МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Курский государственный технический университет
Кафедра высшей математики
Пределы числовой последовательности
и функции. Непрерывность функции.
Дифференцирование функции
Модуль-1 (МА)
Курск 2005
2
Составитель: З.Г.Гончарова
УДК 517
Рецензент
Кандидат технических наук, доцент кафедры
высшей математики Н.А. Моргунова
Пределы числовой последовательности и функции. Непрерывность функции. Дифференцирование функции [Текст]: методические указания и индивидуальные задания. Модуль1 по математическому анализу / сост.: З.Г.Гончарова; Курск. гос. техн. ун-т;
Курск, 2005. 41 с., табл. 11. Библиогр.: 5 назв.
Излагаются краткие методические рекомендации по темам математического анализа: пределы числовой последовательности и функции, непрерывность функции, дифференцирование функции. В работе представлены 50 вариантов индивидуальных заданий.
Методические указания и индивидуальные задания предназначены для студентов технических специальностей.
.
Текст печатается в авторской редакции
ИД №06430 от 10. 12. 2001.
Подписано в печать ________ . Формат 60х84 1/16. Печать офсетная.
Усл. печ. л.
Уч.-изд. л.
.Тираж 50 экз. Заказ ……. Бесплатно.
Курский государственный технический университет.
Издательско-полиграфический центр Курского государственного
технического университета. 305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.
3
Содержание
Введение………………………………………………………………4
1. Предел числовой последовательности и функции………………5
2. Сравнение бесконечно малых функций………………………...10
3. Непрерывность функции………………………………………...11
4. Дифференцирование функции…………………………………..14
4.1. Производная сложной функции…………………………….14
4.2. Производная функции, заданной в неявном виде…………15
4.3. Производная функции, заданной параметрически………...16
4.4. Логарифмическое дифференцирование……………………17
5. Индивидуальные задания………………………………………...19
Контрольные вопросы…………………………….………………...40
Список рекомендуемой литературы……………………………….41
4
Введение
Основной формой обучения студентов является самостоятельная работа с учебником и учебными пособиями. Поэтому каждый
студент с самого начала занятий должен выработать для себя рациональную систему работы над курсом, постоянно практикуясь при
этом в решении задач. В противном случае усвоение и практическое
использование материала затруднены. Чрезвычайно важны систематические занятия. Работа урывками не приносит положительных результатов.
Часто приходится слышать высказывания студентов о том, что
теорию они знают, а решать задачи не умеют. Данная работа содержит методические указания по выполнению модуля системы РИТМо,
который способствует развитию индивидуального творческого мышления, обеспечивает ритмическую работу студента при изучении
разделов математического анализа: пределы числовой последовательности и функции, дифференцирование функции, исследование
функции на непрерывность.
Каждый параграф начинается с краткого теоретического введения, приводятся основные определения, методы и способы решения
задач. Рассмотрение решения типовых примеров и задач в параграфе,
как правило, расположено по возрастающей трудности. Здесь же
представлены индивидуальные задания, которые даны в объеме 50
вариантов. Номер варианта дает лектор. Он приводит общую нумерацию студентов в потоке.
Для подготовки к защите модуля представлен список контрольных вопросов.
Для выполнения модуля достаточно аккуратно записанных лекций и внимательного изучения методических рекомендаций, предложенных в данном учебном пособии. Кроме того, весь теоретический материал по данным темам хорошо представлен в учебных пособиях, указанных в списке литературы.
5
1. Предел числовой последовательности и функции
Определение 1. Число А называется пределом функции f(x) в
точке a, если для любого 0 найдётся такое число 0, что из неравенства 0 | x a | следует неравенство | f ( x ) A | .
Определение 2. Число А называется правым (левым) пределом
функции f(х) в точке а, если для любого 0 найдётся такое число
0 , что из неравенства a x a (a x a ) следует неравенство | f ( x ) A | .
Для обозначения правого (левого) предела функции f(x) в точке
а используют следующую символику: lim f ( x ) B ( lim f ( x ) B) .
х а 0
х а 0
Критерий существования предела. Для того, чтобы в точке
x a существовал предел функции f(x), необходимо и достаточно,
чтобы существовали и были равны между собой оба односторонних
предела
lim f ( x ) lim f ( x ) .
x a 0
x a 0
Достаточно распространенными в курсе математики являются
последовательности, то есть функции y f (n ) , заданные на множестве натуральных чисел N. Чтобы подчеркнуть, что аргумент такой
функции принимает только значения из множества натуральных чисел, его обозначают не х, а n. Для последовательностей f(n) достаточно часто возникает необходимость найти ее предел при неограниченном возрастании аргумента n (при n ).
Определение 3. Число В называется пределом последовательности f(n), если для произвольного 0 существует такое число
M 0 , что для всех n M выполняется неравенство | f (n ) B | .
При вычислении пределов обычно используют не определение
предела, а теоремы о пределах и приёмы, которые мы обобщим,
оформив результат в форме табл. 1.
6
Таблица 1
Практическое вычисление пределов
Вычисление предела функции lim f (x )
xa
Основные этапы
1.Пользуясь
непрерывностью функции
f(x), пробуем подставить значение x = а в
функцию f(x)
2.Если
вычисляется
предел при х и
имеется неопределенность типа
, то
пробуем в числителе и
знаменателе вынести
за скобки переменную
в наивысшей степени
(или числитель и знаменатель делим на переменную в наивысшей степени)
Пример
9 x2 9 4
lim
5
x 2 x 1
2 1
lim
x 3 2x 1
x 4 x 4 x 2 3x 7
1
2
1
x4(
)
000
x x3 x4
lim
0
1
3
7
x 4
4000
x (4
)
x2 x3 x4
x 9x 2 2x
x 2 3x 1
1
2
x2( 9 )
x
x 0 9 0 3
lim
3
1
x 2
1 0 0
x (1
)
x x2
lim
x
3.Если в результате
подстановки х=а получили выражение типа 0 , то:
0
а) пробуем числитель
x 3x 3
x2 9
0
lim 2
lim
и знаменатель разло- x 3 x 5x 6 0 x 3 x 3x 2
жить на множители
x 3 33
= lim
6
x 3 x 2
3 2
7
Продолжение табл.1
1
2
б) если в числитель 1 способ
или знаменатель вхоx 2 16 0
x 2 16 x 2
lim
дят выражения с квад- xlim
4 x 2
0 x 4 x 2 x 2
ратным или кубичеx 4x 4 x 2 lim x 4 x 2 32
ским корнями, то lim
x 4
x 4
x 4
умножаем числитель и
знаменатель на соответствующие выраже- 2 способ
2
ния, чтобы избавиться Обозначим x t . Тогда x t . При x,
от заданных корней t.
(иногда вводят новую Тогда
переменную)
x 2 16
t 4 16
t2 4 t2 4
lim
x 4
x 2
lim
t 2
t2
lim
t 2
t2
t 2 t 2 t 2 4
lim
lim t 2 t 2 4 32
t 2
в) если под знаком
предела стоят тригонометрические или
обратные тригонометрические функции, то
такие пределы приводятся к 1-му замечательному пределу
sin x
1,
x 0 x
или к его вариациям
tgx
lim
1;
x 0 x
arcsin x
lim
1;
x 0
x
arctgx
lim
1.
x 0
x
lim
t2
t 2
sin 5x cos 2 x arctg 3x 0
x 0
tg 7 x arcsin 4 x
0
lim
arctg 3x
sin 5x
3x
5x cos 2 x
5x
3x
lim
x 0
tg 7 x
arg sin 4 x
7x
4x
7
x
4
x
Сократив числитель и знаменатель на переменные, которые стоят за скобками, учитывая, что lim cos 2x 1 , и учитывая первый заx 0
мечательный предел и его вариации, получаем, что искомый предел равен:
1 5 1 1 3 15
.
1 7 1 4
28
8
При нахождении пределов вида
lim f ( x ) ( x ) C следует
x a
иметь в виду, что:
1) если существуют конечные пределы
lim f ( x ) A и
x a
lim ( x ) B , то C A ;
B
x a
2) если
lim f ( x ) A 1 и
lim ( x ) , то вопрос о
x a
x a
нахождении предела С решается непосредственно;
3) если lim f ( x ) 1 и lim ( x ) , то есть имеем неопреx a
x a
делённость вида 1 , то используем 2-ой замечательный предел
x
1
lim 1 x e или lim 1 e
x 0
x
x
1 2 x
sin 3x
Пример 1. Найти lim
.
x 0
x
sin 3x
3 sin 3x
lim
3 и lim 1 2x 1 ,
Решение. Здесь lim
x 0
x 0
x 0
x
3x
1 2 x
sin 3x
следовательно, lim
31 3 .
x 0
x
1/ x
x2
x 2
.
Пример 2. Найти lim 2
x 3x 1
2
Решение. Имеем lim
x2 2
x 3x 2 1
x2
1
lim
x
3
2
x 2 1 и lim x 2
1 3 x
x2
1
0 .
3
x 2
x 1
Пример 3. Найти lim
.
x x 3
x 2
Поэтому lim 2
x 3x 1
2
9
1
x 1
x 1, a lim x 2 , то
Решение. Здесь lim
lim
x x 3 x
3
x
1
x
есть имеем неопределённость вида 1 . В этом случае, прежде чем
применить 2-ой замечательный предел, произведём следующие преобразования:
1
x 1
lim
x x 3
x2
x 3 4
lim
x
x 3
4
x 3 x 3( x 2 )
4
1
lim 1
x
x 3
4
x2
4 x2
lim 1
x
x 3
8
x
lim
4( x 2)
3
x
lim
1
x x 3
x
e
e
4
e 4 .
Можно найти предел проще, не прибегая к общему приёму, а
именно
x 2
1 1
x
1
1
x
x
x2
x
x2
x
1
e 1
4
lim
lim
lim
e
.
x2
3( x 2 )
3
x x 3
x
x
e
1 3
x
x
3
x
1 1
x
3
Замечание. Если существует и положителен lim f ( x ), то
lim ln f ( x ) ln lim f ( x )
x a
x a
xa
10
2. Cравнение бесконечно малых функций
Определение. Если
lim f(x) 0 , то f(x) называется бесконечно
x а
малой при xa.
Пусть функции х и х являются бесконечно малыми при
хх 0 . Тогда:
( x )
0 , то (х) называется бесконечно малой
1) если lim
x x ( x )
0
функцией более высокого порядка, чем (х) при хх 0 ;
( x )
, где А -конечное число, отличное от нуля,
2) если lim
x x ( x )
0
то (х) и (х) называются бесконечно малыми функциями одного
порядка при хх 0 ;
( x )
1, то (х) и (х) называются эквивалентны3) если lim
x x ( x )
0
ми бесконечно малыми функциями при хх 0 . При этом пишут:
х(х).
Аналогичные определения можно сформулировать и при
х х х хх 0 0, хх 0 +0.
При вычислении пределов пользуются следующей теоремой:
предел произведения или частного бесконечно малых функций не
изменится, если любую из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией.
Пусть х бесконечно малая функция при хх 0 . Имеют место следующие эквивалентности при х0:
1) sinхх
2) tgхх
3) arcsinxx
4) arctgx(x
5) log(1+x ( х) ;
ln a
7) a ( х ) 1xlna;
9) (1+x а 1 а(х).
6) ln(1+xx
8) e ( х ) 1x
11
Пример 1. Найти lim
x 0
x sin x
arctg 2x 2
.
Решение. Так как sin x x, a arctg 2x 2x при х0, то
2
x sin x
xx
x
1
.
lim
lim
lim
x 0 arctg 2 x 2
x 0 2 x 2
x 0 4 x 2
4
Пример 2. Найти lim
x 2 5x 6
tg 4 x
x 2
2
.
Решение. Здесь tg (4 x ) ~ (4 x ) при х, поэтому
2
lim
x 2
x 2 x 3
4x
2
2
3 x 1
.
x 2 2 x
4
lim
3. Непрерывность функции
Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если:
1) эта функция определена в некоторой окрестности точки а;
2) существует предел lim f ( x ) ;
xa
3) этот предел
т.е. lim f ( x ) f (a ).
равен
значению
функции
в
точке
а,
x a
Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области,
то она называется непрерывной в этой области.
Те точки области определения функции, в которых функция не
является непрерывной, называются точками разрыва функции.
Различают разрывы двух видов.
1. Если в точке а существуют односторонние пределы функции, но, по крайней мере, один из них не равен значению данной
функции в точке а, то говорят, что функция f(x) в точке а имеет
разрыв первого рода. При этом возможны следующие случаи:
f(a0)=f(a+0)f(a)
(в этом случае говорят, что функция f(x) в точке а имеет устранимый разрыв);
f(a0)f(a+0)
12
(в этом случае говорят, что функция f(x) в точке а имеет разрыв
с конечным скачком. При этом число f(a+0) f(a0)называют
скачком функции f(x) точке а).
2. Функция f(x) в точке а имеет разрыв второго рода, если в
этой точке по крайней мере, один из односторонних пределов бесконечен или вовсе не существует.
Функция f(x) называется непрерывной на отрезке a; b, если она
непрерывна в каждой точке этого отрезка, причём в точке а она непрерывна справа (f(a+0)=f(a)), а в точке в - слева (f(b0)=f(b)).
Непрерывные на отрезке функции обладают рядом важных
свойств. Приведём одно из них.
Пусть функция f(х) непрерывна на отрезке а; b и на концах
этого отрезка принимает значения разных знаков. Тогда на интервале
a; b существует такая точка c, в которой данная функция равна нулю.
В задачах 1-5 определить, какого рода разрывы имеют следующие функции в точке а
Пример 1. f ( x ) 2
1 /( x 3)
, a 3
1
1 /( x 3)
0 . Если
Решение. Если х30, то
и lim 2
x 30
х 3
1
1 /( x 3)
. Так как один из односто и lim 2
х3+0, то
x 3 0
х 3
ронних пределов бесконечен, следовательно, а=3-точка разрыва 2-го
рода.
2х 5
Пример 2. f ( x )
, а=1.
х 1
2 х 1 7
7
2
Решение. Выделим целую часть f ( x )
.
х 1
х 1
7
7
и lim 2
Если x 1 0 , то
. Если х1+0, то
x
1
0
x 1
х 1
7
7
и lim 2
.
x 1 0
x 1
х 1
13
Таким образом, функция при х1 не имеет ни левого, ни правого конечного предела. Следовательно, х=1 является точкой разрыва 2-го рода.
1
Пример 3. f ( x ) arctg
, а = 5.
х5
1
Решение.
Если
то
и
x 5 0 ,
х5
1
1
lim arctg
. Если x 5 0 , то
и
x 50
x5
2
x5
1
lim arctg
. Итак, при х 5 функция имеет левый и праx 5 0
x5 2
вый конечные пределы, причём эти пределы различны. Следовательно, х = 5 является точкой разрыва 1-го рода. Разность между правым и левым пределами (скачок) в точке разрыва равна
.
2 2
х 1
Пример 4. f ( x ) 3
, а = 1.
x 1
x 1
1
lim 2
1,
Решение. lim 3
x 1 0 x 1
x 1 0 x x 1
x 1
1
lim 3
lim 2
1. Итак,
x 1 0 x 1
x 1 0 x x 1
f (1 0) f (1 0) , но не равны f (1) , значит, а=1 является
устранимой точкой разрыва.
2 х при х 1
Пример 5. f ( x ) 1
, a 1.
при
х
1
1 х
Решение. Если х10, то lim f ( x ) lim 2 x 1 . Если
x 10
x 10
1
. Один из односторонних преx 1 0
x 1 0 1 x
делов бесконечен, следовательно, a 1-точка разрыва 2-го рода.
х1+0, то lim f ( x ) lim
14
4. Дифференцирование функции
Пусть функция y f ( x ) определена в некоторой окрестности
точки x .
0
Определение. Предел отношения приращения y функции в
этой точке (если он существует) к приращению x аргумента, когда
x 0 , называется производной функции f(x) в точке x .
0
Обозначения: f ( x ) или y( x ) или
0
0
df ( x )
0
dx
или f
. Таx x
0
ким образом,
f ( x x ) f ( x )
y
0
0
.
lim
x 0 x
x 0
x
Вычисление производной называется дифференцированием
функции.
Так как дифференцирование функций с использованием только
таблицы производных элементарных функций и основных правил
дифференцирования не вызывает особых затруднений, то мы остановимся лишь на приемах вычисления производных сложных функций.
f ( x 0 ) lim
4.1. Производная сложной функции
Рассмотрим некоторую сложную функцию y f [( x )] .
В этой цепи функциональных зависимостей y f (z) и z ( x )
аргумент х является последним и поэтому его называют независимой
переменной. Таким образом, понятие аргумента и независимой переменной следует различать. Например, пусть y z и z cos x . Здесь
z есть аргумент функции y, но z, не будет независимой переменой. В
результате, производная сложной функции y f [(z)] равна производной данной функции y по промежуточному аргументу z, умноженной на производную самого промежуточного аргумента z по независимой переменной х, т.е.
y x y z y x .
15
3
Пример 1. Найти производную от функции y ln x .
3
yz .
Полагаем
тогда
Отсюда
z ln x ,
1
1
2
2
2
y z 3z 3 ln x , z x . Следовательно, y x 3 ln x .
x
x
При достаточном навыке промежуточную переменную z не пишут, вводя ее лишь мысленно.
Решение.
Пример 2. Найти производную от функции
3
2
y sin( x 3x 5) .
Решение.
y cos(x 3 3x 2 5) ( x 3 3x 2 5)
(3x 2 6 x ) cos(x 3 3x 2 5) 3x ( x 2) cos( x 3 3x 2 5).
Пример 3. Найти производную от функции y e
Решение.
y e
2
x x 1
x x 1
2
e
x 2 x 1
2 x x 1
2
x 2 x 1
.
2
( x x 1)
2
(2x 1) e x x 1
2 x x 1
2
.
.
4.2. Производная функции, заданной в неявном виде
В некоторых случаях функция определяется уравнением, которое нельзя элементарными средствами разрешить относительно y, и
приходится рассматривать y как неявную функцию от х. В таком варианте существует особый способ нахождения производной. Известно, если две функции тождественно равны друг другу, то равны и их
производные. Поэтому, взяв производные от левой и правой частей
данного тождества и применяя правило дифференцирования сложной
функции (полагая, что y сложная функция, зависящая от х), получаем равенство, откуда и выражаем y .
16
Пример 4. Найти производную от функции, определяемой урав4
4
нением x y 4 xy 0 .
4
4
Решение. ( x y 4 xy ) 0,
4 x 4 y y 4( x y xy ) 0
3
3
4 x 4 y y 4 y 4 xy 0
3
3
3
3
4 y y 4 xy 4 y 4 x
y (4 y 4 x ) 4 y 4 x
3
y
4 y 4x 3
3
или y
4 y 4x
3
yx
3
y x
3
.
4.3. Производная функции, заданной параметрически
Пусть функция y f (x) определена параметрически: x x ( t ) ,
y y( t ) . Тогда, если функции x(t) и y(t) имеют производные в точке
t , причем x ( t ) 0 , а функция y f ( x ) имеет производную в точке
0
0
x 0 x ( t 0 ) , то эта производная находится по формуле
y ( x )
0
y t ( t 0 )
x t ( t 0 )
или y
x
y t
x t
.
Пример 5. Найти y (x ) для заданной параметрически функции
x t sin t
.
y 1 cos t
Решение.
x ( t sin t ) 1 cos t
t
t
yt (1 cos t )t sin t
t
t
t
2 sin cos
cos
sin t
2
2
2 ctg t .
y
t
t
x 1 cos t
2
2 t
t
2 sin
sin
2
2
y t
17
4.4. Логарифмическое дифференцирование
Если дана сложная функция, представляющая собой произведение или частное нескольких функций, причем числитель и знаменатель дроби в свою очередь содержат произведения, то следует обе
части данного выражения сначала прологарифмировать по основанию у, применить соответствующие свойства логарифмов, а затем
приступить к дифференцированию обеих частей. Этот прием носит
название логарифмического дифференцирования. Его также используют, если функция содержит корни из дробей. К этому приему прибегают, если имеется показательно-степенная функция или функция
вида y [f ( x )]( x ) .
3
Пример 6. Найти производную функции y
x x 2 ( x 1)
2
2
5
x 1
Решение. Логарифмируем обе части равенства по основанию е
3
ln y ln
x x 2 ( x 1)
2
4
.
2
5
.
x 1
Применяя свойства логарифмов, получаем
1
1
ln y ln( x 2 x 2) ln( x 2 1) ln( x 4 1) .
3
5
Дифференцируем обе части, считая y сложной функцией переменной х:
1
1
2x 1
2x
1 4x 3
y 2
2
4
y
3 x x 2 x 1 5 x 1
4
1
1
2x 1
2x
1
4x
y
2
y
3 ( x 2)( x 1) x 1 5 ( x 1)( x 1)( x 2 1)
3
5(2x 1)( x 1)( x 2 1) 30x ( x 2 1)( x 2) 12x 3 ( x 2)
1
y
y
15( x )( x 1)( x 2 1)( x 2)
1
10x 15x 15x 15x 5 30x 60x 30x 60x 12x 24x
y
y
15( x 1)(x 1)(x 2 1)(x 2)
4
3
2
4
3
2
4
3
18
1
28x 51x 15x 45x 5
y
y
15( x 2 1)( x 2 1)( x 2)
4
3
y
y
3
2
x 2 x 2 ( x 2 1) 28x 4 51x 3 15x 2 45x 5
5 4
15( x 2 1)( x 2 1)( x 2)
x 1
28x 4 51x 3 15x 2 45x 5
15( x 1)( x 2)
2
3
x2 x 2
5
x 1
4
.
Пример 7. Найти производную функции y ( x x 2)
Решение. Логарифмируем обе части по основанию е
2
e x 1
.
e x 1
ln y ln( x x 2) .
Используя свойство логарифма, получаем,
x 1
2
ln y e ln( x x 2) .
Дифференцируем обе части, считая y сложной функцией переменной х
2
1
y (e x 1 ) ln( x 2 x 2) e x 1 [ln( x 2 x 2)]
y
1
1
y e x 1 ln( x 2 x 2) e x 1 2
(2 x 1)
y
x x2
x 1
2x 1
y ( x 2 x 2) e e x 1 ln( x 2 x 2) 2
.
x x 2
Замечание. При дифференцировании степенно-показательной
функции можно пользоваться формулой
( x )
( x ) 1
( x )
(f ( x )
) ( x ) f ( x )
f ( x ) f ( x )
ln f ( x )( x ) ,
если f(x) и (х) дифференцируемые функции.
19
5. Индивидуальные задания
Задание 1
Вычислить предел функции, числовой последовательности, раскрыв
неопределенность типа . Задания взять из таблицы 2.
Таблица 2
Задание
№№
nn
1
2
lim
x 3x 2 x 2 x 4
3
2
lim
x
3
lim
x
4
1 2x x 3
lim
2x x 5
x3 x 2
2x 2 6x 5
5x 2 x 1
x 2 x 2 5x 4
№№
nn
12
13
lim
7
14
x
9
lim
lim
lim
15
n 3 2n 1
n2
3
n2 n
lim
n n 1
n!
lim
n (n 1)!n !
18
( n 2 1 n) 2
x 2x 3
3x 3 5
3x 2 5x 1
2x 3x
3
19
2
20
1
3x x 2 6
21
x2
5 n 3n 2
22
3
4
n 4 n 2 n 2
lim
lim
n
x3 1
x 2 x
11
3
(n 2)!(n 1)!
n (n 2)!(n 1)!
4
lim
n 2 3n 1 n
2n 3
17
x 3x
10
lim
x 3
x5 x6
x x 3 x 4 x 5
4
3
lim
3n 3 2n 2 n
16
x
8
n
n
4
lim
lim
(2n 1)(n 2)(n 3)
7 x 4 2x 3 2
x
6
lim
n
x 2 3x 2 x 4
5
Задание
3
n5 1
1 1
1
1 ...
2 4
2n
lim
1 1
1
n
1 ...
3 9
3n
1 2 3 ... n
lim
n
n2
1 2 3 4 ... 2n
lim
n
n2 1
lim
x2 1 x
x 4 x 3 x x
20
Продолжение табл.2
1
2
3
4
23
3 x 5x 4
37
( 2 ) n 3 n
lim
x x 4 12 x 1
24
25
26
lim
5x 2 3x 1
x 3x 2 x 5
5
2
lim
8 x 3x 9
x 2 x 5 2 x 2 5
4
3
lim
x x 1
38
39
40
28
29
x 3x 2 2 x 4
x4 x
lim
x x 3 3x 2 1
4
lim
x
30
3x 5
lim
lim
3x 2
x 8 3x 4
(2 x 3 4 x 5)(x 2 x 1)
31
lim
41
2 n 3n
lim
n 5
33
lim
34
lim
n
35
lim
n
36
lim
n
lim
(2 n ) 4 (3 n ) 4
43
lim
44
lim
1 2 3 ... n
n
16 n 6 1
3
lim
n 6n 2
n 2n 4 8n 8 1
lim
n
46
lim
6n 3 n 5 1
4n 6 n 3
3
n6 2
47
n3 8
(3x 1)(6x 2 5x 1)
lim
x ( 2 x 5)(3x 4)( x 2)
48
x 6 3x 2 5
n
2
n2 1 n
n 4 n 3 n
lim
(1 n ) (1 n ) 2
(2n 1)!(2n 1)!
n
(2n )!(n 1)
45
5n 3
n 1
n 2 n 3
2
42
n 2 n 3 n
32
lim
2n 3
n ( 2 n ) 4 ( 2 n ) 4
( x 2)(x 4 x 1)
x
3
2n 1
1
lim
...
3
2
n n 2
n
n
n (1 n ) 2 (1 n ) 2
x x 3 2 x 2 x
27
lim
n ( 2) n 1 3 n 1
n2
ln( 2n 4 n 2 1)
ln(3n 2 n 1)
lg( 8n 7 6n 5 1)
49
(3n 10 n 9 1)
n 3 2n 2 3n 4
n3 n2 n 1
lim
x 3x 2 2 x 11
3x 2 1
lim 4 7 x 2
3
x
50
lim
x
4 x 2 8x 7
x 4 x8
21
Задание 2
Вычислить предел функции, раскрыв неопределенность типа .
0
0
Задания взять из таблицы 3
Таблица 3
№ nn
1
lim
Задание
2x 3 2x 2
№ nn
14
x 0 5x 3 4 x 2
2
3
x 3
lim
x 3 x 2 9
lim
3x 2 8 x 4
2 x 2 x 15
lim
15
lim
7
16
17
10
11
12
13
lim
x x2
x3 x
20
21
x 6
x 3 3
22
3 x
x 9 4 2x 2
23
lim
x 1
x 1
24
lim
1 x 1 x
3x
25
1 1 x2
26
lim
x 6
lim
3
x 0
lim
1 x 2 1
19
lim
lim
3
x x
8x 3 1
lim
x 0
x 2 16 4
18
3
1 6 x 2 5x 1
2
3
x 1
x 2 1 1
lim
x 0
x 1 x 4 2 x 2 3
9
x 2 5x
x 0
x 1 x 3 x 2 x 1
8
lim
x 2 2x 1
lim
x
x 2 x3
1 3x 2x 6
x2
3
1 x 3 1 x
lim
x
x 0
x 1
6
lim
x 5
x 3 3x 2 7 x 6
5
1 3x 2 1
x 0
x 2 5x 2 14 x 8
4
Задание
x2
1 3 x
x 1 1 5 x
lim
x 0
5x
1 x 1 x
3x 3 x
lim
x
x 0
4x 2 9
x 3 / 2 2 x 3
x 2 7 x 10
lim 2
x 5 x 9 x 20
3x 2 5x 2
lim
x 2 / 3 3x 2 8x 4
x3 x
lim
x 1 x 4 2 x 2 3
x 1 1
lim
x
x 0
lim
22
Продолжение табл.3
1
2
3
27
x 2 8x 15
39
lim
x 2 25
x3 1
lim
x 1 x 1
2 x 3
lim
x 7
x 7
x
lim
x 0 1 3x 1
29
30
31
1 3x 1 2x
lim
xx
2x 1 5
x 3
x2
2x 2
2
x 0
32
lim
x 3
33
34
35
lim
x 2
x2 x
lim
x 1
x 1
3
lim
x 0
36
37
lim
lim 4
x 1
38
lim
40
41
42
43
44
45
46
3x 2 x 2
48
x 1
x 3 2x 2 x 2
x 1 3x 3 2 x 2 7 x 2
lim
23 x
x 3 3x 2
x 1 x 4 4 x 3
2
lim
3x 7 x 4
x 1 x 3 4 x 2 2 x 5
3
2
lim
2 x 7 x 5x 2
4x 2 6x 4
2 x
lim
x 4 4 x
5x 2
lim
x 1 2 x 1
lim
x 1
47
x 1
1 x 3
x 2
1 x 3 3x 1
6x
x 1 x 3 x 2 4 x 4
3
lim
x 8
x 5
28
4
lim
x 3 6x 2 11x 6
x 2 3x 2
x3 x2 x 1
x 1 x 3 x 2 x 1
3
lim
x 1000
x 10 x 3 20 x 2 100 x
lim
x 0
49
lim
x 0
50
x42
x
(1 x ) 3 1
x
1 x x2 1 x x2
lim
x 0
x
23
Задание 3
Вычислить предел функции, используя I замечательный предел и его
вариации. Задания взять из таблицы 4.
Таблица 4
№№
nn
1
2
Задание
sin 4x
x0 3x
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
sin x cos x
x / 4
tgx 1
tgx
lim
x 0 1 tgx 1
lim
sin 2x cos x
x 0
x
sin 3x sin x
lim
x 0
x
lim
cos x 1
x2
cos x
lim
x / 2 / 2 x
arctg 5x
lim
x0
3x
1 cos x
lim
x 0 5 x 2
x 0
lim
x 0
15
3
x
cos x cos 3x
lim
x 0
x
arcsin 3x
lim
x0
2x
lim
Задание
lim
cos x cos 3 x
x2
x 2 ctg 2 x
lim
x 0 sin 3x
1 cos 6x
lim
x 0 1 cos 2 x
x
tg 2
2
lim
2
x 0 x
1 cos 4x
lim
x 0 2 xtg 2 x
x 0
cos 2 x
x / 2 1 sin
3
14
lim
lim
№№
nn
1 cos 2 x
x
16
17
18
19
20
21
1 cos 3 x
lim
x 0 x sin 2 x
1 sin x cos x
lim
x 0 1 sin x cos x
lim
x 0
22
lim
sin 3 2x
x3
sin 3 x
x2
ctgx
lim
x / 2 x / 2
x 0
23
24
25
26
sin 2 x
lim
x 1 cos x
1 1 ctgx
lim
x / 2
ctgx
x
sin 2
4
lim
2
x 0 x
24
Продолжение табл.4
1
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
2
sin x tgx
x 0
x
arcsin 3x
lim
x0
5x
5x
lim
x0 arctgx
39
lim
40
41
x 0 3 (1 cos x ) 2
cos x sin x
x / 4
cos 2x
sin x
6
lim
x / 6
3
cos x
2
cos x
lim
x / 2 3 (1 sin x ) 2
lim
sin 2 2x
x0 xtg 3x
cos x tg ( x )
lim
x / 2
2x x
2
1 cos 3x
lim
x 0 xtg 2x
lim
lim
1 sin x
x / 2
4
cos x
x / 2 2 x
1 cos 5x
lim
x 0 1 cos 3x
lim
lim
1 x sin x 1
x2
x 0
tgx
lim
3
2
x
2
sin x cos x
lim
x / 4
4x
42
43
44
x
sin 4 x
2
lim
x 0
2x 2
sin 5x cos x
lim
x 0
arctg 4x
tg 7 x arcsin 2x
lim
x 0 x sin 3x cos 5x
sin
45
1 cos 2x
x 0 cos 7 x cos 3x
46
lim
lim
x 0
47
lim
x 0
48
49
50
sin 2 x tg 2 x
x4
1 cos 3 x
4x 2
1 cos x
x 0 x sin x
cos 2x cos x
lim
x 0
1 cos x
lim
sin 7x
x 10 sin 8x
lim
25
Задание 4
Вычислить предел функции, используя II замечательный предел. Задания взять из таблицы 5.
№nn
Задание
x
1
x 3
lim
x x 2
2
2x 1
lim
x 2 x 1
2x 2
4 x 1 x 1
3
lim
x
4
x 0
6
x
7
x
lim 1
x
x
14
x2 1
lim
x 0 x 2 3
15
x2 1
lim
x x 2 3
16
lim (1 tg
lim (2x 1)[ln(x 3) ln x ]
lim ( x 5)[ln(x 3) ln x ]
sin x
lim (1 2x 2 ) x
2
17
18
2x
lim (3x 5) x 4
2
11
12
2
lim (3x 8) x 3
x 3
4 x 2 1
x 3 5
1
x ) 2x
2
2 x 2 1
2 x 1
lim 1
x
x
lim (1 sin x ) cos ecx
x 0
x 2 2x 1
lim
x x 2 4 x 2
20
x 2 1
lim
2
x x 1
21
5x
lim
x 5x 1
x 2
10
x 3 5
19
x 0
9
5x 3
1 2 x 1
2
13
x 0
lim x[ln( x 1) ln x ]
x
№nn
4x
lim (1 2x )1 / x
5
8
5x
Таблица 5
Задание
22
x2
x2
3x 2
lim
x 3x 1
2 x 3
3x 3
2 x 3 x 1
lim
x 2 x 1
23
3 2
lim 1 x 1
x
x
x
lim (7 6 x ) 3x 3
x 1
24
lim (cos x ) ctg x
2
x 0
x
26
Продолжение табл.5
1
25
2
lim (1 tgx ) ctgx
x 0
x2
x 1
26
2x
lim
x 2 x 1
27
lim (sin x ) tg x
28
29
30
31
32
33
34
35
2
x / 2
1
lim (1 sin 2x ) arcsin 3x
x 0
x
x 8
lim
x x 2
1
x x 2
3
38
x 2 2x 3
lim
x x 2 2 x 5
39
x2 4
lim
x x 2 1
40
41
42
43
lim
x 2
x 2
lim
x x 4
x 2 5
2x
3
x 1 x 1
lim
x x 3 8
lim (3x 2)[ln( x 2) ln( x 3)]
x
1
arcsin x x
lim
x 0
x
44
lim (2e
x 1
37
x 1
3x 1
lim
x 3x 2
lim (cos x ) ctg 2 x
x 0
x 3
lim
x x 2
2 x 1
1
lim (cos x ) sin
2
2x 4
lim
x 2 x 1
2x
3x 5
4x 2
lim
2
x 4 x 3
46
lim
47
2
lim
x
1) x 1
49
(sin 2x ) tg 2 x
x 5
(7 2 x ) x 3
1
x sin( x )
lim ctg
x
4
lim
x 1 / 3
50
x 2 5
2
x / 4
x 3
48
tg
lim (4x 2 1)[ln(5x 2 1) ln(5x 2 2)]
x
2x
45
x
2
lim (3 2 x )
x 1
x 2 1
x 2
x 1
36
4
2 x 1
(4 9x ) 3x 1
x2
3x 2 x 1
lim
x 3x 1
27
Задание 5
Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции. Задания взять из таблицы 6.
Таблица 6
№№
nn
1
2
3
4
5
6
Задание
x 2; 2 x 2
f ( x ) 4 x ; 2 x 4
x 3; 4 x 6
x 2 ; 2 x 1
f ( x ) x 1; 1 x 5
7 x; 5 x 7
sin x , 0 x / 2
f ( x ) 1;
x /2
cos x; / 2 x 3 / 2
5
x ; x 1
f ( x ) 6 x ; 1 x 0
0;
x0
3 x ; 1 x 1
f ( x ) 5 3x; 1 x 3
4;
x 3
2x 1
x ; x 1
f ( x ) 2 x 2 ; 1 x 2
3; x 2
№№
nn
7
8
9
10
11
12
Задание
x 2 2x; 1 x 2
f (x)
x ;
2x4
| x |; 2 x 2
f ( x ) x 1; 2 x 5
2;
x 5
x 2; x 1
f ( x ) x 2 ; 1 x 2
5 x; x 2
2 x 3 ;
x 1
f ( x ) 2( x 2) 2 ; 1 x 3
7 2x;
x 3
3
x0
x ;
2 x 10
f (x)
; 0x2
3
x
1
x2
3;
2
x 2
x ;
f ( x ) x 3; 2 x 6
1;
x6
28
Продолжение табл.6
1
13
14
15
2
x 2
3;
f ( x ) x 2 1; 2 x 2
5
; x2
x 1
log 2 x; 1 x 3
f ( x ) ( x 4) 2 ; 3 x 5
6 x;
x 5
2; x 1
f ( x ) | x 1 |; 1 x 2
2 3x
; x2
x
3
4
23
1
f (x) 3 2 x
24
f ( x ) ( x 2)arctg
25
1
f (x) 4 2 x 3
16
f (x)
x4
x 5
26
1
f (x) e x 3
17
1
f (x) 5 x 2
27
f ( x ) arctg
18
1
f ( x ) arctg
x3
28
2
f ( x ) 3 x 1
19
x 2 16
29
f ( x ) arctg
30
3
f ( x ) 2 x 1 1
20
f (x)
f (x)
x 2 x 12
1
1
1 5 2x
21
f (x)
x 3
x3
31
f (x)
22
x2
f (x)
x 1
32
2
f (x) 3 x 4
3x
x2
3
x6
1
3x
1
x 1
29
Продолжение табл.6
1
33
34
2
f (x)
f (x)
1
3
42
1
2 x 3 1
1
( x 3)
43
2
35
3
f ( x ) e x 2
44
36
f (x)
x3
x 3
45
37
f ( x ) arctg
38
f (x)
39
f (x)
40
41
f (x)
1
x 1
| x 3|
x3
46
47
| x 2|
x2
48
x2 9
49
x 2 x 12
e x ;
x0
f (x)
2 x 1, x 0
50
4
1 x; x 1
f (x) 1
1 x , x 1
x 3 ; x / 2
f (x)
tgx , x / 2
x 2 ;
x2
f (x) 1
, x2
x 2
x0
x 5;
f (x) 1
e x ,
x0
x 3 ; x 1
f ( x ) x 2 4 x 3, 1 x 3
1,
x 3
x 2 2x 3; x 0
f ( x ) 2,
0x3
x 1, x 3
x;
0 x 1
f ( x ) 2 x , 1 x 2
2x 6, 2 x 4
5 x ; 1 x 1
f ( x ) ( x 2) 2 , 1 x 3
4 x ,
x3
cos x; 0 x / 2
1
f (x) , / 2 x
2
sin x, x 2
30
Задание 6
Найти производную функции. Задания взять из таблицы 7.
№
nn
Задание
x 1
x 1
Таблица 7
Задание
№
nn
13
y x 3 ln x x 2
y 2 x 1 arcsin x 4 1 x
14
y
y x ln( x 2 1) 2x 2arctgx
15
1
y x ln
2
3
y
tgx ctgx
tgx ctgx
1 x2 1
1 x2 1
4
y x2 1 x2
2
(1 x 2 ) 3
3
16
x 3 3x
y
x 1
5
y xarctg x x arctg x
17
y
6
y x 1 x arcsin x
18
y ( x 3 4) ln( x 3 4)
7
y ln
x
19
x 2 3 (2 x 2 3)
8
9
y ln
1 x2 1
1 ex 1
20
y
1 ex 1
y arctg ( x 1)
x 1
x 2 2x 2
10
y (3x 3 2x 2 3x )e x
11
y
12
y
x 1 x2
21
x3
cos x sin x
cos x sin x
4x x 4
1 3x 2
22
y 3x 1(ln(3x 1) 3)
23
y
24
1
y tg 3 x ln cos x
3
x2
y arccos e x arccos 1 e x
y
cos x
1 ln cos x
x ln x 1
x ln x 1
31
Продолжение табл.7
1
25
26
2
y
y
cos x
sin 2 x
ctg 2 x
x3 1 x2
3
4
38
( x 2) 5
1 x2 1
x
y ln
arctg
8 x2 4
2
y
27
y
x
x 2 4 2 ln( x x 2 4 )
2
40
28
y
1
cos 3 x (3 cos 2 x 5)
15
41
29
x
cos x
y ln( tg )
2 sin 2 x
30
y 1 2x x 2 arcsin
42
44
y
y
y ln x 1 ln( x 1)
32
y 5 x ln 2 x
45
33
x x2 1
1 x2
y ln
x
x
46
34
35
y sin x tg x cos x ctg x
y
x 2 2x 3
( x 1) 2
arccos
2
x 1
y
y
31
47
48
y
y
37
y ( x 3 3x 2 4)e 2x e x 4x
1 x 2 2x 2
y
ln(x 1 x 2 2x 2
x 1
49
50
2
ln( x 2 1)
x 2 2x 3
ln( x 1)
5x x 5
x 2 2x 2
1 ln(sin x )
sin 2 x
2 x 2 x
2 x 2 x
x x2 4
x x2 4
2 ln(cos x )
cos 2 x
1
1
y
1
x
x2
2
36
x 1
x 1
sin x ctgx
y
sin x ctgx
43
2
3
( x 3) 3
39
x3 1 x2
x 1
y log 2
y
tg 2 x 3
y ln
tgx
1 x2
x2
arctgx
x3
32
Задание 7
Найти производную функции. Задания взять из таблицы 8.
Таблица 8
№№
nn
Задание
1
x 2 1
y
x 2 1
2
y ln 3
3
4
5
6
1 3x
1 3x
14
2
y 3 ln( 2x 3 4x ) 2
y ln
y
№№
nn
x (1 x 2 )
15
16
Задание
y ln( x sin x)
y log 2
( x 2) 5
( x 3) 3
x 1
y ln
x3 1
3
17
y 5 x ln 2 x
18
x 3 1
y
x 3 1
19
y arccos
1 x2
4x
1
e
3
e 4x
y ( xe 2 x 3) 5
1 e 2 x
2
2x 1
3
20
y log 3 ( x 3 1)
y x ln(3x 2 9x 4 1)
21
y log 2 [log 3 ( x 2 3)]
9
y sin( x 2 2 x )
22
y ln arcctg 1 x 2
10
y ln
x3 9
23
y 3 ln cos
11
y ln 1 x 2
24
y
7
y
8
12
13
1 e 2x
x3 1
3
y ln
y
x2 2
1 e 4 x
2
arccos x 2 2x
1 x
1 x
25
y arccos
26
y ln cos 3 arctge 3x
(6 2 x 2 ) 3
1 e 4x
1
x2
3
33
Продолжение табл.8
1
2
3
27
y sin( e x 3x 2 )
39
28
29
2
y4
1 tgx
1 tgx
y arctg[ln(2x 3)]
40
4
y arcsin
x4 1
x4 1
x 5
y3
x2 4
41
y ln[ x cos( x 1 x 2 )]
30
y x x
42
y e arcctg 1ln(3x 1)
31
y arcsin 1 2 x
43
y ln(e x sin x e x cos x )
32
y arcctg
1 x
1 x
44
y ln
33
x 1 x2
y ln
x
34
y ln
1
1 x 1 x
1 x 1 x
45
1 ln x
y cos 2
x
46
y log 3 ( x 2 cos x )
x x2 1
1 x
1 x
35
y sin
arccos x
2
47
36
y arcsin e sin x
48
y
37
e x e x
y ln cos arctg
2
49
y sin( x 1 e x )
38
y 3 (1 xe x ) 5
50
1
x 2 arctgx ln x 1
2
ye
y3
1 arccos x
1 arccos x
34
Задание 8
Используя логарифмическое дифференцирование, найти производную функции. Задания взять из таблицы 9.
Таблица 9
№№
nn
Задание
№№
nn
Задание
16
y ( x)x
y ( x 2 1) x 3
17
1
y ( x 2 5x ) x
3
1
y (sin x ) x
18
4
y (cos x ) x
19
y ( x 2 1) cos x
5
1
y (sin x cos x ) x
20
y (cos x ) sin x
6
y ( tgx ctgx ) x
21
y ( tgx ) ctgx
7
y (sin x ) arcsin x
22
y ( x 1) ln x
8
y (cos x ) arccos x
23
y (ln x ) x 2
9
y ( tgx ) arctgx
24
y (log 2 x ) 2
10
y (arcctgx )1 x
25
y (3 x ) log 3 2
11
y (ln x ) x
26
y (cos 2 x ) ctg 2 x
12
y ( x 2 4 ) ln x
27
y ( x 2 1) ln x 1
28
y (arctge x ) e
29
y ( e x ) ln x
30
y ( 1 ln 2 x ) e
1
y (x 2 2x ) x
2
13
14
15
3
y ( tg 2x )
ctg
y x cos x
1
y
x
x 3 3
x
2
2
x
y
1 x
x
2
x
2
x
x
35
Продолжение табл.9
1
2
3
4
31
x 2 ( x 3 1)
41
y (2 x 5 ) log 2 x
42
y (x
43
x 1
y
x 1
44
y 1 2 x
45
y tg x
46
y (sin 2 x ) ln sin x
32
33
34
35
36
37
38
39
y3
y
y
5
( x 3) 2
( x 1) 2 3 x 2
( x 4) 3
( x 1) 2 ( x 2 2)
( x 2) 3
( x 3 3x ) 3 ( x 2 1)
y
y
( x 3 1) 2
( x 2) 3 x 1
y5
2
2
1
2) ln x
ln( x 1)
log 2 x
cos x
( x 1) 5
( x 2) 3 x 2 1
3
x 3 3x 2 3
x 3 1 (x 2 x) 2
y
x
y
x 1
48
y (ln cos x ) x
49
y (e 2 x ) x 3
50
y x 2 2 x
( x 1) 3
y4
3
( x 1) 3 x 2 2
ln( x 1)
47
( x 3) 5
x3 3 x 1
2
( x 2 3) 3
40
y
( x 3) 3 ( x 1) 4
( x 2 9) 2
x 3 3x
36
Задание 9
Найти производную неявно заданной функции. Задания взять из таблицы 10.
№№
nn
Задание
Таблица 10
Задание
№№
nn
1
y 2 xy x 2 1
16
x cos 2 y ln cos x 0
2
x 3 2 xy y 3 0
17
x sin y e cos x 0
3
sin
18
y ln cos x y 2
4
y ln y xe y 1
19
ctg
5
x 1 ye xy
20
6
7
8
x
x
cos tg ( x y)
y
y
y x arctgy
y sin( x y)
x y arcsin x arccos y
21
22
23
x x
y y
y cos x x sin y x y
y cos x x cos y 0
e x e y e xy
x2y e
x
y
9
3x 3y 3xy
24
x y e y arcctgx 0
10
x 3 y 3 xy
25
ln x arctg
11
x
y
26
x 2 xy y 2 1
12
13
e
x
x
y
x cos y sin y sin 2 y 0
y cos x sin( x y) 0
27
y
x
x sin y y sin x 0
28
x
x
arcctg
y
y
14
x 2 ( x y) ( x y)
29
e x e y 2 xy 1 0
15
y x3 x ey
30
x 2 sin( xy ) 2 y 0
37
Продолжение табл.10
1
31
32
2
cos( x y) xy x 0
xy
33
2
34
35
xy
x
x y0
y
x
y
2 1
( x y) 2 e x y 0
x y arcsin x arccos y
3
41
4
arctg( x y) y
42
ey x 2 y2
43
ln y
44
y sin y x 2 y 2
45
arcctg ( xy ) ln( x 2 y 2 )
xy
ey
36
x 4 y 4 2x 2 y 2
46
x 2 y 2 arctg
37
xy x y 1
47
x 3 x 2 y xy 2 y 3 0
48
y2
49
x y ln xy
38
39
40
arctgx arcctgy ln( y 2 1)
sin( x y) cos(x y) tgy
x
xy0
y
50
xy
xy
ln x e
x
y
1
x
y
38
Задание 10
Найти производную функции, заданной параметрически. Задания
взять из таблицы 11.
Таблица 11
№№
nn
1
2
3
4
5
6
7
8
Задание
x t 1
y 3 t
x 4 t 1
y t 2
x t 1
y t 3
1
x
t
y t 3 t 2 t
x sin 2 t
y cos 2 t
1
x
arcsin
1 t2
1
y arccos
1 t2
x sin t t cos t
y cos t t sin t
x e t
y e 2 t
№№
nn
9
10
11
12
13
14
15
16
Задание
x 2 t
y 2 2 t
x ln( t 1)
1
y t 1
x 3t 6t 2
y t 2 3t 3
2t
x
1 t2
2
y 1 t
1 t2
x cos 3 t
y sin 3 t
ln t
x
t
y t ln t
1
x t 1
2
y t
t 1
x e t sin t
y e t cos t
39
Продолжение табл.11
1
2
3
17
x arctgt
y ln(1 t 2 )
27
18
x t cos t
y 1 cos t
28
19
20
21
22
23
24
25
26
t 1
x t
y t 1
t
x ln(1 t 2 )
y t arctgt
x cos t
y sin t
3t
x
1 t3
2
y 3t
1 t3
x t (1 sin t )
y t cos t
x t t 3
y t 2 t 3
x 2 cos t cos 2t
y 2 sin t sin 2t
x t 3 1
y t 2 t 1
29
4
x ln ctgt
y tgt ctgt
1
x
arctg
1 t2
1
y arcctg
1 t2
x ln( t 1)
1
y t 1
30
x sin t cos 2t
y cos t
31
x t ln sin t
y y ln cos t
32
x 3t t 3
y 3t 2
33
x e t
y sin t
34
x sin 2 t
y t cos t
35
x t cos t
y 1 cos t
36
x ln t
1
y t t
40
Продолжение табл.11
1
37
38
39
40
41
42
43
2
x arctg t
1
y
1 t
x t ln t
y t ln t
x t 3 6t
y t 5 5t
x e 2 t
y sin t
x t 2 2t 2
y t 3 3t 1
x e t cos t
y e t sin t
x 2 t 2 2
y 8t 3 8t 2
3
44
45
46
47
48
49
50
4
x tgt
y ctgt
x t t
y 1 t
x arcsin t
y t t 2
x ln t
1
y
t2
x ln 1 t 2
y t arcsin t
x t 2 ln t
y t 2 ln t
x e t e t
y e t e t
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте определения предела функции в точке, предела
функции в бесконечности, предела последовательности.
2. Как связано понятие предела функции с понятиями ее пределов
слева и справа?
3. Какая функция называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства?
4. Какая функция называется бесконечно большой и какова ее
связь с бесконечно малой?
5. Сформулируйте основные теоремы о пределах функций.
41
6. Как
раскрываются
0
, 0 , [ ], 0 .
неопределенности
видов
7. Сформулируйте первый замечательный предел и его следствия.
8. Сформулируйте второй замечательный предел.
9. Сформулируйте определения непрерывности функции в точке и
на отрезке. Какие точки называются точками разрыва функции?
10. Охарактеризуйте точки разрыва I рода, II рода.
11. Сформулируйте определение порядка одной бесконечно малой относительности другой бесконечно малой.
12. Чему эквивалентны при x 0 функции: tgx , arctgx, sin x,
arcsin x, log a (1 x ), a x 1, (1 x ) 1?
13. Сформулируйте определение производной.
14. Каков ее механический и геометрический смысл?
15. Сформулируйте основные правила дифференцирования
функций.
16. В чем заключается суть логарифмического дифференцирования и в каких случаях его целесообразно применять?
17. Каково правило дифференцирования функции, заданной неявно?
18. Как находится первая производная функция, заданной параметрически?
Список рекомендуемой литературы
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления
для втузов. М.: Наука, Т.1, 1978. -576с.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, Ч.1, 1996. 304с.
3. Сборник задач по математике для втузов / Под общей ред. А.В.
Ефимова и А.С. Поспелова. - М.: Изд-во физ.-мат. литературы,
Ч.2, 2003.432с.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1984. - 432с.
5. Общий курс высшей математики: Учебник / Под ред. В.И. Ермакова. - М.: ИНФРА - М, 2000. - 656с.
