Тема урока: Решение уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a.
Класс 10.
Тип урока: обобщение, систематизация и углубление знаний по теме.
Оборудование: мультимедиа – проектор, экран, раздаточные материалы.
Цели урока:
образовательные: обеспечить проверку и самооценку знаний
учащихся по рассматриваемой теме; организовать деятельность
учащихся по применению полученных знаний в нестандартных
ситуациях;
развивающие: способствовать формированию у учащихся навыков
самостоятельной, исследовательской работы, создать условия для
развития умений анализировать сравнивать объекты;
воспитательные: содействовать личностному развитию учащихся,
формированию их самостоятельности, побуждать к творчеству.
План урока
1. Организационный момент.
2. Мотивация и целеполагание.
3. Актуализация опорных знаний.
4. Проведение мини-исследований с дальнейшим обсуждением
результатов.
5. Самостоятельное применение знаний в нестандартных ситуациях.
6. Итоговая рефлексия. Домашнее задание.
Ход урока
1. Организационный момент.
Осуществляется проверка готовности учащихся к уроку, формируется
благожелательный эмоциональный фон.
2. Мотивация и целеполагание.
На доске записан эпиграф: «Математика – это инструмент,
специально приспособленный для работы с отвлеченными понятиями всех
типов, и поэтому … ее возможности неограниченны»
Поль Дирак
Учащимся предлагается решить заведомо сложное для них уравнение
2 cos( x ) 1 0 .
Создается ситуация для прогнозирования учащимися собственных
результатов урока. При этом обеспечивается мотивация для дальнейшей
познавательной деятельности.
3. Актуализация опорных знаний.
1. Устная работа
◄Слайд 1►
а) Указать неверные равенства, ответ обосновать:
1
1 ) arccos( ) ;
2
3
2 ) arccos( 0 )
3
) ;
3
6
2
6 ) arcсtg( 3 )
;
3
3
7 ) arcсtg( 1 )
;
4
5) arctg(
;
2
3 ) arcsin(0 ) 2 ;
2
3
)
;
2
4
4 ) arcsin(
◄Слайды 2-4►
б) Составить уравнение, корнями которого являются указанные на
тригонометрическом круге точки. Назвать корни:
1)
2)
3)
2
2
sin x 1
4)
sin x
cos x 1
5)
2
2
6)
1
2
tg x 1
cos x
cos x 1
1
2
2. Проверочная работа с последующим разбором решений у доски (первые
5 человек – на отметку по желанию)
◄Слайд 5►
◄Слайд 6►
Ответы:
x
2
1) 2 sin(
3
) 3
2) 6 3 cos( 2 x
3
)9 0
4
3) 3ctg( 4 x ) 3
3
4)
3
2x
sin
3
4
2
5) cos 3x
3
2
2
( 1 ) k
2k
3
3
19
n;
n
2)
24
24
k
3)
24 4
3k
k
(
1
)
3n
2
2 )
( или
4)
3n
n 1
2
2
( 1 )
2
2
1)
5) Ø т. к .
3. Самостоятельная исследовательская работа
3
1
Во время выполнения и проверки самостоятельной работы 3 ученика
получают индивидуальные задания.
Задание 1
Задание 2
Решить уравнение sin( x ) 1 .
Решение:
Решить уравнение sin(x 2 ) 1 .
Решение:
x
2n
x 2
1
x 2n , n
2
1
2 2 n 0 , n
1
x ( 2n ) 2
2
1
n 4 ,n
1
x ( 2n ) 2
2
1
x ( 2n ) 2 , n
2
1
Ответ : ( 2n ) 2 , n
2
x2
2
2
2k
1
2k
2
1
2k 0 , k
2
x 1 2k
2
1
k 4 , k
x 1 2k
2
x
1
2k , k N 0
2
Ответ :
1
2k , k N 0
2
Задание 3
5
3
1
2
Решить уравнение sin( cos x ) .
Решение:
5
cos x 2n
3
6
1 6
cos x
n
10 5
1 6
1
n 1
10 5
11
3
n ,n Z
12
4
n0
cos x
x
1
1
10
arccos
1
2k , k
10
или
Ответ :
1
arccos
5
5
cos x
2n
3
6
1 6
cos x n
2 5
1 6
1 n 1
2 5
51
5
n ,n Z
4
12
n 1
7
10
1
7
x ( 1 arccos ) 2t , t
10
n0
1
cos x
2
1
x 2m , m
3
cos x
1
1
7
1
2k , k ; ( 1 arccos ) 2t ,t ; 2m , m .
10
10
3
4. Проведение мини-исследований с дальнейшим обсуждением
результатов.
Ученики у доски показывают результаты своих исследований, вместе
обсуждаем, вносим коррективы, проговариваем оформление. После чего все
стирается, и ребята самостоятельно записывают решение.
Физкультминутка
Упражнения выполняются сидя или стоя, при ритмичном дыхании с
максимальной амплитудой движения глаз.
1. На счет 1 – 4 закрыть глаза, сильно напрягая глазные мышцы. На
счет 1 – 6 раскрыть глаза, расслабив мышцы глаз, посмотреть вдаль.
Повторить 4 – 5 раз.
2. На счет 1 – 4 посмотреть на переносицу и задержать взор. На счет 1
– 6 открыть глаза, посмотреть вдаль. Повторить 4 – 5 раз.
3. На счет 1 – 4 не поворачивая головы, посмотреть направо и
зафиксировать взгляд. На счет 1 – 6 посмотреть прямо вдаль.
Аналогично провести упражнения с фиксацией взгляда влево, вверх
и вниз. Повторить 3 – 4 раза.
5. Самостоятельное применение знаний в нестандартных ситуациях
Учащиеся работают в парах за партами и у доски:
1) № 1 Решить уравнение sin ( x 21 ) 1 .
2
11 x
2
Решение:
( x2 1)
( x2 1)
2n
или
6
11 x
2
x 1 1
2n , n
11 x 2 6
x2 1
т.к .0
1, то
11 x 2
x2 1 1
11 x 2 6
x2 1
2
11 x
x2 1 5
11 x 2 6
x 2 49
2
5
2n
6
x7
x 7
x 1
x 1
Ответ : 7; 1;1; 7.
№ 2 Решить уравнение x 2 2 x sin
x
2
1 0 .
Решение: рассмотрим уравнение как квадратное относительно x
D1 sin 2
sin
2
x
2
x
2
1 0, sin 2
1
x
sin 1
2
x 2 2 x 1 0
x 1
Ответ : 1;1.
x
2
1,
или
x
sin 1
2
x 2 2 x 1 0
x 1
2) Еще раз возвращаемся к уравнению, с которого начинался урок:
2 cos( x ) 1 0
Решение: cos( x ) 1
2
x
3
x
2n
3 2n 0 , n
x ( 2n )2
3
1
n 6 ,n
x ( 2n )2
3
x (
3
или
2n )2 , n N 0
Ответ :(
3
2n )2 ,n N 0; ( 2n
3
2n
3 2n 0 , n
x ( 2n )2
3
1
n 6 ,n
x ( 2n )2
3
x ( 2n
2
3
3
)2 , n N
) ,n N
6. Итоговая рефлексия. Домашнее задание
Учащиеся делают вывод о степени достижения цели познавательной
деятельности, определяют те моменты в ходе выполнения заданий, которые
вызвали наибольшие затруднения.
Далее проводится инструктаж по выполнению домашнего задания,
состоящего из двух частей:
инвариантной
и
вариативной
Решить уравнение:
Сборник задач под редакцией
2
Сканави
1) 2 sin x 3 ;
№ З. 195;
2) ctg( x 2 3 ) 1 0 ;
4
З. 200;
2x
З. 207.
3) 3tg( 2 ) 4 0 ;
3
4) 2 sin( x ) 3 0 ;
2
Заканчивается урок вновь обращением к эпиграфу:
«Математика – это инструмент, специально приспособленный для
работы с отвлеченными понятиями всех типов, и поэтому … ее
возможности неограниченны»
Поль Дирак
