МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Дальневосточный федеральный университет» (ДВФУ) ШКОЛА ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 010700.62 Физика Форма подготовки - очная ДВФУ ШЕН Кафедра теоретической и экспериментальной физики курс ___3____ семестр __5______ лекции _36_ (час.) практические занятия___18____час. семинарские занятия____0____час. лабораторные работы___0____час. консультации всего часов аудиторной нагрузки____54____ (час.) самостоятельная работа ____42_____ (час.) реферативные работы (количество) контрольные работы (количество) зачет ___________ семестр экзамен____5_____семестр Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования № 176 ЕН/БАК от 17 марта 2000 г. Учебно-методический комплекс дисциплины обсужден на заседании кафедры Кафедра компьютерных систем 31 августа 2011 Заведующая (ий) кафедрой_Кулешов Е.Л. д.т.н,проф Составитель (ли): Кулешов Е.Л. д.т.н, проф АННОТАЦИЯ Рабочая программа курса "Теория вероятности и математическая статистика" составлена в соответствии с требованиями федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования специальности 010700.62 «Физика». Преподавание курса предполагает знание математического анализа в объеме основ интегрального и дифференциального исчислений и высшей алгебры. Цель курса - ознакомить студентов с основами теории вероятности, а также с методами решения вероятностных задач в физике, технике и других областях приложения теории вероятности. По завершению обучения по дисциплине студент должен: - овладеть знаниями основ теории вероятности; - иметь представление о роли и месте теории вероятности в математических науках в целом, о роли теории вероятности в физике; -уметь использовать законы теории вероятности для решения задач. I. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (36 часов ) Модуль 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ (14 часов) Опыт со случайным исходом. Статистическая устойчивость в опытах со случайными исходами. Математическое понятие вероятности. Алгебра событий. Условные вероятности. Формула сложения вероятностей. Обобщение формулы сложения. Формула умножения вероятностей, обобщение формулы умножения. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Пространство элементарных событий, примеры. Аксиомы теории -алгебры, вероятностное пространство. Дискретное вероятности. Примеры вероятностное пространство. Основные формулы комбинаторики. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число в распределении Бернулли. Полиномиальное распределение вероятностей. Асимптотика Пуассона. Пуассоновский поток случайных событий. Гипергеометрическое распределение. Асимптотика Муавра-Лапласа (локальная теорема). Асимптотика МуавраЛапласа (интегральная теорема). Модуль 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (14 часов) Функция распределения вероятностей случайной величины, ее свойства. Плотность распределения вероятностей случайной величины, ее свойства. Плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины. Сингулярный тип распределения, теорема Лебега. Примеры распределений вероятностей (нормальное, равномерное, Коши). Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Числовые параметры нормального распределения. Моменты случайных величин. Неравенство Чебышева. Коэффициенты асимметрии и эксцесса. Среднеквадратическая ошибка. Характеристическая функция случайной величины и ее свойства. Характеристическая функция нормальной случайной величины. Связь характеристической функции с моментами. Кумулянтная функция. Модуль 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ (8 часов) Функция распределения вероятностей двумерного случайного вектора. Плотность распределения вероятностей двумерного случайного вектора. Условная функция распределения вероятностей. Условная плотность распределения вероятностей. Моменты двух случайных величин. Ковариация и корреляция двух случайных величин. Коэффициент корреляции как мера статистической связи. Коэффициент корреляции и метрика. Функция распределения вероятностей n-мерного случайного вектора. Плотность распределения вероятностей n-мерного случайного вектора. Многомерное нормальное распределение. Преобразование плотности вероятностей при функциональном преобразовании случайныхвеличин. Распределения вероятностей Пирсона, Стьюдента, Фишера. Основные задачи математической статистики. Точечные и интервальные оценки. Неравенство Рао-Крамера. Случайная функция, случайный процесс, случайное поле. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ (18 часов) II. 1. Алгебра событий. Условные вероятности. (2 часа) 2. Формула сложения вероятностей. Формула умножения вероятностей. (2 часа) 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса. (2 часа) 4. Формула Бернули. Полиномиальное распределение вероятностей. (2 часа) 5. Асимптотика Пуассона. Пуассоновский поток случайных событий. Гипергеометрическое распределение. (2 часа) 6. Асимптотика Муавра-Лапласа. (2 часа) 7. Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей случайной величины. (2 часа) 8. Математическое ожидание. Дисперсия случайной величины. Неравенство Чебышева. Среднеквадратическая ошибка. (2 часа) 9. Характеристическая функция. Функция распределения вероятностей двумерного случайного вектора. Ковариация и корреляция двух случайных величин. (2 часа) III. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (42 часа) 1. Определение случайного процесса и его характеристики. (6 часов) 2. Основные понятия теории массового обслуживания. (5 часов) 3. Понятие марковского случайного процесса. (5 часов) 4. Потоки событий. (5 часов) 5. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний. (5 часов) 6. Процессы гибели и размножения. (5 часов) 7. СМО с отказами. (5 часов) 8. Понятие о методе статистических испытаний (методе Монте-Карло). (6 часов) Контрольно-измерительные материалы Раздел 1. Основные понятия теории вероятностей. Задание: выберите правильный ответ и отметьте в таблице соответствующую букву. Вариант демо 1. A и B - независимые события. Тогда справедливо следующее утверждение: а) они являются взаимоисключающими событиями б) P A / B P B P A P B 0 в) P A B г) P A B д) P B / A P B а 2. б в г д P A , PB , P A B - вероятности событий A , B , A B соответственно – приведены в таблице. Отметьте в первом столбце знаками плюс и минус те ситуации, которые могут иметь место, и те, которые не могут произойти, соответственно. P A PB P A B а 0.1 0.3 0.2 б 0.5 0.5 0.5 в 0.8 0.9 0.5 г 0.5 0.6 0.6 д 0.9 0.8 0.8 0,58 . Тогда 3. Вероятности событий A и B равны P A 0,67 , P B наименьшая возможная вероятность события A B есть: а) 1,25 б)0,3886 в)0,25 г)0,8614 д) нет правильного ответа а б в г д 4. Докажите равенство A B C A B C с помощью таблиц истинности или покажите, что оно неверно. Тест по курсу теории вероятностей и математической статистики. Раздел 2. Вероятности объединения и пересечения событий, условная вероятность, формулы полной вероятности и Байеса. Задание: выберите правильный ответ и отметьте в таблице соответствующую букву. Вариант демо 1. Бросаем одновременно две игральные кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков не больше 6? а) 5 ; 12 б) 5 ; 6 в) 7 ; 12 г) 4 ; 9 д) нет правильного ответа а б в г д 2. Каждая буква слова «РЕМЕСЛО» написана на отдельной карточке, затем карточки перемешаны. Вынимаем три карточки наугад. Какова вероятность получить слово «ЛЕС»? а) 2 ; б) 105 3 ; 7 в) 1 ; г) 105 11 ; 210 в г д) нет правильного ответа а б д 3. Среди студентов второго курса 50% ни разу не пропускали занятия, 40% пропускали занятия не более 5 дней за семестр и 10% пропускали занятия 6 и более дней. Среди студентов, не пропускавших занятия, 40% получили высший балл, среди тех, кто пропустил не больше 5 дней – 30% и среди оставшихся – 10% получили высший балл. Студент получил на экзамене высший балл. Найти вероятность того, что он пропускал занятия более 6 дней. а) 1 ; 3 б) а 4 ; 5 в) б 2 ; 33 г) в 1 ; 33 д) нет правильного ответа г д Тест по курсу теории вероятностей и математической статистики. Раздел 3. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики. Задание: выберите правильный ответ и отметьте в таблице соответствующую букву. Вариант демо 1. Дискретные случайные величины X и Y заданы своими законами распределения X -1 1 3 Y 0 1 Р(Х) 0.3 0.4 0.3 Р(Y) 0.5 0.5 Случайная величина Z = X+Y. Найти вероятность P Z E Z Z а) 2. 0.7; б) 0.84; в) 0.65; г) а б в 0.78; д) нет правильного ответа г д X, Y, Z – независимые дискретные случайные величины. Величина X распределена по биномиальному закону с параметрами n=20 и p=0.1. Величина Y распределена по геометрическому закону с параметром p=0.4. Величина Z распределена по закону Пуассона с параметром =2. Найти дисперсию случайной величины U= 3X+4Y-2Z а) 3. 16.4 б) 68.2; в) а б 97.3; г) 84.2; д) нет правильного ответа в г д Двумерный случайный вектор (X,Y) задан законом распределения X=1 X=2 X=3 Y=1 0.12 0.23 0.17 Y=2 0.15 0.2 0.13 Событие A X 2, событие B X Y 3. Какова вероятность события А+В? а) 0.62; б) 0.44; в) 0.72; г) 0.58; д) нет правильного ответа а б в г д Тест по курсу теории вероятностей и математической статистики. Раздел 4. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики. Задание: выберите правильный ответ и отметьте в таблице соответствующую букву. Вариант демо 1. Независимые непрерывные случайные величины X и Y равномерно распределены на отрезках: X на 1,6 Y на 2,8 . Случайная величина Z = 3X +3Y +2. Найти D(Z) а) 47.75; б) 45.75; в) 15.25; г) а б в д) нет правильного ответа 17.25; г д Непрерывная случайная величина X задана своей функцией распределения 0, x 1 Найти P X 0.5; 2 F x 0.5 x 0.5, 1 x 3 1, x 3 2. а) 0.5; б) 1; в) а 0; г) б 0.75; д) нет правильного ответа в г д Непрерывная случайная величина X задана своей плотностью вероятности 0, x 1 f x C ( x 1) 2 , 1 x 2 . Найти P X 1.5; 2 . 0, x 2 3. а) 0.125; б) 0.875; в)0.625; г) а б в 0.5; д) нет правильного ответа г д 4. Случайная величина X распределена нормально с параметрами 8 и 3. Найти P X 5;7 а) 0.212; б) 0.1295; в)0.3413; г) а б в 0.625; д) нет правильного ответа г д Тест по курсу теории вероятностей и математической статистики. Раздел 5. Введение в математическую статистику. Задание: выберите правильный ответ и отметьте в таблице соответствующую букву. Вариант демо 1. Предлагаются следующие оценки математического ожидания , построенные по результатам четырех измерений X1 , X 2 , X 3 , X 4 : А) 1 X 1 X 1 X 1 X 1 2 3 4 3 3 5 6 Б) 1 X 1 X 1 X 1 X 1 2 3 4 4 4 4 4 В) 1 X1 1 X 2 1 X 3 1 X 4 3 3 6 6 Г) 1 X1 1 X 2 1 X 3 1 X 4 2 6 6 6 Д) 1 X1 1 X 2 1 X 3 1 X 4 . 3 6 6 6 Из них несмещенными оценками являются: а б в г д 2. Дисперсия каждого измерения в предыдущей задаче есть 2 . Тогда наиболее эффективной из полученных в первой задаче несмещенных оценок будет оценка а б в г д 3. На основании результатов независимых наблюдений случайной величины X, подчиняющейся закону Пуассона, построить методом моментов оценку неизвестного параметра распределения Пуассона а) Xi 0 1 2 3 4 5 ni 2 3 4 5 5 3 2.77; б) 2.90; в) 0.34; г) а б в д) нет правильного ответа 0.682; г д 4. Полуширина 90% доверительного интервала, построенного для оценки неизвестного математического ожидания нормально распределенной случайной величины X для объема выборки n=120, выборочного среднего x =23 и известного значения =5, есть а) 0.89; б) а 0.49 ; в) 0.75; г) б в IV. д) нет правильного ответа 0.98; г д ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ 1. Опыт со случайным исходом. Статистическая устойчивость в опытах со случайными исходами. 2. Математическое понятие вероятности. 3. Алгебра событий. 4. Условные вероятности. 5. Формула сложения вероятностей. 6. Обобщение формулы сложения на n событий. 7. Формула умножения вероятностей, обобщение формулы умножения на n событий. 8. Формула полной вероятности. 9. Формула Байеса. 10. Пространство элементарных событий, примеры. 11. Аксиомы теории вероятности. 12. Примеры -алгебры, вероятностное пространство. 13. Дискретное вероятностное пространство. 14. Сочетания и перестановки с повторениями. 15. Формула Бернули. 16. Наивероятнейшее число в распределении Бернули. 17. Полиномиальное распределение вероятностей. 18. Асимптотика Пуассона. 19. Пуассоновский поток случайных событий. 20. Гипергеометрическое распределение. 21. Асимптотика Муавра-Лапласа (локальная теорема). 22. Асимптотика Муавра-Лапласа (интегральная теорема). 23. Функция распределения вероятностей случайной величины, ее свойства. 24. Плотность распределения вероятностей случайной величины, ее свойства. 25. Плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины. 26. Примеры распределений вероятностей (нормальное, равномерное, Коши). 27. Сингулярный тип распределения, теорема Лебега. 28. Математическое ожидание случайной величины. 29. Свойства математического ожидания. 30. Дисперсия случайной величины. 31. Числовые параметры нормального распределения. 32. Моменты случайных величин. 33. Неравенство Чебышева. 34. Коэффициенты асимметрии и эксцесса. 35. Среднеквадратическая ошибка. 36. Характеристическая функция случайной величины и ее свойства. 37. Характеристическая функция нормальной случайной величины. 38. Связь характеристической функции с моментами. Кумулянтная функция. 39. Функция распределения вероятностей двумерного случайного вектора. 40. Плотность распределения вероятностей двумерного случайного вектора. 41. Условная функция распределения вероятностей. 42. Условная плотность распределения вероятностей. 43. Моменты двух случайных величин. 44. Ковариация и корреляция двух случайных величин. 45. Коэффициент корреляции как мера статистической связи. 46. Коэффициент корреляции и метрика. 47. Функция распределения вероятностей n-мерного случайного вектора. 48. Плотность распределения вероятностей n-мерного случайного вектора. 49. Многомерное нормальное распределение. 50. Преобразование плотности вероятностей при функциональном преобразовании случайных величин. Распределения вероятностей Пирсона, Стьюдента, Фишера. 51. Основные задачи математической статистики. Точечные и интервальные оценки. Неравенство Рао-Крамера. 52. Случайная функция, случайный процесс, случайное поле. V. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Основная литература 1. Кулешов Е.Л. Теории вероятностей. Лекции для физиков. Учебное электронное издание. Владивосток: Издательский дом Дальневосточного федерального университета, 2012. 120с. 2. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов. М.: Физматлит, 2005. 496 с. 4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2004. 479 с. Дополнительная 1. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. Санкт-Петербург: Лань, 2003. 272 с. 2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: учебное пособие. М.: Акдемия, 2003. 459 с. 3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. М.: Айрис-пресс, 2004. 252 с. 4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2004. 404 с. Образовательные интернет ресурсы 1. Фирсов А.Н. Теория вероятностей. Часть 1: Учебное пособие. - СПб.: СПбГПУ, 2005. - 112 с. http://window.edu.ru/resource/594/29594 2. Кувыкина Е.В. Варианты контрольной работы по курсу "Теория вероятностей": Учебно-методическое пособие. - Нижний Новгород: ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2007. - 44 с. http://window.edu.ru/resource/665/45665 3. Мазепа Е.А. Краткий конспект лекций по курсу теория вероятностей для студентов экономико-математических специальностей университетов. - Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2005. - 37 с. http://window.edu.ru/resource/883/25883