Квантование гравитационного поля: решение Шварцшильда

Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
К. А. Свешников, П. К. Силаев, О. А. Хрусталев, Квантование гравитационного поля в окрестности решения Шварцшильда в релятивистской теории гравитации, ТМФ, 1989,
том 80, номер 2, 173–191
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 185.201.44.167
13 декабря 2024 г., 12:52:06
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА
Том 80, № 2
август, 1989
КВАНТОВАНИЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
В ОКРЕСТНОСТИ РЕШЕНИЯ ШВАРЦШИЛЬДА
В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Свешников К. А., Силаев П. К., Хрусталев О. А.
Методом групповых переменных [1] проведено квантование РТГ [2]
в окрестности сферически-симметричного решения (Шварцшильда) для
пустого пространства. Показано, что наличие в РТГ полной группы про­
странственно-временных симметрии позволяет с помощью групповых
переменных избавиться от нефизических степеней свободы. В квадра­
тичном приближении по возмущающему полю проведена диагонализация
квантового гамильтониана, и исследована постановка граничных условий
в особых точках фоновой метрики. Граничные условия в предельной осо­
бой точке r—т приводят к разбиению пространства состояний на под­
пространство состояний, локализованных в области r > m , и подпростран­
ство состояний, локализованных в области г<т. Также построены со­
стояния, определенные во всей области изменения радиальной перемен­
ной. Их волновые функции «непрерывны» (в смысле непрерывности
потока) в точке г=т.
1. ВВЕДЕНИЕ
1
Пожалуй, главной трудностью при квантовании гравитационного поля
является последовательный учет классического поля. Задача квантования
полей с ненулевой классической составляющей строго была решена Бого­
любовым в 1950 году [1], причем эффективность алгоритма решения су­
щественно связана с наличием и точным учетом законов сохранения.
Единственной теорией гравитации, обладающей достаточно полным набо­
ром законов сохранения, является релятивистская теория гравитации
(РТГ) [2]. Поэтому при попытке квантования гравитации естественно об­
ратиться к РТГ. Полезно напомнить основные черты этой теории.
РТГ [2] является теорией тензорного поля ъ псевдоевклидовом про­
странстве, т. е. теорией поля в духе Фарадея — Максвелла. Это означает,
что определен тензор энергии-импульса, который обладает свойствами
тензора энергии-импульса физического поля. Он позволяет однозначным
образом ввести понятия энергии и импульса поля, заключенных в данном
объеме, причем, как и у каждого физического поля, эти величины локали­
зованы, т. е. их невозможно обратить в нуль выбором системы координат.
РТГ построена на основе принципа относительности, т. е. в ней при­
сутствует десятипараметрическая группа пространственно-временных сим­
метрии псевдоевклидова пространства. Поэтому в РТГ строго выполня­
ются законы сохранения энергии-импульса и момента количества движе­
ния для материальных полей и гравитационного поля, вместе взятых.
В отсутствие материальных полей сохраняются энергия-импульс и момент
количества движения гравитационного поля.
173
РТГ — существенно нелинейная теория, допускающая нетривиальные
классические решения. При квантовании РТГ в окрестности такого реше­
ния возникают трудности, связанные с тем, что выделение классической
составляющей поля нарушает исходную группу симметрии теории.
Поскольку отказ от этой группы симметрии и соответствующих зако­
нов сохранения, составляющих существенное достоинство РТГ, был бы
крайне нежелателен, при квантовании РТГ естественно воспользоваться
методом групповых переменных [lj, обеспечивающим автоматическое вы­
полнение законов сохранения.
Решение Шварцшильда, в частности, нарушает трансляционную инва­
риантность. После введения групповых переменных, соответствующих
трансляциям, восстанавливается трансляционная инвариантность, а пере­
менные, канонически сопряженные к. этим групповым переменным, сов­
падают с полным сохраняющимся импульсом системы.
В квантовой теории классическое решение теряет тот первоначальный
смысл, который оно имело в классическом случае. Если квантовые флук­
туации сравнимы по амплитуде с классической составляющей, то исход­
ная классическая картина искажается до неузнаваемости. В этом случае
решение g^ уже нельзя рассматривать как метрический тензор эффек­
тивного пространства-времени, в котором движутся материальные объек­
ты. Смысл классического решения #<$ как фоновой метрики сохраняется
лишь в квазиклассическом пределе, когда квантовые флуктуации рас­
сматриваются как поправки к классической конфигурации.
Введем параметр е, характеризующий величину квантовых флуктуа­
ции по отношению к классическому полю, и будем рассматривать случай,
когда этот параметр много меньше единицы (квазиклассический предел).
В работе [3] было показано, что квантовая механика в искривленном
пространстве-времени накладывает ограничение снизу на размер области,
в которой можно корректно определить понятие величины гравитацион­
ного поля. Именно, в областях с линейным размером меньше Я=У6?7г
(G — гравитационная постоянная, скорость света мы полагаем равной
единице) невозможно поставить эксперимент по определению величины
гравитационного поля.
Это интерпретируется как существенность квантовых флуктуации са­
мого гравитационного поля на таких расстояниях. Поэтому, если мы рас­
сматриваем систему массы т, то возникает естественный параметр, ха­
рактеризующий отношение квантовых флуктуации к классической состав­
ляющей: г2=Н/кт. Он имеет смысл отношения массы объекта, для кото­
рого квантовые эффекты велики, к массе рассматриваемой системы т.
Действительно, классическое гравитационное поле объекта массы ft [К от­
лично от нуля в области, имеющей линейные размеры порядка его грави­
тационного радиуса Gfl/K=X. Но именно на таких расстояниях пренебре­
гать квантовыми эффектами нельзя, т. е. объект массы %/Х существенно
квантовый. Если масса рассматриваемой системы много больше Ъ/% (е<1),
то классический вклад будет действительно много больше квантового.
Возникает вопрос, насколько такой параметр применим в случае ре­
шения Шварцшильда, когда метрика имеет особенность. Тот факт, что в
РТГ масса может быть корректно определена даже для конфигураций типа
174
решения Шварцшильда (а параметр е зависит только от массы системы),
позволяет применять в РТГ параметр е и в случае решений с особенно­
стями.
При квантовании РТГ оказывается удобным ввести групповые пере­
менные непосредственно в классический лагранжиан. Затем классический
лагранжиан раскладывается по параметру малости е, причем для кванто­
вания достаточно удержать лишь члены порядков малости не старше е2.
Члены старших порядков по 8, описывающие взаимодействие, в данной
работе рассматриваться не будут.
В новых переменных (групповые переменные и независимые перемен­
ные для возмущений гравитационного поля вокруг классического реше­
ния) удается обычным каноническим методом [4] провести квантование
системы.
Предложенный метод квантования РТГ может быть применен для
каждого классического решения, в данной работе он излагается на при­
мере решения Шварцшильда
g r = d i a g ( ^ - ; - — ; -(г+т)'; - ( г + т ) W e ) .
V
r-тт
r—m
*
Эта схема квантования отличается от разработанной в работе [5]. В [5]
также используется метод групповых переменных, но групповые пере­
менные вводятся в гамильтониан РТГ, полученный ранее в работе [6].
Гамильтониан, выписанный в [5] в квадратичном приближении, край­
не громоздок, поэтому дальнейшая работа с ним (например, диагонализация) затруднительна. Гамильтониан же, полученный в данной работе
(раздел 3), достаточно компактен. Пользуясь результатами работ [7, 8],
в которых изучено поведение гравитационных возмущений вокруг мет­
рики Шварцшильда,, его удается диагонализовать. Задача диагонализации гамильтониана сводится фактически к решению уравнения для сферо­
идальных обобщенных функций [9].
При построении пространства состояний, соответствующего квантовому
гамильтониану, мы сталкиваемся с проблемой, связанной с наличием осо­
бой точки г = т у фоновой метрики. Как уже говорилось, переходящее в
квантовую теорию классическое решение g^l становится частью некото­
рого оператора, поэтому было бы не совсем осмотрительно приписывать
этой величине непосредственный физический смысл. Это означает,
в частности, что принятое в классической теории разделение пространства
на внутреннюю и внешнюю области, связанное с изменением знака ком­
поненты g$ в точке г=иг, во многом теряет свою убедительность, и сле­
дует вновь вернуться к анализу поведения решений в точке г=т.
Как правило, при изучении поведения полей в окрестности метрики
Шварцшильда в области г>т накладывают следующее граничное усло­
вие: поток в окрестности особой точки т+0 должен быть направлен внутрь
(см., например, работу [10] о рассеянии скалярного поля на решении
Шварцшильда). Чтобы обосновать это граничное условие, переходят в
такие системы координат, где классическое решение g^l не имеет особен­
ности при г=т. Например, пользуются системой координат Крускала
[11]. Однако такое преобразование координат не просто сингулярно в осо175
бой точке г=т, но и не позволяет сшить две карты преобразования (ото­
бражения точек из областей г>т и г<т) в атлас. Поэтому из результа­
тов, полученных в таких системах координат (см., например, работу [12]
об «испарении» черных дыр), невозможно вывести граничные условия
для особой точки г=т.
Как ни относиться к убедительности процедуры Крускала в классиче­
ской теории, к переносу идеи этого построения в квантовую область и
утверждениям о том, что при этом естественным образом возникают гра­
ничные условия для волновых функций, следует подходить с осторожно­
стью. Единственные бесспорные граничные условия в квантовой теории
связаны с условиями самосопряженности, симметрии гамильтониана или
другими равносильными высказываниями. В нашей работе для анализа
граничных условий и связанной с ними структуры пространства состояний
привлекаются условие самосопряженности гамильтониана и условие со­
хранения потока.
Именно, связь состояний, локализованных в областях г>т и г<т,
определяется тем фактом, что поток сохраняется в обеих областях. Поэто­
му пространство состояний разбивается на подпространство с «непрерыв­
ными» (в смысле сохранения потока в точке г=т) волновыми функциями
и подпространство состояний, поток которых не является непрерывным в
точке г=т.
При построении пакетов из состояний с непрерывными волновыми
функциями оказывается, что у каждого пакета, сформированного на про­
странственной бесконечности, появляется «двойник» в области г<т.
Структура работы следующая. В разделе 2 введены обозначения для
групповых переменных и независимых переменных, описывающих грави­
тационные возмущения. Произведена замена переменных в классическом
лагранжиане РТГ. В разделе 3 проведено квантование и диагонализован
полученный квантовый гамильтониан. В разделе 4 исследованы гранич­
ные условия в особой точке фоновой метрики и изучено поведение вол­
новых пакетов. В приложении А выписано определение сферических гар­
моник со спином [13] и приведены некоторые их свойства. В приложении
Б продемонстрирована возможность применения дифференциального опе­
ратора, введенного в разделе 3 для гравитационных возмущений, в других
задачах.
2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КЛАССИЧЕСКОМ ЛАГРАНЖИАНЕ РТГ
Лагранжиан РТГ имеет вид [2]
(1)
L = —^— J Г ( r a 6 T c / - r a / r 6 c d ) d3x.
10Ябг
Здесь gab (x) — эффективный метрический тензор, аргумент будем для
краткости опускать, gab обозначает 1—ggab, ГЬса — символ Кристоффеля,
вычисленный с помощью ковариантной производной по плоской метри­
ке Чаъ, эту ковариантную производную мы будем обозначать Da. Кроме того,
нам понадобятся ковариантные производные по эффективной метрике,
которые мы будем обозначать Va.
176
В случае отсутствия материальных полей из лагранжиана РТГ сле­
дует первая группа уравнений РТГ
(2а)
Rab=0.
Тензор кривизны, как и символы Кристоффеля, вычислен с помощью
ковариантных производных DaВторая группа уравнений движения РТГ имеет вид
(26)
Dagab=0.
Воспользуемся сферической системой координат x°=t, х{=г, x2=Q, # 3 =ф.
При этом плоская метрика уаъ выглядит так:
(3)
T a b =diag(l; - 1 ; -г
2
; - г 2 sin2 в).
Тогда решением уравнений (2) (классическим решением) будет
(4)
gab)=didig(u2;
—u~2; —u~2W; — u~2W sin 2 0 ) .
Мы ввели следующие обозначения: u2=(r—m)/(r+m), w=r2—m2. Выпи­
санное решение является статическим сферически-симметричным реше­
нием для пустого пространства, т. е. решением Шварцшильда.
В классической теории g^l является эффективным метрическим тензо­
ром, поэтому в классической теории решение Шварцшильда определено
лишь в области г>т.
Решение Шварцшильда сферически-симметрично и стационарно, по­
этому, вводя групповые переменные, можно ограничиться тремя трансля­
ционными переменными п 1 ^ ) , rf(£), т]3(£), далее они будут обозначаться
т]*(£), и «калибровочными переменными» ца{х). Последние отличаются от
трансляционных граничными условиями.
Итак, произведем замену
(5)
gab(^)=Aabcd(8n) (g c ?
(х+гц)+гКй(х+гц)).
cd
Aa& — матрица поворота,
а
Здесь е — параметр малости,
преобразованию ха-+ха+ч)а(х)1 а величины ц
ниями
(6)
Ч°=Ч°(х),
соответствующая
определяются соотноше­
Л2=Г12 (*) + — ( М 1 (0 +£*6г]2 <*) - а л 3 ( 0 ) ,
Г
V—Л" (*) + ^ " ( - V (0 б/а+л2 (0 Т/а),
где для компактности sin 0, cos 0, cos ф, sin ф обозначены a, f$, у, б, соот­
ветственно.
Граничные условия, накладываемые на переменные г\а(х) и функцию
ф(г), таковы, чтобы величины т){(£) имели смысл трансляционных пере­
менных. В частности, функция ф(г) стремится к 1 при г->°° и стремится
к нулю не медленнее (г—т)3/2 при г-+т.
Коэффициенты при г)г'(£) в (6) выбраны так, что переменные rf(£) со­
ответствуют трансляциям некоторых декартовых координат, которые в
177
области г-*оо совпадают с декартовыми координатами пространства Минковского.
Произведем замену (6) в лагранжиане РТГ (1). Разложим получив­
шееся выражение по параметру малости е и удержим члены до е2 вклю­
чительно. При этом необходимо учесть, что £вь(0) удовлетворяет уравнени­
ям РТГ (2), а также учесть граничные условия для г\а(х) и <р(г),
L = - J — J t(0)
16яС
(7)
е2
16JCG
(ГГ>Г С Г>-Г а Г ) ГТ) +Л/е2/2(*,<<*))2 +
J | - < V b ( V c ( 0 ) (2VahbcVbhac-WahbcVaK
- 2VAcVA6+VAbVAc).
Здесь Г^ "" обозначает символы Кристоффеля, вычисленные при gab:=g$w
т. е. первый член в лагранжиане дает постоянный вклад. Масса решения
m/G обозначена М.
Видно, что переменные г\а(х) выпали из классического лагранжиана.
В ОТО их динамика так и оставалась бы не фиксированной, но в РТГ
вторая группа уравнений движения (26) делает г\а(х) зависимыми пере­
менными. В частности, коэффициент T]*m~(r, t), возникающий в парциаль­
ном разложении величин г\а(х), выражается через соответствующий коэф­
фициент gim(r, i) в разложении каь{х) (обозначения см. в приложении А).
0
(^ 1 2 +(2r/ M ;+2/r)^ 1 -^ 2 ^- 4 -/(Z+l)/^+2/w;)ri Z m -=2^/(^r)^ m ,
аргументы г, t, как обычно, опущены.
Осуществив замену (5), мы ввели лишние степени свободы. Поэтому,
чтобы сохранить число степеней свободы, на каъ(х) необходимо наложить
условия.
*
Удобно разложить переменные hGb(x) и г\а{х) по сферическим гармо­
никам со спином [13]. Соответствующие парциальные коэффициенты мы
будем обозначать alm{r, t), blm(r, £ ) , . . . , him{r, t) и Цш^г, t), т^тЧ*", t),
r)/m+(7*, t), r]zm~(r, t) (см. приложение А). Далее аргументы г, t для крат­
кости будут опущены.
Видно, что для каждых I и т мы добавили четыре степени свободы
Ц1т°, Цш, r]zm+, ЦшГ. Наложим такие четыре условия на величины В.аъ
(точнее, на соответствующие парциальные коэффициенты):
]lm==Klm::=U'lm=:zJlm—V.
Необходимо отдельно рассмотреть случай Z<2. Это связано с тем, что не
существует сферических гармоник спина 2 с орбитальными моментами О
и 1. Поэтому в случае /=0 оказывается возможным обратить в нуль все
оставшиеся переменные, а в случае Z=l наложить условия
Кроме степеней свободы г\а(х) мы ввели в классический лагранжиан РТГ
еще три степени свободы rfit), соответствующие трансляциям. Поэтому
в качестве трех условий на Лаъ(х) естественно выбрать условие ортого­
нальности возмущений с орбитальным моментом 1=1 трем трансляцион178
ным модам. Введем следующее обозначение:
(8)
$im=(him-(r-m)blm)/'((r+m)%),
где т=3т/ (r+m)+l(l+l) /2—1. Тогда условие ортогональности трансляци­
онным модам запишется в виде
(9)
$
dr(r+m)$in(r,t)=0.
Чтобы учесть этот факт, удобно ввести дифференциальный оператор, ко­
торый обращает вклад, пропорциональный трансляционной моде в р1то,
в нуль,
1р,(™=(г-1л) (16nGw)-lh((l3-l) (l+2) +
+
6m2u2/r(r+m)2-2mu2di)^lm,
и пользоваться в дальнейшем именно полем г|з^. Введение такого диффе­
ренциального оператора не является искусственным приемом, примени­
мым лишь в данной задаче. В приложении Б проведено квантование ска­
лярного поля в окрестности нетривиального классического решения (кинка) с использованием аналогичного оператора.
Введем, наконец, еще одно обозначение:
(10)
(И)
^=u'(16nGw)-^glm.
Пользуясь уравнениями движения, лагранжиан (7) в терминах перемен­
ных rf(£), ф^т (г> *) можно переписать так:
2
(12)
L=M(872)
!
оо
I
2
j dr(»-4(3o1>i» ) 2 -
(f) '(0) +(e72) £ , £ , £
г= 1
1= 1
т=-1
Здесь введено обозначение
V(r)=l(l+l)/w-(8rm-7m2)/wz.
РГ'-
Мы опустили первый член в соотношении (7) (постоянный). Вес, появ­
ляющийся из-за интегрирования по радиальной переменной, включен в
определение полей -ф^ (г, t). Лагранжиан (12) — это лагранжиан для не­
зависимых переменных if(£), Ф
' г™ (r, <0» величины п а (х), /гаь, входившие
в (7), выражаются через них. Аргументы г, £ у переменных г[^ (г, £) бу­
дем для краткости опускать.
Лагранжиан (12) позволяет перейти к гамильтонову формализму и
провести квантование обычным методом [4].
Заметим, что из (1) и (5) непосредственно следует, что канонически
сопряженный к переменной r\{(t) импульс Р{ является сохраняющимся
полным импульсом системы. Действительно, зависимость лагранжиана от
т)Ч0 возникает только из-за дифференцирования метрического тензора по
времени. Член, пропорциональный f)l'(0, возникающий при таком диффе­
ренцировании, равен
edigattfit),
179
где производная д{ берется по декартовой координате, определенной в (6)
(см. соотношения (6) и пояснение к ним). Поэтому для импульса Р\ ка­
нонически сопряженного к переменной r\l(t), получаем
(13)
Рг = j dL/d (dogab)Edigab d*x.
Свойства лагранжиана РТГ (1) позволяют заменить в интеграле произ­
водную дг на производную по декартовой координате в псевдоевклидовом
пространстве. Поэтому правая часть равенства (13) совпадает с выраже­
нием для сохраняющегося импульса системы.
В ОТО выражению (13) можно было бы придать любое значение, ме­
няя систему координат [2]. В РТГ вычисление дает
Р*=те2г\{(г)+о(е2).
Этот результат согласуется с первым членом в лагранжиане (12). При
вычислениях удобно пользоваться тем, что полностью геометризованное
действие приводит к тензору энергии-импульса, равному нулю [2].
3. КВАНТОВАНИЕ И ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ ГАМИЛЬТОНИАНА
Введем следующие обозначения для канонических импульсов Р1 и я ^ ,
соответствующих переменным if(0 и г | ^ :
Р(0=^б2^лЧ0,
Легко убедиться, что члены квантового гамильтониана, соответствующего
лагранжиану (12), имеют вид [4]
(14)
Н=*/2Ме2(Р{)2+(е2/2)
^
Jdr(n, 2 ^ 4 8- 4 +(9 1 ^) 2 +7(r) V ) .
При этом ненулевые коммутационные соотношения между операторами,
входящими в гамильтониан (14), записываются так:
(15)
h \ P ] =*№ j ,
Здесь \х и v обозначают весь набор индексов.
Лагранжиан (12) содержит поля, зависящие от радиальной перемен­
ной г и времени t, причем вес, соответствующий интегрированию по ра­
диальной переменной, включен в определение функций i|v(r, t). Поэтому
и в коммутационных соотношениях он не появляется.
В конце раздела будет показано, что отношение вкладов от классиче­
ской и квантовой составляющих в гамильтониан (14) действительно про­
порционально 1/е2.
Поскольку переменная if(0 не входит в квантовый гамильтониан (14),
то собственные вектора оператора Рг являются одновременно и собствен­
ными векторами гамильтониана (14). Это вполне естественно, ведь, как
было отмечено в разделе 2, величина Р{ есть полный сохраняющийся им­
пульс системы. Поскольку соответствующее собственное значение импуль180
€а не оказывает влияния на динамику переменных i|v(r, t), можно, не
ограничивая общности, положить это значение равным нулю.
Задача диагонализации гамильтониана (14) сводится фактически к
задаче поиска полной системы решений уравнения
(16)
Г(г)+/(г)(со 2 и" 4 -7(г))=0.
Это уравнение для обобщенных сфероидальных функций [9].
До сих пор вопрос об особых точках классического решения g^ не
возникал. Все формулы, выписанные ранее, справедливы во всей области
изменения г, где определена замена (5). Уравнение (16) имеет три осо­
бые точки г=—т, г=т, г=°°. Особая точка г=т появляется из-за того,
что классическое решение g$ имеет особенность в г—т.
Как уже было отмечено в разделе 1, в квантовой теории ограничение
г>т снимается. Необходимо рассматривать и случай — т<г<т. Тот факт,
что величина г принимает в том числе и отрицательные значения, пред­
ставляется вполне естественным. Он связан с особенностями арифметизации [2] точек трехмерного пространства вдоль радиуса в случае решения
Шварцшильда. В отсутствие классического решения (g^ =°{аь) особой
точкой уравнения (16) была бы точка г=0 и величина г принимала бы
только неотрицательные значения.
Рассмотрим сначала область г>т. Определим дифференциальный
оператор
(17)
-dt*+V(r),
действующий на функциях из L 2 (M~ 4 , r>m). Символом L2(ii~4, r>m) мы
будем обозначать пространство функций, квадратично интегрируемых с
весом и~к в области г>т.
Изучая асимптотическое поведение функций, являющихся решениями
уравнения (16), можно убедиться, что в данной задаче реализуется слу­
чай предельной точки на обоих концах (г=т и г=°°). Следовательно, опе­
ратор (17), определенный на функциях из £2(гг~4, г>т), самосопря­
жен [14].
Решение уравнения (16), квадратично интегрируемое в области т<
<г<2т при Re co>0, Im со>0 (далее мы будем обозначать его / + (г, со)),
имеет следующие асимптотики:
(18)
/ + ( r + m , ю) = | г / т - 1 | * - 2 ' в и \
/+(г-^оо, (о)=.4 + (со)ега,г+5+(о))е-г(ОГ.
Введем аналогичные обозначения Л~(со), Z?~(co), /"(г, со) для случая
Im co<0. Тогда, построив набор спектральных проекторов, соответствую­
щих самосопряженному оператору (17) (см. [14]), можно показать, что
в качестве полной ортонормированной системы функций в пространстве
L2(u~\ r>m) имеем
(19)
ф1 (г, с о ) = Г 1 ^ ( С /
+
( г , со)+С/-(г, со))/е,
+
ф2 (г, со) = (С(1+а)*У (г, ©)-С(1+5)*/-(г, ©))/е,
где a=CS-(co)/CS + (co), а=СЛ + (со)/СЛ-(со), е=^ (АпСС (2+а+а) ) ' \ С - н е которая комплексная константа.
181
Таким образом, часть гамильтониана, соответствующая интегрированию
от т до оо в (14), может быть диагонализована заменой
оо
(20)
2
ф й ( г , 0 = У ш | ^ Х , (ф,(г,о))а й г (со)в-^+Ь.с),
У2(й
0
2
ЫУ
"
г= 1
4
яДг, *)=e »~" doi|v(7\ 0В терминах операторов Яцг(со) эта часть гамильтониана принимает вид
2
(21)
оо
Я = £»£Л йсоЙо)/2[а (о)),а^ (о)) ] .
+
йг
ц
+
г=1 0
Из коммутационных соотношений (15) для операторов г|)д(г, t) и яДг, £)
вытекают коммутационные соотношения для а^ и айг+
(22)
[Мсо), a w + (Q)]_=6,v6 tj 6(o)-Q).
Обратимся теперь к случаю —т<г<т. Проводя те же рассуждения,
что и в случае r>m, можно показать, что оператор (17), определенный на
функциях из L2(tf~~4, —m<r<m), является самосопряженным. Соответст­
вующие функции ф(г, о ) , образующие полный базис в £2(гг~4, —т<г<т),
имеют асимптотики
(23)
У4яССср(г+-771, G)) = (rM+l) 5 / 2 ,
У4яССф(г->7тг, o))==C|r/m-l|1/2+2iwm+h. с.
Проведем замену
00
(24)
г|),(г^)=ГШ]^=г(ф(^о))ЬЛсо)в-^+Ь.с),
о ^со
яДг, 0=е 2 гг" 4 ^о^(г, £)•
Тогда часть гамильтониана, соответствующая интегрированию от — т до
т в (14), примет вид
(25)
# = £ , Jdco^co/2[b,(co), V ( o ) ) ] + .
ц
О
Коммутационные соотношения для операторов Ьц+(со) и Ъ^(со) вытекают
из (15) и записываются так:
(26)
[ЬДоз), &v+(Q)]_=6,N6(cD-Q).
Полный диагонадизованный гамильтониан есть сумма выражений (21) и
(25). Из коммутационных соотношений и выражений для гамильтониана
(22), (26) и (21), (25) следует, что операторы a^(co), а^Ы), &Дсо) и
Ьй+((о) являются операторами рождения и уничтожения. Соответствующее
фоковское пространство [4] и есть пространство состояний системы, опи­
сываемой гамильтонианом (14).
Это фоковское пространство строится над вакуумным вектором (далее
182
мы будем обозначать его |0>), определенным соотношением
(27)
<v(w)|0>=M<»)|0>=0.
Выпишем теперь окончательное выражение для поля ifn(r, t), справедли­
вое во всей области изменения г (г>—т):
<28)
грДг,0=Ш/ J ^ r ( e ( r - m ) 2 j 9 , ( r , ( o ) X
n V2(o
ч
О
г
Х^((0)в-г(0<+е(771-г)ф(г,0))6Д0))е-г(й<+Ь.С.).
Соответствующий импульс определяется выражением
(29)
я^г, ^=е2и-*доМг,
-t).
Полный гамильтониан системы определяется соотношением (14), причем
интегрирование проводится во всей области изменения г. Заменой (28),
(29) он приводится к диагональному виду
00
(30)
Н = ) d(o A©2LI
(aiii+am+aix2+^2+VA).
Здесь проведена обычная [4] процедура перенормировки гамильтонианов
(21) и (25) на бесконечную константу путем нормального упорядочения.
Из (30) и (22, 26) вытекает, что оператор числа частиц определяется
соотношением
оо
(31)
N = J dco 2 J KiXi+^ 2 + a M 2+VAO.
Располагая выражением для диагонализованного гамильтониана (30),
можно показать, что соотношение классического и квантового вкладов в
гамильтониан (14) действительно определяется параметром малости е.
Ненулевой вклад от классической составляющей поля в гамильтониан (14)
возникает, если полный импульс системы отличен от нуля.
Заметим, что при нерелятивистском движении системы со скоростью
v (т.е. е<г;<1) разложение (7) по-прежнему справедливо. В гамильто­
ниане (14) при этом появляется вклад Mv2/2. Этот классический вклад в
1/е2 раз больше вклада от квантовых флуктуации. Действительно, раз ква­
зиклассическое приближение применимо лишь в областях с линейным раз­
мером, много большим X (см. раздел 1), то возникает естественное огра­
ничение на «максимальную» частоту гравитационных возмущений сота*=
=1Д. Вклад в гамильтониан от состояний с такой частотой йсотах в 1/е2
раз меньше величины М: Йсотах/М=е2.
4. СВЯЗЬ СОСТОЯНИИ, ЛОКАЛИЗОВАННЫХ В ОБЛАСТЯХ г > т
И г * < т . ПОВЕДЕНИЕ ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ
Заметим, что полученное в разделе 3 граничное условие для полей
^ ( r , t) (квадратичная интегрируемость с весом и""4) никак не выделяет
то или иное направление потока в окрестности особой точки г=т. Более
того, если наложить граничное условие, принятое, например, в работе
183
[10], т.е. положить, что существуют лишь такие состояния, в которых
поток при г-+т+0 направлен внутрь, то гамильтониан (14) становится
несамосопряженным. Условие конечности полей в той системе коорди­
нат, где исчезает сингулярность фоновой метрики g$>, принятое в работе
[15], также не обеспечивает самосопряженности гамильтониана.
В свою очередь, несамосопряженность гамильтониана означает несо­
хранение вероятности, т. е. возможность поглощения частиц (падение в
черную дыру). Несохранение вероятности возникает из-за наложения этих
граничных условий, т. е. именно они превращают решение Шварцшильда
в черную дыру. Поскольку строгого обоснования этих граничных условий
не существует (см. раздел 1), то трактовать решение Шварцшильда как
черную дыру нельзя.
Существует еще одна причина, по которой граничное условие, принятое
в разделе 3, является наиболее приемлемым. Лишь при этом граничном
условии из положительной определенности спектра оператора (17) (до­
казанной, например, в [16]) вытекает устойчивость решения Шварц­
шильда относительно квантовых возмущений, поскольку для доказатель­
ства устойчивости необходима полнота системы собственных функций
оператора (17).
Разумеется, в данном случае речь идет об устойчивости в квадратич­
ном приближении. Члены гамильтониана, описывающие взаимодействие
(они имеют порядок малости о(е 2 )), могут привести к неустойчиво­
сти [17].
Операторы рождения а й1 + (я) и ай2+(со) порождают состояния, локали­
зованные в области г>7тг, а операторы 6ц+(со) —состояния, локализован­
ные в г<т. Действительно, одночастичное состояние ||ы, г>=а^+(сэ) |0>
имеет волновую функцию
(32)
<0|ф(г, t) |ц, *>=e(r-ro)<p<(r, (д)е~ш.
Она отлична от нуля лишь в области г>т. Аналогично состояние |ы> =
=&ц+(со)|0> имеет волновую функцию, локализованную в r<m,
(33)
<0|ф(г, £)||и>=9(™-г)ф(г, ъ)е~ш\
Возникает вопрос, можно ли ввести состояния, определенные во всей
области изменения г, с «непрерывной» в г=т волновой функцией. Это
возможно, если в качестве условия «непрерывности» выбрать условие
сохранения потока в особой точке г=^=т.
Действительно, и в области г>т1 и в области г<т сохраняется поток,
определенный соотношением
5,='ф^1'ф— (д$)ур.
Естественно поэтому потребовать, чтобы он сохранялся и в особой точке
г=т. Так, если в области г>т асимптотика решения уравнения (16)
(обозначим его г|)(г)) имеет вид
(34а)
Ц(г-+т) = \г/т-1\ъ+2{(»т,
то решение ф(г) в области г<т, согласованное с ним по потоку, имеет
184
асимптотику
(346)
<р(г->т) =
\г/т-1\ч*-Шт.
Отметим, что условие согласования потока (34) не есть условие аналити­
ческого продолжения функции г|э(г) из области г>т на область г<т.
Функции с асимптотиками типа (г/т—1)Ча±21Шп являются многолистными,
и однозначно определить их аналитическое продолжение на область г <
<т невозможно.
Функции ф(г) и я}?(г), комплексно сопряженные к функциям ф(г) и
гЬ(г), определенным в (34), также имеют согласованные в точке г=т
потоки. Каждое решение ц(г) уравнения (16) (с данной со) в области
г<т может быть представлено в виде
г)(г)=^ф(г)+5ф(г).
Тогда решение уравнения (16) к(г) в области г>т
(35)
Цг)=А$(г)+Щ(г)
будем по определению называть согласованным с ц(г) по потоку в точке
г=т.
Базис в области г>т (см. (19)) был выбран так, что если комплекс­
ная константа С из (19) равна С из (23), то функции фДг, со) и D(co)X
Хф(г, со), где
(36)
£(со) = ((1-аа)/(2+а+а)) , / а ,
будут иметь согласованные в точке г=т потоки. Потоки же, соответству­
ющие функциям ф2(г, а)) и ф(г, со), несогласованы.
Рассмотрим теперь состояние, порожденное оператором сй+(оо) =
=£(со)&Лсо)+а м1 + (со),
|щ с>-с/(со)|0>.
Волновая функция этого состояния
(37)
<0|г|)(г, *)||i, с>=0(г-ттг)ф1(г, (о)е~ш+
+6(т--г)/)(со)ф(г, ы)е-ш
«непрерывна» (в смысле согласованности потока) в особой точке г=т.
Следовательно, состояния, порожденные операторами Ср,+ (со), можно рас­
сматривать как определенные во всей области изменения г. Определить
аналогичный оператор для а^+ невозможно, т. к. потоки функций ф2(г, со)
и ф(г, со) несогласованы.
Суммируем все сказанное:
Оператор
Область локализации
порождаемых состояний
— т<^г <^т
волновая функция состояния «неп­
рерывна» (в смысле непрерывности
потока) в г =т
185
Заметим, что ограничиваться подпространством, порожденным опера­
торами с й + (ш), нельзя. Это связано с тем, что гамильтониан Н' (30), оп­
ределенный на этом подпространстве, оставаясь симметричным операто­
ром, перестает быть самосопряженным. Действительно, оператор ( # ' ) + г
сопряженный к нему, имеет областью определения все фоковское прост­
ранство, т.е. не совпадает с Н'. Следовательно, Н' несамосопряжен.
Выясним, к чему приводит условие непрерывности потока (35) на
языке волновых пакетов. Рассмотрим следующее состояние:
(38)
|a,/>,^>=J d(B[^((u)a M2 + ((o)+/((o)(a Ml + +I>((o)V)]|0>.
0
Здесь /(со) И g(co) выбраны так, чтобы при t-+—<*> волновая функция со­
стояния |а, р, \хУ соответствовала пакету, локализованному на простран­
ственной бесконечности. Условие непрерывности потока в (38) проявля­
ется в том, что возникает дополнительное слагаемое
оо
(39)
jd©/(<o)0(<D)V-(e>)|O>,
О
причем коэффициент при D(CD)6/" в точности совпадает с коэффициен­
том при afll+(co). Это обеспечивает согласование потоков для состояний,
порождаемых операторами ай1+(о)) и &^+((о). Разумеется, поток, соответ­
ствующий операторам а^4", остается несогласованным.
Далее мы будем рассматривать только волновую функцию ф(г, 0 - М м
не будем нормировать состояние |а, /?, JLL> , поскольку это приведет лишь
к появлению одного и того же постоянного множителя во всех формулах.
Итак, если мы выбираем /(со) и g((o) так, что волновая функция со­
стояния |а, /?, |Л> при t-+—o° описывает пакет
(40)
ф(г-^°о, * - * - » ) = е х р ( - а ( г + 0 2 - * / > ( г + 0 ) ,
то условия непрерывности потока (35) автоматически приводят к форми­
рованию пакета в области г<т. Этот пакет логарифмически бесконечно*
медленно удаляется от точки
(41)
ф(г=7тг-0,
t-+-°o)=exip(-a(t-p)2-ip(t-p))l/r-mE.
Здесь введены обозначения
p=2mln(|r/m-l|),
E=D(p)(A+(p)C/C+A-(p)).
В результате рассеяния этих пакетов на потенциалах, расположенных в
областях г>т и г<т, соответственно, в области г>т появится отражен­
ный пакет, удаляющийся на пространственную бесконечность,
ф(г-оо,^оо) = _ ^ - е х р ( - а ( ^ - г ) 2 - ф ( ^ - г ) ) .
Я (Р)
Квадрат модуля величины А+(р)/В+(р) равен коэффициенту отражения.
Появится также прошедший пакет, который логарифмически бесконечна
(42)
186
медленно падает на точку г—т,
(43)
ф (r=m+0, *-*oo) =
ехр (-а (Н-р)2-гр (И-р)) Уг-ш.
^ (Р)
Аналогичным образом, но с другой стороны, на точку г=т падает пакет,
отраженный областью г<т,
(44)
y(r=m-0,t^oo)=exp(-a{t+()y-ip(t+p))l/r-mEClC.
Таким образом, условие непрерывности (согласования) потока в точке
г=т приводит к тому, что у каждого пакета, локализованного в области
г>т, появляется «двойник» в области г<т. Причем этот двойник не ис­
чезает даже в классическом пределе (а-^°°, р-*-°°), поскольку при р-+°°
величина А+(р) стремится к нулю, а А"(р) не обращается в нуль, т. е.
коэффициент Е при волновой функции «двойника» (29), (32) в класси­
ческом пределе не обращается в нуль. Появление двойника нельзя рас­
сматривать как проникновение пакета из области г>т в область г<т.
Если мы не требуем непрерывности потока в точке г=га, то можно рас­
сматривать пакет, построенный следующим образом:
оо
(45)
|a,p,ji>'= Jdo)(g(o))all2++/((o)a111+) |0>.
О
Соотношение (45) в отличие от (38) не содержит слагаемого с йц+(со).
Поэтому волновая функция состояния |a, p, ji>' локализована в об­
ласти г>т:
(46)
<0|я|)(г,О|а,р, |х>'=в(г-ш)ф(г,0.
Поскольку мы выбрали функции /(со) и g(co) в (45) совпадающими с
/(со) и g(co) из (38), то асимптотики волновой функции состояния
ja, /?, \хУ полностью совпадают с асимптотиками волновой функции со­
стояния |а, /?, JLI> во внешней области. Но при г<т волновая функция
тождественно равна нулю, т. е. пакет не проникает во внутреннюю' об­
ласть.
Классическая картина окончательно восстанавливается при а^^°°,
р->оо (поведение материальной точки). При этом исчезает отраженный
пакет (в (42) ^4 + (оо)=0), а соотношения (41, 43) описывают падение
материальной точки с нулевой массой из пространственной бесконечности
на решение Шварцшильда.
В принципе аналогичные построения можно проделать и для со­
стояния
оо
l a ^ i i ) " - ! <M*(fi>)V"(ffl))|0>.
О
Однако волновая функция такого состояния будет пропорциональна уже
не 0(г— т), а Q(m—г) (т. е. пакет не проникает в область г>т). Следо­
вательно, удаленный наблюдатель не сможет обнаружить результаты по­
добного рассеяния (ему доступны лишь пакеты из области г > т ) . Это
187
соответствует ограничению г>т на решение Шварцшильда, возникаю­
щему в классическом случае (см. раздел 1).
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Мы показали, что метод групповых переменных позволяет провести
квантование РТГ в окрестности нетривиального классического решения^
не нарушая десятипараметрическую группу симметрии псевдоевклидова
пространства, которая существует в этой теории. Это обеспечивает воспро­
изведение в квантованной РТГ существенного свойства классической
РТГ — возможности корректно определить сохраняющиеся энергию и им­
пульс системы.
Метод групповых переменных также позволяет явным образом выде­
лить все физические степени свободы для возмущений вокруг класси­
ческого решения.
В данной работе в качестве классического решения была выбрана срав­
нительно простая метрика Шварцшильда, что и позволило диагонализовать получившийся квантовый гамильтониан. Очевидно, что изложенный
метод квантования РТГ применим и в случае более сложных классических
решений.
Результаты квантования показывают, что традиционное представле­
ние о решении Шварцшильда как о черной дыре некорректно. Это пред­
ставление возникает из-за того, что в окрестности особой точки г=т по
определению полагают поток направленным внутрь. Очевидно, что, на­
кладывая подобные граничные условия на границе любой области, эту
область можно сделать черной дырой (сделать несамосопряженным га­
мильтониан системы). Следовательно, чтобы обосновать представление о
решении Шварцшильда как о черной дыре, требуется доказать необходи­
мость такого граничного условия.
Однако, как уже было отмечено в разделе 1, все такие доказательства
опираются на результаты, полученные в системах координат, где класси­
ческое решение g^ несингулярно. Но из подобных результатов невоз­
можно получить граничные условия в точке г=т, поскольку невозможно
отождествить границу области r>m с границей соответствующей области
в «несингулярной» системе координат (карты отображений областей г>т
и г<т не сшиваются в атлас). Следовательно, эти доказательства некор­
ректны, и интерпретировать решение Шварцшильда как черную дыру
нельзя.
После диагонализации гамильтониана оказывается, что пространство
состояний системы — это фоковское пространство, порожденное тремя ти­
пами операторов рождения-уничтожения. Два типа порождают состоя­
ния, локализованные во внешней области, а третий — во внутренней.
Пользуясь сохранением потока, удается установить связь между со­
стояниями, локализованными в этих двух областях. Более того, удается
построить состояния с «непрерывной» (в смысле непрерывности потока)
во всей области изменения г (—т<г<т) волновой функцией. Однако
ограничиться такими состояниями нельзя, поскольку гамильтониан, опре­
деленный на этих «непрерывных» состояниях, оказывается несамосопря­
женным. Необходимо рассматривать также и локализованные состояния.
188
В терминах волновых пакетов наличие состояний с «непрерывной»
волновой функцией означает, что у каждого пакета, локализованного в
одной из областей, появляется «двойник» в другой области.
Авторы приносят глубокую благодарность А. А. Логунову за внимание
к работе и многочисленные полезные для них обсуждения.
ПРИЛОЖЕНИЕА
Сферические гармоники со спином определяются с помощью следующих рекур­
рентных соотношений [13]:
Л + . Г | » ( е , (p)=Y(Z- 5 )(Z+*+l) . + 1 У , т ( е , <р),
£-,r*m(e,9)=V(/+s)(z-s+i) ._iY*m(e, Ф ),
оГ,т(е,ф)=у*т(е,ф),
где
D±= — d2±s ctg G^i/sin 8d3.
Введем вектор
е а =(0, 0, 1, Z/sin6).
Для каждого вектора Аа определим величины спинов +1 и - 1
y]+i=Aae%
к]-1=Ааеа.
Для каждого симметричного тензора Ааъ определим величины спинов +2, 0, - 2
ц+2=АаЬеаеъ,
г)о=Ааъеаеъ,
х\-г=Ааъеаеь
и т. д. В [13] показано, что каждая величина спина раскладывается по функциям
,У/т(в,ф).
Теперь введем обозначения для парциальных коэффициентов величин ца(х) и
hab(x)- Величины х\°(х) и т\*(х) имеют спин ноль и раскладываются по обычным
сферическим гармоникам с коэффициентами соответственно г|гт0(г, t), Tjzm^r, t).
Величины спинов +1 и - 1 , построенные из ц2(х) и к\3(х), имеют следующие пар­
циальные коэффициенты: ix\im~(r, t)±y\im+(r1 t). Аналогичные коэффициенты для ве­
личин, построенных из &ог(я), &оз(я) и hi2(x), hi3(x), обозначим ieim(r, £)±<^m(r, t),
igim{r, 0±/zm('*, t). Из величин hab(x) можно также построить переменные спинов
+2 и - 2 , соответствующие парциальные коэффициенты-/* т (г, t)^ikim{r, t). И, на­
конец, величины спина 0: h0o(x), h0i(x), hn(x), каъеаеь, раскладываются по обычным
сферическим гармоникам с коэффициентами aim(r, t), bim(r, t), cim(r, t), him(r, t) —
-1(l*+l)l(l*+l-2) Um(r, t).
ПРИЛОЖЕНИЕ В
Покажем, что учет условий, накладываемых на возмущения при введении груп­
повых переменных с помощью дифференциального оператора типа (10), применим
не только в задаче о гравитационных возмущениях.
Рассмотрим скалярное поле ф(#, t) (далее аргументы х, t будем для краткости
опускать) в одномерном (1+1) пространстве с лагранжианом
(Б.1)
L = — \ dx( ( д о ф ) 2 - (0 1 ф ) 2_ ( ф 2_ т2) 2/^2) в
2 J
Уравнение движения для поля ф, вытекающее из лагранжиана (Б.1), имеет вид
(Б.2)
( д 0 2 - di 2 +2 ( ф 2 _ т2) / т 2 ) ( р = = 0 #
Это уравнение движения допускает классическое решение (кинк)
(Б.З)
ф(#, t)=u(x)—mih
x.
Решение (Б.З) нарушает трансляционную инвариантность. Поэтому в спектре воз­
мущений вокруг классического решения и (х) появятся нулевые моды. Это вызы189
вает трудности при квантовании. Метод групповых переменных позволяет восста­
новить трансляционную инвариантность, обеспечить автоматическое выполнение за­
кона сохранения импульса, являющегося следствием этой инвариантности, и изба­
виться от нулевых мод.
Введем в классический лагранжиан (Б.1) групповую переменную т)(£), соответ­
ствующую трансляциям, с помощью замены
(Б.4)
ф(я, t) =u(x+er](t))+&ty(х+ец(г),
t).
Здесь е - параметр малости. Разумеется, импульс Р, канонически сопряженный к
переменной t\(t), совпадает с сохраняющимся полным импульсом системы
(Б.5)
(д&(х))Ыхе*(цУ))2+о(е2).
P = e J д 0 фд 1ф = J
Чтобы сохранить число степеней свободы, на поле г|э (#, t) необходимо наложить одно
дополнительное условие. Это условие, вообще говоря, произвольно, но в данной за­
даче оказывается удобным использовать условие ортогональности поля if (x, t) транс­
ляционной нулевой моде
(Б.6)
J
$(x,t)v(x)dx=0,
u(x)^=diu(x) l \
(diu(x))2
dx)
Еще раз подчеркнем, что явный вид функции v (x) выбран лишь из соображений
удобства.
Подставим соотношение (Б.4) в классический лагранжиан (Б.1), разложим по­
лучившееся выражение по параметру малости е и удержим члены порядков до е2
включительно:
(Б.7)
£ = J
+ (e2/2) J
(diu(x))2dx
+— e 2 (fi(*)) 2 \ (dtu(x))2
J
2
dx+
dx((d0yp)2-(di^)2^2(Qu2(x)/m2-2)).
Второй член лагранжиана согласуется с выражением для импульса (Б.5). Видно, что
координата r\(t) является циклической (полный импульс системы сохраняется),
причем величина этого импульса не влияет на динамику поля я|)(;г, t). Первый член
лагранжиана (Б.7) (постоянный) также не влияет на динамику поля г|э(я, t). Поэто­
му далее будем рассматривать лагранжиан
(Б.8)
L=Vi J
dx((d0y)*-(drt)*-tf(fiu*(x)lm*-2)).
Мы опустили общий множитель е2. Переменная i|)(#, t) в (Б.8) не является неза­
висимой, она подчиняется условию (Б.6). Перепишем это условие в виде
(Б .9)
Ф ( М ) = J П(*,уЖМ)<гу,
где Щх,
y)=6{x-y)-v(x)v(y).
Если перейти к каноническому формализму для системы с лагранжианом (Б.8) и
связью (Б.9), то мы воспроизведем результат работы [18]. Действительно, легко
убедиться, что в классической теории в правой части скобки Дирака переменной
•ф(#, t) и канонически сопряженного к ней импульса появится ядро проектора
П(я, у). Следовательно, и в правой части коммутатора между квантовыми опера­
торами if (я, t) и JT (я, t) вместо 6-функции будет ядро проектора. Этот же ответ был
получен в [18].
Однако, удобнее воспользоваться не интегральным оператором (Б.9), а диффе­
ренциальным
(Б.10)
Х(х, t) = (2u(x)lm+di)^(x,
t).
Оператор (Б.10) обращает вклад в г|)(#, t), пропорциональный трансляционной ну­
левой моде, в нуль. Он вполне аналогичен дифференциальному оператору (10), при­
мененному в разделе 2.
190
В терминах поля Х(х, t) лагранжиан (Б.8) перепишется так:
(Б.11)
Ь=Чг )
Лх((д0%У-(дЛ)*-Х*(2и2(х)/т*+2)).
Здесь %(х, t) —независимая переменная, поэтому квантование можно провести обыч­
ными каноническими методами [4]. Нулевые моды в спектре поля К(ху t) отсут­
ствуют. Существенно, что в правой части канонических коммутационных соотноше­
ний для поля X (х, t) появится б-функция.
Таким образом, условия, накладываемые на возмущения при введении группо­
вых переменных, действительно можно учитывать с помощью дифференциального
оператора типа (10) или (Б.10), переходя тем самым к независимым переменным.
Литература
[1] Боголюбов Н. Я.//УМЖ. 1950. Т. 2. № 2. С. 3-24.
[2] Логунов А. А., Мествиришвили М. А. Основы релятивистской теории гравитации.
М.: МГУ, 1986.
31 Regge Т. // Nuov. Cim. 1958. V. 7. № 2. P. 215-219.
4] Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. М.: ГТТИ, 1932. Боголюбов Н. Н.,
Жирков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1976.
[5] Соловьев В. О., Тверской В. Б. Преобразование Боголюбова в релятивистской
теории гравитации: Препринт ОТФ 87-8. Серпухов: ИФВЭ, 1987.
[6] Соловьев В. О. Гамильтонов подход в релятивистской теории гравитации и об­
щей теории относительности: Препринт ОТФ 86-190. Серпухов: ИФВЭ, 1986.
[7] Regge Т., Wheeler J. Л.//Phys. Rev. 1957. V. 108. № 4. P. 1063-1069. Zerilli F. J.//
Phys. Rev. 1970. V. D2. № 10. P. 2141-2160.
[8] Price R. # . / / P h y s . Rev. 1972. V. D5. № 10. P. 2439-2454. Chandrasekhar S./f
Proc. Roy. Soc. 1975. V. A343. № 2. P. 289-298.
[9] Fackerell E. D., Crossman R. G.//1. Math. Phys. 1977. V. 18. № 9. P. 1849-1854.
Leaver E. W. 11 J. Math. Phys. 1986. V. 27. № 5. P. 1238-1265.
[10] Matzner R. A. // J. Math. Phys. 1968. V. 9. № 1. P. 163-170.
[11] Kruskal C. M. II Phys. Rev. 1960. V. 119. № 8. P. 1743-1752.
[12] Hawking S. РУ.//Commun. Math. Phys. 1975. V. 43. № 3. P. 199-220.
[13] Newman E. Т., Penrose R.//L Math. Phys. 1966. V. 7. № 4. P. 863-870. Gold­
berg J. N., Macfarlane A. J., Newman E. Т., Rohrlish F., Sudarshan E. C. G. //J. Math.
Phys. 1967. V. 11. P. 2155-2161.
[14] Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. М.: Мир, 1966. Рихтмайер Р.
Принципы современной математической физики. М.: Мир, 1982.
[15] Vishueshwara С. V. // Phys. Rev. 1970. V. Dl. № 10. P. 2870-2879.
[16] Wald P. H. II J. Math. Phys. 1979. V. 20. № 6. P. 1056-1058.
[17] Gross D., Perry M. J., Yaffe A. /I Phys. Rev. 1982. V. D25. № 2. P. 330-355.
[18] Разумов А. В. Преобразование Боголюбова и квантование солитонов: Препринт
ОТФ 76-52. Серпухов: ИФВЭ, 1976.
Научно-исследовательский институт
ядерной физики
Московского государственного
университета
Поступила в редакцию
16.V.1989 г.
QUANTIZATION OF GRAVITATIONAL FIELD
IN THE NEIGHBOURHOOD OF THE SCHWARZSCHILD SOLUTION
IN THE RELATIVISTIC THEORY OF GRAVITY
Sveshnikov K. A., Silaev P. K., Khrustalev O. A.
Quantization of the relativistic theory of gravity [2] is performed by the method
of group variables [1] in the neighbourhood of the spherically symmetric (Schwarzschild) solution for empty space. It is shown that the presence in the relativistic theo­
ry of gravity of the complete group of spatial-temporal symmetries makes it possible
to remove unphysical degrees of freedom with the help of the group variables. The
quantum hamiltonian is diagonalized in the quadratic approximation in the perturbing
field and the formulation of boundary conditions in singular points of the background
metric is investigated. Boundary conditions in the limiting singular point r=m imply
splitting of the space of states into the subspace of states localized in the region r>m
and the subspace of states localized in the region r<m. States defined in the whole
range of the radial variable are also constructed. Their wave functions are «continuous»
(in the sense of the flux continuity) at the point r=m.
191