Комплексные числа: Методическое пособие для студентов

Краевое государственное бюджетное профессиональное образовательное
учреждение "Красноярский политехнический техникум"
Е.В.Тахтобина
МАТЕМАТИКА
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
для студентов средних профессиональных учебных заведений
КРАСНОЯРСК 2018
Тахтобина Е.В. Математика. Комплексные числа: Методическое пособие для
студентов средних профессиональных учебных заведений. – Красноярск,
2018.
Учебное пособие содержит необходимый теоретический материал
по разделу: «Комплексные числа», а также решение типовых заданий.
Решение задач по математике у студентов часто сопряжено со многими
трудностями.
Помочь
студенту
преодолеть
эти
трудности,
научить
применять теоретические знания к решению задач, а также закрепить и
углубить навыки, приобретенные при решении задач по
данной теме -
основное назначение данной методической разработки.
Учебное пособие предназначено для студентов 1-ого курса,
изучающим дисциплину «Математика», а также может быть использовано
преподавателями математики.
Рецензенты:
Дегтярева С.Н., преподаватель математики
КГБПОУ "Красноярского
политехнического техникума", преподаватель
высшей квалификационной
категории.
2
Рецензия
на
методическую
разработку
«Комплексные
числа»,
написанную
преподавателем математики Тахтобиной Е.В.
Настоящая методическая разработка предназначена для студентов
первого курса по дисциплине «Математика». Она содержит теоретические
сведения и практические задания по темам раздела «Комплексные числа».
В
каждом
разделе
приведена
необходимая
теоретическая
информация, показаны приемы решения задач, а затем следуют задачи для
самостоятельного решения. Такая форма изложения позволяет студенту
сначала познакомиться с приемами решения и оформлением записи их
решений, а затем приступить к выработке навыков в их самостоятельном
решении.
По окончании изучения данного раздела
даются контрольные
вопросы и задания, в ходе которых выясняется, в какой мере студент усвоил
изученный материал, какими навыками вычислительной техники обладает.
Все разделы методической разработки выдержаны по форме и по
содержанию, приведен список литературы.
Данная методическая разработка рекомендована для студентов
первого курса, а также преподавателям математики для подготовки к
занятиям.
Рецензент:
Дегтярева С.Н., преподаватель высшей квалификационной
категории.
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ……………………………………………………………………… 5
1. Из истории комплексных чисел ………………………………………...... 6
2. Понятие мнимой единицы ………………………………………………… 8
2.1 Степени мнимой единицы ………………………………………… 9
3. Алгебраическая форма комплексного числа……………………………... 10
3. 1 Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической
форме …………………………………………………………………….…… 13
4. Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом…16
5. Геометрическая интерпретация комплексного числа ………………….. . 17
6. Зачетная работа ………………………………………………………….... ..20
7. Контрольные вопросы …………………………………………………...... 22
8. Ответы ..………………………………………………………………….... 23
Библиографический список………………………………………………...… 24
Введение
Учебное пособие предназначено для студентов первого курса по
дисциплине «Математика». Оно содержит необходимые теоретические
сведения и практические задания по разделу «Комплексные числа».
Методическое пособие разработано с целью помощи студентам овладеть
приемами и методами решения задач. Для успешного выполнения
самостоятельных заданий, в начале каждой темы приводятся необходимые
теоретические сведения и используемые в дальнейшем обозначения, после
чего
несколько
типовых
заданий
даются
с
полным
решением.
Ознакомившись с ними, следует все остальные задачи этой темы выполнить
самостоятельно. Пособие содержит ответы к предложенным заданиям. В
ходе самостоятельной работы студент должен:
 научиться осуществлять действия над комплексными числами в
алгебраической форме;
 научиться
решать
квадратные
уравнения
с
отрицательным
дискриминантом.
Методическое пособие содержит контрольные вопросы и задания, в
ходе которых выясняется уровень теоретических знаний и практических
навыков по разделу «Комплексные числа».
“Помимо и даже против
воли того или другого
математика, мнимые числа
снова и снова появляются
на выкладках, и лишь
постепенно по мере того
как обнаруживается польза
от их употребления, они
получают более и более
широкое распространение”
Ф. Клейн
1. Из истории комплексных чисел
Древнегреческие
натуральные
числа.
математики
считали
“настоящими”
Постепенно
складывалось
только
представление
о
бесконечности множества натуральных чисел. Наряду с натуральными
числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей
единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до
н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что
результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в
виде отношения таких чисел, то есть дроби. Сильнейший удар по этому
взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он
доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует,
что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразить
длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что
именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть
существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к
абстрактному рассуждению, было невозможно.
Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было
введение китайскими математиками за два века до н. э. отрицательных чисел,
которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел
можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке
было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет
два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел
квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа x , чтобы x 2  9 .
В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось
необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В
формуле для решения кубических уравнений вида x 3  px  q  0 кубические и
квадратные
корни:
x3 
q
q 2 p3 3 q
q 2 p3


  

. Эта
2
4 27
2
4 27
формула
безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный
корень ( x 3  3x  4  0 ), а если оно имеет
три действительных корня
( x 3  7 x  6  0 ), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное
число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную
операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.
Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести
числа новой природы, дающие в квадрате число отрицательное. И уже в 1572
году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были
установлены первые правила арифметических операций над такими числами,
вплоть до извлечения из них кубических корней. Название “мнимые числа”
ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году
один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил
использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для
обозначения числа
 1 (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее
употребление благодаря К. Гауссу. Термин “комплексные числа” так же был
введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus)
означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д.,
образующих единое целое.
В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической
природы мнимых чисел, их геометрическое обоснование.
Постепенно
развивалась техника операций над мнимыми числами.
7
2. Понятие мнимой единицы
Процесс
расширения
понятия
числа
всегда
был
связан
с
потребностями практической деятельности. Сначала для счета предметов
использовались натуральные числа. Затем необходимость выполнения
вычитания привела к понятиям нуля и отрицательных чисел; необходимость
выполнения операции деления - к понятию дробных чисел; извлечение
корней из положительных чисел - к понятию иррациональных чисел. Все
перечисленные операции выполнимы на множестве действительных чисел
(R). Однако остались и невыполнимые операции, например извлечение корня
из отрицательного числа.
2
Например, решим уравнение: x  1  0 .
2
Получим x  1 , но далее необходимо осуществить невозможную
операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Значит,
имеется потребность в дальнейшем расширении понятия числа, в появлении
новых чисел, отличных от действительных.
Математики создали новое
числовое множество, в котором можно всегда извлечь квадратный корень.
Новое множество назвали множеством комплексных чисел (С), введя
понятие мнимой единицы.
Опр. Мнимой единицей называется число i , обладающее свойством
i 2  1 .
Таким образом, введение мнимой единицы позволяет извлекать корни
квадратные из отрицательных чисел.
Например,
 36  36i 2  6i ;

1

4
1 2 1
i  i.
4
2
2
Тогда решая неполное квадратное уравнение x  1  0 , получим:
x 2  1. Учитывая определение мнимой единицы, получим x 2  i 2 тогда
корни уравнения: x1  i, х2  i .
8
2.1 Степени мнимой единицы
Рассмотрим степени мнимой единицы:
i1  i ;
i 2  1 ;
i 3  i 2  i  (1)  i  i ;
i 4  i 3  i  (i)  i  i 2   (1)  1 ;
i 5  i 4  i  1 i  i ;
i 6  i 5  i  i  i  i 2  1 ;
i 7  i 6  i  (1)  i  i ;
i8  i 7  i  (i)  i  i 2   (1)  1 ;
…………………………………………….
Если выписать все значения степеней числа i , то мы получим такую
последовательность: i, 1, i, 1, i, 1, i, 1 и т.д. Можно заметить, что
значения степеней числа i повторяются с периодом равным 4. Тогда далее
получим: i
9
 i , i10  1, i11  i , i12  1.
Таким образом, если показатель степени числа i делится на 4, то
значение степени равно 1; если при делении показателя степени на 4 в
остатке получается 1, то значение степени равно
i ; если при делении
показателя степени на 4 получается остаток 2, то значение степени
равно
 1 ; если при делении на 4 остаток равен 3, то значение степени
равно  i .
Пользуясь этим правилом можно вычислять любую степень числа i .
Пример: Вычислить i
28
, i 33 , i135 .
Решение: Имеем 28  4  7 (нет остатка), тогда получим i
28
1;
9
33  4  8  1 , тогда i 33  1 ;
135
получим i
Наконец, 135  4  33  3 , соответственно
 i .
 Выполните самостоятельно:
1) Вычислить:
a) i
66
, i143 , i 216 , i137 ;
b) i
43
 i 48  i 44  i 45 ;
36
 i17 )  i 23 ;
133
 i115  i 200  i142 )  (i17  i 36 ) .
c) (i
d) (i
3. Алгебраическая форма комплексного числа
Опр. Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая
единица, называют комплексными.
Число a называют действительной частью комплексного числа, bi –
мнимой частью комплексного числа, b – коэффициентом при мнимой части.
Возможны случаи, когда действительные числа a и b могут быть равны нулю.
Опр. Если a=0, комплексное число bi называется чисто мнимым.
Если b=0, то комплексное число a+bi равно a и называется действительным.
Если a=0 и b=0 одновременно, то комплексное число 0+0i равно нулю.
Итак, мы получили, что действительные числа и чисто мнимые числа
представляют собой частные случаи комплексного числа.
Опр. Запись комплексного числа в виде z=a+bi называется
алгебраической формой комплексного числа.
Примеры:
1. z1  2  7i , здесь a  2 , b  7 ;
2. z 2  4  9i , здесь a  4 , b  9 ;
3. z3 
1
1
 3i , здесь a  , b  3 ;
4
4
10
3
3
4. z 4    2i , здесь a   , b  2 ;
5
5
5. z5  9i , здесь a  0 , b  9 ;
6. z 6  11 , здесь a  11 , b  0 ;
 Выполните самостоятельно:
2) Запишите комплексное число, у которого:
a) a  3 , b  7 ;
b) a 
1
, b 3;
6
c) a  0 , b  9 ;
d) a  6 , b  0 ;
e) a  11 , b  5 .
Опр. Два комплексных числа a + bi и c + di считают равными тогда и
только тогда, когда в отдельности равны их действительные части и
коэффициенты при мнимой единице,
т.е. a + bi= c + di, если, а=с и b=d.
Пример: при каких значениях x и у комплексные числа z1 и z 2
равны?
a) z1  3 у  5хi и z 2  15  25i
Решение: Согласно условию равенства комплексных чисел, имеем:
тогда
3 у  15
,
5 х  25
у 5
.
х  5
Ответ: при х  5 и у  5 комплексные числа z1 и z 2 равны.
б) z1  2 х  3 у  ( x  y)i и z 2  7  6i
Решение: Из условия равенства комплексных чисел следует:
2 x  3 y  7,

 x  y  6.
11
Умножив второе уравнение на 3, и сложив результат с первым уравнением,
получим 5 х  25 , то есть х  5 .
Подставим это значение во второе уравнение: 5  у  6 , откуда у  1 .
Ответ: при х  5 и у  1 комплексные числа z1 и z 2 равны.
 Выполните самостоятельно:
3) При каких значениях x и у комплексные числа z1 и z 2 равны?
а) z1  7 х  5i и z 2  1  10 yi ;
b) z1  (2 x  y)  i и z 2  5  ( y  x)i ;
c) z1  x  (3x  y)i и z 2  2  i ;
d) z1  (1  2i) х  (3  5i) y и z 2  1  3i .
Опр. Два комплексных числа называют сопряженными, если они
отличаются
друг
от
друга
только
знаком
перед
мнимой
частью.
Сопряженные комплексные числа обозначают: z и z .
Пример:
1. z1  1  2i и z1  1  2i ;
2. z 2  7  12i и
z 2  7  12i ;
3. z3  3i и z3  3i ;
4. z 4  9  5i и z 4  9  5i ;
 Выполните самостоятельно:
4) Запишите комплексные числа, сопряженные данным:
а) z1  7  5i ;
b) z 2   5  i ;
c) z3  4  3i ;
6
d) z 4  1  i ;
7
e) z5  2i .
12
3.1 Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической
форме.
Сложение,
вычитание,
умножение
комплексных
чисел
в
алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий
над многочленами.
Пусть даны комплексные числа: z1  a  bi и z 2  c  di .
I. Сложение
Необходимо сложить действительные части комплексных чисел и отдельно
коэффициенты при мнимой части, т.е. z1  z 2  (a  c)  (b  d )i .
II. Вычитание
Аналогично сложению, выполняют вычитание: z1  z 2  (a  c)  (b  d )i
III. Умножение
При умножении двух комплексных чисел следует выполнить действия,
аналогичные умножению двучленов, а затем учесть, что i 2  1 , т.е.
z1  z 2  (a  bi )(c  di)  ac  adi  bci  bdi 2  (ac  bd )  (ad  bc )i
Пример:
Даны два комплексных числа:
z1  2  3i и z1  5  7i . Найти их
сумму, разность и произведение.
a) z1  z 2  (2  5)  (3  7)i  7  4i ;
b) z1  z 2  (2  5)  (3  (7))i  3  10i ;
2
c) z1  z 2  (2  3i)(5  7i)  10  14i  15i  21i  10  14i  15i  21  31  i
(здесь учтено, что i 2  1 ).
Возведение в степень производят по правилу
возведения двучлена в
соответствующую степень. При этом нужно помнить, что:
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2 ,
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2 ,
(a  b) 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3 ,
(a  b) 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3 .
13
Пример:
a) (2  3i) 2  4  2  2  3i  9i 2  4  12i  9  5  12i ;
b) (3  5i) 2  9  2  3  5i  25i 2  9  30i  25  16  30i ;
c) (3  5i) 3  125  3  25  3i  3  5  9i 2  27i 3 , так как i 2  1 , i 3  i , то получим
(3  5i) 3  125  225i  135  27i  10  198 i .
Рассмотрим
также
применение
формулы
разности
квадратов:
a 2  b 2  (a  b)(a  b) .
Пример:
a) (5  3i)(5  3i)  5 2  (3i) 2  25  9i 2  25  9  34 ;
b) (1  i)(1  i)  12  i 2  1  1  2 .
Можно заметить, что результатом произведения двух сопряженных
комплексных чисел всегда является действительное число. Воспользуемся
этим свойством для выполнения операции деления двух комплексных чисел.
IV. Деление
При делении двух комплексных чисел в алгебраической форме, необходимо
умножить делимое и делитель на комплексное число, сопряженное
делителю.
Пример:
Выполнить деление:
a)
2  3i
;
5  7i
Решение: умножим делимое и делитель на комплексное число 5  7i , так как
оно является сопряженным для делителя 5  7i :
2  3i (2  3i )  (5  7i ) 10  14i  15i  21i 2 10  29i  21  11  29i  11  29i






5  7i (5  7i )  (5  7i )
25  49
74
5 2  ( 7i ) 2
25  49i 2
11 29

 i.
74 74
Ответ: 
b)
11 29
 i.
74 74
3  5i
;
2  6i
14
Решение: умножим делимое и делитель на комплексное число 2  6i ,
сопряженное делителю:
3  5i (3  5i )( 2  6i ) 6  18i  10i  30i 2 6  8i  30 36  8i 36 8
9 1





 i  i
2
2  6i (2  6i )( 2  6i )
4  36
40
40 40
10 5
4  36i
9 1
 i.
Ответ:
10 5
 Выполните самостоятельно:
5) Произвести сложение и вычитание комплексных чисел:
а) (3  5i)  (7  2i) ;
e) (3  2i)  (5  i) ;
b) (6  2i)  (5  3i) ;
f) (4  2i)  (3  2i) ;
c) (2  3i)  (7  2i) ;
g) (5  2i)  (5  2i) ;
d) (5  4i)  (6  2i) ;
h) (3  5i)  (7  2i) .
6) Произвести умножение комплексных чисел:
a)
(2  3i)  (5  7i) ;
e)
(6  4i)  3i ;
b)
(6  4i)  (5  2i) ;
f)
(3  2i)(3  2i) .
c)
(7  6i)(7  6i) ;
d)
(2  3i)  (3  5i) ;
7) Выполнить действия:
a)
(3  5i) 2 ;
c)
(2  7i) 2 ;
b)
(3  2i) 3 ;
d)
(5  i) 3 .
8) Выполнить деление:
a)
2  3i
;
5  2i
d)
1 i
;
1 i
b)
5i
;
3  2i
e)
 2i
;
5i
c)
3  2i
;
1  5i
f)
6  7i
.
i
15
9) Выполнить действия:
a)
(2  3i )  (5  7i )
;
2  3i
b)
6  2i 2  3i

;
3  7i 2  5i
1 i 
 1 i 
 
 ;
c) 
1 i 
1 i 
12
d)
12
6  2i 27
i .
1 i
16
4. Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом
Квадратное уравнение ax  bx  c  0 , для которого дискриминант
2
отрицателен, в множестве R действительных чисел не имеет решения, так
как корень из отрицательного числа в этом множестве не имеет
действительного значения.
Рассмотрим решение этого уравнения в
множестве С комплексных чисел.
Пример:
a) Решим квадратное уравнение: x  6 x  13  0 .
2
Найдем дискриминант по формуле: D  b  4ac . Учитывая, что
a  1, b  6, c  13 , получим: D  (6) 2  4  1  13  36  52  16  16i 2 .
2
D  16i 2  4i . Корни уравнения находим по формулам b D
b D
x1 
; x2 
:
2a
2a
Тогда
6  4i 2(3  2i )
6  4i 2(3  2i )

 3  2i ; x2 

 3  2i .
2
2
2
2
Ответ: x1  3  2i , x2  3  2i .
2
b) 9 x  12x  29  0 .
x1 
a  9, b  12, c  29 .
Следовательно,
D  b 2  4ac =
D  (12) 2  4  9  29  144  1044  900  900i 2 . Тогда
Находим корни уравнения:
D  900i 2  30i .
Здесь
 12  30i 6(2  5i )  2  5i
2 5


   i;
18
18
3
3 3
 12  30i 6(2  5i )  2  5i
2 5
x2 


  i .
18
18
3
3 3
2 5
2 5
Ответ: x1    i ; x2    i .
3 3
3 3
x1 
Из
приведенных
примеров
видно,
что
если
дискриминант
квадратного уравнения отрицателен, то квадратное уравнение имеет два
сопряженных комплексных корня.
17
 Выполните самостоятельно:
10) Решить квадратные уравнения:
a) x  4 x  13  0 ;
2
b) x  3х  4  0 ;
2
c) 2,5x  x  1  0 ;
2
d) 4 x  20x  26  0 .
2
5. Геометрическая интерпретация комплексного числа
Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:
Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие
от этого комплексные числа изображаются точками на координатной
плоскости. Для этого выберем на плоскости декартову прямоугольную
систему координат. Действительные числа изображаются точками оси
абсцисс, которую называют действительной (или вещественной) осью;
чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую будем называть
мнимой осью.
Мнимая ось
Такая
система
комплексной
координат
плоскостью.
называется
Тогда
любое
комплексное число z = a + bi можно изобразить
точкой Z плоскости с координатами (а; b) .
Таким
Действительная ось
образом,
между
множеством
комплексных чисел и
множеством точек
плоскости
взаимно-однозначное
существует
соответствие.
Пример:
Изобразить на комплексной плоскости числа:
18
Из определения комплексно-сопряженных чисел следует, что z
комплексной
плоскости
расположены
симметрично
и
z на
относительно
действительной оси (см. рис).
 Выполните самостоятельно:
11)
Изобразите
на комплексной
плоскости числа:
a) z1  2  2i ;
b) z 2  i ;
c) z3  1  i ;
d) z4  1  5i ;
e) z5  4 ;
f) z6  9  4i .
19
ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА
1 вариант
1) Изобразите следующие комплексные числа на плоскости:
1.1)
z  6  5i
1.2)
z  9i
1.3)
z  4  3i
2) Выполните арифметические действия над комплексными числами в
алгебраической форме:
2.1) (6  4i)  (3  2i)
2.2) (9  5i)  (i  2)
2.3) (7  i)  (3  5i)
2.4)
8  2i
5  3i
3) Выполните действия:
3.1)
5  2i
3  4i

2  5i
4  3i
3.2)
(1  2i )  i 
3  2i
1 i
4) Возведите в степень:
4.1)
(2  4i) 2
4.2)
(5  2i) 3
5) Найдите действительную часть квадрата комплексного числа
z  6  5i
2
6) Решите уравнение: x  4 x  16  0
20
ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА
2 вариант
1) Изобразите следующие комплексные числа на плоскости:
1.1)
z  5  i
1.2)
z  8i
1.3)
z  4  3i
2) Выполните арифметические действия над комплексными числами в
алгебраической форме:
2.1) (1  5i)  (8  3i)
2.2) (11  i)  (6i  7)
2.3) (3  2i)  (9  5i)
2.4)
5i
2  3i
3) Выполните действия:
3.1)
4  3i
5  4i

3  4i
4  5i
3.2)
1 i 1 i

1 i 1 i
4) Возведите в степень:
4.1) 8  i 
2
4.2) 4  3i 
3
5) Найдите действительную часть квадрата комплексного числа
z  5  3i
2
6) Решите уравнение: x  2 x  4  0
21
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение мнимой единицы.
2. Как вычисляют степени мнимой единицы?
3. Вычислите i35, i42, i144.
4. Какое число называется комплексным?
5. Какие комплексные числа называются чисто мнимыми? Приведите
примеры комплексных чисел, чисто мнимых чисел.
6. Какие комплексные числа называют равными?
7. Решите уравнение:
а) 5х + 3iy = 17-12i;
б) 7х – 2i = 9 + 5iy.
8. Какие комплексные числа называются сопряженными?
9. Как выполняются сложение, вычитание, умножение комплексных
чисел в алгебраической форме?
10. Произведите действия:
а) (2  3i)  (2i  7) ;
б) (6  5i)  (2  3i) ;
г) (6  2i)  (6  2i) ;
д) (3  7i) .
в) (5  2i)  (3  5i) ;
2
11.Как выполняется деление комплексных чисел в алгебраической форме?
12.Выполните действия:
а)
6i
;
17  2i
б)
3  5i
;
2i
в)
3  2i
;
5i
г)
6  4i
.
7i
13.Как геометрически изображаются комплексные числа?
14.Как
решить
квадратное
уравнение,
если
дискриминант
его
отрицателен?
15.Какие корни и сколько корней имеет квадратное уравнение с
отрицательным дискриминантом?
16.Решите квадратные уравнения:
а) х2 – 10х + 34 = 0;
б) х2 + 4х + 53 = 0.
22
Ответы:
1. a)  1, i, 1, i ;
b) 2;
2. a) z  3  7i ; b) z 
3. а) x 
c) 1  i ;
d) 0.
1
 3i ; c) z  9i ; d) z  6 ; e) z  11  5i .
6
1
1
4
5
, y   ; b) x  2, y  1 ; c) x  2, y  7 ; d) x   , y  .
7
2
11
11
6
4. а) z1  7  5i ; b) z 2   5  i ; c) z3  4  3i ; d) z 4  1  i ; e) z5   2i .
7
5. a) 10  3i ; b) 11  5i ; c) 5  i ; d) 11  2i ; e)  2  3i ; f) 7; g) -10;
h)  10  3i .
6. а) 31  i ; b) 22  32i ; c) 85 ; d)  21  i ; e)  12  18i ; f) 13 .
7. a)  16  30i ; b)  9  46i ; c)  45  28i ; d) 110  74i .
8. а)
1
5
4 19
10 15
7 17

i ; b)
 i ; c) 

i ; d)  i ; e)
 i;
29 29
13 13
26 26
13 13
f)  7  6i .
9. a)
18 1
 i ; b)
13 13
10. a) х1  2  3i ,
 17 28

i ; c) 2; d) 2  5i .
29
29
b) х1 
х2  2  3i ;
 3  7i
,
2
х2 
 3  7i
;
2
c) х1  0,4  0,8i , х1  0,4  0,8i ; d) х1  2,5  0,5i , х1  2,5  0,5i
Зачетная работа
1 Вариант
2.1) 9  2i 2.2) 11  4i 2.3) 26  32i
2.4) 1  i 3.1) 2i
3
5
3.2)  i 
2
2
4.1)  12  16i 4.2) 65  142 i 5) a  11 6) x1  2  2i 3 , x2  2  2i 3
1 Вариант
2.1) 9  2i
2.2) 4  7i
2.3) 37  3i
4.1) 63  16i 4.2)  44  117 i
2.4) 1  i
3.1) 2i
3.2) 2i
5) a  16 6) x1  1  i 3 , x2  1  i 3
23
Библиографический список:
1. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика, М.: Высш. шк., 1991. –
480с.
2. Дадаян А.А., Математика, М.:ФОРУМ-ИНФРА-М, 2003. – 552с.
3. Богомолов Н.В., Практические занятия по математике, М.: Высш. шк.,
2008. – 495с.
4. Математика: учебник/ М.И. Башмаков, - Москва: КНОРус, 2017. - 394с.
- СПО. - 394с.
5. Епихин В.Е., Комплексные числа, М.: МЦНМО, 2009. – 32с.
24