МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Забайкальский государственный университет»
(ФГБОУ ВПО «ЗабГУ»)
Факультет энергетический
Кафедра прикладной информатики и математики
УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
для студентов заочной формы обучения
по линейной алгебре
для направления подготовки 080100.62 Экономика
Общая трудоемкость дисциплины
Распределение по
семестрам в часах
1
семестр
2
180
18
8
10
162
экзамен
Виды занятий
1
Общая трудоемкость
Аудиторные занятия, в т.ч.:
лекционные (ЛК)
практические (семинарские) (ПЗ)
лабораторные (ЛР)
Самостоятельная работа студентов (СРС)
Форма промежуточного контроля в семестре
1
Всего
часов
3
180
18
8
10
162
Краткое содержание курса
ТЕМА 1. Матрицы и определители
1. Понятие матрицы. Основные определения. Действия над матрицами и
их свойства. Применение матриц при решении экономических задач.
2. Определители квадратных матриц. Свойства определителей.
3. Обратная матрица. Линейная зависимость строк матрицы.
Элементарные преобразования матриц. Приведение матрицы к
ступенчатому виду. Ранг матрицы.
ТЕМА 2. Системы линейных уравнений
1. Квадратные неоднородные системы линейных уравнений. Метод
обратной матрицы и формулы Крамера.
2. Критерий совместности неоднородной системы линейных уравнений.
Теорема Кронекера – Капелли. Метод Гаусса.
ТЕМА 3. Балансовый анализ
1. Постановка задачи межотраслевого баланса. Критерии продуктивности
матрицы. Экономический смысл матрицы полных затрат.
ТЕМА 4. Векторная алгебра
1. Понятие вектора. Основные определения. Линейные операции над
векторами. Коллинеарные и компланарные векторы.
2. Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве.
Координаты вектора и точки. Координаты суммы векторов и
произведения вектора на число. Условие коллинеарности двух
векторов.
3. Длина вектора. Расстояние между двумя точками. Скалярное
произведение двух векторов. Основные свойства. Выражение
скалярного произведения через прямоугольные координаты.
4. Векторное произведение двух векторов. Выражение векторного
произведения через прямоугольные координаты.
ТЕМА 5. Линейные пространства и линейные операторы
1. Понятие линейного пространства. Линейная зависимость элементов
линейного пространства. Базис линейного пространства.
2. Понятие линейного оператора. Собственные значения и собственные
векторы линейного оператора.
ТЕМА 6. Прямые и плоскости
1. Уравнения прямой на плоскости. Нормальный вектор прямой.
Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми. Условие
параллельности и перпендикулярности двух прямых. Точка
пересечения прямых.
2
2. Плоскости в пространстве. Уравнения плоскости в пространстве.
Нормальный вектор плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и
перпендикулярности двух плоскостей.
ТЕМА 7. Кривые второго порядка
1. Эллипс, гипербола, парабола. Определения. Каноническое уравнение.
Построение.
ТЕМА 8. Комплексные числа
1. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Мнимая единица.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
2. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и
показательная формы записи комплексного числа.
3. Действия над комплексными числами в тригонометрической и
показательной формах. Формула Муавра.
4. Извлечение корня n- ой степени из комплексного числа. Решение
уравнений.
Форма текущего контроля
Контрольная работа №1
Правила выполнения и оформления контрольной работы
При
выполнении
контрольной
работы
необходимо
строго
придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без
соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для
переработки.
1. Контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в
клетку (18листов) пастой любого цвета, кроме красного и зеленого в
рукописном виде. Набранная на компьютере контрольная работа не
рассматривается. Необходимо оставлять поля шириной 4-5 см для
замечаний преподавателя.
2. В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны
фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), название
дисциплины, номер контрольной работы; здесь же следует указать
название учебного заведения, дату отсылки работы. В конце работы
следует поставить дату выполнения и подпись студента.
3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании,
строго по варианту, который соответствует последней цифре зачетной
книжки студента (если последняя цифра зачетки 0, то делаем 10
3
вариант). Контрольные работы, содержащие не все задачи задания, а
также задачи не своего варианта, не зачитываются.
4. Решение задач надо располагать в порядке возрастания их номеров,
указанных в заданиях, сохраняя номера задач.
5. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие.
6. Контрольная
работа
должна
выполняться
самостоятельно.
Несамостоятельно выполненная работа лишает студента возможности
проверить степень своей подготовленности по изучаемой теме. Если
преподаватель установит несамостоятельное выполнение работы, а
именно, студент не сможет ответить на вопросы преподавателя по
решению задач контрольной работы, то она не будет зачтена, даже если
в этой работе все задачи решены, верно.
7. Получив от преподавателя прорецензированную работу (как
зачтенную, так и незачтенную), студент должен исправить все
отмеченные рецензентом ошибки и недочеты. В случае незачета
студент обязан в кратчайших срок выполнить все требования
рецензента и представить работу на повторное рецензирование,
приложив при этом первоначально выполненную работу.
8. Контрольная работа сдается на кафедру ПИМ за месяц до начала
сессии.
Далее приведена таблица номеров задач для контрольной работы
№
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Номера задач для контрольной работы №1
1,11,21,31,41,51,61,71,81
2,12,22,32,42,52,62,72,82
3,13,23,33,43,53,63,73,83
4,14,24,34,44,54,64,74,84
5,15,25,35,45,55,65,75,85
6,16,26,36,46,56,66,76,86
7,17,27,37,47,57,67,77,87
8,18,28,38,48,58,68,78,88
9,19,29,39,49,59,69,79,89
10,20,30,40,50,60,70,80,90
4
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
1-10. Даны две матрицы А и В . Найти: а) АВ ; б) ВА ; в) А 1 ; г) АА 1 ; д) А 1 А .
2 1 3
1. А 8 7 6 ,
3 4
2
2 1 2
В 3 5 4
1 2 1
3 5 6
2. А 2 4 3 ,
3 1 1
8 5
2
В 3 1 0
4
5 3
2 1 1
3. А 2 1 1 ,
1 0
1
0
3 6
В 2 4 6
1 2 3
6 1 11
4. А 9 2 5 ,
0 3 7
3 0 1
В 0 2 7
1 3 2
3 1 2
5. А 1 0 2 ,
1 2 1
0 1 2
В 2 1 1
3 7 1
2 3 2
6. А 1 3 1,
4 1 3
3 2 1
В 3 1 2
5 3 0
6 7 3
7. А 3 1 0 ,
2 2 1
5
2 0
В 4 1 2
4 3
7
4
2 3
8. А 3 1 4 ,
1 2
2
3 3 1
В 0 6 2
1 2 2
1 7 3
9. А 4 9 4 ,
0 3 2
6 5 2
В 1 9 2
4 5 2
2 6 1
10. А 1 3 2 ,
0 1 1
4 3 2
В 4 0
5
3
2 3
5
a11 x a12 y a13 z b1 ,
11-20. Дана система линейных уравнений a 21 x a 22 y a 23 z b2 ,
a x a y a z b .
32
33
3
31
Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности
решить ее тремя способами:
1) по правилу Крамера;
2) матричным способом (с помощью обратной матрицы);
3) методом Гаусса.
x y z 2
11. 4 x 3 y z 1
2 x y 5.
7 x 5 y 31
16. 4 x 11z 43
2 x 3 y 4 z 20.
x 3 y 4z 6
12. 2 x y z 1
x 2 y 3z 5.
x 2 y z 4
3x 5 y 3z 1
17. 2 x 7 y z 8.
x y z 1
13. 8 x 3 y 6 z 2
4 x y 3z 3.
x y 2 z 1
18. 2 x y 2 z 4
4 x y 4 z 2.
x y z 6
14. 5 x 4 y 3z 22
10 x 5 y z 23.
19.
x 2 y z 7
3x y 2 z 1
2 x 4 y 3z 9.
4 x 3 y 2 z 9
15. 2 x 5 y 3z 4
5 x 6 y 2 z 18.
x 2 y 4z 3
20. 2 x 4 y 3z 1
3x y 5 z 2.
6
21-30. Даны векторы a , b , c , d в декартовой системе координат. Показать, что
векторы a , b , c образуют базис. Найти координаты вектора d в этом базисе
(написать разложение вектора d в базис a , b , c ).
21. d 15;5;6, a 0;5;1, b 3;2;1, c 4;1;0
22. d 8;9;4, a 1;0;1, b 0;2;1, c 1;3;0
23. d 23;14;30 , a 2;1;0, b 1;1;0, c 3;2;5
24. d 3;1;3, a 2;1;0, b 1;0;1, c 4;2;1
25. d 1;7;0, a 0;3;1, b 1;1;2, c 2;1;0
26. d 11;1;4, a 1;1;2, b 3;2;0, c 1;1;1
27. d 13;2;18, a 1;1;4, b 3;0;2, c 1;2;1
28. d 0;8;9, a 0;2;1, b 3;1;1, c 4;0;1
29. d 8;7;13, a 0;1;5, b 3;1;2, c 1;0;1
30. d 2;7;5, a 1;0;1, b 1;2;0, c 0;3;1
31-40. Даны координаты вершин треугольника АВС . Найти: 1)
уравнение стороны АВ ; 2) уравнение высоты, проведенной из вершины С ; 3)
уравнение медианы, проведенной из вершины А ; 4) уравнение прямой,
проходящей через вершину С параллельно стороне АВ . Сделать чертеж.
31. А5;1, В1;3, С 4;10
32.
А14;10 , В 2;2, С 5;22
33. А 13;3, В 1;3, С 2;2
34. А22;6, В 2;4, С 6;2
35. А12;4, В 2;2, С 6;0
36. А6;0, В2;6, С 3;9
37. А15;9, В 1;3, С 6;21
38. А 8;4, В4;2, С 7;2
39. А10;2, В 4;4, С 8;2
40. А13;5, В 1;3, С 5;1
7
41-50. Даны координаты вершин пирамиды А1 А2 А3 А4 . Найти: 1) угол между
ребрами А1 А2 и А1 А4 ; 2) угол между ребром А1 А4 и гранью А1 А2 А3 ; 3) объем
пирамиды;4) высоту, опущенную из вершины А4 на грань А1 А2 А3 .
А1 1;2;3, А2 1;0;1, А3 2;1;6, А4 0;5;4
41.
42. А1 1;5;7, А2 3;6;3, А3 2;7;3, А4 4;8;12
43. А1 1;3;0, А2 4;1;2, А3 3;0;1, А4 4;3;5
44. А1 2;1;2, А2 1;2;1, А3 5;0;6, А4 10;9;7
45. А1 1;2;5, А2 6;5;8, А3 3;5;8, А4 8;4;1
46. А1 5;2;3, А2 1;2;1, А3 2;1;6, А4 0;3;4
47. А1 6;2;3, А2 1;2;1, А3 4;1;6, А4 1;5;4
48. А1 1;3;3, А2 1;2;1, А3 2;1;6, А4 0;5;4
49. А1 6;2;1, А2 2;7;6, А3 2;1;4, А4 2;2;5
50. А1 4;8;12 , А2 2;6;3, А3 2;4;5, А4 4;2;12
51-60. Рассмотрим две отрасли, которые производят продукцию. Данные о
формировании баланса за отчетный период даны в таблице
вариант
отрасль
энергетика
51.
Энергетика
Машиностроение
Энергетика
Машиностроение
Энергетика
Машиностроение
Энергетика
Машиностроение
Энергетика
Машиностроение
Энергетика
Машиностроение
Энергетика
Машиностроение
Энергетика
Машиностроение
Энергетика
Машиностроение
Энергетика
Машиностроение
4
3
8
9
4
9
15
10
25
15
10
25
12
3
7
9
15
9
15
10
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
Машиностроение
15
30
15
20
20
10
8
9
4
9
3
6
15
30
25
12
4
21
8
15
Конечный
продукт
80
117
78
230
71
225
227
81
220
76
237
68
123
168
68
231
131
70
225
75
Валовый
выпуск
100
150
100
250
100
250
250
100
250
100
250
100
150
200
100
250
150
100
250
100
Как изменится валовый выпуск продукции, если увеличить конечный
продукт машиностроения на 40%, а энергетики на 25 %.
8
61-70. Дано комплексное число а . Требуется: 1) записать число а в
алгебраической и тригонометрической форме; 2) найти все корни уравнения
z3 a2 .
61. а
62. а
4
1 i
8
1 i 3
4
63. а
1 i
8
64. а
1 i 3
4
65. а
1 i
66. а
8
i 3
4
67. а
1 i
8
68. а
3 i
8
69. а
1 i 3
8
70. а
3i
71-80. Привести уравнение к каноническому виду, определить тип кривой и
построить ее.
71. x 2 y 2 4 x 6 y 30 0
76. 3x 2 5 y 2 18 x 10 y 13 0
72. x 2 4 x y 5 0
77. 2 x 2 y 2 4 x 2 y 5 0
73. 3x 2 y 2 12 x 6 y 13 0
78. 6 x 2 y 2 24 x 2 y 0
74. 2 y 2 4 x 4 y 6 0
79. x 2 6 x y 1 0
75. 3x 2 y 2 6 x 4 y 2 0
80. 5x 2 2 y 2 30 x 8 y 7 0
81-90. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
преобразования.
4 2 1
81. А 1 3 1,
1 2 2
3 1 1
86. А 2 2 1,
2 1 4
2 1 0
82. А 1 2 0 ,
1 1 1
2 0 1
87. А 1 1 1,
1 0 2
3 1 1
83. А 0 2 1,
0 1 2
2 1 0
88. А 1 2 0 ,
1 1 3
5 1 1
84. А 0 4 1,
0 1 4
4 1 0
89. А 1 4 0 ,
1 1 5
9
6 2 1
85. А 1 5 1,
1 2 4
5 1 1
90. А 2 4 1.
2 1 6
Форма промежуточного контроля – экзамен
Перечень вопросов к экзамену
1. Понятие матрицы. Основные определения.
2. Действия над матрицами.
3. Определители квадратных матриц. Свойства определителей.
4. Обратная матрица.
5. Ранг матрицы. Методы вычислений.
6. Системы линейных уравнений. Основные понятия.
7. Теорема Кронекера – Капелли.
8. Правило Крамера.
9. Метод обратной матрицы.
10. Метод Гаусса.
11. Балансовый анализ (модель многоотраслевой экономики).
12. Понятие вектора. Линейные операции над векторами.
13. Коллинеарные и компланарные векторы.
14. Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве.
Координаты вектора и точки.
15. Длина вектора и расстояния между двумя точками.
16. Скалярное произведение двух векторов. Основные свойства.
17. Векторное произведение двух векторов. Основные свойства.
18. Понятие линейного пространства. Базис и размерность.
19. Понятие линейного оператора. Собственные значения и собственные
векторы линейного оператора.
20. Различные виды уравнений прямой на плоскости.
21. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности
двух прямых.
22. Нормальный вектор прямой. Расстояние от точки до прямой.
23. Уравнения плоскости в пространстве.
24. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и
перпендикулярности двух плоскостей.
25. Нормальный вектор плоскости. Расстояние от точки плоскости.
10
26. Кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола).
27. Определение комплексного числа.
28. Формы
записи
комплексных
чисел
(алгебраическая,
тригонометрическая, показательная).
29. Арифметические действия над комплексными числами в
алгебраической форме записи.
30. Арифметические действия над комплексными числами в
тригонометрической и показательной формах записи.
31. Формула Маувра. Извлечение корня n – ой степени из комплексного
числа.
Основная литература
1. Малугин, В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра: курс
лекций/ В.А. Малугин. – М.: Эксмо, 2006.- 224 с.
2. Высшая математика для экономистов: практикум/ под ред. Н.Ш.
Кремера. – 2-е изд., перераб. и доп.- М.: Юнити-Дана, 2007. – 479 с. –
(Золотой фонд российских учебников)
3. Ильин, В.А. Линейная алгебра: учебник/ Ильин В.А., Поздняк Э.Г. – 6е изд., стер. – М.:ФИЗМАТ-ЛИТ, 2007. – 280с. (Курс высшей
математики и математической физики)
4. Бортаковский, А.С. Линейная алгебра в примерах и задачах: учебное
пособие/ Бортаковский А.С., Пантелеев А.В.. – 2 –е изд., стер. М.:
Высшая школа, 2010. – 591 с.
5. Линейные операторы: метод указания / сост. Т.И. Колесова, Ю.П.
Воложанина. – Чита: ЧитГУ, 2005. – 42 с.
Дополнительная литература
1. Сборник задач по алгебре : учеб. пособие : В 2т. Ч.3 : Основные
алгебраические структуры / под ред. А.И. Кострикина. - М. :
Физматлит, 2007. - 168с.
2.
Тыртышников Евгений Евгеньевич. Матричный анализ и линейная
алгебра : учеб. пособие / Тыртышников Евгений Евгеньевич. - М. :
ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 480с.
11
3.
Красс
Максим
Семенович.
Математика
для
экономистов
:
учеб.пособие / Красс Максим Семенович, Чупрынов Борис Павлович. СПб. : Питер, 2009. - 464с. - (Учебное пособие).
4.
Макаров С.И. Математика для экономистов : учеб. пособие / С. И.
Макаров. - 2-е изд., стер. - М. : Кнорус, 2008. - 264с.
5.
Математика для экономистов : учебно-практич. пособие / под ред. C.
И. Макарова, М. В. Мищенко . - М. : Кнорус, 2008. - 360с.
6.
Воеводин Валентин Васильевич. Линейная алгебра : учеб. пособие /
Воеводин Валентин Васильевич. - 4-е изд., стер. - М. : Лань, 2008. 416с.
7.
Бутузов Валентин Федорович. Линейная алгебра в вопросах и
задачах : учеб. пособие / Бутузов Валентин Федорович, Крутицкая
Наталия Чары, Шишкин Александр Александрович ; под ред. В.Ф.
Бутузова. - 3-е изд., испр. - СПб. : Лань, 2008. - 256с. : ил. - (Учебники
для вузов. Специальная литература).
8.
Левин Владимир Анатольевич.
Элементы линейной алгебры и
аналитической геометрии на базе пакета "Mathematica" / Левин
Владимир Анатольевич, Калинин Василий Валерьянович, Рыбалка
Екатерина Викторовна. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 192с.
9.
Бубнов, Владимир Алексеевич. Линейная алгебра: компьютерный
практикум : учеб. пособие / Бубнов Владимир Алексеевич, Толстова
Галина Семеновна, Клемешова Ольга Евгеньевна. - 2-е изд., испр. и
доп. - М. : Лаборатория знаний, 2009. - 168с. : ил. - (Технический
университет).
Старший преподаватель_______________________Грибанова Н.Н.
Заведующий кафедрой ________________________Глазырина И.П.
12
13
