Тренировочный тест по высшей математике - 1 семестр - 2008 № 1а. 1 2 Варианты ответов 3 4 5 34 -18 28 -26 14 0,1 0,2 0,25 0 0 0,2 0,25 0,1 0 0,25 0,2 0,1 0 0,2 0,25 1 0 0,25 0,2 0,1 2 7 0 4 7 1 5 7 19,-38,-2 19,-19,-1 19,38,2 19,19,1 19,57,3 y 21x 16 z 14 x 9 y 15x 14 z 23x 7 y 8 x 23 z 12 x 19 y 19 x 11 z 27 x 18 y 17 x 22 z 31x 40 4 5 3 7 5 7 7 3 3 4 Задания 3 1 1 2 3 5 B. 2 2 4 0 1 1 4 0 Найти сумму элементов 3 столбца матрицы В. 1б. 2 4 . A 5 0 Найти A 1 . Найти сумму элементов 3 строки матрицы A 1 , если 1в. 1 1 0 A 2 4 3 1 0 2 x y z 2 2а. 2б. Дана система уравнений. 2 x 3z 8 Найти , z , z. 3x 2 y 5 3x 2 y z 4 , 2 x 9 y 5 z 2 Решить систему уравнений приняв в качестве базисных переменных y и z : 3а. Найти прb c a , если a (2;7;3) , b (6;5;3) , c (4;3;4) . 3б. a (2;3;2) , 4а. 4б. b (2;2;3) . Найти cos(a , b ) . Найти площадь треугольника с вершинами в точках A(3;4;1) , B(2;2;2) , C (5;2;3) . Известно, что a b 3 , a 4 , а угол между a и b равен . Найти b . 14 17 16 17 1 17 0 13 17 4 51 2 51 51 6 51 3 51 0 3 3 2 1 2 1 1 3 1 6 1 1 2 1 3 40 3 80 80 3 40 20 3 x4 y 2 z 3 2 3 5 x5 y 4 z 2 3 4 1 3 5а. 5б. 6а Определить , при котором компланарны векторы a (2;3;4) , b (0; ;2) , c (3;4;0) . Найти объем треугольной пирамиды с вершинами в точках A(1;0;0) , B(3;1;4) , C (5;1;0) , D(1;3;2) . Уравнение прямой, проходящей через точки A(4;2;3) и B(5;4;2) , имеет вид: x5 y4 z2 4 2 5 x4 y 2 z 3 5 2 x4 y 2 z 3 2 1 6б 6в 7а 7б 7в Уравнение прямой, проходящей через точку М (5;2;0) перпендикулярно плоскости 3x 2 y 4 z 7 0 , имеет вид: Определить, при каких и параллельны прямые x 2 y 4 z 1 и x 1 y 3 z 5 6 2 3 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(1;0;1) , B(4;1;1) , C (1;5;2) . x3 y 2 z 4 1 2 3 x 1 y 2 z 3 4 2 3 x 3 y2 z4 5 2 3 x5 y 2 z 3 2 4 x5 y2 z 5 1 3 10, 1 10, 1 10, 1 1, 10 1, 10 25x y 5 z 30 0 x 5 y 25z 24 0 x 5 y 25z 26 0 5 x 25 y z 6 0 5 x y 25z 5 0 1 -7 -3 2 5 3 5 2 1 4 Определить, при каком A прямая x 3 y z 1 па2 A 7 раллельна плоскости Ax 5 y 3z 6 0 . Найти расстояние от точки М (1;2;3) до плоскости x 2 y 2z 6 0 . 9 12 12 16 8а Найти собственные значения матрицы 0 и 25 1и9 0 и 20 5 и 25 20 и 25 8б Найти координаты вектора a (1;6) в базисе b (3;4) , c (5;3) . (3;2) (3;2) (2;3) ( 2;3) (3;2) Гипербола с центром в точке (1;2) Парабола с вершиной в точке (1;2) Эллипс с центром в точке (1;2) Гипербола с центром в точке (1;2) Эллипс с центром в точке (1;2) x2 y 2 1 9 7 x2 y 2 1 7 9 x2 y 2 1 7 9 x2 y2 1 7 9 x2 y2 1 9 7 8в Определить вид и расположение кривой x2 2 y2 2x 8 y 7 0 8г Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, если ее действительная полуось a 3 , а расстояние между фокусами 2c 8 . 9а Вычислить lim 3x 2 5x 8 9б Вычислить lim x 34 x 3 9в Вычислить lim 10 x 3 2 1 3 1 2 2 x 1 x 1 2 x 1 x3 3 10а 2 2 Вычислить lim (1 4 x ) 1 x 0 x ln(1 6 x) 10б Вычислить lim (1 72 ) 2 x 11 y4 x arcsin ( x ) 2 3 1 2 1 3 x 5 x x 2 3 2 . Найти y . 0 3 5 2 3 -4 1 2 3 -1 0 0 2 3 1 7 7 7 3 e 3 e3 e 6 e7 4 arcsin x 4 arcsin x ln 2 4 arcsin x ln 4 4 arcsin x 4 arcsin( x ) ln 2 2 x x2 1 x x x2 1 x x x2 2 6x -5 e 3 7 z 12 x5 y 3 x y 4 . Вычислить ( zx zy ) в -240 180 210 -160 280 0 cos x 2 x cos y x 2 sin y 2 y x 2 sin y 2 y cos x 2 x cos y 32 (3 3 ) 9 16 (3 3 ) 9 8 (1 3 ) 9 64 ( 3 3 ) 3 3 ln t 1 3e t t e t t et 3 et t et 3 ln t 1 1 t et y 3x 3 y 3x y 3x 3 y 3 3x y3 (;) (1;1) (;1) (1;) (;1) (1;) (;3) (0;3) ( ;0) (3;) (;3) (0;) (3;0) (3;) (;3) (3;) x 3 устр. разрыв; x 4 разрыв II рода x 0 скачок; x 4 скачок точке M (4;4) . 13а Найти dy , если sin x x 2 cos y y 2 0 . dx z 13б u2 v2 , где u x sin y , v y cos x . Найти zx при x , y . 3 Найти dy , если x t 3 ln t , y t 3 et . 14а Найти асимптоты кривой y 32x 5 . 14в 14г 15а 15б 15в 15г x 2 sin y 2 y cos x 2 x cos y cos x 2 x cos y x 2 sin y 2 y 32 (3 3 ) 3 2 13в 14б dx 3 x x 1 Найти интервал(ы) убывания функции y x5 5 x . Найти интервал(ы) выпуклости функции y 30 x3 x5 . x3 , x0 2 Дана функция y x x 9 . ( ) 2 4 x , x 0 Найти точки разрыва и установить их характер. Найти максимальную скорость возрастания функции z x 2 y в точке M (2;1) . Найти производную функции z xy 2 y в точке M (1;3) в направлении вектора a (3;4) . Найти экстремум функции z x 2 y 2 1 , если x 2 y 5 . Функцию z x 4 y 4 2 x 2 2 y 2 исследовать на экстремум в точках A(1;1) и B(0;0) . x 0 скачок; x 4 разрыв II рода x 3 разрыв II рода; x 0 скачок; x 4 разрыв II рода 3 ln t 1 3et t et x 3 устр. разрыв; x 0 скачок; x 4 разрыв II рода 4 2 6 2 2 3 2 2 2 1 3 3 5 4 5 2 3 z max (1;2) 6 z max (3;1) 11 z min (3;1) 11 z max (5;0) 26 z min (1;2) 6 А- точка максимума В – точка максимума А – точка минимума В не является точкой экстремума А- точка максимума В – точка минимума А- точка минимума В – точка максимума А – точка минимума В – точка минимума 1 5 16а 16б 17 18а 18б Пусть система п линейных уравнений содержит k неизвестных, A - матрица коэффициентов при неизвестных , B - расширенная матрица. Выбрать все неверные утверждения: А) Система уравнений совместна, если rang А = rang В; Б) Система уравнений совместна, если rang А < rang В; В) Система уравнений несовместна, если rang А < rang В; Г) Система уравнений совместна, если rangА = rang В < k Укажите все неверные равенства: А) а b b а ; Б) а b с с b а ; В) а b b а ; Г) а b с b а с Пусть заданы m векторов n – мерного пространства. Указать все правильные утверждения: А) Если m>n, то векторы не образуют базис. Б) Если m<n, то векторы не образуют базис. В) Если m>n, то векторы линейно зависимы. Г) Если m=n, то векторы образуют базис. Д) Если m<n, то векторы линейно независимы Пусть f (x) - числовая функция. Выбрать все правильные утверждения: А) Если f (x) монотонно возрастает и ограничена, то она имеет конечный предел. Б) Если f (x) монотонно возрастает, то она имеет бесконечный предел. В) Если f (x) монотонно убывает и ограничена, то она имеет конечный предел. Г) Если f (x) ограничена, то она имеет конечный предел Д) Если f (x) имеет конечный предел , то она ограничена Выбрать все неправильные ответы: А) Градиент – это вектор. Б) Градиент – это число, равное максимальной скорости возрастания функции. В) В направлении градиента функция возрастает быстрее всего. Г) grad f ( x, y ) ( f x; f y) Д) grad f ( x, y ) ( f x f y) А, В, Г А, Б , Г Б А, Б Б, Г В, Г А, Б Б, В А, В А, Б , В А, В Б , В, Г Г А, Б , В А, Г А, В, Д А, Б А, Г А, Б , Г А, В, Г , Д Д Б, Д А, Г Г А Правильные ответы № задания 1а 1б 1в 2а 2б 3а 3б 4а 4б 5а 5б 6а 6б 6в 7а 7б 7в 8а 8б 8в 8г 9а Ответ 3 2 4 3 5 4 2 5 3 2 1 3 4 4 2 3 4 1 5 3 4 4 № задания 9б 9в 10а 10б 11 12 13а 13б 13в 14а 14б 14в 14г 15а 15б 15в 15г 16а 16б 17 18а 18б Ответ 4 3 5 2 5 1 2 1 3 1 2 4 5 1 2 5 4 3 5 4 1 2