Разложение вектора
по двум
неколлинеарным
векторам
Геометрия 9 класс
Савина Г.Н., учитель математики
МАОУ «Шарлыкская СОШ №1»
Закончи предложение.
• 1. Вектором или направленным
отрезком называется ..
• 2 Длина или модуль ненулевого вектора
АВ – это..
• 3.Ненулевые вектора называются
коллинеарными, если…
• 4. Два коллинеарных вектора
направленные одинаково называются
• 5. Векторы называются равными,
если…
Взаимопроверка
• 1. Вектором или направленным
отрезком называется
отрезок для
которого указано, какая из его
граничных точек считается началом, а
какая – концом
• 2. Длина или модуль ненулевого
вектора АВ – это длина отрезка АВ
• 3.Ненулевые вектора называются
коллинеарными, если они лежат либо
на одной прямой, либо на
параллельных прямых
• 4. Два коллинеарных вектора
направленные одинаково называются
сонаправленными.
• 5. Векторы называются равными, если
они сонаправленные и их длины равны.
Решить устно
• Дан параллелограмм ABCD с диагоналями AC и BD,
пересекающимися в точке О, Требуется выразить:
• 1) вектор АС через вектор АО ;
• 2) векторBC через вектор DA ;
• 3) векторBO через векторBD ;
• 4) векторOD через векторDB .
Лемма: Если векторы а и b коллинеарны и
а 0, то существует такое число k, что
b = ka
b
Доказательство:
b
a
1) a b . Возьмём число k ; т.к. k 0,
a
то векторы
ka
k a и b сонаправлены. Кроме
b
того их длины равны k a k a a b .
a
Поэтому
b ka
b
a
ka
b
2) a b .Возьмём число k , т.к. k 0, то векторы
a
k a и b снова сонаправлены их длины также равны
b
k a k a a b Поэтому b k a
a
Пусть а и b – данные вектора. Вектор p=ха + уb ,
х и у – некоторые числа ,то говорят р разложен по
векторам а и b . х и у – коэффициенты разложения.
y
b
p
a
j
0 i
x
Теорема: Любой вектор
можно разложить по двум
данным неколлинеарным
векторам, причём
коэффициенты
разложения определяются
единственным образом.
Доказательство: Пусть а и b - неколлинеарные
векторы. Докажем , что любой вектор р можно
разложить по векторам а и b.
1. Пусть р коллинеарен b .
Тогда р = уb , где у – некоторое число
р = 0· а + у·b ,т.е. р разложен по векторам
а иb.
