МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РУБЦОВСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
АЛТАЙСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
«Утверждаю»
Директор РИ (филиала) АлтГУ
____________ К.Г. Анисимов
«_____» ___________2024 г.
Учебно-методический комплекс
Теория вероятностей и математическая статистика»
(для студентов отделения среднего профессионального образования
специальности «Автоматизированные системы обработки
информации»)
Рубцовск 2024
Кафедра
Шифр и наименование
дисциплины
Статус дисциплины
Курс
Специальность
Форма обучения
Объём дисциплины
Математики и прикладной
информатики
Теория вероятностей и математическая
статистика
обязательная
3
АСОИ
СПО
90 часов, зачетных единицы
И.о. зав. кафедрой математики и
прикладной информатики
Зам. директора по учебной работе
__________________ Жданова Е.А.
Автор: Кузнецова Ю. А., ст. преподаватель кафедры математики и
прикладной информатики
Рецензенты:
2
СОДЕРЖАНИЕ УМК
1. ПРОГРАММА КУРСА ДИСЦИПЛИНЫ «Теория вероятностей и
математическая статистика»................................................................. 4
1.1. Тематический план дисциплины «Теория вероятностей и
математическая статистика» ............................................................ 6
1.2. Содержание дисциплины «Теория вероятностей и
математическая статистика» (дидактические единицы) ............... 9
1.3. Содержание лабораторных (или практических) занятий ..... 19
2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОСВОЕНИЮ
УЧЕБНОЙ
ДИСЦИПЛИНЫ
«Теория
вероятностей
и
математическая статистика»............................................................... 22
3. МАТЕРИАЛЫ К ПРОМЕЖУТОЧНОМУ И ИТОГОВОМУ
КОНТРОЛЮ ........................................................................................ 23
4. ЛИТЕРАТУРА ................................................................................. 26
3
1. ПРОГРАММА КУРСА ДИСЦИПЛИНЫ «Теория
вероятностей и математическая статистика»
1.1. Тематический план дисциплины «Теория вероятностей
и математическая статистика»
Пояснительная записка
Цель курса. Методы теории вероятностей и математической
статистики широко применяются в различных отраслях естествознания
и техники: в теории надежности, теории массового обслуживания, в
теоретической физике, геодезии, астрономии, теории ошибок наблюдения,
общей теории связи и во многих других теоретических и прикладных наук.
Теория вероятностей служит также для обоснования математической
и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при
планировании и организации производства, при анализе технологических
процессов, предупредительном и приемочном контроле качества
продукции и для многих других целей. Целью изучения курса является
изучение вероятностных закономерностей массовых однородных
случайных событий.
Задачи курса.
Основными задачами курса являются:
изучение основ комбинаторики и теории вероятностей;
изучение основ теории случайных величин;
изучение статистических оценок параметров распределения по
выборочным данным и проверка статистических гипотез;
изучение методики моделирования случайных величин, метода
статистических испытаний, основ вероятностного подхода к измерению
информации.
Требования к уровню изучения.
В результате изучения дисциплины студент должен:
4
иметь представление:
– о значении и областях применения данной дисциплины;
знать:
– основы комбинаторики и теории вероятностей;
– основы теории случайных величин;
– статистические оценки параметров распределения по выборочным
данным и проверку статистических гипотез;
– методику моделирования случайных величин, метод статистических
испытаний, основы вероятностного подхода к измерению информации;
уметь:
– рассчитывать вероятности событий;
– записывать распределения и находить характеристики случайных
величин;
– рассчитывать статистические оценки параметров распределения по
выборочным данным, применять вероятностный подход для
измерения информации.
5
Семинары
Лабораторны
е работы
Самостоятельная
работа студентов, час.
2
1. Теория вероятностей
как наука. Возникновение
и развитие теории
вероятностей.
Виды случайных событий.
Классическое определение
вероятности. Свойства
вероятности. Примеры
непосредственного
вычисления вероятностей.
2. Элементы
комбинаторики.
Применение формул
комбинаторики для
вычисления вероятностей.
3. Различные подходы к
определению вероятности
(геометрическое,
аксиоматическое,
статистическое
определение).
4. Действия над
событиями. Теорема
сложения вероятностей
несовместных событий.
Теорема умножения
вероятностей зависимых и
независимых событий
6
Количество
аудиторных часов при
очной форме обучения
Лекции
1
3
4
5
6
7
5
2
2
1
5
2
2
1
5
2
2
1
6
3
2
1
Максимальная
нагрузка студентов,
час.
Наименование тем
ДЕ 1
Дидактические
единицы (ДЕ)
Тематический план дисциплины «Теория вероятностей и
математическая статистика» для студентов специальности
«Автоматизированные системы обработки информации»
5. Вероятность появления
хотя бы одного события.
6. Следствия теорем
сложения и умножения.
7. Повторные
независимые испытания.
ДЕ 2
Промежуточный контроль
4
1
2
1
5
2
2
1
6
2
2
2
Аудаторная контрольная работа.
8. Понятие случайной
величины. Виды
случайных величин.
Дискретная случайная
величина, способы ее
задания. Действия над
случайными величинами.
9. Числовые
характеристики
дискретной случайной
величины
(математическое
ожидание, дисперсия,
среднее квадратическое
отклонение).
10. Функция
распределения случайной
величины и ее свойства.
11. Непрерывная
случайная величина,
плотность распределения
и ее свойства. Числовые
характеристики.
12. Законы распределения
случайных величин
(биноминальный закон,
геометрический закон,
показательный закон,
нормальный закон).
13. Закон больших чисел и
центральная предельная
теорема.
7
4
2
1
1
4
2
1
1
4
2
1
1
4
2
1
1
5
2
2
1
4
2
0
2
ДЕ 3
Промежуточный контроль
Домашняя контрольная работа.
14. Предмет и основные
задачи математической
статистики.
Выборочный метод.
Вариационные ряды и их
характеристики.
15. Оценки параметров
распределения. Метод
моментов.
ДЕ 4
16. Проверка
статистических гипотез.
Критерий Пирсона.
Проверка гипотезы о виде
распределения
генеральной
совокупности.
Промежуточный контроль
4
2
1
1
5
2
2
1
8
4
3
1
Типовой расчет.
17. Моделирование
случайных величин. Метод
статистических
испытаний.
18. Основы вероятностного
подхода к измерению
информации.
Промежуточный контроль
6
3
2
1
6
3
2
1
Коллоквиум.
Итоговый контроль
зачет
Итого часов
90
8
40
30
20
1.2. Содержание дисциплины «Теория вероятностей и
математическая статистика» (дидактические единицы)
ДЕ 1
Тема 1. Теория вероятностей как наука. Возникновение и развитие
теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое определение
вероятности. Свойства вероятности. Примеры непосредственного вычисления
вероятностей.
Аудиторное изучение: предмет теории вероятностей. Определение
случайного события, примеры. Исторические сведения о возникновении и
развитии теории вероятностей. Классификация событий: достоверные,
невозможные и случайные. Виды случайных событий: совместные,
несовместные, равновозможные, единственно возможные, образующие
полную группу, противоположные. Понятие вероятности. Классическое
определение вероятности, свойства вероятности (вероятность достоверного
события, вероятность невозможного события, вероятность случайного
события). Примеры непосредственного вычисления вероятностей.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение §§ 1.1, 1.2. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей
и математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. Определение
случайного,
невозможного,
достоверного,
совместных, несовместных, равновозможных, единственно возможных,
образующих полную группу, противоположных событий;
2. классическое определение вероятности.
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. различать различные виды событий;
2. применять
классическое
определение
для
вычисления
вероятностей событий.
Тема 2. Элементы комбинаторики. Применение формул комбинаторики
для вычисления вероятностей.
Аудиторное изучение: что изучает комбинаторика. Правила
комбинаторики (правило суммы, правило произведения). Формулы
комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания. Примеры задач
на применение правил и формул комбинаторики.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение §§ 1.5; 1.6 учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей
и математическая статистика».
9
Требования к знаниям: студент должен знать правила и
формулы комбинаторики;
Требования к умениям: студент должен уметь применять
правила и формулы комбинаторики для решения задач.
Тема 3. Различные подходы к определению вероятности (геометрическое,
аксиоматическое, статистическое, субъективное определение).
Аудиторное изучение: ограниченность классического определения.
Статистическая вероятность. Геометрические вероятности. Аксиоматическое
и субъективное определения вероятности.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение §§ 1.3, 1.4. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей
и математическая статистика».
Требования к знаниям:
студент должен знать различные определения вероятности.
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. вычислять вероятности с помощью статистического определения;
2. вычислять вероятности с помощью геометрического определения.
Тема 4. Действия над событиями. Теорема сложения вероятностей
несовместных событий. Теорема умножения вероятностей зависимых и
независимых событий.
Аудиторное изучение: определение суммы и произведения
событий, их иллюстрация с помощью диаграмм Венна. Теорема
сложения вероятностей несовместных событий, примеры ее
применения. Теорема о сумме вероятностей событий, образующих
полную группу, примеры ее применения. Условная и безусловная
вероятности. Зависимые и независимые события, события независимые
в совокупности. Теоремы умножения вероятностей, примеры их применения.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение §§ 1.7. – 1.10. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей
и математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. определение суммы и произведения событий;
2. теорему о сумме вероятностей событий, образующих полную
группу;
3. определения зависимых и независимых событий;
4. теоремы умножения зависимых и независимых событий.
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. изображать с помощью диаграмм Венна различные события и
действия над ними;
2. различать зависимые и независимые события;
10
применять теорему сложения и теоремы умножения при
решении задач.
Тема 5. Вероятность появления хотя бы одного события.
Аудиторное изучение: теоремы о нахождении вероятности
появления хотя бы одного события (для независимых в совокупности
событий; событий, имеющих одинаковую вероятность; зависимых
событий), примеры их применения.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение § 1.9. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и
математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать: теоремы о
нахождении вероятности появления хотя бы одного события (для
независимых в совокупности событий; событий, имеющих одинаковую
вероятность; зависимых событий)
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. находить вероятность появления хотя бы одного события с
помощью соответствующих теорем;
2. формулировать событие противоположное тому, что хотя бы
одно из событий произошло.
Тема 6. Следствия теорем сложения и умножения.
Аудиторное изучение: теорема сложения вероятностей совместных
событий. Формула полной вероятности. Определение гипотез.
Формулы Байеса. Их применение к решению практических задач.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение §§ 1.9, 1.11. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей
и математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. теорему сложения вероятностей совместных событий;
2.
формулу полной вероятности;
3.
формулы Байеса.
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. применять теорему сложения вероятностей совместных событий;
2. отличать задачи, решаемые с помощью формулы полной вероятности,
от задач, при решении которых используются формулы Байеса;
3. применять формулу полной вероятности и формулы Байеса.
Тема 7. Повторные независимые испытания.
Аудиторное изучение: понятие повторных независимых испытаний.
Сложное событие. Формула Бернулли, ее применение к решению
задач. Формула Пуассона, ее применение к решению задач. Локальная
и интегральная формулы Муавра-Лапласа, их применение к
3.
11
решению задач. Формула нахождения вероятности отклонения
относительной частоты от постоянной вероятности в независимых
испытаниях, ее применение к решению задач. Наивероятнейшее число
появлений события в независимых испытаниях, формула его нахождения.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение §§ 2.1. – 2.4. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей
и математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. что понимают под повторными независимыми испытаниями;
2. формулу Бернулли и асимптотические формулы (формула
Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа);
3. формулу нахождения вероятности отклонения относительной
частоты от постоянной вероятности в независимых
испытаниях;
4. определение наивероятнейшего числа и формулу для его
нахождения.
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. применять формулу Бернулли, формулу Пуассона, локальную
и интегральную теоремы Муавра–Лапласа при решении задач;
2. при решении задач с помощью формулы Пуассона, локальной
и интегральной формул Муавра–Лапласа пользоваться
соответствующими таблицами для нахождения искомых
вероятностей;
3. применять формулу нахождения вероятности отклонения
относительной частоты от постоянной вероятности в
независимых испытаниях при решении задач;
4. находить наивероятнейшее число появлений события в
независимых испытаниях.
ДЕ 2
Тема 8. Понятие случайной величины. Виды случайных величин. Дискретная
случайная величина, способы ее задания. Действия над случайными
величинами.
Аудиторное изучение: понятие случайной величины. Дискретная
и непрерывная случайные величины. Закон распределения дискретной
случайной величины. Математические операции над случайными
величинами.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение §§ 3.1. – 3.2. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей
и математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
12
определение случайной величины;
виды случайных величин;
способы задания дискретной случайной величины.
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. различать дискретную и непрерывную величины;
2. находить сумму, разность, произведение, частное нескольких
случайных величин;
3. возводить случайную величину в степень, умножать случайную
величину на постоянную;
4. задавать случайную величину табличным, аналитическим,
графическим способами.
Тема 9. Числовые характеристики дискретной случайной величины
(математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение).
Аудиторное изучение: понятие числовых характеристик. Определение
математического ожидания дискретной случайной величины. Свойства
математического ожидания. Вероятностный смысл математического
ожидания. Определение дисперсии дискретной случайной величины.
Свойства дисперсии. Определение среднего квадратического отклонения.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение §§ 3.3. – 3.4. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей
и математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. определения основных числовых характеристик дискретной случайной
величины;
2. свойства основных числовых характеристик дискретной случайной
величины;
3. что характеризует каждая из числовых характеристик;
4. формулы вычисления основных числовых характеристик
дискретной случайной величины;
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. вычислять математическое ожидание дискретной случайной
величины;
2. вычислять дисперсию дискретной случайной величины по
определению и с помощью свойства;
3. вычислять среднее квадратическое отклонение дискретной случайной
величины;
4. зная числовые характеристики дискретной случайной величины,
находить значения случайной величины и их вероятности.
Тема 10. Функция распределения случайной величины и ее свойства.
Аудиторное изучение: определение функции распределения
вероятностей. Свойства этой функции. Нахождение функции распределения
1.
2.
3.
13
вероятностей дискретной случайной величины по известному закону
распределения. Нахождение закона распределения дискретной случайной
величины по известной функции распределения.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение § 3.5. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и
математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. определение функции распределения вероятностей случайной
величины;
2. свойства функции распределения вероятностей случайной величины.
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. находить функцию распределения вероятностей дискретной случайной
величины по известному закону распределения;
2. находить закон распределения дискретной случайной величины по
известной функции распределения.
Тема 11. Непрерывная случайная величина, плотность распределения и ее
свойства. Числовые характеристики.
Аудиторное изучение: определение непрерывной случайной
величины. Определение плотности распределение вероятностей. Свойства
плотности распределения вероятностей. Нахождение функции распределения
по известной плотности. Нахождение плотности распределения по
известной функции распределения. Нахождение вероятности того, что
случайная величина примет значение из некоторого интервала. Нахождение
математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение § 3.6. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и
математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. определение непрерывной случайной величины с помощью функции
распределения вероятностей;
2. определение плотности распределение вероятностей непрерывной
случайной величины;
3. свойства плотности распределение вероятностей непрерывной случайной
величины;
4. определения основных числовых характеристик непрерывной
случайной величины.
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. находить функцию распределения вероятностей по известной
плотности распределения;
14
находить плотность распределения вероятностей по известной
функции распределения;
3. находить вероятности того, что случайная величина примет
значение из некоторого интервала с помощью функции
распределения и с помощью плотности распределения;
4. вычислять числовые характеристики непрерывной случайной
величины.
Тема 12. Основные законы распределения случайных величин.
Аудиторное изучение: законы распределения дискретной
случайной величины (биномиальный закон, геометрический закон).
Законы распределения непрерывной случайной величины (показательный
и нормальный законы).
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение §§ 4.1, 4.3, 4.6, 4.7. учебника Кремера Н.Ш. «Теория
вероятностей и математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. случайную величину, распределенную по биномиальному закону, ее
числовые характеристики;
2. случайную величину, распределенную по геометрическому закону, ее
числовые характеристики;
3. случайную величину, распределенную по показательному закону, ее
числовые характеристики;
4. случайную величину, распределенную по нормальному закону, ее
числовые характеристики;
5. свойства случайной величины, имеющей нормальный закон
распределения;
6. кривую Гаусса.
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. задавать
случайную
величину,
распределенную
по
биномиальному закону, находить ее числовые характеристики;
2. задавать
случайную
величину,
распределенную
по
геометрическому закону, находить ее числовые характеристики;
3. задавать
случайную
величину,
распределенную
по
показательному закону, находить ее числовые характеристики;
4. задавать случайную величину, распределенную по нормальному
закону, находить ее числовые характеристики;
5. использовать свойства нормального распределения при
решении задач.
Тема 13. Закон больших чисел и центральная предельная теорема.
2.
15
Аудиторное изучение: закон больших чисел. Неравенство
Чебышева. Теорема Чебышева. Сущность и значение данной теоремы.
Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Теорема Ляпунова.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение §§6.1 – 6.5 учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и
математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. что понимают под законом больших чисел в широком и узком
смысле;
2. неравенство Чебышева;
3. теорему Чебышева, сущность и значение данной теоремы;
4. Теорему Бернулли, значение данной теоремы;
5. теорему Ляпунова.
Требования к умениям: студент должен уметь: вычислять
вероятности и рассчитывать «трехсигмовый» интервал для величины
Y x1 x2 ... x N , N –большое
ДЕ 3
Тема 14. Предмет и основные задачи математической статистики.
Выборочный метод. Вариационные ряды и их характеристики.
Аудиторное изучение: математическая статистика как наука, ее
основные задачи. Генеральная и выборочная совокупности. Общие
сведения о выборочном методе (сущность выборочного метода,
репрезентативная выборка, виды выборок, важнейшая задача выборочного
метода). Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма.
Основные характеристики статистического распределения (выборочное
среднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое
отклонение). Метод произведений.
Самостоятельное изучение.
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение §§ 8.1, 8.2, 8.4, 9.1 учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей
и математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. что изучает математическая статистика, ее основные задачи;
2. генеральную и выборочную совокупности;
3. виды выборок;
4. сущность выборочного метода;
5. статистическое распределение выборки;
6. основные характеристики статистического распределения.
Требования к умениям: студент должен уметь:
16
строить полигон и гистограмму для соответствующего
статистического распределения;
2. вычислять
основные
характеристики
статистического
распределения по основным формулам и с помощью метода
произведений.
Тема 15. Оценки параметров распределения. Метод моментов.
Аудиторное изучение: понятие оценки параметров. Несмещенные,
эффективные и состоятельные оценки. Точечные и интервальные
оценки. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения.
Самостоятельное изучение.
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение § 9.2, 9.3 учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и
математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. понятие оценки параметров;
2. виды оценок;
3. несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии;
4. точечные и интервальные оценки;
5. метод моментов.
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. находить несмещенные оценки математического ожидания и
дисперсии;
2. применять метод моментов для нахождения оценок;
3. находить интервальные оценки.
Тема 16. Проверка статистических гипотез. Критерий Пирсона. Проверка
гипотезы о виде распределения генеральной совокупности.
Аудиторное изучение: статистическая гипотеза (параметрическая,
непараметрическая). Нулевая и конкурирующая, простая и сложная
гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистической критерий
проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия. Критическая
область, область принятия гипотезы. Основной принцип проверки
статистических гипотез. Критические точки. Критерий согласия. Проверка
гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.
Критерий согласия Пирсона.
Самостоятельное изучение.
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение § 10.1, 10.2, 10.7 учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и
математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. понятие статистической гипотезы, виды гипотез;
2. основной принцип проверки нулевой гипотезы.
1.
17
Требования к умениям: студент должен уметь: применять
критерий согласия Пирсона для проверки непараметрической гипотезы.
ДЕ 4
Тема 17. Моделирование случайных величин. Метод статистических
испытаний.
Аудиторное изучение: примеры моделирования случайных
величин с помощью физических экспериментов. Таблицы случайных
цифр. Моделирование дискретной случайной величины (общий случай).
Моделирование нормально распределенной величины. Сущность метода
статистических испытаний. Приблизительное нахождение (оценивание)
площади плоской фигуры с помощью метода статистических испытаний.
Зависимость точности результата, получаемого методом статистических
испытаний от количества испытаний.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. методику моделирования дискретной случайной величины;
2. методику моделирования непрерывной случайной величины;
3. сущность метода статистических испытаний;
4. методику приблизительного нахождения (оценивания) площади
плоской фигуры с помощью метода статистических испытаний.
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. моделировать дискретную случайную величину;
2. моделировать непрерывную случайную величину;
3. применять
метод
статистических
испытаний
для
приблизительного нахождения (оценивания) площади плоской
фигуры.
Тема 18. Основы вероятностного подхода к измерению информации.
Аудиторное изучение: сущность вероятностного подхода к
измерению информации. Связь одного бита с выбором одного из
двух равновероятных исходов, выбор одного из нескольких
равновероятных исходов, формула Хартли. Выбор одного из нескольких
исходов в случае произвольного распределения вероятностей,
формула Шеннона.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. сущность вероятностного подхода к измерению информации;
2. вероятностное понимание одного бита информации;
3. формулы Хартли и Шеннона.
Требования к умениям: студент должен уметь рассчитывать
количество информации по формулам Хартли и Шеннона.
18
1.3. Содержание лабораторных (или практических)
занятий
Тема 1. Классическое определение вероятности. Применение формул
комбинаторики для вычисления вероятностей.
Семинарское занятие – 4 часа.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике
№3, 5, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика № 1.37,
1.38, 1.39, 1.44, 1.47.
Тема 2. Геометрические вероятности.
Семинарское занятие – 2 часа.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике
№ 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 44.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика № 1. 50,
1.51.
Тема 3. Основные теоремы теории вероятностей.
Семинарское занятие – 2 часа
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике
№ 46, 47, 50, 51, 52, 53, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 65, 67, 69, 70, 71, 72.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика № 1.45,
1.46, 1.58, 1.60, 1.62, 1.63, 1.64, 1.65, 1.69, 1.70.
Тема 4. Вероятность появления хотя бы одного события. Следствия теорем
сложения и умножения
Семинарское занятие – 4 часа.
19
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике
№ 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 90, 91, 93, 95, 99, 101, 102, 106, 107, 108, 109.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика № 1.54,
1.55, 1.57, 1.59, 1.66, 1.68, 1.72, 1.72, 1.74, 1.77.
Тема 5. Повторные независимые испытания.
Семинарское занятие- 2 часа.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике
№ 110, 111, 112, 115, 119, 120, 121, 122, 125, 126, 132, 135, 148, 153, 176,
179, 180.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика № 2.15,
2.17, 2.20, 2.23, 2.25, 2.27, 2.28, 2.30, 2.33.
Тема 6. Дискретная случайная величина, способы ее задания. Числовые
характеристики.
Семинарское занятие – 2 часа.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике
№ 165, 166, 167, 170, 171, 172, 173, 174, 175.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика № 3.29,
3.33, 3.35, 3.36, 3.41.
Тема 7 Функция распределения и ее свойства. Непрерывная случайная
величина, плотность распределения и ее свойства. Числовые характеристики.
Семинарское занятие – 2 часа.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике
№ 252, 256, 260, 262, 264, 265, 267, 270, 280, 281.
20
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика № 3.48,
3.62, 3.63, 3.65, 3.66.
Тема 8. Законы распределения случайных величин.
Семинарское занятие – 2 часа.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике
№ 168, 169, 177, 178, 308, 310, 328, 330, 332, 338, 341.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика № 3.25,
3.28, 4.11, 4.14, 4.17, 4.19, 4.21.
Тема 9. Метод произведений вычисления выборочного среднего и
выборочной дисперсии. Проверка гипотезы о виде распределения
генеральной совокупности.
Семинарское занятие – 6 час.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике
№ 523, 524, 525, 526, 528, 635, 652, 658, 664.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика № 8.10,
8.11, 10.28, 10.30, 10.31
Тема 10. Моделирование случайных величин. Метод статистических
испытаний.
Семинарское занятие – 2 час.
План.
Решение задач.
Домашнее задание: домашняя контрольная работа
Тема 11.
Семинарское занятие – 2 час.
План.
Решение задач.
Домашнее задание: домашняя контрольная работа
21
2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОСВОЕНИЮ
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «Теория вероятностей и
математическая статистика»
Теория вероятностей и математическая статистика относятся к
числу фундаментальных областей математики.
Современная теория вероятностей – строго обоснованная
математическая наука. Она широко использует достижения других
математических наук (по этому поводу современный вероятностик
Дж. Дуб в шутку как-то сказал: «Всем специалистам по теории
вероятностей хорошо известно, что математика представляет собой
часть теории вероятностей»); имеет, в свою очередь, многочисленные
приложения в естественных и гуманитарных науках.
Целью современной теории вероятностей является осуществление
прогноза в области случайных явлений, влияние на ход этих явлений,
контроль их, ограничение сферы действия случайности. В настоящее
время нет практически ни одной области науки, в которой в той или
иной степени не применялись бы вероятностные методы.
Одним из важнейших моментов в деятельности руководителя,
менеджера, экономиста является принятие решений в условиях
неопределенности. При этом наиболее разработанным инструментарием
является математическая статистика, позволяющая решать задачи
принятия решений в условиях вероятностной неопределенности и
имеющая достаточно распространенное программное обеспечение
(например, в Excel).
Владение основами теории вероятностей и математической
статистики предполагает знание основных понятий, определений и
теорем курса, умение применять их при решении практических
задач. Чтобы соответствовать этим требованиям, студенту необходимо
уделять большое внимание изучению материалов лекционных и практических
занятий, а также работать со специальной литературой по указанному
курсу.
22
3. МАТЕРИАЛЫ К ПРОМЕЖУТОЧНОМУ И ИТОГОВОМУ
КОНТРОЛЮ
Вариант аудиторной контрольной работы.
1. В коробке из 15 шаров 7 белых. Найти вероятность того, что
среди 5 взятых наудачу шаров 4 белых.
2. На отдельных одинаковых карточках написаны цифры: 1, 2, 2, 3,
3, 3, 5, 6. Эти карточки тщательно перемешивают, наудачу отбирают
4 карточки и раскладывают в ряд в порядке появления. Найти
вероятность того, что получится число 2356.
3. Найти вероятность того, что семь человек, занявших очередь в
кассу, стоят по росту (в порядке возрастания).
4. Подбрасывают два игральных кубика. Найти вероятность того, что
сумма выпавших очков равна 7.
5. На плоскости начерчены две концентрические окружности,
радиусы которых 6 и 12 см соответственно. Какова вероятность
того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в
кольцо, образованное указанными окружностями?
6. Взяты наугад два положительных числа, каждое из которых не
больше 1. Какова вероятность того, что их сумма не превзойдет 1,
а произведение будет не больше
2
?
9
Вариант домашней контрольной работы
1.
Вычислить:
8
C 5 A72
;
P5 (2,3)
2.
Найти значение n , при котором верно равенство:
4
( A 2 C113 ) Pn 4344 .
3.
4.
5.
Из 28 строительных рабочих 15 - штукатуры, а 13 -маляры. Наудачу
отбирается бригада из 7 рабочих. Какова вероятность того, что среди
них будет 3 маляра и 4 штукатуров?
На карточках написаны буквы А, А, К, К, О, Р, Т, Ч. Карточки
перемешивают и кладут в порядке их вытягивания. Какова вероятность
того, что: а) из 5 карточек получится слово “КАРТА”; б) из трех
карточек получится слово “ТОК”.
На один ряд из шести мест, случайным образом садятся шесть учеников.
Найти вероятность того, что два определенных ученика окажутся рядом.
23
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
В магазин поступили изделия, 75% которых получено от одной
фабрики, 20% – от другой и остальные – от третьей. Найти
вероятность того, что купленное покупателем изделие изготовлено
на первой или третьей фабрике.
В коробке находятся жетоны с цифрами то 1 до 17. Наудачу
извлекаются два жетона. Какова вероятность того, что будут вынуты: а)
оба жетона с четными номерами; б) хотя бы один жетон с нечетным
номером.
Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,65, вторым - 0,8,
третьим - 0,75. Найти вероятность того, что только один стрелок попадет
в цель.
Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число кратно
трем или пяти.
Вероятность того, что стрелок попадет хотя бы один раз при трех
выстрелах, равна 0,992. Найти вероятность одного попадания в цель при
трех выстрелах, если при каждом выстреле вероятность попадания
постоянна.
В группе спортсменов 25 лыжников, 17 боксеров и 18 бегунов.
Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжников
составляет 0,95, боксеров - 0,7, бегунов - 0,9. Найти вероятность того, что
спортсмен, выбранный наудачу, выполнит квалификационную норму.
Два предприятия выпускают однотипные изделия. Причем второе
выпускает 45% изделий обоих предприятий. Вероятность выпуска
нестандартного изделия первым предприятием 0,01, вторым - 0,05.
Взятое изделие оказалось стандартным. Какова вероятность, что оно
выпущено на втором предприятии.
Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при
броске равна 0,75. Произведено 6 бросков. Найти наивероятнейшее
число попаданий и соответствующую вероятность.
Станок автомат делает детали. Вероятность того, что деталь окажется
бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 400 деталей
окажется: а) 6 бракованных; б) хотя бы одна бракованная; в) не менее
3 и не более 7 бракованных.
Установлено, что виноградник поражен вредителями на 12%. Найти
вероятность того, что из 200 проверенных число незараженных кустов
будет 160.
Известно, что 75% специалистов в районе имеет высшее образование.
Найти вероятность того, что из 100 наудачу отобранных человек высшее
образование имеют не менее 70.
24
17.
18.
В группе из 12 спортсменов 4 мастера спорта. Отбирают (по схеме без
возвращения) 3 спортсменов. Составить закон распределения случайной
величины X – числа мастеров спорта из отобранных спортсменов.
Найти: M(X), D(X), (X). Построить многоугольник распределения
вероятностей.
Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения.
e x , x 0,
F ( x)
1, х 0.
Найти: а) плотность вероятности (x); б) вероятность попадания X в интервал
(-2;2); в) числовые характеристики.
19.
X – нормально распределенная случайная величина с параметрами а=30 и
=5. Найти P(28<X<34), P(X-300,1).
Вариант типового расчета
Вариант 5.
В течение 10 часов регистрировалось прибытие автомобилей к бензоколонке,
получили эмпирическое распределение, приведенное в таблице (во
втором столбце указан интервал времени в часах, в третьем столбце –
частота, т. е. количество машин, прибывших в этом интервале):
Номер
интервала
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Интервалы времени, ч.
Частоты, ni
8–9
9–10
10–11
11–12
12–13
13–14
14–15
15–16
16–17
17–18
12
40
22
16
28
6
11
33
18
14
Требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том,
что время прибытия машин распределено равномерно.
25
4. ЛИТЕРАТУРА
Список основной рекомендуемой литературы
1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей
и математической статистике: Учебное пособие для
студентов вузов. – М.: Высш. шк., 2001.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учебное пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 2002.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах. В 2–х ч. Ч. 2: Учебное пособие для
вузов. – М.: Высш. шк., 1997.
4. Зайцев И.А. Высшая математика: Учебник для вузов – М.:
Дрофа, 2004-400с. – (Высшее образование)
5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ–ДАНА, 2001.
Список дополнительной литературы
1. Венцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. – М.:
Высш. шк., 2001.
2. Горелова Г.В., Кацко И.А. Теория вероятностей и математическая
статистика в примерах и задачах с применением EXCEL.
Учебное пособие для вузов. – Ростов н/Д: Феникс, 2002.
3. Гусак А.А., Бричикова Е.А. Теория вероятностей. Справочное
пособие к решению задач. – Мн.: ТетраСистемс, 2000.
4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А.., Тришин И.М., Фридман М.Ф. Высшая
математика для экономистов. М., Банки и биржи, ЮНИТИ,
1998.
5. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Основы статистики с элементами
теории вероятностей для экономистов: Руководство для
решения задач. – Ростов н/Д: Феникс, 1999.
6. Солодовников А.С. Теория вероятностей: Учеб. пособие для
студентов пед. ин-тов по матем. Спец. –М.: Просвещение,
1983 – 207с.
7. Фигурин В.А., Оболонкин В.В. Теория вероятностей и математическая
статистика: Учебное пособие. – Мн.: ООО «Новое знание»,
2000.
26
