Измерение g с маятником: Методичка для студентов

Федеральное агентство по образованию
Дальневосточный государственный технический университет
(ДВПИ им. В.В. Куйбышева)
Измерение ускорения свободного падения с помощью
математического маятника
Методические указания к лабораторной работе № 2
для студентов дневной и заочной форм обучения всех технических
специальностей по курсу физики
Владивосток ∙2010
Одобрено научно – методическим советом университета
УДК 53.082.1; 531.76
И88
Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника:
метод. указания / сост. Н.П. Дымченко. – Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2010.– 8 с.
В методических указаниях приводятся краткие сведения по теории свободных
колебаний математического маятника, рассматривается метод определения ускорения
свободного падения с помощью математического маятника. Дано описание экспериментальной установки, приведены подробные рекомендации по проведению эксперимента и его обработке, а также вопросы для самоконтроля. Методические указания
предназначены для студентов дневной и заочной форм обучения всех технических
специальностей вуза.
Печатается с оригинал-макета, подготовленного автором
© Дымченко Н.П. , 2010
©
2
ДВГТУ, изд–во ДВГТУ, 2010
Лабораторная работа № 2
Измерение ускорения свободного падения с помощью
математического маятника
Цель работы: Экспериментальная проверка закономерностей движения
математического маятника, определение ускорения свободного падения.
Приборы: Установка с математическим маятником, секундомер, измерительная линейка.
Постановка задачи
Ускорением свободного падения g называют ускорение тела, обусловленное действием только силы тяжести P . Оно показывает ускорение, приобретаемое телом единичной массы, под действием силы тяжести:
g
P
.
m
(1)
Сила тяжести приложена к данному телу и равна геометрической сумме
силы тяготения Fтяг. , действующей между телом и Землей, и центробежной силы инерции Fц.б. . Центробежная сила инерции Fц.б. обусловлена неинерциальностью системы отсчета, связанной с Землей вследствие ее суточного вращения. Смотри подробнее [1, § 6.3]. Отметим, что если в формуле (1) учесть действие только силы тяготения, то данное выражение будет определять вектор
напряженности поля тяготения Земли. В силу малости центробежной силы
инерции, действующей на тело в системе отсчета, связанной с Землей, в сравнении с силой тяготения числовые значения ускорения свободного падения и
напряженности поля тяготения Земли будут иметь близкие значения.
Одним из простых и одновременно достаточно точных методов определения
ускорения свободного падения тел g является метод, основанный на использовании математического маятника. Реально математический маятник представляет собой систему, состоящую из маленького шарика, который можно принять за материальную точку массой m, и тонкой невесомой нерастяжимой нити
длиной l, подвешенной к неподвижной точке О, рис. 1. При колебании шарика
на нерастяжимой нити шарик все время движется по дуге окружности, радиус
которой равен l.
В качестве координаты, определяющей положение мятника, совершающего колебания в одной плоскости, можно взять угол между вертикальной линией, проходящей через точку подвеса и нитью маятника. Обозначим этот угол
буквой φ. Причем, условимся углы, отсчитываемые вправо от положения равновесия считать положительными, влево – отрицательными.
Для обоснования сущности данного метода воспользуемся вторым законом
Ньютона. На маятник массой m действуют две силы: сила тяжести mg и сила
упругости нити Fóï ð. . Тогда уравнение движения маятника (второй закон Ньютона) будет иметь вид:
3
ma  mg  Fупр.
(2)
Для установления характеристик маятника (определения зависимости силы натяжения от угла φ, зависимости угла φ от времени) следует спроецировать
вектора, входящие в уравнение
(1), на две оси. Одну, направо
ленную вдоль нити подвеса, за
даваемую единичным вектором

Fупр.
n , вторую по касательной к
траектории, задаваемую еди
n

ничным вектором  , рис. 1. На


этом рисунке отмечено мгноm

венное положение маятника

при движении вправо. При

mg 
смене направления движения

маятника влево направление
mgn
выбранных осей не изменяется

mg
в отличие от направления векm
–
масса
Рис . 1. Математический маятник .
тора скорости  .
маятника,  – угол отклонения нити подвеса


Для нашей цели достаточно
маятника от вертикали , mg - сила тяжести , F упр.
сила упругости
спроектировать
вектора на
нити,  - линейная скорость

маятника , n и  – единичные вектора нормального
направление  . Определяя из
и касательного направлений .
рисунка 1 проекции сил и ускорения на ось  , получим скалярное уравнение:
.
ma  mg  sin 
(3)
Знак «–» в уравнении (3) справа обусловлен тем, что проекция силы тяжести на
касательное направление отрицательна ( mg   mg  cos(90o  )   mg  sin  ), а
угол φ для данного положения маятника по определению положителен. При
движении маятника влево от положения равновесия угол φ по определению отрицателен, а проекция силы тяжести на ось  положительна. Это означает, что
знаки проекции силы тяжести на ось  и угла φ всегда противоположны.
Ограничиваясь малыми углами отклонения маятника, можно sinφ заменить значением угла φ, выраженным в радианах. Так для φ = 10о = 0,1745 рад
получаем: sin(0,1745) ≈ 0,1736. Из этого примера видно, что разница между
значением угла φ в радианах и значением синуса этого угла в радианах для угла
в 10о не превышает 0,5%. При меньших значениях угла φ это различие будет
еще меньшим, а предложенная замена будет более точной. Поэтому рекомендуется в экспериментах задавать отклонения угла маятника не более 10о. При
этом условии уравнение (3) примет вид:
a   g  
(4)
4
Из школьного курса физики известна связь между линейной и угловой скоростями движения м.т. по окружности:
  l .
(5)
С другой стороны угловая скорость равна первой производной угла поворота φ
по времени:
  d  dt .
(6)
По определению касательного ускорения имеем:
d  d  d   d 2
a 
 
l  
l .
dt dt  dt  dt 2
(7)
В формуле (7) мы учли определения (5) и (6). Тогда с учетом определений (7)
уравнение (4) примет вид:
d 2
l 2   g   или
dt
d 2 g
    0.
dt 2 l
(8)
Легко проверить, что размерность множителя g l в формуле (8) имеет вид:
ì
 g l   2  ñ2 , что соответствует размерности квадрата циклической чаñ ì
стоты ωо. Поэтому обозначим данный множитель как ωо2. Тогда уравнение (8)
примет окончательно вид:
d 2
 о2    0 .
2
dt
(9)
Решением данного уравнения будет гармоническая функция вида:
  î  sin(ot  ) ,
(10)
где φо – амплитуда колебаний, α – начальная фаза колебаний. Справедливость
этого решения можно проверить его подстановкой в уравнение (9). Если решение (10) верно, то оно превращает уравнение (9) в тождество. Проверку этого
решения рекомендуется выполнить студентам самостоятельно.
Циклическая частота колебаний математического маятника, как следует из
вывода уравнения (9), определяется выражением: o  g l . Тогда для периода
колебаний математического маятника, исходя из его определения, как времени одного колебания, получим выражение:
5
T
2
l
 2
o
g
(11)
Возведем обе части уравнения (11) в квадрат, получим:
42
T 
l .
g
2
(12)
Уравнение (12) подобно уравнению прямой вида: y  kx , если в качестве углового коэффициента k взять
42
k
,
g
(13)
а в качестве переменных x и y соответственно l и T2.
Строя график зависимости квадрата периода Т2 от длины маятника l мы
должны получить линейную зависимость. Определяя тангенс угла наклона этого графика к оси абсцисс (оси l), и используя формулу (13), можем рассчитать
ускорения свободного падения:
4 2
g
k
(14)
Лабораторная установка
Схема установки показана на рис. 2. Металлический шар 6, подвешен на
двух нитях 5 одинаковой дли4
3
3
ны к перекладине 4 с помощью
двух колец 3. Такой подвес
2
2
называют бифилярным. Он
1
обеспечивает движение маятника строго в одной плоскости.
5
5
l
Обращаем внимание, что длина
7
маятника l определяется крат8
6
чайшим расстоянием от перекладины 4 до центра тяжести
шарика 6 так, как указано на
рис. 2 выносными стрелками.
Через кольца 3 нити соединяРис. 2. Установка для исследования
ются с подвижными зажимами
колебаний с помощью математического
2. Перемещая одновременно
маятника. 1 – шкала для отсчета длины
маятника l, 2 – рукоятки для изменения
эти зажимы вверх или вниз
длины маятника l с помощью бифилярного
вдоль вертикальных стоек 7
подвеса 5, 3 – кольца для подвеса нити, 4 –
перекладина, 6 – шарик, 7 – вертикальная
установки, можно изменять
стойка, 7- угольник.
6
длину маятника l. Длина маятника измеряется по шкале 1. Для удобства и повышения точности отсчетов можно воспользоваться треугольником 8, прикладывая его к шкале 1 так, как указано на рис.2.
Порядок выполнения работы
1. С помощью зажимов 2 установить наибольшую длину маятника ll и по
шкале 1 на вертикальной стойке определить длину маятника.
2. Привести математический маятник в колебательное движение, отклонив
металлический шарик на угол 5 – 6 градусов, после чего с помощью секундомера определить значение времени 40 – 50 колебаний маятника. Определить
среднее значение периода колебаний маятника по формуле T1  t1 N , где tl –
время, в течение которого совершаются N колебаний.
3. Уменьшая каждый раз длину маятника на 5 см, повторить измерения периода и длины маятника согласно п.2. Рекомендуется провести 9 измерений.
Результаты измерений записать в таблицу. В данной таблице ΔТо и Δlо есть
соответственно инструментальные погрешности секундомера и измерительной
линейки.
Таблица экспериментальных данных:
Номер опыта
1
∙∙∙
9
N
t (c)
l (м)
Т(с)
Т2(с2) ΔTо(с) Δlо(м)
4. Построить график зависимости квадрата периода колебаний от длины
маятника. При построении графика по экспериментальным точкам прямую линию следует проводить так, чтобы число экспериментальных точек лежащих
выше и ниже этой прямой было одинаковым. При этом удобно пользоваться
прозрачной линейкой. Коэффициент k равен тангенсу угла наклона α этого графика к оси абсцисс (оси l):
(T 2 )
k  tg 
,
l
где ∆(Т2) – изменение квадрата периода маятника, соответствующее изменению
на графике длины маятника ∆l. Зная коэффициент k, найти величину ускорения
свободного падения по формуле (14).
5. Оценить погрешность вычисления ускорения свободного падения g. Если разброс точек вокруг проведенной прямой малый, т.е. отклонение экспериментальных точек от усредненной прямой вдоль оси l не превышает lо, а вдоль
оси Т2, не больше (ΔТо)2 , это означает, что случайной погрешностью в измерении периода и длины маятника данном эксперименте можно пренебречь. Отно-
7
сительная погрешность измерения в этом случае определяется только инструментальной погрешностью, которую можно оценить на основе формулы:
g
 2T   l 
g 
 
   .
g
 T   l 
2
2
Рассчитывая по этой формуле относительную погрешность εg, можно оценить
стандартную, т.е. с надежностью 68%, инструментальную погрешность измерения ускорения свободного падения σg :  g    g .
Если же разброс экспериментальных точек значительный, то разбивают
вдоль оси абсцисс весь диапазон экспериментальных значений l от 0 до
наибольшего на три равные части. Затем следует провести через начало координат две прямые так, чтобы выше одной лежало 2/3 точек, а выше другой 1/3. Различие между этими прямыми определяет Δk . Тогда стандартная погрешность
будет определяться по формуле:   k n , где n – полное число точек на графике.
6. Рассчитать теоретическое значение ускорения свободного падения в
случае пренебрежения центробежной силой инерции по формуле:
g теор. 
Fтяг . GM ,
 2
m
R
G = 6,672∙10-11 Н∙м2/кг2 – гравитационная постоянная, М = 5,976 ∙1024 кг – масса
Земли, R = 6,378∙106 м – радиус Земли.
Сравните экспериментальное и теоретическое значения ускорения свободного падения, объясните причины их отличия.
Контрольные вопросы
1. Что называется ускорением свободного падения? Как ускорение свободного падения g зависит от широты местности и почему?
2. Как изменяется ускорение свободного падения тела с увеличением его
высоты над поверхностью Земли?
3. Зависит ли ускорение свободного падения данного тела от его массы? Ответ обоснуйте.
4. Какой физический смысл имеет напряженность поля тяготения и в чем
заключается его отличие от ускорения свободного падения?
5. Какой маятник называется математическим?
6. Какие законы используются при выводе уравнения движения математического маятника?
7. Почему при экспериментальном определении g с помощью математического маятника необходимо отклонять маятник на угол не более 10о?
8. Объясните методику определения ускорения свободного падения g, используемую в данной работе.
Литература
8
1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики: Учеб. Пособие для втузов.– М.:
Высш. шк., 2008.– 608 с. (§ 6.3)
2. Трофимова Т.И. Курс физики: Учеб. пособие.– 15-е изд., стер. – М.: Высш.
шк. – 2008. §§ 22, 23, 24.
9