Биссектриса и медиана треугольника: задачи и решения

Заочная математическая школа
8-9 класс 2014-2015 уч.год
Тема: Тема: Биссектриса и медиана треугольника
(подготовила Т.Адамович)
Сдать работы до 24 апреля
Для решения некоторых геометрических задач полезно знать свойство биссектрис и
медиан треугольника. Свойство биссектрис выражает следующая теорема:
Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки пропорциональные прилежащим
сторонам.
Дан ∆АВС, BD- биссектриса,
1  2
AD DC

Тогда
AB BC
AB BC
Или

m
n
Задача №1
BD биссектриса ∆ABC, AB=2см, ВС=8см, AD=1см. Найти АС.
Дано: ∆ABC, BD-биссектриса
AB=2см, ВС=8см, AD=1см
Найти: АС
Решение:
Пусть DC=x, тогда т.к. BD-биссектриса имеет
AD DC

,
AB BC
1 x

2 8
2х=8
х=4 , DC= 4cм,
тогда АС=1+4=5(см)
ОТВЕТ: АС=5см.
тоесть
Задача №2
BD биссектриса ∆ABC, AB+ВС=12дм, AD=2дм, DC=8дм. Найти АВ.
Дано: ∆ABC, BD-биссектриса
AB+ВС=12дм, AD=2дм, DC=8дм
Найти: АВ
Решение:
Пусть АВ=x, тогда ВС=12-х,
AD DC
т.к. BD-биссектриса, то
;

AB BC
2
8

x 12  x
24-2х=8х
10х=24
х=2,4
АВ=2,4(дм)
ОТВЕТ: 2,4 дм.
Свойство Медиан: Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в
отношении 2:1 считая от вершины треугольника.
AE, BD –медианы тогда
BO:OD=2:1 или
2
BO  BD
3
1
OD  BD
3
Задача №3
Дано: ∆ABC, СЕ=BE, AD=DC
OE+OD=2
Найти: АE+BD
Решение:
OE+OD=2
1
1
т.к. OE= AE, OD= BD то
3
3
1
1
AE+ BD=2 |*3
3
3
AE+BD=6
ОТВЕТ: 6.
Задача №4
Дано: ∆ABC, ABC  90 ,AC=CB,
CD-медиана,
О - точка пересечения медиан.
ОD=2
Найти: S AOD
Решение:
т.к. OD=2, то CD=6.
AB=12, т.к. медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы.
т.к. АС=СВ, то ∆ABC прямоугольный, равнобедренный, следовательно, CD медиана,
высота, биссектриса.
CD  AB
Рассмотрим ∆AOD – прямоугольный.
1
OD=2 (дано), AD = AB=12:2=6
2
S AOD = 1 *AD*OD= 1 *2*6=6 (кв.ед.)
2
2
ОТВЕТ: 6.
Задачи:
1. BD –биссектриса ∆ABC. АВ=4, ВС=12, AС=20.
Найти AD, DC.
2. BD –биссектриса ∆ABC. BC-AB=3, DC=8, AD=6.
Найти BC.
3. BD –биссектриса ∆ABC. AD=7, DC=5, PABD  PBCD  6 .
Найти AB.
4. AE биссектриса ∆ABC. АВ=ВС, ВD  AC, AE – биссектриса . BE:ED = 17:15, AC=60.
Найти PABC
5. В треугольнике АВС AB=BC, BD  AC, AE – биссектриса BE:ED = 13:12, PABC =250.
Найти АВ.
6. Биссектриса прямоугольного равнобедренного треугольника, проведённая из вершины
прямого угла равна 4дм. Найдите длины сторон треугольника.
7. Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины
прямого угла, равна половине гипотенузы.
Замечание: Продлите медиану и постройте прямоугольник.
8. В треугольнике ABC AE и BD медианы. AE=6, BD=9, AC=12.
Найдите PAOD
9. В треугольнике ABC, AB=BC, AE и BD медианы, АВ=10, АС=16.
Найдите АО.
10. В треугольнике АВС, АЕ и BD медианы, ABC  90 . OD =1.
Найти BO+AC