоминании взаимосвязанных случаев,
необходимость достижения всеми детьми прочного запоминания всех табличных случаев
наизусть в установленные программой сроки-все это делает тему табличного умножения в
начальных классах одной из наиболее методически сложных. В связи с этим важными
являются вопросы, связанные с приемами запоминания ребенком таблицы умножения.
1.Прием счета двойками, тройками и т.д.
Прием обучения двойками, тройками и т.д. применяется до знакомства с действием
умножения. Методически целесообразно применять этот прием уже в первом классе.
Обучение ребенка свободному счету группами является подготовительным приемом к
знакомству с умножением и таблицей умножения. Технологически этот прием
соответствует приему заучивания состава однозначных чисел до знакомства с таблицей
сложения в первом классе. При хорошем усвоении таких способов счета ребенку легко
9
освоить таблицы умножения чисел 2,3 и 5. Знание этого базового объема табличных
случаев поможет ребенку при освоении более сложных случаев.
2. Прием последовательного сложения.
Прием последовательного сложения одинаковых слагаемых является основным
приемом получения результатов табличного умножения. Данный прием связан со
смыслом действия умножения как сложения одинаковых слагаемых. Прием
последовательного сложения продолжает оставаться достаточно удобным даже при
вычислении табличных случаев умножения чисел 7,8 и 9, при небольших значениях
второго множителя (83, 92).
3. Прием прибавления слагаемого к предыдущему результату (вычитания из
предыдущего результата).
Данный прием является вторым основным приемом получения результатов
табличного умножения. Используется в том случае, если ребенок смог выучить, хотя бы
несколько случаев из каждой таблицы. Так, случай 67 является наиболее трудно
запоминаемым случаем. В то время как 66 и 68 запоминаются легко. Запомнив 66=36,
ребенок может использовать прием прибавления 6 к предыдущему результату. 36+6=42.
Или 68=48, вычесть 6.
4. Прием взаимосвязанной пары.
При хорошем понимании правила перестановки множителей ребенок заучивает в два раза
меньше случаев табличного умножения, чем содержит полная таблица. Используя
перестановку множителей, все остальные случаи можно получать из имеющихся.
2∙3=63∙2=6
5.Прием запоминания последовательности случаев с ориентиром на возрастание
второго множителя.
Этот прием активно реализован в традиционном учебнике по математике для 2 и 3
классов, где табличные случаи предлагаются ребенку на уроке «серией»:
3∙2 3∙3 3∙4 3∙5
Эту же «серию» учитель предлагает детям для заучивания к следующему уроку. На
следующем уроке изучается новая «серия»:
3∙6 3∙7 3∙8 3∙9
Эта же «серия» предлагается детям для заучивания. В каждой серии задано
последовательное увеличение второго множителя. Ребенок фиксирует серию как
виртуально, так и мнемонически (учит на память, глядя на запись). В результате может
получиться парадоксальный результат: от начала до конца, т.е. подряд ребенок «серию»
воспроизводит, а отдельные случаи вразбивку восстанавливать не может.
6. Прием «порции».
Этот прием активно реализован в учебнике математики для 2 и 3 классов автора Н.Б.
Истоминой. Для заучивания ребенку предлагается «порция», состоящая из 2-3 случаев, но
не по принципу возрастания второго множителя. Например, «порция» состоит из трех
случаев: 9∙5,9∙6, 9∙7. Первым для заучивания предлагается случай 9∙6, а от него используя
прием 3, ребенок переходит к случаям 9∙5 и 9∙7. В следующий раз «порция» снова
содержит три случая 9∙4, 9∙3 , 9∙2. Здесь опорным случаем является случай 9∙3.
7. Прием запоминающегося случая в качестве опорного.
Например,5∙6=30, значит 5∙7=30+5=35.
Прием является производным от приема 3. Используются легко запоминающиеся случаи:
65, 68, 54, 59, 77, 66. 55 и т.п. Применяя затем прием прибавления или вычитания первого
множителя, ребенок получает нужные результаты.
8.Прием внешней опоры.
В качестве опоры используется рисунок или прямоугольная таблица чисел. Детям,
которые обладают плохой механической памятью, можно на первых порах предложить
10
использовать клетчатое поле тетради. Обводя на клетчатом поле прямоугольник с
заданным количеством клеток в сторонах, ребенок использует эту модель для контроля
полученного результата или просто подсчитывает клетки как умеет.
Например:
4∙
4∙5=20
Задание: Найди результаты умножения и проверь себя по рисунку:
2∙3=6
3∙2=6
2∙4=8
4∙2=8
2∙5=
5∙2=
2∙….
6∙2=
В качестве внешней опоры может также использоваться прямоугольная таблица чисел,
позволяющая получить результаты умножения в пределах 100. Такая таблица часто
помещается на последней обложке тетрадей в клетку:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
4
6
8
10
12
14
16
18
3
6
9
12
15
18
21
24
27
4
8
12
16
20
24
28
32
36
5
10
15
20
25
30
35
40
45
6
12
18
24
30
36
42
48
54
7
14
21
28
35
42
49
56
63
8
16
24
32
40
48
56
64
72
9
18
27
36
45
54
63
72
81
9.Прием запоминания таблицы «с конца».
Прием активно реализован в учебнике Н.Б.Истоминой. Он рекомендуется при работе с
детьми , плохо запоминающими большие объемы информации. В этом случае установка
на запоминание ребенку дается порциями, начиная с самых сложных случаев: 9∙9, 9∙8, 9∙7.
Таким образом, ребенок с ограниченным объемом запоминания запомнит сначала самые
сложные случаи, а более легкие случаи таблицы чисел 2,3 и 4 он может получать приемом
сложения одинаковых слагаемых или любым другим приемом.
10. Пальцевый счет при запоминании таблицы умножения.
Прием пальцевого счета при получении значений табличного умножения мало
известен среди учителей начальных классов, хотя является одним из древнейших
11
вычислительных приемов. Следует заметить, что многие учителя не признают
правомочности приемов пальцевого счета при изучении табличного сложения и
табличного умножения, придерживаясь мнения, что их результаты необходимо учить
наизусть. На самом деле многие дети не могут твердо освоить весь объем таблицы
умножения именно по причине неумения использовать приемы, помогающие ее
освоению. Выучить всю таблицу наизусть могут не все дети. Учителя математики знают,
что и среди школьников средних и даже старших классов имеется достаточное количество
детей, плохо знающих таблицу умножения.
Для детей младщего школьного возраста с преобладающим кинестезическим
восприятием и кинестезической памятью прием пальцевого счета при освоении таблицы
умножении может быть рекомендован как вспомогательный. Для того, чтобы его
эффективно использовать, следует знать результаты табличного умножения в пределах
таблицы умножения числа 4.
Например, нужно умножить 6 на7. Зажимаем пальцы на обеих руках в кулак, а
затем на каждой руке отгибаем столько пальцев, на сколько каждый множитель больше
чем пять. На двух руках отогнуто три пальца – это число десятков в искомом числе. На
одной руке остались прижатыми к ладони три пальца, на другой – четыре пальца. Эти
числа перемножаем 3∙4=12 и прибавляем к числу имеющихся десятков. 30+12=42. Ответ:
6∙7=42.
Еще один пример: умножим 8 на 9. Отгибаем на одной руке 3 пальца, а на другой
4пальца (на столько каждый множитель больше, чем 5). Отогнуто 7 пальцев – это десятки
в искомом числе. Перемножаем число загнутых пальцев обеих рук: 2∙1=2. Прибавляем
это количество к числу десятков 70+2=72. Т.о. 8∙9=72.
11. Мнемонические приемы заучивания таблицы умножения.
Мнемонические приемы при заучивании таблицы умножения сходны с приемами
заучивания иностранных слов. Это могут быть карточки с записями табличных случаев,
которые ребенок носит в кармане и просматривают при любом удобном случае (в
транспорте, в очереди и т.п.). Карточки лучше делать двусторонними: с одной стороны
табличный случай, а с другой – ответ.
Карточки с записью «порции» для заучиванию можно развешивать в местах, где
ребенок их чаще увидит: над его столом, в ванной у зеркала, в кухне и т.п.
В любом случае следует учесть, что процесс должен быть распределен во времени,
требует многократного повтора и подкрепления любыми из приведенных выше приемов,
облегчающих заучивание таблицы.
12. Использование таблицы с цветовым кодом
Приемы запоминания таблицы деления.
1.Прием, связанный со смыслом действия деления.
При небольших значениях делимого и делителя ребенок может либо произвести
предметные действия для непосредственного получения результата деления, либо
выполнить эти действия мысленно, либо использовать пальцевую модель.
Например: на два окна расставили поровну 10 горшков с цветами. Сколько
горшков на каждом окне? Для получения результата ребенок может воспользоваться
любой из упомянутых выше моделей.
При больших значениях делимого и делителя этот прием неудобен.
2.Прием, связанный с правилом взаимосвязи умножения и деления.
В этом случае ребенок ориентируется на запоминание взаимосвязанной тройки
случаев, например: 7∙9=63, 63:7=9, 63:9=7.
Если ребенок удается хорошо запомнить один из этих случаев (обычно опорный это случай умножения) или он может получить его с помощью любого из приемов
12
запоминания таблицы умножения, то используя правило «если разделить произведение на
один из множителей, то получится второй множитель», легко получить второй и третий
табличные случаи.
Задание: Составь рекомендации для родителей и учеников: как учить таблицу
умножения.
Поэтапная проверка знаний учащихся с использованием оперативной обратной связи
Одним из требований стандартов второго поколения является приобретение учащимися
прочных вычислительных навыков.
В педагогической практике, как отмечают А.К. Артемов и Н.Б. Истомина, используются
различные подходы к формированию вычислительных навыков табличного умножения и
деления.9
Рассмотрим некоторые из них.
• Познавательная деятельность направлена на самостоятельное изучение таблицы
(зубрежку) и связана с сильным напряжением памяти и произвольного внимания.
• Таблица усваивается в процессе многочисленных упражнений без установок на
запоминание.
• Ученикам дается установка на запоминание после предметных действий и знакомства с
вычислительными приемами.
Последний прием более эффективный, так как работа с предметами позволяет создать у
учащихся наглядные образы.
Рассматриваемая нами технология изучения табличного умножения и деления не только
дает установку на запоминание таблицы умножения, но и создает условия для ее
запоминания под руководством учителя. Главным из них является создание
информационно-образовательной среды, обеспеченной наглядными средствами обучения
и способствующей формированию вычислительных навыков и универсальных учебных
умений, применимых при решении учебных задач, в данном случае изучения системы
знаний — таблицы умножения. Формирование вычислительных навыков рассматривается
как прямолинейный процесс между знаниями, умениями и навыками и как сложные
взаимоотношения между ними. Так, при запоминании таблицы умножения числа 2
необходимо опираться на знание умножения числа на 1 (2 × 1); на умение заменять
умножение сложением (2 × 2 = 2 + 2); на умение использовать переместительное свойство
умножения (2 × 3 = 3 × 2 = 3 + 3 = 6).
Как правило, учащиеся начальных классов не могут быстро применять переместительное
свойство, поэтому более рационально опираться на него при составлении таблицы
умножения чисел первого десятка на число, например, 7 × 2. В этом случае дети
могут, во-первых, опереться на уже сформированный навык 2 × 7, а во-вторых, на умение
заменять умножение сложением и вычислительный навык табличного сложения
однозначных чисел с переходом через десяток — 7 + 7.
В рассматриваемой технологии изучения таблицы умножения для ее запоминания при
составлении и анализе таблиц используются разные ≪узелки на память≫, предлагаемые
детьми. Однако основным является опора на запоминание места расположения
информации в таблицах, так как у младших школьников преобладает наглядно-образное
мышление и происходит интенсивное развитие пространственного мышления, как его
разновидности. Особенно удачным является расположение произведений в ≪домиках≫,
так как у каждого случая умножения — свой графический рисунок.
Формирование вычислительного навыка осуществляется при переходе от умения, которое
характеризуется осознанием цели, способа действий, пооперационным их выполнением, к
навыку —действию в свернутом виде, доведенному до автоматизма в результате
выполнения упражнений.
13
В работе над математическим упражнением П.М. Эрдниев и Б.П. Эрдниев выделяют
четыре этапа:
• составление упражнения;
• его выполнение;
• проверка ответа (контроль);
• переход к родственному, но более сложному упражнению.
Они отмечают, что на практике в учебниках, чаще всего, дается готовая задача. По их
мнению, в познавательном отношении не может быть нормальным то, что процесс
возникновения математического упражнения (задачи, уравнения и т.п.) целиком
отдан другому лицу, не обучающемуся.10
При помощи наглядных пособий учащиеся имеют возможность реализовать все этапы
работы над упражнением. Например, ученик выбирает в ≪Таблице с цветовым кодом≫
число 8 (рис. 5.10 а). Он может составить серию простых и составных задач на умножение
и деление. Например:
Задача 1. В школьную столовую привезли 8 пакетов сахара по 1 кг в каждом. Сколько
сахара привезли в столовую?
Далее можно составить обратные задачи, закрыв один из кодов.
Обратная задача. 8 кг сахара рассыпали в 8 пакетов. По сколько килограммов сахара в
каждом пакете?
Задача 2. В школьную столовую привезли 4 пакета муки по 2 кг в каждом. Сколько всего
муки привезли в столовую?
Задача 3. В школьную столовую привезли 8 пакетов сахара по 1 кг в каждом и 4 пакета
муки по 2 кг в каждом. Сколько всего продуктов привезли в столовую? и т.д.
Далее составить обратные задачи.
кодом можно выполнить все четыре этапа работы над упражнением, что будет
способствовать сознательному формированию вычислительного навыка по табличному
умножению и делению.
Степень сформированности вычислительного навыка определяется по следующим
критериям: правильность, прочность, осмысленность, рациональность и скорость
вычислений, которые выявляются в процессе контроля.
Неотъемлемой частью педагогической технологии является непрерывная диагностика
результативности образовательного процесса.
Анализируя технологию изучения умножения числа 2, мы видим, что в ней проверке
усвоения знаний уделяется большое внимание. Она пронизывает весь учебный процесс,
но не создает дискомфорта для учащихся.
Так, первоначальная проверка проводится после анализа коллективно составленного
столбика таблицы и его анализа. В результате этой работы учитель добивается
осмысления, понимания, а частью учащихся и запоминания учебного материала.
Поэтому проводится проверка в виде хоровых ответов. Они же и являются средствами
оперативной обратной связи ≪учитель —ученики≫. Дети, у которых еще есть сомнения,
неуверенность, произнесут значения произведений вслед за товарищами. Это
придаст им уверенность для выполнения самостоятельной работы в ≪Волшебной
тетрадочке≫. В процессе составления предметной, знаковой и графической
модели дети закрепляют полученные знания, а играя в ≪Школу≫, проверяют их друг у
друга. Средством оперативной обратной связи ≪ученик — ученик≫ являются созданные
модели. Оба вида описанных проверок являются щадящими, так как возможные
ошибки слабых учащихся не выставляются на всеобщее обозрение.
Кроме того были созданы условия для раннего выявления их и исправления.
Самопроверка убеждает учащихся и учителя в том, что таблица умножения усвоена.
14
-При работе с ≪Таблицей с цветовым кодом≫ полученные знания используются в новых
условиях, на новом информационном поле в системе ≪учитель — ученики≫. На сей раз
средством оперативной обратной связи являются хлопки в ладоши.
И, наконец, в системе ≪учитель — ученик≫ проверяются знания каждого ученика при
помощи универсальных, специально созданных средств оперативной обратной связи —
≪Цветовой сигнальной ленты≫ и ≪Цветовых сигнальных карточек≫. На современном
этапе обучения в старших классах эту роль все больше выполняют компьютеры. Но
нажатие кнопок не может заменить сигнала, выраженного не только специальным
средством, но и всем телом ребенка, его глазами, улыбкой и получением ответной
улыбки учителя.
Задание: изготовить «Волшебную тетрадочку»
15