Контрольная работа по математическому анализу

Контрольная работа № 4
Введение в математический
анализ
ТЕМА 4. Введение в математический анализ.
1. Число, переменная, функция.
2. Предел функции.
3. Основные виды неопределенностей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов:в 3т.-5-е
изд.,стер.-М.:Дрофа .- (Высшее образование. Современный учебник).т.2.
Дифференциальное и интегральное исчисление.-2003.-509 с.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб.
пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс.Т.1. -2001.- 415 с.
3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
Учеб. для вузов: в 3-х томах. – 8-е изд.-М.: Физматлит. т.1 – 2001. -697 с.
4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб.
пособие. -22-е изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003.-432 с.
5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Учеб. для вузов: В 3-х томах.
– 5-е изд., перераб. и доп. –М.: Дрофа. Т.1. – 2003.-703 с.
6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Учеб. для вузов в
2-х частях. – 6-е изд. стер. –М. Физматлит, 2002, -646 с.
7. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с
решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд..-М.:
ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с.
Решение типового варианта контрольной работы.
1. Вычислить пределы функций.
а) Найти lim
5x 2  1
x  7 x5  2 x  3
.
Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о
пределах, или мы имеем дело с неопределенностью. Для этого найдем
пределы числителя и знаменателя дроби. Функции 5 x 2  1 и 7 x5  2 x  3




являются бесконечно большими. Поэтому, lim 5 x 2  1   , lim 7 x 5  2 x  3   .
x 
x 

Следовательно, имеем дело с неопределенностью вида   .
 
Для раскрытия этой неопределенности и использовании теоремы о
пределе отношения двух функций выделим в числителе и в знаменателе x в
старшей для числителя и знаменателя степени в качестве сомножителя и
сократим дробь.
 5
1 
5
1
x 5   

5x  1
 
 x 3 x 5   lim x 3 x 5  0  0.
lim
    lim
x  7 x5  2 x  3    x  5 
2
3  x  7  2  3 7
x  7 
 
x 4 x5
x 4 x5 

2
Ответ. 0.
б) Найти lim
x 2  14 x  32
x 2 x 2  6 x  8
.
0
0
Решение. Для раскрытия неопределенности   в этом случае, нужно
разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь на
общий множитель.
x  2x  16   lim x  16  2  16  9.
0 
    lim
24
x 2 x 2  6 x  8
 0  x  2 x  2x  4 x  2 x  4
lim
x 2  14 x  32
Ответ. -9.
Найти lim
x 2  14 x  32
x  1 x 2  6 x  8
.
Решение. Для вычисления данного предела подставим значение x  1 в
функцию, стоящую под знаком предела. Получим,
lim
x 2  14 x  32
x  1 x 2  6 x  8

 12  14   1  32   45  3 .
 12  6   1  8 15
Ответ. -3.
в) Найти lim
x 0
x2 1 1
x2
.
0
0
Решение. Для раскрытия неопределенности   в этом случае, нужно
умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, а
затем сократить дробь на общий множитель.
 x 2  1  1 x 2  1  1



x 1 1 0 
x2
1

  lim
lim
    lim 
 .
2
2
x 0
x 0 2 
 0  x 0
x
x 2  x 2  1  1
x  x 2  1  1




2
1
.
2
Ответ.
sin kx
.
x 0 x
г) Найти lim
0
0
Решение. Для раскрытия неопределенности   в этом случае, нужно
sin A
 1.
A0 A
выделить первый замечательный предел: lim
sin kx  0 
k sin kx
    lim
 k 1  k .
x 0 x
 0  x  0 kx
lim
Ответ. k
д) Найти lim 1  x tg
x
x 1
2
.
Решение. Для раскрытия неопределенности 0   в этом случае, нужно
произведение преобразовать в частное, то есть неопределенность 0  
0
0
 
 
свести к неопределенности   или   .
x
2  sin x  1, при x  1  lim 1  x   0  
 x 1 x  0 
x  2

 
cos
cos
2
2
 y  x  1,

y
y
y

 lim
 lim
 lim
.

 y  0, x  y  1 y  0 cos   y  1 y  0 cos  y    y  0  sin  y
2
2
2
2
x
lim 1  x tg  0    lim 1  x 
2
x 1
x 1
sin
Выделяем первый замечательный предел, то есть, умножаем числитель
и знаменатель на

lim
y 0


2
Ответ.

2
y
sin
2


.
2

y
1

2

2

. Получаем,
2

.
x
x 1
е) Найти lim 
 .
x   x  1 
Решение. Для раскрытия неопределенности 1  в этом случае, нужно
x
1
выделить второй замечательный предел: lim 1    e .
x
x  
2
x
x 1  x 1


 2 
2 x
x
x
x

lim
 
  x  1 
1
 x  1
 2 

lim 
 1  lim 1 
 lim  1 
 e x x 1  e 2 .
  1  lim 1  
 

x  1 
x x  1 
x   x  1 
x  x  1
x 
   2  





Ответ. e 2 .
1
ж) Найти lim 3x  5 x  2 .
x2
  в этом случае, нужно
Для раскрытия неопределенности 1
Решение.
1
выделить второй замечательный предел: lim 1     e .
 0
1
1
13
 y  x  2,

lim 3x  5 x  2  
 lim 3 y  2  5 y  lim 1  3 y  y 3  e3 .

x 2
y 0
 x  y  2, y  0 y 0
Ответ. e3 .
1
Найти lim 3x  5 x  2 .
x 5 2
Решение. Подставим значение x 
5
2
в функцию, стоящую под знаком
предела. Получим,
1
2
1
25
 5  5 2  5 
3x  5 x  2   3   5  2     .
lim 

Ответ.
25
.
4
x 5 2
2.

2

2
4
1
Задана функция y  2 x  3 и два значения аргумента x1  3, x2  1 .
Требуется:
 найти пределы функции при приближении к каждому из данных
значений x слева и справа;
 установить является ли данная функция непрерывной или
разрывной для каждого из данных значений x ;
 сделать схематический чертеж.
Решение. Найдем левый и правый пределы в точке x 0  3 .
1
1
t

x

3
,


t
lim 2 x  3  
  lim 2  0,
x 3 0
 x  3  0, t  0  0 t  0  0
1
1
t  x  3,

x

3
t
lim 2

  lim 2  .
x

3

0
,
t

0

0
x 3 0

 t 0  0
Левый предел конечен и равен 0, а правый предел бесконечен.
Следовательно, по определению x 0  3 точка разрыва второго рода.
Найдем левый и правый пределы в точке x0  1 .
lim
x 1 0
1
1
2 x 3  2  2 
1
, lim
2 x 1 0
1
1
2 x 3  2  2 
1
2
, y 1 
1
2
,
т.е.
x0  1
точка
1
x
непрерывности функции y  2  3 .
Сделаем схематический чертеж.
Рис. 1
3. Функция задается различными аналитическими выражениями для
различных областей независимой переменной.
Требуется:
1) найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) сделать схематический чертеж.
 x  1, x  0,

y   x 2  1, 0  x  1,
 2, x  1.

Решение. Функция y1  x  1 непрерывна для x  0 , функция y2  x 2  1
непрерывна в каждой точке из 0,1 , функция y 3 2 непрерывна в каждой
точке интервала 1,   .
Точки, в которых функция может иметь разрыв, это точки x  0 и x  1 ,
где функция меняет свое аналитическое выражение.
Исследуем точку x  0 .
lim y  lim x  1  1 ,
lim y  lim x 2  1  1 ,
Таким
y0  1 .
x 0  0
x 0 0
x 1 0
x 1 0
x 0  0
x 0  0


образом, точка x  0 есть точка непрерывности функции yx  .
Исследуем точку x  1 .
lim y  lim x 2  1  0 , lim y  lim 2  2 , y1  1  1  0 . Таким образом,


x 1 0
x 1 0
односторонние пределы существуют, конечны, но не равны между собой.
По определению, исследуемая точка – точка разрыва первого рода.
x 1
Величина
скачка
функции
в
точке
разрыва
равен
d  lim y  lim y  2  0  2 .
x 1 0
x 1 0
Сделаем схематический чертеж
Рис. 2
Контрольная работа №4.
Вариант 1
1. Вычислить пределы функций.
9x5  4x 4  2
а) lim
x
б) lim
3x 5  2 x  1
2 x 2  11x  5
x2 x 2  7 x  10
в) lim
5x  4  3
2x  1  1
arctg3x
г) lim
;
x0
4x
sin 2 x
д) lim
;
x  x   x 
x1
е) lim 5  2 x 
x2
3
x2
;
; lim
2 x 2  11x  5
x5 x 2  7 x  10
;
;
; lim 5  2 x 
3
x2
x0
.
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
1
y  e x 7 , x1  7, x2  0 .
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
 x  4,

y   x 2  2,
2 x ,

если
x  1,
если
 1  x  1,
если
x  1.
Контрольная работа №4.
Вариант 2
1. Вычислить пределы функций.
а) lim
7 x3  4x 2  6
x 3x 3  10 x 2  5 x
б) lim
2 x 2  13 x  7
x2 x 2  9 x  14
x2
в) lim
4x  1  3
г) lim 2 x  ctg5 x ;
x2
;
; lim
2 x 2  13 x  7
x7 x 2  9 x  14
;
;
x 0

д) lim   x tgx ;
x
 2

2
 x2  x 1 

е) lim  2
x x  4 x  1 


3 x 2
 x2  x 1 

; lim  2
x1 x  4 x  1 


3 x 2
.
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
y  ln x  8 , x1  7, x2  8 .
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
cos x,

y  1  x,
 2
x ,
если
если
x  0,
0  x  2,
если
x  2.
Контрольная работа №4.
Вариант 3
1. Вычислить пределы функций.
а) lim
x 4  3x 2  2
x 5 x 4  3 x  2
3 x 2  40 x  128
3 x 2  40 x  128
; lim
;
x 2
x8
x 8
x 8
1  2x  3
в) lim
;
x 4
x 2
1  cos 3 x
г) lim
;
x 0
4x 2


sin  x  
д) lim  6  ;
 3
x
 cos x
6
2
б) lim
5x
5x
10 x  3 
 10 x  3 
е) lim 
 .
 ; lim 
x  10 x  1 
x1 10 x  1 
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
1
y  e x  2 , x1  2, x2  1 .
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
если
 x ,

y    x  12 , если
 x  3,
если

x  0,
0  x  2,
x  2.
Контрольная работа №4.
Вариант 4
1. Вычислить пределы функций.
а) lim
x3  4x 2  6
x 2 x 3  10 x 2  5 x
б) lim
2x 2  x  1
x1 3 x 2  x  4
в) lim
1 x  3
23 x
arcsin 5 x
г) lim
;
x0
3x
sin x
д) lim 2 2 ;
x    x
x8
е) lim 4 x  11
x3
;
; lim4
x 
2x 2  x  1
3x 2  x  4
3
;
;
5x
x 3
; lim 4 x  11
5x
x 3
x 4
.
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
y
x4
x  x  20
2
, x1  4, x2  5 .
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
sin x,

y  x 2 ,
0,

если
x  0,
если
0  x  2,
если
x  2.
Контрольная работа №4.
Вариант 5
1. Вычислить пределы функций.
а) lim
x 3  3x 2  2
x 5 x 4  8 x  6
;
5 x 2  51x  10
5 x 2  51x  10
; lim
;
x 0
x 10
x  10
x  10
x9 3
в) lim 2
;
x0 x  x
3x 2  5 x
г) lim
;
x 0 sin 3 x
x
cos
2 ;
д) lim
x1 1  x
б) lim
е) lim 2 x  3
x  1
1
x 1
; lim 2 x  3
1
x 1
x0
.
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
1
y  511 x , x1  11, x2  3 .
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
 x  2,

y   x 2  1,
 x  3,

если
x  1,
если
 1  x  1,
если
x  1.
Контрольная работа №4.
Вариант 6
1. Вычислить пределы функций.
а) lim
6 x 5  3x 2  1
x 3x 5  2 x  3
б) lim
2 x 2  5x  3
x2 x 2  5 x  6
в) lim
x 1  2
2x  1  3
arctg8 x
г) lim
;
x0
2x
tg3 x
д) lim
;
 tgx
x
x5
;
; lim
2 x 2  5x  3
x3 x 2  5 x  6
;
;
2
1 x
 3x 2  6 x  7 

е) lim  2
x 3 x  20 x  1 


1 x
 3x 2  6 x  7 

; lim  2
x1 3 x  20 x  1 


.
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
 1 
y  arctg
 , x1  9, x2  8 .
 x9
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.

 x 2 ,


y  tgx,


2,
если
x  0,
если
0 x
если
x

.
4

,
4
Контрольная работа №4.
Вариант 7
1. Вычислить пределы функций.
x3  4x 2  6
а) lim
x 3 x 3  10 x 2  4 x
б) lim
3x 2  14 x  5
x5
в) lim
x 2  6x  5
3
x6 2
;
; lim
x1
3x 2  14 x  5
x 2  6x  5
;
;
x3  8
1  cos 5 x
г) lim
;
x0 xtg 2 x

д) lim tg  x tg 2 x ;
 4

x
x2
4
13 x  2 
е) lim 

x 13 x  15 
x 7
13 x  2 
; lim 

x1 13 x  15 
x 7
.
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
y  ln x  7 , x1  7, x2  5 .
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
 x  1,

y  x  12 ,
 x  4,

если
x  0,
если
0  x  2,
если
x  2.
Контрольная работа №4.
Вариант 8
1. Вычислить пределы функций.
а) lim
x3  4x  2
x 5 x 3  3x 2  1
б) lim1
x
2x 2  7 x  3
5 x 2  16 x  3
5
в) lim
2x  3  3
x  2 1
1  cos 2 x
г) lim
;
x0 x sin x
sin x
д) lim
;
x 1 sin 3x
x3
;
; lim
2x 2  7 x  3
x3 5 x 2  16 x  3
;
;
 5 x 2 8 x  2 

е) lim  2
x   5 x  3x  3 


4 x 1
 5 x 2 8 x  2 

; lim  2
x1 5 x  3 x  3 


4 x 1
.
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
y  x
x3
x 2  3x
, x1  3, x2  0 .
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
 x,

y   x 2  1,
3  x,

если
x  0,
если
0  x  1,
если
x  1.
Контрольная работа №4.
Вариант 9
1. Вычислить пределы функций.

x  13  x  13
а) lim
;
x
б) lim
x3  1
3x 2  5 x  2
x0,5 2 x 2  3x  2
; lim
3x 2  5 x  2
x2 2 x 2  3x  2
;
1  2x  1
;
x 0
x
tgx  sin x
г) lim
;
x0
x3
cos x
д) lim
;
   2x
x
в) lim
2
е) lim 2 x  3
x1
4 x 2
x 1
; lim 2 x  3
4 x2
x 1
x1
.
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
y  arctg
1
, x1  3, x2  2 .
3 x
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
 sin x,

y  x 2 ,
2 x ,

если
x  0,
если
0  x  1,
если
x  1.
Контрольная работа №4.
Вариант 10
1. Вычислить пределы функций.
а) lim
x 
3x 4  2
;
x 8  3x  4
x3  8
x3  8
; lim
;
x  2 2 x  4 x 0 2 x  4
2x  3  1
в) lim
;
x1 5  x  2
arctg5 x
г) lim
;
x0 arcsin 4 x
tgx
д) lim
;
x2 x  2
б) lim
2x  1 
е) lim 

x 5 x  4 
x/2
2x  1 
; lim 

x1 5 x  4 
x/2
.
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
1
y  e x  5 , x1  5, x2  1 .
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
 x  1,

y   x 2  2,
2  x ,

если
x  2,
если
 2  x  1,
если
x  1.
Контрольная работа №4.
Вариант 11
1. Вычислить пределы функций.
а) lim
x
б) lim
3x  4x  1 ;
x3  x 2  2
4 x 2  8x  3
x3 2 x 2  7 x  3
; lim
4 x 2  8x  3
x0,5 2 x 2  7 x  3
;
x 2  3  2x
;
x1
x 1
x
sin 2
г) lim 2 2 ;
x0 x
x
1  sin
2;
д) lim
x    x
в) lim
2  x 
е) lim
x 1
4 x 5
x 1
; lim 2  x 
4 x 5
x 1
x0
.
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
y
x2
x 2  25
, x1  5, x2  5 .
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
 x  1,

y   2,
cos x,

если
x  1,
если
если
 1  x  0,
x  0.
Контрольная работа №4.
Вариант 12
1. Вычислить пределы функций.
а) lim
x 
б) lim
x  22  x  22 ;
x2
5 x  2 x  39
2
x5  x 2  2 x  15
; lim
5 x 2  2 x  39
x3  x 2  2 x  15
;
1 x  x2 1
;
x0
x
г) lim 3xctg9 x ;
в) lim
x 0
д) lim x  2ctg
x 2
6x  7 
е) lim 

x 6 x  5 
x
2
;
3 x 6
6x  7 
; lim 

x2 6 x  5 
3 x 6
.
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
y  ln x  7 , x1  7, x2  10 .
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
2 x ,

y   x  12 ,
2  2 x ,

если
x  1,
если
1  x  3,
если
x  3.
Контрольная работа №4.
Вариант 13
1. Вычислить пределы функций.
а) lim
6 x 2  3x
x 2 x 2  3 x  5
;
x 2  x  12
x 2  x  12
; lim
;
x 1
x 3
3x  9
3x  9
x3
в) lim
x3
x2  5  2
1  cos 7 x
г) lim
;
x 0
3x 2
sin x  tgx
д) lim
;
x0 sin 3 x
е) lim xln 2 x  1  ln 2 x  1 ; lim xln 2 x  1  ln 2 x  1 .
б) lim
x
x1
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
y
2  2x
x3  x 4
, x1  1, x2  0 .
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.

 x ,


y  tgx,


 x,

если
если
если

x ,
4


 x ,
4
4

x .
4
Контрольная работа №4.
Вариант 14
1. Вычислить пределы функций.
x  32  x  32 ;
x 
x  22
а) lim
x3  8
б) lim
x 2 x 2  4
в) lim
x2
г) lim
; lim
x2
x2 x 2  4
4x  1  3
arcsin 2 3x
x0
д) lim
x3  8
;
;
;
tg 2 8 x
cos 4 x  cos 6 x
sin 2 5 x
x 0
е) lim 4  3x 
x 1
x
x 1
;
; lim 4  3x 
x
x 1
x0
.
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
y  x
x2
x2  4
, x1  2, x2  1 .
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
 x  4,

y  x 2 ,
 x  4,

если
x  1,
если
 1  x  1,
если
x  1.
Контрольная работа №4.
Вариант 15
1. Вычислить пределы функций.
а) lim
7 x 2  3x
x  2x 2  6x  1
;
x3  1
x3 1
; lim
;
x 1 3 x  3 x2 3 x  3
x  5 1
в) lim
;
x  6 36  x 2
sin 5 x  sin 3x
г) lim
;
sin x
x 0
б) lim
cos x  cos 3 x
;
x sin 2 x
x 0
д) lim
6  7 x 
е) lim
x 1
x 5
2 x2
; lim 6  7 x 
x 5
2 x2
x0
.
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
1
y  e x 1 , x1  1, x2  0 .
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
sin x,

y  cos x,
1,

если
x  ,
если
если
   x  ,
x  .
Контрольная работа №4.
Вариант 16
1. Вычислить пределы функций.
 x4

 x2  ;

x   x 2  2

а) lim 
б) lim
2x 2  x  1
x7 x 2  6 x  7
в) lim
x 7
x3 2
x 2  49
; lim
2x 2  x  1
x1 x 2  6 x  7
;
;
1  cos x 2
г) lim
;
x  0 1  cos x
д) lim 1  cos 5x   ctg 2 3x ;
x0
е) lim 3x  5
x2
2x
2x
x2 4
x2 4
; lim 3x  5
x3
.
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
y
x2
, x1  2, x2  1 .
x2
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
 x  1,

y   x  52 ,
1  x,

если
x  0,
если
если
0  x  3,
x  3.
Контрольная работа №4.
Вариант 17
1. Вычислить пределы функций.
2 x 2  3x  1
;
x  3 x 2  x  4
x 2  x  12
x 2  x  12
б) lim 2
; lim 2
;
x4 x  2 x  8
x 2 x  2 x  8
1 x  3
в) lim
;
x8 2  3 x
1  cos 4 x
г) lim
;
x  0 2 xtg 2 x
x
cos
2;
д) lim
x  x  
а) lim
x
x
 x 2  3x  1 
 2

 ; lim  x  3 x  1  .
е) lim  2
 2

x  x  x  2 

 x3 x  x  2 
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
y
x 1
, x1  2, x2  0 .
x
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
4,

y  cos x,
0,

если
x  ,
если
если
   x  0,
x  0.
Контрольная работа №4.
Вариант 18
1. Вычислить пределы функций.
5 x3  2 x  1
;
x  2 x 2  x  3
x 2  3x  2
x 2  3x  2
б) lim
; lim
;
x 1
x2
x2
x2
1 1 x
в) lim 3
;
x 0 1  1  x
а) lim
arctg 2 4 x
;
x  0 1  cos 3x
г) lim
x3  1
;
x1 sin  x  1
д) lim
5  2 x 
е) lim
x2
6 x2
3 x 6
; lim 5  2 x 
6 x2
3 x 6
x0
.
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
y
x3
x2  4
, x1  2, x2  2 .
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
 x  3,

y   x 2  1,
2  4 x ,

если
x  2,
если
 2  x  1,
если
x  1.
Контрольная работа №4.
Вариант 19
1. Вычислить пределы функций.
3  x2  2x
;
x  x 2  4 x  1
x 2  5x  6
x 2  5x  6
б) lim 2
; lim 2
;
x 2 x  x  2
x3 x  x  2
x  4 1
в) lim
;
x3
x  3
1  cos 8 x
г) lim
;
x  0 1  cos 4 x
а) lim
д) x lim
 / 2
1  sin x
;
2x  
е) lim 3  x 
x 2
4x
x 2
; lim 3  x 
4x
x2
x1
.
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
y  arctg
1
, x1  2, x2  3 .
x2
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.

 1,


y  tgx,

 2
x ,


x ,
4


если
 x ,
4
4

если
x .
4
если
Контрольная работа №4.
Вариант 20
1. Вычислить пределы функций.
x3  2 x  1
;
x  2 x 4  x  5
x 2  3x  10
x 2  3x  10
б) lim
;
;
lim
x2
x5
x 2  25
x 2  25
а) lim
в) lim
x2
г) lim
x0
д) lim
x 0
x2 1  x  x2  3
x2  4
sin 3x
x2 2
1  cos x
x2
;
;
;
x
x
 x2  2x 1 
 2

 ; lim  x  2 x  1  .
е) lim  2
2


x  x  3 x  2 

 x3 x  3 x  2 
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
y
4x
, x1  3, x2  0 .
x3
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
 4 x ,

y   x  12 ,
4 x,

если
x  1,
если
 1  x  1,
если
x  1.
Контрольная работа №4.
Вариант 21
1. Вычислить пределы функций.
а) lim
5 x  42 x  2 ;
б) lim
; lim
x 
x1
в) lim
5 x3  2 x 2  2
2 x 2  3x  1
x2 1
x32
x1 1 
x1
2 x 2  3x  1
x2 1
;
;
2 x
tg 2 x
г) lim
;
x  0 sin 5 x
x
д) lim 1  x tg ;
x1
2
x
x
 x2  2x 1 
 x 2  2x  1 



 .
lim
lim
е)
;
x   x 2  2 x  2 
x1 x 2  2 x  2 




2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
y
x 1
x  x3
2
, x1  1, x2  0 .
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
1  x,

y  x 2 ,
sin x,

если
x  1,
если
 1  x  0,
если
x  0.
Контрольная работа №4.
Вариант 22
1. Вычислить пределы функций.
x 2  3x  4
;
x  2 x 3  5 x  1
x 3  27
x 3  27
б) lim 2
; lim 2
;
x3 x  9
x3 x  9
x9 3
в) lim
;
x0 1  x  1
cos x  cos 3x
г) lim
;
x 0
x2
1 x 1
д) lim
;
x0 sin   x  2
а) lim
е) lim 3x  5
x2
2x
2
x 4
; lim 3x  5
2x
2
x 4
x3
.
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
y
x
x  x3
, x1  1, x2  0 .
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
2 x  4,

y  3x 2 ,
 x  2,

если
x  1,
если
1  x  3,
если
x  3.
Контрольная работа №4.
Вариант 23
1. Вычислить пределы функций.
4 x 4  4 x3  2
;
x  5 x 3  3 x 2  1
2x 2  7x  3
2x 2  7x  3
б) lim
; lim
;
x 0 , 5
x3
x3
x3
x 1
в) lim
;
x  1 x  5  2
5x
г) lim xctg ;
2
x 0
arctg x  2 
д) lim
;
x2
x2  4
а) lim
е) lim 3x  8
x3
8
x 3
; lim 3x  8
8
x 3
x 4
.
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
y
1
x 1
, x1  1, x2  .
2
2x  x  1
2
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
 x  3,

y  sin x,
0,

если
x  ,
если
если
   x  0,
x  0.
Контрольная работа №4.
Вариант 24
1. Вычислить пределы функций.
x5  4 x 2  1
;
x  3 x5  9 x  3
x 2  3x  2
x 2  3x  2
б) lim 2
; lim 2
;
x1 2 x  10 x  12 x2 2 x  10 x  12
x2 2
в) lim
;
x 2 x  1  1
arcsin 2 x
г) lim
;
x
x 0
2 x sin x
д) lim
;
x0 sec x  1
а) lim
 x2  x  1

е) lim  2
x  x  x  1 


 x2
 x2  x 1

; lim  2
x 2 x  x  1 


 x2
.
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
1
y  arctg , x1  1, x2  0 .
x
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
 x  3,

y   x 2  1,
 x  6,

если
x  0,
если
0  x  1,
если
x  1.
Контрольная работа №4.
Вариант 25
1. Вычислить пределы функций.
а) lim
x 
б) lim
6x5  4x 2  1
;
3x 5  x  3
x 2  x  56
x7
в) lim
x 2  49
1 1 x
x0 2  3 8  x
; lim
x 2  x  56
x 2  49
x7
;
;
1  cos x
;
1  cos x
arcsin 1  2 x 
д) lim
;
x 0 , 5
4x 2  1
г) lim
x 0
x
x
 x 2  5x  4 
 2

 ; lim  x  5 x  4  .
е) lim  2
 2

x  x  3 x  7 

 x0 x  3 x  7 
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
y
1
1 e
1
x 1
, x1  1, x2  2 .
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
cos x,

y   x  1,
2,

если
если
если
x  0,
0  x  2,
x  2.
Контрольная работа №4.
Вариант 26
1. Вычислить пределы функций.
6 x 4  3x5  1
;
x  4 x5  2 x  3
x3  1
x3  1
б) lim 2
; lim 2
;
x1 x  2 x  1 x0 x  2 x  1
3 7 x
в) lim
;
x2
x2
1  cos x
г) lim
;
x  0 tgx 2
а) lim
ctgx2 1  cos x  ;
д) lim
x 0
е) lim 2 x  3
x 2
x2
x 2
; lim 2 x  3
x2
x2
x3
.
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
1
y  ln 1  2 x  , x1   , x 2  2 .
2
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
4  x ,

y  x  32 ,
2 x ,

если
x  0,
если
0  x  2,
если
x  2.
Контрольная работа №4.
Вариант 27
1. Вычислить пределы функций.
3x 4  2 x  1
;
x  2 x 4  x3  3
x 4  4x 2  3
x 4  4x 2  3
б) lim
; lim
;
x 1
x1
x 1
x 1
x 1  2
в) lim
;
x 3 2 x  2  2
cos 7 x  1
г) lim
;
x  0 sin 2 3 x
sin 2 x  tg 2 x
д) lim
;
x0
x4
а) lim
x2
x2
 2 x 2  x  1  1 x
 2
 1 x
 ; lim  2 x  x  1  .
е) lim  2
x 2 x  x  1 
x0 2 x 2  x  1 




2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
y  x
x5
x  25
2
, x1  5, x2  0 .
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.

2  x ,


y  tgx,

0,


если
если
если

x ,
4

  x  0,
4
x  0.
Контрольная работа №4.
Вариант 28
1. Вычислить пределы функций.

x  13  x  13
а) lim
;
x 
б) lim
x3  1
x 2  5x  6
x1 x 2  2 x  3
в) lim
; lim
x  11  3
x 2  2x
1  cos x
г) lim
;
x  0 x sin x
sin 4 x
д) lim
;
x 0 x  1  1
x  2
x 2  5x  6
x3 x 2  2 x  3
;
;
5 x
2 x
4 x  9 ; lim 4 x  9
е) xlim
 2
5 x
2 x
x 0
.
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
y  arctg
1
, x1  7, x2  6 .
x6
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
x  1

y  x 2  3
 2 x

если
x  1,
если
 1  x  1,
если
x  1.
Контрольная работа №4.
Вариант 29
1. Вычислить пределы функций.
4 x3  4 x 2  2
;
x  3 x 3  x 2  4 x
2x 2  x  1
2x 2  x  1
б) lim 2
; lim
;
x1 3 x  x  4 x0,5 3x 2  x  4
1 x  1 x
в) lim
;
x 0
3x
sin 7 x
г) lim
;
x  0 x 2  x
2x
д) lim
;
x0 tg 2  x  1 / 2 
а) lim
x 1
x 1
 x 2  1  x 1
 x 2  1  x 1
е) lim  2  ; lim  2  .
x x  1
x 2 x  1




2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
1
y  31 x , x1  1, x2  0 .
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.

если
0,


y  cos x,
если

если
2,



x ,
2

  x  ,
2
x  .
Контрольная работа №4.
Вариант 30
1. Вычислить пределы функций.
x3  4 x 2  6
;
x  x3  4 x 4  4 x
x 2  4 x  21
x 2  4 x  21
б) lim
; lim
;
x 7
x3
x7
x7
2x  1  3
в) lim
;
x 4 x  2  2
2 x  sin x
г); lim
x0 1  cos x
x sin 2 x
д) lim
;
x  0 tg 2 3x
а) lim
 3x 3  1 
е) lim  3 2 
x  3 x  x  3


2 x 1
 3x 3  1 
; lim  3 2 
x1 3 x  x  3


2 x 1
.
2. Дана функция y  f (x) и два значения аргумента x .
Требуется.
1)Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных
значений x ;
2) Определить, является ли функция непрерывной или разрывной при данных
значениях x ;
3) Сделать схематический чертеж в окрестности точек x1 и x2 .
y
3
x  2x
2
, x1  2, x2  0 .
3. Для кусочно-заданной функции y  f x  .
Требуется.
1) Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) Сделать схематический чертеж.
 x  2,

y   x 2  1,
 x  5,

если
x  0,
если
0  x  1,
если
x  1.