МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Курский государственный технический университет
Кафедра высшей математики
Пределы числовой последовательности
и функции. Непрерывность функции.
Дифференцирование функции
Модуль-1 (МА)
Курск 2005
2
Составитель: З.Г.Гончарова
УДК 517
Рецензент
Кандидат технических наук, доцент кафедры
высшей математики Н.А. Моргунова
Пределы числовой последовательности и функции. Непрерывность функции. Дифференцирование функции [Текст]: методические указания и индивидуальные задания. Модуль1 по математическому анализу / сост.: З.Г.Гончарова; Курск. гос. техн. ун-т;
Курск, 2005. 41 с., табл. 11. Библиогр.: 5 назв.
Излагаются краткие методические рекомендации по темам математического анализа: пределы числовой последовательности и функции, непрерывность функции, дифференцирование функции. В работе представлены 50 вариантов индивидуальных заданий.
Методические указания и индивидуальные задания предназначены для студентов технических специальностей.
.
Текст печатается в авторской редакции
ИД №06430 от 10. 12. 2001.
Подписано в печать ________ . Формат 60х84 1/16. Печать офсетная.
Усл. печ. л.
Уч.-изд. л.
.Тираж 50 экз. Заказ ……. Бесплатно.
Курский государственный технический университет.
Издательско-полиграфический центр Курского государственного
технического университета. 305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.
3
Содержание
Введение………………………………………………………………4
1. Предел числовой последовательности и функции………………5
2. Сравнение бесконечно малых функций………………………...10
3. Непрерывность функции………………………………………...11
4. Дифференцирование функции…………………………………..14
4.1. Производная сложной функции…………………………….14
4.2. Производная функции, заданной в неявном виде…………15
4.3. Производная функции, заданной параметрически………...16
4.4. Логарифмическое дифференцирование……………………17
5. Индивидуальные задания………………………………………...19
Контрольные вопросы…………………………….………………...40
Список рекомендуемой литературы……………………………….41
4
Введение
Основной формой обучения студентов является самостоятельная работа с учебником и учебными пособиями. Поэтому каждый
студент с самого начала занятий должен выработать для себя рациональную систему работы над курсом, постоянно практикуясь при
этом в решении задач. В противном случае усвоение и практическое
использование материала затруднены. Чрезвычайно важны систематические занятия. Работа урывками не приносит положительных результатов.
Часто приходится слышать высказывания студентов о том, что
теорию они знают, а решать задачи не умеют. Данная работа содержит методические указания по выполнению модуля системы РИТМо,
который способствует развитию индивидуального творческого мышления, обеспечивает ритмическую работу студента при изучении
разделов математического анализа: пределы числовой последовательности и функции, дифференцирование функции, исследование
функции на непрерывность.
Каждый параграф начинается с краткого теоретического введения, приводятся основные определения, методы и способы решения
задач. Рассмотрение решения типовых примеров и задач в параграфе,
как правило, расположено по возрастающей трудности. Здесь же
представлены индивидуальные задания, которые даны в объеме 50
вариантов. Номер варианта дает лектор. Он приводит общую нумерацию студентов в потоке.
Для подготовки к защите модуля представлен список контрольных вопросов.
Для выполнения модуля достаточно аккуратно записанных лекций и внимательного изучения методических рекомендаций, предложенных в данном учебном пособии. Кроме того, весь теоретический материал по данным темам хорошо представлен в учебных пособиях, указанных в списке литературы.
5
1. Предел числовой последовательности и функции
Определение 1. Число А называется пределом функции f(x) в
точке a, если для любого 0 найдётся такое число 0, что из неравенства 0  | x  a |   следует неравенство | f ( x )  A |   .
Определение 2. Число А называется правым (левым) пределом
функции f(х) в точке а, если для любого   0 найдётся такое число
  0 , что из неравенства a  x  a   (a    x  a ) следует неравенство | f ( x )  A |   .
Для обозначения правого (левого) предела функции f(x) в точке
а используют следующую символику: lim f ( x )  B ( lim f ( x )  B) .
х а  0
х а  0
Критерий существования предела. Для того, чтобы в точке
x  a существовал предел функции f(x), необходимо и достаточно,
чтобы существовали и были равны между собой оба односторонних
предела
lim f ( x )  lim f ( x ) .
x a 0
x a  0
Достаточно распространенными в курсе математики являются
последовательности, то есть функции y  f (n ) , заданные на множестве натуральных чисел N. Чтобы подчеркнуть, что аргумент такой
функции принимает только значения из множества натуральных чисел, его обозначают не х, а n. Для последовательностей f(n) достаточно часто возникает необходимость найти ее предел при неограниченном возрастании аргумента n (при n   ).
Определение 3. Число В называется пределом последовательности f(n), если для произвольного   0 существует такое число
M  0 , что для всех n  M выполняется неравенство | f (n )  B |   .
При вычислении пределов обычно используют не определение
предела, а теоремы о пределах и приёмы, которые мы обобщим,
оформив результат в форме табл. 1.
6
Таблица 1
Практическое вычисление пределов
Вычисление предела функции lim f (x )
xa
Основные этапы
1.Пользуясь
непрерывностью функции
f(x), пробуем подставить значение x = а в
функцию f(x)
2.Если
вычисляется
предел при х и
имеется неопределенность типа

  , то

пробуем в числителе и
знаменателе вынести
за скобки переменную
в наивысшей степени
(или числитель и знаменатель делим на переменную в наивысшей степени)
Пример
9  x2 9  4
lim

5
x 2 x  1
2 1
lim
x 3  2x  1
x  4 x 4  x 2  3x  7

1
2
1
x4( 

)
000
x x3 x4
 lim

0
1
3
7
x  4
4000
x (4 


)
x2 x3 x4
x  9x 2  2x

x 2  3x  1
1
2
x2(  9  )
x
x  0  9  0  3
lim
3
1
x  2
1 0  0
x (1  
)
x x2
lim
x 
3.Если в результате
подстановки х=а получили выражение типа  0  , то:
0
а) пробуем числитель
x  3x  3 
x2  9
0
lim 2
    lim
и знаменатель разло- x 3 x  5x  6  0  x 3 x  3x  2 
жить на множители
x 3 33
= lim

6
x 3 x  2
3 2
7
Продолжение табл.1
1
2
б) если в числитель 1 способ
или знаменатель вхоx 2  16  0 
x 2  16  x  2
    lim

дят выражения с квад- xlim
4 x  2
 0  x 4  x  2 x  2
ратным или кубичеx  4x  4 x  2  lim x  4 x  2  32
ским корнями, то  lim
x 4
x 4
x  4 
умножаем числитель и
знаменатель на соответствующие выраже- 2 способ
2
ния, чтобы избавиться Обозначим x  t . Тогда x  t . При x,
от заданных корней t.
(иногда вводят новую Тогда
переменную)
x 2  16
t 4  16
t2  4 t2  4

lim
x 4
x 2
 lim
t 2
t2

 lim

t 2

t2


t  2 t  2 t 2  4 
 lim
 lim t  2 t 2  4   32
t 2
в) если под знаком
предела стоят тригонометрические или
обратные тригонометрические функции, то
такие пределы приводятся к 1-му замечательному пределу
sin x
 1,
x 0 x
или к его вариациям
tgx
lim
 1;
x 0 x
arcsin x
lim
 1;
x 0
x
arctgx
lim
 1.
x 0
x
lim
t2
t 2
sin 5x  cos 2 x  arctg 3x  0 
 
x 0
tg 7 x  arcsin 4 x
0
lim
 arctg 3x 
 sin 5x 
  3x

  5x  cos 2 x  
 5x 
 3x 
 lim
x 0
 tg 7 x 
 arg sin 4 x 

  7x  
  4x
7
x
4
x




Сократив числитель и знаменатель на переменные, которые стоят за скобками, учитывая, что lim cos 2x  1 , и учитывая первый заx 0
мечательный предел и его вариации, получаем, что искомый предел равен:
1  5  1  1  3 15
 .
1  7 1  4
28
8
При нахождении пределов вида
lim f ( x ) ( x )  C следует
x a   
иметь в виду, что:
1) если существуют конечные пределы
lim f ( x )  A и
x a   
lim ( x )  B , то C  A ;
B
x a   
2) если
lim f ( x )  A  1 и
lim ( x )   , то вопрос о
x a   
x a   
нахождении предела С решается непосредственно;
3) если lim f ( x )  1 и lim ( x )   , то есть имеем неопреx a   
x a   
 

делённость вида 1 , то используем 2-ой замечательный предел
x
1
lim 1  x   e или lim 1    e
x 0
x  
x
1 2 x
sin 3x 

Пример 1. Найти lim 
.

x 0
x 
sin 3x
3  sin 3x
 lim
 3 и lim 1  2x   1 ,
Решение. Здесь lim
x 0
x 0
x 0
x
3x
1 2 x
sin 3x 

следовательно, lim 
 31  3 .

x 0
x 
1/ x
x2
 x 2
 .
Пример 2. Найти lim  2
x  3x  1 


2
Решение. Имеем lim
x2  2
x  3x 2  1
x2
1
 lim
x 
3
2
x 2  1 и lim x 2  
1 3 x 
x2
 1   
     0 .
 3  
x 2
 x 1 
Пример 3. Найти lim 
 .
x   x  3 
 x 2

Поэтому lim  2
x  3x  1 


2
9
1
x 1
x  1, a lim  x  2  , то
Решение. Здесь lim 
  lim
x   x  3  x 
3
x 
1
x

есть имеем неопределённость вида 1 . В этом случае, прежде чем
применить 2-ой замечательный предел, произведём следующие преобразования:
1
 
 x 1
lim 

x   x  3 
x2
  x  3  4 
 lim 
x  
x  3 
4
x  3 x  3( x  2 )

 4


1 



 lim  1 
x  
x 3





4






x2
 4  x2

 lim 1 


x  
x  3
8
x
lim
 4( x  2)
3
x 
lim
1
x  x 3
x
e
e
 4
 e 4 .
Можно найти предел проще, не прибегая к общему приёму, а
именно
x 2
1  1 


 x

1 

1 

x



x
x2
 x

x2
x

1
e 1



4
lim 
 lim

lim


e
.

x2
3( x  2 )
3
x   x  3 
x 
x


e
1  3 
x

 x


3 
 x


1  1  

x 

 


 
3


Замечание. Если существует и положителен lim f ( x ), то

lim ln f ( x )  ln lim f ( x )
x a
x a

xa
10
2. Cравнение бесконечно малых функций
Определение. Если
lim f(x)  0 , то f(x) называется бесконечно
x а
малой при xa.
Пусть функции х и х являются бесконечно малыми при
хх 0 . Тогда:
( x )
 0 , то (х) называется бесконечно малой
1) если lim
x  x ( x )
0
функцией более высокого порядка, чем (х) при хх 0 ;
( x )
  , где А -конечное число, отличное от нуля,
2) если lim
x  x ( x )
0
то (х) и (х) называются бесконечно малыми функциями одного
порядка при хх 0 ;
( x )
 1, то (х) и (х) называются эквивалентны3) если lim
x  x ( x )
0
ми бесконечно малыми функциями при хх 0 . При этом пишут:
х(х).
Аналогичные определения можно сформулировать и при
х х х хх 0 0, хх 0 +0.
При вычислении пределов пользуются следующей теоремой:
предел произведения или частного бесконечно малых функций не
изменится, если любую из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией.
Пусть х  бесконечно малая функция при хх 0 . Имеют место следующие эквивалентности при х0:
1) sinхх
2) tgхх
3) arcsinxx
4) arctgx(x
5) log(1+x  ( х) ;
ln a
7) a ( х ) 1xlna;
9) (1+x а 1 а(х).
6) ln(1+xx
8) e ( х ) 1x
11
Пример 1. Найти lim
x 0
x  sin x
arctg 2x 2
.
Решение. Так как sin x  x, a arctg 2x  2x при х0, то
2
x  sin x
xx
x
1
.
lim

lim

lim

x 0 arctg 2 x  2
x 0  2 x  2
x 0 4 x 2
4
Пример 2. Найти lim
x 2  5x  6

tg 4  x
x 2
2

.
Решение. Здесь tg (4  x ) ~ (4  x ) при х, поэтому
2
lim
x 2
 x  2 x  3
4x
2
2
3 x 1
 .
x 2 2  x
4
 lim
3. Непрерывность функции
Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если:
1) эта функция определена в некоторой окрестности точки а;
2) существует предел lim f ( x ) ;
xa
3) этот предел
т.е. lim f ( x )  f (a ).
равен
значению
функции
в
точке
а,
x a
Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области,
то она называется непрерывной в этой области.
Те точки области определения функции, в которых функция не
является непрерывной, называются точками разрыва функции.
Различают разрывы двух видов.
1. Если в точке а существуют односторонние пределы функции, но, по крайней мере, один из них не равен значению данной
функции в точке а, то говорят, что функция f(x) в точке а имеет
разрыв первого рода. При этом возможны следующие случаи:
f(a0)=f(a+0)f(a)
(в этом случае говорят, что функция f(x) в точке а имеет устранимый разрыв);
f(a0)f(a+0)
12
(в этом случае говорят, что функция f(x) в точке а имеет разрыв
с конечным скачком. При этом число f(a+0)  f(a0)называют
скачком функции f(x) точке а).
2. Функция f(x) в точке а имеет разрыв второго рода, если в
этой точке по крайней мере, один из односторонних пределов бесконечен или вовсе не существует.
Функция f(x) называется непрерывной на отрезке a; b, если она
непрерывна в каждой точке этого отрезка, причём в точке а она непрерывна справа (f(a+0)=f(a)), а в точке в - слева (f(b0)=f(b)).
Непрерывные на отрезке функции обладают рядом важных
свойств. Приведём одно из них.
Пусть функция f(х) непрерывна на отрезке а; b и на концах
этого отрезка принимает значения разных знаков. Тогда на интервале
a; b  существует такая точка c, в которой данная функция равна нулю.
В задачах 1-5 определить, какого рода разрывы имеют следующие функции в точке а
Пример 1. f ( x )  2
1 /( x 3)
, a 3
1
1 /( x 3)
 0 . Если
Решение. Если х30, то
  и lim 2
x 30
х 3
1
1 /( x 3)
  . Так как один из односто  и lim 2
х3+0, то
x 3 0
х 3
ронних пределов бесконечен, следовательно, а=3-точка разрыва 2-го
рода.
2х  5
Пример 2. f ( x ) 
, а=1.
х 1
2 х  1  7
7
2
Решение. Выделим целую часть f ( x ) 
.
х 1
х 1
7
7 
  и lim  2 
Если x  1  0 , то
   . Если х1+0, то
x

1

0
x  1
х 1

7
7 
  и lim  2 
   .
x 1 0
x  1
х 1
13
Таким образом, функция при х1 не имеет ни левого, ни правого конечного предела. Следовательно, х=1 является точкой разрыва 2-го рода.
1
Пример 3. f ( x )  arctg
, а = 5.
х5
1
Решение.
Если
то
и
 
x  5  0 ,
х5
1

1
lim arctg
  . Если x  5  0 , то
  и
x 50
x5
2
x5
1

lim arctg
 . Итак, при х 5 функция имеет левый и праx 5 0
x5 2
вый конечные пределы, причём эти пределы различны. Следовательно, х = 5 является точкой разрыва 1-го рода. Разность между правым и левым пределами (скачок) в точке разрыва равна
  
    .
2  2
х 1
Пример 4. f ( x )  3
, а = 1.
x 1
x 1
1
 lim 2
 1,
Решение. lim 3
x 1 0 x  1
x 1 0 x  x  1
x 1
1
lim 3
 lim 2
 1. Итак,
x 1 0 x  1
x  1 0 x  x  1
f (1  0)  f (1  0) , но не равны f (1) , значит, а=1 является
устранимой точкой разрыва.
2  х при х  1
Пример 5. f ( x )   1
, a  1.
при
х

1
1  х
Решение. Если х10, то lim f ( x )  lim 2  x   1 . Если
x 10
x 10
1
  . Один из односторонних преx 1 0
x 1 0 1  x
делов бесконечен, следовательно, a  1-точка разрыва 2-го рода.
х1+0, то lim f ( x )  lim
14
4. Дифференцирование функции
Пусть функция y  f ( x ) определена в некоторой окрестности
точки x .
0
Определение. Предел отношения приращения y функции в
этой точке (если он существует) к приращению x аргумента, когда
x  0 , называется производной функции f(x) в точке x .
0
Обозначения: f ( x ) или y( x ) или
0
0
df ( x )
0
dx
или f 
. Таx x
0
ким образом,
f ( x  x )  f ( x )
y
0
0
.
 lim
x 0 x
x 0
x
Вычисление производной называется дифференцированием
функции.
Так как дифференцирование функций с использованием только
таблицы производных элементарных функций и основных правил
дифференцирования не вызывает особых затруднений, то мы остановимся лишь на приемах вычисления производных сложных функций.
f ( x 0 )  lim
4.1. Производная сложной функции
Рассмотрим некоторую сложную функцию y  f [( x )] .
В этой цепи функциональных зависимостей y  f (z) и z  ( x )
аргумент х является последним и поэтому его называют независимой
переменной. Таким образом, понятие аргумента и независимой переменной следует различать. Например, пусть y  z и z  cos x . Здесь
z есть аргумент функции y, но z, не будет независимой переменой. В
результате, производная сложной функции y  f [(z)] равна производной данной функции y по промежуточному аргументу z, умноженной на производную самого промежуточного аргумента z по независимой переменной х, т.е.
y x  y z  y x .
15
3
Пример 1. Найти производную от функции y  ln x .
3
yz .
Полагаем
тогда
Отсюда
z  ln x ,
1
1
2
2
2
y z  3z  3  ln x , z x  . Следовательно, y x  3 ln x  .
x
x
При достаточном навыке промежуточную переменную z не пишут, вводя ее лишь мысленно.
Решение.
Пример 2. Найти производную от функции
3
2
y  sin( x  3x  5) .
Решение.
y   cos(x 3  3x 2  5)  ( x 3  3x 2  5)  
 (3x 2  6 x ) cos(x 3  3x 2  5)  3x ( x  2) cos( x 3  3x 2  5).
Пример 3. Найти производную от функции y  e
Решение.
y  e
2
x  x 1

 x  x  1 

2
e
x 2  x 1
2 x  x 1
2
x 2  x 1
.
2
 ( x  x  1) 
2

(2x  1)  e x  x 1
2 x  x 1
2
.
.
4.2. Производная функции, заданной в неявном виде
В некоторых случаях функция определяется уравнением, которое нельзя элементарными средствами разрешить относительно y, и
приходится рассматривать y как неявную функцию от х. В таком варианте существует особый способ нахождения производной. Известно, если две функции тождественно равны друг другу, то равны и их
производные. Поэтому, взяв производные от левой и правой частей
данного тождества и применяя правило дифференцирования сложной
функции (полагая, что y  сложная функция, зависящая от х), получаем равенство, откуда и выражаем y  .
16
Пример 4. Найти производную от функции, определяемой урав4
4
нением x  y  4 xy  0 .
4
4
Решение. ( x  y  4 xy )   0,
4 x  4 y  y   4( x y  xy )  0
3
3
4 x  4 y  y   4 y  4 xy   0
3
3
3
3
4 y  y   4 xy   4 y  4 x
y (4 y  4 x )  4 y  4 x
3
y 
4 y  4x 3
3
или y  
4 y  4x
3
yx
3
y x
3
.
4.3. Производная функции, заданной параметрически
Пусть функция y  f (x) определена параметрически: x  x ( t ) ,
y  y( t ) . Тогда, если функции x(t) и y(t) имеют производные в точке
t , причем x ( t )  0 , а функция y  f ( x ) имеет производную в точке
0
0
x 0  x ( t 0 ) , то эта производная находится по формуле
y ( x ) 
0
y t ( t 0 )
x t ( t 0 )
или y  
x
y t
x t
.
Пример 5. Найти y (x ) для заданной параметрически функции
x  t  sin t
.

 y  1  cos t
Решение.
x   ( t  sin t )  1  cos t
t
t
yt  (1  cos t )t  sin t
t
t
t
2 sin cos
cos
sin t
2
2
2  ctg t .
y 


t
t
x  1  cos t
2
2 t
t
2 sin
sin
2
2
y t
17
4.4. Логарифмическое дифференцирование
Если дана сложная функция, представляющая собой произведение или частное нескольких функций, причем числитель и знаменатель дроби в свою очередь содержат произведения, то следует обе
части данного выражения сначала прологарифмировать по основанию у, применить соответствующие свойства логарифмов, а затем
приступить к дифференцированию обеих частей. Этот прием носит
название логарифмического дифференцирования. Его также используют, если функция содержит корни из дробей. К этому приему прибегают, если имеется показательно-степенная функция или функция
вида y  [f ( x )]( x ) .
3
Пример 6. Найти производную функции y 
x  x  2  ( x  1)
2
2
5
x 1
Решение. Логарифмируем обе части равенства по основанию е
3
ln y  ln
x  x  2  ( x  1)
2
4
.
2
5
.
x 1
Применяя свойства логарифмов, получаем
1
1
ln y  ln( x 2  x  2)  ln( x 2  1)  ln( x 4  1) .
3
5
Дифференцируем обе части, считая y сложной функцией переменной х:
1
1
2x  1
2x
1 4x 3
 y   2
 2
  4
y
3 x  x  2 x 1 5 x 1
4
1
1
2x  1
2x
1
4x
 y  
 2
 
y
3 ( x  2)( x  1) x  1 5 ( x  1)( x  1)( x 2  1)
3
5(2x  1)( x  1)( x 2  1)  30x ( x 2  1)( x  2)  12x 3 ( x  2)
1
 y 
y
15( x )( x  1)( x 2  1)( x  2)
1
10x  15x  15x  15x  5  30x  60x  30x  60x  12x  24x
 y 
y
15( x  1)(x  1)(x 2  1)(x  2)
4
3
2
4
3
2
4
3
18
1
28x  51x  15x  45x  5
 y 
y
15( x 2  1)( x 2  1)( x  2)
4
3
y 
y 
3
2
x 2  x  2  ( x 2  1) 28x 4  51x 3  15x 2  45x  5

5 4
15( x 2  1)( x 2  1)( x  2)
x 1
28x 4  51x 3  15x 2  45x  5
15( x  1)( x  2)
2
3

x2  x  2
5
x 1
4
.
Пример 7. Найти производную функции y  ( x  x  2)
Решение. Логарифмируем обе части по основанию е
2
e x 1
.
e x 1
ln y  ln( x  x  2) .
Используя свойство логарифма, получаем,
x 1
2
ln y  e ln( x  x  2) .
Дифференцируем обе части, считая y сложной функцией переменной х
2
1
 y  (e x 1 ) ln( x 2  x  2)  e x 1  [ln( x 2  x  2)]
y
1
1
 y   e x 1 ln( x 2  x  2)  e x 1  2
 (2 x  1)
y
x x2
x 1
2x  1 

y   ( x 2  x  2) e  e x 1 ln( x 2  x  2)  2
.


x  x  2
Замечание. При дифференцировании степенно-показательной
функции можно пользоваться формулой
( x )
( x ) 1
( x )
(f ( x )
)   ( x )  f ( x )
 f ( x )  f ( x )
 ln f ( x )( x ) ,
если f(x) и (х)  дифференцируемые функции.
19
5. Индивидуальные задания
Задание 1
Вычислить предел функции, числовой последовательности, раскрыв

неопределенность типа   . Задания взять из таблицы 2.
 
Таблица 2
Задание
№№
nn
1
2
lim
x  3x  2 x 2  x 4
3
2
lim
x 
3
lim
x 
4
1  2x  x 3
lim
2x  x  5
x3  x  2
2x 2  6x  5
5x 2  x  1
x  2 x 2  5x 4
№№
nn
12
13
lim
7
14
x 
9
lim
lim
lim
15
n 3  2n  1
n2
3
n2  n
lim
n  n  1
n!
lim
n  (n  1)!n !
18
( n 2  1  n) 2
x  2x  3
3x 3  5
3x 2  5x  1
2x  3x
3
19
2
20
1
3x  x 2  6
21
x2
5  n  3n 2
22
3
4
n  4  n  2 n 2
lim
lim
n 
x3  1
x  2 x
11
3
(n  2)!(n  1)!
n  (n  2)!(n  1)!
4
lim
n 2  3n  1  n
2n  3
17
x  3x
10
lim
x 3
x5  x6
x  x 3  x 4  x 5
4
3
lim
3n 3  2n 2  n
16
x 
8
n 
n 
4
lim
lim
(2n  1)(n  2)(n  3)
7 x 4  2x 3  2
x 
6
lim
n 
x  2  3x 2  x 4
5
Задание
3
n5  1
1 1
1
1    ... 
2 4
2n
lim
1 1
1
n 
1    ... 
3 9
3n
1  2  3  ...  n
lim
n 
n2
1  2  3  4  ...  2n
lim
n 
n2 1
lim
x2  1  x
x  4 x 3  x  x
20
Продолжение табл.2
1
2
3
4
23
3  x  5x 4
37
( 2 ) n  3 n
lim
x   x 4  12 x  1
24
25
26
lim
5x 2  3x  1
x   3x 2  x  5
5
2
lim
8 x  3x  9
x  2 x 5  2 x 2  5
4
3
lim
x  x 1
38
39
40
28
29
x  3x 2  2 x  4
x4  x
lim
x   x 3  3x 2  1
4
lim
x 
30
3x  5
lim
lim
3x  2
x 8  3x  4
(2 x 3  4 x  5)(x 2  x  1)
31
lim
41
2 n  3n
lim
n  5
33
lim
34
lim
n 
35
lim
n 
36
lim
n 
lim
(2  n ) 4  (3  n ) 4
43
lim
44
lim
1  2  3  ...  n
n 
16 n 6  1
3
lim
n  6n 2
n  2n  4 8n 8  1
lim
n 
46
lim
6n 3  n 5  1
4n 6  n  3
3
n6 2
47
n3  8
(3x  1)(6x 2  5x  1)
lim
x  ( 2 x  5)(3x  4)( x  2)
48
x 6  3x 2  5
n 
2
n2 1  n
n  4 n 3  n 
lim
(1  n )  (1  n ) 2
(2n  1)!(2n  1)!
n 
(2n )!(n  1)
45
5n  3
n 1
n  2 n  3
2
42
n  2 n  3 n
32
lim
2n  3
n  ( 2  n ) 4  ( 2  n ) 4
( x  2)(x 4  x  1)
x 
3
2n  1 
 1
lim 

 ... 

3
2
n   n 2
n
n 
n  (1  n ) 2  (1  n ) 2
x  x 3  2 x 2  x
27
lim
n  ( 2) n 1  3 n 1
n2
ln( 2n 4  n 2  1)
ln(3n 2  n  1)
lg( 8n 7  6n 5  1)
49
(3n 10  n 9  1)
n 3  2n 2  3n  4
n3  n2  n 1
lim
x  3x 2  2 x  11
3x 2 1
lim 4 7 x  2
3
x 
50
lim
x 
4 x 2  8x  7
x 4  x8
21
Задание 2
Вычислить предел функции, раскрыв неопределенность типа   .
0
0
Задания взять из таблицы 3
Таблица 3
№ nn
1
lim
Задание
2x 3  2x 2
№ nn
14
x  0 5x 3  4 x 2
2
3
x 3
lim
x 3 x 2  9
lim
3x 2  8 x  4
2 x 2  x  15
lim
15
lim
7
16
17
10
11
12
13
lim
x x2
x3  x
20
21
x 6
x 3 3
22
3 x
x 9 4  2x  2
23
lim
x 1
x 1
24
lim
1 x  1 x
3x
25
1 1 x2
26
lim
x 6
lim
3
x 0
lim
1 x 2 1
19
lim
lim
3
x x
8x 3  1
lim
x 0
x 2  16  4
18
3
1 6 x 2  5x  1
2
3
x 1
x 2 1 1
lim
x 0
x  1 x 4  2 x 2  3
9
x 2  5x
x 0
x 1 x 3  x 2  x  1
8
lim
x 2  2x  1
lim
x
x 2  x3
1  3x  2x  6
x2
3
1 x  3 1 x
lim
x
x 0
x 1
6
lim
x 5
x  3 3x 2  7 x  6
5
1  3x 2  1
x 0
x 2 5x 2  14 x  8
4
Задание
x2
1 3 x
x 1 1  5 x
lim
x 0
5x
1 x  1 x
3x 3  x
lim
x
x 0
4x 2  9
x  3 / 2 2 x  3
x 2  7 x  10
lim 2
x  5 x  9 x  20
3x 2  5x  2
lim
x  2 / 3 3x 2  8x  4
x3  x
lim
x  1 x 4  2 x 2  3
x 1 1
lim
x
x 0
lim
22
Продолжение табл.3
1
2
3
27
x 2  8x  15
39
lim
x 2  25
x3 1
lim
x 1 x  1
2 x 3
lim
x 7
x 7
x
lim
x  0 1  3x  1
29
30
31
1  3x  1  2x
lim
xx
2x  1  5
x 3
x2
2x  2
2
x 0
32
lim
x 3
33
34
35
lim
x 2
x2  x
lim
x 1
x 1
3
lim
x 0
36
37
lim
lim 4
x 1
38
lim
40
41
42
43
44
45
46
3x 2  x  2
48
x 1
x 3  2x 2  x  2
x 1 3x 3  2 x 2  7 x  2
lim
23 x
x 3  3x  2
x 1 x 4  4 x  3
2
lim
3x  7 x  4
x 1 x 3  4 x 2  2 x  5
3
2
lim
2 x  7 x  5x  2
4x 2  6x  4
2 x
lim
x 4 4  x
5x 2
lim
x 1 2  x  1
lim
x 1
47
x 1
1 x  3
x 2
1  x  3 3x  1
6x
x 1 x 3  x 2  4 x  4
3
lim
x 8
x 5
28
4
lim
x 3  6x 2  11x  6
x 2  3x  2
x3  x2  x  1
x 1 x 3  x 2  x  1
3
lim
x  1000
x 10 x 3  20 x 2  100 x
lim
x 0
49
lim
x 0
50
x42
x
(1  x ) 3  1
x
1 x  x2  1 x  x2
lim
x 0
x
23
Задание 3
Вычислить предел функции, используя I замечательный предел и его
вариации. Задания взять из таблицы 4.
Таблица 4
№№
nn
1
2
Задание
sin 4x
x0 3x
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
sin x  cos x
x  / 4
tgx  1
tgx
lim
x 0 1  tgx  1
lim
sin 2x  cos x
x 0
x
sin 3x  sin x
lim
x 0
x
lim
cos x  1
x2
cos x
lim
x  / 2  / 2  x
arctg 5x
lim
x0
3x
1  cos x
lim
x 0 5 x 2
x 0
lim
x 0
15
3
x
cos x  cos 3x
lim
x 0
x
arcsin 3x
lim
x0
2x
lim
Задание
lim
cos x  cos 3 x
x2
x 2  ctg 2 x
lim
x 0 sin 3x
1  cos 6x
lim
x 0 1  cos 2 x
x
tg 2
2
lim
2
x 0 x
1  cos 4x
lim
x 0 2 xtg 2 x
x 0
cos 2 x
x   / 2 1  sin
3
14
lim
lim
№№
nn
1  cos 2 x
x
16
17
18
19
20
21
1  cos 3 x
lim
x 0 x sin 2 x
1  sin x  cos x
lim
x 0 1  sin x  cos x
lim
x 0
22
lim
sin 3 2x
x3
sin 3 x
x2
ctgx
lim
x  / 2 x   / 2
x 0
23
24
25
26
sin 2 x
lim
x  1  cos x
1  1  ctgx
lim
x  / 2
ctgx
x
sin 2
4
lim
2
x 0 x
24
Продолжение табл.4
1
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
2
sin x  tgx
x 0
x
arcsin 3x
lim
x0
5x
5x
lim
x0 arctgx
39
lim
40
41
x 0 3 (1  cos x ) 2
cos x  sin x
x  / 4
cos 2x


sin  x  
6

lim
x  / 6
3
 cos x
2
cos x
lim
x   / 2 3 (1  sin x ) 2
lim
sin 2 2x
x0 xtg 3x
cos x  tg (  x )
lim
x  / 2


2x    x 
2

1  cos 3x
lim
x 0 xtg 2x
lim
lim
1  sin x
x  / 2  
4
cos x
x  / 2   2 x
1  cos 5x
lim
x 0 1  cos 3x
lim
lim
1  x sin x  1
x2
x 0
tgx
lim
3
2

  x
2

sin x  cos x
lim
x  / 4
  4x
42
43
44
x
 sin 4 x
2
lim
x 0
2x 2
sin 5x  cos x
lim
x 0
arctg 4x
tg 7 x  arcsin 2x
lim
x 0 x  sin 3x  cos 5x
sin
45
1  cos 2x
x 0 cos 7 x  cos 3x
46
lim
lim
x 0
47
lim
x 0
48
49
50
sin 2 x  tg 2 x
x4
1  cos 3 x
4x 2
1  cos x
x 0 x sin x
cos 2x  cos x
lim
x 0
1  cos x
lim
sin 7x
x 10 sin 8x
lim
25
Задание 4
Вычислить предел функции, используя II замечательный предел. Задания взять из таблицы 5.
№nn
Задание
x
1
 x  3
lim 

x   x  2 
2
 2x  1 
lim 

x  2 x  1 
2x 2
 4 x  1  x 1
3
lim 
x  
4
x 0
6
x 
7
x 

lim 1 
x  
x 
14
 x2 1

lim 
x 0  x 2  3 
15
 x2 1

lim 
x  x 2  3 
16
lim (1  tg
lim (2x  1)[ln(x  3)  ln x ]
lim ( x  5)[ln(x  3)  ln x ]
sin x
lim (1  2x 2 ) x
2
17
18
2x
lim (3x  5) x 4
2
11
12
2
lim (3x  8) x  3
x 3
4 x 2 1
x 3 5
1
x ) 2x
2
2 x 2 1
2  x 1

lim 1  
x  
x
lim (1  sin x ) cos ecx
x 0
 x 2  2x  1 

lim 
x   x 2  4 x  2 
20
 x 2  1

lim 
2

x   x  1 
21
 5x 
lim 

x   5x  1 
x 2
10
x 3 5
19
x 0
9
5x 3
1  2 x 1

2
13
x 0
lim x[ln( x  1)  ln x ]
x 
№nn

4x 
lim (1  2x )1 / x
5
8
5x
Таблица 5
Задание
22
x2
x2
 3x  2 
lim 

x   3x  1 
2 x 3
3x 3
 2 x  3  x 1
lim 

x   2 x  1 
23
3 2

lim 1   x 1
x  
x
x
lim (7  6 x ) 3x 3
x 1
24
lim (cos x ) ctg x
2
x 0
x
26
Продолжение табл.5
1
25
2
lim (1  tgx ) ctgx
x 0
x2
 x 1
26
 2x
lim 

x   2 x  1 
27
lim (sin x ) tg x
28
29
30
31
32
33
34
35
2
x  / 2
1
lim (1  sin 2x ) arcsin 3x
x 0
x
 x  8
lim 

x   x  2 
1
 x  x 2
3
38
 x 2  2x  3 

lim 
x   x 2  2 x  5 
39
 x2  4

lim 
x   x 2  1 


40
41
42
43
lim  
x   2 
 x  2
lim 

x   x  4 
x 2 5
2x
3
 x  1  x 1

lim 
x   x 3  8 
lim (3x  2)[ln( x  2)  ln( x  3)]
x 
1
 arcsin x  x
lim 

x 0 
x 
44
lim (2e
x 1
37
x 1
 3x  1 
lim 

x   3x  2 
lim (cos x ) ctg 2 x
x 0
 x  3
lim 

x   x  2 
2 x 1
1
lim (cos x ) sin
2
 2x  4 
lim 

x   2 x  1 
2x
3x  5
 4x  2 

lim 
2

x   4 x  3 
46
lim
47
2
lim
x
 1) x 1
49
(sin 2x ) tg 2 x
x 5
(7  2 x ) x  3
1
x  sin( x )

lim  ctg 
x  
4
lim
x 1 / 3
50
x 2 5
2
x  / 4
x  3
48
tg
lim (4x 2  1)[ln(5x 2  1)  ln(5x 2  2)]
x 
2x
45
x
2
lim (3  2 x )
x 1
x 2 1
x 2 
x 1
36
4
2 x 1
(4  9x ) 3x 1
x2
 3x  2  x 1
lim 

x   3x  1 
27
Задание 5
Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции. Задания взять из таблицы 6.
Таблица 6
№№
nn
1
2
3
4
5
6
Задание
 x  2;  2  x  2

f ( x )  4  x ; 2  x  4
x  3; 4  x  6

x 2 ;  2  x  1

f ( x )   x  1; 1  x  5
7  x; 5  x  7

sin x , 0  x   / 2

f ( x )  1;
x  /2
cos x;  / 2  x  3 / 2

 5
 x ; x  1

f ( x )   6 x ;  1  x  0
0;
x0


3 x ;  1  x  1

f ( x )  5  3x; 1  x  3
4;
x 3

 2x  1
 x ; x  1

f ( x )  2  x 2 ;  1  x  2
 3; x  2


№№
nn
7
8
9
10
11
12
Задание
x 2  2x;  1  x  2
f (x)  
 x ;
2x4
| x |;  2  x  2

f ( x )   x  1; 2  x  5
2;
x 5

x  2; x  1

f ( x )  x 2 ;  1  x  2
5  x; x  2

2 x 3 ;
x 1

f ( x )  2( x  2) 2 ; 1  x  3
7  2x;
x 3

3
x0
x ;

 2 x  10
f (x)  
; 0x2
3
x

1

x2
3;


 2
x  2
 x ;

f ( x )   x  3;  2  x  6
 1;
x6


28
Продолжение табл.6
1
13
14
15
2

x  2
3;

f ( x )  x 2  1;  2  x  2
 5

; x2
x  1
log 2 x; 1  x  3

f ( x )  ( x  4) 2 ; 3  x  5
6  x;
x 5


2; x  1

f ( x )  | x  1 |;  1  x  2
 2  3x

; x2
 x
3
4
23
1
f (x)  3 2  x
24
f ( x )  ( x  2)arctg
25
1
f (x)  4 2  x  3
16
f (x) 
x4
x 5
26
1
f (x)  e x  3
17
1
f (x)  5 x  2
27
f ( x )  arctg
18
1
f ( x )  arctg
x3
28
2
f ( x )  3 x 1
19
x 2  16
29
f ( x )  arctg
30
3
f ( x )  2 x 1  1
20
f (x) 
f (x) 
x 2  x  12
1
1
1  5 2x
21
f (x) 
x 3
x3
31
f (x) 
22
x2
f (x) 
x 1
32
2
f (x)  3 x 4
3x
x2
3
x6
1
3x
1
x 1
29
Продолжение табл.6
1
33
34
2
f (x) 
f (x) 
1
3
42
1
2 x 3  1
1
( x  3)
43
2
35
3
f ( x )  e x  2
44
36
f (x) 
x3
x 3
45
37
f ( x )  arctg
38
f (x) 
39
f (x)  
40
41
f (x) 
1
x 1
| x  3|
x3
46
47
| x  2|
x2
48
x2  9
49
x 2  x  12
e x ;
x0
f (x)  
2 x  1, x  0
50
4
1  x; x  1

f (x)   1
1  x , x  1
x 3 ; x   / 2
f (x)  
tgx , x   / 2
x 2 ;
x2

f (x)   1
, x2

x  2
x0
x  5;

f (x)   1
e x ,
x0
x 3 ; x  1

f ( x )  x 2  4 x  3, 1  x  3
1,
x 3

x 2  2x  3; x  0

f ( x )  2,
0x3
x  1, x  3

 x;
0  x 1

f ( x )  2  x , 1  x  2
2x  6, 2  x  4

5 x ;  1  x  1

f ( x )  ( x  2) 2 , 1  x  3
4  x ,
x3

cos x; 0  x   / 2
1

f (x)   ,  / 2  x  
2
sin x,   x  2
30
Задание 6
Найти производную функции. Задания взять из таблицы 7.
№
nn
Задание
x 1
x 1
Таблица 7
Задание
№
nn
13
y  x 3 ln x  x 2
y  2 x  1 arcsin x  4 1  x
14
y
y  x ln( x 2  1)  2x  2arctgx
15
1
y  x  ln
2
3
y
tgx  ctgx
tgx  ctgx
1 x2 1
1 x2 1
4
y  x2 1 x2 
2
(1  x 2 ) 3
3
16
x 3  3x
y
x 1
5
y  xarctg x  x  arctg x
17
y
6
y  x  1  x arcsin x
18
y  ( x 3  4) ln( x 3  4)
7
y  ln
x
19
x 2  3 (2 x 2  3)
8
9
y  ln
1 x2 1
1  ex 1
20
y
1  ex  1
y  arctg ( x  1) 
x 1
x 2  2x  2
10
y  (3x 3  2x 2  3x )e  x
11
y
12
y
x  1 x2
21
x3
cos x  sin x
cos x  sin x
4x  x 4
1  3x 2
22
y  3x  1(ln(3x  1)  3)
23
y
24
1
y  tg 3 x  ln cos x
3
x2
y  arccos e x  arccos 1  e x
y
cos x
1  ln cos x
x ln x  1
x ln x  1
31
Продолжение табл.7
1
25
26
2
y
y
cos x
sin 2 x
 ctg 2 x
x3  1  x2
3
4
38
( x  2) 5
1 x2 1
x
y  ln
 arctg
8 x2 4
2
y
27
y
x
x 2  4  2 ln( x  x 2  4 )
2
40
28
y
1
cos 3 x (3 cos 2 x  5)
15
41
29
x
cos x
y  ln( tg ) 
2 sin 2 x
30
y  1  2x  x 2  arcsin
42
44
y
y
y  ln x  1  ln( x  1)
32
y  5 x  ln 2 x
45
33
x  x2 1
1 x2
y  ln

x
x
46
34
35
y  sin x  tg x  cos x  ctg x
y
x 2  2x  3
( x  1) 2
 arccos
2
x 1
y
y
31
47
48
y
y
37
y  ( x 3  3x 2  4)e 2x  e x 4x
1  x 2  2x  2
y
 ln(x  1  x 2  2x  2
x 1
49
50
2
 ln( x 2  1)
x 2  2x  3
ln( x  1)
5x  x 5
x 2  2x  2
1  ln(sin x )
sin 2 x
2 x  2 x
2 x  2 x
x  x2  4
x  x2  4
2  ln(cos x )
cos 2 x
1
1
y 
1
x
x2
2
36
x 1
x 1
sin x  ctgx
y
sin x  ctgx
43
2
3
( x  3) 3
39
x3  1  x2
x 1
y  log 2
y
tg 2 x  3
y  ln
tgx
1 x2
x2

arctgx
x3
32
Задание 7
Найти производную функции. Задания взять из таблицы 8.
Таблица 8
№№
nn
Задание
1
 x 2  1

y
 x 2  1


2

y  ln 3 
3
4
5
6
1  3x 

 1  3x 
14
2
y  3 ln( 2x 3  4x ) 2
y  ln
y
№№
nn
x (1  x 2 )
15
16
Задание
y  ln( x sin x)
y  log 2
( x  2) 5
( x  3) 3
x 1
y  ln
x3 1
3
17
y  5 x  ln 2 x
18
 x 3  1

y
 x 3  1


19
y  arccos
1 x2
4x
1

e
3
e 4x
y  ( xe 2 x  3) 5
1  e 2 x
2
2x  1
3
20
y  log 3 ( x 3  1)
y  x ln(3x 2  9x 4  1)
21
y  log 2 [log 3 ( x 2  3)]
9
y  sin( x 2  2 x )
22
y  ln arcctg 1  x 2
10
y  ln
x3  9
23
y  3 ln cos
11
y  ln 1  x 2
24
y
7
y
8
12
13
1  e 2x
x3 1
3
y  ln
y
x2  2
1  e 4 x
2
arccos x 2  2x
1 x
1 x
25
y  arccos
26
y  ln cos 3 arctge 3x
(6  2 x 2 ) 3
1  e 4x
1
x2
3
33
Продолжение табл.8
1
2
3
27
y  sin( e x 3x 2 )
39
28
29
2
y4
1  tgx
1  tgx
y  arctg[ln(2x  3)]
40
4
y  arcsin
x4 1
x4  1
x 5
y3
x2  4
41
y  ln[ x cos( x 1  x 2 )]
30
y x x
42
y  e arcctg 1ln(3x 1)
31
y  arcsin 1  2 x
43
y  ln(e x sin x  e  x cos x )
32
y  arcctg
1 x
1 x
44
y  ln
33
x  1 x2
y  ln
x
34
y  ln
1
1 x  1 x
1 x  1 x
45
 1  ln x 
y  cos 2 

 x 
46
y  log 3 ( x 2  cos x )
x  x2 1
1 x
1 x
35
y  sin
arccos x
2
47
36
y  arcsin e sin x
48
y
37
e x  e x
y  ln cos arctg
2
49
y  sin( x  1  e x )
38
y  3 (1  xe x ) 5
50
1
x 2 arctgx  ln x 1
2
ye
y3
1  arccos x
1  arccos x
34
Задание 8
Используя логарифмическое дифференцирование, найти производную функции. Задания взять из таблицы 9.
Таблица 9
№№
nn
Задание
№№
nn
Задание
16
y  ( x)x
y  ( x 2  1) x 3
17
1
y  ( x 2  5x ) x
3
1
y  (sin x ) x
18
4
y  (cos x ) x
19
y  ( x 2  1) cos x
5
1
y  (sin x  cos x ) x
20
y  (cos x ) sin x
6
y  ( tgx  ctgx ) x
21
y  ( tgx ) ctgx
7
y  (sin x ) arcsin x
22
y  ( x  1) ln x
8
y  (cos x ) arccos x
23
y  (ln x ) x 2
9
y  ( tgx ) arctgx
24
y  (log 2 x ) 2
10
y  (arcctgx )1 x
25
y  (3 x ) log 3 2
11
y  (ln x ) x
26
y  (cos 2 x ) ctg 2 x
12
y  ( x 2  4 ) ln x
27
y  ( x 2  1) ln x 1
28
y  (arctge x ) e
29
y  ( e x ) ln x
30
y  ( 1  ln 2 x ) e
1
y  (x 2  2x ) x
2
13
14
15
3
y  ( tg 2x )
ctg
y  x cos x
1
y 
x
x 3 3
x
2
2
 x 
y

1  x 
x
2
x
2
x
x
35
Продолжение табл.9
1
2
3
4
31
x 2 ( x 3  1)
41
y  (2 x 5 ) log 2 x
42
y  (x
43
 x  1
y

 x  1
44
y   1  2 x 


45
y  tg x
46
y  (sin 2 x ) ln sin x
32
33
34
35
36
37
38
39
y3
y
y
5
( x  3) 2
( x  1) 2  3 x  2
( x  4) 3
( x  1) 2 ( x 2  2)
( x  2) 3
( x 3  3x ) 3 ( x 2  1)
y
y
( x 3  1) 2
( x  2)  3 x  1
y5
2

2
1
 2) ln x
ln( x 1)
log 2 x
cos x
( x  1) 5
( x  2) 3  x 2  1
3
x 3  3x 2  3
x 3  1 (x 2  x) 2
y
 x 
y

 x  1
48
y  (ln cos x ) x
49
y  (e 2 x ) x  3
50
y   x 2  2 x 


( x  1) 3
y4
3
( x  1) 3  x 2  2
ln( x 1)
47
( x  3) 5
x3  3 x 1
2
( x 2  3) 3
40
y
( x  3) 3 ( x  1) 4
( x 2  9) 2
x 3  3x
36
Задание 9
Найти производную неявно заданной функции. Задания взять из таблицы 10.
№№
nn
Задание
Таблица 10
Задание
№№
nn
1
y 2  xy  x 2  1
16
x  cos 2 y  ln cos x  0
2
x 3  2 xy  y 3  0
17
x  sin y  e cos x  0
3
sin
18
y  ln cos x  y 2
4
y ln y  xe y  1
19
ctg
5
x  1  ye xy
20
6
7
8
x
x
 cos  tg ( x  y)
y
y
y  x  arctgy
y  sin( x  y)
x  y  arcsin x  arccos y
21
22
23
x x

y y
y cos x  x sin y  x  y
y cos x  x cos y  0
e x  e y  e xy
x2y  e
x
y
9
3x  3y  3xy
24
x  y  e y arcctgx  0
10
x 3  y 3  xy
25
ln x  arctg
11
x
y
26
x 2  xy  y 2  1
12
13
e 
x
x
y
x cos y  sin y  sin 2 y  0
y cos x  sin( x  y)  0
27
y
x
x sin y  y sin x  0
28
x
x
 arcctg
y
y
14
x 2 ( x  y)  ( x  y)
29
e x  e y  2 xy  1  0
15
y  x3  x ey
30
x 2  sin( xy )  2 y  0
37
Продолжение табл.10
1
31
32
2
cos( x  y)  xy  x  0
xy 
33
2
34
35
xy
x
x y0
y
x
y
 2 1
( x  y) 2  e x  y  0
x  y  arcsin x  arccos y
3
41
4
arctg( x  y)  y
42
ey  x 2  y2
43
ln y 
44
y  sin y  x 2  y 2
45
arcctg ( xy )  ln( x 2  y 2 )
xy
ey
36
x 4  y 4  2x 2 y 2
46
x 2  y 2  arctg
37
xy  x  y  1
47
x 3  x 2 y  xy 2  y 3  0
48
y2 
49
x  y  ln xy
38
39
40
arctgx  arcctgy  ln( y 2  1)
sin( x  y)  cos(x  y)  tgy
x
xy0
y
50
xy
xy
ln x  e
x
y
1
x
y
38
Задание 10
Найти производную функции, заданной параметрически. Задания
взять из таблицы 11.
Таблица 11
№№
nn
1
2
3
4
5
6
7
8
Задание
x  t  1

 y  3 t
x  4 t  1

 y  t 2
x  t  1

 y  t 3
1

x 
t

y  t 3  t 2  t

x  sin 2 t

 y  cos 2 t
1

x

arcsin

1 t2


1
 y  arccos

1 t2

x  sin t  t cos t

 y  cos t  t sin t
x  e t

 y  e 2 t
№№
nn
9
10
11
12
13
14
15
16
Задание
x  2  t

 y  2 2 t
x  ln( t  1)

1

 y  t  1
x  3t  6t 2

 y  t 2  3t 3
2t

x


1 t2


2
y  1  t

1 t2
x  cos 3 t

 y  sin 3 t
ln t

x 
t

 y  t ln t
1

x  t  1


2
 y   t 

 t 1
x  e t sin t

 y  e t cos t
39
Продолжение табл.11
1
2
3
17
x  arctgt

 y  ln(1  t 2 )
27
18
x  t  cos t

 y  1  cos t
28
19
20
21
22
23
24
25
26
t 1

x  t

y  t  1

t
x  ln(1  t 2 )

 y  t  arctgt
x  cos t

 y  sin t
3t

x


1  t3


2
 y  3t

1  t3
x  t (1  sin t )

 y  t cos t
x  t  t 3

 y  t 2  t 3
x  2 cos t  cos 2t

 y  2 sin t  sin 2t
x  t 3  1

 y  t 2  t  1
29
4
x  ln ctgt

 y  tgt  ctgt
1

x

arctg

1 t2


1
 y  arcctg

1 t2

x  ln( t  1)

1

 y  t  1
30
x  sin t  cos 2t

 y  cos t
31
x  t  ln sin t

 y  y  ln cos t
32
x  3t  t 3

 y  3t 2
33
x  e t

 y  sin t
34
x  sin 2 t

 y  t  cos t
35
x  t  cos t

 y  1  cos t
36
x  ln t

1

 y  t  t
40
Продолжение табл.11
1
37
38
39
40
41
42
43
2
x  arctg t


1
y 
 1 t
x  t  ln t

 y  t  ln t
x  t 3  6t

 y  t 5  5t
x  e  2 t

 y  sin t
x  t 2  2t  2

 y  t 3  3t  1
x  e t cos t

 y  e  t sin t
x  2 t 2  2

 y  8t 3  8t 2
3
44
45
46
47
48
49
50
4
x  tgt

 y  ctgt
x  t t

 y  1  t
x  arcsin t

 y  t  t 2
x  ln t

1

y


t2

x  ln 1  t 2

 y  t  arcsin t
x  t 2  ln t

 y  t 2  ln t
x  e t  e  t

 y  e t  e  t
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте определения предела функции в точке, предела
функции в бесконечности, предела последовательности.
2. Как связано понятие предела функции с понятиями ее пределов
слева и справа?
3. Какая функция называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства?
4. Какая функция называется бесконечно большой и какова ее
связь с бесконечно малой?
5. Сформулируйте основные теоремы о пределах функций.
41
6. Как
раскрываются
  0
  ,  0 , [  ], 0 .
неопределенности
видов
7. Сформулируйте первый замечательный предел и его следствия.
8. Сформулируйте второй замечательный предел.
9. Сформулируйте определения непрерывности функции в точке и
на отрезке. Какие точки называются точками разрыва функции?
10. Охарактеризуйте точки разрыва I рода, II рода.
11. Сформулируйте определение порядка одной бесконечно малой относительности другой бесконечно малой.
12. Чему эквивалентны при x  0 функции: tgx , arctgx, sin x,
arcsin x, log a (1  x ), a x  1, (1  x )   1?
13. Сформулируйте определение производной.
14. Каков ее механический и геометрический смысл?
15. Сформулируйте основные правила дифференцирования
функций.
16. В чем заключается суть логарифмического дифференцирования и в каких случаях его целесообразно применять?
17. Каково правило дифференцирования функции, заданной неявно?
18. Как находится первая производная функция, заданной параметрически?
Список рекомендуемой литературы
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления
для втузов.  М.: Наука, Т.1, 1978. -576с.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах.  М.: Высшая школа, Ч.1, 1996. 304с.
3. Сборник задач по математике для втузов / Под общей ред. А.В.
Ефимова и А.С. Поспелова. - М.: Изд-во физ.-мат. литературы,
Ч.2, 2003.432с.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1984. - 432с.
5. Общий курс высшей математики: Учебник / Под ред. В.И. Ермакова. - М.: ИНФРА - М, 2000. - 656с.