Колебания в цепях переменного тока: учебное пособие

КОВЫЛОВ Н.Б.
КОЛЕБАНИЯ
в цепях переменного тока
Введение в раздел «Колебания и волны»
Изучение колебаний в электрических цепях основано на анализе временных зависимостей циркулирующих в цепях токов, напряжений в разных узлах цепей. Методика такого
анализа требует знания основных законов электротехники, умения составить уравнения, решить их для конкретных видов цепей.
Данный раздел предваряет краткое изложение теории цепей переменного тока, как
пособие к теоретическим основам экспериментов по изучению разнообразных колебательных процессов в электрических и электронных устройствах.
Перед выполнением очередной работы необходимо описать исследуемый объект
(схему, уравнение базового процесса) и после этого идентифицировать его с натурным образцом в лабораторной установке.
Далее осмысливается порядок работы, производится сборка и проверка установки и
проверяется работоспособность всех ее модулей.
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Значительная часть электрических устройств функционирует за счёт электрической энергии, и подавляющая доля процессов в них связана с колебаниями электрических зарядов
внутри физической среды. Направленное перемещение зарядов в одну и другую сторону от
начального положения и есть переменный электрический ток.
Ток является проявлением взаимодействия носителей зарядов, с макрополями электрического или стороннего происхождения. Носителями зарядов внутри металлов являются свободные электроны, в растворах – положительные и отрицательные ионы, в газах, под действием ионизирующих факторов – также ионы.
Следствиями возникновения тока в веществе могут быть:
- преобразование электрической энергии в другие её виды – механическую, тепловую,
химическую;
- возникновение магнитного поля;
- излучение электромагнитных волн;
- нарушение биологических процессов.
Если на пути тока в проводнике вообразить поверхность, нормальную к направлению
dQ
движения зарядов (поперечное сечение), то величина i 
называется мгновенным значениdt
ем тока и в общем случае является функцией времени. И в электротехнике, и в более слабо-
1
точных – радиотехнических цепях, используются периодические токи, признаком которых
является соотношение: it  T   iT  , где T – период колебаний.
В цепях, использующих значительные мощности (киловатт и более), применяются генераторы синусоидальных токов. В таких генераторах вырабатывается ЭДС, которая описывается выражением e  Em  sin t    , в котором e – мгновенное значение ЭДС, E m – амплитуда колебаний,  - начальная ваза колебаний, а t   текущая фаза. Изменение электрической величины во времени по закону синуса (косинуса) называют гармоническим электрическим колебанием. Наиболее распространены переменные токи, зависящие от времени
именно по гармоническому закону: i  I m  cost    (1).
Соотношение мгновенного, среднего и действующего тока.
Любой переменный ток i  f t  используется потребителем электрической энергии для
разных целей: получения механической энергии, получения тепла и холода, генерирования
электромагнитных волн (в т.ч. – светового излучения) и других целей. Для оценки действия
переменного тока используются два параметра: среднее значение тока и его действующее
значение.
Среднее значение тока вычисляется за время, кратное периоду:
kT
T
1
1
(2).
i (t )dt   i (t )dt
Iсс 
kT 0
T 0
что совпадает с формулой математического ожидания.
Действующее значение переменного тока численно равно величине такого постоянного
тока, имеющего адекватное тепловое действие.
T
I действ
1 2
i t dt
T 0
(3)
Среднее значение тока характеризует заряд, протекающий за период через любую точку
электрической цепи. Действующее значение характеризует количество тепла, выделившегося на активном сопротивлении нагрузки за период.
I
I
Если в цепи протекает гармонический ток, то I ср  m , I д  m .

2
Электроизмерительные приборы градуируются именно в действующих значениях тока и
напряжения.
Пример 1. Требуется записать мгновенное значение напряжения в розетке бытовой электрической цепи, если его амплитуда равна 310 В , а частота 50 Гц . Момент начала отсчёта
совпадает с началом косинусоидального цикла.
Решение. В показательной форме U  310  e j314t В .
В тригонометрической форме U  310  cos314  t В .
Пример 2. По данным примера 1 вычислить действующее и среднее значение напряжения.
U
U
310
310
 220 В . Среднее значение U ср  m 
 179 В .
Действующее значение U  m 
2 1.41
3 1.73
От законов электромагнетизма – к свойствам элементов цепей.
По степени отклика на приложенное напряжение все элементы можно разделить на три
группы: резистивные, индуктивные и ёмкостные сопротивления. Из закона Ома вытекает основная модель резистивного сопротивления R: U R  R  i .
(6)
2
Закон электромагнитной индукции связывает падение напряжения с динамикой изменеdi
ния тока через индуктивность L: U L  L
(7)
dt
Из определения электрической ёмкости С следует, что Qc  C  U C , откуда получим
dQC
dU C
1
, или U C   idt . (8)
iC
dt
dt
C
Выражения (6), (7) и (8) представляют собой математические модели соответственно резистивного, индуктивного и ёмкостного сопротивлений.
Пример 3.
1. Ток через индуктивность L  0.1Гн падает за 0,1с с 1 А до 0,5 А равномерно. Найти
падение напряжения на индуктивности.
1  0.5  0.5В .
di
Решение: В соответствии с (7) U L  L  0.1 
dt
0.1
2. Напряжение на конденсаторе ёмкостью 10мкФ в начальный момент времени равно
10В. Чему будет равно напряжение через 0,05с, если ток будет равен 10 А . Обратим внимание, что падение напряжения будет зависеть от направления тока: при заряде он считается
положительным, при разряде – отрицательным.
t
1
U C  U 0   idt  10  500 B .
C0
Гармонические колебания и функции комплексного
переменного.
Как известно, выражение
i  I m  cost    (10)
может быть ассоциировано с, так называемой, векторной диаграммой (рис.1). Здесь вектор ОА символически
изображает так называемый комплекс тока. Если этот вектор вращается относительно своего начала против часовой
стрелки с угловой скоростью , и модуль этого вектора
равен I m , то длина проекции вектора на ось действительных чисел совпадает с (10).
Теория функций комплексного переменного позволяет
записать (10) в виде показательной функции
i  I m  e j t   (11).
Известно, что выражение (11) можно записать также в
виде i  a  j  b (алгебраическая форма записи) и в виде
i  I m cost     j  sin t    .
Наконец, то же самое можно записать алгебраически:
(12),
i  A  jB
где A  I m cost    , B  I m sin t    .
Все приведённые четыре интерпретации гармонических процессов абсолютно идентичны, но при решении
конкретных задач одна из них может значительно упро- Рис.1. Векторная диаграмма для
щать расчёты. Например, при выражении напряжения и тока, описываемого выражением
комплексного сопротивления в колебательной форме (1). Вектор вращается против часовой стрелки с частотой  .
( u  U m  e jt и Z  R  e j ) значительно проще найти ток
3
U U m t 
). Нужно только помнить, что физический смысл имеет лишь выражения

e
Z
Z
вида (1), которые всегда можно выделить из любой вышеприведенной формы записи.
I
Пример 4.
Изобразить на векторной диаграмме положение векторов тока и напряжения на нагрузке
Z, если U Z  10  e 50t 0.75 , iZ  5  e 50t 1.57 .
Решение:
Длина вектора U Z равна 10В (в условно выбранном масштабе
напряжений), начальная фаза  И  0,875 рад  45градусов .
Длина вектора iZ равна 5А (в условно выбранном масштабе для
токов), начальная фаза  i  1.57 рад  90 градусов .
Комплексный характер сопротивления участка электрической
цепи.
Сопротивление участка цепи Z может быть определено как коэффициент пропорциональности между током и падением напряжения на этом участке.
U  Z  i (13). При использовании во время анализа комплексной формы представления для
колебаний тока и напряжения, величина полного сопротивления этого участка также может
получить комплексные значения. При этом, модуль комплексного сопротивления устанавливает пропорциональность между значениями тока и напряжения, а его фаза определяет сдвиг
фаз между этими синусоидально изменяющимися величинами.
Если воспользоваться моделями (6), (7) и (8), нетрудно исследовать свойства резистивного, индуктивного и ёмкостного сопротивлений в цепях гармонических токов.
В самом деле, если ток i описывается выражением (11), то
(14)
U R  R  I m  e j t  
di
U L  L  jLI m  e j t  
(15)
dt
Известно, что j  e
j

2
, поэтому U L  jLI m  e


j  t   
2

(16)
что говорит об опережении фазы колебаний напряжения на угол
тока. U C 
1
1
idt 
I m e j t  

C
jC

2
по отношению к фазе
(17)



j  t   

I
1
2
Учитывая, что   j  e 2 , получим U C  m e 
(18)
C
j

Таким образом, напряжение на ёмкости отстаёт по фазе на
от тока.
2
Из выражений (14), (15) и (17) с помощью (13) нетрудно получить выражение для сопротивлений элементов гармоническому току с угловой частотой  
1
(19)
Z R  R , Z L  jL , Z C 
j C
Если R , L и C не зависят от i или U , то это – линейные цепи. В других случаях мы
имеем дело с нелинейными цепями. К последним относятся емкостные элементы, управляемые напряжением (варикапы), транзисторы, газонаполненные лампы, диоды, операционные
усилители и множество других элементов современных цепей.
Основные законы цепей электрического тока.
4
Принцип непрерывности электрического тока требует рассмотрения полных цепей, в которых линии тока как траектории движения зарядов являются замкнутыми. Закон Ома, выведенный им для участка цепи, i  U k  Z k , оказывается справедливым и для полной неразветвлённой цепи: i 
 e . В этих выражениях участвуют мгновенные значения ЭДС ( e ),
Z
i
i
k
напряжения ( U k ) и комплексные сопротивления источников энергии и нагрузок ( Z k ).
Реальные цепи являются, как правило, разветвлёнными, и для них действуют два закона
Кирхгофа: первый – для любого узла электрической цепи сумма втекающих в него токов
равна сумме вытекающих токов, т.е.
(21),
 in  0
второй – в любом замкнутом контуре с током алгебраическая сумма ЭДС, встречающихся по ходу тока, равна алгебраической сумме падений напряжений на элементах этого контура:
(22).
 ek  U k  i  Z k
Из законов Кирхгофа, как следствие, вытекают важные свойства цепей:
1. Комплексное сопротивление цепочки последовательно соединённых сопротивлений
равно сумме их комплексных сопротивлений,
2. Обратная величина комплексного сопротивления – комплексная проводимость равна
сумме их комплексных проводимостей.
Пример 5.
Найти комплексное сопротивление участка цепи между точками a и б на частоте
1000Гц , если L  0.01Гн , С  10 нФ , R  50Ом .
Решение: искомая величина Z есть обратная величина проводимости, которая, в свою
очередь равна сумме проводимостей ветвей цепи:
1
1
, G2  jC ,
Z  , G  G1  G2 , G1 
R  jL
G


1
R
L
.
G
 jC  2
 j  C  2
2
2 
R  jL


R  L 
R


L


50
0.01 

 j  6280  0.001 
При переходе к числам: G 
  0.0078  j  6.3 ,
2500  3944
6400 

1
0.16
Z   0.0002  j  0.16 , tg  
 800 ,   89.3градуса . Z  0.16  e  j89.3 .
G
0.0002
Упрощенные методы расчёта стационарных токов в электрических цепях.
Если в электрической цепи действует несколько ЭДС с одинаковой частотой колебаний
(или одна ЭДС), множитель e jt в выражениях для токов и напряжений можно опустить без
ущерба для точности расчёта режимов цепи. С этой целью вводится понятие комплексной
амплитуды тока и напряжения:
(23)
I  I m  e j
где  начальная фаза колебаний тока,
(24)
U  U m  e j
где  начальная фаза колебаний напряжения.
В (23) и (24) большие буквы с точкой наверху являются символами комплексных амплитуд. Поэтому метод, основанный на использовании понятий комплексных амплитуд, называется символьным методом.
5
В этом методе расчёта стационарных процессов (которые не являются реакцией цепи на
 E , а
любые подключения) используются формально записываемые законы Ома (25): I 
Z экв
также 1-й закон Кирхгофа  I  0 и 2-й закон Кирхгофа  i Z   E .
k
k
k
n
При составлении уравнений для токов или напряжений производится упрощение схемы,
используя следствия предыдущего раздела, выделяются неразветвлённые контуры с токами,
направление которых выбирается произвольно.
Пример 6.
Определить действующее значение тока через резистор R  50Ом , создаваемый напряжением 27 В при частоте 400 Гц , если последовательно с ним включен конденсатор
200Мкф .
Решение. Поскольку требуется найти действующее значение тока, частота требуется
только для определения комплексного сопротивления. Решение поэтому целесообразно провести методом комплексных амплитуд. Найдём комплексное сопротивление всей цепи:
1
Z  R
 50  j  0.3Ом .
j C
По закону Ома найдём ток:
U
27
I 
 0.54  j  0.003 A
Z 50  j  0.3
Пример 7.
Через некоторую нагрузку течёт ток 5  5  j A . Найти напряжение на нагрузке, если её
комплексное сопротивление Z  10  j  2Ом .
Решение. По закону Ома U  I  Z  5  j  5  10  j  2  40  j  60 В .
Значение амплитуды определяется по теореме Пифагора: U m  40 2  60 2  72 В .
U
Действующее значение U  m  51В .
2
60
Угол между векторами тока и напряжения j  arctg .
40
Несинусоидальные периодические токи и принцип суперпозиции в линейных электрических цепях.
Известно, что любая несинусоидальная периодическая функция может быть разложена в
ряд Фурье с коэффициентами, показывающими вклад токов (напряжений) с частотами, кратными основной, которые называются гармониками.
В общем виде

U t   U 0   C n  sin nt   n 
(28).
n 1
Если приведённое напряжение воздействует на участок цепи с сопротивлением Z  f   ,
то каждое из слагаемых в сумме (28) породит компоненту тока с частотой « n », а принцип
суперпозиции позволит найти общий ток в цепи как сумму частичных токов:

U
C  sin nt   n 
i t   0   n
(29).
Z 0  n 1
Z n 
Если известны действующие значения напряжений каждой из гармоник U k , то результирующее действующее значение напряжения U определяется выражением:
6
U  U1  U 2    U k  
2
2
2
(30).
Аналогично находится действующее значение несинусоидального тока.
Всё сказанное относится только к линейным цепям.
Принуждённые и свободные токи в цепях.
Любой переменный ток представляет собой колебательный процесс, который связан с
обменом энергией между реактивными элементами цепей – индуктивными и ёмкостными
сопротивлениями. Из теории колебаний известно, что их можно разделить на свободные и
вынужденные. С математической точки зрения наличие правой части в дифференциальном
уравнении колебательного процесса (неоднородном) означает, что решение его состоит из
двух слагаемых: общего решения однородного уравнения (без правой части) и частного решения неоднородного уравнения.
В качестве последнего выступает режим установившихся колебаний, который определяется методами, изложенными в предыдущих разделах. В электротехнической литературе
этот режим именуется принуждённым током, а в радиотехнической – вынужденными колебаниями.
В противовес им свободный ток или свободные колебания возникают при изменении
условий поступления в цепи энергии извне, что связано с коммутационными процессами.
Изменение состояния цепи от одного установившегося процесса к другому при коммутации источников энергии или элементов цепи называется переходным процессом. Расчёт переходного процесса сводится к следующим стадиям.
1. Составление дифференциального уравнения. Используется второй закон Кирхгофа,
если цепь неразветвлённая, либо выделяются замкнутые независимые контуры с токами, и
для каждого составляется своё уравнение, и все уравнения решаются совместно.
2. Решение уравнения производится двумя путями: классическим, с использованием
корней характеристического уравнения, либо операторным методом, переводящим расчёт в
плоскость алгебры с последующим использованием таблиц изображений.
3. Расчёт принуждённого процесса любым способом.
4. Нахождение постоянных интегрирования, для чего используются две теоремы:
- напряжение на конденсаторе до коммутации равно напряжению после коммутации( U C 0   U C 0  
- ток через индуктивность после коммутации равен току до коммутации
i L 0   i L 0   .
5. Суммирование принуждённого и свободного токов с учётом постоянных интегрирования.
Пример 9.
Расчёт переходного процесса при включении нагрузки с емкостной нагрузкой под переменное напряжение.
L  0.001 Гн , R  100 Ом , С  0,05Ф , E  30 e j 100000 t  .
1. Составление дифференциального уравнения.
Используя модели (6), (7), (8) и второй закон Кирхгофа (22), нетрудно получить уравнение
di 1
Ri  L   idt  E t  ,
dt C
дифференцирование по t даёт каноническую форму уравнения:
d 2i
di 1
dE
L 2 R  i
.
dt C
dt
dt
Характеристическое уравнение получается заменой второй производной на x 2 , первой –
на x , искомого тока i – на x 0 .
7
1
R
1
 0 , или x 2  x 
 0.
C
L
LC
Данное уравнение имеет два корня, которые при подстановке исходных данных имеют
величину
Lx 2  Rx 
x1  
R
R2
1


 100000
2
2L
LC
4L
R
R2
1


 0.2
2
2L
LC
4L
При двух действительных корнях решение однородного дифференциального уравнения
5
имеет вид icв  Ae 10 t  Be 0.2t .
Постоянные интегрирования могут быть найдены из двух начальных условий:
i0  0 (ток до замыкания цепи отсутствует),
di
L  E m (в момент замыкания возникает ЭДС самоиндукции, препятствующая скачку
dt
тока через индуктивность).
E
Следовательно, A  B  0 ,  100000 A  0.2 B  m .
L
Откуда A  0.005 E m , B  0.005 Em . Окончательно в данном случае свободный ток опреx2  
деляется выражением: iсв  0.005  e 10 t  0.005  e 0.2t .
5
Принуждённый ток легко определяется по закону Ома i  U
Z
.
1
1 

j
 R  j  L 
  Z e
j C

C


Z  R  j L 
2
1 

Z  R   L 

C 

E m e j t  
U E e j t
i  m

Z
Z
1 

R 2   L 

C 

2

j 10000 t 

4
i  0.2e
A.
Таким образом, полный ток определится выражением

j 10 5 t 

4
i  0.2e
 0.005e 10 t  0.005e 0.2t
Задание: постройте график i(t) с помощью программы DERIVE.
5
Специальные аналоговые функции преобразования переменных токов.
В ряде экспериментов бывает необходимо вывести на измерительный прибор напряжение, пропорциональное производной от некоторого другого сигнала, либо равное интегралу от него. Оказывается, использование режима переходного процесса решает эти задачи достаточно просто. Рассмотрим варианты дифференцирующих и интегрирующих цепочек, а
анализ процессов в них проведем операторным методом. Подробно этот метод описан в [2],
поясним лишь главное.
Операторный метод является наиболее формализованным и механизированным приемом
решения дифференциальных уравнений. Суть его состоит в том, что формальной заменой
множителя j в выражении для комплексного сопротивления участка цепи на оператор «p»
получается изображение комплексного сопротивления. Далее записывается дробь, числитель
8
которой равен E, если ЭДС постоянная величина и pE, если ЭДС синусоидальна с частотой
. В знаменатель записывается изображение комплексного сопротивления. Оригинал функции тока в переходном режиме находится с помощью таблиц.
Пример 10.
Рассмотрим расчет выходного напряжения RC-цепочки в 1-м включении.
Изображение функции тока в этом
случае примет вид:
U ( p)
I ( p)  1
1
R
pC
Изображение напряжения на выходе по закону Ома
RU1 ( p)
U 2 ( p)  I ( p) R 
1
R
pC
Если выбрать параметры R и C так, чтобы
рRC было значительно меньше единицы,
то U 2 ( p)  pU1 ( p) , что по определению
d
означает u2 (t )  u1 (t ) , т.е. дифференциdt
рование.
Во втором включении
1
U ( p)
, и U 2 ( p)  I ( p)
I ( p)  1
1
pC
R
pC
Изображение выходного напряжения приобретает
вид
1
U1 ( p )
pC
, а при рRC
U 2 ( p) 
1
R
pC
значительно больших единицы
1
U 2 ( p )  U1 ( p ) , что означает
p
u2 (t )   u1 (t )dt , т.е. интегрирование.
Использование теории четырёхполюсников для анализа цепи.
Четырёхполюсник – это часть электрической цепи, в которой явно выделяются два провода (полюса) как его вход и два полюса как выход.
Входные величины (ток и напряжение) обозначаются индексом «1», а выходные – индексом «2». Система уравнений четырёхполюсника имеет канонический вид:
U1  AU 2  BI 2 ,
I1  CU 2  DI 2 ,
при этом AD  BC  1 .
9
Из последнего выражения видно, что у четырёхполюсника из четырёх параметров
( A, B, C, D ) три являются независимыми. Значит, эквивалентная электрическая схема любого
четырёхполюсника может быть составлена минимум из трёх элементов, соединённых либо
по Т-образной, либо П-образной схеме.
Связь параметров Z n , Yn и A, B, C, D устанавливается с использованием законов
Кирхгофа и Ома. Отношение выходного напряжения к входному U2/U1 называется коэффициентом передачи по напряжению. Так как U1 и U2 комплексные числа, коэффициент передачи К тоже комплексный:
U
K  m 2 e j  2 1 
U m1
U m2
Зависимость
от частоты называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ).
U m1
Зависимость  2  1  от частоты называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ). ОтU U
ношения же 1 , 2 называются соответственно входным и выходным сопротивлением чеI1 I 2
тырёхполюсника.
Таковы основы расчета электрических цепей, которые полезно использовать при анализе
методик проведения экспериментов с электрическими и магнитными явлениями.
ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ С ЦЕПЯМИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА.
Работа №1.Исследование поведения конденсатора в цепи с импульсным напряжением.
Цель работы: изучение техники эксперимента, позволяющей одновременно наблюдать
изменения токов и напряжений в цепи, содержащей конденсатор и активные сопротивления.
Инструментом, позволяющим визуально наблюдать непрерывное изменение во времени электрической величины, служит электронный осциллограф. Если такой электрической
величиной является напряжение (разность потенциалов), то для наблюдения достаточно подать её на вход канала вертикального отклонения (вход «Y»). Если же требуется наблюдать
изменения тока, в цепь этого тока i включается активное сопротивление R небольшой величины, не искажающее режим основной цепи. Падение напряжения на R , определяемое по
закону Ома как U  R  i , также подаётся на вход «Y» и при R  const отображает изменение тока во времени.
Для получения на экране исследуемой зависимости эксперимент целесообразно осуществить в режиме чередующихся процессов заряда
и разряда конденсатора. Упрощённая схема исследуемой цепи приведена на рисунке.
Наблюдение зависимости напряжения (или
заряда) на конденсаторе производится подключением ЭО к выводам «1» и «земля», а зависимости тока – к выводам «2» и «земля».
10
Для того чтобы процесс циклически повторялся, вместо источника постоянного тока надо
включить источник прямоугольных импульсов с не очень высокой частотой следования. Тогда в интервалы времени с положительными импульсами будет проходить заряд конденсатора, а в паузах – разряд.
Блок-схема установки для выполнения данной работы приведена на
Рис. 1.1.
С помощью данной установки,
меняя параметры R3 , R р и С , можно
по кривым заряда и разряда на экране
осциллографа определить время спада
или нарастания напряжения вдвое
Рис. 1.1. Блок-схема установки для наблюдения процессов
( t 1 ), и рассчитать время релаксации
заряда и разряда конденсатора: ИП - источник питания,
2
МС - магазин сопротивлений, МЕ - магазин емкостей,
цепи:
ЭО - осциллограф, ФГ - генератор,
t  RC  1.4425  t 1
( ).
ФПЭ  08 - функциональный модуль.
2
Рис1.2
В теории колебаний применяется
изучение переходных процессов методом фазового портрета. Состоит он в получении зависимости производной тока по времени от самого тока, либо производной от напряжения от напряжения
(Рис. 1.2).
Фазовый портрет позволяет достичь большей
наглядности при изучении переходных (коммутационных) процессов в цепях, способных запасать и отдавать
энергию. Чтобы получить фазовый портрет процесса
заряда и разряда конденсатора, в блок-схему. достаточно добавить дифференцирующую RC-цепочку
Между выводами 1-2 схемы и входом «Х» осциллографа и при этом отключить в осциллографе горизонтальную развертку.
Рис. 1.2. Пример фазового портрета
разряда конденсатора при разных
нагрузках.
Задания на проведение эксперимента:
1. При постоянной величине ёмкости конденсатора МЕ (заданной преподавателем)
определяется зависимость постоянной времени заряда от ограничительного сопротивления
МС 2 .
2. При постоянной величине ограничительного сопротивления МС 2 (заданной преподавателем) определяется зависимость постоянной времени заряда от ёмкости конденсатора
МЕ .
3. При постоянной величине ёмкости конденсатора МЕ (заданной преподавателем)
определяется зависимость постоянной времени цепи разряда от суммарного сопротивления
МС1  МС 2 .
4. Получить изображение фазовых портретов процесса заряда конденсатора при заданных значениях R и C .
Работа №2. Изучение характеристик простых линейных электрических цепей.
11
Цель работы: определение амплитудных и фазовых характеристик линейных электрических цепей, включающих два активных сопротивления, активное сопротивление и конденсатор, активное сопротивление и индуктивность.
Исследуемые характеристики получаются с помощью установки, блок-схема
которой приведена на Рис.
1.3. Амплитудно-частотная
характеристика снимается по
точкам на разных частотах
как отношение амплитуды
падения напряжения на резисторе, конденсаторе, индуктивности
к
амплитуде
напряжения на генераторе:
U
U
K R  R , K C  mC ,
Um
Um
U
K L  mL ( ).
Um
Рис. 1.3. Блок-схема установки для изучения простых линейных электрических цепей: ИП - источник питания, ФГ - генератор,
ЭО - осциллограф, ЭФ - электронный фазометр,
ФПЭ  09 - функциональный модуль.
В качестве объекта исследования используется четырёхполюсник (Рис 1.4).
Если входное сопротивление генератора, подключенного к выводам а  б , мало по сравнению с
Z1  Z 2 , а входное сопротивление измерителя напряжения, подключаемого к выводам c  d , достаточно
велико, коэффициент передачи четырёхполюсника K
U
можно записать в виде K  2 . По закону Ома
U1
.
U1
I
и
.
Таким
образом,
U 2  j  Z 2
Z1  Z 2
Z2
Рис. 1.4. Схема эквивалентного чеK
.
тырехполюсника
Z1  Z 2
для изучения АЧХ и ФНЧ.
R2
1. В случае если Z1  R1 , а Z 2  R2 , K 
и коR1  R2
эффициент передачи – это действительное число, которое не зависит от частоты генератора.
2. Если Z1  R , а Z 2 
1
( Z 2 – конденсатор), K 
jC
1

1
.
1  jRC

1 

jC  R 
j

C


Коэффициент передачи представляет собой комплексное число. Его действительная часть
1
[K ] 
). Мнимая часть K – это тангенс угла сдвига фаз между током и напряже2 2 2
1  R C
12
нием:
tg  
1
. Если для измерения
RC
используется фазометр, для расчёта ожидае-
1 

мых величин  удобно пользоваться соотношением   arctg 
.
 RC 
3. Если Z1  R , а Z 2  jL ( L - индуктивность) K 
рактеризующая АЧХ, равна K 
j  arctg
j L
. Действительная часть K , хаR  j L
 2 L2
, а фазовый угол определяется соотношением
R 2   2 L2
R
.
L
Задания на проведение эксперимента:
1. Собрать установку на основе модуля ФПЭ  09 М, источника синусоидального
напряжения – генератора Г 6  43 , электронного фазометра и осциллографа.
2. Исследовать АЧХ и ФЧХ делителя на основе R  С цепочки, используя встроенные
сопротивления и ёмкости. Диапазон частот, сопротивлений и ёмкостей для эксперимента
уточнить у преподавателя.
3. Исследовать АЧХ и ФЧХ делителя на основе R  L цепочки. В качестве R использовать встроенные сопротивления, а в качестве L – встроенные катушки к модулю
ФПЭ  09 М. Диапазон частот согласовать с преподавателем.
Работа №3. Исследование затухающих колебаний в колебательном контуре.
Известно, что энергия заряженного конденсатора подобна потенциальной энергии сжатой
пружины, а энергия созданного током в катушке индуктивности магнитного поля, энергия
движущихся зарядов подобна кинетической энергии тела, связанного с пружиной. При подключении к заряженному конденсатору катушки индуктивности запасённая в конденсаторе
энергия способна вызвать ток в катушке, а, следовательно, постепенно перейти в форму
энергии магнитного поля. По мере истощения заряда конденсатора убывает причина, поддерживающая ток в катушке. Магнитное поле начинает ослабевать, что по закону самоиндукции приводит к возникновению на концах катушки ЭДС, стремящейся сохранить убывающий ток на прежнем уровне (сравните с инерцией!). За счёт этой ЭДС конденсатор оказывается вновь заряженным, но в противоположной полярности. В реальном контуре катушка и
подводящие проводники обладают активным сопротивлением, на котором при протекании
тока выделяется джоулево тепло. Значит, часть энергии при каждом перезаряде конденсатора
до него не дойдёт. Поэтому порции энергии при каждом цикле колебаний будут убывать, и
колебания затухнут.
Этот процесс достаточно просто описать аналитически. Применив второй закон Кирхгофа к цепи, составленной последовательно из R , L и C , получим:
di 1
R  i  L   idt  0 (3-1).
dt C
Дифференцируя это уравнение ещё раз по t, получим однородное дифференциальное уравнение второго порядка:
d 2i
di 1
L 2  R  i  0 (3-2).
dt C
dt
Ему соответствует характеристическое уравнение:
R
1
p2  p 
0
(3-3).
рис. 3.5.
L
LC
13
R
R2
1
(3-4).


2
2L
LC
4L
В зависимости от значений параметров контура R , L , C может случиться, что оба корR2
1

ня – действительные числа (при
), и решение уравнения для тока i отражает апе2
LC
4L
R2
1

риодический характер процесса. При значениях, удовлетворяющих соотношению
2
LC
4L
ток i совершает затухающие колебания, если в начальный момент конденсатор C заряжен.
Типичные графики зависимости напряжения на конденсаторе и тока в контуре от времени
приведены на рис. 3.5.
Примечание. В терминах современной теории колебаний и волн колебательный контур
следует рассматривать как линейный осциллятор, а цель данной работы – как изучение свободных колебаний линейного осциллятора [1].
В общем виде его корни p1, 2  
Задание на выполнение работы.
Собрать установку на основе модуля ФПЭ-10, источника питания ИП,преобразователя
импульсов ФПЭ-08, магазина сопротивлений МС, функционального генератора ФГ и электронного осциллографа ЭО (Рис.3.6).
1. Провести измерение частоты собственных колебаний
колебательного контура при разных значениях вносимого в контур дополнительного сопротивления.
Указания к п.2:
А. Учесть, что частота колебаРис. 3.6
ний f является величиной, обратной периоду Т, который нетрудно определить по осциллограмме, пользуясь данными о длительности развёртки, приходящейся на одну клеточку делений.
Б. Устойчивого изображения на экране осциллографа нетрудно добиться, если генератор вырабатывает переменный ток с частотой 200-300 Гц и амплитудой 2-3 В, а ручками
управления на панели ФПЭ-08 установлены оптимальные параметры импульсов возбуждения контура.
2. По результатам измерений построить график зависимости частоты собственных колебаний контура, как функции R.
3. Определить добротность контура при частоте собственных колебаний в зависимости
от сопротивления в контуре и построить соответствующий график.
Указание к п.4: сначала по картине затухающих колебаний найти среднее значение
V
логарифмического декремента затухания  по формуле   2.3  lg 10 , где V10 и V20 V20
амплитуды соседних чётных и нечётных колебаний. Более
наглядный (энергетически) параметр добротность Q рассчи1
тывается как Q 
(подробнее теорию см. в [2]).
4
4. Путём отключения горизонтальной развёртки осциллографа ввести установку в режим наблюдения фазовых портретов. Сравнить наблюдаемые изображения, соответствующие
разным величинам сопротивлений в контуре, сопоставить реФазовый портрет
зультаты с результатами по п.4 и объяснить их.
затухающих колебаний
14
Работа №4. Изучение поведения линейного осциллятора под действием вынуждающей силы.
В роли осциллятора применяется последовательный колебательный RLC -контур, в качестве вынуждающей силы – ЭДС низкочастотного генератора.
Основная цель данной работы – экспериментально подтвердить зависимость резонансной частоты не только от L и C , как это следует из формулы Томсона, но и от активного
сопротивления в ёмкостной ветви контура. Методика эксперимента основана на зависимости
модуля полного сопротивления контура от частоты подключённого к контуру источника
энергии.
Схему измерения при последовательном включении L , C , R представим в виде рис.4.1.
В данной схеме все элементы цепи соединены последовательно, поэтому полное сопротивление нагрузки Z равно:
1
Z  R  j L 
, или
j C
1 

Z  R  j  L 
(4-1)

Рис. 4.1
C 

В установившемся режиме ток в контуре i
определяется по закону Ома
e E  e jt
(4-2)
i   m i
Z [Z ]  e
1 

L 


1 

2

C


где [ Z ]  R   L 
(4-3)
 , а   arctg
R
C 







Амплитуда вынужденных колебаний тока в контуре, как видно из (4-2), зависит от частоU
ты  : I m  m , а фаза колебаний тока
Z
2
отличается от фазы напряжения на
угол  
Экспериментальная установка содержит генератор синусоидальных колебаний, осциллятор, фазометр и многофункциональный модуль ФПЭ  11 ,
магазин сопротивлений МС и магазин
ёмкостей МЕ .
Задание на проведение работы.
1. Собрать установку по схеме, приведённой на рис.3.6.
2. По данным, приведённым в паспорте ФПЭ  11 , рассчитать резонансную частоту контура по формуле Томсона для С  0.003 мкФ .
3. Определить диапазон частот генератора, необходимый для снятия резонансных кривых контура, считая, что f нижн  0.1  f рез , а f верх  10  f рез .
4. Снять по точкам зависимость падения напряжения на сопротивлении R от частоты
генератора, обеспечив достаточное количество точек внутри рассчитанного диапазона при
сопротивлении магазина MC  0 .
5. Ту же операцию проделать для сопротивления МС 500 и 3000 Ом .
6. По полученным точкам построить графики.
15
7. Меняя ёмкость МЕ в пределах, согласованных с преподавателем, снять зависимость
резонансной частоты от ёмкости в контуре, и построить график.
8. Снять зависимость разности фаз колебаний питающего контур напряжения генератора и тока в контуре. Построить график.
Работа №3а. Резонанс в параллельном контуре (резонанс токов).
Исследование последовательного R,L,C контура показало, что при резонансной (собственной) частоте внешнего воздействия напряжение на индуктивности и напряжение на емL
кости превышают напряжение источника в Q раз, где Q =
– добротность контура. ПоR
этому резонанс в последовательном контуре называют резонансом напряжений.
Рассмотрим теперь контур, состоящий из двух параллельных ветвей, первая из которых содержит последовательно соединенные индуктивность L и резистор R L (например, сопротивление проводов катушки), а вторая – последовательно соединенные конденсатор (емкость) С и резистор RC (например, сопротивление диэлектрика между обкладками конденсатора). Если
при расчете последовательных цепей обычно используют понятие
сопротивления, то анализ параллельных ветвей удобно проводить
в терминах проводимостей, поскольку общая проводимость параллельно включенных нагрузок равна сумме проводимостей
каждой из них. В данном случае: Y  Y1  Y2 ,
1
1
, а Y2 
где Y1 
1
R L  jL
RC 
jC
Параллельный контур
Представляя после алгебраических действий итоговое выражение для проводимости Y  Y1  Y2 в форме Y  g  jb , полу1
L
C
b 2

чим, что
2 2
1
RL   L
RC2  2 2
 C
Условием наступления резонанса является равенство нулю мнимой части проводимости Y, которая представляет собой в общем случае комплексное число. Приравнивая значение b нулю, можно найти резонансную частоту:
L
 RL
1
C
0 
LC L  R
C
C
Полученное выражение показывает, что резонансная частота определяется не только
величиной энергозапасающих (реактивных) элементов L и C, но и активными сопротивлениями в ветвях. Таким образом, в параллельном контуре возможен режим, когда токи в ветвях
контуре достигают наибольшего значения, поэтому резонанс в параллельном контуре получил название резонанса токов.
Наблюдение этого эффекта и является целью эксперимента с параллельным колебательным контуром. Основу измерительной
установки составляет модифицированный
функциональный модуль ФПЭ-11м. Схема
этого модуля приведена в паспорте. В состав
установки входят, кроме него, генератор ФГ,
16
электронный осциллограф, магазин емкостей МЕ и магазин сопротивлений МС.
Модуль ФПЭ-11м содержит катушку индуктивности 0,1Г и восемь гнезд для подключения внешних приборов. В частности, магазин емкостей позволяет образовать вторую ветвь
параллельного контура, а магазины сопротивлений определяют потери энергии в той или
иной ветвях. Внешнее воздействие на контур производится генератором звуковых частот через конденсатор Cp , сопротивление которого на порядок выше сопротивления контура на резонансной частоте. Выходной сигнал на осциллограф снимается с делителя напряжения, образованного этим конденсатором и эквивалентным сопротивлением контура. Выходной сигнал зависит от соотношения сопротивлений плеч делителя. Вблизи резонанса сопротивление
параллельного контура резко возрастает, что отмечается как увеличение амплитуды колебаний. Определение резонансной частоты состоит в плавном изменении частоты генератора и
настройке его на максимум амплитуды. Отсчет частоты производится по лимбу генератора.
Задание на выполнение работы.
Упражнение 1. Произвести коммутацию модуля ФПЭ-11м таким образом, чтобы RL  0 .
Рассчитать частоту резонанса, учтя собственное сопротивление катушки индуктивности, а
значение емкости выбрать по согласованию с преподавателем. Установить частоту генератора вблизи расчетного значения. Изменяя частоту, настроиться на резонансный режим, основываясь на максимум тока на контуре по картинке на экране осциллографа. Измерить частоту генератора с помощью частотомера и сравнить полученное значение с расчетным.
Упражнение 2. Исследовать влияние сопротивления в индуктивной ветви контура на резонансную частоту.
Установить магазин емкостей на значение емкости, указанное преподавателем. Меняя установки магазина сопротивлений в индуктивной ветви, снять по точкам зависимость резонансной частоты от этого сопротивления. Используя формулу для расчета резонансной частоты
параллельного контура, найти теоретические значения для условий опыта и сравнить их с
экспериментальными точками.
Упражнение 3. Исследование влияния сопротивления в емкостной ветви контура на условия
резонанса.
Для этого соединить гнезда для подключения магазина сопротивлений проводником (закоротить), а магазин сопротивлений включить последовательно с магазином емкостей. Установить магазин емкостей на то же значение емкости, что и в предыдущем упражнении, снять
по точкам зависимость резонансной частоты от сопротивления магазина. Провести сравнение экспериментальных результатов с теорией.
Работа №5. Исследование связанных осцилляторов.
Изучение связанных осцилляторов является шагом к изучению колебательных систем с
распределёнными параметрами. Примером простейших систем – связанных осцилляторов
могут служить два маятника, массы которых связаны пружиной, массивный брусок, концы
которого подвешены на пружинах, два колебательных контура, имеющих между собой ёмкостную или индуктивную связь (рис.5.1). Подробно теоретические основы анализа колебаний в связанных осцилляторах изложены в [1]. Обобщённые уравнения в координатах первого и второго осцилляторов, если они идентичны, имеют вид:
17
   0 21 
k
 2  1 
m
(5-1)
k
 2  1 
(5-2)
m
При нулевых начальных условиях и
«раскачке»первого осциллятора
короткими импульсами их колебания
 2   0 2 2  
1 t  
0
 2 t  
0
2
Рис 5.1
cos 1t  cos  2 t    0  cos  2  1 t  cos  2  1 t
2
2
(5-3)
cos 1t  cos  2 t   0  sin  2  1 t  sin  2  1 t
2
2
При условии слабой связи между осцилляторами
2k
K
 2  1   0 2 
 0 
m
m 0
2k
  0  2 0
m
колебания осцилляторов можно записать в виде:
k
1 t    0  cos
t  cos  0 t
2m 0
k
 2 t    0  sin
t  sin  0 t
2m 0
Графики 1 t  и  2 t  приведены на рис.5.2
 2  1   0 2 
2
(5-4)
(5-5)
и
(5-6)
(5-7)
(5-8)
Наблюдение
колебаний
наиболее просто и с достаточной
точностью осуществляется в
электрических цепях. В данной
работе исследуются колебания в
двух связанных по ёмкостному
типу колебательных контурах.
Экспериментальная установка включает в себя функциональный модуль ФПЭ  13 , магазин ёмкостей, низкочастотный генератор, источник питания, электронный
осциллограф. Блок-схема
установки приведена на
рис.5.3.
Функциональный модуль ФПЭ  13 содержит
Рис.5.3. Блок-схема установки для исследования
два последовательных LC
связанных контуров.
контура и формирователь
ударных импульсов, который преобразует сигнал низкочастотного генератора в короткие импульсы той же частоты.
Связь между контурами осуществляется подключением к их общим точкам магазина ёмкостей.
На экране осциллографа отображается напряжение на индуктивности второго контура
при поступлении на первый контур импульсов ударного возбуждения.
18
Задание на проведение эксперимента.
1. Собрать экспериментальную установку в соответствии с описанием.
2. Включить низкочастотный генератор в режим синусоидальных колебаний частотой
200 Гц , амплитудой 2  3.5В .
3. Электронный осциллограф включить в режим временной развёртки частотой
50  100Гц и чувствительности по входу «Y» 0.5 В дел .
4. Добиться стабильной картины колебаний на экране.
5. По количеству периодов собственных колебаний контуров и длительности развёртки
вычислить период колебаний Т рез и соответствующую ему частоту f  1
.
Т рез
6. Измерить периоды «биений» Т б при разных значениях ёмкости связи ( МС ) и построить график зависимости Т б от ёмкости связи Сс .
Работа №6. Исследование источников негармонических колебаний.
Цель работы: проиллюстрировать разницу между генераторами гармонических колебаний и генераторами импульсов, основанными на использовании
либо гистерезисных явлений, либо усилителей с глубокими положительными обратными связями.
В качестве примера рассматривается релаксационный генератор на неоновой лампе. Нелинейная вольт-амперная характеристика неоновой лампы, относящейся к классу газоразрядных приборов, имеет вид, приведённый на рис.6.1.
Гистерезис характеристики объясняется особенностями разряда в разрежённых газах, где для его возникновения требуется
Рис.6.1. Типичная вольтамперная характеристика газобольшее напряжение, чем для его дальнейшего поддержания.
разрядного промежутка.
Простейшая схема генератора представлена на рис 6.2. ЭДС
источника  выбирается значительно более высоким, чем напряжение зажигания лампы Л (начала разряда конденсатора). В работе 1 наблюдаются процессы заряда
и разряда конденсатора.
В приведённой схеме при t  0 лампа Л ток не
проводит и поэтому происходит заряд конденсатора С по закону:
t
t




E
( R1  R2 ) C 
 R1  R2 C

Uc  E 1 e
, Ic 
e


R

R
1
2


Рис.6.2. Генератор прямоугольных
импульсов.
В момент времени, когда U C  I  R2  U заж , через лампу начинается ток разряда, который складывается из тока, поступающего от источника E и тока
разряда конденсатора. Напряжение между электродами
лампы быстро понижается до напряжения потухания, после чего процесс повторяется с нуля и становится периодическим (Рис.6.3).
Установление режима релаксационных колебаний.
Вариант генератора с использованием усилителей с
положительными обратными связями приведён на
Рис.6.3
рис.6.4.
19
Два операционных усилителя Y1 и Y2 соединены цепями положительной обратной связи R1C1 и R2 C 2 . В начальный момент флуктуация тока на входе одного из усилителей приведёт к возрастанию напряжения на его выходе,
что за счёт положительной обратной связи лавинообразно увеличит напряжение на входе. В
результате усилитель окажется в состоянии,
когда выходное напряжение равно напряжению
Рис. 6.4. Генератор прямоугольных
источника и далее расти не может. В таком соимпульсов
стоянии усилитель пребывает, пока конденсатор C 2 не разрядится настолько, что выходное его напряжение начнёт снижаться. За счёт
положительной обратной связи усилитель перейдёт в состояние с нулевым выходом, и удерживаться оно будет, пока напряжение на разряжающемся конденсаторе C1 не повысит напряжение
на входе усилителя. После этого цикл негармонических колебаний повторяется.
В данной работе исследуется релаксационный
генератор на неоновой лампе (модуль ФПЭ  13 ).
Задание на проведение работы.
Упражнение 1. Подключить модуль ФПЭ  13 к
источнику питания ИП . В режиме «ВАХ», меняя напряжение на лампе от 50 до 120 В , и от
120 до 50 , снять зависимость тока лампы от напряжения и построить график.
Упражнение 2.
1. В режиме «Генератор» модуля ФПЭ  13 получить изображение колебаний на экране
осциллографа и установить пределы измерения напряжения, при которых колебания устойчивы.
2. Снять зависимость амплитуды импульсов и частоты их следования от напряжения питания. Построить график.
3. Меняя ёмкость заряда-разряда с помощью магазина ёмкостей МЕ , снять зависимость
частоты импульсов от ёмкости.
4. Меняя сопротивление магазина МС , снять зависимость частоты импульсов от сопротивления.
20