Электростатика, постоянный ток, магнитное поле: задачи и решения

Содержание
Электростатика
Примеры решения задач
Задачи для самостоятельного решения
Постоянный ток
Примеры решения задач
Задачи для самостоятельного решения
Магнитное поле
Примеры решения задач
Задачи для самостоятельного решения
Литература
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Примеры решения задач
Задача. Два одинаковых проводящих шарика массой по 1,5 г подведены на
шелковых нитях в одной точке. После того как один из шариков зарядили
отрицательным электричеством и привели в
соприкосновение с другим, шарики разошлись на
10,0 см а нити образовали угол 36º. Определить заряд
шарика до его соприкосновения с другим и количество
избыточных электронов на каждом шарике после их
соприкосновения.
Дано: m1 = m2 = m = 1,5 10 3 кг – массы шариков,
r  0,10 м  расстояние между шариками,   36 - угол,
образованный
нитями,
 0  8,85 10 12
Кл 2
Н  м2
электрическая постоянная, е  1,6 10 19 Кл – заряд электрона.
Найти: q – первоначальный заряд шарика; n – число избыточных электронов
на каждом шарике.
Решение. Поскольку в условии задачи не названа среда, будем считать, что
заряды взаимодействуют в вакууме. Согласно закону сохранения заряда при
соприкосновении шариков на каждом из них окажется заряд q/2 . На шарики
действуют три силы: сила тяжести G=mg, сила реакции напряжения нити Т, сила
электрического взаимодействия
F
(q / 2) 2
.
4 0 r 2
В случае равновесия алгебраическая сумма проекций этих сил на
вертикальное и горизонтальное направления равна нулю:
T·cos(α/2) – mg = 0, F - T·sin(α/2) = 0
Решая систему уравнений относительно F, получим:
F
mg sin( / 2)

=mg tg .
2
cos( / 2)
Подставляя значение F из формулы закон Кулона, получим выражение для
заряда q:
q  4r  0 mg  tg ( ) .
2
Учитывая, что на каждом шарике был заряд q 2 ,определим n=
q 2
.
e
Подставив числовые данные, получим
q  4·0,100 3,14  8,85  10 12  1,5  10 3  9,8  0,32  14,6  10 8 Кл.
Найдем количество избыточных электронов на каждом шарике:
7.3  10 8
n
 4.6  1011 .
19
1.6  10
Ответ: Первоначальный заряд шарика равен 7,3·10 8 Кл; количество избыточных
электронов на каждом шарике приблизительно 4,6·10 11 .
Задача. Плоский конденсатор, площадь каждой пластины которого 6,2·10 -3
м2, заполнен слюдой с относительной диэлектрической проницаемостью, равной
6. Расстояние между пластинами 2,00 мм. Определить электрическую емкость
конденсатора, разность потенциалов на его пластинах, напряженность поля в
конденсаторе и силу взаимного притяжения пластин, если заряд на каждой из них
равен 4,00·10-8 Кл.
Дано: S = 6,2·10-3 м2 – площадь одной пластины, d=2,00·10-3 м – расстояние
между пластинами, ε = 6 – относительная диэлектрическая проницаемость среды,
q = 4,00·10-8 Кл – заряд на одной пластине, ε0 = 8,85·10-12 Ф/м – электрическая
постоянная.
Найти: С – электроемкость конденсатора; U – разность потенциалов на
пластинах; Е – напряженность поля в конденсаторе; F – сила взаимного
притяжения пластин.
Решение. Электроемкость конденсатора определим по формуле емкости
плоского конденсатора:
С= ε0εS/d.
Зная заряд q и емкость С, определим разность потенциалов на пластинах
конденсатора:
U = q/C = qd/(εε0S).
Напряженность поля внутри конденсатора и разность потенциалов на его
пластинах связаны зависимостью
E=U/d=q/(εε0S).
Так как поле между пластинами получается в результате наложения двух
полей (от обеих пластин), напряженность поля одной пластины Е′=Е/2. Сила, с
которой каждая из пластин притягивает другую,
F= Е′q=Eq/2.
Используя числовые данные из условия задачи и записанные формулы,
определи искомые величины:
8,85  10 12 Ф / м  6  6,2  10 3 м 2
С
 1,65  10 10 Ф  165 пФ,
3
2,0  10 м
4,0  10 8 Кл
U
 242 В,
1,65  10 10 Ф
242 В
Е
 1,21  10 5 В / м,
2,00  10 3 м
1,21  10 5 В / м
F
 4,00  10 8 Кл  2,42  10 3 Н .
2
Ответ. Электроемкость конденсатора 1,65·10-10 Ф; разность потенциалов на
пластинах 242 В; напряженность поля в конденсаторах 1,21·105 В/м; сила
взаимного притяжения пластин 2,42·10-3 Н.
Задача. Определить электроемкость конденсатора, для изготовления
которого использовали ленту алюминиевой фольги длиной 157 см и шириной
90,0 мм. Толщина парафинированной бумаги 0,10 мм. Какая энергия запасена в
конденсаторе, если он заряжен до рабочего напряжения 4,0·102 В?
Дано: l = 157 см = 1,57 м – длина алюминиевой фольги, h = 90,0 мм = 9,0·102
м – ширина фольги, d = 0,10 мм = 0,10·10-3 м – толщина парафинированной
бумаги, U = 4,0·102 В – напряжение на пластинах конденсатора,  0  8,85  10 12 Ф / м
- электрическая постоянная, ε = 2,0 – относительная диэлектрическая
проницаемость парафинированной бумаги.
Найти: С – электроемкость конденсатора, W – энергию конденсатора.
Решение. Для нахождения электроемкости используем формулу
С = ε0εS/d.
Так как S = hl, имеем
С = ε0εhl/d.
Энергию конденсатора вычислим по формуле
W = CU2/2.
Используя числовые данные из условия задачи, находим
С
8,85  10 12 Ф / м  2  0,09 м  1,57 м  Кл 2
 25  10 9 Ф  25  10 3 мкФ,
0,1  10 3 м
W
25  10 9 Ф  16  10 4 В 2
 0,002 Дж  2 мДж.
2
Ответ. Электроемкость конденсатора 25·10-3 мкФ; энергия конденсатора
2 мДж.
Задача. Три конденсатора с емкостью С1 = 0,2 мкФ, С2 =С3 = 0,4 мкФ
соединены по схеме, изображенной на рисунке, и подключены к источнику
постоянного напряжения UАВ = 250 В. Найти общий заряд, заряды и разности
потенциалов на отдельных конденсаторах. Определить электрическую энергию,
запасенную батареей конденсаторов.
Дано: С1 = 0,2·10-6 Ф, С2 = С3 = 0,4·10-6 Ф – электроемкости конденсаторов
UАВ = 250 В – напряжение, поданное на конденсаторы.
Найти:q, q1, q2, q3 – общий заряд и заряды
конденсаторов; U1, U2, U3 – разности потенциалов на
обкладках конденсаторов, W – электрическую
энергию, запасенную всеми конденсаторами.
Решение. Неизвестный общий заряд определяется
из формулы
q = СUAB,
где C – электроемкость всех конденсаторов (батареи) – находится по формуле
смешанного (параллельного и последовательного) соединения:
С
С1 (С2  С3 )
2С1С2

.
С1  С2  С3 С1  2С2
Заряд первого конденсатора такой же, как общий заряд:
q1= q,
а заряды на двух других конденсаторах
q2 = q3 = q/2.
Зная емкость и заряд каждого конденсатора, можем найти разности
потенциалов на их обкладках.
Для
нахождения
энергии,
запасенной
батареей
конденсаторов,
воспользуемся формулой
W
C (U AB ) 2
C1C2

U 2 AB
2
C1  2C2
Находим заряд, накопленный батареей:
q
q
2С1С2
U 2 AB
С1  2С2
2  0.2 10 6 Ф  0,4  10 6 Ф  250 B
 4  10 5 Кл ;
(0.2  10 6  2  0.4 10 6 )Ф
заряды на отдельных конденсаторах:
q1  4  10 5 Кл, q2  q3  2 10 5 Кл .
Вычислим разности потенциалов и общую энергию:
4  10 5 Кл
2  10 5 Кл

200
B
U

U

 50 B
,
2
3
0.2  10 6 Ф
0.4  10 6 Ф
0.2  10 6 Ф  0,4  10 6 Ф  (250 ) 2 B 2
W
 5  10 3 Дж
6
6
(0,2  10  0,8  10 )Ф
Ответ. Заряд у батареи и первого конденсатора 4 105 Кл , у второго и
третьего конденсатора – по 2 105 Кл ; разности потенциалов: 200,50 и 50В; общая
энергия 5 10 3 Дж .
U1 
Задачи для самостоятельного решения
1. Два шарика, расположенных в трансформаторном масле на расстоянии
r = 10 см друг от друга, имеют одинаковые отрицательные заряды и
взаимодействуют с силой F = 0,23 мН. Определите число "избыточных"
электронов n на каждом шарике.
2. После того как двум маленьким шарикам, соединенным пружинкой
жесткостью k = 90 Н/м и длиной l = 15 см, сообщили равные одноименные
заряды, расстояние между шариками под действием электростатических сил
увеличилось на Δl = 1 см. Определите заряд каждого шарика q.
3. Два одинаковых металлических шарика заряжены одноименно так, что
заряд одного из них в k = 5 раз больше заряда другого. Шарики привели в
соприкосновение и раздвинули на прежнее расстояние. Во сколько раз n
изменилась по модулю сила их электростатического взаимодействия?
4. Два одинаковых металлических шарика заряжены разноименно так, что
заряд одного из них в k = 5 раз больше заряда другого. Определите, как
изменилась сила электростатического взаимодействия шариков F после того, как
их привели в соприкосновение и раздвинули на расстояние, в n = 2 раза меньшее,
чем первоначальное.
5. Два одинаковых металлических шарика, имеющих заряды q1 = +150 нКл и
q2 = -60 нКл, привели в соприкосновение, а затем раздвинули на расстояние
r = 10 см. Определите силу электростатического взаимодействия F между
шариками после соприкосновения.
6. Одинаковые металлические шарики, заряженные одноименно зарядами q0
и 4q0, находятся на расстоянии r друг от друга. Шарики привели в
соприкосновение и раздвинули на расстояние, в n = 4 раза большее, чем
первоначальное. Во сколько раз n изменилась сила F электростатического
взаимодействия между ними?
7. Вокруг точечного заряда q = 15 нКл под действием электростатических
сил притяжения по окружности радиусом r = 2 см вращается с угловой скоростью
со ω = 5 с-1 маленький отрицательно заряженный шарик массой m = 0,5 г.
Определите заряд шарика q08. Два заряда q1 = +0,6 нКл и q2 = -0,2 нКл находятся в керосине на
расстоянии l = 0,4 м друг от друга. Определите напряженность поля Е в точке О,
расположенной на середине отрезка прямой, соединяющего центры зарядов.
9. Два точечных одноименных заряда q1 и q2 находятся в глицерине на
расстоянии l друг от друга, Определите координаты точки, напряженность поля в
которой E = 0, выбрав начало координат в точке нахождения первого заряда и
направив ось Ох вдоль прямой, соединяющей их.
10. В двух противоположных вершинах квадрата со стороной α = 20 см
находятся равные одноименные заряды q1 = q2 = 50 нКл. Определите
напряженность электростатического поля Е в центре квадрата.
11. В двух противоположных вершинах квадрата со стороной а находятся
равные по модулю разноименные заряды q1 и q2. Определите напряженность
электростатического поля Е в центре квадрата.
12. Шарик массой m = 0,4 г и зарядом q = 4,9 нКл, подвешенный на нити,
находится
в
однородном
горизонтальном
электростатическом
поле
напряженностью E = 0,1 МВ/м. Определите, на какой угол от вертикали
отклонена нить.
13. Шарик массой m = 4,5 г, подвешенный на нити, находится в однородном
горизонтальном электростатическом поле напряженностью Е = 100 кВ/м. При
этом нить образует с вертикалью угол 30°. Определите заряд шарика.
14. Металлическая сфера заряжена положительно. Определите радиус сферы,
если потенциал электростатического поля в центре сферы φ1 = 100 В, а в точке,
отстоящей на расстояние r = 30 см от центра, —φ2 = 50 В.
15. На расстоянии r1 от точечного заряда потенциал электростатического
поля φ1 = 36 В, а на расстоянии r2 - φ2 = 9 В. Определите потенциал поля φ3 в
точке, расстояние до которой r3 равно среднему арифметическому расстояний r1 и
r2 .
16. Одноименные заряды q1 = 40 нКл и q2 = 10 нКл находятся в воздухе на
расстоянии l = 10 см друг от друга. Определите потенциал электростатического
поля φ, созданного этими зарядами в точке, которая удалена на расстояние
r1 = 12 см от первого заряда и на расстояние r2 = 6 см от второго
17. Разноименные заряды q1 = +20 нКл и q2 = -30 нКл находятся в воздухе на
расстоянии l = 10 см друг от друга. Определите потенциал электростатического
поля φ, созданного этими зарядами, в точке, которая удалена на расстояние
r1 = 30 см от первого заряда и на расстояние r2 = 50 см от второго.
18. Одноименные заряды q1 = 10 нКл и q2 = 40 нКл находятся в воздухе на
расстоянии r1 = 10 см друг от друга. Какую работу А нужно совершить, чтобы
уменьшить расстояние между ними до r2 = 1 см?
19. Разноименные заряды q1 = +20 нКл и q2 = -30 нКл находятся в воздухе на
расстоянии r = 10 см друг от друга. Какую работу А нужно совершить, чтобы
увеличить расстояние между ними в n = 2 раза?
20. Определите напряженность электростатического поля Е между
обкладками плоского воздушного конденсатора емкостью С, если их заряды
q1 = -2q и q2 = +3q соответственно. Расстояние между обкладками равно d.
21. Определите, какое количество теплоты выделится три заземлении
металлического шара радиусом R = 5 см, заряженного до потенциала φ = 3 кВ.
22. Определите заряд и радиус шара, заряженного до потенциала φ = 100 В,
если энергия его электростатического поля W = 2,02 Дж.
23. Энергия плоского воздушного конденсатора W1 = 0,2 мкДж. Определите
энергию W2 этого конденсатора после того, как его заполнили диэлектриком с
диэлектрической проницаемостью ε = 2, если конденсатор отключен от источника
питания.
24. Энергия плоского воздушного конденсатора W = 0,2 мкДж. Определите
энергию W2 этого конденсатора после того, как пространство между его
обкладками заполнили диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε = 2 ,
если конденсатор подключен к источнику
питания.
25. Определите электроемкость С батареи
конденсаторов, изображённой на рисунке 1, если
С1 = 2 мкФ, С2 = 4 мкФ, С3 = 1 мкФ, С4 = 6 мкФ.
Рис. 1
26. Определите электроемкость С батареи
конденсаторов, изображённой на рисунке 2, если
С1 = 2 мкФ,С2 = 4 мкФ, С3 = 1 мкФ,С4 = 6 мкФ
27. При каком условии электроемкости батарей
конденсаторов, схемы которых изображены на
рисунках 1 и 2, будут одинаковыми?
Рис. 2
ПОСТОЯННЫЙ ТОК
Примеры решения задач
Задача. Электрический кипятильник рассчитан на напряжение 120 В при
точке 4,0А. Какой длины и поперечного сечения необходимо взять нихромовый
провод для изготовления нагревательного элемента кипятильника, если
допустимая плотность тока 10,2 А мм 2 , а удельное сопротивление нихрома при
работе кипятильника 1,3 10 6 Ом  м ? (Изменение длины провода в процессе
нагревания не учитывать.)
Дано: U  120 B – напряжение на кипятильнике, I  4,0 A –ток, j  10,2 10 -6А/м2допустимая плотность тока,   1,3 10 -6 Ом  м - удельное сопротивление нихрома.
Найти: S - площадь поперечного сечения; l - длину проволоки.
Решение. Используя закон Ома для участка цепи и соотношение между силой
тока и плотностью, определим сопротивление провода и его сечение:
R U / I, S  I / j .
Зная зависимость сопротивления от материала и размеров проводника, найдём его
длину:
l
RS


US
.
I
Используя числовые данные, находим
4,0 А
 0,39  10 6 м 2 ,
10,2  10 6 А / м 2
120 В  0,39  10 6 м 2
l
 9м .
4 А  1,3  10 6 Ом  м
S
Ответ: Площадь поперечного сечения проволоки 0,39 мм 2; длина проволоки
9м.
Задача. Определите сопротивление R0 участка цепи, изображенного на
рисунке.
Обратим внимание на то, что сопротивление R1
участка цепи, состоящего из двух параллельно
соединенных проводников сопротивлением по 2R равно
R.
1
1
1
2
1



 ;
R1 2 R 2 R 2 R R
R1 = R.
Рассчитаем сопротивление R2 участка цепи, приведенного на следующей
схеме.
Заменим параллельно соединенные проводники с сопротивлением 2R,
проводником, с сопротивлением R1.
Как видим,
последовательно.
проводники
с
сопротивлениями
R1
и
R
соединены
R2 = R1 + R = R + R = 2R.
Заменив данный участок цепи проводником с сопротивлением 2R, мы опять
получаем два параллельно соединенных проводника с сопротивлениями по 2R.
Фактически мы вернулись к первоначальной схеме. Проведя аналогичные
расчеты n раз, мы, получим, что и общее сопротивление данного участка цепи так
же равно 2R.
Задача. Батарея аккумуляторов с э.д.с. 2,8В включена в цепь по схеме,
изображённой на рисунке, где R1 = 1,8 Ом, R2 = 2 Ом, R3 = 3 Ом. Амперметр
показывает
0,48 А.
Определить
внутреннее
сопротивление
батареи.
Сопротивлением амперметра пренебречь.
Дано: ε = 2,8 В - э.д.с. батареи аккумуляторов,
R1 = 1,8 Ом - сопротивление первого проводника,
R2 = 2 Ом - сопротивление второго проводника,
R3 = 3 Ом - сопротивление третьего проводника,
I2 = 0,48 А - показание амперметра.
Найти: r - внутреннее сопротивление батареи.
Решение. Внутреннее сопротивление батареи
можно вычислить по формуле закона Ома для всей цепи:
I

Rобщ  r
' r
  IRобщ
I
..
Поскольку I = I1 = I2 + I3, определим ток в третьем проводнике, а затем
общий ток: R2 / R3  I 3 / I 2 , I 3  I 2 R2 / R3 . Таким образом, I  I 2 ( R3  R2 ) / R3 .
Поскольку R 1 соединено последовательно с разветвлением, имеем где
R2 R3
.
R2  R3
R ( R  R3 )  R2 R3
Следовательно Rобщ  1 2
.
R2  R3
Rобщ  R1  Rэкв , где Rэкв 
Так как r   / I  Rобщ , получаем
r
R3
I 2 ( R3  R2 )

R1 ( R2  R3 )  R2 R3
.
R2  R3
Подставляя числовые значения, вычисляем r:
r
2.8 В  3Ом 1,8Ом  5Ом  6Ом 2

 0,5Ом.
0,48 А  5Ом
5Ом
Ответ. Внутренние сопротивление батареи 0,5 Ом.
Задача. В помещении, удаленном от генератора на расстояние 100 м
включены параллельно 44 лампы накаливания с сопротивлением 440 Ом каждая.
Напряжение на лампах 220 В. Проводка выполнена медным проводом с сечением
17,0 мм2 . Определить падение напряжения в подводящих проводах и напряжение
на зажимах генератора.
Дано: l = 1,00·102 м - расстояние от генератора до потребителя, n = 44 - число
ламп, Rл = 4,40·102 Ом - сопротивление каждой лампы, Uл = 2,20·102 В напряжение на лампах, S  17 мм 2  17,0 10 6 м 2 - площадь поперечного сечения
проводов,   0,017 10 6 Ом  м - удельное сопротивление меди.
Найти: Uпр - падение напряжения в проводах; U - напряжение на зажимах
генератора.
Решение. Напряжение на зажимах генератора больше напряжения на лампах
на величину падения напряжения в подводящих проводах.
U=Uл + Uпр , где Uпр = IRпр
Ток в подводящих проводах равен сумме токов проходящих через все лампы:
I
Сопротивление проводов Rпр = 
Uл
n.
Rл
2l
S
Подставив значения силы тока и сопротивления проводов в выражение для Uпр ,
получим
U ПР 
U1
2l
п ,
R1
S
220 В  44  0,017  10 6 Ом  м  200 м
U ПР 
 4.4 В .
440 Ом  17  10 6 м 2
Теперь вычисляем U:
U = 220 В + 4,4 В = 224,4 В.
Ответ: Падение напряжения на проводах 4,4 В; напряжение на зажимах
генератора 224,4 В.
Задача. Два элемента с э.д.с 1,6 и 1,3 В и внутренними сопротивлениями
соответственно 1,0 и 0,50 Ом соединены, как показано на рисунке. Определить
токи во всех ветвях. Сопротивление соединительных проводов не учитывать.
Дано: ε1 = 1,6 В - э.д.с первого элемента, ε2 = 1,3 В - э.д.с. второго элемента,
r1 = 1,0 Ом – внутреннее сопротивление первого элемента, r2 = 0,50 Ом внутреннее сопротивление второго элемента,
R = 0,60 Ом – сопротивление участка АВ.
Найти: I1 - ток в первом элементе; I2 - ток во
втором элементе; I3 - ток на участке с
сопротивлением R.
Первый метод.
Решение. Пользуясь законами Кирхгофа и
учитывая условно выбранные направления токов,
составим уравнения для различных участков
цепи.
Для узла А:
I1 + I2 = I3
Для замкнутого контура KCDM:
1   2  I1r1  I 2 r2 .
Для замкнутого контура KABM:
1  I1r1  I 3 R.
Исключив из последнего уравнения значение тока I3 и решив систему уравнений
относительно I1 и I2, получим
I1 
 1 r2  ( 1   2 ) R
r1 R  r1 r2  Rr2
, I2 
I 1 r1   2   1
.
r2
Подставляя числовые значения, находим
I1 
1,6 В  0,5Ом  (1,6 В  1,3В)  0,6Ом
 0,7 А,
1Ом  0,6Ом  1Ом  0,5Ом  0,6Ом  0,5Ом
0,7 А  1Ом  0,3В
I2 
 0,8 А,
0,5Ом
I3 = 0,7А + 0,8А = 1,5А.
Второй метод.
Решение. Для решения задачи воспользуемся методом узловых потенциалов.
Обозначив потенциалы узла А через φA, а потенциал узла B примем равным нулю.
Тогда φA - φB = UAB. Запишем выражения токов (выбранные их направления
показаны на рисунке) по закону Ома для участка цепи с э.д.с. и без э.д.с.:
I1 
 1  U AB
r1
Так как I1 + I2 = I3, имеем
, I2 
1  U AB
r1

 2  U AB
r2
 2  U AB
r2
, I3 

Подставляя числовые значения, определим UAB:
U AB
.
R
U AB
R
1,6 В  U AB 1,3В  U AB
U AB


, UAB = 0,9 В
1,0Ом
0,50ОМ
0,60Ом
Находим значения силы токов:
I1 
1,6 В  0,9 В
1,3В  0,9 В
 0,7 А, I 2 
 0,8 А , I3 = 1,5 А
1,0Ом
0,50Ом
Ответ. Сила тока в первом элементе равна 0,7А, во втором элементе сила
тока составляет 0,8А; в проводнике с сопротивлением R сила тока равна 1,5А.
Задача. Электрическая цепь, изображенная на рисунке, состоит из источника
электрической энергии с э.д.с. 12 В и внутренним сопротивлением 1,0 Ом, двух
сопротивлений R1 = 3,0 Ом и R2 = 6,0 Ом и двух конденсаторов с ёмкостями
С1=1,0 мкФ и С2 = 2,0 мкФ. Определить разность потенциалов между точками a и
b и заряд, накопленный каждым конденсатором.
Дано: ε = 12В, r = 1,0 Ом – э.д.с и внутреннее сопротивление источника
электрической энергии, R1= 3,0 Ом, R2 = 6,0 Ом – сопротивления на участке цепи
АВ, С1 = 1,0.10-6Ф, С2 = 2,0 .10-6Ф – емкость конденсаторов.
Найти: ∆φ – разность потенциалов между точками a и
b; q – заряд, накопленный каждым конденсатором.
Решение. Условимся считать потенциал точки А равным
нулю, а потенциалы точек a и b обозначим через φa и φb;
тогда ∆φ = φa – φb. Решение задачи сводится к нахождению
φ a и φb .
Найдем ток в цепи:
I   /( R1  R2  r )
Потенциал точки b будет выше нуля на величину падения напряжения на
сопротивлении R1:
b  IR1  R1 /( R1  R2  r )
Падение напряжения на участке АВ:
U AB    Ir 
 ( R1  R2 )
R1  R2  r
Разность потенциалов на двух конденсаторах, соединенных последовательно,
будет также равна UAB. Учитывая способ соединения конденсаторов, заметим, что
заряд у них будет одинаков и равен
q  U AB
C1C 2
 ( R1  R2 )C1C 2

C1  C 2 ( R1  R2  r )(C1  C 2 )
Зная заряд и емкость первого конденсатора, можно определить разность
потенциалов на его обкладках, а, следовательно, φа. Выразим ∆φ и найдём его
числовое значение:
 
 ( R1  R2 )C2
( R1  R2  r )(C1  C 2 )
  12 B

R1
R1  R2  r

R2 C 2  R1С1
,
( R1  R2  r )(C1  C 2 )
(6,0  2,0  10 6  3,0  1,0  10 6 )Ом  Ф
 3,6 В.
(3,0  6,0  1,0)Ом  3,0  10 6 Ф
Найдём электрический заряд на конденсаторе:
q
12 В  9Ом 110 6 Ф  2 10 6 Ф
 7,2 10 6 Кл
10Ом  3 10 6 Ф
Ответ. Разность потенциалов между точками a и b равна 3,6 В, заряд на
каждом конденсаторе равен 7,2·10-6 Кл.
Задача. Аккумуляторная батарея с остаточной э.д.с. 10,2 В и внутренним
сопротивлением 0,90 Ом подключенная для зарядки к источнику с напряжением
14 В.
Какое
дополнительное
сопротивление
необходимо
включить
последовательно с батареей, чтобы сила зарядного тока была не больше 2,0 А?
Определить количество тепла, выделенного батареей за 20 мин, и количество
запасенной химической энергии.
Дано:  = 10,2 В  остаточное э.д.с. батареи и аккумуляторов, r = 0,90 Ом 
внутреннее сопротивление батареи, U = 14 В  напряжение источника
электрической энергии, I = 2,0 А  величина зарядного тока, t = 1200 с  время.
Найти: R  дополнительное сопротивление; Q  количество теплоты,
выделившееся в батарее; Wx  запасенную химическую энергию.
Решение. Дополнительное сопротивление можно определить из закона Ома
для участка цепи с э.д.с.:
I
Отсюда
R
U 
Rr
U    Ir
I
Запасенную химическую энергию найдем по разности энергии,
израсходованной в аккумуляторе, А = IUt и энергии, пошедшей на нагревание
аккумулятора, Q = I2rt:
Wx= A – Q = IUt - I2rt = I(U - IR)t.
Подставляя числовые данные, получаем
R
14 В  10,2 В  2,0 А  0,90Ом
 1Ом
2,0 А
Q = 4А2· 0,90 Ом · 1200с = 4300Дж,
Wx = 2,0 А·( 14 В - 2,0А·1Ом)·1200с – 4300Дж = 24500Дж.
Ответ. Дополнительное сопротивление должно быть равным 1Ом. За время
зарядки в батареи выделилось 4,3 кДж тепла и было накоплено 24,5 кДж
химической энергии.
Задача. Сколько ламп накапливания мощностью 200 Вт каждая,
рассчитанных на напряжение 127 В, можно установить в помещении, если
напряжение на зажимах генератора поддерживается 133 В, а проводка от
генератора до потребителя выполнена алюминиевым проводом общей длиной 150
м и сечением 15мм2? Определить общую мощность тока у потребителя.
Дано:Р1 = 200Вт – мощность одной лампы, U = 133 В – напряжение на
зажимах генератора, l = 150м – длина подводящих проводов,  = 2,9·10-8 Ом·м –
удельное сопротивление алюминия.
Найти: n – количество ламп; Р – мощность тока у потребителя.
Решение: Количество ламп, которые можно включить в данную цепь,
определим, разделив ток I в магистральном проводе на ток I0, проходящий через
одну лампу:
n=I/I0.
Вычислив по формуле R=l/S сопротивление подводящих проводов, найдем
ток в магистральном проводе:
I = (U – U0)/R,
где (U – U0) – падение напряжения в проводах. Ток в лампе вычислим по
формуле I0 = P0/U0; тогда
n
(U  U 0 ) / R (U  U 0 ) SU 0
I


.
I0
P0 / U 0
lP0
Мощность тока у потребителя найти из соотношения
P=P0n.
Подставляя числовые данные, получим
n
(133 В  127 В)  15  10 6 м 2  127 В
 13,
2,9  10 8 Ом  м  150 м  200 Вт
P = 200 Вт·13 = 2600 Вт = 2,6 кВт.
Ответ. В цепь можно включить 13 ламп общей мощностью 2,6 кВт.
Задача. Параллельно с лампой мощностью 100,0 Вт включили
электроплитку мощностью 400,0 Вт. Напряжение в сети 127 В. Какое напряжение
на лампе до и после включения электроплитки, если сопротивление подводящих
проводов составляет 3,0 Ом? Указанные мощности тока лампы и плитки
соответствуют напряжению 127 В.
Дано: P1 = 100,0 Вт - мощность лампы, P2 = 400,0 Вт – мощность
электроплитки, U=127 В – напряжение в сети, R0 = 3,0 Ом – сопротивление
подводящих проводов.
Найти: U1 - напряжение на лампе до включения электроплитки; U1 напряжение на лампе и плитки после включения последней.
Решение: Для решения задачи необходимо вычислить токи в цепи до и после
включения плитки. Для этого нужно знать общее сопротивление цепи в том и
другом случаях. Зная токи и сопротивление потребителей, найдем искомые
величины. Из выражения для мощности найдем сопротивление обоих
потребителей:
R1=U2/P1, R2=U2/P2.
Запишем общее сопротивление цепи при различной нагрузке и токи в обоих
случаях:
RR
''
 R0  1 2 ;
  R0  R1 , Rобщ
Rобщ
R1  R2
I = U/Rобщ, I = U/Rобщ .
Подставляя числовые значения, находим сопротивление цепи:
(127 В) 2
 161Ом ,
100 Вт
  3Ом  161Ом  164Ом,
Rобщ
R1 
(127 В ) 2
 40,3Ом ,
400 Вт
161Ом  40,3Ом
"
Rобщ
 3Ом 
 35Ом .
161Ом  40,3Ом
R2 
Вычислим токи:
I'
127 В
127 В
 0,7 А , I " 
 3,6 А .
164Ом
35Ом
Так как потребители и провода в обоих случаях соединены последовательно,
напряжение
127 В
распределиться
пропорционально
сопротивлениям
потребителей и проводов:
U=U1+IR0, U 1  I R0
U 1  127 B  3,0Ом  0,7 А  125 В,
U 1  127 В  3,0Ом  3,6 А  116 В
Ответ. В результате параллельного подключения к лампе плитки
напряжение на зажимах лампы понизилось от 125 до 116 В.
Задачи для самостоятельного решения
1. Определите напряженность стационарного электрического поля в
однородном проводнике длиной l = 2 м: и сопротивлением R = 3 Ом, если сила
тока в проводнике I = 8 А.
2. Определите напряженность стационарного электрического поля в медном
проводнике с площадью сечения S = 0,17 мм2, если при напряжении U = 2 В сила
тока в проводнике I = 0,5 А.
3. Участок цепи состоит из стальной проволоки длиной L1 = 2 м с площадью
сечения S1 = 0,48 мм2 , соединенной последовательно с никелиновой проволокой
длиной L2 = 1 м и площадью cечения S2 = 0,21 мм2. Какое напряжение U надо
подвести к участку, чтобы сила тока в цепи составила I = 0,6 А
4. Кусок нихромовой проволоки длиной l = 2 м с площадью сечения
S = 1 мм2 разрезали на четыре равные части и соединили их параллельно.
Определите силу тока I в получившемся сопротивлении напряжении на его
концах U = 6 В.
5. Неоднородный участок цепи (рис. 3
содержит
последовательно
соединенные
резисторы R1 = 3,7 Ом, R2 = 5,6 Ом и источник
тока
с
ЭДС
ε=5В
и
внутренним
сопротивлением
r = 0,7 Ом.
Определите
разность потенциалов ∆φ между точками A и B,
если сила тока на участке цепи I = 1 А.
Рис. 3
6. Неоднородный участок цепи (рис. 4)
содержит
последовательно
соединенные
резисторы R1 = 3,7 Ом, R2 = 5,6 Ом и источник
Рис. 4
тока
с
ЭДС
ε=5В
и
внутренним
сопротивлением r = 0,7 Ом. Определитe разность потенциалов ∆φ между точками
B и С, если сила тока на участке цепи I = 1 А.
7. Участок цепи состоит из трех резисторов R1 = 10 Ом, R2 = 25 Ом,
R3 = 50 Ом, соединенных параллельно, которые включены в сеть напряжением
U = 100 В. Определите силу тока в цепи и общее сопротивление участка.
8. Участок цепи состоит из трех
резисторов R1 = 2 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 5 Ом,
соединенных параллелъно. Определите
напряжение на концах участка и его общее
сопротивление, если сила тока в цепи I = 5 А
Рис. 5
9. Определите сопротивление R участка
состоящего из трех резисторов (рис. 5), если R1 = R2 = 1 Ом, R3 = 2 Ом.
10. Определите сопротивление R
участка цепи, состоящего из трех
резисторов
(рис. 6),
если
R1 = R2 = R3 = 9 Ом.
Рис. 6
цепи,
11. Квадратные медные пластины, площади
которых S1 = l см2 и S2 = 25 см2, подключены к
источнику
напряжением
U = 0,5 В
(рис. 7).
Определите силу тока в цепи, если толщина первой
пластины h1 = 2 мм, а второй — h2 = 1 мм.
12. Квадратные
алюминиевые
пластины
одинаковой толщины, площади которых S1 = l см2 и
S2 = 9 см2, подключены к источнику тока (рис. 7).
Определите напряжение на зажимах источника,
если сила тока в цепи I = 1 А.
Рис. 7
13. Фоторезистор, сопротивление которого в темноте R1 = 25 кОм, соединили
последовательно с резистором сопротивлением R = 5 кОм и подключили к
источнику тока, напряжение на зажимах которого равно U. При включении
освещения сила тока в цепи увеличилась в n = 4 раза. Определите сопротивление
освещенного фоторезистора.
14. При силе тока I1 напряжение на внешнем участке цепи равно U1э а при
силе тока I2 напряжение на этом же участке равно U2. Определите ЭДС источника
тока ε, к которому подключен участок.
15. При силе тока I1 напряжение на внешнем участие цепи равно U1, а при
силе тока I2 напряжении на этом же участке равно U2. Определите внутренне
сопротивление r источника тока, к которому подключен участок.
16. При замкнутом ключе К сила тока в цепи (рис. 8).
I1 = 0,45 А. Определите силу тока в этой цепи при
разомкнутом ключе, считая, что напряжение U не
изменяется.
17. При замкнутом ключе К сопротивление участка
Рис. 8
цепи (рис. 8). R = 30 Ом. Определите напряжение U,
приложенное к этому участку, считая его постоянным, если при разомкнутом
ключе сила тока в цепи I = 0,5 А
18. К источнику тока с ЭДС ε = 4 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом
подключены два резистора R1 = R2 = 2 Ом. Определите разность потенциалов ∆φ
на зажимах источника тока, если резисторы соединены последовательно.
19. К источнику тока с ЭДС ε = 4 В и внутренним: сопротивлением r = 1 Ом
подключены два резистора R1 = R2 = 2 Ом. Определите разность потенциалов ∆φ
на зажимах источника тока, если резисторы соединены параллельно
20. Определите, на каком расстоянии от источника напряжением U = 5 кВ
находится потребитель электроэнергии сопротивлением R = 1,6 кОм и
мощностью Р = 10 кВт, если двухпроводная линия, соединяющая их, выполнена
из алюминиевого провода с площадью сечения S = 1 мм2.
21. Потребитель мощностью Р = 1 кВт соединен с источником напряжения
U = 220 В, который находятся на расстоянии 400 м, двухпроводной линией из
медного провода с площадью сечения S = 2 мм2, Определите потери мощности в
линии электропередачи
22. По приведенным на графике (рис. 9)
данным зависимости мощности тока Р на
внешнем участке цепи от силы тока I в цепи
определите сопротивление нагрузки R, если
Р = 16 Вт.
23. По приведенным на графике (рис. 9)
данным зависимости мощности тока Р на
внешнем участке цепи от силы тока I в цепи
определите ЭДС ε источника тока, если его
внутреннее сопротивление r.
Рис. 9
24. По приведенным на графике (рис. 10)
данным зависимости напряжения U на зажимах
источника тока I силы тока в цепи определите
мощность Р1, теряемую внутри источника тока,
если сила тока в цепи I1 = 4 A.
25. По приведенным на графике (рис. 10)
данным зависимости напряжения U на зажимах
источника тока от силы тока I в цепи определите,
при какой силе тока I1 КПД источника тока
будет равен η1 = 50%.
Рис. 10
26. Определите, какое количество теплоты Q
выделится в цепи, схема которой приведена на
рисунке 11, после замыкания ключа К.
27. Определите, какое количество теплоты Q
выделится в цепи, схема которой приведена на
рисунке 12, после размыкания ключа К.
Рис. 11
28. Два заряженных шарика одинакового
размера, находящихся в вакууме на расстоянии
r1 = 2 м друг от друга, отталкиваются с силой
F1 = 1 Н. Какой станет сила взаимодействия F2,
если шарики привести в соприкосновение, а затем
поместить на прежнем расстоянии в керосин?
Заряд первого шарика до соприкосновения
q1 = 38 мКл.
Рис. 12
29. Шарик, заряд которого qо = 30 мкКл,
привели в соприкосновение с незаряженным шариком вдвое меньшего радиуса.
После этого шарики раздвинули так, что расстояние между их центрами стало
равным r =20 см. Определите силу F электростатического взаимодействия между
шариками.
30. Медный шарик диаметром d = 1 см помещен в трансформаторное масло.
Определите заряд шарика q, если при напряженности однородного
электростатического поля в масле Е = 36
кВ
, направленного вертикально вниз,
см
шарик оказался во взвешенном состоянии.
31. Сферическая капля ртути, заряд которой q = 16 нКл, помещена в
трансформаторное масло. Определите радиус капли R, если при напряженности
направленного вертикально вверх однородного электростатического поля в масле
Е = 600
B
капля оказалась во взвешенном состоянии.
cм
32. Заряженный шарик находится во взвешенном состоянии в воздухе, если
его поместить в однородное вертикальное электростатическое поле. После того
как этот шарик опустили в трансформаторное масло, а сосуд с маслом и шариком
поместили в то же поле, он опять оказался во взвешенном состоянии. Определите
плотность ρ вещества шарика.
33. Два точечных равных по модулю разноименных заряда q1 = q2 = 2 мкКл
находятся в воздухе на расстоянии l = 1 м друг от друга. Определите
напряженность поля Е в точке, находящейся на расстоянии r =50 см от каждого
заряда.
34. В соседних вершинах квадрата со стороной а = 20 см находятся
разноименные заряды q1 = +ЗО нКл и q2 = -40 нКл. Определите напряженность
электростатического поля Е в центре квадрата.
35. Пылинка массой m = 6,5 мг находится во взвешенном состоянии между
обкладками плоского конденсатора, расположенными на расстоянии d = 8 мм
друг от друга. Определите заряд пылинки q, если разность потенциалов между
обкладками конденсатора ∆φ = 150 В.
36. Определите массу пылинки с зарядом q = 9,1*10-18 Кл, если она находится
в равновесии в поле плоского конденсатора с напряженностью Е = 200
B
см
37. Обкладки конденсатора электроемкостью С = 2 мкФ, которому сообщен
заряд q = 10 мКл, соединили проводником. Определите количество теплоты Q,
выделившейся в проводнике при разряде конденсатора.
38. К обкладкам конденсатора электроемкостью С = 10 мкФ, заряженного до
напряжения U = 1 кВ, подключили электрическую лампочку накаливания.
Определите количество теплоты Q, выделившейся в спирали лампочки.
39. Катушка медной проволоки массой m = 1,13 кг имеет сопротивление
R = 260 Ом. Определите длину l и диаметр d проволоки.
40. Определите сопротивление R мотка стальной проволоки диаметром
d = 1 мм, если ее масса m = 300 г. Чему равна длина проволоки l?
41. Сопротивления и массы стального и алюминиевого проводов одинаковы.
Определите, какой из проводов длиннее и во сколько раз.
42. Сопротивление медного провода вдвое больше, чем алюминиевого, а
масса в четыре раза меньше. Определите, какой из проводов длиннее и во сколько
раз.
43. Сила тока в медном проводнике с площадью сечения S = 0,2 мм2
составляет I = 0,15 А. Определите силу F, действующую со стороны
стационарного электрического поля в проводнике на отдельные свободные
электроны.
44. За промежуток времени ∆t = 30 мин через поперечное сечение
проводника проходит заряд q = 1,8 кКл. Определите импульс электронов
проводимости р, ежесекундно проходящих через поперечное сечение проводника.
45. Источник тока с ЭДС ε = 2 В и внутренним сопротивлением r = 0,8 Ом
замкнут никелиновым проводником длиной l = 2,1 м и площадью сечения
S = 0,21 мм2. Определите напряжение U на зажимах источника.
46. Определите диаметр d железного проводника длиной l = 5 м, если после
замыкания им источника тока с ЭДС ε = 1,5 В и внутренним сопротивлением
r = 0,2 Ом сила тока в цепи I = 0,6 А.
47. К источнику тока с ЭДС ε = 20 В подключены два резистора R1 = l Ом и
R2 = 4 Ом, соединенные параллельно. Определите внутреннее сопротивление
источника тока r, если сила тока, проходящего по первому резистору, I1 = 4 A.
48. К источнику тока с ЭДС ε = 20 В подключены два резистора R1 = l Ом и
R2 = 4 Ом, соединенные последовательно. Определите внутреннее сопротивление
источника тока r, если сила тока, проходящего по второму резистору, I2 = 4 А.
49. Идеальный амперметр, включенный в цепь, состоящую из источника тока
с ЭДС ε = 2 В и резистора сопротивлением R = 0,2 Ом, показывает силу тока
I1 = 0,5 А. После того как в эту цепь последовательно с первым источником
включили еще один источник тока с такой же ЭДС, показания амперметра
уменьшились до I2 = 0,2 А. Определите внутренние сопротивления источников
тока r1 и r2.
50. Идеальный амперметр, включенный в цепь, состоящую из источника тока
с внутренним сопротивлением r и резистора, сопротивление которого равно
внутреннему сопротивлению источника, показывает силу тока I1 = 0,5 А. После
того как в эту цепь последовательно с первым включили еще один источник тока
с такой же ЭДС, показания амперметра не изменились. Определите внутреннее
сопротивление r2 второго источника тока.
51. При подключении лампочки накаливания к источнику тока с ЭДС
ε = 10 В напряжение на ней U = 8 В. Определите КПД источника тока η.
52. К источнику тока с ЭДС ε = 6 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом
подключен резистор. Определите КПД источника тока η, если сила тока в цепи
I = 1 А.
53. КПД аккумулятора, замкнутого на первое сопротивление, η1 = 50%, а
замкнутого на второе η2 = 60%. Определите, каким будет КПД этого аккумулятора
η, если его замкнуть на оба сопротивления, соединенные параллельно.
54. КПД аккумулятора, замкнутого на первое сопротивление, η1 = 65%, а
замкнутого на второе η2 = 40%. Определите, каким будет КПД этого
аккумулятора η, если его замкнуть на оба сопротивления, соединенные
последовательно.
55. К аккумулятору с ЭДС ε и внутренним сопротивлением r подключена
нагрузка, потребляющая мощность Р. Определите силу тока I в цепи.
56. К аккумулятору с ЭДС ε и внутренним сопротивлением r подключена
нагрузка, потребляющая мощность Р. Определите напряжение U на зажимах
аккумулятора.
57. Резистор подключен к источнику тока с ЭДС ε = 2 В и внутренним
сопротивлением r = 1 Ом. Определите силу тока в цепи, если мощность,
рассеиваемая на резисторе, Р = 0,75 Вт.
58. Замкнутая цепь состоит из источника тока с ЭДС ε = 16 В с внутренним
сопротивлением r = 1 Ом и нагрузки. Определите сопротивление нагрузки, если
на ней выделяется мощность Р = 16 Вт.
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Примеры решения задач
Задача. Однородное электрическое поле с напряженностью 100 В/см
перпендикулярно к однородному магнитному полю с индукцией 0,20 Тл.
Электрон влетает в эти поля перпендикулярно к векторам Е и В. При какой
начальной скорости электрон будет двигаться в этих полях прямолинейно? При
какой скорости прямолинейно будут двигаться протоны?
Запишем краткое условие задачи
B = 20 мТл
Построим рисунок, иллюстрирующий задачу.
E = 100 В/см
υe - ?
υp - ?
Положим, что электрон движется с права налево. Будем считать, что линии
магнитной индукции направлены «от нас». Почему? Просто линии направленные
«к нам» изображаются точками, линии направленные «от нас» - крестиками, а
крестики на рисунке лучше видны.
Линии напряженности электрического поля по условию задачи
перпендикулярны линиям магнитной индукции и вектору скорости, а значит, на
рисунке они должны быть направлены вверх или вниз.
Воспользуемся правилом левой руки. Расположим левую руку так, чтобы
линии магнитной индукции входили в ладонь. Так как электрон отрицательно
заряженная частица четыре вытянутых пальца должны указывать направление,
противоположное тому, куда движется частица. Отогнутый большой палец
указывает на то, что сила Лоренца, действующая на электрон, направлена вверх.
Частица движется равномерно и прямолинейно, следовательно,
равнодействующая сил, действующих на нее должна быть равна нулю. Это
возможно если сила электрического поля будет направлена вниз. Вспомнив, что
электрон - отрицательно заряженная частица, понимаем, что линии
напряженности электрического поля направлены вверх.
Таким образом, мы не только подготовили рисунок, иллюстрирующий
данную задачку, но и провели анализ ее условия.
Так как равнодействующая сил, действующих на электрон равна нулю, то Fл
= Fэл .
Поскольку электрон движется в направлении перпендикулярном линиям
магнитной индукции, то Fл = Bυq, где q – заряд частицы.
Электрическая сила Fэл = Eq. Приравняв эти выражения, получаем Bυq = Eq
или υ = E/B.
Таким образом, чтобы двигаться в скрещенных электрическом и магнитном
полях равномерно и прямолинейно электрон должен обладать скоростью равной
отношению напряженности электрического поля к индукции магнитного поля.
Видно, что полученный результат не зависит от величины электрического заряда,
т.е. с такой же по модулю скоростью должен двигаться протон, как впрочем, и
любая другая частица.
Осталось выяснить направление, в котором должен двигаться протон, с тем,
чтобы его скорость оставалась неизменной. Так как протон – частица
положительно заряженная, электрическая сила, действующая на него, будет
направлена вверх, как и указывают линии напряженности электрического поля.
Следовательно, сила Лоренца должна быть направлена вниз. Применив правило
левой руки, получаем, что не только модуль скорости, но и ее направление в этом
случае не изменяются.
Задача. Прямолинейный проводник длинной 1,2 м с помощью гибких
проводов присоединен к источнику электрической энергии с э. д. с. 24 В и
сопротивлением 0,5 Ом. Этот проводник помещают в однородное магнитное поле
с магнитной индукцией 0,8 Тл, которое направлено так, как показано на рисунке.
Сопротивление всей внешней цепи равно 2,5 Ом. Определить силу тока в
проводнике в этот момент, когда он движется перпендикулярно к линиям
индукции поля со скоростью 12,5 м/с. Во сколько раз изменится сила тока, когда
проводник остановится?
Дано: l = 1,2 м – длина проводника, ε1 = 24 В –
э.д.с. источника, r = 0.5 Ом - внутреннее
сопротивление источника энергии, В = 0,8 Тл–
индукция магнитного поля, υ = 12.5 м/с – скорость
движения проводника, R = 2.5 Ом – сопротивление
внешней цепи.
Найти: I1 - сила тока в цепи; I 2 / I1 - во сколько
раз изменится сила тока при остановке проводника.
Решение. Силу тока можно найти из закона Ома
для всей цепи:
I

rR
.
Здесь ε – обозначает электродвижущую силу, действующую в электрической
цепи.
При движении магнитного проводника в магнитном поле, кроме э.д.с.
батареи  1 , в цепи действует э.д.с. индукции  ин  Bl , которая направлена
против  1 , что можно установить по правилу правой руки.
 0     ин , I1  (   ин ) /(r  R) .
При остановке проводника  ин исчезает, поэтому  0 будет равна  .
Находим  ин :
 ин  Bl ,
 ин  0,8Тл  12,5 м с  12 В .
Сила тока в движущемся проводнике
1 
24 В  12 В
 4А
0,5Ом  2,5Ом
Определяем силу тока в неподвижном проводнике:
2 
24 В
 8А .
0,5Ом  2,5Ом
Ищем отношение сил тока:
I 2 8А

 2.
I1 4 А
Ответ. Сила тока в проводнике при его движении равна 4 А, при остановке
проводника сила тока возрастает в два раза.
Задача. При изменении силы тока от 2,5 до 14,5 А в соленоиде без
сердечника, содержащем 800 витков, его магнитный поток увеличивается на
2,4 мBб. Чему равна средняя э. д. с. самоиндукции, возникающая при этом в
соленоиде, если изменение силы тока происходит за 0,15 с? Определить энергию
магнитного поля в соленоиде при силе тока 5,0 А.
Дано: I1  2,5 А - начальная сила тока, I 2  14,5 А - конечная сила тока, N = 800
– число витков в соленоиде,   2,4  10 3 Вб – изменение магнитного потока,
t  0,15 с – время изменения тока, I = 5,0 А – постоянная сила тока.
Найти:  ср - среднюю э. д. с. самоиндукции, возникающую при изменении
тока в соленоиде, Wмаг - энергию магнитного поля соленоида.
Среднюю э. д. с. самоиндукции можно определить из формулы
 ср   L
I
,
t
где I  I 2  I1 .
Находим индуктивность соленоида:
800  2,4  10 3 Вб
N
L

 0,16 Гн .
,
L
14,5 А  2,5 А

Теперь вычисляем  ср :
 ср  0,16 Гн
12 А
 13 В .
0,15с
Магнитную энергию можно определить из соотношения
LI 2
W маг 
.
2
Рассчитаем ее:
W маг 
0,16 Гн  25 A 2
 2 Дж .
2
Ответ. Среднее значение э.д.с. самоиндукции в соленоиде 13 В, магнитная
энергия соленоиде при силе тока 5А равна 2Дж.
Задача. Пучок электронов с одинаковой скоростью проходит между
пластинами плоского конденсатора с расстоянием между ними 2,4 см. Скорость
электронов направлена параллельно пластинам. Внутри конденсатора создается
магнитное поле с индукцией 6,20  10 4 Тл, направленной на читателя (на рисунке
линии индукции изображены кружками), т. е. перпендикулярно к вектору
скорости электронов. Когда напряжение на конденсаторе отсутствует
(конденсатор разряжен), то под действием силы Лоренца электроны движутся по
дуге радиусом 1,8 см. Если же на конденсаторе создается напряжение 29,3 В, то
электроны движутся в нем прямолинейно параллельно пластинам. Определить
удельный заряд электрона (отношение заряда электрона к его массе) и массу
электрона, если его заряд 1,6  10 19 Кл.
Дано: d = 0,024 м – расстояние между пластинами конденсатора,
B  6,20  10 4 Тл – индукция магнитного поля, r  1,8  10 2 м – радиус дуги, U  29,3 В
– напряжение на конденсаторе, e  1,6  10 19 Кл – заряд электрона.
Найти: e me - удельный заряд электрона; me - массу электрона.
Решение: В отсутствие электрического поля сила Лоренца Fмаг  Be ,
действующая на электроны, является центростремительной силой, Fц  me  2 r .
Приравнивая две эти силы, можно найти величину e me .
Неизвестную скорость движения v можно найти следующим образом. При
наличии
электрического
поля
электроны
движутся
прямолинейно.
Следовательно, приложенные к электрону магнитная и электрическая сила равны
по величине: Fмаг  Fэл . Учитывая, что Fэл  eE  eU d , находим скорость
электронов:
Be  eU d ,   U dB ,
29,3B
 1,97  10 6 м/с.
4
2,4  10 м  6,20  10 Тл
Из равенства Fмаг  Fц находим e me :

2
Be  me  2 r , e me   Br ,
e
1,97  10 6 м / с

 1,77  1011 Кл / кг .
4
2
me 6,20  10 Тл  1,8  10 м
Определим, наконец, массу электрона:
me 
1,6  10 19 м / с
 9,1  10 31 Кл / кг .
11
1,77  10 Кл / кг
Ответ. Удельный заряд электрона равен примерно 1.8 1011 Кл / кг ; масса
электрона 9,1  10 31 кг .
Задачи для самостоятельного решения
1. Стержень длиной l = 0,5 м и сопротивлением R = 0,2 Ом движется со
скоростью
υ = 10
м
с
перпендикулярно
к
линиям
индукции
однородного
магнитного поля с индукцией B = 4 Тл. Определите силу тока в стержне, если его
замкнуть накоротко гибким проводником, находящимся вне поля.
2. Стержень длиной l = 0,1 м и сопротивлением R = 0,05 Ом движется со
скоростью υ = 5
м
под углом  = 30° к линиям индукции. Определите индукцию
с
магнитного поля В, если сила тока в стержне, замкнутом накоротко гибким
проводником, находящимся вне поля, I = 0,15 А.
3. На длинный сердечник с площадью сечения S = 4 см2 намотан соленоид,
содержащий N = 1000 витков. Сила тока, проходящего по виткам, I = 0,5 А.
Определите индуктивность соленоида L, если индукция магнитного поля внутри
соленоида на его оси В = 1 Тл.
4. На сердечник с площадью сечения S = 5 см2 и длиной l = 30 см намотан
соленоид, содержащий N = 500 витков. Сила тока, проходящего по виткам,
I = 10 А. Определите индукцию магнитного поля В внутри соленоида на его оси,
если его индуктивность L = 1 Гн.
5. Энергия магнитного поля катушки электромагнита с индуктивностью
L = 0,2 Гн составляет W = 5 Дж. Определите, чему равна ЭДС самоиндукции ε в
катушке при равномерном уменьшении силы тока до нуля в течение промежутка
времени ∆t = 0,1 с.
6. Энергия магнитного поля катушки составляет W = 2,5 Дж. Определите
индуктивность катушки L, если при равномерном уменьшении силы тока в
катушке до нуля в течение промежутка времени ∆t = 0,05 с в ней возникает ЭДС
самоиндукции ε = 10 В.
7. Круговой виток находится в однородном магнитном поле с индукцией В.
Виток, не перекручивая, превратили в восьмерку, составленную из двух равных
колец. Во сколько раз n изменился магнитный поток Ф, пронизывающий
плоскость витка?
8. Круговой виток находится в однородном магнитном поле с индукцией В,
направленном перпендикулярно его плоскости. Виток превратили в квадрат и
повернули так, что его плоскость составила угол α = 30° с линиями магнитной
индукции. Во сколько раз n при этом изменился магнитный поток Ф,
пронизывающий виток?
9. На концах стального проводника с площадью сечения S = 0,05 мм2
поддерживается напряжение U = 0,48 В. Проводник находится в однородном
магнитном поле с индукцией B = 0,01 Тл. Определите угол α между направлением
поля и осью проводника, если на него действует сила F = 10 мН.
10. На нихромовый проводник с током, который находится в однородном
магнитном поле с индукцией B = 10 мТл, направленном под углом α = 30° к оси
проводника, действует сила F = 1 мН. Определите напряжение U на концах
проводника, если площадь его поперечного сечения S = 0,1 мм2.
11. Проводник массой m = 23,7 г, сила тока в котором I = 23 А, находится в
равновесии в горизонтальном магнитном поле с индукцией В = 48 мТл, если угол
между направлениями тока и линий магнитной индукции α = 60°. Определите
длину проводника l
12. Проводник длиной l = 1 м и массой m = 8 г расположен перпендикулярно
линиям индукции горизонтального магнитного поля. Какой должна быть сила
тока I в проводнике, чтобы он находился в равновесии в магнитном поле, если
В = 8 мТл?
13. Кольцо диаметром d = 12 см из гибкого проводника сопротивлением
R = 100 Ом находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 100 мТл,
направленном перпендикулярно плоскости кольца. Определите, какой заряд q
пройдет по проводнику, если кольцо преобразовать в квадрат.
14. Квадрат со стороной α = 10 см из гибкого проводника сопротивлением
R = 100 кОм находится в однородном магнитном поле, направленном
перпендикулярно плоскости кольца. Определите индукцию магнитного поля B,
если при преобразовании квадрата в равносторонний треугольник по проводнику
прошел заряд q = 120 нКл.
15. Кольцо радиусом R = 8 см и сопротивлением R = 0,l Ом находится в
однородном магнитном поле с индукцией B = 100 мТл, направленном
перпендикулярно его плоскости. Определите, какое количество теплоты Q
выделится в кольце при его повороте в поле на угол φ = 90° в течение промежутка
времени ∆t = 0,1 с.
16. Квадратная рамка со стороной α = 10 см и сопротивлением R = 1 Ом
находится в однородном магнитном поле с индукцией B = 100 мТл, направленном
перпендикулярно ее плоскости. Определите, в течение какого промежутка
времени ∆t рамку повернули в поле на угол φ = 180°, если при повороте
выделилось количество теплоты Q = 40 мДж.
17. Электрон после разгона в электростатическом поле с разностью
потенциалов ∆φ = 500 В влетает в однородное магнитное поле с индукцией
В = 0,2 Тл и движется в нем по дуге окружности. Определите радиус r этой
окружности.
18. Заряженная частица после ускорения в электростатическом поле с
разностью потенциалов Δφ = 3,52 кВ влетает в однородное магнитное поле с
индукцией B = 10 мТл и движется в нем по дуге окружности радиусом r = 2 см.
Определите удельный заряд частицы q/m.
19. В скрещенных электростатическом и магнитном полях с напряженностью
Е = 8,8
кВ
м
и
индукцией
В = 3,5 мТл
электрон
движется
прямолинейно.
Определите радиус окружности R, по которой будет двигаться электрон, если
электростатическое поле выключить.
20. Протон движется по окружности радиусом R = 8,1 см в магнитном поле с
индукцией В = 0,6 Тл. Определите, при каком значении напряженности
электростатического поля E, направленного перпендикулярно к магнитному,
протон будет двигаться в скрещенных полях прямолинейно.
21. Электрон, ускоренный из состояния покоя в электростатическом поле с
разностью потенциалов ∆φ = 300 В, движется параллельно прямолинейному
проводнику, сила тока в котором I = 5 А, на расстоянии r = 4 мм от него.
Определите силу F, действующую со стороны магнитного поля проводника на
электрон.
22. Протон, ускоренный из состояния покоя, в электростатическом поле с
разностью потенциалов ∆φ = 2 кВ движется вдоль прямой, проходящей через
центр кольца радиусом R = 2 см, сила тока в котором I = 10 А. Определите силу F,
действующую на протон со стороны магнитного поля в момент прохождения им
центра кольца.
23. Силы токов в двух находящихся в воздухе параллельных проводниках
I1 = 20 А и /2 = 30 А. Длина каждого проводника l = l м. Определите расстояние г
между проводниками, если они взаимодействуют с силой -F = 4 мН.
24. Два находящихся в воздухе на расстоянии d = 8,7 см друг от друга
параллельных проводника, силы токов в которых одинаковы, притягиваются с
силой F = 25 мН. Определите силы токов I1 и I2 в проводниках, если длина
каждого из них l = 3,2 м.
25. По двум длинным параллельным проводникам, находящимся в воздухе
на расстоянии d = 5 см друг от друга, проходят токи I1 = I2 = 5 А в одном
направлении. Определите индукцию магнитного поля в точке, расположенной на
расстоянии r = 2,5 см от каждого из проводников.
26. По двум длинным параллельным проводникам, находящимся в воздухе
на расстоянии d = 15 см друг от друга, проходят токи I1 = I2 = 10 А в
противоположных направлениях. Определите индукцию магнитного поля B в
точке, расположенной на расстоянии r =7,5 см от каждого из проводников.
27. Кольцо радиусом R, сделанное из куска изолированной проволоки,
подключено к источнику с постоянным напряжением U. Определите, как
изменится индукция магнитного поля в центре кольца, если из того же куска
проволоки сделать двойное кольцо вдвое меньшего радиуса и подключить его к
тому же источнику.
28. Первое кольцо, сделанное из куска проволоки, подключено к источнику с
постоянным напряжением U1. Определите, при каком напряжении U2 индукция
магнитного поля в центре второго кольца вдвое большего радиуса, сделанного из
той же проволоки, будет такой же, как и в центре первого кольца.
29. Проволочное кольцо радиусом r = 5 см расположено в однородном
магнитном поле с индукцией В = 1 Тл так, что линии индукции перпендикулярны
к плоскости кольца. Определите ЭДС индукции, возникающую в кольце при его
повороте на угол φ = 90° вокруг оси, совпадающей с диаметром, за промежуток
времени ∆t = 0,1 с.
30. Проволочное кольцо радиусом r = 5 см, по которому проходит ток
I = 3 А, расположено в однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл так, что
линии индукции перпендикулярны плоскости кольца. Определите, какую работу
A нужно совершить при повороте кольца на угол φ = 90° вокруг оси,
совпадающей с диаметром.
31. Проводник движется со скоростью υ = 4 м/c в однородном магнитном
поле, индукция которого В = 0,2 Тл. Определите напряженность электрического
поля Е в проводнике, если скорость движения перпендикулярна оси проводника и
полю.
32. Проводник длиной l = 0,5 м движется со скоростью υ = 5 м/с в
однородном магнитном поле, индукция которого В = 8 мТл, Определите разность
потенциалов Δφ , возникающую на концах проводника, если скорость
перпендикулярна оси проводника и полю.
33. К кольцу из медной проволоки, площадь сечения которой S = 1 мм2,
приложено напряжение U = 0,15 В. Определите индукцию магнитного поля в
центре кольца, если сила тока I = 10 А.
34. Сила тока, проходящего по кольцу из алюминиевой проволоки с
площадью сечения S =2 мм2, I =20 А. Определите напряжение U, приложенное к
кольцу, если индукция магнитного поля в его центре В = 50 мкТл.
Литература
1. Сборник заданий по физике для проведения выпускных экзаменов за курс
средней школы, тестирования, вступительных экзаменов в высшие учебные
заведения / Авт.-сост. В.В.Жилко, Л.А. Исаченкова, А.А. Луцевич и др. – Мн.:
Адукацiя i выхаванне, 2003.
2. Календарь юного физика 2007-2008. \ авт.-сост.: Е.Н. Володько [и др.]. –
Мн.: ОО «Бел. ассоц. «Конкурс», 2007.