МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Курский государственный технический университет Кафедра высшей математики Пределы числовой последовательности и функции. Непрерывность функции. Дифференцирование функции Модуль-1 (МА) Курск 2005 2 Составитель: З.Г.Гончарова УДК 517 Рецензент Кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики Н.А. Моргунова Пределы числовой последовательности и функции. Непрерывность функции. Дифференцирование функции [Текст]: методические указания и индивидуальные задания. Модуль1 по математическому анализу / сост.: З.Г.Гончарова; Курск. гос. техн. ун-т; Курск, 2005. 41 с., табл. 11. Библиогр.: 5 назв. Излагаются краткие методические рекомендации по темам математического анализа: пределы числовой последовательности и функции, непрерывность функции, дифференцирование функции. В работе представлены 50 вариантов индивидуальных заданий. Методические указания и индивидуальные задания предназначены для студентов технических специальностей. . Текст печатается в авторской редакции ИД №06430 от 10. 12. 2001. Подписано в печать ________ . Формат 60х84 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. Уч.-изд. л. .Тираж 50 экз. Заказ ……. Бесплатно. Курский государственный технический университет. Издательско-полиграфический центр Курского государственного технического университета. 305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94. 3 Содержание Введение………………………………………………………………4 1. Предел числовой последовательности и функции………………5 2. Сравнение бесконечно малых функций………………………...10 3. Непрерывность функции………………………………………...11 4. Дифференцирование функции…………………………………..14 4.1. Производная сложной функции…………………………….14 4.2. Производная функции, заданной в неявном виде…………15 4.3. Производная функции, заданной параметрически………...16 4.4. Логарифмическое дифференцирование……………………17 5. Индивидуальные задания………………………………………...19 Контрольные вопросы…………………………….………………...40 Список рекомендуемой литературы……………………………….41 4 Введение Основной формой обучения студентов является самостоятельная работа с учебником и учебными пособиями. Поэтому каждый студент с самого начала занятий должен выработать для себя рациональную систему работы над курсом, постоянно практикуясь при этом в решении задач. В противном случае усвоение и практическое использование материала затруднены. Чрезвычайно важны систематические занятия. Работа урывками не приносит положительных результатов. Часто приходится слышать высказывания студентов о том, что теорию они знают, а решать задачи не умеют. Данная работа содержит методические указания по выполнению модуля системы РИТМо, который способствует развитию индивидуального творческого мышления, обеспечивает ритмическую работу студента при изучении разделов математического анализа: пределы числовой последовательности и функции, дифференцирование функции, исследование функции на непрерывность. Каждый параграф начинается с краткого теоретического введения, приводятся основные определения, методы и способы решения задач. Рассмотрение решения типовых примеров и задач в параграфе, как правило, расположено по возрастающей трудности. Здесь же представлены индивидуальные задания, которые даны в объеме 50 вариантов. Номер варианта дает лектор. Он приводит общую нумерацию студентов в потоке. Для подготовки к защите модуля представлен список контрольных вопросов. Для выполнения модуля достаточно аккуратно записанных лекций и внимательного изучения методических рекомендаций, предложенных в данном учебном пособии. Кроме того, весь теоретический материал по данным темам хорошо представлен в учебных пособиях, указанных в списке литературы. 5 1. Предел числовой последовательности и функции Определение 1. Число А называется пределом функции f(x) в точке a, если для любого 0 найдётся такое число 0, что из неравенства 0 | x a | следует неравенство | f ( x ) A | . Определение 2. Число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке а, если для любого 0 найдётся такое число 0 , что из неравенства a x a (a x a ) следует неравенство | f ( x ) A | . Для обозначения правого (левого) предела функции f(x) в точке а используют следующую символику: lim f ( x ) B ( lim f ( x ) B) . х а 0 х а 0 Критерий существования предела. Для того, чтобы в точке x a существовал предел функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны между собой оба односторонних предела lim f ( x ) lim f ( x ) . x a 0 x a 0 Достаточно распространенными в курсе математики являются последовательности, то есть функции y f (n ) , заданные на множестве натуральных чисел N. Чтобы подчеркнуть, что аргумент такой функции принимает только значения из множества натуральных чисел, его обозначают не х, а n. Для последовательностей f(n) достаточно часто возникает необходимость найти ее предел при неограниченном возрастании аргумента n (при n ). Определение 3. Число В называется пределом последовательности f(n), если для произвольного 0 существует такое число M 0 , что для всех n M выполняется неравенство | f (n ) B | . При вычислении пределов обычно используют не определение предела, а теоремы о пределах и приёмы, которые мы обобщим, оформив результат в форме табл. 1. 6 Таблица 1 Практическое вычисление пределов Вычисление предела функции lim f (x ) xa Основные этапы 1.Пользуясь непрерывностью функции f(x), пробуем подставить значение x = а в функцию f(x) 2.Если вычисляется предел при х и имеется неопределенность типа , то пробуем в числителе и знаменателе вынести за скобки переменную в наивысшей степени (или числитель и знаменатель делим на переменную в наивысшей степени) Пример 9 x2 9 4 lim 5 x 2 x 1 2 1 lim x 3 2x 1 x 4 x 4 x 2 3x 7 1 2 1 x4( ) 000 x x3 x4 lim 0 1 3 7 x 4 4000 x (4 ) x2 x3 x4 x 9x 2 2x x 2 3x 1 1 2 x2( 9 ) x x 0 9 0 3 lim 3 1 x 2 1 0 0 x (1 ) x x2 lim x 3.Если в результате подстановки х=а получили выражение типа 0 , то: 0 а) пробуем числитель x 3x 3 x2 9 0 lim 2 lim и знаменатель разло- x 3 x 5x 6 0 x 3 x 3x 2 жить на множители x 3 33 = lim 6 x 3 x 2 3 2 7 Продолжение табл.1 1 2 б) если в числитель 1 способ или знаменатель вхоx 2 16 0 x 2 16 x 2 lim дят выражения с квад- xlim 4 x 2 0 x 4 x 2 x 2 ратным или кубичеx 4x 4 x 2 lim x 4 x 2 32 ским корнями, то lim x 4 x 4 x 4 умножаем числитель и знаменатель на соответствующие выраже- 2 способ 2 ния, чтобы избавиться Обозначим x t . Тогда x t . При x, от заданных корней t. (иногда вводят новую Тогда переменную) x 2 16 t 4 16 t2 4 t2 4 lim x 4 x 2 lim t 2 t2 lim t 2 t2 t 2 t 2 t 2 4 lim lim t 2 t 2 4 32 t 2 в) если под знаком предела стоят тригонометрические или обратные тригонометрические функции, то такие пределы приводятся к 1-му замечательному пределу sin x 1, x 0 x или к его вариациям tgx lim 1; x 0 x arcsin x lim 1; x 0 x arctgx lim 1. x 0 x lim t2 t 2 sin 5x cos 2 x arctg 3x 0 x 0 tg 7 x arcsin 4 x 0 lim arctg 3x sin 5x 3x 5x cos 2 x 5x 3x lim x 0 tg 7 x arg sin 4 x 7x 4x 7 x 4 x Сократив числитель и знаменатель на переменные, которые стоят за скобками, учитывая, что lim cos 2x 1 , и учитывая первый заx 0 мечательный предел и его вариации, получаем, что искомый предел равен: 1 5 1 1 3 15 . 1 7 1 4 28 8 При нахождении пределов вида lim f ( x ) ( x ) C следует x a иметь в виду, что: 1) если существуют конечные пределы lim f ( x ) A и x a lim ( x ) B , то C A ; B x a 2) если lim f ( x ) A 1 и lim ( x ) , то вопрос о x a x a нахождении предела С решается непосредственно; 3) если lim f ( x ) 1 и lim ( x ) , то есть имеем неопреx a x a делённость вида 1 , то используем 2-ой замечательный предел x 1 lim 1 x e или lim 1 e x 0 x x 1 2 x sin 3x Пример 1. Найти lim . x 0 x sin 3x 3 sin 3x lim 3 и lim 1 2x 1 , Решение. Здесь lim x 0 x 0 x 0 x 3x 1 2 x sin 3x следовательно, lim 31 3 . x 0 x 1/ x x2 x 2 . Пример 2. Найти lim 2 x 3x 1 2 Решение. Имеем lim x2 2 x 3x 2 1 x2 1 lim x 3 2 x 2 1 и lim x 2 1 3 x x2 1 0 . 3 x 2 x 1 Пример 3. Найти lim . x x 3 x 2 Поэтому lim 2 x 3x 1 2 9 1 x 1 x 1, a lim x 2 , то Решение. Здесь lim lim x x 3 x 3 x 1 x есть имеем неопределённость вида 1 . В этом случае, прежде чем применить 2-ой замечательный предел, произведём следующие преобразования: 1 x 1 lim x x 3 x2 x 3 4 lim x x 3 4 x 3 x 3( x 2 ) 4 1 lim 1 x x 3 4 x2 4 x2 lim 1 x x 3 8 x lim 4( x 2) 3 x lim 1 x x 3 x e e 4 e 4 . Можно найти предел проще, не прибегая к общему приёму, а именно x 2 1 1 x 1 1 x x x2 x x2 x 1 e 1 4 lim lim lim e . x2 3( x 2 ) 3 x x 3 x x e 1 3 x x 3 x 1 1 x 3 Замечание. Если существует и положителен lim f ( x ), то lim ln f ( x ) ln lim f ( x ) x a x a xa 10 2. Cравнение бесконечно малых функций Определение. Если lim f(x) 0 , то f(x) называется бесконечно x а малой при xa. Пусть функции х и х являются бесконечно малыми при хх 0 . Тогда: ( x ) 0 , то (х) называется бесконечно малой 1) если lim x x ( x ) 0 функцией более высокого порядка, чем (х) при хх 0 ; ( x ) , где А -конечное число, отличное от нуля, 2) если lim x x ( x ) 0 то (х) и (х) называются бесконечно малыми функциями одного порядка при хх 0 ; ( x ) 1, то (х) и (х) называются эквивалентны3) если lim x x ( x ) 0 ми бесконечно малыми функциями при хх 0 . При этом пишут: х(х). Аналогичные определения можно сформулировать и при х х х хх 0 0, хх 0 +0. При вычислении пределов пользуются следующей теоремой: предел произведения или частного бесконечно малых функций не изменится, если любую из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией. Пусть х бесконечно малая функция при хх 0 . Имеют место следующие эквивалентности при х0: 1) sinхх 2) tgхх 3) arcsinxx 4) arctgx(x 5) log(1+x ( х) ; ln a 7) a ( х ) 1xlna; 9) (1+x а 1 а(х). 6) ln(1+xx 8) e ( х ) 1x 11 Пример 1. Найти lim x 0 x sin x arctg 2x 2 . Решение. Так как sin x x, a arctg 2x 2x при х0, то 2 x sin x xx x 1 . lim lim lim x 0 arctg 2 x 2 x 0 2 x 2 x 0 4 x 2 4 Пример 2. Найти lim x 2 5x 6 tg 4 x x 2 2 . Решение. Здесь tg (4 x ) ~ (4 x ) при х, поэтому 2 lim x 2 x 2 x 3 4x 2 2 3 x 1 . x 2 2 x 4 lim 3. Непрерывность функции Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если: 1) эта функция определена в некоторой окрестности точки а; 2) существует предел lim f ( x ) ; xa 3) этот предел т.е. lim f ( x ) f (a ). равен значению функции в точке а, x a Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области, то она называется непрерывной в этой области. Те точки области определения функции, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции. Различают разрывы двух видов. 1. Если в точке а существуют односторонние пределы функции, но, по крайней мере, один из них не равен значению данной функции в точке а, то говорят, что функция f(x) в точке а имеет разрыв первого рода. При этом возможны следующие случаи: f(a0)=f(a+0)f(a) (в этом случае говорят, что функция f(x) в точке а имеет устранимый разрыв); f(a0)f(a+0) 12 (в этом случае говорят, что функция f(x) в точке а имеет разрыв с конечным скачком. При этом число f(a+0) f(a0)называют скачком функции f(x) точке а). 2. Функция f(x) в точке а имеет разрыв второго рода, если в этой точке по крайней мере, один из односторонних пределов бесконечен или вовсе не существует. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке a; b, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка, причём в точке а она непрерывна справа (f(a+0)=f(a)), а в точке в - слева (f(b0)=f(b)). Непрерывные на отрезке функции обладают рядом важных свойств. Приведём одно из них. Пусть функция f(х) непрерывна на отрезке а; b и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков. Тогда на интервале a; b существует такая точка c, в которой данная функция равна нулю. В задачах 1-5 определить, какого рода разрывы имеют следующие функции в точке а Пример 1. f ( x ) 2 1 /( x 3) , a 3 1 1 /( x 3) 0 . Если Решение. Если х30, то и lim 2 x 30 х 3 1 1 /( x 3) . Так как один из односто и lim 2 х3+0, то x 3 0 х 3 ронних пределов бесконечен, следовательно, а=3-точка разрыва 2-го рода. 2х 5 Пример 2. f ( x ) , а=1. х 1 2 х 1 7 7 2 Решение. Выделим целую часть f ( x ) . х 1 х 1 7 7 и lim 2 Если x 1 0 , то . Если х1+0, то x 1 0 x 1 х 1 7 7 и lim 2 . x 1 0 x 1 х 1 13 Таким образом, функция при х1 не имеет ни левого, ни правого конечного предела. Следовательно, х=1 является точкой разрыва 2-го рода. 1 Пример 3. f ( x ) arctg , а = 5. х5 1 Решение. Если то и x 5 0 , х5 1 1 lim arctg . Если x 5 0 , то и x 50 x5 2 x5 1 lim arctg . Итак, при х 5 функция имеет левый и праx 5 0 x5 2 вый конечные пределы, причём эти пределы различны. Следовательно, х = 5 является точкой разрыва 1-го рода. Разность между правым и левым пределами (скачок) в точке разрыва равна . 2 2 х 1 Пример 4. f ( x ) 3 , а = 1. x 1 x 1 1 lim 2 1, Решение. lim 3 x 1 0 x 1 x 1 0 x x 1 x 1 1 lim 3 lim 2 1. Итак, x 1 0 x 1 x 1 0 x x 1 f (1 0) f (1 0) , но не равны f (1) , значит, а=1 является устранимой точкой разрыва. 2 х при х 1 Пример 5. f ( x ) 1 , a 1. при х 1 1 х Решение. Если х10, то lim f ( x ) lim 2 x 1 . Если x 10 x 10 1 . Один из односторонних преx 1 0 x 1 0 1 x делов бесконечен, следовательно, a 1-точка разрыва 2-го рода. х1+0, то lim f ( x ) lim 14 4. Дифференцирование функции Пусть функция y f ( x ) определена в некоторой окрестности точки x . 0 Определение. Предел отношения приращения y функции в этой точке (если он существует) к приращению x аргумента, когда x 0 , называется производной функции f(x) в точке x . 0 Обозначения: f ( x ) или y( x ) или 0 0 df ( x ) 0 dx или f . Таx x 0 ким образом, f ( x x ) f ( x ) y 0 0 . lim x 0 x x 0 x Вычисление производной называется дифференцированием функции. Так как дифференцирование функций с использованием только таблицы производных элементарных функций и основных правил дифференцирования не вызывает особых затруднений, то мы остановимся лишь на приемах вычисления производных сложных функций. f ( x 0 ) lim 4.1. Производная сложной функции Рассмотрим некоторую сложную функцию y f [( x )] . В этой цепи функциональных зависимостей y f (z) и z ( x ) аргумент х является последним и поэтому его называют независимой переменной. Таким образом, понятие аргумента и независимой переменной следует различать. Например, пусть y z и z cos x . Здесь z есть аргумент функции y, но z, не будет независимой переменой. В результате, производная сложной функции y f [(z)] равна производной данной функции y по промежуточному аргументу z, умноженной на производную самого промежуточного аргумента z по независимой переменной х, т.е. y x y z y x . 15 3 Пример 1. Найти производную от функции y ln x . 3 yz . Полагаем тогда Отсюда z ln x , 1 1 2 2 2 y z 3z 3 ln x , z x . Следовательно, y x 3 ln x . x x При достаточном навыке промежуточную переменную z не пишут, вводя ее лишь мысленно. Решение. Пример 2. Найти производную от функции 3 2 y sin( x 3x 5) . Решение. y cos(x 3 3x 2 5) ( x 3 3x 2 5) (3x 2 6 x ) cos(x 3 3x 2 5) 3x ( x 2) cos( x 3 3x 2 5). Пример 3. Найти производную от функции y e Решение. y e 2 x x 1 x x 1 2 e x 2 x 1 2 x x 1 2 x 2 x 1 . 2 ( x x 1) 2 (2x 1) e x x 1 2 x x 1 2 . . 4.2. Производная функции, заданной в неявном виде В некоторых случаях функция определяется уравнением, которое нельзя элементарными средствами разрешить относительно y, и приходится рассматривать y как неявную функцию от х. В таком варианте существует особый способ нахождения производной. Известно, если две функции тождественно равны друг другу, то равны и их производные. Поэтому, взяв производные от левой и правой частей данного тождества и применяя правило дифференцирования сложной функции (полагая, что y сложная функция, зависящая от х), получаем равенство, откуда и выражаем y . 16 Пример 4. Найти производную от функции, определяемой урав4 4 нением x y 4 xy 0 . 4 4 Решение. ( x y 4 xy ) 0, 4 x 4 y y 4( x y xy ) 0 3 3 4 x 4 y y 4 y 4 xy 0 3 3 3 3 4 y y 4 xy 4 y 4 x y (4 y 4 x ) 4 y 4 x 3 y 4 y 4x 3 3 или y 4 y 4x 3 yx 3 y x 3 . 4.3. Производная функции, заданной параметрически Пусть функция y f (x) определена параметрически: x x ( t ) , y y( t ) . Тогда, если функции x(t) и y(t) имеют производные в точке t , причем x ( t ) 0 , а функция y f ( x ) имеет производную в точке 0 0 x 0 x ( t 0 ) , то эта производная находится по формуле y ( x ) 0 y t ( t 0 ) x t ( t 0 ) или y x y t x t . Пример 5. Найти y (x ) для заданной параметрически функции x t sin t . y 1 cos t Решение. x ( t sin t ) 1 cos t t t yt (1 cos t )t sin t t t t 2 sin cos cos sin t 2 2 2 ctg t . y t t x 1 cos t 2 2 t t 2 sin sin 2 2 y t 17 4.4. Логарифмическое дифференцирование Если дана сложная функция, представляющая собой произведение или частное нескольких функций, причем числитель и знаменатель дроби в свою очередь содержат произведения, то следует обе части данного выражения сначала прологарифмировать по основанию у, применить соответствующие свойства логарифмов, а затем приступить к дифференцированию обеих частей. Этот прием носит название логарифмического дифференцирования. Его также используют, если функция содержит корни из дробей. К этому приему прибегают, если имеется показательно-степенная функция или функция вида y [f ( x )]( x ) . 3 Пример 6. Найти производную функции y x x 2 ( x 1) 2 2 5 x 1 Решение. Логарифмируем обе части равенства по основанию е 3 ln y ln x x 2 ( x 1) 2 4 . 2 5 . x 1 Применяя свойства логарифмов, получаем 1 1 ln y ln( x 2 x 2) ln( x 2 1) ln( x 4 1) . 3 5 Дифференцируем обе части, считая y сложной функцией переменной х: 1 1 2x 1 2x 1 4x 3 y 2 2 4 y 3 x x 2 x 1 5 x 1 4 1 1 2x 1 2x 1 4x y 2 y 3 ( x 2)( x 1) x 1 5 ( x 1)( x 1)( x 2 1) 3 5(2x 1)( x 1)( x 2 1) 30x ( x 2 1)( x 2) 12x 3 ( x 2) 1 y y 15( x )( x 1)( x 2 1)( x 2) 1 10x 15x 15x 15x 5 30x 60x 30x 60x 12x 24x y y 15( x 1)(x 1)(x 2 1)(x 2) 4 3 2 4 3 2 4 3 18 1 28x 51x 15x 45x 5 y y 15( x 2 1)( x 2 1)( x 2) 4 3 y y 3 2 x 2 x 2 ( x 2 1) 28x 4 51x 3 15x 2 45x 5 5 4 15( x 2 1)( x 2 1)( x 2) x 1 28x 4 51x 3 15x 2 45x 5 15( x 1)( x 2) 2 3 x2 x 2 5 x 1 4 . Пример 7. Найти производную функции y ( x x 2) Решение. Логарифмируем обе части по основанию е 2 e x 1 . e x 1 ln y ln( x x 2) . Используя свойство логарифма, получаем, x 1 2 ln y e ln( x x 2) . Дифференцируем обе части, считая y сложной функцией переменной х 2 1 y (e x 1 ) ln( x 2 x 2) e x 1 [ln( x 2 x 2)] y 1 1 y e x 1 ln( x 2 x 2) e x 1 2 (2 x 1) y x x2 x 1 2x 1 y ( x 2 x 2) e e x 1 ln( x 2 x 2) 2 . x x 2 Замечание. При дифференцировании степенно-показательной функции можно пользоваться формулой ( x ) ( x ) 1 ( x ) (f ( x ) ) ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) ln f ( x )( x ) , если f(x) и (х) дифференцируемые функции. 19 5. Индивидуальные задания Задание 1 Вычислить предел функции, числовой последовательности, раскрыв неопределенность типа . Задания взять из таблицы 2. Таблица 2 Задание №№ nn 1 2 lim x 3x 2 x 2 x 4 3 2 lim x 3 lim x 4 1 2x x 3 lim 2x x 5 x3 x 2 2x 2 6x 5 5x 2 x 1 x 2 x 2 5x 4 №№ nn 12 13 lim 7 14 x 9 lim lim lim 15 n 3 2n 1 n2 3 n2 n lim n n 1 n! lim n (n 1)!n ! 18 ( n 2 1 n) 2 x 2x 3 3x 3 5 3x 2 5x 1 2x 3x 3 19 2 20 1 3x x 2 6 21 x2 5 n 3n 2 22 3 4 n 4 n 2 n 2 lim lim n x3 1 x 2 x 11 3 (n 2)!(n 1)! n (n 2)!(n 1)! 4 lim n 2 3n 1 n 2n 3 17 x 3x 10 lim x 3 x5 x6 x x 3 x 4 x 5 4 3 lim 3n 3 2n 2 n 16 x 8 n n 4 lim lim (2n 1)(n 2)(n 3) 7 x 4 2x 3 2 x 6 lim n x 2 3x 2 x 4 5 Задание 3 n5 1 1 1 1 1 ... 2 4 2n lim 1 1 1 n 1 ... 3 9 3n 1 2 3 ... n lim n n2 1 2 3 4 ... 2n lim n n2 1 lim x2 1 x x 4 x 3 x x 20 Продолжение табл.2 1 2 3 4 23 3 x 5x 4 37 ( 2 ) n 3 n lim x x 4 12 x 1 24 25 26 lim 5x 2 3x 1 x 3x 2 x 5 5 2 lim 8 x 3x 9 x 2 x 5 2 x 2 5 4 3 lim x x 1 38 39 40 28 29 x 3x 2 2 x 4 x4 x lim x x 3 3x 2 1 4 lim x 30 3x 5 lim lim 3x 2 x 8 3x 4 (2 x 3 4 x 5)(x 2 x 1) 31 lim 41 2 n 3n lim n 5 33 lim 34 lim n 35 lim n 36 lim n lim (2 n ) 4 (3 n ) 4 43 lim 44 lim 1 2 3 ... n n 16 n 6 1 3 lim n 6n 2 n 2n 4 8n 8 1 lim n 46 lim 6n 3 n 5 1 4n 6 n 3 3 n6 2 47 n3 8 (3x 1)(6x 2 5x 1) lim x ( 2 x 5)(3x 4)( x 2) 48 x 6 3x 2 5 n 2 n2 1 n n 4 n 3 n lim (1 n ) (1 n ) 2 (2n 1)!(2n 1)! n (2n )!(n 1) 45 5n 3 n 1 n 2 n 3 2 42 n 2 n 3 n 32 lim 2n 3 n ( 2 n ) 4 ( 2 n ) 4 ( x 2)(x 4 x 1) x 3 2n 1 1 lim ... 3 2 n n 2 n n n (1 n ) 2 (1 n ) 2 x x 3 2 x 2 x 27 lim n ( 2) n 1 3 n 1 n2 ln( 2n 4 n 2 1) ln(3n 2 n 1) lg( 8n 7 6n 5 1) 49 (3n 10 n 9 1) n 3 2n 2 3n 4 n3 n2 n 1 lim x 3x 2 2 x 11 3x 2 1 lim 4 7 x 2 3 x 50 lim x 4 x 2 8x 7 x 4 x8 21 Задание 2 Вычислить предел функции, раскрыв неопределенность типа . 0 0 Задания взять из таблицы 3 Таблица 3 № nn 1 lim Задание 2x 3 2x 2 № nn 14 x 0 5x 3 4 x 2 2 3 x 3 lim x 3 x 2 9 lim 3x 2 8 x 4 2 x 2 x 15 lim 15 lim 7 16 17 10 11 12 13 lim x x2 x3 x 20 21 x 6 x 3 3 22 3 x x 9 4 2x 2 23 lim x 1 x 1 24 lim 1 x 1 x 3x 25 1 1 x2 26 lim x 6 lim 3 x 0 lim 1 x 2 1 19 lim lim 3 x x 8x 3 1 lim x 0 x 2 16 4 18 3 1 6 x 2 5x 1 2 3 x 1 x 2 1 1 lim x 0 x 1 x 4 2 x 2 3 9 x 2 5x x 0 x 1 x 3 x 2 x 1 8 lim x 2 2x 1 lim x x 2 x3 1 3x 2x 6 x2 3 1 x 3 1 x lim x x 0 x 1 6 lim x 5 x 3 3x 2 7 x 6 5 1 3x 2 1 x 0 x 2 5x 2 14 x 8 4 Задание x2 1 3 x x 1 1 5 x lim x 0 5x 1 x 1 x 3x 3 x lim x x 0 4x 2 9 x 3 / 2 2 x 3 x 2 7 x 10 lim 2 x 5 x 9 x 20 3x 2 5x 2 lim x 2 / 3 3x 2 8x 4 x3 x lim x 1 x 4 2 x 2 3 x 1 1 lim x x 0 lim 22 Продолжение табл.3 1 2 3 27 x 2 8x 15 39 lim x 2 25 x3 1 lim x 1 x 1 2 x 3 lim x 7 x 7 x lim x 0 1 3x 1 29 30 31 1 3x 1 2x lim xx 2x 1 5 x 3 x2 2x 2 2 x 0 32 lim x 3 33 34 35 lim x 2 x2 x lim x 1 x 1 3 lim x 0 36 37 lim lim 4 x 1 38 lim 40 41 42 43 44 45 46 3x 2 x 2 48 x 1 x 3 2x 2 x 2 x 1 3x 3 2 x 2 7 x 2 lim 23 x x 3 3x 2 x 1 x 4 4 x 3 2 lim 3x 7 x 4 x 1 x 3 4 x 2 2 x 5 3 2 lim 2 x 7 x 5x 2 4x 2 6x 4 2 x lim x 4 4 x 5x 2 lim x 1 2 x 1 lim x 1 47 x 1 1 x 3 x 2 1 x 3 3x 1 6x x 1 x 3 x 2 4 x 4 3 lim x 8 x 5 28 4 lim x 3 6x 2 11x 6 x 2 3x 2 x3 x2 x 1 x 1 x 3 x 2 x 1 3 lim x 1000 x 10 x 3 20 x 2 100 x lim x 0 49 lim x 0 50 x42 x (1 x ) 3 1 x 1 x x2 1 x x2 lim x 0 x 23 Задание 3 Вычислить предел функции, используя I замечательный предел и его вариации. Задания взять из таблицы 4. Таблица 4 №№ nn 1 2 Задание sin 4x x0 3x 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 sin x cos x x / 4 tgx 1 tgx lim x 0 1 tgx 1 lim sin 2x cos x x 0 x sin 3x sin x lim x 0 x lim cos x 1 x2 cos x lim x / 2 / 2 x arctg 5x lim x0 3x 1 cos x lim x 0 5 x 2 x 0 lim x 0 15 3 x cos x cos 3x lim x 0 x arcsin 3x lim x0 2x lim Задание lim cos x cos 3 x x2 x 2 ctg 2 x lim x 0 sin 3x 1 cos 6x lim x 0 1 cos 2 x x tg 2 2 lim 2 x 0 x 1 cos 4x lim x 0 2 xtg 2 x x 0 cos 2 x x / 2 1 sin 3 14 lim lim №№ nn 1 cos 2 x x 16 17 18 19 20 21 1 cos 3 x lim x 0 x sin 2 x 1 sin x cos x lim x 0 1 sin x cos x lim x 0 22 lim sin 3 2x x3 sin 3 x x2 ctgx lim x / 2 x / 2 x 0 23 24 25 26 sin 2 x lim x 1 cos x 1 1 ctgx lim x / 2 ctgx x sin 2 4 lim 2 x 0 x 24 Продолжение табл.4 1 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 2 sin x tgx x 0 x arcsin 3x lim x0 5x 5x lim x0 arctgx 39 lim 40 41 x 0 3 (1 cos x ) 2 cos x sin x x / 4 cos 2x sin x 6 lim x / 6 3 cos x 2 cos x lim x / 2 3 (1 sin x ) 2 lim sin 2 2x x0 xtg 3x cos x tg ( x ) lim x / 2 2x x 2 1 cos 3x lim x 0 xtg 2x lim lim 1 sin x x / 2 4 cos x x / 2 2 x 1 cos 5x lim x 0 1 cos 3x lim lim 1 x sin x 1 x2 x 0 tgx lim 3 2 x 2 sin x cos x lim x / 4 4x 42 43 44 x sin 4 x 2 lim x 0 2x 2 sin 5x cos x lim x 0 arctg 4x tg 7 x arcsin 2x lim x 0 x sin 3x cos 5x sin 45 1 cos 2x x 0 cos 7 x cos 3x 46 lim lim x 0 47 lim x 0 48 49 50 sin 2 x tg 2 x x4 1 cos 3 x 4x 2 1 cos x x 0 x sin x cos 2x cos x lim x 0 1 cos x lim sin 7x x 10 sin 8x lim 25 Задание 4 Вычислить предел функции, используя II замечательный предел. Задания взять из таблицы 5. №nn Задание x 1 x 3 lim x x 2 2 2x 1 lim x 2 x 1 2x 2 4 x 1 x 1 3 lim x 4 x 0 6 x 7 x lim 1 x x 14 x2 1 lim x 0 x 2 3 15 x2 1 lim x x 2 3 16 lim (1 tg lim (2x 1)[ln(x 3) ln x ] lim ( x 5)[ln(x 3) ln x ] sin x lim (1 2x 2 ) x 2 17 18 2x lim (3x 5) x 4 2 11 12 2 lim (3x 8) x 3 x 3 4 x 2 1 x 3 5 1 x ) 2x 2 2 x 2 1 2 x 1 lim 1 x x lim (1 sin x ) cos ecx x 0 x 2 2x 1 lim x x 2 4 x 2 20 x 2 1 lim 2 x x 1 21 5x lim x 5x 1 x 2 10 x 3 5 19 x 0 9 5x 3 1 2 x 1 2 13 x 0 lim x[ln( x 1) ln x ] x №nn 4x lim (1 2x )1 / x 5 8 5x Таблица 5 Задание 22 x2 x2 3x 2 lim x 3x 1 2 x 3 3x 3 2 x 3 x 1 lim x 2 x 1 23 3 2 lim 1 x 1 x x x lim (7 6 x ) 3x 3 x 1 24 lim (cos x ) ctg x 2 x 0 x 26 Продолжение табл.5 1 25 2 lim (1 tgx ) ctgx x 0 x2 x 1 26 2x lim x 2 x 1 27 lim (sin x ) tg x 28 29 30 31 32 33 34 35 2 x / 2 1 lim (1 sin 2x ) arcsin 3x x 0 x x 8 lim x x 2 1 x x 2 3 38 x 2 2x 3 lim x x 2 2 x 5 39 x2 4 lim x x 2 1 40 41 42 43 lim x 2 x 2 lim x x 4 x 2 5 2x 3 x 1 x 1 lim x x 3 8 lim (3x 2)[ln( x 2) ln( x 3)] x 1 arcsin x x lim x 0 x 44 lim (2e x 1 37 x 1 3x 1 lim x 3x 2 lim (cos x ) ctg 2 x x 0 x 3 lim x x 2 2 x 1 1 lim (cos x ) sin 2 2x 4 lim x 2 x 1 2x 3x 5 4x 2 lim 2 x 4 x 3 46 lim 47 2 lim x 1) x 1 49 (sin 2x ) tg 2 x x 5 (7 2 x ) x 3 1 x sin( x ) lim ctg x 4 lim x 1 / 3 50 x 2 5 2 x / 4 x 3 48 tg lim (4x 2 1)[ln(5x 2 1) ln(5x 2 2)] x 2x 45 x 2 lim (3 2 x ) x 1 x 2 1 x 2 x 1 36 4 2 x 1 (4 9x ) 3x 1 x2 3x 2 x 1 lim x 3x 1 27 Задание 5 Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции. Задания взять из таблицы 6. Таблица 6 №№ nn 1 2 3 4 5 6 Задание x 2; 2 x 2 f ( x ) 4 x ; 2 x 4 x 3; 4 x 6 x 2 ; 2 x 1 f ( x ) x 1; 1 x 5 7 x; 5 x 7 sin x , 0 x / 2 f ( x ) 1; x /2 cos x; / 2 x 3 / 2 5 x ; x 1 f ( x ) 6 x ; 1 x 0 0; x0 3 x ; 1 x 1 f ( x ) 5 3x; 1 x 3 4; x 3 2x 1 x ; x 1 f ( x ) 2 x 2 ; 1 x 2 3; x 2 №№ nn 7 8 9 10 11 12 Задание x 2 2x; 1 x 2 f (x) x ; 2x4 | x |; 2 x 2 f ( x ) x 1; 2 x 5 2; x 5 x 2; x 1 f ( x ) x 2 ; 1 x 2 5 x; x 2 2 x 3 ; x 1 f ( x ) 2( x 2) 2 ; 1 x 3 7 2x; x 3 3 x0 x ; 2 x 10 f (x) ; 0x2 3 x 1 x2 3; 2 x 2 x ; f ( x ) x 3; 2 x 6 1; x6 28 Продолжение табл.6 1 13 14 15 2 x 2 3; f ( x ) x 2 1; 2 x 2 5 ; x2 x 1 log 2 x; 1 x 3 f ( x ) ( x 4) 2 ; 3 x 5 6 x; x 5 2; x 1 f ( x ) | x 1 |; 1 x 2 2 3x ; x2 x 3 4 23 1 f (x) 3 2 x 24 f ( x ) ( x 2)arctg 25 1 f (x) 4 2 x 3 16 f (x) x4 x 5 26 1 f (x) e x 3 17 1 f (x) 5 x 2 27 f ( x ) arctg 18 1 f ( x ) arctg x3 28 2 f ( x ) 3 x 1 19 x 2 16 29 f ( x ) arctg 30 3 f ( x ) 2 x 1 1 20 f (x) f (x) x 2 x 12 1 1 1 5 2x 21 f (x) x 3 x3 31 f (x) 22 x2 f (x) x 1 32 2 f (x) 3 x 4 3x x2 3 x6 1 3x 1 x 1 29 Продолжение табл.6 1 33 34 2 f (x) f (x) 1 3 42 1 2 x 3 1 1 ( x 3) 43 2 35 3 f ( x ) e x 2 44 36 f (x) x3 x 3 45 37 f ( x ) arctg 38 f (x) 39 f (x) 40 41 f (x) 1 x 1 | x 3| x3 46 47 | x 2| x2 48 x2 9 49 x 2 x 12 e x ; x0 f (x) 2 x 1, x 0 50 4 1 x; x 1 f (x) 1 1 x , x 1 x 3 ; x / 2 f (x) tgx , x / 2 x 2 ; x2 f (x) 1 , x2 x 2 x0 x 5; f (x) 1 e x , x0 x 3 ; x 1 f ( x ) x 2 4 x 3, 1 x 3 1, x 3 x 2 2x 3; x 0 f ( x ) 2, 0x3 x 1, x 3 x; 0 x 1 f ( x ) 2 x , 1 x 2 2x 6, 2 x 4 5 x ; 1 x 1 f ( x ) ( x 2) 2 , 1 x 3 4 x , x3 cos x; 0 x / 2 1 f (x) , / 2 x 2 sin x, x 2 30 Задание 6 Найти производную функции. Задания взять из таблицы 7. № nn Задание x 1 x 1 Таблица 7 Задание № nn 13 y x 3 ln x x 2 y 2 x 1 arcsin x 4 1 x 14 y y x ln( x 2 1) 2x 2arctgx 15 1 y x ln 2 3 y tgx ctgx tgx ctgx 1 x2 1 1 x2 1 4 y x2 1 x2 2 (1 x 2 ) 3 3 16 x 3 3x y x 1 5 y xarctg x x arctg x 17 y 6 y x 1 x arcsin x 18 y ( x 3 4) ln( x 3 4) 7 y ln x 19 x 2 3 (2 x 2 3) 8 9 y ln 1 x2 1 1 ex 1 20 y 1 ex 1 y arctg ( x 1) x 1 x 2 2x 2 10 y (3x 3 2x 2 3x )e x 11 y 12 y x 1 x2 21 x3 cos x sin x cos x sin x 4x x 4 1 3x 2 22 y 3x 1(ln(3x 1) 3) 23 y 24 1 y tg 3 x ln cos x 3 x2 y arccos e x arccos 1 e x y cos x 1 ln cos x x ln x 1 x ln x 1 31 Продолжение табл.7 1 25 26 2 y y cos x sin 2 x ctg 2 x x3 1 x2 3 4 38 ( x 2) 5 1 x2 1 x y ln arctg 8 x2 4 2 y 27 y x x 2 4 2 ln( x x 2 4 ) 2 40 28 y 1 cos 3 x (3 cos 2 x 5) 15 41 29 x cos x y ln( tg ) 2 sin 2 x 30 y 1 2x x 2 arcsin 42 44 y y y ln x 1 ln( x 1) 32 y 5 x ln 2 x 45 33 x x2 1 1 x2 y ln x x 46 34 35 y sin x tg x cos x ctg x y x 2 2x 3 ( x 1) 2 arccos 2 x 1 y y 31 47 48 y y 37 y ( x 3 3x 2 4)e 2x e x 4x 1 x 2 2x 2 y ln(x 1 x 2 2x 2 x 1 49 50 2 ln( x 2 1) x 2 2x 3 ln( x 1) 5x x 5 x 2 2x 2 1 ln(sin x ) sin 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x x x2 4 x x2 4 2 ln(cos x ) cos 2 x 1 1 y 1 x x2 2 36 x 1 x 1 sin x ctgx y sin x ctgx 43 2 3 ( x 3) 3 39 x3 1 x2 x 1 y log 2 y tg 2 x 3 y ln tgx 1 x2 x2 arctgx x3 32 Задание 7 Найти производную функции. Задания взять из таблицы 8. Таблица 8 №№ nn Задание 1 x 2 1 y x 2 1 2 y ln 3 3 4 5 6 1 3x 1 3x 14 2 y 3 ln( 2x 3 4x ) 2 y ln y №№ nn x (1 x 2 ) 15 16 Задание y ln( x sin x) y log 2 ( x 2) 5 ( x 3) 3 x 1 y ln x3 1 3 17 y 5 x ln 2 x 18 x 3 1 y x 3 1 19 y arccos 1 x2 4x 1 e 3 e 4x y ( xe 2 x 3) 5 1 e 2 x 2 2x 1 3 20 y log 3 ( x 3 1) y x ln(3x 2 9x 4 1) 21 y log 2 [log 3 ( x 2 3)] 9 y sin( x 2 2 x ) 22 y ln arcctg 1 x 2 10 y ln x3 9 23 y 3 ln cos 11 y ln 1 x 2 24 y 7 y 8 12 13 1 e 2x x3 1 3 y ln y x2 2 1 e 4 x 2 arccos x 2 2x 1 x 1 x 25 y arccos 26 y ln cos 3 arctge 3x (6 2 x 2 ) 3 1 e 4x 1 x2 3 33 Продолжение табл.8 1 2 3 27 y sin( e x 3x 2 ) 39 28 29 2 y4 1 tgx 1 tgx y arctg[ln(2x 3)] 40 4 y arcsin x4 1 x4 1 x 5 y3 x2 4 41 y ln[ x cos( x 1 x 2 )] 30 y x x 42 y e arcctg 1ln(3x 1) 31 y arcsin 1 2 x 43 y ln(e x sin x e x cos x ) 32 y arcctg 1 x 1 x 44 y ln 33 x 1 x2 y ln x 34 y ln 1 1 x 1 x 1 x 1 x 45 1 ln x y cos 2 x 46 y log 3 ( x 2 cos x ) x x2 1 1 x 1 x 35 y sin arccos x 2 47 36 y arcsin e sin x 48 y 37 e x e x y ln cos arctg 2 49 y sin( x 1 e x ) 38 y 3 (1 xe x ) 5 50 1 x 2 arctgx ln x 1 2 ye y3 1 arccos x 1 arccos x 34 Задание 8 Используя логарифмическое дифференцирование, найти производную функции. Задания взять из таблицы 9. Таблица 9 №№ nn Задание №№ nn Задание 16 y ( x)x y ( x 2 1) x 3 17 1 y ( x 2 5x ) x 3 1 y (sin x ) x 18 4 y (cos x ) x 19 y ( x 2 1) cos x 5 1 y (sin x cos x ) x 20 y (cos x ) sin x 6 y ( tgx ctgx ) x 21 y ( tgx ) ctgx 7 y (sin x ) arcsin x 22 y ( x 1) ln x 8 y (cos x ) arccos x 23 y (ln x ) x 2 9 y ( tgx ) arctgx 24 y (log 2 x ) 2 10 y (arcctgx )1 x 25 y (3 x ) log 3 2 11 y (ln x ) x 26 y (cos 2 x ) ctg 2 x 12 y ( x 2 4 ) ln x 27 y ( x 2 1) ln x 1 28 y (arctge x ) e 29 y ( e x ) ln x 30 y ( 1 ln 2 x ) e 1 y (x 2 2x ) x 2 13 14 15 3 y ( tg 2x ) ctg y x cos x 1 y x x 3 3 x 2 2 x y 1 x x 2 x 2 x x 35 Продолжение табл.9 1 2 3 4 31 x 2 ( x 3 1) 41 y (2 x 5 ) log 2 x 42 y (x 43 x 1 y x 1 44 y 1 2 x 45 y tg x 46 y (sin 2 x ) ln sin x 32 33 34 35 36 37 38 39 y3 y y 5 ( x 3) 2 ( x 1) 2 3 x 2 ( x 4) 3 ( x 1) 2 ( x 2 2) ( x 2) 3 ( x 3 3x ) 3 ( x 2 1) y y ( x 3 1) 2 ( x 2) 3 x 1 y5 2 2 1 2) ln x ln( x 1) log 2 x cos x ( x 1) 5 ( x 2) 3 x 2 1 3 x 3 3x 2 3 x 3 1 (x 2 x) 2 y x y x 1 48 y (ln cos x ) x 49 y (e 2 x ) x 3 50 y x 2 2 x ( x 1) 3 y4 3 ( x 1) 3 x 2 2 ln( x 1) 47 ( x 3) 5 x3 3 x 1 2 ( x 2 3) 3 40 y ( x 3) 3 ( x 1) 4 ( x 2 9) 2 x 3 3x 36 Задание 9 Найти производную неявно заданной функции. Задания взять из таблицы 10. №№ nn Задание Таблица 10 Задание №№ nn 1 y 2 xy x 2 1 16 x cos 2 y ln cos x 0 2 x 3 2 xy y 3 0 17 x sin y e cos x 0 3 sin 18 y ln cos x y 2 4 y ln y xe y 1 19 ctg 5 x 1 ye xy 20 6 7 8 x x cos tg ( x y) y y y x arctgy y sin( x y) x y arcsin x arccos y 21 22 23 x x y y y cos x x sin y x y y cos x x cos y 0 e x e y e xy x2y e x y 9 3x 3y 3xy 24 x y e y arcctgx 0 10 x 3 y 3 xy 25 ln x arctg 11 x y 26 x 2 xy y 2 1 12 13 e x x y x cos y sin y sin 2 y 0 y cos x sin( x y) 0 27 y x x sin y y sin x 0 28 x x arcctg y y 14 x 2 ( x y) ( x y) 29 e x e y 2 xy 1 0 15 y x3 x ey 30 x 2 sin( xy ) 2 y 0 37 Продолжение табл.10 1 31 32 2 cos( x y) xy x 0 xy 33 2 34 35 xy x x y0 y x y 2 1 ( x y) 2 e x y 0 x y arcsin x arccos y 3 41 4 arctg( x y) y 42 ey x 2 y2 43 ln y 44 y sin y x 2 y 2 45 arcctg ( xy ) ln( x 2 y 2 ) xy ey 36 x 4 y 4 2x 2 y 2 46 x 2 y 2 arctg 37 xy x y 1 47 x 3 x 2 y xy 2 y 3 0 48 y2 49 x y ln xy 38 39 40 arctgx arcctgy ln( y 2 1) sin( x y) cos(x y) tgy x xy0 y 50 xy xy ln x e x y 1 x y 38 Задание 10 Найти производную функции, заданной параметрически. Задания взять из таблицы 11. Таблица 11 №№ nn 1 2 3 4 5 6 7 8 Задание x t 1 y 3 t x 4 t 1 y t 2 x t 1 y t 3 1 x t y t 3 t 2 t x sin 2 t y cos 2 t 1 x arcsin 1 t2 1 y arccos 1 t2 x sin t t cos t y cos t t sin t x e t y e 2 t №№ nn 9 10 11 12 13 14 15 16 Задание x 2 t y 2 2 t x ln( t 1) 1 y t 1 x 3t 6t 2 y t 2 3t 3 2t x 1 t2 2 y 1 t 1 t2 x cos 3 t y sin 3 t ln t x t y t ln t 1 x t 1 2 y t t 1 x e t sin t y e t cos t 39 Продолжение табл.11 1 2 3 17 x arctgt y ln(1 t 2 ) 27 18 x t cos t y 1 cos t 28 19 20 21 22 23 24 25 26 t 1 x t y t 1 t x ln(1 t 2 ) y t arctgt x cos t y sin t 3t x 1 t3 2 y 3t 1 t3 x t (1 sin t ) y t cos t x t t 3 y t 2 t 3 x 2 cos t cos 2t y 2 sin t sin 2t x t 3 1 y t 2 t 1 29 4 x ln ctgt y tgt ctgt 1 x arctg 1 t2 1 y arcctg 1 t2 x ln( t 1) 1 y t 1 30 x sin t cos 2t y cos t 31 x t ln sin t y y ln cos t 32 x 3t t 3 y 3t 2 33 x e t y sin t 34 x sin 2 t y t cos t 35 x t cos t y 1 cos t 36 x ln t 1 y t t 40 Продолжение табл.11 1 37 38 39 40 41 42 43 2 x arctg t 1 y 1 t x t ln t y t ln t x t 3 6t y t 5 5t x e 2 t y sin t x t 2 2t 2 y t 3 3t 1 x e t cos t y e t sin t x 2 t 2 2 y 8t 3 8t 2 3 44 45 46 47 48 49 50 4 x tgt y ctgt x t t y 1 t x arcsin t y t t 2 x ln t 1 y t2 x ln 1 t 2 y t arcsin t x t 2 ln t y t 2 ln t x e t e t y e t e t Контрольные вопросы 1. Сформулируйте определения предела функции в точке, предела функции в бесконечности, предела последовательности. 2. Как связано понятие предела функции с понятиями ее пределов слева и справа? 3. Какая функция называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства? 4. Какая функция называется бесконечно большой и какова ее связь с бесконечно малой? 5. Сформулируйте основные теоремы о пределах функций. 41 6. Как раскрываются 0 , 0 , [ ], 0 . неопределенности видов 7. Сформулируйте первый замечательный предел и его следствия. 8. Сформулируйте второй замечательный предел. 9. Сформулируйте определения непрерывности функции в точке и на отрезке. Какие точки называются точками разрыва функции? 10. Охарактеризуйте точки разрыва I рода, II рода. 11. Сформулируйте определение порядка одной бесконечно малой относительности другой бесконечно малой. 12. Чему эквивалентны при x 0 функции: tgx , arctgx, sin x, arcsin x, log a (1 x ), a x 1, (1 x ) 1? 13. Сформулируйте определение производной. 14. Каков ее механический и геометрический смысл? 15. Сформулируйте основные правила дифференцирования функций. 16. В чем заключается суть логарифмического дифференцирования и в каких случаях его целесообразно применять? 17. Каково правило дифференцирования функции, заданной неявно? 18. Как находится первая производная функция, заданной параметрически? Список рекомендуемой литературы 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Наука, Т.1, 1978. -576с. 2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, Ч.1, 1996. 304с. 3. Сборник задач по математике для втузов / Под общей ред. А.В. Ефимова и А.С. Поспелова. - М.: Изд-во физ.-мат. литературы, Ч.2, 2003.432с. 4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1984. - 432с. 5. Общий курс высшей математики: Учебник / Под ред. В.И. Ермакова. - М.: ИНФРА - М, 2000. - 656с.