Аналитическая геометрия: Лекции по высшей математике

Л. С. Колодко
ЛЕКЦИИ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
Новосибирск 2005
СОДЕРЖАНИЕ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 1 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
1. Прямоугольная система координат
2. Векторы на плоскости и в пространстве
3. Операции над векторами
4. Разложение вектора по ортам
5. Скалярное произведение векторов
6. Векторное произведение векторов
7. Смешанное произведение векторов
§ 2 ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 3 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
1. Линии на плоскости
2. Каноническое уравнение прямой на плоскости
3. Общее уравнение прямой
4. Уравнение прямой « в отрезках »
5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
6. Угол между прямыми
§ 4 ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
1. Общее уравнение плоскости
2. Уравнение плоскости по точке и двум векторам, параллельным
плоскости
3. Уравнение плоскости «в отрезках»
4. Угол между плоскостями
§ 5 ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
1. Канонические уравнения прямой
2. Общие уравнения прямой в пространстве
3. Прямая и плоскость
§ 6 ПОЛУПРОСТРАНСТВА И ПОЛУПЛОСКОСТИ
1. Полупространства
2. Расстояние от точки до плоскости
3. Полуплоскости. Расстояние от точки до прямой
3
5
5
5
5
6
6
7
8
9
10
11
11
11
12
13
14
14
15
15
16
16
16
17
17
18
19
20
20
21
21
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.
В математике первичными понятиями являются понятия множества, элемента и
принадлежности элемента множеству. Множество — это совокупность элементов,
объединенных общим (характеристическим) свойством.
Обозначения:
A, B, C,, X, Y, Z — множества; a, b, c,, x, y, z — элементы множеств;
xA обозначает принадлежность элемента х множеству А;
x A — x не принадлежит множеству А;
 — следовательно, если  то;
 — тогда и только тогда, необходимо и достаточно;
— любой, каждый;
 — существует.
Способы задания множеств.
— Перечислением элементов. Например, Х = {1, 2} — множество Х состоит из
двух элементов: 1 и 2.
— Указанием характеристического свойства.
Например, X ={x: (x1)(x+3) = 0} — это множество содержит два элемента — корни
уравнения (x1)(x+3) = 0, то есть числа 1 и 3.
А={(1, … , n) : 12 + 22 + … + n2 = 0} — такое множество содержит единственный набор чисел, состоящий из n нулей, т. е. А={(0, 0, … , 0)}.
Введем понятия пустого множества  и универсального множества U.
Пустое множество – это множество, не содержащее ни одного элемента:
х х  .
Универсальное множество – это множество, содержащее все элементы: х х  U.
Например {x  R : x2 < 0} = . {x  R : x2  0} = R = U.
Во втором примере множество вещественных чисел R играет роль универсального множества.
Рассмотрим понятия подмножества и равенства множеств.
Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент
множества А является элементом множества В:
А  В  (х  А  х  В)
Очевидно, что   А, А  А, А  U для любого множества А.
Множества А и В называются равными, если каждый элемент множества А является элементом множества В и, наоборот, каждый элемент множества В является
элементом множества А:
А = В  А  В и В  А.
2. Операции над множествами.
Объединением АВ двух множеств А и В называется множество, состоящее из
элементов, содержащихся либо в А, либо в В.
3
xAB  xA или xB; xAB  xA и xB.
Пересечением АВ двух множеств А и В называется множество, состоящее из
элементов, содержащихся и в А, и в В.
xAB  xA и xB; xAB  xA или xB.
Разностью А \ В множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.
xA\B  xA и xB; xA\B  xA или xB.
Разность U\A называется дополнением множества А и обозначается A .
x A  xА; x A  xA.
Свойства операций.
1. AB=BA
8. A  B  A  B
2. AB=BA
9. A\B=A B
3. A(BC)=(AB)C
10. AA=AA=A
4. A (BC)=(AB)C
11. A=A; A=
5. A(BC)=(AB)(AC)
12. AU=U; AU=A
6. A (BC)=(AB)(AC)
13. A A =U; A A =
7. A  B  A  B
14. A =A
Доказательство свойства 6. A (BC)=(AB)(AC).
Возьмем xA(BC)xA и x BC xA и (xB или xC)  (xA и xB)
или (xA и xC)  xAB или xAC) x(AB)(AC).
Доказано, что . A (BC)  (AB)(AC).
Возьмем x(AB)(AC)  xAB или xAC (xA и xB) или (xA и
xC)  xA и (xB или xC)  xA и x BC xA(BC).
Доказано, что A (BC)  (AB)(AC). Тождество доказано.
Доказательство свойства 13. A A =U; A A =.
A A =U.
A A  U — очевидно, так как U — универсальное множество.
Докажем, что A A  U.
Возьмем хU xA или хА xA или х A  х A A  U  A A . Тождество доказано.
A A =.
Доказательство.
Предположим противное, что A A . Тогда существует х A A  xA и
х A  xA и хА. Получили противоречие. Следовательно, предположение
A A  неверно и A A =.
Остальные свойства предлагается доказать самостоятельно в качестве упражнений.
4
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
1. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ.
Определения.
— Прямая, на которой определено направление, называется осью.
— Отрезок на оси, ограниченный точками А и В, называется направленным, если
определено, какая из этих точек считается его началом, какая концом.
— Направление отрезка — направление от его начала к его концу. Обозначается
направленный отрезок AB .
— Величиной АВ направленного отрезка AB называется его длина, взятая со знаком « + », если отрезок и ось одинаково направлены, и со знаком «  » в противном случае. Таким образом, АВ =  ВА.
— Если на оси задана точка О (начало координат) и выбран положительно направленный отрезок в качестве масштабной единицы, то координата произвольной
точки М на оси равна величине отрезка ОМ. В силу определения величины отрезка координата точки может быть как положительной, так и отрицательной.
— Величина произвольного отрезка M1M 2 на оси равна х2  х1, где х1 — координата точки М1, х2 — координата точки М2.
— Две взаимно перпендикулярные оси, имеющие общее начало О и одинаковую
масштабную единицу, образуют прямоугольную систему координат на плоскости.
— Три взаимно перпендикулярные оси, имеющие общее начало О и одинаковую
масштабную единицу, образуют прямоугольную систему координат в пространстве.
Каждая точка плоскости имеет в данной системе координат 2 координаты:
M(x, y).
Каждая точка пространства имеет в данной системе координат 3 координаты:
M(x, y, z). Координаты x, y, z равны соответственно величинам отрезков OA , OB и
OC , где точки А, В, С являются прямоугольными проекциями точки М на оси координат.
2. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ.
Любая упорядоченная пара точек А и В плоскости или пространства определяет
направленный отрезок, или вектор AB . А — начало вектора, В — конец. Если А
совпадает с В, то AB = 0 — нулевому вектору. Длина вектора равна расстоянию
между его началом и концом. Векторы называются коллинеарными, если они лежат
на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы называются ортогональными, если они лежат на взаимно перпендикулярных прямых. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.
5
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны. В силу последнего определения вектор не меняется, если его
перенести параллельно самому себе. Поэтому вектор можно обозначать a, b, x, y ,
не указывая точек начала и конца вектора.
Проекцией вектора a на ось называется величина направленного отрезка AB ,
где точки А и В являются прямоугольными проекциями начала и конца вектора a
на эту ось. Если обозначить через ,  и  углы, которые образует вектор a с осями
координат OX, OY и OZ соответственно, то проекции a x , a y , a z вектора a на эти
оси будут равны произведению длины вектора a на косинус соответствующего
угла: a x  a cos  , a y  a cos  , a z  a cos  . Косинусы углов ,  и  называются
направляющими косинусами вектора a . Проекции a x , a y , a z вектора a на оси
координат называют координатами вектора a в данной системе координат. Допустимо обозначение a = ( a x , a y , a z ).
3. ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.
Векторы на плоскости и в пространстве можно складывать и умножать на числа.
Сложение векторов производится по правилу параллелограмма: если привести векторы к общему началу, то их суммой будет вектор, имеющий то же начало и являющийся диагональю параллелограмма, построенного на данных векторах. Произведением вектора a на число  называется вектор  a , коллинеарный вектору a ,
направленный так же, как a , если  > 0, и направленный в противоположную сторону, если < 0, длина вектора  a равна длине вектора a , умноженной на  .
Операции над векторами удовлетворяют следующим свойствам:
a +b = b +a
a + (b + c ) = (a + b ) + c
 ( a ) = (   ) a
(+) a = a + a
 (a + b ) =  a +  b
Если векторы a и b заданы своими координатами a = ( a x , a y , a z ) и
b = ( bx , b y , bz ), то a + b = ( a x  bx , a y  b y , a z  bz ),  a = (  a x ,  a y ,  a z ).
4. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ОРТАМ.
Рассмотрим векторы i , j и k единичной длины, направленные по осям координат. Эти три вектора (на плоскости два: i и j ) обладают тем свойством, что про6
извольный вектор a может быть представлен в виде a = a x i  a y j  a z k ( на
плоскости a = a x i  a y j ). Эти равенства легко проверяются геометрическими построениями, поскольку на плоскости любой вектор a является диагональю прямоугольника со сторонами, образованными векторами a x i и a y j , а в пространстве
— диагональю прямоугольного параллелепипеда со сторонами a x i , a y j и a z k .
5. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число
a · b , равное произведению длин векторов a и b на косинус угла между ними.
a · b = a  b cos(a, b) . Если хотя бы один из векторов равен 0 , то их скалярное произведение считается равным 0.
Следствие.
a b
.
cos( a, b) =
ab
Свойства скалярного произведения:
1) a · b = b · a ;
2)  a · b = a · b = ( a · b );
3) a · ( b + c ) = a · b + a · c ;
4) a · a = a
2
. Из этого свойства следует, что a = a  a .
5) Если a  0 и b  0 , то a · b = 0  a  b .
Следствия:
i · i = j · j = k · k = 1;
i · j = j · k = i · k = 0.
Теорема.
Если векторы a и b заданы своими координатами a = a x i  a y j  a z k ,
b = b x i  b y j  bz k , то a · b = a x bx  a y b y  a z bz . Для векторов на плоскости
имеем соответственно a · b = a x bx  a y b y .
Доказательство.
Доказательство проведем для случая векторов на плоскости.
7
a · b = ( a x i  a y j )·( bx i  b y j ) = a x bx ( i  i)  a x b y ( i  j )  a y bx ( j  i)  a y b y ( j  j )
= = a x bx  a y b y .
Следствия.
1)
a  b  a xbx  a y b y  a z bz = 0; для векторов на плоскости a  b 
 a x bx  a y b y = 0;
2) a =
a x 2  a y 2  a z 2 ; для векторов на плоскости a =
3) cos(a, b) 
a x bx  a y b y  a z bz
ax2  a y 2 ;
; для векторов на плоскости
a x 2  a y 2  a z 2 bx 2  b y 2  bz 2
cos(a, b) 
a x bx  a y b y
.
a x 2  a y 2 bx 2  b y 2
6. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Понятие векторного произведения вводится только для векторов в пространстве.
Векторным произведением a  b двух ненулевых векторов a и b называется
вектор c , удовлетворяющий трем условиям:
1. c  a , c  b ;
2. тройка векторов a , b , c является правой;
3. длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла
между ними: c  a  b sin (a, b) .
Геометрический смысл векторного произведения: длина вектора c равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b .
Свойства векторного произведения.
1) a  b = – b  a ;
2)  a  b = a   b = ( a  b );
3) a  ( b + c ) = a  b + a  c ;
4) Если a  0 и b  0 , то a  b = 0  a  b .
Следствия:
i i = j j = k k = 0;
i  j = k ; j  k =i ; k  i = j ; j  i = – k ; k  j = – i ; i  k = – j .
Если векторы a и b заданы своими координатами a = a x i  a y j  a z k ,
8
b = bx i  b y j  bz k , то для вычисления векторного произведения a  b ис-
i
j
пользуется формула c = a  b = a x
bx
ay
by
ax
bx
ay
=
by
k
k
ay
az = i
by
bz
az
a
– j x
bz
bx
az
+
bz
= i (a y bz  a z b y ) – j (a x b z  a z b x ) + k (a x b y  a y bx ) . Здесь использованы
понятия определителей второго и третьего порядков, которые изучаются в теме
«Линейная алгебра».
7. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Понятие смешанного произведения определено только для векторов в пространстве.
Смешанным произведением векторов a , b и c называется число, равное скалярному произведению вектора a на векторное произведение векторов b и c :
a b c = a · ( b  c ).
Геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения a b c равен объему параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c .
Действительно, a b c = a · ( b  c ) = a b  c cos  , где  — угол между вектором
a и вектором b  c , который перпендикулярен плоскости, содержащей векторы b
и c . В силу последнего произведение a cos  равно высоте параллелепипеда, взятой со знаком « + », если угол  острый, и со знаком « – », если угол  тупой. Длина
вектора b  c равна площади параллелограмма, построенного на векторах b и c ,
который является основанием нашего параллелепипеда. В результате вышесказанного a b c =
b c a cos  = Sоснования · h = Vпараллелепипеда. Если рассмотреть пира-
1
abc .
6
Смешанное произведение векторов используется для проверки компланарности
векторов:
векторы a , b и c компланарны  a b c = 0.
Как вычислить смешанное произведение векторов a , b и c , если векторы a , b
и c заданы своими координатами: a = a x i  a y j  a z k , b = bx i  b y j  bz k ,
миду, построенную на векторах a , b и c , то ее объем будет равен
c = cx i  c y j  cz k ?
9
i
j
k
a b c = a · ( b  c ) = ( a x i  a y j  a z k ) · bx
by
bz =
cx
cy
cz
bx
by 
 =
cy 

 by
= ( ax i  a y j  az k ) ·  i
 cy


by
=  ax

cy

bz
cz
 ay
bx
bz
cx
cz
bz
cz
 az
j
bx
cx
bx
cx
bz
cz
k
cx
ax
by 
 = b
x
cy 

cx
ay
az
by
cy
bz .
cz
Следствие.
ax
ay
az
Векторы a , b и c компланарны тогда и только тогда, когда b x
cx
by
cy
b z = 0.
cz
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
ЗАДАЧА 1. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ.
Расстояние между точками M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2) вычисляется как длина
вектора M1M 2 . Поскольку вектор M1M 2 имеет координаты (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1),
то его длина, равная расстоянию между точками М 1 и М 2, вычисляется по формуле
d
x2  x1  2   y 2  y1  2  z 2  z1  2 .
Для точек на плоскости M1M 2 = (x2 – x1, y2 – y1) и d 
x2  x1  2   y 2  y1  2 .
ЗАДАЧА 2. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ОТНОШЕНИИ .
Даны точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2).
Найти координаты точки М (x, y, z), делящей отрезок М 1 М 2 в отношении , есM 1M
ли  =
, где М 1 М и М М 2 величины направленных отрезков M1M и M M 2 .
M M2
Если точка М лежит между точками М 1 и М 2, то отрезки M1M и M M 2 одинаково направлены и   0. Если же точка М лежит на прямой М 1 М 2 левее М 1 или
правее М 2, то отрезки M1M и M M 2 направлены в разные стороны и
  0. Поскольку для величин отрезков M1M и M M 2 справедливо соотношение
М 1 М =  М М 2, а векторы M1M и M M 2 коллинеарны, то эти векторы связаны
равенством M1M =  M M 2 .
10
 x  x1   ( x2  x)

В координатной форме это равенство равносильно системе  y  y1   ( y2  y ) ,
 z  z   ( z  z)
1
2

y1   y2
x1   x2
z1   z 2
которая имеет решение x 
, y
, z
.
1 
1 
1 
Если точка М делит отрезок М 1 М 2 пополам, то  = 1 и координаты точки М выx x
y y
z z
числяются по формулам x  1 2 , y  1 2 , z  1 2 .
2
2
2
Для точек М 1, М 2 и М, расположенных на плоскости и имеющих по две коордиy   y2
x   x2
наты, полученные формулы имеют вид x  1
, y 1
.
1 
1 
§ 3. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
1 .ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.
Линия на плоскости может быть задана уравнением от двух переменных
F(x, y) = 0, которому удовлетворяют координаты каждой точки этой линии и не
удовлетворяют координаты ни одной другой точки. Для нахождения точек пересечения двух линий надо найти решения системы уравнений этих линий.
Линия на плоскости, а также в пространстве, может рассматриваться как траектория движения точки. В этом случае ее описывают системой параметрических
 x  x(t )
 x  x(t )

уравнений 
для линии на плоскости или  y  y (t ) для линии в простран y  y (t )
 z  z (t )

стве. При разных значениях параметра t получаем разные точки заданной линии.
Можно использовать также векторное параметрическое уравнение линии: r  r (t ) ,
где r (t ) — радиус-вектор точки линии, определяемой значением параметра t.
2. КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.
Пусть даны точка М 0 и вектор a . Требуется найти уравнение прямой, проходящей через точку М 0 параллельно вектору a .
Возьмем на искомой прямой произвольную точку М и рассмотрим r и r0 — радиусы-векторы точек М и М 0. Вектор M 0 M  r  r0 лежит на прямой и, следовательно, коллинеарен вектору a , что равносильно векторному равенству r – r0 = a t.
Полученное уравнение называется векторным параметрическим уравнением
прямой. Переписав это уравнение в координатной форме, получим параметрические
11
 x  x 0   1t
 x  x 0   1t
уравнения прямой 
, или 
. В полученных уравнениях
 y  y0   2t
 y  y0   2t
x 0 и y 0 — координаты точки М 0, а  1 и  2 — координаты вектора a , который
называется направляющим вектором прямой.
Если  1 и  2 отличны от нуля, то из параметрических уравнений получим
x  x0
y  y0
t
и t
, что дает нам возможность получить каноническое уравне1
2
ние прямой
y  y0
x  x0
=
, которое представляет собой условие пропорциональ1
2
ности координат коллинеарных векторов M 0 M  ( x  x0 ; y  y0 ) и a  (1 ;  2 ) . В
силу последнего замечания каноническое уравнение прямой имеет смысл и в слуx 1 y  2
чае, когда одна из координат вектора a равна 0. Например, уравнение
=
0
3
задает прямую, проходящую через точку М 0 (1, –2) параллельно вектору a = (0; 3),
то есть вертикальную прямую.
Каноническое уравнение прямой удобно использовать для получения уравнения
прямой, проходящей через две заданные точки. Действительно, если заданы на прямой две точки M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2), то вектор M 1M 2 = ( x 2  x1 ; y 2  y1 ) , лежащий на прямой, можно использовать в качестве направляющего вектора. Тогда каx  x1
y  y1
ноническое уравнение примет вид
=
. Получили уравнение прямой,
x2  x1 y2  y1
проходящей через две точки.
Прямые, заданные каноническим или параметрическими уравнениями будут параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны, и перпендикулярны, если
их направляющие векторы ортогональны:
y  y1
x  x1
L1:
=
, a  ( 1;  2 ) — направляющий вектор,
1
2
L2:
x x2
y y2
=
, b  ( 1;  2 ) — направляющий вектор.
2
1
1  2

; L1  L2   1  1  2  2  0 .
1  2
3. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.
Пусть даны точка М 0 (x 0, y 0) и вектор n (A; B). Требуется найти уравнение прямой, проходящей через точку М 0 перпендикулярно вектору n .
L1  L2 
12
Возьмем на искомой прямой произвольную точку М и рассмотрим r и r0 — радиусы-векторы точек М и М 0. Вектор M 0 M  r  r0 лежит на прямой и, следовательно, ортогонален вектору n , что равносильно векторному равенству ( r – r0 )· n = 0.
Полученное уравнение называется векторным уравнением прямой. Переписав
это уравнение в координатной форме, получим уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору: A (x – x 0) + B (y – y 0 ) = 0. В полученном уравнении x 0 и y 0 — координаты точки М 0, а A и В — координаты вектора n , который
называется вектором нормали прямой.
Раскрыв скобки в полученном уравнении и обозначив число – A x 0 – B y 0 через
С, получим общее уравнение прямой: A x + B y + С = 0. В этом уравнении коэффициенты А и В при переменных являются координатами вектора нормали.
Если А = 0, то уравнение примет вид B y + С = 0, нормаль n = (0; В) перпендикулярна оси ОХ, а сама прямая, следовательно, параллельна этой оси. Если В = 0, то
уравнение примет вид A x + С = 0, нормаль n = (А; 0) перпендикулярна оси ОY, а
сама прямая, следовательно, параллельна оси ОY. Если С = 0, то уравнение
A x + B y = 0 задает прямую, проходящую через начало координат.
Прямые, заданные общими уравнениями будут параллельны, если их нормали
коллинеарны, и перпендикулярны, если их нормали ортогональны:
L 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, n 1  ( A 1; B 1) — вектор нормали,
L 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, n 2  ( A 2; B 2 ) , — вектор нормали.
L 1  L 2 
A1
B
 1 ;
A2 B2
L 1  L 2  A1 A 2  B 1B 2  0 .
4. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ « В ОТРЕЗКАХ ».
x y
  1 называется уравнением прямой «в отрезках».
a b
Его легко получить из общего уравнения прямой A x + B y + С = 0 при условии, что
все коэффициенты А, В и С отличны от нуля.
Ax B y
x
y
Ax + By + С = 0  Ax + By = – С 

1 

 1 . Обозначая
C
C
C C


A
B
знаменатели дробей в последнем уравнении через a и b, получим уравнение
x y
  1 . В этом уравнении числа a и b равны величинам отрезков, которые пряa b
мая отсекает на осях координат. Действительно, при х = 0 получим y = b, а при y = 0
получим x = a, то есть точки (0; b) и (a; 0) являются точками пересечения прямой с
осями OY и OX соответственно.
Уравнение прямой вида
13
5. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ.
Если в уравнении A x + B y + С = 0 коэффициент В  0, то уравнение можно преобразовать к виду y = k x + b . Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В нем k — угловой коэффициент, равный тангенсу угла
наклона прямой к оси ОХ, b — ордината точки пересечения прямой с осью OY.
Уравнением прямой с угловым коэффициентом можно задать любую прямую кроме
вертикальной.
Если известна точка М 0 (х 0,у 0) искомой прямой и ее угловой коэффициент k, то
уравнение прямой удобно искать в виде y – y 0 = k (x – x 0).
Если прямые L 1 и L 2 заданы уравнениями y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2, то условием их параллельности является равенство k 1 = k 2. Для получения условия перпендикулярности преобразуем уравнения к общему виду: k 1 x – y + b 1 = 0 и
k 2 x – y + b 2 = 0. Векторы нормалей равны n 1  (k 1; 1) и n 2  (k 2; 1) . Следова1
тельно, L 1  L 2  n 1  n 2 = 0, то есть k 1 k 2 + 1 = 0, или k 2  
.
k1
6. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ.
Углом между прямыми называется острый угол между ними.
Угол  между прямыми можно находить, используя направляющие векторы,
векторы нормалей или угловые коэффициенты прямых.
Пусть прямые L 1 и L 2 заданы своими каноническими уравнениями:
x  x1
y  y1
L 1:
=
, a  ( 1;  2 ) — направляющий вектор,
1
2
x x2
y y2
=
, b  ( 1;  2 ) — направляющий вектор.
1
2
Заметим, что угол между направляющими векторами равен либо углу , либо
смежному с ним тупому углу , так как эти векторы направлены параллельно
прямым. Поскольку cos () =  cos , то cos  = cos () . Следовательно, имеL 2:
ем cos  =  cos(a; b) =
a b
a b
=
 11   2  2
 12   2 2  12   2 2
.
Пусть прямые L 1 и L 2 заданы своими общими уравнениями:
L 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, n 1  ( A 1; B 1) — вектор нормали,
L 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, n 2  ( A 2; B 2 ) , — вектор нормали.
Заметим, что угол между векторами нормалей равен либо углу , либо смежному с ним тупому углу , так как эти векторы направлены перпендикулярно прямым. В результате получаем
cos  = cos ()  =  cos(n 1 , n 2 ) =
n1  n 2
n1 n 2
14
=
A1 A 2  B 1 B 2
A 12  B 12
A 22 B 22
.
Пусть теперь прямые L 1 и L 2 заданы уравнениями y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2.
Обозначим через  1 и  2 углы между прямыми L 1 и L 2 и осью ОХ. Тогда угол 
между L 1 и L 2 равен    1 –  2 или    2 –  1. Следовательно,
tg  1 tg  2
k 1 k 2
tg  = tg ( 1 –  2) =
=
.
1  tg  1 tg  2
1 k 1k 2
§ 4. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
1. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.
Пусть даны точка М 0 и вектор n . Требуется найти уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 перпендикулярно вектору n .
Возьмем на искомой плоскости произвольную точку М и рассмотрим r и r0 —
радиусы-векторы точек М и М 0. Вектор M 0 M  r  r0 лежит на плоскости и, следовательно, ортогонален вектору n , что равносильно векторному равенству
( r – r0 )· n = 0. Полученное уравнение называется векторным уравнением плоскости.
Переписав это уравнение в координатной форме, получим уравнение плоскости,
проходящей через точку перпендикулярно вектору:
A (x – x 0) + B ( y – y 0 ) + C (z – z 0 ) = 0. В полученном уравнении x 0, y 0 и z 0 — координаты точки М 0, а А, В и С — координаты вектора n , который называется вектором нормали плоскости.
Раскрыв скобки в полученном уравнении и обозначив число – A x 0 – B y 0 – С z 0
через D, получим общее уравнение плоскости: A x + B y + С z + D = 0. В этом уравнении коэффициенты А, В и С при переменных являются координатами вектора
нормали.
Если А = 0, то уравнение примет вид B y + С z + D = 0, нормаль n = (0; В; C) перпендикулярна оси ОХ, а сама плоскость, следовательно, параллельна этой оси. Если
В = 0, то уравнение примет вид A x + С z + D = 0, нормаль n = (А; 0; C) перпендикулярна оси ОY, а сама плоскость параллельна оси ОY. Если С = 0, то уравнение примет вид A x + B y + D = 0, нормаль n = (А; B; 0) перпендикулярна оси ОZ, а сама
плоскость параллельна оси ОZ. Если D = 0, то уравнение A x + B y + С z = 0 задает
плоскость, проходящую через начало координат.
Плоскости будут параллельны, если их нормали коллинеарны, и перпендикулярны, если их нормали ортогональны:
P1: A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, n 1  ( A 1; B 1; C 1) — вектор нормали,
P2: A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, n 2  ( A 2; B 2; C 2 ) , — вектор нормали.
P1  P2 
A1
B
C
 1  1 ;
A2 B 2 C 2
P1  P2  A 1 A 2  B 1 B 2  C 1C 2  0 .
15
2. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПО ТОЧКЕ И ДВУМ ВЕКТОРАМ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ПЛОСКОСТИ.
Пусть имеется точка М 0 (x 0, y 0, z 0) и два неколлинеарных вектора
a  a x ; a y , a z и b  b x , b y , b z . Требуется найти уравнение плоскости, проходя-




щей через точку М 0 параллельно векторам a и b .
Возьмем произвольную точку М(x, y, z), принадлежащую искомой плоскости.
Тогда векторы M 0 M , a, b являются компланарными и их смешанное произведение
равно нулю. Имеем уравнение:
x  x0
y  y0
z  z0
ax
bx
ay
by
az
bz
0.
Рассмотренный подход к получению уравнения плоскости используется, в частности, при выводе уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки.
Пусть имеются три точки М 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3). Требуется
найти уравнение плоскости, проходящей через эти точки. Возьмем на плоскости
произвольную точку М (x, y, z) и рассмотрим векторы M 1M 2 = (x 2 – x 1; y 2 – y 1; z 2 – z 1),
M 1M 3 = (x 3 – x 1; y 3 – y 1; z 3 – z 1) и M 1M = (x – x 1; y – y 1; z – z 1), которые лежат в искомой плоскости и, следовательно, компланарны. Их смешанное произведение равx  x1
y  y1
z  z1
но нулю. Получим искомое уравнение
x 2  x1
x3  x1
y 2  y1
y 3  y1
z 2  z1  0 .
z 3  z1
3. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ «В ОТРЕЗКАХ».
x y z
Уравнение плоскости вида
   1 называется уравнением плоскости «в
a b c
отрезках». Его легко получить из общего уравнения плоскости A x + B y + С z + D = 0
при условии, что все коэффициенты А, В, С и D отличны от нуля.
Ax
By Cz
A x + B y + С z + D = 0  A x + B y + С z = –D 


1 
D D D
x
y
z



 1 . Обозначая знаменатели дробей в последнем уравнении
D
D
D



A
B
C
x y z
через a , b и c, получим уравнение    1 . В этом уравнении числа a, b и с
a b c
равны величинам отрезков, которые плоскость отсекает на осях координат. Действительно, при х = y = 0 получим z = c, при x = z = 0 получим y = b, а при y = z = 0
получим x = a, то есть точки (0, 0, c), (0, b, 0) и (a, 0, 0) являются точками пересечения плоскости с осями OX, OY и OZ соответственно.
4. УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ.
Углом между плоскостями называется острый угол  между ними.
16
Пусть плоскости P1 и P2 заданы уравнениями:
P1: A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, n1  ( A 1; B 1; C 1) — вектор нормали,
P2: A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, n 2  ( A 2; B 2; C 2 ) , — вектор нормали.
Заметим, что угол между векторами нормалей равен либо углу , либо смежному с ним тупому углу , так как эти векторы направлены перпендикулярно плоскостям. В результате получаем cos  = cos ()  =  cos(n 1 , n 2 ) =
=
A 1 A 2  B 1 B 2  C 1C 2
A 12  B 12  C 12 A 2 2  B 2 2  C 2 2
n1  n 2
=
n1 n 2
.
§ 5. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
1. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ.
Вывод канонических уравнений прямой производится точно так же, как это делалось для прямой на плоскости.
Пусть даны точка М 0 (x 0, y 0, z 0) и вектор a   1;  2 ,  3  — направляющий вектор прямой. Требуется найти уравнение прямой, проходящей через точку М 0 параллельно вектору a .
Возьмем на искомой прямой произвольную точку М (x, y, z) и рассмотрим r и
r0 — радиусы-векторы точек М и М 0. Вектор M 0 M  r  r0 лежит на прямой и,
следовательно, коллинеарен вектору a , что равносильно векторному равенству
r – r0 = a t — векторному параметрическому уравнению прямой. Переписав это
уравнение в координатной форме, получим параметрические уравнения прямой
 x  x0   1t

 y  y0   2t .
z  z  t
0
3

Из параметрических уравнений получаем канонические уравнения прямой в
x  x0
y  y0
z  z0
пространстве
=
=
, которые представляют собой условия про2
3
1
порциональности координат коллинеарных векторов M 0 M  ( x  x0 , y  y0 , z  z0 ) и
a  ( 1,  2 ,  3) .
Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и
z  z1
y  y1
x  x1
M 2 (x 2, y 2, z 2), имеют вид
=
=
, так как вектор
y 2 y 1
x 2 x 1
z 2 z 1
17
M 1M 2 = ( x2  x1 , y 2  y1 , z 2  z1 ) , лежащий на прямой, можно использовать в качестве направляющего вектора.
Прямые, заданные каноническими или параметрическими уравнениями будут
параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны, и перпендикулярны,
если их направляющие векторы ортогональны:
Пусть прямые L 1 и L 2, заданы каноническими уравнениями:
y  y1
x  x1
z  z1
L1:
=
=
, a  ( 1,  2 ,  3) — направляющий вектор,
1
3
2
x  x2
z  z2
y  y2
=
=
, b  ( 1,  2 ,  3) — направляющий вектор.
2
1
3
Тогда условия параллельности и перпендикулярности этих прямых описываются
следующим образом:



L 1  L 2  1  2  3 ; L 1  L 2   1 1  2  2   3 3  0 .
1  2
3
Угол  между прямыми L 1 и L 2 вычисляется по формуле
L2:
cos  =  cos(a, b) =
a b
a b
=
 1  1   2  2   3 3
 12   2 2   3 2  12   2 2   3 2
, так как угол
между направляющими векторами a и b данных прямых равен либо углу , либо
смежному с ним углу  – .
2. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоско A 1 x  B 1 y  C1 z  D 1  0
стей: 
. Эти уравнения задают прямую, если плоскости,
 A 2 x  B 2 y  C2 z  D 2  0
определяемые уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0,
не параллельны, и называются общими уравнениями прямой.
Связь с каноническими уравнениями:
x  x0
y  y0
z  z0
Пусть прямая задана каноническими уравнениями
=
=
. То3
1
2
 x  x0 y  y 0

 
  2 x   1 y   2 x0   1 y 0  0
x  x0 y  y 0
z  z0
2
где
=
=
  1
 
.
y  y0 z  z 0
3
1
2
 3 y   2 z   3 y 0   2 z 0  0


  2
3
Получили общие уравнения прямой.
 A x  B 1 y  C1 z  D1  0
Пусть теперь прямая задана общими уравнениями  1
.
 A 2 x  B 2 y  C 2 z  D2  0
18
Для получения канонических уравнений этой прямой необходимо найти координаты x 0, y 0, z 0 некоторой точки данной прямой и координаты ее направляющего
вектора a .
В качестве координат точки следует взять некоторое решение системы уравне A x  B1 y  C 1 z  D1 0
ний  1
.
A 2 x  B 2 y  C 2 z  D 2  0
Для получения координат направляющего вектора используем уравнения плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, определяющих данную прямую.
n 1  ( A 1; B 1; C 1) — вектор нормали первой плоскости, n 2  ( A 2; B 2; C 2 ) , —
вектор нормали второй плоскости. Поскольку данная прямая принадлежит обеим
плоскостям, то ее направляющий вектор a параллелен этим плоскостям и, следовательно, ортогонален векторам n 1 и n 2 . Отсюда следует, что в качестве направляющего вектора можно взять векторное произведение векторов n 1 и n 2 , то есть a =
n1  n 2 .
3. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ.
Пусть даны плоскость P: A x + B y + С z + D = 0 с вектором нормали n = (А; В; С)
x  x0
y  y0
z  z0
и прямая L:
=
=
с направляющим вектором a  ( 1;  2;  3 ) .
3
1
2
Напомним, что n P, a L.
Получим условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
L P  a  n  n · a = 0  A  1 + B  2 + C  3 = 0.
A
B
C


L  P  a  n 
.
1  2  3
Углом  между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Заметим, что угол между нормалью к плоскости и направ
ляющим вектором прямой будет равен
–  либо смежному с ним тупому углу.
2
na


Поэтому sin  = cos    =  cos(n, a) =
=
2

n a
=
A 1  B  2  C 3
A 2  B 2  C 2  12   2 2   3 2
.
19
Точка пересечения прямой и плоскости находится как решение системы уравнений данных прямой и плоскости. При этом уравнения прямой лучше взять в параx  x0   1 t


y  y0   2 t

метрическом виде: 
.
z  z0   3 t

 A x  B y  C z  D  0
§ 6. ПОЛУПРОСТРАНСТВА И ПОЛУПЛОСКОСТИ.
1. ПОЛУПРОСТРАНСТВА.
Пусть имеется плоскость P: A x + B y + С z + D = 0 с вектором нормали n = (А; В; С).
Положительным полупространством, определяемым плоскостью P и ее нормалью n называется множество точек М (x, y, z) пространства, такое, что для некоторой точки М 0 (x 0, y 0, z 0) плоскости P угол между векторами n и M 0 M не превыша-


. Поскольку для острого угла  cos   0, а cos  0 , то данное условие мож2
2
но переписать в виде cos n, M 0 M  0 , что равносильно неравенству n · M 0 M  0.
ет


Так как n = (А; В; С), а M 0 M = (x – x 0; y – y 0, z – z 0) , то получаем неравенство
A ( x – x 0) + B ( y – y 0) + C ( z – z 0)  0  A x + B y + C z – A x 0 – B y 0 – C z 0  0 
A x + B y + С z + D  0. На последнем шаге использовали равенство – A x0 – B y0 – C z0 = D,
которое является верным, так как М 0 P.
Таким образом, положительное полупространство задается неравенством
A x + B y + С z + D  0.
Заметим, что выбор точки М 0 не влияет на полученный результат, поскольку равенство – A x 0 – B y 0 – C z 0 = D является верным для любой точки М 0  P.
Отрицательным полупространством, определяемым плоскостью P и ее нормалью n называется множество точек М (x, y, z) пространства, такое, что для некоторой точки М 0 (x 0, y 0, z 0) плоскости P угол между векторами – n и M 0 M не пре-

. Повторяя приведенные выше рассуждения, получим
2
cos  n, M 0 M  0  – n · M 0 M  0.
вышает


Так как n = (–А; –В; –С), а M 0 M = (x – x 0, y – y 0, z – z 0) , то получаем неравенство –A ( x – x 0) – B ( y – y 0) – C ( z – z 0)  0  –A x – B y – C z + A x 0 + B y 0 + C z 0  0
 –Ax – By – Сz – D  0  Ax + By + Сz + D  0.
Таким образом, отрицательное полупространство задается неравенством
A x + B y + С z + D  0.
20
2. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.
~
Пусть имеется плоскость P: A x + B y + С z + D = 0 и точка M ( ~
x, ~
y,~
z ) . Расстояние
~
~
от точки M до плоскости P равно длине перпендикуляра, опущенного из точки M
на плоскость P. Возьмем на плоскости произвольную точку М 0 (x 0, y 0, z 0).
~
Предположим сначала, что точка M принадлежит положительному полупро~
странству. Тогда угол  между векторами n и M 0 M острый , их скалярное произ~
~
ведение положительно и равно n · M 0 M =  n ·  M 0 M cos .
~
~
Заметим, что произведение  M 0 M cos  равно проекции вектора M 0 M на вектор n , перпендикулярный плоскости P , то есть равно d — длине перпендикуляра,
~
опущенного из точки M на плоскость P. Следовательно
~
n  M 0M
A( ~
x  x0 )  B( ~
y  y0 )  C ( ~
z  z0 )
~
n · M 0 M =  n · d  d =
=
=
2
2
2
n
A  B C
A~
x  B~
y  C~
z  Ax 0  By0  Cz 0
~
A~
x  B~
y  C~
z D
=
=
 0 , так как точка M при2
2
2
2
2
2
A  B C
A  B C
надлежит положительному полупространству.
~
Пусть теперь точка M принадлежит отрицательному полупространству. Тогда
~
угол  между векторами – n и M 0 M острый , их скалярное произведение положи~
~
тельно и равно – n · M 0 M = – n ·  M 0 M cos .
~
~
Произведение  M 0 M cos  равно проекции вектора M 0 M на вектор – n , перпендикулярный плоскости P , то есть равно d — длине перпендикуляра, опущенно~
го из точки M на плоскость P. Следовательно
~
 A( ~
x  x0 )  B ( ~
y  y0 )  C ( ~
z  z0 )
 n  M 0M
~
– n · M 0 M = – n · d  d =
=
=
2
2
n
( A)  ( B )  (C ) 2
 A~
x  B~
y  C~
z  Ax 0  By0  Cz 0
 A~
x  B~
y  C~
z D
A~
x  B~
y  C~
z D
=
=
=–
 0,
A2  B 2  C 2
A2  B 2  C 2
A2  B 2  C 2
~
так как точка M принадлежит отрицательному полупространству.
~
В общем случае расстояние от точки M до плоскости P вычисляется по формуле
A~
x  B~
y  C~
z D
d=
.
2
2
A  B  C2
3. ПОЛУПЛОСКОСТИ. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ.
Пусть имеется прямая L: A x + B y + С = 0 с вектором нормали n = (А; В).
21
Положительной полуплоскостью, определяемой прямой L и ее нормалью n
называется множество точек М (x, y) плоскости, такое, что для некоторой точки

М 0 (x 0, y 0) прямой L угол между векторами n и M 0 M не превышает .
2
Отрицательной полуплоскостью, определяемой прямой L и ее нормалью n
называется множество точек М (x, y) плоскости, такое, что для некоторой точки

М 0 (x 0, y 0) прямой L угол между векторами – n и M 0 M не превышает .
2
Повторяя рассуждения, приведенные в пунктах 1. и 2., получим неравенства A
x + B y + С  0 и A x + B y + С  0, задающие положительную и отрицательную полу~ ~
плоскости соответственно. Формула расстояния от точки M ( ~
x , y ) до прямой L име~
~
Ax  By  C
ет вид d =
.
A2  B 2