тест за 1 семестр

Тренировочный тест по высшей математике - 1 семестр - 2008
№
1а.
1
2
Варианты ответов
3
4
5
34
-18
28
-26
14
 0,1 0,2 


 0,25 0 


 0  0,2 


 0,25 0,1
0
0,25 

  0,2 0,1


0
0,2 

  0,25 1


 0  0,25 


 0,2
0,1 

2
7
0

4
7
1
5
7
19,-38,-2
19,-19,-1
19,38,2
19,19,1
19,57,3
 y  21x  16

 z  14 x  9
 y  15x  14

 z  23x  7
 y  8 x  23

 z  12 x  19
 y  19 x  11

 z  27 x  18
 y  17 x  22

 z  31x  40
4
5
3
7

5
7

7
3
3
4
Задания
3 1 

 1 2
3  5
 B.
 2  2 
4
0

1 1 
 4 0 


Найти сумму элементов 3 столбца матрицы В.
1б.
2 4 
 .
A  
  5 0
Найти A 1 .
Найти сумму элементов 3 строки матрицы A 1 , если
1в.
1  1 0 


A   2 4 3
 1
0 2 

 x  y  z  2
2а.
2б.
Дана система уравнений. 2 x  3z  8 Найти ,  z , z.
3x  2 y  5

3x  2 y  z  4
,
2 x  9 y  5 z  2
Решить систему уравнений 
приняв в качестве базисных переменных y и z :
3а.
Найти прb  c a , если a  (2;7;3) , b  (6;5;3) , c  (4;3;4) .
3б.
a  (2;3;2) ,
4а.
4б.
b  (2;2;3) . Найти cos(a , b ) .
Найти площадь треугольника с вершинами в точках
A(3;4;1) , B(2;2;2) , C (5;2;3) .
Известно, что a  b  3 , a  4 , а угол между a и b
равен  . Найти b .
14
17

16
17
1
17
0
13
17
4 51
2 51
51
6 51
3 51
0
3
3
2
1
2
1
1
3
1
6
1
1
2
1
3
40
3
80
80
3
40
20
3
x4
y 2 z 3


2
3
5
x5 y 4 z 2


3
4
1

3
5а.
5б.
6а
Определить  , при котором компланарны векторы
a  (2;3;4) , b  (0;  ;2) , c  (3;4;0) .
Найти объем треугольной пирамиды с вершинами
в точках A(1;0;0) , B(3;1;4) , C (5;1;0) , D(1;3;2) .
Уравнение прямой, проходящей через точки
A(4;2;3) и B(5;4;2) , имеет вид:

x5
y4 z2


4
2
5
x4 
y 2 z 3

5
2
x4 
y 2 z 3

2
1
6б
6в
7а
7б
7в
Уравнение прямой, проходящей через точку
М (5;2;0) перпендикулярно плоскости 3x  2 y  4 z  7  0 ,
имеет вид:
Определить, при каких  и  параллельны прямые
x  2 y  4 z 1


и x 1  y  3  z  5
6

2
3
5

Составить уравнение плоскости, проходящей через
точки A(1;0;1) , B(4;1;1) , C (1;5;2) .
x3 y 2 z 4


1
2
3
x 1 y  2 z  3


4
2
3
x 3 y2 z4


5
2
3
x5 y 2
z


3
2
4
x5
y2 z


5
1
3
  10,   1
  10,   1
  10,   1
  1,   10
  1,   10
25x  y  5 z  30  0
x  5 y  25z  24  0
x  5 y  25z  26  0
5 x  25 y  z  6  0
5 x  y  25z  5  0
1
-7
-3
2
5
3
5
2
1
4
Определить, при каком A прямая x  3  y  z  1 па2
A
7
раллельна плоскости Ax  5 y  3z  6  0 .
Найти расстояние от точки М (1;2;3) до плоскости
x  2 y  2z  6  0 .
 9 12 

12 16
8а
Найти собственные значения матрицы 
0 и 25
1и9
0 и 20
5 и 25
20 и 25
8б
Найти координаты вектора a  (1;6) в базисе
b  (3;4) , c  (5;3) .
(3;2)
(3;2)
(2;3)
( 2;3)
(3;2)
Гипербола с центром в точке (1;2)
Парабола с вершиной в точке (1;2)
Эллипс с центром
в точке (1;2)
Гипербола с центром в точке (1;2)
Эллипс с центром
в точке (1;2)
x2 y 2

1
9
7
x2 y 2

1
7
9
x2 y 2

1
7
9
x2 y2

 1
7
9
x2 y2

 1
9
7
8в
Определить вид и расположение кривой
x2  2 y2  2x  8 y  7  0
8г
Составить уравнение гиперболы, фокусы которой
расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, если ее действительная
полуось a  3 , а расстояние между фокусами 2c  8 .
9а
Вычислить lim 3x 2  5x  8
9б
Вычислить lim x 34 x  3
9в
Вычислить lim 10  x  3
2
1
3
1
2
2
x  1
x 1 2 
x 1
x3
3
10а
2 2
Вычислить lim (1  4 x )  1
x 0 x ln(1  6 x)
10б
Вычислить lim (1  72 ) 2 x
11
y4
x 
arcsin ( x )
2
3
1

2
1

3

x  5 x  x  2
3
2
. Найти y .
0
3
5
2
3
-4
1
2
3
-1
0
0
2
3
1
7
7
7
3
e 3
e3
e 6
e7
4 arcsin x
4 arcsin x ln 2
4 arcsin x ln 4
4 arcsin x
4 arcsin( x ) ln 2
2 x  x2
1 x
x  x2
1 x
x  x2
2
6x

-5
e

3
7


z
12
x5
y
3
 x y 4 . Вычислить ( zx  zy ) в
-240
180
210
-160
280
0
cos x  2 x cos y
x 2 sin y  2 y
x 2 sin y  2 y
cos x  2 x cos y
32
(3   3 )
9
16
(3   3 )
9
8
(1   3 )
9
64
( 3  3 )
3
3 ln t  1
3e t  t e t
t et
3 et  t et
3 ln t  1
1
t et
y  3x  3
y  3x
y  3x  3
y  3  3x
y3
(;)
(1;1)
(;1)  (1;)
(;1)
(1;)
(;3)  (0;3)
( ;0)  (3;)
(;3)  (0;)
(3;0)  (3;)
(;3)  (3;)
x  3 устр. разрыв;
x  4 разрыв II рода
x  0 скачок;
x  4 скачок
точке M (4;4) .
13а
Найти dy , если sin x  x 2 cos y  y 2  0 .
dx
z
13б
u2
v2
, где u  x sin y , v  y cos x . Найти zx
при x   , y   .
3
Найти dy , если x  t 3 ln t , y  t 3 et .
14а
Найти асимптоты кривой y  32x  5 .
14в
14г
15а
15б
15в
15г
x 2 sin y  2 y
cos x  2 x cos y

cos x  2 x cos y
x 2 sin y  2 y
32
(3 3   )
3
2
13в
14б

dx
3
x  x 1
Найти интервал(ы) убывания функции y  x5  5 x .
Найти интервал(ы) выпуклости функции y  30 x3  x5 .
 x3
, x0
 2
Дана функция y   x x 9
.
 (
)
2 4  x , x  0
Найти точки разрыва и установить их
характер.
Найти максимальную скорость возрастания функции z  x 2 y в точке
M (2;1) .
Найти производную функции z  xy  2 y
в точке M (1;3) в направлении вектора
a  (3;4) .
Найти экстремум функции
z  x 2  y 2  1 , если x  2 y  5 .
Функцию z  x 4  y 4  2 x 2  2 y 2 исследовать на экстремум в точках A(1;1) и
B(0;0) .
x  0 скачок;
x  4 разрыв II рода
x  3 разрыв II рода;
x  0 скачок;
x  4 разрыв II рода

3 ln t  1
3et  t et
x  3 устр. разрыв;
x  0 скачок;
x  4 разрыв II рода
4 2
6 2
2
3 2
2 2
1
3
3
5
4
5

2
3

z max (1;2)  6
z max (3;1)  11
z min (3;1)  11
z max (5;0)  26
z min (1;2)  6
А- точка максимума
В – точка максимума
А – точка минимума
В не является точкой
экстремума
А- точка максимума
В – точка минимума
А- точка минимума
В – точка максимума
А – точка минимума
В – точка минимума
1
5
16а
16б
17
18а
18б
Пусть система п линейных уравнений содержит k неизвестных, A - матрица коэффициентов при неизвестных , B - расширенная матрица. Выбрать все неверные утверждения:
А) Система уравнений совместна, если rang А = rang В;
Б) Система уравнений совместна, если rang А < rang В;
В) Система уравнений несовместна, если rang А < rang В;
Г) Система уравнений совместна, если rangА = rang В < k
Укажите все неверные равенства:
А) а  b  b  а ; Б) а b с  с b а ; В) а  b  b  а ; Г) а b с  b а с
Пусть заданы m векторов n – мерного пространства.
Указать все правильные утверждения:
А) Если m>n, то векторы не образуют базис.
Б) Если m<n, то векторы не образуют базис.
В) Если m>n, то векторы линейно зависимы.
Г) Если m=n, то векторы образуют базис.
Д) Если m<n, то векторы линейно независимы
Пусть f (x) - числовая функция. Выбрать все правильные утверждения:
А) Если f (x) монотонно возрастает и ограничена, то она имеет конечный предел.
Б) Если f (x) монотонно возрастает, то она имеет бесконечный предел.
В) Если f (x) монотонно убывает и ограничена, то она имеет конечный предел.
Г) Если f (x) ограничена, то она имеет конечный предел
Д) Если f (x) имеет конечный предел , то она ограничена
Выбрать все неправильные ответы:
А) Градиент – это вектор.
Б) Градиент – это число, равное максимальной скорости возрастания функции.
В) В направлении градиента функция возрастает быстрее всего.
Г) grad f ( x, y )  ( f x; f y)
Д) grad f ( x, y )  ( f x  f y)
А, В, Г
А, Б , Г
Б
А, Б
Б, Г
В, Г
А, Б
Б, В
А, В
А, Б , В
А, В
Б , В, Г
Г
А, Б , В
А, Г
А, В, Д
А, Б
А, Г
А, Б , Г
А, В, Г , Д
Д
Б, Д
А, Г
Г
А
Правильные ответы
№ задания
1а
1б
1в
2а
2б
3а
3б
4а
4б
5а
5б
6а
6б
6в
7а
7б
7в
8а
8б
8в
8г
9а
Ответ
3
2
4
3
5
4
2
5
3
2
1
3
4
4
2
3
4
1
5
3
4
4
№ задания
9б
9в
10а
10б
11
12
13а
13б
13в
14а
14б
14в
14г
15а
15б
15в
15г
16а
16б
17
18а
18б
Ответ
4
3
5
2
5
1
2
1
3
1
2
4
5
1
2
5
4
3
5
4
1
2