Электрическое поле: лекция по электростатике

Лекция 2
 Электрическое поле.
 Напряженность поля. Вектор напряженности
поля точечного заряда.
 Принцип суперпозиции полей.
 Поле электрического диполя.
Электрическое поле. Напряженность
электрического поля.
Закон Кулона не дает ответа на ряд вопросов: почему
появляются силы, действующие на электрический заряд;
каким образом они передаются от одного заряда к
другому; механические силы возникают только при
наличии двух зарядов, или в окружающем пространстве
возникают какие-либо изменения даже при наличии
одного заряда?
Исторически сложилось так, что параллельно
существовали
две
теории,
которые
объясняли
взаимодействие тел, в том числе и наэлектризованных.
По одной из них предполагалось, что взаимодействие
происходит без участия посредника, среды или каких-то
третьих тел, т.е. через пустоту и мгновенно.
Эта теория получила название теории дальнодействия.
В таком случае при наличии только одного заряда в
окружающем пространстве никаких изменений не
происходит.
Согласно второй теории любое взаимодействие между
разобщенными телами передаются только при наличии
какой-либо среды, причем, последовательно от одной ее
части к другой и с конечной скоростью.
Теория называется теорией близкодействия.
Современная физика признает только последнюю и
отвергает теорию дальнодействия.
Допущение
возможности
передачи
силовых
взаимодействий через пустоту без участия материи то же
самое, что допустить возможность движения без материи.
Это не имеет смысла.
Таким образом, для понимания механизма передачи
силового взаимодействия между неподвижными зарядами,
необходимо допустить существование между ними
физического агента (посредника) – электрического поля.
Электрическое поле есть вид материи, посредством
которого осуществляется силовое воздействие на
электрические заряды, находящиеся в этом поле.
Электрическое поле, созданное системой неподвижных
зарядов называют, электростатическим полем.
Поскольку электростатическое поле является частным
случаем поля электрического, в дальнейшем будем
использовать оба термина.
Основное свойство электрического поля: на всякий
заряд, помещенный в это поле, действует сила.
Вокруг движущихся зарядов существует также и
магнитное поле.
Электрическое
поле характеризуется
величинами: силовой и энергетической.
двумя
Напряженность электрического поля
Силовой характеристикой электрического поля является
вектор напряженности. Для понимания этой физической
величины рассмотрим следующий случай.
В некоторую точку поля создаваемого точечным
зарядом q поместим другой точечный заряд q1. Такой
заряд, помещенный в электрическое поле для его
изучения, называют пробным.
Согласно закону Кулона на него будет действовать сила
F1~ q1 т. е. сила пропорциональная величине пробного
заряда.
Если в эту же точку поместить заряд, q2 то на него
будет действовать сила F2~ q2, qn – Fn~ qn.
Однако при делении любой из этих сил на величину
соответствующего пробного заряда получим:
F1 F2
Fn

   E
q1 q2
qn
Отношение силы, действующей на пробный заряд, к
величине этого заряда не зависит от выбора пробного
заряда, характеризует поле в точке, где находится пробный
заряд и называется напряженностью электрического
поля.
F
E
q
2.1
Напряженность поля в данной точке численно равна
силе, которая действует на единичный положительный
пробный заряд, помещенный в данную точку поля.
Напряженность
векторная.
электрического
поля
–
величина
Направление вектора E совпадает с направлением
вектора силы, действующей на положительный пробный
заряд, помещенный в данную точку поля.
Если вектор E в любой точке поля имеет одинаковое
направление и имеет одинаковый модуль, то такое поле
называют однородным.
Единицей измерения напряженности электрического
поля является вольт на метр:
1Н 1Дж м

1В м
E 
1Кл 1Дж В
1 В/м – это напряженность электрического поля, в
котором на заряд величиной в 1 Кл действует сила в 1 Н.
Направление вектора напряженности совпадает с
направлением силы, действующей на положительный
точечный заряд, помещенный в данную точку поля.
E  F
Для наглядного представления электрического поля
используют силовые линии. Эти линии проводятся так,
чтобы направление вектора E в каждой точке совпадало с
направлением касательной к силовой линии.
При изображении электрического поля с помощью
силовых линий, их густота должна быть пропорциональна
модулю вектора напряженности поля.
Силовые линии электрического поля.
Напряженность поля точечного заряда. Принцип
суперпозиции электростатических полей.
Если поле создано одним точечным зарядом q, то
выражение для расчета напряженности в любой его точке
на произвольном расстоянии r согласно закону Кулона
получается путем деления его левой и правой частей на
величину пробного заряда q0:
1 qq0
F
2
4 0 r
F
1 q
E

2
q0 40 r
2.2
Напряженность поля точечного заряда убывает прямо
пропорционально квадрату расстояния от заряда.
Кулоновское поле точечного заряда q удобно записать в
векторной форме. Для этого нужно провести радиусвектор r от заряда q к точке наблюдения.
Тогда при q > 0 вектор E
параллелен r а
при q < 0 вектор E антипараллелен r.
Следовательно, можно записать:
1
q
E 
r
3
4 0 r
2.3
Силовые линии поля точечного заряда
Поле двух одноименных зарядов
Поле двух разноименных зарядов
Электрическое поле может создаваться не одним, а
несколькими точечными зарядами.
В таком случае его напряженность равна векторной
сумме напряженностей полей, которые создавал бы
каждый из этих зарядов в отсутствие остальных.
Принцип суперпозиции
2.4
где n число точечных зарядов.
Выражение (2.4) носит название принципа суперпозиции
(независимости) электрических полей.
Равенство (2.4) совсем не очевидно и является
обобщением огромного числа опытных данных.
Напряженность поля электрического диполя
В
качестве
примера
применения
принципа
суперпозиции полей рассмотрим картину силовых линий
поля электрического диполя.
Электрическим диполем называют систему из двух
одинаковых по модулю зарядов разного знака +q и – q,
расположенных на некотором расстоянии l.
Силовые линии поля
электрического
диполя
Вектор l, направленный от отрицательного заряда к
положительному, называется плечом диполя.
Важной характеристикой электрического диполя
является так называемый дипольный момент p.
Вектор p=q·l называется электрическим моментом
диполя, или дипольным моментом. Направление вектора p
совпадает с направлением вектора l.
Единица измерения дипольного момента 1 Кл·м.
Электрическим
дипольным
моментом обладает,
например, нейтральная молекула воды (H2O), так как
центры двух атомов водорода располагаются не на одной
прямой с центром атома кислорода, а под углом 105°.
Дипольный момент молекулы воды p = 6,2·10–30 Кл·м.
Для
получения
выражения,
позволяющего
рассчитать
напряженность поля точечного диполя в любой точке пространства,
рассмотрим два частных случая.
Пусть точка наблюдения лежит на оси диполя и находится на
расстоянии r от ее центра. Причем r>>l.
Результирующее поле согласно принципу суперпозиции:
E  E  E
где E– и E+ – напряженности полей, создаваемые сответственно
отрицательным и положительным зарядами:
1 q
E 
2
4 0 r
1 q
E 
2
4 0 r
Из рисунка видно,что: r– = r + l/2, r+= r – l/2, тогда:
q  1
1 
E



2
2
40   r  l / 2   r  l / 2  
2
2
l
l
2
r  rl   r  rl 
2rl
4
4
 kq
 kq

2
2
2
l 
l

 2 l2 
r  
r   r  

2 
2

4

2
Так как согласно определению точечного диполя r
много больше l, то l2/4 ≈ 0 и:
l
p
2p
E  2kq 3  2k 3 
3
r
r 40 r
2.5
Рассмотрим случай, когда точка наблюдения находится
на перпендикуляре, восстановленном к середине плеча
диполя:
Как и в первом случае напряженность поля в точке А:
E  E  E
Поскольку расстояния r+ и r- точки А от обоих зарядов
равны между собой, то:
1 q
q
E  E 

k
2
2
40 r
r
Как видно из рисунка модуль результирующего вектора
напряженности равен:
q
E  E cos   E cos   2 E cos   2k 2 cos 
r
Из рисунка видно, что:
2
l
2
r   r ,
2
2

l
cos  

2r
l
2
l
2 r 
4
2
или, учитывая, что r много больше l, получим:
ql
p
p
Ek 3 k 3 k
3
r
r
40 r
2.6
Определение напряженности в произвольной точке поля
сводится к рассмотренным выше частным случаям.
Опустим из заряда +q перпендикуляр CD на линию
наблюдения АВ и поместим в точке D два заряда +q и – q.
Это не изменит поля. Но полученную систему из
четырех зарядов можно рассматривать как два диполя с
дипольными моментами p1 и p2.
Вообще при вычислении напряженности поля или сил,
действующих на диполь, последний всегда можно
заменить системой любого числа диполей, векторная
сумма
моментов
которых
равна
моменту
рассматриваемого диполя.
Из треугольника ВСD можно записать p1=pcosφ, а
p2=psinφ. И тогда напряженность поля в точке А,
создаваемого диполем с моментом p1 (см. уравнение 2.5):
p1
p cos 
E  2k 3  2k
3
r
r
а диполем с моментом p2 (см. уравнение 2.6):
p2
p sin 
E  k 3  k
3
r
r
Суммарная
напряженность
поля
в
точке
рассчитывается согласно принципу суперпозиции:
2
2
2
2
p
cos

p
sin
2
Е  E2  E2  4k 2

k

6
6
r
r
kp
2
 3 3cos   1
r
А
2.7
Легко заметить, что при φ=0 из (2.7) получается (2.5), а
при φ=π/2 – (2.6).
Таким образом напряженность электрического поля
диполя прямо пропорциональна величине дипольного
момента и обратно пропорциональна кубу расстояния
от диполя.
Диполь во внешнем электрическом поле.
В
однородном
электрическом
поле
вектор
напряженности имеет одно и то же направление в любой
точке и на диполь будут действовать силы F+ и F–.
Очевидно, что эти силы равны по модулю F+=F– =qE и
противоположны по направлению. Они образуют пару
сил, плечо которой равно l·sinα.
Модуль момента этой пары сил равен произведению
силы и плеча M=qElsinα=pEsinα, или в векторном виде:
M  pE
Однородное электрическое поле стремится повернуть
диполь таким образом, чтобы векторы p и E стали
параллельными.
При повороте диполя на бесконечно малый угол dα поле
выполняет работу dA=Mdα=pEsinαdα. На такую же
величину изменяется потенциальная энергия диполя
dW=pEsinαdα.
При повороте на угол α энергия диполя измениться на
величину:
W   pE sin   d    pE cos   C
При α= π/2 потенциальная энергия равна нулю, а значит
и постоянная интегрирования C=0. И, тогда:
W   pE cos 
Существуют два положения равновесия диполя в
однородном электростатическом поле: когда векторы p и E
параллельны и антипараллельны.
В первом случае α=0, соответственно cos0o=1,
потенциальная энергия отрицательна.
Во втором случае cos180o= –1 и потенциальная энергия
положительна.
Состояние устойчивого равновесия соответствует
минимуму потенциальной энергии системы, или подругому это означает, что при выведении системы из
равновесия возникают силы, которые стремятся вернуть
ее в первоначальное состояние.
Из рисунка видно, что при α=0 такие силы возникают.
Рассмотрим поведение
электростатическом поле
диполя
в
неоднородном
В таком поле диполь будет поворачиваться до
устойчивого состояния.
Однако поскольку сила, действующая на отрицательный
заряд больше чем сила, действующую на положительный
заряд (F–>F+), то диполь будет втягиваться в более сильное
поле.
Равнодействующая этих сил равна:
f  F  F  q( E  E )  qE  qE
Умножим и разделим полученное выражение на Δx и
получим:
E
E
f q
или
или
x
x  q
x
E
f p
cos 
x
dE
f p
cos 
dx
l cos 