Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
А. Вайнштейн, Промежуточные задачи и максимальноминимальная теория собственных значений, Математика, 1964, том 8, выпуск 5, 91–101
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru
подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 185.201.44.167
13 декабря 2024 г., 12:54:03
ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ ЗАДАЧИ И МАКСИМАЛЬНО-МИНИМАЛЬНАЯ
ТЕОРИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ1)
Александр Вайнштейн
1. Введение. В этой работе выражается новый взгляд на теорию
промежуточных задач, которую я ввел в 1935—1937 гг. (А. Вайн­
штейн [1], [18]) и которая была развита Н. Ароншайном и Вайнштей­
ном [2], Ароншайном [3] (и его сотрудниками У. Доногю и К. Смитом),
Г. Вайнбергером [4], Н. Базли [5], Н. Базли и Д . Фоксом [6, 21]
и др. Изложение теории* см. в книге С. Гулда [7] и в докладах
Г. Вейля [12], X. Диаса [8] и Вайнштейна [17]. Смотрите также рабо­
ту Р. Куранта [9].
Наша цель — показать, что эта теория может быть развита неза­
висимо от максимально-минимального свойства собственных значений.
Фактически будет показано, что максимально-минимальное свойство
в существенно улучшенной форме можно доказать при помощи при­
менения промежуточных задач. Прежде в моих работах максимально­
минимальный принцип рассматривался как одно из оснований нашей
теории, когда речь шла о старших собственных значениях2); эта
точка зрения, которая была принята авторами всех последовавших
работ, в настоящей статье заменяется прямо противоположной.
Хорошо известно, что максимально-минимальная теория базируется
на лемме Вейля, которую он называет основной леммой. Я предпочи­
таю называть ее первой основной леммой Вейля, так как другой ре­
зультат Вейля 1940 г. [10] общеизвестен как лемма Вейля.
Для большей конкретности рассмотрим действительное гильбертово
пространство $ со скалярным произведением (и, v). Пусть А есть
симметричный, вполне непрерывный, отрицательно определенный опе­
ратор. Обозначим через
и и и и2, . . . собственные значе­
ния и собственные функции оператора А:
Аи = ^и.
(1.1)
Предположения относительно оператора А объясняются двумя
причинами. Во-первых, предположение полной непрерывности опера­
тора А гарантирует то, что все максимумы и минимумы, рассматри­
вающиеся в дальнейшем, действительно достигаются. Это не должно
быть с необходимостью справедливо для любого самосопряженного
оператора с дискретным спектром, ограниченным снизу (это замечание
было сообщено мне профессором Г. Фикера). Во-вторых, отрицатель­
ная определенность оператора А позволяет нам расположить собствен’) W е i n s t е i n A., The Intermediate problems and the maximum-minimum theo­
ry of eigenvalues, Journal o f M athem atics and Mechanics, 12, № 2, 235—246 (1963).
’) Если последовательность собственных значений получена в результате после­
довательного решения цепочки вариационных задач, то под старшими собственными
значениями понимаются все члены этой последовательности, кроме первого. — Прим,
пере в.
92
А. Вайнштейн
ные значения в виде неубывающей последовательности, как это обычно
делается для операторов, ограниченных снизу. Очевидно, такие огра­
ничения не нужны в том случае, когда А является неособой матрицей.
Пусть R{u) обозначает отношение Рэлея, т. е.
<1 2
>
Справедлива следующая лемма.
О с н о в н а я л е м м а . Пусть р х, р 2, . . . , рп_х суть произволь­
ные элементы пространства ^>. Рассмотрим все элементы и из
ф, ортогональные р х, р2, . . . , рп_х\
{и, р х) = (и, р2) = . . . = (й, р п_х) = 0.
(1.3)
Обозначим минимум величины R{u) в этом классе через ^(р х,
Р2, •••> Pn-i)- Тогда
min
R (и) = \ ( р г, р 2, . . . , Ри_ , ) < Хл
(1.4)
(«./»/) =0
1 = 1 ,2 ,..., Л—1
и знак равенства, возникающий здесь, если мы рассмотрим
максимум этих минимумов
max
min
7?(и) = Хл,
(1.5)
Pi, Pi,
Рл _ .
(И,/>,) = 0
{= 1,2,..., л—1
достигается для р х = их, р2 = и2, . . рп_х = иа_х, т. е.
А(й 15 и2, . . . , Me_j) = Ал.
О *6)
Первая лемма Вейля относится к 1911—1912 гг. [11]. Рисе и Надь
([14], стр. 237) приписывают максимально-минимальный принцип Е. Фи­
шеру. См. также книгу Куранта и Гильберта [13], стр. 46.
Мы дадим здесь новый вывод максимально-минимального принципа,
не зависящий от леммы Вейля, установив необходимое и достаточное
условие равенства Х(/>р р 2, . . . , р„~х) = А„; этот вопрос, насколько мне
известно, не обсуждался и даже не формулировался в литературе,
цитированной выше ([13], стр. 121), ([13], стр. 342—344), ([14],
стр. 237), [12], [7]. Кроме того, см. работу Куранта [9]. Однако в част­
ном случае ответ был неявно дан уже в 1937 г. (Вайнштейн [1]). Имен­
но если
Ai = А2 = . . . = Ал-1 = Х„,
(1.7)
то X(рх, р 2, . . . , рп_ j) = Х„ при произвольном выборе /» ,,/ = 1 , 2 , . . .
. . . , п — 1.
Наш главный результат содержится в п. 4.
2. Обобщенные промежуточные задачи. Мы начнем с рассмот­
рения некоторых понятий, связанных с теорией промежуточных задач.
Для удобства читателя сделаем несколько замечаний о Задачах того
типа, которые здесь рассматриваются. Такие задачи иногда называют­
ся промежуточными задачами, связанными с изменением граничных
условий. Мы не будем употреблять эту терминологию и поэтому не
будем стремиться дать к ней полное объяснение; возникла она из тео­
рии собственных значений пластин и мембран. В этой теории требова­
лось находить нижние границы для собственных значений задачи
с закрепленной пластиной, определяющиеся минимумом R(u) по всем
и, которые ортогональны собственному подпространству $ гармониче­
ских или потенциальных функций р. Грубыми нижними границами
Максимально-минимальная теория собственных значений
93
являются, конечно, собственные значения Xj <X2< . . . задачи с мем­
браной, которая была названа основной задачей. Из $ выбиралась
последовательность p v р2, . . . и промежуточные задачи давали уточ­
нение нижних границ, полученных из основной задачи. Главный ре­
зультат заключается в том, что промежуточные задачи могут быть
явно решены с помощью основной задачи и дают очень близкие ниж­
ние границы. Заметим, что в задаче с пластиной было выгодно брать
специальные последовательности в
которые были названы харак­
терными последовательностями. Подобный специальный выбор играет
важную роль и в более поздних достижениях и применениях проме­
жуточных задач к квантовой механике (см., например, [5]). Верхние
границы были получены методом Рэлея — Ритца. Один из первых чис­
ленных результатов, полученных здесь, был установлен в 1935 г. [19]
для наименьшего собственного значения Xj в задаче о прогибе закреп­
ленной квадратной пластинки. Этот результат таков: 5,30362 < Х х<
<5,31173. Приведем также один из наиболее поздних численных
результатов, полученный Баз ли и Фоксом [21] для наименьшего соб­
ственного значения Xj атома гелия: —3,0008 < Xj < —2,9037. Здесь
была применена промежуточная задача другого типа, введенного зна­
чительно позже в 1950—1951 гг. Ароншайном [20].
Попутно заметим, что промежуточные задачи в случае мембран
и пластин привели ко второму доказательству [15] того, что в настоя­
щее время общеизвестно как лемма Вейля, для которой, согласно
работе Го.рдинга [16], имеется по крайней мере семь доказательств.
Для наших целей мы произведем следующее изменение в проме­
жуточных задачах. С этого момента мы предполагаем, что p v р 2, . . .
• • р „ - 1 — произвольные элементы пространства .£), на которые больше
не накладывается стеснительное условие принадлежности собственному
подпространству
Тогда задачи
/?(й) = ш!п, (pt, и) = 0, / = 1, 2, . . . , п — 1; п > 2
(2.1)
уже нельзя считать промежуточными, но мы будем их рассматривать
как обобщенные промежуточные задачи.
Предположим, что только г элементов из p t линейно независимы,
1 ■< г < я — 1. Случай А = />2 = • • • = р п- 1= 0 тривиален, так как
в этом случае Х(0, 0, . . . , 0) = Xj. Без ограничения общности мы мо­
жем предположить, что (pt, p k) = l ik, i, k = 1, 2, . . . , г и p r+l =
= Pr + 2 ==• • • = Pn-l = 0.
Ясно, что минимум R{u) в (2.1) равен наименьшему собственному
значению (п — 1)-й промежуточной задачи, которая определяется урав­
нением для собственных значений
л -1
A u — Yi (Ли, p k) р„ = Хи.
k^l
Обозначим этот минимум через Xf_1, так что
(2.2)
ХГ1 = Црх, р 2, . • •, А-х)Мы будем обозначать через Х Г Ч Х Г Ч . . . и
и \-\ и \-\ ...
(2-3)
собственные значения и собственные функции, определяемые уравне­
нием (2.2). Конечно, старшие собственные значения также могут быть
получены посредством решения цепочки вариационных задач. Иногда
мы будем обозначать собственные значения и собственные функции
нашей исходной задачи (1.1) через X» и й£ вместо Xft и uk.
94
А. Вайнштейн
3. Первая промежуточная задача. Мы начнем с рассмотрения
первой промежуточной задачи, где мы имеем только одну функцию
/> = Pi с (р, р) = 1, и мы должны определить минимум Я (и) по и,
ортогональным к р. Этот минимум есть наименьшее собственное зна­
чение X} уравнения (2.2) для п — 2:
Аи — (Ли, р )р = Хи.
(3.1)
Мы будем пользоваться решением промежуточных задач, данным Вайн­
штейном [1] и Ароншайном [3]. Введем следующие обозначения. Пусть
==
(^„) = 0, 1) означает число собственных значений X*, кото­
рые меньше или равны X®. Обозначим через рь0
кратность собст­
венного значения X® в нашей основной задаче и через ^ (X®) — крат­
ность X® в первой промежуточной задаче. Мы будем рассматривать
функцию W, введенную в 1937 г. (Вайнштейн [1]):
оо
Г ( Х ) ^ Г 01( Х ) ^ £ - ^ £ - .
(3.2)
i =1 1
Эта функция играет фундаментальную роль в решении первой проме­
жуточной задачи при применении основной задачи. Это отражено вве­
дением обозначения 1F01. Функция W (X) положительна для больших
отрицательных X и U7'(X) положительна для W (X) Ф оо. Этот важный
факт мы будем применять- в последующих рассуждениях. Согласно
правилу, данному Ароншайном в 1948 г. [3J, для любого действитель­
ного значения X
М * ) - М * ) = 201(*)>
(3.3)
где 201 означает порядок мероморфной функции Wol.
Мы докажем следующий результат.
Т е о р е м а . П ри произвольном выборе р х мы имеем
К - 1 < х°п’ « = 2 , 3 , . . . .
(3.4)
Кроме того,
4 -1 - К
(3.5)
тогда и только тогда, когда д ля любогодостаточно малого по­
ложительного е
Г(Х°-е)>0
(3.6а)
и в то же время
X°„-i = Х°„
(3.6б>
или когда
W (X® — е) < 0,
•
(3.7)
причем выполнения (3.66) уже не требуется.
В случае X®= X®= ... = X®, д ^ - 2 , согласно замечанию в конце
первой части, мы заключаем, что равенство (3.5) выполнено для любого
выбора р (даже для ' /? = 0). Поэтому мы будем предполагать здесь
и дальше, что для некоторого т~^> 2
Xm—1 Хт = Xm+i — ... = Хл, 2 /и < /г.
(3.8)
Следовательно, N 0 — (j-0 + 1 = т. Утверждение (3.4) содержит первую
часть основной леммы для п = 2, а именно,
(3.9>
^i1 = % 1) < ^ ( = 4
Максимально-минимальная теория собственных значений
95
Сначала мы покажем, что условия (3.6), (3.7) достаточны. Для
доказательства мы рассмотрим несколько случаев. Заметим, что вели­
чина W (Х°) либо бесконечна, либо положительна, либо равна нулю,
либо отрицательна.
С л у ч а й 1. Предположим, что U7(X„) = oo, откуда следует
IF(X® — е ) > 0 . Мы покажем, что N 1(X®) = N 0(X®) — 1 или, короче,
N t = N — 1. В самом деле, вследствие (3.3) одно собственное значе­
ние X® потеряно для спектра первой промежуточной задачи. Под этим
мы понимаем, что
1(3-10)
Если, перемещаясь налево от X®, мы найдем индекс т
для кото­
рого W (X®) = оо, то по общей теории существует новое собственное
значение X1, Х®<^Х1<^Х°, положение которого определяется уравнением
W (X1) = 0. Это собственное значение компенсирует потерю одного Х^.
Такое рассуждение можно повторить. Однако, если, перемещаясь
налево, мы придем к наименьшему X?, для которого W (ХЦ) = оо,
1 < а < 7, то потерю X= X® нельзя компенсировать. Может случиться,
что функция U7(X) остается конечной для Х<Х°. Тогда индекс п
играет роль а, так что опять потеря собственного значения X® не
компенсируется. Таким образом, мы видим, что если U7(X°) = oo, то
всегда
ЛМХ°„)= ЛГ0 (Х0л)? -1 .
(3.11)
Поэтому в первой промежуточной задаче имеется N t — N — 1 собст­
венных значений, которые меньше или равны X®:
Хщ—1 Хт = ... = Xn_j = ... = Х^_1 ( ^ Хл),
в то время как в основной задаче
(3.12)
Xm-l*^
— ••• = Хл = • • • = Х^.
(3.13)
Из (3.12) мы видим, что неравенство (3.4) выполнено, а сравнивая (3.12)
и (3.13), мы заключаем, что (3.5) выполнено тогда и только тогда,
когда п^>т. Другими словами, необходимым и достаточным условием
равенства Xj,_! = X® в настоящем случае является X^_j = X®.
С л у ч а й 2.. Предположим, что значение W (X®) положительно, но
конечно; отсюда вытекает, что Ц7(Х° — е) также положительно. В этом
случае N l (X°n) = N 0(k°n), или, короче, N 1 = N . Действительно, вслед­
ствие (3.3) X® является собственным значением равной кратности.
Если W (Х^) положительно и функция W (X) остается положительной
для всех X^ Х^, то
Xj = X?, / = 1, 2,..., N ,
(3.14)
и поэтому N 1= N . Если, однако, Ц7(Х^) положительно и Ц7(Х®) = оо
для y <^п, то в спектре первой промежуточной задачи имеется собст­
венное значение X® кратности (л0 и другое собственное значение X1,
удовлетворяющее неравенству
Х°<Х1<Х®„.
(3.15)
Конечно, это X1 может оказаться равным одному из X», которые
лежат между X®и X®. Согласно рассмотрениям, проведенным в случае 1;
96
А. Вайнштейн
мы знаем, что при переходе к первой промежуточной задаче в интер­
вале Х<;Х® мы теряем одно собственное значение, что компенсируется
собственным значением X1 в интервале, указанном в (3.15). Поэтому
опять N 1= N . ' Таким образом, в случае 2 мы имеем точно N собст­
венных значений, удовлетворяющих неравенствам
X} < Х^ < ... < Xj_! < . . . < Xjy ( < X®),
(3.16)
откуда вытекает (3.4). Так как кратность Х^ сохраняется, мы получаем, что
4 —1<С 4 = Хт+1 = ... = Xj, = ... = Xjv ( = Хд),
(3.17)
m = N — ja0
1. Э ти собственные значения /равны каждому из ftj
собственных значений основной задачи
Но
^ vO _
Х° —
_
— х°
(3,18)
Лт —1\ Ат — ••• Ап
Поэтому, сравнивая (3.17) и (3.18), мы заключаем, как и в случае 1,
что равенство Xj,_! = X® справедливо тогда и только тогда, когда
Х° 1 =!_х°
кпЛлС л у ч а й 3. Предположим, что U7(X^) = 0, откуда U7(X, — еХ-О.
Тогда существует Х®<Х^, такое, что W (X®) = о о . Вследствие (3.3) мы
получаем, что Pi(Xe) = р0( 4 ) + 1. но возникшее здесь превосходство
в числе собственных значений компенсируется потерей одного собст­
венного значения X1 среди тех, которые лежат в интервале X X®.
Поэтому N x равно N и, следовательно,
=
А ДГ.
4 —1 4 — ••• = 4 — ••• = 4 > 2 -< W
Я,
(3.19)
4 - i - 4 = ... = 4 - i = = * - - = = 4 r ( = 4 ) ,
(3.20)
и
откуда вытекает (3.4) и равенство Х^_! = X® для всех п, удовлетворя­
ющих условию m < п < N.
С л у ч а й 4. Предположим, что W (X®)< ;0; отсюда W (X® — е) < 0 .
Тогда, в силу (3.3), |хх = iv Кроме того, существует X®< X®, для
которого lF(X®) = oo и U7(X)<^0 для Х®<^Х<^Х^, Поэтому в интервале
Х®<Х<Х° нет потери собственных значений, но одно собственное
значение теряется в интервале X^ X®. Следовательно, N x = N — 1.
Поэтому
Х/п—1< Х°т = ... = х® = ... = х®,
(3.21)
И
XJL-1 = . . . = 4 - ! = . . . = 4 - 1 ( = 4 ) ,
(3.22)
откуда вытекает (3.4) и равенство (3.5), Х*_} = Х° (/и '< « < iV ).
Таким образом, достаточность условий (3.6) и (3.7) доказана. Для
доказательства необходимости предположим, что U7 (X® — е ) > 0 и
in = n . Тогда, согласно рассуждениям, проведенным в случаях 1 и 2,
мы видим, что знак равенства в (3.4) невозможен. Следовательно, для вы­
полнения (3.5) необходимо, чтобы было И7(Х® — е) < 0 или W (к°п —■е) > 0
и тп<^п во втором случае.
Ниже мы приводим таблицу, охватывающую четыре случая, рас­
смотренных выше. В последней строке таблицы мы выписали все
индексы k, для которых X* [т. е. собственные значения Xft основной
Максимально-минимальная теория собственных значений
97
задачи (0.3)] равны Х°„. В других строках указаны индексы собствен­
ных значений А* [т. е. собственных значений первой промежуточной
задачи (П.П.З.)], которые равны Х°п. Верхняя строка относится к исклю­
ченному из рассмотрений с самого начала случаю р = О, U7 = 0.
Остальные строки соответствуют четырем возможным случаям значе­
ний W (X ) для Х = Х° и IF ^ O .
П.П.З. W== О
т, т -f 1,..., п,..., N — 1, N ,
П.П.З. W = оо
т ,т + 1,..., п,..., N — 1,
П.П.З. W > О
т ,т -\- 1,..., п,..., N — 1, N ,
П.П.З. Г = 0 т - 1 ,
т, т + 1,..., п,..., N — 1, N ,
П.П.З. Г < О т - 1 ,
т, т + 1,..., п,..., N — 1,
..
0 3
т, т + 1,..., п,..., N — 1, N .
Заметим, что, как следует из этой таблицы,
= Х°„ тогда
и только тогда, когда W (Х°п — е) отрицательно. Кроме того, строка,
соответствующая случаю U7 = 0, тождественна со строкой для
и со строкой, соответствующей основной задаче.
4.
Общий случай. Цель этой части —дать новое доказательство
классического утверждения
biPvPv-Pn-lXK
(4Л)
и установить необходимое и достаточное условие того, что здесь
выполняется знак равенства. В тривиальном случае р х = р2 = ••• =
= /?„_1 = 0 неравенство (4.1), очевидно, справедливо, так как оно
означает, что Хх^ Хп. Поэтому мы предполагаем, что (pt, p k) = bik,
(i,k = 1, 2,..., г), 1 < г < я — 1 и р г+х — Рг+ 2 == ■•• = Рп- 1 = 0.
Чтобы сформулировать нашу теорему, мы применим определитель
Wh{X), введенный Вайнштейном [1, 18] в 1935—1937 гг.:
U M X )^d et
( P i,U j)(P k .
Xj — X
uj)
i, &= 1, 2
h, /г = 1 , 2 .....r.
(4.2)
Главными минорами Wh являются W x,
Wh, где функция W x = Wot
уже рассматривалась в третьей чести. Каждая из этих функций есть
мероморфная функция от X, так что для всех достаточно малых поло­
жительных е либо Wh (Хл — е ) 0, либо Wh(Xn — е)<^0. После этих
предварительных замечаний мы можем сформулировать наш главный
результат.
Т е о р е м а . П ри произвольном выборе р х, р 2, .. ., рп_х имеет
месЫо неравенство
Ч/>1>
P n -iX K ’
(4-3)
где Хп = Х°п. Необходимым условием для равенства в (4.3) являет ся
условие г ^ т — 1. Если это условие выполнено, то необходимым
и достаточным условием равенства
Х ( А , А - - , / V i ) = X„
являет ся следующее условие А(s —положительное, достаточно
малое число):
7
Математика № 5
98
А. Вайнштейн
(A)
. В случае когда значение W x (Ая — е) отрицательно, после­
довательность
W lt W2,..., W ,_v Wr
(4.4)
в точке А= АЯ—е меняет знак ( т ~ 2) раза.
Другими словами, нарушение чередования знака членов этой после­
довательности происходит точно в (г — т 1) случаях, которые
могут встретиться в любом месте.
(B)
. В случае когда значение W 1(Ая — е) положительно, после­
довательность (4.4) меняет знак точно (да — 1) раз.
Другими словами, чередование знака членов этой последователь­
ности нарушается в (г — да) случаях, которые могут встретиться в лю­
бом месте.
В случае да = я = 2 имеется только один элемент в последова­
тельности (4.4), и этот элемент W 1= W01 отрицателен. Это можно
рассматривать как специальный случай в (А).
Доказательство теоремы основано на неоднократном применении
результатов п. 3. Если мы рассмотрим первую промежуточную задачу
как основную для второй промежуточной задачи, то
ОО
1
(4-8)
1 Х'- ~ Х
будет играть роль функции W01 третьей части. Аналогично мы опре­
деляем функцию W iti+1, которая применяется при переходе от i -й
промежуточной задачи к (/ + 1)-й промежуточной задаче, г = 0, 1, 2,...
...,г —1. Конечно, функции W lti+l тождественно равны нулю для i = г,
г -f-1,..., п — 2.
Последовательное применение (3.4) приводит к соотношению
х г 1< х 2"~2< - . . < х и < . . . < х ] 1- 1< х 0„ = хл,
(4.6)
что доказывает (4.3). Равенство А?-1 = Х°п выполнено тогда и только
тогда, когда знак равенства стоит всюду в (4.6).
Покажем теперь, что если в (4.3) выполняется равенство, то
r ^ m — 1. С этой целью обозначим через m t наименьший индекс,
такой, что в /-й промежуточной задаче А^ = А®. Так как всюду в (4.6)
мы имеем равенство, то 1 < д а г< / г — i. В частности, тп^~= 1. С дру­
гой стороны, согласно таблице в конце третьей части (очевидно,
справедливой для двух последовательных промежуточных задач), мы
находим, что или
mt = да;_„
(4.7)
или
1 — 1,
(4.8)
где т0 = т. Это показывает, что т — г < д а г <;да. Кроме того, оче­
видно, что тг = тг+1 = . . . = т„ _ ,. Следовательно, т — г ^ т г =
= да„_1 = 1, откуда г > да — 1.
Предположив, что г ^ д а — 1, мы докажем следующий результат:
необходимым и достаточным условием равенства А”-1 = Ая является
выполнение (4.8) для (да — 1) значений i в произвольном порядке.
Действительно, предположим, что А”-1 = А®. Тогда тп_х = да — sn_x,
где s x есть число случаев, когда выполнено (4.8) при переходе от
основной задачи к /-й промежуточной задаче. Но так как тп- х = \,
то 5„_j = да — 1, чем устанавливает*! необходимость условия. Чтобы
99
Максимально-минимальная теория собственных значений
доказать достаточность, предположим противное:
существует целое А, такое, что
= А*_*+1 = ... =
А"
Тогда
= А^,
(4.9)
где 0 < А < я — 1. Из неравенства
а£ * - 1 < а2_*.
(4.10)
согласно таблице в третьей части, вытекает, что n — k = mk и что
функция W f t ) f t + 1( A ) или тождественно равна нулю, или положительна
в точке A Ая — е. В любом другом случае мы имели бы равен­
ство в (4.10). Кроме того, mk = m — sk, а также тк = п — А. Следо­
вательно, мы видим, что sk = тп — п -f А. Поэтому при переходе от
основной задачи к А-й промежуточной задаче равенство (47) выпол­
няется k ~ sk = п — m раз. По предположению, равенство (4.8) выпол­
нено для (m — 1) значений i при переходе от основной задачи к (п—1)-й
промежуточной задаче. Поэтому в оставшихся (п — 1 — А) шагах от
А-й задачи к (п — 1)-й промежуточной задаче равенство (4.8) выпол­
няется (тп — 1 — sk) = (п — 1 — А) раз. Отсюда Wbt fc+1 (A*_* — е) =
= W k)k+1 ( А л — е) отрицательно; полученное противоречие доказывает
достаточность нашего условия. Теперь ясно, что мы можем сформули­
ровать наш результат следующим образом.
К р и т е р и й . Необходимым и достаточным условием равен­
ства А?-1 = А°п (=АП) являет ся наличие в последовательности
Г 01, Г 12,..., Г г_ 1>г, г > т - \ ,
(4.11)
вычисленной в точке An — s, точно (т — 1) элементов, для кото­
рых W h_ 1>й отрицательно. Остальные ( г— + 1) элементов
положительны.
Чтобы завершить доказательство нашей теоремы, которая выра­
жает критерий через основную задачу, нам необходима следующая
формула Ароншайна [22] (см. также книгу Гулда [7], стр. 143):
Wh = W0lW n ...W h_Uh.
'
'
(4.12)
Следовательно, если И701(АЯ— s) отрицательно и существует (т — 1)
отрицательных элементов в (4.11), то последовательность (4.4) меняет
знак точно (т — 2) раза. Аналогично если значение Н701(АЯ—е) поло­
жительно, то последовательность (4.4) меняет знак (т — 1) раз, чем
и завершается доказательство.
Нетрудно проверить справедливость критерия для классического
выбора Pi = u h i = 1, 2,..., п — 1. В этом случае W h есть произведе­
ние сомножителей (А^ — А)-1, у = 1, 2,..., А. Следующий пример пока­
зывает, что равенство выполняется для другого выбора p t. Предполо­
жим, что Aj-< А2< А 3> и возьмем р 1= и 1— аиг, где 0 < а 2<С(А3 —
— А2)/(А2 — Aj). Легко проверить, что значение W l (А2 — е) отрицательно
и что A ( / ? j ) = A2 д л я всех этих p v Для большей общности предполо­
жим, что оператор А имеет бесконечное число собственных значений
A j< А2< . . . Пусть
Aft[ = ( l + « |) - '/»(% + « A +ft). А = 1, 2,..., п — 1.
' (4.13)
Тогда (pj, p k) = bik. Следовательно, Wn+1 имеет отличные от нуля эле­
менты на диагонали, причем элемент в А-й строке и А-м столбце равен
7*
100
А. Вайнштейн
Ясно, что существуют значения ak, для которых выражение, обозна­
ченное (4.14), отрицательно для X= Хл — е. Поэтому, согласно критерию,
равенство X?-1 = 1°п выполняется для любого выбора р к.
Краткое резюме некоторых результатов этой работы опубликовано
в M athem atical Society Notices, 9, 1962, 140.
Автор хочет выразить благодарность д-ру Р. Вайнахту за его неоце­
нимую помощь при подготовке рукописи и за его советы.
ЛИТЕРАТУРА
1. W e i n s t e i n A., Etude des spectres des equations aux derivees partilles de la
theorie des plaques elastiques, Memorial des Sciences Mathematiques, fasc. 88,
Gauthier-Villars, Paris, 1937.
2. A ron $*za j n IN., W e i n s t e i n A., Existence, convergence and equivalence in
the unified theory of plates and membranes, Proc. N at. Acad. ScL, 27 (1941),
188— 191; On the unified theory *of eigenvalues 6f plates and membranes, A m er.
Jourtu o f Math., 64 (1942), 623.
3. A r o n s z a j n N., Rayleigh-Ri tz and A. Weinstein methods for approximation of
eigenvalues I, II, Proc. N at. Acad. Sci., 34 (1948), 474—480, 594—601.
4. W e i n b e r g e r H. F., A theory of lower bounds for eigenvalues, Inst, for Fluid
Dynamics and AppliedSMath., University of Maryland, Tech. Note, BN-183, 1959.
5. B a z l e y N. W., Lower bounds for eigenvalues J. Math, and Mech., 10 (1961),
289—308, Lower bounds for eigenvalues with -application to the helium atom,
Phy&. R e v 120 (I960), 144—149.
6. B a z l e y N. W., F o x D. W., Truncations in the method of intermediate problems
for lower bounds to eigenvalues, J. Res. N at. Bureau Stds., 65B (1961), 105— 111.
7. G o u l d S. H., Variational Methods for Eigenvalue Problems, University of Toronto
Press, Toronto, 1957.
8. D i a z J. B., Upper and lower bounds for eigenvalues, Proc. Eighth Symposium on
Applied Math., Am. Math. Soc., pp. 53—78, 1958.
9. C o u r a n t R., Variational methods for the solution of problems of equilibrium
and vibrations, Amer. Math. Soc. B ull ., 49 (1943), 1—23.
10. W e у l H., The method of orthogonal projection in potential theory, Duke J., 7
(1940), 411—444,
11. W e y l H . , Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linear partieller
Differential gleichungen, Math. Ann., 71 (1911), 441—469; Uber die Abhangigkeit
der Eigenschwingungen einer membran von deren Begrenzung, J. Reine Angew.
Math., 141 (1912), 1—11.
12. W e у l H., Ramifications, old and new, of the eigenvalue problem, Am er. M ath.
, Soc. Bull., 56 (1950), 115— 139.
13. К у р а н т P., Г и л ь б е р т Д., Методы математической физики, т. I, Гостехиздат, 1951.
14. R i e $ z F,, S z - N a g y В., Functional Analysis, F. Ungar Pub. Со., New York, 1955.
15. W e i n s t e i n A., On the decomposition of a Hilbert space by its harmonic subspace, Amer. J. Math*, 53 (1941), 615—618.
16. G i r d in g L., On a temma by H. Weyl, Fysiografiska Sallskapets i Lund Forhandlingar, 20 (1950), 1—4.
17 W e i n s t e i n A., Bounds for eigenvalues and the method of intermediate problems,
Proc. International Conference on Partial Differential Equations and Continuum
Mechanics, Univ. of Wisconsin Press, 1961, 39—53.
18. W e i n s t e i n A., Sur la stabilite des plaques encostrees, C. R. Acad. Sci. P a r is ,
200 (1935), 107— 109.
19. W e i n s t e i n A., On a minimal problem in the theory of elasticity, J. London
' Math. Soc., 10 (1935), 184-192.
Максимально-минимальная теория собственных значений
101
20. A r o n s z a j n N., Approximation methods for eigenvalues of completely continuous
symmetric operators, Proc. Symp. on Spectral Theory and Differential Problems,
Stillwater, Okla (1951).
21. B a z l e t y N. W., F o x D. W., Lower bounds for eigenvalues of Schrodinger’s equa­
tion, Phys. Rev., 124 (1961), 483—492.
22. A r o n s z a j n N., The Rayleigh—Ritz and Weinstein methods for approximation of
eigenvalues, Tech. Report № 1, Okla A. and M., 1949.
23. T e m p l e G., B i c k l e y W. G., Rayleigh’s principle and its applications to engi­
neering, London, 1933.
24. B a z l e y N. W., F o x D . W., A procedure of estimating eigenvalues, J. M ath.
Phys., 3 (1962), 469—471.
25. B a z l e y N. W., F o x D. W., Lower bounds to eigenvalues, Arch. Rat. Mech.
Analysis, 10 (1962), 352—360.
26. V e l t e W., Uber ein Stabilitatzkriterium der Hydrodynamick, Arch. Rat. Mech.and
Analysis, 9 (1962), 9—20.
