Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Международный государственный экологический
университет им. А.Д. Сахарова»
Факультет мониторинга окружающей среды
Кафедра физики и высшей математики
Н.С. Лешенюк, Е.Е. Апанасевич
ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ПО ФИЗИКЕ (ОПТИКА)
Учебно-методическое пособие
для студентов естественнонаучных и технических специальностей
высших учебных заведений
Минск
УО «МГЭУ им. А.Д. Сахарова»
2005
Авторы:
декан факультета мониторинга окружающей среды, доктор физ.-мат. наук,
профессор Н.С. Лешенюк,
ст. преподаватель кафедры физики и высшей математики Е.Е. Апанасевич.
Рецензенты:
доцент кафедры естественных наук КИИ МЧС РБ, кандидат физикоматематических наук В.И. Терешонков,
доцент кафедры физики и высшей математики МГЭУ им. А.Д. Сахарова,
кандидат физико-математических наук В.И. Зеленков.
Рекомендовано научно-методическим советом Международного государственного экологического университета им. А.Д. Сахарова (протокол № 9 от
31 мая 2005 г.)
Лешенюк Н.С., Апанасевич Е.Е.
Пособие по решению задач по физике (Оптика) / Лешенюк Н.С.,
Апанасевич Е.Е. – Мн.: МГЭУ им.А.Д. Сахарова, 2005. – 56 с.
Пособие содержит материалы для проведения практических и семинарских
занятий по дисциплине «Оптика» со студентами 2-го курса. Для каждого практического занятия приводятся основы теории по конкретной теме, даны примеры решения типовых задач, подобраны соответствующие задачи как для решения на занятиях, так и для самостоятельной работы студентов. Даны ответы на
задачи.
Соответствует учебной программе курса «Оптика» для студентов
МГЭУ им. А.Д. Сахарова.
Все разделы написаны авторами настоящего издания совместно.
© Лешенюк Н.С., Апанасевич Е.Е., 2005
© Международный государственный экологический университет им. А.Д. Сахарова, 2005
1. Законы отражения и преломления света.
Формулы Френеля. Поляризация. Закон Брюстера
При падении света на границу раздела двух сред наблюдаются явления
отражения и преломления света, которые описываются соответствующими законами отражения света и преломления света.
Закон отражения света: луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр, восстановленный к границе раздела двух сред в точке падения луча, лежат
в одной плоскости, угол падения равен углу отражения.
Закон преломления света: падающий луч, преломленный луч и перпендикуляр, восстановленный к границе раздела двух сред в точке падения луча, лежат в одной плоскости; отношение синуса угла падения ϕ к синусу угла преломления ψ есть величина постоянная для данных сред:
sin ϕ n 2
=
= n12 ,
sin ψ n1
где n12 =
(1)
u1 n 2
=
– относительный показатель преломления света второй среды
u 2 n1
(где распространяется преломленный луч) по отношению к первой (где распространяется падающий луч); u1 - скорость распространения света в первой среде;
u 2 - скорость распространения света во второй среде.
Если n2 < n1 (свет переходит из оптически более плотной среды в оптически менее плотную) угол преломления становится больше угла падения и при
некотором угле падения ϕ пред = arcsin n12 угол преломления ψ =
π
2
. В таком случае
при значениях ϕ ≥ ϕ пред свет полностью отражается от границы раздела сред. Это
явление называется полным внутренним отражением. Угол ϕ пред называется
предельным углом полного внутреннего отражения.
Если световая волна (поляризованная) падает на границу раздела двух диэлектриков, то соотношения между амплитудами падающей, отраженной и
преломленной волн описываются формулами Френеля:
r⊥ =
E ⊥r
sin (ϕ − ψ )
=−
,
E⊥
sin (ϕ + ψ )
(2)
d⊥ =
E ⊥d 2 cos ϕ sin ψ
=
,
E⊥
sin (ϕ + ψ )
(3)
=
tg (ϕ − ψ )
,
tg (ϕ + ψ )
(4)
=
2 cos ϕ sin ψ
,
sin (ϕ + ψ ) cos(ϕ − ψ )
(5)
r|| =
d || =
E||r
E||
E||d
E||
где E ⊥ , E|| – амплитуды падающих волн, линейно-поляризованной в плоскости,
перпендикулярной плоскости падения и линейно-поляризованной в плоскости
3
падения, соответственно; E ⊥r , E||r - амплитуды отраженных волн; E ⊥d , E||d – амплитуды преломленных волн; r⊥ , d ⊥ – амплитудные коэффициенты отражения
и пропускания для волны, линейно-поляризованной в плоскости, перпендикулярной плоскости падения; r|| , d || – амплитудные коэффициенты отражения и
пропускания для волны, линейно-поляризованной в плоскости падения, ϕ угол падения, ψ - угол преломления.
Формулы Френеля, связывающие интенсивности падающей, отраженной
и преломленной волн, имеют вид:
sin 2 (ϕ − ψ )
tg 2 (ϕ − ψ )
r
,
I
=
I
,
||
||
sin 2 (ϕ + ψ )
tg 2 (ϕ + ψ )
4 sin 2ϕ sin 2ψ
sin 2ϕ sin 2ψ
,
I ⊥d = I ⊥
, I ||d = I ||
2
sin (ϕ + ψ )
(sin 2ϕ + sin 2ψ )2
I ⊥r = I ⊥
(6)
(7)
При отражении естественного света от границы раздела двух диэлектриков I ⊥ = I || = 0,5I 0 и формулы Френеля имеют вид:
I ⊥r = 0,5I 0
sin 2 (ϕ − ψ )
tg 2 (ϕ − ψ )
r
,
I
0
,
5
I
=
,
||
0
sin 2 (ϕ + ψ )
tg 2 (ϕ + ψ )
(8)
где I 0 – интенсивность падающего естественного света.
Если угол падения света на границу раздела двух диэлектриков (например, на поверхность стеклянной пластинки) отличен от нуля, отраженный и
преломленный лучи оказываются частично поляризованными. В отраженном
луче преобладают колебания, перпендикулярные плоскости падения, в преломленном луче – колебания, параллельные плоскости падения. Степень поляризации зависит от угла падения.
Закон Брюстера
tgϕ Бр =
n2
= n12
n1
(9)
связывает угол падения ϕ и относительный показатель преломления среды n12 .
Если неполяризованный свет падает под углом Брюстера ϕ Бр , то отраженный
луч будет линейно поляризован (причем он содержит только колебания, перпендикулярные плоскости падения). Степень поляризации преломленного луча
в этом случае достигает наибольшего значения, однако он остается поляризованным только частично.
Если на границу раздела двух сред под углом Брюстера падает свет, линейно поляризованный в плоскости падения, то вследствие условия (ϕ Бр + ψ ) = 0
из формул Френеля (4),(6) следует, что I ||r = 0, т.е. интенсивность отраженного
луча равна 0 и свет полностью переходит во вторую среду.
Степень поляризации света:
P=
I max − I min
.
I max + I min
(10)
Закон Малюса позволяет определить интенсивность света, прошедшего через поляризатор и анализатор:
4
I = I 0 cos 2 α ,
(11)
1
2
где I 0 = I ест – интенсивность света, прошедшего через поляризатор, равная половине интенсивности естественного света, падающего на поляризатор; α –
угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора.
Задача 1.
Угол между плоскостью колебаний поляризованного света и плоскостью
падения называется азимутом колебаний. Найти азимут преломленной волны δ
и азимут отраженной волны ρ, если азимут падающей волны α, угол падения ϕ,
коэффициент преломления n.
Решение
r
E
r
E⊥
α
r
E||
r
Пусть E – вектор напряженности электрического поля падающего света;
r
r
E|| – составляющая электрического вектора, лежащая в плоскости падения; E ⊥ –
составляющая электрического вектора, перпендикулярная плоскости падения;
α – азимут падающей световой волны.
Из рисунка видно, что для падающей волны:
E|| = E cos α , E ⊥ = E sin α .
E = E||2 + E ⊥2 .
Для нахождения амплитуд параллельной и перпендикулярной составляющих электрического вектора отраженной волны воспользуемся формулами
Френеля (2) и (4):
E ⊥r = − E ⊥
sin (ϕ − ψ )
tg (ϕ − ψ )
, E||r = E||
.
sin (ϕ + ψ )
tg (ϕ + ψ )
Er =
(E ) + (E ) .
r 2
||
r 2
⊥
Угол преломления ψ найдем, используя закон преломления
sin ϕ
sin ϕ
= n, ψ = arcsin
.
sin ψ
n
Тогда
или ρ = arccos
азимут
E||r
Er
отраженной
волны
определим
как
ρ = arctg
E ⊥r
E||r
.
Соответствующие амплитуды для преломленной волны можно найти, если воспользоваться формулами Френеля (3) и (5):
5
E ⊥d = E ⊥
2 cos ϕ sin ψ
2 cos ϕ sin ψ
, E||d = E||
.
sin (ϕ + ψ )
sin (ϕ + ψ ) cos(ϕ − ψ )
(E ) + (E ) .
d 2
⊥
Ed =
d 2
||
Азимут преломленной волны можно вычислить следующим образом:
E||d
E ⊥d
δ = arctg d или δ = arccos d .
E
E||
Задача 2.
Найти коэффициент пропускания t и степень поляризации Р преломленного луча при выходе его из стеклянной пластинки с показателем преломления n =
1,54, при угле падения ϕ =200. Падающий свет – естественный.
Решение.
I0
ϕ
I1
I2
ψ
I 2′
I3
Степень поляризации света определим по формуле
P=
I max − I min
.
I max + I min
Так как свет падает на пластинку не под углом полной поляризации (углом Брюстера), то отраженный луч не будет полностью поляризован и в отраженном луче будут присутствоватьr колебания электрического вектора, параллельные плоскости падения света E|| , и колебания, перпендикулярные плоскоr
сти падения E ⊥ . Преломленный луч также не будет полностью поляризован, и в
r
r
нем также будут присутствовать и E|| и E ⊥ . Следовательно, необходимо учитывать интенсивности обеих компонент.
Интенсивности соответствующих компонент для отраженного от поверхностей пластинки света (первой поверхности и второй) и для прошедшего через
пластинку света найдем, используя формулы Френеля (8).
Воспользовавшись законом преломления света, определим угол преломления:
sin ϕ
sin ϕ
0
= n ⇒ ψ = arcsin
= 13 12′ .
sin ψ
n
Интенсивность компоненты электрического вектора, перпендикулярной
плоскости падения, для отраженного луча будет равна
6
sin 7 012′
sin (ϕ − ψ )
I 1 ⊥ = 0,5I 0
=
I
0
,
5
0
= 0,027 I 0 .
0
sin (ϕ + ψ )
sin 32 48′
2
2
Интенсивность компоненты электрического вектора, параллельной плоскости падения, для отраженного луча будет равна
tg 7 012′
tg (ϕ − ψ )
=
I 1 || = 0,5I 0
0
,
5
I
0
= 0,019 I 0 .
0
tg (ϕ + ψ )
tg32 48′
2
2
Далее рассмотрим свет, прошедший в пластинку. Интенсивности параллельной и перпендикулярной компонент рассчитаем следующим образом:
I 2 ⊥ = 0,5I 0 − 0,027 I 0 = 0,473I 0 .
I 2 || = 0,5I 0 − 0,019 I 0 = 0,481I 0 .
Для того, чтобы рассчитать интенсивности компонент электрического
вектора для света, отраженного от второй поверхности пластинки, снова применим формулы Френеля:
(
)
sin − 7 012′
sin (ψ − ϕ )
=
I 2′ ⊥ = I 2 ⊥
I
2⊥
= 0,026 I 0
0
′
(
)
sin
+
ψ
ϕ
sin
32
4
8
2
(
)
2
tg − 7 012′
tg (ψ − ϕ )
=
I 2′ || = I 2 ||
I
2 ||
= 0,019 I 0 .
0
′
tg
32
4
8
tg (ψ + ϕ )
2
2
Интенсивности соответствующих компонент электрического вектора света, прошедшего сквозь пластинку, найдем следующим образом:
I 3 ⊥ = I 2 ⊥ − I 2′ ⊥ = 0,473I 0 − 0,026 I 0 = 0,447 I 0 .
I 3 || = I 2 || − I 2′ || = 0,481I 0 − 0,019 I 0 = 0,462 I 0 .
Коэффициент пропускания определим как отношение интенсивности света, прошедшего через пластинку, к интенсивности света, падающего на пластинку:
t=
I 3 ⊥ + I 3 ||
I0
=
0,447 I 0 + 0,462 I 0
= 0,91 .
I0
Степень поляризации света, прошедшего через пластинку найдем по
формуле (10):
P=
I max − I min I 3 || − I 3 ⊥ 0,462 I 0 − 0,447 I 0
=
=
= 0,012 .
I max + I min I 3 || + I 3 ⊥ 0,462 I 0 + 0,447 I 0
Задача 3.
Пучок естественного света падает на систему из трех поляризаторов.
Главные плоскости второго и третьего поляризаторов сориентированы относительно главной плоскости первого поляризатора под углами 300 и 900 соответственно. Найти пропускание системы.
Решение.
I0
I1
I2
7
I3
Согласно условию задачи, угол между главными плоскостями второго и
третьего поляризаторов ϕ 32 = ϕ 31 − ϕ 21 = 900 – 300 = 600, где ϕ31 и ϕ21 – углы между главными плоскостями третьего и первого поляризаторов и второго и первого поляризаторов соответственно. Для того, чтобы найти, какая часть светового
потока проходит через эту систему, воспользуемся законом Малюса (11).
Тогда:
I 1 = 0,5I 0 ,
3
I 2 = I 1 cos 2 ϕ 21 = 0,5 I 0 cos 2 30 0 = I 0
8 ,
3
3
I 3 = I 2 cos 2 ϕ 32 = I 0 cos 2 60 0 =
I0
8
32 .
3 / 32 I 0
I
Пропускание системы из трех поляризаторов 3 =
= 0,09375 .
I0
I0
1.1. При каком значении угла падения ϕ луч, отраженный от поверхности
воды, будет перпендикулярен преломленному лучу?
1.2. Луч света падает на плоскопараллельную стеклянную пластину толщины d = 6,0 см. Угол падения ϑ = 60 0 . Найти смещение луча, прошедшего через эту пластинку.
1.3. Две среды разделены плоскопараллельной пластинкой. Показатели
преломления первой среды, второй среды и пластинки соответственно равны
n1, n2, n (n > n1). Луч света падает из первой среды на пластинку под углом ϕ 1 .
Определить угол ϕ 2 , под которым луч выйдет из пластинки.
1.4. На краю бассейна стоит человек и наблюдает камень, лежащий на
дне. Глубина бассейна h. На каком расстоянии от поверхности воды видно изображение камня, если луч зрения составляет с нормалью к поверхности воды
угол ϑ .
1.5. На дно сосуда, наполненного водой до высоты 10 см, помещен точечный источник света. На поверхности воды плавает круглая непрозрачная пластинка таким образом, что ее центр находится над источником света. Какой
наименьший радиус должна иметь эта пластинка, чтобы ни один луч не мог
выйти через поверхность воды?
1.6. Цилиндрический стакан с жидкостью поставлен на монету, рассматриваемую сквозь боковую стенку стакана. Указать наименьшую возможную
величину показателя преломления n жидкости, при котором монета не видна.
1.7. Луч света падает под углом ϕ на тело с показателем преломления n.
Как должны быть связаны между собой ϕ и n, чтобы отраженный луч был перпендикулярен к преломленному?
1.8. На стакан, наполненный водой, положена стеклянная пластинка. Под
каким углом должен падать на пластинку луч света, чтобы от поверхности раздела воды со стеклом произошло полное внутреннее отражение? Показатель
преломления стекла 1,5.
8
1.9. Показать, что кажущаяся глубина водоема, если смотреть по вертикальному направлению, составляет 3/4 его истинной глубины.
1.10. Показатели преломления некоторого сорта стекла для красного и
фиолетового лучей равны соответственно 1,51 и 1,53. Найти предельные углы
полного внутреннего отражения при падении этих лучей на границу стекловоздух. Что произойдет при падении белого луча под углом 410 на поверхность
раздела стекло-воздух?
1.11. Найти предельный угол полного внутреннего отражения кедрового
масла на границе с воздухом, если свет в масле распространяется со скоростью
2⋅108 м/с.
1.12. Параллельный пучок света переходит из глицерина в стекло так, что
пучок, отраженный от границы раздела этих сред, оказывается максимально
поляризованным. Определить угол между падающим и преломленным пучками.
1.13. Угол падения луча на поверхность стекла равен 600. При этом отраженный пучок света оказался максимально поляризованным. Определить угол
преломления луча.
1.14. При отражении света от кристалла некоторого вещества угол полной
поляризации равен 570. Найдите скорость распространения света в этом кристалле.
1.15. Пучок света переходит из жидкости в стекло. Угол падения пучка
равен 600, угол преломления 500. При каком угле падения пучок света, отраженный от границы раздела этих сред, будет максимально поляризован?
1.16. Луч света падает под углом Брюстера на стеклянную пластинку с
показателем преломления 1,8. На сколько надо изменить угол падения, чтобы
получить полностью поляризованный отраженный луч, если пластинку поместить в жидкость с показателем преломления 1,4?
1.17. Световой пучок падает на стеклянную пластинку, нижняя поверхность которой находится в жидкости. Показатели преломления стекла и жидкости равны 1,6 и 1,3 соответственно. Определите угол падения пучка на поверхность пластинки, при котором луч, отраженный от границы стекло-вода, будет
полностью поляризован.
1.18. Луч света идет в жидкости и отражается от стеклянного дна сосуда с
показателем преломления 1,5. Отраженный луч полностью поляризован при угле падения 420. Найдите показатель преломления жидкости и угол, под которым должен падать луч на дно сосуда, чтобы наступило его полное отражение.
1.19. Чему равен угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора, если интенсивность естественного света, прошедшего через поляризатор и анализатор, уменьшилась в четыре раза? Поглощением света пренебречь.
1.20. Пучок естественного света падает на систему из N = 6 поляризаторов, плоскость пропускания каждого из которых повернута на угол ϕ = 300 относительно плоскости пропускания предыдущего поляризатора. Какая часть
светового потока проходит через эту систему?
9
1.21. Угол α между плоскостями пропускания поляроидов равен 500. Естественный свет, проходя через такую систему, ослабляется в 8 раз. Пренебрегая потерей света при отражении, определить коэффициент поглощения k света
в поляроидах.
1.22. Угол между плоскостями анализатора и поляризатора увеличен с 450
до 600. Во сколько раз уменьшилась при этом интенсивность света, выходящего
из анализатора?
1.23. Определите, во сколько раз ослабляется естественный свет, пройдя
через два поляризатора, если их плоскости составляют угол 450, а в каждом из
них теряется 15% падающего света.
1.24. Естественный свет проходит через систему, состоящую из двух поляризаторов, плоскости которых образуют угол α. В каждом из поляризаторов
теряется 10% падающего на него света. Найдите угол α, если интенсивность
света на выходе из системы составляет 10% интенсивности падающего на него
света.
1.25. Два скрещенных поляризатора расположены на пути волны естественного света интенсивности I0. Между ними помещают третий поляризатор.
Как должна быть ориентирована его плоскость, чтобы интенсивность света,
прошедшего через всю систему, была максимальной? Чему она равна?
1.26. Пучок плоскополяризованного света падает на систему из трех поляризаторов. Углы между главными плоскостями поляризаторов и плоскостью
поляризации падающего луча равны 300, 600, 900. Найти пропускание системы.
1.27. Степень поляризации частично поляризованного света Р = 0,25.
Найти отношение интенсивности поляризованной составляющей этого света к
интенсивности естественной составляющей.
1.28. Определить коэффициент отражения естественного света, падающего на стекло (n = 1,54) под углом полной поляризации. Найти степень поляризации лучей, прошедших в стекло. Поглощением света пренебречь.
1.29. Луч естественного света проходит сквозь плоскопараллельную стеклянную пластинку (n = 1,54), падая на нее под углом полной поляризации. Найти степень поляризации лучей, прошедших сквозь пластинку.
1.30. Определить: 1) коэффициент отражения и степень поляризации отраженных лучей при падении естественного света на стекло (n = 1,5) под углом
450; 2) степень поляризации преломленных лучей.
1.31. Волна естественного света интенсивности I0 падает под углом Брюстера на поверхность стекла (n = 1,5), находящегося в воздухе. Найти интенсивность отраженной волны, если известно, что коэффициент отражения
k = sin 2 (θ 2 − θ 1 ) , где θ1 – угол падения, θ2 – угол преломления волны.
1.32. Найти степень поляризации преломленного луча по выходе его из
стеклянной пластинки с показателем преломления n = 1,5 при углах падения 20,
45, 60, и 800. Падающий свет естественный.
1.33. Найти степень поляризации света, отраженного от поверхности
стекла под углами 00, 450, 56 0 51′ и 900 (показатель преломления стекла n = 1,53).
Падающий свет естественный.
10
2. Фотометрия
Световой поток – это величина, равная энергии dW , проходящей через
данную поверхность в единицу времени:
dФ =
dW
t .
(1)
Полный световой поток через замкнутую поверхность, охватывающую
источник света,
Ф = ∫ dФ .
(2)
S
Величина Ф является для данного источника света постоянной и не может быть увеличена с помощью оптических приборов (зеркал, линз). Оптические приборы позволяют лишь перераспределить полный световой поток с целью получения в некоторых направлениях большего потока на единицу телесного угла, т.е. большей силы света.
Источник света, размерами которого можно пренебречь по сравнению с
расстоянием от места наблюдения до источника, называется точечным. В однородной и изотропной среде волна, излучаемая точечным источником, будет
сферической.
r
n
dΩ
α
r
dS0
dS
O
Для решения фотометрических задач важным является понятие телесного
угла. Мерой телесного угла является отношение площади dS0, участка, вырезаемого конусом на поверхности сферы, к квадрату ее радиуса r:
dΩ =
dS 0
.
r2
(3)
Нормаль к площадке dS0 совпадает с осью конуса.
r
Если нормаль n к площадке dS составляет угол α с осью конуса, то
dΩ =
dS cos α
.
r2
(4)
Проекцию dS cos α называют видимой величиной площадки dS, если ее рассматривать под углом α к нормали.
Сила света I – величина, определяемая отношением светового потока dФ,
распространяющегося от источника излучения внутри малого телесного угла
dΩ , к этому телесному углу:
I=
dФ
dΩ .
(5)
Если поток Ф посылается источником равномерно по всем направлениям,
то сила света определяется как
11
I=
Ф
4π .
(6)
Освещенностью Е называется величина светового потока, приходящегося
на единицу поверхности:
E=
dФ dФ cosα I cosα
=
=
dS dΩ r 2
r2 .
(7)
Формула (7) выражает основной закон освещенности, создаваемой точечным источником (закон обратных квадратов): освещенность, создаваемая точечным источником, обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника до поверхности и прямо пропорциональна косинусу угла между направлением светового потока (осью узкого конуса, внутри которого распространяется
поток) и нормалью к площадке.
При наличии нескольких источников света освещенность поверхности
равна сумме освещенностей, создаваемых каждым из этих источников в отдельности.
Протяженный источник света можно характеризовать светимостью различных его участков и яркостью в данном направлении.
Яркостью в данном направлении называется поток света, посылаемый в
данном направлении единицей видимой поверхности внутри единичного телесного угла
Bϕ =
dФ
,
S cos ϕdΩ
(8)
где S – площадь видимой поверхности, ϕ – угол между нормалью к светящейся
поверхности и осью светового пучка.
Светимость протяженного источника – это световой поток, испускаемый
единицей площади наружу по всем направлениям (внутрь телесного угла 2π)
M=
dФисп
,
dS
(9)
где dФисп – поток, испускаемый наружу по всем направлениям элементом поверхности dS источника.
Светимость может возникнуть за счет рассеяния поверхностью падающего на него света. Тогда под dФисп следует понимать поток, рассеянный элементом поверхности dS по всем направлениям.
Для ламбертовых источников яркость не зависит от направления и связана со светимостью следующим образом
M = πB .
(10)
Задача 1.
В центре круглого стола диаметром D = 1,2 м стоит настольная лампа из
одной электрической лампочки, расположенной на высоте h1 = 40 см от поверхности стола. Над центром стола на высоте h2 = 2 м от его поверхности висит
люстра из четырех таких же лампочек. В каком случае получится большая ос-
12
вещенность на краю стола (и во сколько раз): когда горит настольная лампа или
когда горит люстра?
Решение.
h2
l1
h1
D
Освещенность поверхности стола можно рассчитать по формуле
E=
I
cos α .
l2
l1 = h12 + r 2 ; l 2 = h22 + r 2 .
h
h
cos α 1 = 1 ; cos α 2 = 2 .
l1
l2
E1 =
Ih1
Ih1
– освещенность на краю стола в случае, когда горит на=
3
3/ 2
2
l1
h1 + r 2
(
)
стольная лампа.
E2 =
4 Ih2
4 Ih2
=
– освещенность на краю стола в случае, когда горит люст3/ 2
3
l2
h22 + r 2
(
)
ра.
(
(
)
)
3/ 2
E1
h1 h22 + r 2
=
= 1,2.
E 2 4h2 h12 + r 2 3 / 2
Полученный результат показывает, что освещенность на краю стола будет больше в случае, когда горит настольная лампа.
Задача 2.
Найти светимость поверхности, яркость которой зависит от направления
как B = B0 cos i , где i – угол между направлением излучения и нормалью к поверхности.
Решение.
Светимость рассматриваемой поверхности представляет собой поток лучистой энергии, испускаемый единицей площади поверхности, т.е.
M=
Ф
.
S
В общем случае, яркость протяженного источника можно определить
следующим образом:
B=
dФ
.
dΩ S cos i
13
В полярной (сферической) системе координат dΩ = 2π sin i di - телесный
угол, в который распространяется световой поток dФ , S – площадь излучающей
поверхности. Отсюда dФ = B dΩ S cos i .
Полный световой поток, излучаемый рассматриваемой поверхностью, будет равен
π
π
π
2
2
2
Ф = ∫ B dΩ S cos i = ∫ B0 cos i 2π sin i S cos i di = 2πB0 S ∫ sin i cos 2 i di =
0
0
0
π
2
π
(
)
2
(
)
= 2πB0 S ∫ sin i 1 − sin i di = 2πB0 S ∫ sin i − sin 3 i di
0
2
0
Вычислив интеграл, получим окончательное выражение для потока световой энергии:
2
Ф = π B0 S .
3
Итак, светимость рассматриваемой поверхности будет иметь вид
M=
Ф 2
= π B0 .
S 3
2.1. Лампа, подвешенная к потолку, дает в горизонтальном направлении
силу света I = 60 кд. Какой световой поток Ф падает на картину площадью S =
0,5 м2, висящую вертикально на стене на расстоянии r = 2 м от лампы, если на
противоположной стене находится большое плоское зеркало на расстоянии a =
2 м от лампы?
2.2. В центре квадратной комнаты площадью 25 м2 висит лампа. Считая
лампу точечным источником света, найти, на какой высоте от пола должна находиться лампа, чтобы освещенность в углах комнаты была наибольшей.
2.3. 21 марта, в день весеннего равноденствия, на Северной Земле Солнце
стоит в полдень под углом 100 к горизонту. Во сколько раз освещенность площадки, поставленной вертикально, будет больше освещенности горизонтальной
площадки?
2.4. Точечный изотропный источник света испускает по всем направлениям поток Ф = 1257 лм. Чему равна сила света I этого источника?
2.5. Точечный изотропный источник света помещается над центром круглого стола. Сила света источника I = 50,0 кд, радиус стола R = 0,50 м, высота
источника над столом h = 1,0 м. Определить: 1) зависимость освещенности E
стола от расстояния r от центра; 2) значение освещенности: а) в центре, б) на
краю стола; 3) поток света Ф, падающий на стол; 4) какая доля η полного потока, испускаемого источником, падает на стол?
2.6. На столбах высотой 5 и 8 м горят две лампы силой 1000 и 750 кд, расстояние между столбами 20 м. Какая точка между основаниями столбов освещается обоими источниками одинаково?
14
2.7. Какую освещенность следует создать на белом листе бумаги с коэффициентом отражения ρ = 0,85, чтобы его яркость была В = 3⋅104 кд/м2? Можно
считать, что бумага рассеивает свет по закону Ламберта.
2.8. Освещенность, получаемая при нормальном падении солнечных лучей на поверхность Земли, около 105 лк. Считая, что излучение Солнца подчиняется закону Ламберта, и пренебрегая поглощением света в атмосфере, определить яркость Солнца, если известно, что радиус земной орбиты R = 1,5 ⋅ 10 8 км,
а диаметр Солнца D = 1,4 ⋅ 10 6 км.
2.9. Найти освещенность поверхности Земли у экватора светом, отраженным Луной в полночь в полнолуние. Считать, что Солнце является ламбертовым источником света, а Луна – ламбертовым отражателем. Яркость Солнца
2
BC = 1,5 ⋅ 10 9 кд/м , радиус Солнца RC = 7 ⋅ 10 8 м, расстояние от Солнца до Земли (и
Луны) R0 = 1,5 ⋅ 1011 м, расстояние от Луны до Земли R1 = 3,8 ⋅ 10 8 м, видимый радиус
Луны R Л = 1,7 ⋅ 10 6 м. Коэффициент отражения лунной поверхности ρ = 7 %
2.10. Найти освещенность на поверхности Земли, вызываемую нормально
падающими солнечными лучами. Яркость Солнца равна L = 1,2 ⋅ 109 кд/м2.
2.11. Сила света точечного неизотропного источника, расположенного в
начале координат, задается законом I (θ ) = I 0 sin θ , где θ – угол между осью z и
направлением излучения. Найти полный световой поток, испускаемый источником.
2.12. Параллельный пучок лучей, несущий однородный световой поток
плотности j = 200 лм/м2, падает на плоскую поверхность, внешняя нормаль к
которой образует с направлением лучей угол α = 120 0 . Какова освещенность
этой поверхности?
2.13. Найти светимость поверхности, яркость которой зависит от направления как L = L0 cosθ , где θ – угол между направлением излучения и нормалью к
поверхности.
2.14. Лампа, в которой светящим телом служит накаленный шарик диаметром 3 мм, дает силу света I = 85 кд. Найти яркость этой лампы, если сферическая колба лампы сделана: 1) из прозрачного стекла, 2) из матового стекла.
Диаметр колбы равен 6 см.
2.15. На лист белой бумаги размером 20 × 30 см нормально к поверхности
падает световой поток Ф = 120 лм. Найти освещенность, светимость и яркость
бумажного листа, если коэффициент рассеяния ρ = 0,75.
2.16. Над столом находится светильник – плоский горизонтальный диск
радиуса R = 25 см. Расстояние от него до поверхности стола h = 75 см. Освещенность стола над центром светильника Е0 = 70 лк. Найти светимость этого
источника, считая его ламбертовским.
2.17. Небольшой светильник, имеющий вид равномерно светящейся сферы радиуса R = 6,0 см, находится на расстоянии h = 3,0 м от пола. Яркость светильника L = 2,0⋅104 кд/м2 и не зависит от направления. Найти освещенность
пола непосредственно под светильником.
15
2.18. Монохроматическая световая волна с λ = 510 нм при нормальном
падении на некоторую поверхность создает освещенность E = 100 лк. Определить давление р, оказываемое светом на поверхность, если отражается половина падающего света.
2.19. Точечный изотропный источник света помещается над центром
круглого стола. Сила света источника I = 50,0 кд, радиус стола R = 0,500 м, высота источника над столом h =1,00 м. Определить: 1) зависимость освещенности Е стола от расстояния r от центра; 2) значение освещенности: а) в центре, б)
на краю стола; 3) поток света Ф, падающий на стол; 4) какая доля η полного
потока, испускаемого источником, падает на стол?
16
3. Геометрическая оптика
При преломлении света на сферической поверхности, разделяющей две
среды с показателями преломления n1 и n 2 , выполняется соотношение
n1 n 2 n1 − n 2
−
=
,
a1 a 2
R
(1)
где а1 – расстояние от предмета до сферической поверхности, а2 – расстояние
от изображения до сферической поверхности, R – радиус кривизны сферической поверхности.
Здесь должно соблюдаться следующее правило знаков: если вершину
сферической поверхности (полюс сферического зеркала) поместить в начало
координат XOY, то расстояния, отсчитываемые от точки О (начало координат)
вправо (вдоль положительного направления оси ОХ), берутся со знаком +, а
расстояния, отсчитываемые от точки О влево (вдоль отрицательного направления оси ОХ), берутся со знаком –.
Для тонкой линзы, помещенной в однородную среду, оптическая сила D
определяется формулой
−
1
1
1
1 1
= = D ,
+
= (n − 1) −
a1 a 2
R1 R2 F
где а1 и а2 – расстояния от предмета и изображения до линзы; n =
(2)
nл
– относиnср
тельный показатель преломления материала линзы; R1 и R2 – радиусы кривизны
линзы; F – фокусное расстояние линзы.
Правило знаков для линзы: а1, а2, R1, R2 считать положительными, если
они отложены вправо от линзы, и отрицательными, если они отложены влево от
линзы.
Оптическая сила двух тонких линз, сложенных вместе, равна
D = D1 + D2 ,
(3)
где D1 и D2 – оптические силы линз.
Линейное (поперечное) увеличение β – отношение линейных размеров
изображения y ′ и предмета y:
β=
y′ a2
,
=
y a1
(4)
где а1 – расстояние от предмета до линзы (сферического зеркала); а2 – расстояние от линзы (сферического зеркала) до изображения.
Линейное увеличение – алгебраическая величина. Оно положительно, если изображение прямое (знаки y и y ′ одинаковы), и отрицательно, если изображение обратное (знак y ′ противоположен знаку y).
Угол зрения – угол, под которым виден предмет. Если G – размер предмета, а – расстояние до него, то угол зрения ϕ можно найти по формуле
tgϕ =
G
.
a
(5)
17
Минимальный угол зрения ϕ , при котором глаз способен различать две
точки предмета, определяет его разрешающую способность.
Увеличение оптического прибора, вооружающего глаз,
Г=
ϕ
l
=
,
l0 ϕ 0
(6)
где l, l0 – линейные размеры изображения на сетчатке вооруженного и невооруженного глаза, ϕ, ϕ0 – углы зрения, под которыми глаз видит предмет через
прибор и без него.
Увеличение, даваемое лупой,
Г=
L0
,
F
(7)
где L0 = 25 см – расстояние наилучшего зрения; F – фокусное расстояние лупы.
Увеличение, даваемое микроскопом, складывается из увеличений объектива Г1 ≅
L
d
и окуляра Г 2 = 0 :
F1
F2
Г=
L0 d
,
F1 F2
(8)
где L0 = 25 см – расстояние наилучшего зрения; d – оптическая длина тубуса
микроскопа, т.е. расстояние между фокусами объектива и окуляра; F1 и F2 –
фокусные расстояния объектива и окуляра соответственно.
Увеличение, даваемое телескопом,
Г=
F1
,
F2
(9)
где F1 и F2 – фокусные расстояния объектива и окуляра соответственно.
Задача 1.
Вычислить фокусные расстояния тонкой симметричной двояковыпуклой
стеклянной линзы, с одной стороны которой находится воздух, а с другой – вода, если оптическая сила этой линзы в воздухе D0 = +10 дптр.
Решение.
В данной задаче нельзя применять формулу (2), относящуюся к случаю,
когда с обеих сторон линзы находится одна и та же среда. Для решения задачи
воспользуемся формулой (1), применив ее поочередно к обеим поверхностям
линзы. Для первой (левой) поверхности имеем
n1
n n1 − n
−
=
,
a1 a 2
R1
где n1 и n - показатели преломления воздуха и материала линзы соответственно,
а1 – расстояние от предполагаемого предмета до линзы (до первой поверхности), а2 – расстояние от линзы до точки, в которой пересеклись бы лучи после
прохождения линзы, если бы не было второй поверхности линзы, т.е. это расстояние от линзы до предполагаемого изображения. Приняв это изображение за
мнимый предмет (для второй поверхности линзы), запишем выражение для
второй сферической поверхности линзы:
18
n n2 n − n2
− =
,
a2 a3
− R2
где n 2 - показатель преломления воды, а3 – расстояние от линзы до предполагаемого изображения, даваемого всей линзой, R2 берется со знаком минус с
учетом правила знаков.
Сложим почленно полученные уравнения и при этом учтем, что
R1 = R2 = R :
n1 n2 n1 − n n − n2
− =
−
.
a1 a3
R
R
Для нахождения фокусных расстояний линзы предположим, что на линзу
падает параллельный пучок света, т.е. а1 = – ∞, тогда расстояние а3 будет равно
заднему фокусному расстоянию OF2 линзы:
−
n2 n1 − n n − n2 n1 − 2n + n2
=
−
=
.
a3
R
R
R
Отсюда
a3 = OF2 =
n2 R
.
− n1 + 2n − n2
Далее предположим, что параллельный пучок света падает с другой стороны на линзу. Обозначим через a3′ расстояние от линзы до точки пересечения
преломленных лучей (т.е. переднее фокусное расстояние линзы OF1) и учтем
правило знаков (теперь свет распространяется справа налево). Повторив все
вышеизложенные рассуждения, получим
a3′ = OF1 =
n1 R
.
− n1 + 2n − n2
Радиус кривизны поверхностей линзы найдем из условия, что оптическая
сила этой линзы в воздухе D0 = +10 дптр:
D0 = (n − 1)
2
R
⇒R=
2(n − 1)
.
D0
Рассмотрим отношение фокусных расстояний линзы:
a 3′ OF1 n1
.
=
=
a 3 OF2 n 2
Отсюда видно, что фокусные расстояния линзы, по обеим сторонам которой различные среды, пропорциональны показателям преломления этих сред.
Задача 2.
Выпуклая сторона плоско-выпуклой линзы с радиусом кривизны R и показателем преломления n посеребрена, в результате чего получилось своеобразное вогнутое зеркало. Найти фокусное расстояние такого зеркала.
Решение.
Рассмотрим данное зеркало как некоторую систему, состоящую из плоско-выпуклой линзы с фокусным расстоянием F1 и сферического вогнутого зеркала с фокусным расстоянием F2. Луч света проходит линзу дважды (туда и
обратно, отразившись от посеребренной поверхности). Поэтому, чтобы найти
19
оптическую силу такой системы, нужно сложить оптические силы зеркала и
двух линз, т.е.
D = 2 D1 + D2 .
Фокусное расстояние линзы можно определить по формуле (2) и в результате получим
1
1
= (n − 1)
(радиус кривизны плоской поверхности линзы равен бескоF1
R
нечности).
Фокусное расстояние вогнутого зеркала равно F2 =
R
.
2
Так как оптическая сила связана с радиусом кривизны поверхности
D=
1
, то оптическая сила рассматриваемой системы равна
F
2
1 2(n − 1) 2 2n
+
=
+ =
D=
.
F1 F2
R
R R
Таким образом, фокусное расстояние равно
F=
1
R
=
.
D 2n
3.1. Монохроматический луч падает нормально на боковую поверхность
призмы, преломляющий угол которой равен 400. Показатель преломления материала призмы для этого луча 1,5. Найти отклонение луча по выходе из призмы
от первоначального направления.
3.2. Для некоторой стеклянной призмы угол наименьшего отклонения луча равен преломляющему углу призмы. Найти последний.
3.3. Трехгранная призма с преломляющим углом 600 дает угол наименьшего отклонения в воздухе 370. Какой угол наименьшего отклонения даст эта
призма в воде?
3.4. У призмы с преломляющим углом 300 одна грань посеребрена. Луч,
падающий на другую грань под углом 450, после преломления и после отражения от посеребренной грани вернулся назад по прежнему направлению. Чему
равен показатель преломления материала призмы?
3.5. Горизонтальный луч света падает на вертикально расположенное зеркало. Зеркало поворачивается на угол α около вертикальной оси. На какой угол
повернется отраженный луч?
3.6. Два плоских зеркала поставлены под углом α друг к другу. На них
падает луч, лежащий в плоскости, перпендикулярной к ребру угла. Определите
угол между направлением падающего луча и направлением луча, отраженного
от обоих зеркал.
3.7. Найти построением ход луча после отражения в вогнутом и выпуклом сферических зеркалах, где F – фокус, ОО/ – оптическая ось (см. рисунки).
20
O
F
O/
O
F
O/
3.8. Радиус кривизны вогнутого сферического зеркала 20 см. На расстоянии 30 см от зеркала поставлен предмет высотою 1 см. Найти положение и высоту изображения. Дать чертеж.
3.9. Найти путем построения положение фокуса для: а) вогнутого и б)
выпуклого зеркала радиуса R.
3.10. Выпуклое сферическое зеркало имеет радиус кривизны 60 см. На
расстоянии 10 см от зеркала поставлен предмет высотой 2 см. Найти положение
и высоту изображения. Дать чертеж.
3.11. Определить фокусное расстояние вогнутого зеркала, если:
а) при расстоянии между предметом и изображением l = 15 см поперечное увеличение β = -2,0;
б) при одном положении предмета поперечное увеличение β 1= -0,5, а при
другом положении, смещенном относительно первого на расстояние l = 5,0 см,
поперечное увеличение β 2= -0,25.
3.12. Радиус вогнутого сферического зеркала
равен R = 40 см. На главной оптической оси зеркала помещен точечный источник света А0 на расстоянии d = 30 см от зеркала. На каком расстоянии
L от вогнутого зеркала нужно поставить плоское
А0
зеркало, чтобы лучи, отраженные от вогнутого, а
затем от плоского зеркала, вернулись в точку, где
находился источник?
3.13. Человек, находящийся на расстоянии 2 м от вогнутого сферического
зеркала, видит в нем изображение лица в полтора раза большим, чем в плоском
зеркале, находящемся от лица на том же расстоянии. Чему равен радиус зеркала?
3.14. Если на зеркало падает пучок света, шиH
рина которого определяется углом α, то луч, идущий
параллельно главной оптической оси и падающий на
край зеркала, после отражения от него пересечет опA
О
тическую ось уже не в фокусе, а на некотором расα
F
стоянии AF от фокуса. Расстояние x = AF называется
продольной сферической аберрацией, расстояние
R
α
y = FH – поперечной сферической аберрацией. Выα M
вести формулы, связывающие эти аберрации с углом
α и радиусом кривизны зеркала R.
3.15. Имеется вогнутое сферическое зеркало с фокусным расстоянием F = 20 см. На каком наибольшем расстоянии h от главной оптической оси
21
должен находиться предмет, чтобы продольная сферическая аберрация x составляла не больше 2 % фокусного расстояния F.
3.16. Точечный источник, сила света которого I0 = 100 кд, помещен на
расстоянии s = 20,0 см от вершины вогнутого зеркала с фокусным расстоянием
F = 25,0 см. Определить силу света в отраженном пучке, если коэффициент отражения зеркала ρ = 0,80.
3.17. Линза с фокусным расстоянием 16 см дает резкое изображение
предмета при двух ее положениях, расстояние между которыми 60 см. Найти
расстояние от предмета до экрана.
3.18. С помощью тонкой собирающей стеклянной линзы с показателем
преломления n = 3/2 получено действительное изображение предмета на расстоянии 10 см от линзы. После того как предмет и линзу погрузили в воду, не
изменяя расстояния между ними, изображение получилось на расстоянии 60 см
от линзы. Найти фокусное расстояние F линзы, если показатель преломления
воды n ′ = 4/3.
3.19. Из двух стекол с показателями преломления 1,5 и 1,7 сделаны две
одинаковые двояковыпуклые линзы. 1) Найти отношение их фокусных расстояний. 2) Какое действие каждая из этих линз произведет на луч, параллельный оптической оси, если погрузить линзы в прозрачную жидкость с показателем преломления 1,6?
3.20. Радиусы кривизны поверхностей двояковыпуклой линзы равны
R1 = R2 = 50 см. Показатель преломления материала линзы равен n = 1,5. Найти
оптическую силу линзы.
3.21. Собирающая и рассеивающая линзы расположены так, что имеют
общую главную оптическую ось. На этой оси находится светящаяся точка S.
Построить изображение этой точки.
F1 S
F2 F1
F2
3.22. Источник света находится на расстоянии l = 90 см от экрана. Тонкая
собирающая линза, помещенная между источником света и экраном, дает четкое изображение источника при двух ее положениях. Найти фокусное расстояние линзы, если:
а) расстояние между обоими положениями ∆l = 30 см;
б) поперечные размеры изображения при одном положении линзы в η = 4
раза больше, чем при другом.
3.23. Тонкая собирающая линза, у которой отношение ее диаметра к фокусному расстоянию D = 1 , дает изображение удаленного предмета на фотоF
3,5
пленке. Яркость предмета R = 260 кд/м2, потери света в линзе η = 0,10. Найти
освещенность изображения.
22
3.24. Найти фокусное расстояние зеркала, представляющего собой тонкую симметричную двояковыпуклую стеклянную линзу с посеребренной одной
поверхностью. Радиус кривизны поверхностей линзы R = 40 см.
3.25. Найти построением ход луча 2 за собирающей и рассеивающей тонкими линзами, если известны положение линзы, ее оптической оси и ход луча
1. Среды по обе стороны от линзы одинаковы.
2
2
1
1
3.26. Собирающая линза дает четкое изображение предмета на экране.
Между линзой и экраном на расстоянии 15 см от экрана помещают рассеивающую линзу, вследствие чего изображение удаляется и оказывается на расстоянии 25 см от рассеивающей линзы. Чему равно фокусное расстояние рассеивающей линзы?
3.27. Оптическая сила тонкой линзы в воздухе и в жидкости с неизвестным показателем преломления равна соответственно D0 и –D1. Чему равен показатель преломления жидкости n ж , если у стекла линзы он равен n?
3.28. Расстояние от предмета до переднего фокуса втрое меньше, чем расстояние от его изображения до заднего фокуса. Насколько изменится расстояние между предметом и его изображением, если предмет приблизить к линзе на
расстояние l. Фокусное расстояние линзы F.
3.29. Плоско-выпуклая линза с радиусом кривизны 30 см и показателем
преломления 1,5 дает изображение предмета с увеличением, равным 2. Найти
расстояния предмета и изображения от линзы. Построить чертеж.
3.30. Найти продольную хроматическую аберрацию двояковыпуклой линзы из флинтгласа с одинаковыми радиусами кривизны R1 = R2 = 8 см. Показатель
преломления флинтгласа для красного (λ1 = 7,6⋅10-5 см) и фиолетового
(λ2 = 4,3⋅10-5 см) лучей равны соответственно 1,5 и 1,8.
3.31. Микроскоп состоит из объектива с фокусным расстоянием 2 мм и
окуляра с фокусным расстоянием 40 мм. Расстояние между фокусами объектива и окуляра равно 18 см. Найти увеличение, даваемое микроскопом.
3.32. Оптические силы объектива и окуляра микроскопа равны 100 и
20 дптр. Увеличение микроскопа равно 50. Каково будет увеличение этого
микроскопа, если расстояние между объективом и окуляром увеличить на
2,0 см?
23
4. Интерференция света
В однородной среде оптическая длина пути L равна произведению геометрической длины пути s на показатель преломления среды n, т.е.
L = ns .
(1)
В неоднородной среде оптическая длина пути L определяется формулой
L = ∫ nds .
(2)
S
Расстояние между интерференционными полосами или ширина полосы
интерференции от двух когерентных источников определяются формулой
∆x =
l
λ,
d
(3)
где l – расстояние от источников до экрана; d – расстояние между источниками;
λ – длина волны.
Условие максимумов при интерференции света, отраженного от плоскопараллельной пластинки толщины b,
2b n 2 − sin 2 ϕ = (2k + 1)
λ
2
,
(4)
где n – показатель преломления пластинки, ϕ – угол падения.
Условие минимумов при интерференции света, отраженного от плоскопараллельной пластинки толщины b,
2b n 2 − sin 2 ϕ = 2k
λ
2
.
(5)
В проходящем свете условия максимума и минимума при интерференции
обратны соответствующим условиям в отраженном свете, т.е. условие (3) является условием минимумов, а условие (4) – условием максимумов.
Радиусы светлых колец (условие максимума) Ньютона (в проходящем
свете) определяются формулой
rk = kRλ
(k = 1, 2,…),
(6)
радиусы темных колец (условие минимума)
rk =
(2k − 1)R λ
2
(k = 1, 2,…),
(7)
где R – радиус кривизны линзы.
В отраженном свете расположение светлых и темных колец обратно их
расположению в проходящем свете и условие (5) является условием минимума
(темное кольцо), а условие (6) – условием максимума (светлое кольцо).
Задача 1.
Плоская монохроматическая световая волна падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, отстоящими друг от друга на d = 2,5 мм. На
экране, расположенном за диафрагмой на расстоянии l = 100 см, образуется
система интерференционных полос. На какое расстояние и в какую сторону
24
сместятся эти полосы, если одну из щелей перекрыть стеклянной пластинкой
толщины h = 10 мкм?
Решение.
A
l1
1
2
l2
x
δ
Пусть х – расстояние от центра интерференционной картины до m-го максимума; δ – оптическая разность хода света от отверстий 1 и 2 до точки А.
Свет, идущий от отверстия 2 до точки А, проходит через две среды: стеклянную пластинку и воздух. Оптическая длина пути для него будет иметь вид
l 2 − h + nh , где n – показатель преломления стекла, а оптическая длина пути для
луча 1 равна l1 . Тогда оптическая разность хода световых лучей
δ = l 2 − h + nh − l1 = (l 2 − l1 ) + h(n − 1) .
l 2 − l1 = δ − h(n − 1) .
2
2
d
d
Из рисунка видно, что l = l + x + , l12 = l 2 + x − .
2
2
2
2
l 2 − l1 = (l 2 − l1 )(l 2 + l1 ) = 2 xd .
2
2
2
(1)
Так как расстояния от отверстий 1 и 2 до точки А много больше расстояния между отверстиями (δ<< l), то можно положить l 2 + l1 ≈ 2l .
Тогда (l 2 − l1 ) 2l = (δ − h(n − 1)) 2l = 2 xd .
Рассмотрим случай нахождения в точке А максимума, т.е. δ = mλ , получим
x=
2lδ 2lh(n − 1) mλl lh(n − 1)
−
=
−
.
2d
2d
d
d
Рассмотрим случай, когда стеклянная пластинка, закрывающая одно из
отверстий, отсутствует.
Оптическая разность хода лучей в данном случае равна δ = l 2 − l1 .
Согласно (1) получим δ ⋅ 2l = 2 x0 d , где x0 – расстояние от центра интерференционной картины до m-го максимума в случае отсутствия стеклянной пластинки.
x0 =
δl
d
=
mλl
.
d
Найдем смещение интерференционных полос:
∆x = x − x0 =
mλl lh(n − 1) mλl
lh(n − 1)
−
−
=−
= – 2 мм.
d
d
d
d
25
Знак минус в ответе указывает на то, что смещение интерференционных
полос произошло в сторону отверстия, перекрытого пластинкой.
Задача 2.
Поверхности стеклянного клина (n = 1,5) образуют между собой угол
α = 0,1′ . На клин падает нормально монохроматический свет с длиной волны λ =
0,5 мкм. Найти линейное расстояние между интерференционными полосами.
Решение.
C1
l
C2
d1
d2
α
Оптическая разность хода лучей равна
δ = 2d n 2 − sin 2 ϕ +
λ
λ
2
.
Так как угол падения ϕ = 0, то δ = 2dn + .
2
Пусть точкам С1 и С2 соответствуют две соседние светлые полосы, тогда
оптическая разность хода лучей в этих точках
δ 1 = 2d 1 n +
δ 2 = 2d 2 n +
λ
2
λ
2
= mλ ,
= (m − 1)λ .
Вычитая почленно одно выражение из другого, получим
2n(d1 − d 2 ) = λ ,
λ
(d1 − d 2 ) =
2n
.
Искомое расстояние между полосами обозначим l. Тогда, учитывая, что
угол α очень мал, получим d1 − d 2 ≅ lα . Отсюда l ≅
d1 − d 2
α
.
Для того, чтобы найти искомое расстояние, переведем значение угла α в
радианы: 0,1′ =
0,1π
рад. Тогда искомое расстояние будет равно l = 0,56 см.
180 ⋅ 60
Задача 3.
Плосковыпуклая стеклянная линза выпуклой поверхностью соприкасается со стеклянной пластинкой. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы R,
длина волны света λ . Найти радиусы темных и светлых колец Ньютона в отраженном свете.
26
Решение.
R
В
d
r
D
Пучок параллельных лучей падает нормально на линзу. Луч, дошедший
до точки В, частично отражается, а частично проходит в воздушный клин
(практически вертикально, из-за малой кривизны линзы). Отражаясь в точке D
от пластинки, он возвращается обратно и интерферирует с лучом, отраженным
в точке В. Так как в точке D происходит отражение от оптически более плотной
среды и теряется полволны, то оптическая разность хода обоих интерферирующих отраженных лучей будет равна δ = 2d +
λ
2
.
Предположим, что в точке В будет находиться m-е темное кольцо, тогда
разность хода δ будет равна δ = (2m + 1)
λ
λ
2
и
λ
= (2m + 1) ;
2
2
mλ
dm =
.
2
2d m +
Из рисунка видно, что
r 2 = R 2 − (R − d ) = R 2 − R 2 + 2 Rd − d 2 = 2 Rd − d 2 .
2
Так как d << R , то d 2 пренебрегаем по сравнению с R и rm2 = 2 Rd .
Учитывая, что d m =
mλ
, получим выражение для радиуса m-го темного
2
кольца
rm2 = mλR или rm = mλR .
Для светлого кольца оптическая разность хода (в точке В) равна
2d m +
λ
2
= mλ
⇒ dm =
(2m − 1)λ
4
Радиус m-го светлого кольца будет иметь вид
rm = R(2m − 1)
λ
2
.
Задача 4.
Плоско-выпуклая стеклянная линза с радиусом кривизны R = 40 см соприкасается выпуклой поверхностью со стеклянной пластинкой. При этом в отраженном свете радиус некоторого кольца r = 2,5 мм. Наблюдая за данным
кольцом, линзу осторожно отодвинули от
27
пластинки на h = 5,0 мкм. Каким стал радиус этого кольца?
Решение.
R
h
r
d
Пусть r – радиус темного кольца.
Формула для нахождения радиуса темного кольца в отраженном свете
имеет вид
r = mλR .
Разность хода лучей в точке А: δ = 2d +
λ
2
.
Для того, чтобы в рассматриваемой точке находилось темное кольцо,
должно выполняться условие
λ
δ = (2m + 1) .
2d +
λ
2
= (2m + 1)
λ
2
2
⇒d =
mλ
.
2
Разность хода лучей в точке А после сдвигания линзы будет иметь вид
δ 1 = 2(d + h ) +
λ
2
= (2m + 1)
λ
2
⇒d =
mλ
−h.
2
Радиус рассматриваемого темного кольца после того, как отодвинули
линзу, найдем из рисунка
r12 = R 2 − (R − d ) = R 2 − R 2 + 2Rd − d 2 = 2Rd − d 2 ≅ 2Rd
2
(принимаем во внимание, что R<< d).
mλ
− h = Rmλ − 2 Rh .
r1 = 2 Rd = 2 R
2
Учтем, что r = mλR , и тогда радиус рассматриваемого кольца после отодвигания линзы будет равен
r1 = r 2 − 2 Rh = 1,5 мм.
4.1. В опыте Юнга отверстия освещались монохроматическим светом
длиной волны λ = 6⋅10-5 см, расстояние между отверстиями 1 мм и расстояние
от отверстий до экрана 3 м. Найти положение трех первых светлых полос.
4.2. Найти длину волны λ монохроматического излучения, если в опыте
Юнга расстояние первого интерференционного максимума от центральной полосы х = 0,05 см, расстояние между отверстиями d = 0,5 см, расстояние от отверстий до экрана l = 5 м.
28
4.3. Показать, что если луч света, исходящий из точки А, попадает в точку
В после преломления на плоской границе раздела двух сред, то оптическая
длина пути этого луча меньше оптической длины любого другого пути, соединяющего точки А и В.
4.4. В опыте Юнга на пути одного из интерферирующих лучей помещалась тонкая стеклянная пластинка, вследствие чего центральная светлая полоса
смещалась в положение, первоначально занятое пятой светлой полосой (не считая центральной). Луч падает на пластинку перпендикулярно. Показатель преломления пластинки 1,5. Длина волны λ = 6⋅10-5 см. Какова толщина пластинки?
4.5. Плоская монохроматическая световая волна падает нормально на
диафрагму с двумя узкими щелями, отстоящими друг от друга на d = 3,0 мм. На
экране, расположенном за диафрагмой на расстоянии l = 150 см, образуется
система интерференционных полос. На какое расстояние и в какую сторону
сместятся эти полосы, если одну из щелей перекрыть стеклянной пластинкой
толщиной h = 10 мкм, а другую щель – алмазной пластинкой толщиной 15 мкм?
4.6. Расстояние от щелей до экрана в опыте Юнга равно 1 м. Определить
расстояние между щелями, если на отрезке длиной 1 см укладывается 10 темных интерференционных полос. Длина волны λ = 0,7 мкм.
4.7. На мыльную пленку (n = 1,33) падает белый свет под углом 450. При
какой наименьшей толщине пленки отраженные лучи будут окрашены в желтый цвет (λ = 6⋅10-5 см)?
4.8. Какова толщина мыльной пленки, если при наблюдении ее в отраженном свете она представляется зеленой (λ = 500 нм), когда угол между нормалью и лучом зрения равен 350? Показатель преломления мыльной воды принять равным 1,33.
4.9. На стеклянную пластинку нанесен тонкий слой прозрачного вещества
с показателем преломления n = 1,3 . Пластинка освещена параллельным пучком
монохроматического света с длиной волны λ = 640 нм, падающим на пластинку
нормально. Какую минимальную толщину d min должен иметь слой, чтобы отраженный пучок имел наименьшую яркость?
4.10. Пленка толщины b ∼0,01 мкм напылена в вакууме на подложку с показателем преломления меньшим, чем у пленки. Отражает ли пленка падающий
на нее свет?
4.11. На тонкий стеклянный клин падает нормально параллельный пучок
света с длиной волны λ = 500 нм. Расстояние между соседними темными интерференционными полосами в отраженном свете b = 0,5 мм. Определить угол α
между поверхностями клина. Показатель преломления стекла, из которого изготовлен клин, n = 1,6 .
4.12. На стеклянный клин падает нормально пучок света (λ = 5,82⋅10-5 см).
Угол клина равен 20′′ . Какое число темных интерференционных полос приходится на единицу длины клина? Показатель преломления стекла равен 1,5.
4.13. Стеклянный клин помещен в воду, показатель преломления которой
равен 1,33. На клин падает нормально пучок света с длиной волны λ = 600 нм.
29
Угол клина равен 30′′ . Какое число светлых интерференционных полос приходится на единицу длины клина? Показатель преломления стекла равен 1,5.
4.14. Найти расстояние между двадцатым и двадцать первым светлыми
кольцами Ньютона, если расстояние между вторым и третьим равно 1 мм,
а кольца наблюдаются в отраженном свете.
4.15. Желтая линия излучения натрия состоит из двух компонент с длинами волн 589,0 нм и 589,59 нм. Какое по счету темное кольцо Ньютона, соответствующее одной из этих компонент, совпадает со следующим по счету темным кольцом, соответствующим другой компоненте? Наблюдение проводится в
отраженном свете.
4.16. Наблюдатель отсчитывает ширину 10 колец Ньютона вдали от их
центра. Она оказывается равной 0,7 мм. Ширина следующих 10 колец оказывается равной 0,4 мм. Наблюдение производится в отраженном свете при длине
волны 589 нм. Определите радиус кривизны поверхности линзы.
4.17. На стеклянную пластинку положена выпуклой стороной плосковыпуклая линза. При нормальном падении на плоскую границу линзы красного
света (λ = 610 нм) радиус 5-го светлого кольца Ньютона оказывается равным
5,0 мм. Определить:
а) радиус кривизны выпуклой границы линзы;
б) оптическую силу линзы (показатель преломления линзы 1,5; линзу
считать тонкой);
в) радиус 3-го светлого кольца.
4.18. На вершине сферической поверхности плоско-выпуклой стеклянной
линзы имеется сошлифованный плоский участок радиуса r0 = 3,0 мм, которым
она соприкасается со стеклянной пластинкой. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы R = 150 см. Найти радиус шестого светлого кольца в отраженном свете с λ = 655 нм.
4.19. Плоско-выпуклая стеклянная линза с радиусом кривизны сферической поверхности R = 12,5 см прижата к стеклянной пластинке. Диаметры десятого и пятнадцатого темных колец Ньютона в отраженном свете равны
d1 = 1,0 мм и d2 = 1,50 мм. Найти длину волны света.
4.20. Две соприкасающиеся тонкие симметричные стеклянные линзы –
двояковыпуклая и двояковогнутая – образуют систему с оптической силой
D = 0,50 дптр. В свете с λ = 0,61 мкм, отраженном от этой системы, наблюдают
кольца Ньютона. Определить:
а) радиус десятого темного кольца;
б) как изменится радиус этого кольца, если пространство между линзами
заполнить водой.
4.21. Во сколько раз возрастет радиус m-го кольца Ньютона при увеличении длины световой волны в полтора раза?
30
5. Дифракция света
b
a
rk
S
O
P
Радиус внешней границы k-й зоны Френеля равен
rk =
ab
kλ ,
( a + b)
(1)
Условие минимумов интенсивности при дифракции Фраунгофера на щели
b sin ϕ = ± kλ (k = 1, 2, 3,…),
(2)
где b – ширина щели; ϕ – угол дифракции; λ – длина волны падающего света.
При нормальном падении света на дифракционную решетку условие максимумов имеет вид
d sin ϕ = ± kλ (k = 0, 1, 2, 3,…),
(3)
где d – постоянная (период) решетки; k – порядок спектра.
При падении плоской волны на дифракционную решетку под углом ϑ условие образования главных максимумов имеет вид
d (sin ϑ − sin ϕ k ) = ± kλ (k = 0,1,2,…).
(4)
Если решетка довольно груба, т.е. ее период d >> λ , то углы дифракции
малы и угол ϕ k мало отличается от ϑ . В таком случае имеем
d cos ϑ (ϑ − ϕ k ) = ± kλ .
(5)
Дифракционные решетки описываются следующими характеристиками:
дисперсионная область, дисперсия и разрешающая способность.
Дисперсионной областью называется максимальная ширина спектрального интервала ∆λ , при которой еще нет перекрытия спектров соседних порядков,
т.е. спектры можно различать:
∆λ =
λ
k
,
(6)
где k –порядок спектра.
Дисперсия определяет угловое (или линейное) расстояние между двумя
спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу (например, на 1 нм).
Угловой дисперсией называется величина
D=
δϕ
,
δλ
(7)
где δ ϕ – угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися
по длине волны на δ λ .
Линейной дисперсией называют величину
31
Dлин =
δl
,
δλ
(8)
где δ λ – расстояние на экране или на фотопластинке между спектральными
линиями, длины которых отличаются на δ λ .
Разрешающей способностью спектрального прибора называют безразмерную величину
R=
λ
,
δλ
(9)
где δ λ – минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются раздельно.
Задача 1.
Между точечным источником света и экраном поместили диафрагму с
круглым отверстием, радиус которого r можно менять. Расстояния от диафрагмы до источника и до экрана равны а = 100 см и b = 125 см. Определить длину
волны света, если максимум освещенности в центре дифракционной картины
на экране наблюдается при r1 = 1,00 мм и следующий максимум – при
r2 = 1,29 мм.
Решение.
Для того, чтобы в центре дифракционной картины был максимум, необходимо, чтобы было открыто нечетное число зон Френеля.
В случае, когда открыта первая (центральная) зона Френеля, выражение
для радиуса зоны имеет вид r12 =
ab
λ.
a+b
Следующий максимум будет наблюдаться, когда будут открыты три зоны
Френеля.
Тогда r22 = 3
ab
λ.
a+b
r22 − r12 )(a + b )
(
ab
r −r =2
λ ⇒λ =
= 0,6 мкм.
2ab
a+b
2
2
2
1
Задача 2.
Определить длину волны монохроматического света, падающего нормально на дифракционную решетку с периодом d = 2,2 мкм, если угол между
максимумами первого и второго порядков спектра ∆ϕ = 150.
Решение.
Пусть ϕ1 и ϕ2 – углы дифракции, соответствующие максимумам первого
(k = 1) и второго (k = 2) порядков.
По условию задачи
ϕ 2 − ϕ1 = ∆ϕ ⇒ ϕ 2 = ϕ1 + ∆ϕ .
Из формулы дифракционной решетки
32
(1)
d sin ϕ 1 = λ ,
(2)
d sin ϕ 2 = 2λ .
(3)
Для нахождения λ необходимо решить систему уравнений (1), (2), (3).
Учитывая (1), выражение (3) запишем в виде sin (ϕ 1 + ∆ϕ ) =
2λ
. Воспользуемся
d
тригонометрической формулой сложения и преобразуем левую часть полученного выражения:
sin ϕ1 cos ∆ϕ + cos ϕ1 sin ∆ϕ =
2λ
.
d
Учитывая, что cos ϕ1 = 1 − sin 2 ϕ1 , и принимая во внимание (2), получим:
2
λ
2λ
λ
cos ∆ϕ + 1 − sin ∆ϕ =
.
d
d
d
Из полученного уравнения найдем искомую величину:
λ=
d sin ∆ϕ
5 − 4 cos ∆ϕ
= 0,54 мкм.
5.1. На щель шириной 2 мкм падает нормально параллельный пучок монохроматического света с длиной волны λ = 5890 Å. Найти углы, в направлении которых будут наблюдаться минимумы света.
5.2. На непрозрачную пластину с узкой щелью падает нормально плоская
монохроматическая световая волна (λ = 600 нм). Угол отклонения лучей, соответствующих второму дифракционному максимуму, ϕ = 20 0 . Определить ширину щели.
5.3. На щель шириной 2⋅10-3 см падает нормально параллельный пучок
монохроматического света с длиной волны λ = 5⋅10-5 см. Найти ширину изображения щели на экране, удаленном от щели на l = 1 м. Шириной изображения
считать расстояние между первыми дифракционными минимумами, расположенными по обе стороны от главного максимума освещенности.
5.4. На узкую щель падает нормально монохроматический свет. Его направление на четвертую темную дифракционную полосу составляет 2012/. Определите, сколько длин волн укладывается на ширине щели.
5.5. Монохроматический свет падает на длинную прямоугольную щель
шириной 12 мкм под углом 300 к ее нормали. Определите длину волны света,
если направление на первый минимум (m = 1) от центрального фраунгоферова
максимума составляет 330.
5.6. На щель ширины 2d в непрозрачной ширме падает плоская световая
волна длины λ. На расстоянии b за щелью расположен экран (рис. 1). Оценить
ширину щели, при которой ее изображение на экране имеет минимальный размер.
33
2d
b
λ
э
Рис. 1
5.7. Каким должен быть минимальный радиус отверстия (см. задачу 5.6),
чтобы интенсивность света в точке Р была равна интенсивности I0 падающей
волны? Сделать оценки для случая (λ0 = 0,75 мкм, b = 1,0 м.
5.8. На щель ширины b = 3,0 мкм нормально падает плоская световая
волна (с длиной волны λ = 0,5 мкм). Определить количество N максимумов интенсивности, наблюдаемой в фокальной плоскости линзы.
5.9. Определить предельную ширину щели, при которой еще будут наблюдаться минимумы интенсивности.
5.10. Точечный источник света (λ = 0,5 мкм) расположен на расстоянии а
= 1м перед диафрагмой с круглым отверстием диаметра d = 2 мм. Определите
расстояние b от диафрагмы до точки наблюдения, если отверстие открывает три
зоны Френеля.
5.11. Определите радиус третьей зоны Френеля, если расстояния от точечного источника света (λ = 0,6 мкм) до волновой поверхности и от волновой
поверхности до точки наблюдения равны 1,5 м.
5.12. Сколько штрихов на 1 мм длины имеет дифракционная решетка, есo
ли зеленая линия ртути (λ = 5461 A ) в спектре первого порядка наблюдается
под углом 19 08′ ?
5.13. Какое наименьшее число N min штрихов должна содержать дифракционная решетка, чтобы в спектре второго порядка можно было видеть раздельно
две желтые линии натрия с длинами волн λ1 = 589,0 нм и λ2 = 589,6 нм? Какова
длина такой решетки, если постоянная решетки d = 5 мкм?
5.14. На дифракционную решетку нормально падает пучок света от разрядной трубки. Чему должна быть равна постоянная дифракционной решетки,
o
чтобы в направлении ϕ = 410 совпадали максимумы двух линий: λ1 = 6563 A и
o
λ2 = 4102 A ?
5.15. Расстояние между штрихами дифракционной решетки d = 4 мкм. На
решетку падает нормально свет с длиной волны λ = 0,58 мкм. Максимум какого
наибольшего порядка дает эта решетка?
5.16. На поверхность дифракционной решетки нормально падает монохроматический свет. Постоянная дифракционной решетки в 4,6 раза больше
34
длины световой волны. Найти общее число дифракционных максимумов, которые теоретически можно наблюдать в данном случае.
5.17. Постоянная дифракционной решетки в 4 раза больше длины световой волны монохроматического света, нормально падающего на ее поверхность. Определить угол α между двумя первыми симметричными дифракционными максимумами.
5.18. Чему равна постоянная дифракционной решетки, если эта решетка
o
может разрешить в первом порядке линии спектра калия λ1 = 4044 A и
o
λ2 = 4047 A ? Ширина решетки 3 см.
5.19. На дифракционную решетку, содержащую N = 400 штрихов на
∆l = 1,00 мм, падает нормально монохроматический свет с длиной волны
λ = 0,60 мкм. Найти общее число k дифракционных максимумов, которые дает
эта решетка, и угловое положение ϕ max последних максимумов.
5.20. На дифракционную решетку, содержащую 100 штрихов на 1 мм,
нормально падает монохроматический свет. Зрительная труба спектрометра наведена на максимум второго порядка. Чтобы навести трубу на другой максимум
того же порядка, ее нужно повернуть на угол ∆ϕ = 16 0 . Определить длину волны
света, падающего на решетку.
5.21. Определить угловую дисперсию дифракционной решетки для
o
λ = 5890 A в спектре первого порядка. Постоянная решетки равна d=2,5⋅10-4 см.
5.22. Какое фокусное расстояние должна иметь линза, проектирующая на
экран спектр, полученный при помощи дифракционной решетки, чтобы расo
o
стояние между двумя линиями калия 4044 A и 4047 A в спектре первого порядка было равно 0,1 мм? Постоянная дифракционной решетки равна d = 2 мкм.
5.23. Свет, падающий на дифракционную решетку нормально, состоит из
двух резких спектральных линий с длинами волн λ1 = 490 нм (голубой свет) и
λ2 = 600 нм (оранжевый свет). Первый дифракционный максимум для линии с
длиной волны λ1 располагается под углом ϕ 1 = 10,0 0 . Найти угловое расстояние
∆ϕ между линиями в спектре 2-го порядка.
5.24. Пучок рентгеновских лучей падает на решетку с периодом 1 мкм
под углом 89 0 30′ . Угол дифракции для спектра второго порядка равен 890. Найти длину волны λ рентгеновских лучей.
5.25. Найти условие равенства нулю интенсивности m-го максимума для
дифракционной решетки с периодом d и шириной щели b.
5.26. Могут ли перекрываться спектры 1-го и 2-го порядков дифракционной решетки при освещении ее видимым светом (700 – 400 нм)?
5.27. Найти угловую дисперсию решетки с постоянной d = 5 мкм, если
λ = 500 нм, порядок спектра k = 3.
5.28. Найти угловое расстояние между главным максимумом и ближайшим к нему минимумом дифракционной решетки.
5.29. Найти разрешающую силу дифракционной решетки с периодом
-4
2,5⋅10 см и шириной 3 см в спектрах 1-го и 4-го порядков.
35
5.30. Изменяется ли разрешающая сила решетки при изменении наклона
первичного пучка, падающего на нее?
5.31. Коллиматорная щель, освещаемая источником света, помещается в
главном фокусе линзы с фокусным расстоянием f = 20 см. Пройдя через линзу,
свет падает на дифракционную решетку, плоскость которой перпендикулярна к
главной оптической оси линзы. Число штрихов решетки N = 1000, ее период
d = 0,001 см. Какова должна быть ширина коллиматорной щели b, чтобы была
полностью использована разрешающая способность решетки в окрестности
0
длины волны λ = 5000 A ?
36
6. Кристаллооптика
Пластинкой в четверть волны называется вырезанная параллельно оптической оси пластинка такой толщины, для которой выполняется условие
λ
(n0 − ne )d = mλ 0 + 0 ,
4
(1)
где n0 и ne – показатели преломления обыкновенного и необыкновенного лучей; d – толщина пластинки; λ 0 – длина волны в вакууме, m = 0, 1, 2,…
При прохождении через такую пластинку обыкновенный и необыкновенный лучи приобретают разность фаз, равную
π
2
.
Пластинкой в полволны называется пластинка такой толщины, для которой выполняется условие
λ
(n0 − ne )d = mλ 0 + 0
2 .
(2)
Эффект Керра – явление возникновения двойного лучепреломления в
жидкостях и в аморфных телах при воздействии электрического поля. Возникающая разность показателей преломления n0 и ne пропорциональна квадрату
напряженности поля E:
n0 − ne = kE 2 .
(3)
При прохождении светом в веществе пути l между обыкновенным и необыкновенным лучами возникает разность хода
∆ = (n0 − ne )l = klE 2 ,
или разность фаз
δ=
∆
λ0
2π = 2π
k
λ0
lE 2 = 2πBlE 2 ,
(4)
(5)
где В – постоянная Керра.
Некоторые вещества, называемые оптически активными, обладают способностью вызывать вращение плоскости поляризации проходящего через них
плоскополяризованного света. Кристаллические вещества вращают плоскость
поляризации в случае, когда свет распространяется вдоль оптической оси кристалла. Угол поворота ϕ пропорционален пути l, пройденному лучом в кристалле:
ϕ = αl ,
(6)
где α – постоянная вращения (зависит от длины волны).
В растворах угол поворота плоскости поляризации пропорционален пути
света в растворе l и концентрации активного вещества С:
ϕ = [α ]Cl ,
(7)
[α ] = A2 – удельная постоянная вращения (зависит от длины волны и температуλ
ры), где А – постоянная, определяемая свойствами вещества.
37
Задача 1.
Раствор сахара, имеющий концентрацию 3%, при некоторой толщине
слоя вращает плоскость поляризации света с длиной волны 0, 75 мкм на угол
7 0 30′ . Какой концентрации надо взять раствор сахара, чтобы при той же его
толщине вызвать вращение плоскости поляризации света с длиной волны
0,5 мкм на 300?
Решение.
Угол поворота плоскости поляризации света в растворе сахара определенной концентрации С можно определить по формуле ϕ = [α ]Cl =
const.
A
λ2
Cl , где А –
Выразим концентрацию раствора из записанной выше формулы: C =
Тогда для первоначальной концентрации C1 =
Искомую концентрацию выразим как C 2 =
C 2 ϕ 2 λ 22
Рассмотрим отношение
=
C1 ϕ 1 λ12
ϕ1 λ1 2
Al
ϕ 2 λ2 2
Al
ϕ λ2
Al
.
.
.
ϕ 2 λ 22
⇒ C 2 = C1
= 5,3 %.
ϕ 1 λ12
6.1. Что такое пластинка в четверть волны?
6.2. Как получить свет, поляризованный по кругу?
6.3. Волна, поляризованная по кругу, падает на пластинку в четверть волны. Чему равна интенсивность прошедшей волны и как она поляризована?
6.4. Можно ли получить свет, поляризованный по кругу, с помощью пластинки с «толщиной» иной, чем в четверть волны?
6.5. На пути плоско-поляризованного монохроматического света установлена кристаллическая пластинка в четверть волны. Какие видоизменения будет
претерпевать вышедший из пластинки свет при вращении пластинки вокруг направления луча?
6.6. Определить минимальную толщину слоя кварца d min , являющегося
пластинкой в четверть волны для желтого света натрия (λ0 = 590 нм). Показатели преломления о- и е-лучей в кварце равны no = 1,54442 и ne = 1,5533.
6.7. При какой толщине пластинка из исландского шпата является плаo
стинкой в четверть волны для света с длиной волны λ1 = 5880 A и может повоo
рачивать плоскость поляризации на 900 для света с длиной волны λ2 = 5740 A ?
Разность показателей преломления для обыкновенного и необыкновенного лучей принять равной 0,2 для обеих длин волн. Считать, что обыкновенный и необыкновенный лучи идут по одному направлению.
6.8. Параллельный пучок света падает нормально на пластинку исландского шпата, вырезанную параллельно оптической оси. Определить разность
38
хода ∆ обыкновенного и необыкновенного лучей, прошедших через пластинку.
Толщина пластинки равна 0,03 мм, no = 1,658 и ne = 1,486 .
6.9. Ветровое стекло и фары автомашин снабжаются пластинками из поляроида. Как должны быть расположены эти пластинки, чтобы шофер мог видеть дорогу, освещенную светом его фар, и не страдал бы от света фар встречных машин?
6.10. Плоская монохроматическая волна с круговой поляризацией падает
нормально на систему из пластинки в полволны и поляроида. Какова будет интенсивность прошедшей волны, если между ними разместить некоторое произвольное число пластинок в четверть волны? Главные оси всех пластинок и поляроида параллельны. Интенсивность падающей волны I0.
6.11. Пластинку кварца толщиной d = 2 мм поместили между параллельными николями, в результате чего плоскость поляризации монохроматического
света повернулась на угол ϕ = 53 0 . Какой наименьшей толщины d min следует
взять пластинку, чтобы поле зрения поляриметра стало совершенно темным?
6.12. Кварцевую пластинку поместили между скрещенными николями.
При какой наименьшей толщине d min кварцевой пластинки поле зрения между
николями будет максимально просветлено? Постоянная вращения кварца
α = 27 град/мм.
6.13. Пучок света последовательно проходит через два николя, плоскости
пропускания которых образуют между собой угол ϕ = 40 0 . Принимая, что коэффициент поглощения каждого николя k = 0,15, найти, во сколько раз пучок света, выходящий из второго николя, ослаблен по сравнению с пучком, падающим
на первый николь.
6.14. Раствор, имеющий концентрацию 5%, вращает плоскость поляризации на 100. При какой концентрации раствора угол вращения будет 12 0 30′ ?
6.15. При прохождении света через трубку длиной l1 = 20 см, содержащую раствор сахара концентрацией С1 = 10%, плоскость поляризации света
повернулась на угол ϕ 1 = 13,3 0 . В другом растворе сахара, налитом в трубку длиной l2 = 15 см, плоскость поляризации повернулась на угол ϕ 2 = 5,2 0 . Определить концентрацию С2 второго раствора.
6.16. Смесь света, поляризованного по кругу, и естественного рассматривается через кристаллическую пластинку в четверть волны и николь. При вращении николя вокруг оси светового пучка найдено, что максимальная интенсивность света, прошедшего через систему, в m = 3 раза превосходит минимальную интенсивность. Найти отношение интенсивности света I к , поляризованного по кругу, к интенсивности естественного света I e .
39
7. Взаимодействие электромагнитных волн
с веществом. Поглощение света. Закон Бугера
Поглощение света веществом описывается законом Бугера:
(1)
I = I 0 e −µ d ,
где I – интенсивность прошедшего через вещество света; I0 – интенсивность
света на входе в поглощающий слой (на границе или в каком-либо месте внутри
вещества); d – толщина слоя; µ – коэффициент поглощения (постоянная, зависящая от свойств поглощающего вещества). Численное значение µ показывает
толщину слоя, равную
1
µ
, после прохождения которого интенсивность плоской
волны падает в е = 2,72 раза.
Физический смысл закона Бугера состоит в том, что коэффициент поглощения не зависит от интенсивности света, а следовательно, и от толщины поглощающего слоя.
Закон ослабления узкого пучка электромагнитных волн с учетом поглощения и рассеяния
I = I 0 e −k d ,
(2)
k = µ + µ′ ,
(3)
/
где k, µ, µ – линейные коэффициенты ослабления, поглощения и рассеяния.
Задача 1.
Плоская монохроматическая световая волна интенсивности I0 падает на
пластинку толщины d c линейным показателем поглощения µ. Коэффициент
отражения каждой поверхности пластинки равен ρ. Найти интенсивность прошедшего света, пренебрегая вторичными отражениями.
Решение.
I0
d
I 0′
I1
I 1′
I2
При падении световой волны на пластинку, часть света, определяемая коэффициентом отражения, отразится от первой поверхности. Оставшийся свет
будет распространяться в пластинке. На второй поверхности также произойдет
40
отражение некоторой части света, а оставшаяся часть света выйдет наружу, т.е.
пройдет пластинку насквозь.
Для нахождения интенсивности света, прошедшего через пластинку,
применим закон Бугера (1).
I 0′ = ρ I 0 – интенсивность света, отраженного от первой поверхности пластинки.
I 1 = I 0 − I 0′ = I 0 − ρ I 0 = I 0 (1 − ρ ) – интенсивность света, прошедшего в пластинку.
I 1 прош = I 1 e − µ d = I 0 (1 − ρ )e − µ d – интенсивность света, прошедшего сквозь вещество
пластинки и падающее на вторую поверхность пластинки.
I 1′ = ρ I 1 прош = I 0 ρ (1 − ρ )e − µ d – интенсивность света, отраженного от второй поверхности пластинки.
2
I 2 = I 1 прош − I 1′ = I 0 (1 − ρ )e − µ d − I 0 ρ (1 − ρ )e − µ d = I 0 (1 − ρ ) e − µ d – интенсивность света,
прошедшего через пластинку.
Задача 2.
Сколько слоев половинного ослабления в пластинке, которая уменьшает
интенсивность узкого пучка рентгеновского излучения в 50 раз?
Решение.
При прохождении света через некоторое вещество интенсивность света
уменьшается экспоненциально согласно закону Бугера, т.е. I = I 0 e − µ d .
Слой половинного ослабления – это слой в веществе, проходя который,
интенсивность света уменьшается в два раза, т.е.
I 1
= .
I0 2
Обозначим х1 – слой половинного ослабления. Тогда
Отсюда µ x1 = ln 2 ⇒ x1 =
ln 2
µ
I 1
= = e − µ x1 .
I0 2
.
Пусть в рассматриваемой пластинке n слоев половинного ослабления:
d = nx1 .
Интенсивность света, прошедшего сквозь рассматриваемую пластинку,
ln 2
−µ n
I
1
уменьшается в 50 раз. Тогда = = e − µ d = e − µ nx1 = e µ .
I 0 50
Отсюда n ln 2 = ln 50 . n ≅ 5,63 .
Из полученного результата видно, что для того, чтобы интенсивность
света, прошедшего через заданную пластинку, уменьшилась в 50 раз, пластинка
должна иметь не менее 5 слоев половинного ослабления.
7.1. В некоторой среде распространяется плоская монохроматическая световая волна. Коэффициент поглощения среды для данной длины волны æ = 1,00
м-1 (коэффициентом поглощения такого порядка обладают стекла). На сколько
процентов уменьшается интенсивность света при прохождении волной пути,
41
равного: а) 5,00 мм (оконное стекло); б) 10,0 мм (зеркальное стекло); в) 1,00 м;
г) 4,60 м?
7.2. При прохождении в некотором веществе пути l интенсивность света I
уменьшается в два раза. Во сколько раз уменьшится I при прохождении пути
3l?
7.3. Световой пучок проходит через стопу из N = 5 одинаковых пластинок, каждая толщиной l = 5,0 мм. Коэффициент отражения каждой поверхности
ρ = 0,050. Отношение интенсивности света, прошедшего через эту систему, к
интенсивности падающего света τ = 0,55. Пренебрегая вторичными отражениями, определить линейный показатель поглощения данного стекла.
7.4. Из некоторого вещества изготовили две пластинки: одну толщиной
d1 = 3,8 мм, а другую толщиной d2 = 9,0 мм. Введя поочередно эти пластинки в
пучок монохроматического света, обнаружили, что первая пластинка пропускает τ1 = 0,84 светового потока, а вторая τ2 = 0,70. Найти линейный показатель поглощения этого вещества. Свет падает нормально. Вторичными отражениями
пренебречь.
7.5. Найти для алюминия толщину слоя половинного ослабления узкого
пучка монохроматического рентгеновского излучения, если массовый показатель ослабления
µ
= 0,32 см2/г.
ρ
7.6. Во сколько раз уменьшится интенсивность узкого пучка рентгеновского излучения с длиной волны 20 пм при прохождении свинцовой пластинки
толщиной d = 1,0 мм, если массовый показатель ослабления для данной длины
волны
µ
= 3,6 см2/г?
ρ
7.7. Узкий пучок рентгеновского излучения с длиной волны 62 пм проходит через алюминиевый экран толщиной 2,6 см. Какой толщины свинцовый экран будет ослаблять данный пучок в такой же степени? Массовые показатели
ослабления алюминия и свинца для этого излучения равны соответственно 3,48
и 72,0 см2/г.
7.8. Чему равен коэффициент отражения световой волны ρ при нормальном падении на границу: а) воздух-стекло и б) воздух-вода? Считать, что
nвозд = 1, nстек = 1,5, а nводы = 4/3. Какой из коэффициентов отражения больше?
7.9. Две пластинки одинаковой толщины, но сделанные из разного материала, пропускают соответственно 1/3 и 1/5 части падающего потока световой
волны. Чему равно отношение коэффициентов поглощения этих пластинок µ2 ?
µ1
Отражением света от границ пренебречь.
42
Ответы к задачам
1. Законы отражения и преломления света. Формулы Френеля.
Поляризация. Закон Брюстера
1.1. ϕ = arctan n = 53 .
1.2. 3,1 см.
n sin ϕ 1
1.3. sin ϕ 2 = 1
.
0
n2
1.4. h′ =
hn cos 3 θ
(n − sin θ )
2
3/ 2
2
.
1.5. 0,114 м.
1.6. n = 2 ≈ 1,41.
1.7. tgϕ = n .
1.8. Согласно закону отражения света
sin ϕ n1
=
, где n1 – показатель преsin ψ n0
ломления стекла. Полное внутреннее отражение от поверхности, отделяющей
n2
воду от стекла, произойдет, если выполнено условие: sinψ =
. Тогда
n1
n
sin ϕ = n1 2 = 1,33, т.е. sin ϕ > 1 Условия задачи неосуществимы.
n1
0
0
1.10. ϕ кр = 41 28′; ϕ ф = 40 49′ .
1.11. 420.
1.19. 450.
1.20.
1.27.
η=
1
(cos ϕ )2( N −1) = 0,12
2
.
I пол
P
=
= 0,3.
I ест 1 − P
1.28. Коэффициент отражения k = 0,083; степень поляризации Р = 9,1%.
1.29. Степень поляризации Р = 18,9%.
1.30. 1) коэффициент отражения k = 5,06%; степень поляризации Р = 83%;
2) 4,42%.
(
(
)
)
2
I n2 − 1
= 0,074 .
1.31. I отр = 0 2
2 n +1 2
1.32. 0,015; 0,091; 0,176; 0,402.
cos 2 (i − r ) − cos 2 (i + r )
∆=
=
I ⊥ + I || cos 2 (i − r ) + cos 2 (i + r )
I ⊥ − I ||
1.33.
43
= 0; 0,82; 1,0; 0.
1.34. Да, если волна поляризована линейно с вектором Е, лежащим в
плоскости падения, а угол падения равен φБр.
2. Фотометрия.
2.1. 8,34 лм.
2.2. 2,5 м.
2.3. В 5,7 раза. Таким образом, на Северной Земле загорать лучше стоя,
чем лежа.
2.4. I = 100,0 кд.
2.5.
Ih
1) E =
(h + r )
2 3/ 2
2
3) Ф = 2πI 1 −
;
2) а) 50 лк, б) 27 лк;
= 33 лм;
2
2
h +R
h
4) η = 0,053.
2.6. На расстоянии ≈ 9 м от более высокого столба.
πB
= 1,1⋅105 лк.
2.7. E =
ρ
2
4R
9
2.8. B = E = 1,5 ⋅ 10 кд/м2.
π D
2π RC2 R Л2
ρ 2 2 BC = 1,3 лм/м2.
2.9. E З =
3
R0 R1
2.10. E ≈ 8 ⋅ 10 лк.
2
2.11. Ф = π I 0 .
2.12. E = 100 лк.
2πL0
2.13. M =
.
4
3
2.14. 1) 1,2⋅107 кд; 2) 3⋅104 кд.
2.15. Е = 2⋅103 лк; М = 1,5⋅103 лм/м2; L = 480 кд/м2.
h2
2.16. M = E0 1 + 2 = 7⋅102 лм/м2.
R
2.17. E 0 =
πLR 2
h2
2.18. р = 1,6 нПа.
2.19. 1) E =
= 25 лк.
Ih
;
2 3/ 2
(h + r )
2
2) а) 50 лк, б) 27 лк;
2.20. E = π B .
3) Ф = 2πI I −
4) η = 0,053.
44
= 33 лм;
2
2
h +R
h
3. Геометрическая оптика
3.1. 34 0 37 ′ .
0
3.2. ϑ = 83 .
3.3. α = 8,7 0 .
3.4. n = 1,41 .
3.5. На 2α.
3.6. 2α.
3.8. а2 = -15 см, y2 = 0,5 см. Изображение действительное, обратное и
уменьшенное.
3.10. а2 = 7,5 см, y2 = -1,5 см. Изображение мнимое, прямое и уменьшенное.
lβ 1 β 2
lβ
F=
3.11. а) F =
2 =10 см; б)
(β 2 − β1 ) =2,5 см.
(1 − β )
3.12. L =
d2
(2d − R ) = 45 см.
3.13. 6 м.
R 1
− 1;
2 cos α
3.14. x =
y=
R 1
− 1 tg 2α .
2 cos α
3.15. h = 8 см.
3.16. I ′ =
ρI 0 F 2
(F − s )
2
= 2,0⋅103 кд.
3.17. 1м.
3.18. F = 9 см.
3.19. 1)
F1
=1,4;
F2
2) в данной жидкости первая линза будет действовать как рассеивающая, а вторая – как собирающая.
3.20. D = 2 м-1 (дптр).
(l − ∆l ) = 20 см; б) F =
3.22. а) F =
2
2
4l
3.23.
(
1 − η )πLD 2
E=
= 15 лк.
4F 2
R
3.24. F =
= 10 см.
2(2n − 1)
3.26. 37,5 см.
3.27. nж =
nD0
.
D0 − (n − 1)D1
45
l η
(1 + η )
2
= 20 см.
3.28. ∆l =
3l + 2 3F
l.
3l − 3F
3.29. а1 = -90 см, а2 = 180 см.
3.30. Fкр – Fфиол = 3 см.
3.31. k = 562.
3.32. k = 60.
4. Интерференция света
4.1. x1 = 1,8 мм, x2 = 3,6 мм, x3 = 5,4 мм.
4.2. λ =
xd
=0,5 мкм.
l
4.4. h = 6 мкм.
4.7. h = 0,13 мкм.
4.8. Задача неопределенная, пленка может иметь толщину k ⋅ 104 нм, где
k=1;3;5 и т.д.
4.10. Нет, не отражает.
4.12. 5 полос на 1 см.
4.14. 0,32 мм.
4.15. 998–е кольцо, соответствующее меньшей длине волны.
4.16. 175 мм.
2r52
(10 − 1) =9,1 м;
4.17. а) R =
λ
б) Ф =
(n − 1) =0,55 дптр;
R
в) r3 = Rλ (6 − 2) / 2 =3,7 мм.
1
2
2
2
d 2 − d1
= 0,5 мкм, где k1 и k2 – номера десятого и пятнадцато4.19. λ =
4 R (k 2 − k1 )
4.18. r = r02 + k − λR = 3,8 мм, где k = 6.
(
го темных колец.
4.20. а) r =
б) r ′ =
)
2kλ (n − 1)
= 3,5 мм, где k = 10;
D
r
n0
= 3,0 мм, где n0 – показатель преломления воды.
4.21. В 1,225 раза.
46
5. Дифракция света
5.1. ϕ 1 = 17 0 8′; ϕ 2 = 36 0 5′; ϕ 3 = 62 0.
5.3. 5 см.
5.4. 104.
5.5. 536 нм.
5.6. 2d min = 2bλ .
5.7. r =
bλ
= 0,5 мм (одна треть первой зоны Френеля).
3
5.8. N = 11.
5.9. bпред = λ.
5.10. b = 2м.
5.11. 1,16 мм.
5.12. N 0 = 600 мм-1.
5.14. d = 5⋅10-6 м.
5.18. d = 2,2⋅10-3 см.
5.19. k = 9 , ϕ max = 740.
dϕ
= 4,1 ⋅ 10 5 рад/м.
dλ
5.22. F = 0,65 м.
0
5.23. ∆ϕ = 4,8 .
5.21.
0
5.24. λ = 0,573 A .
5.25. m =
nd
, где n = 1, 2, 3,…
b
5.26. Не могут.
5.27. D =
k
=
d cos ϕ
5.28. ∆ϕ =
k
kλ
d 1−
d
0
= 0,63⋅104 рад/см = 13 угл.с/ A .
2
λ
.
Nd cos ϕ
5.29. 12000 и 48000.
5.30. Нет.
5.21. b<<
fλ
≈ 0,001 см.
Nd
47
6. Кристаллооптика
6.1. Вырезанная параллельно оптической оси одноосная двоякопреломляющая пластинка, создающая сдвиг по фазе между обыкновенным и необыкπ
новенным лучами на ± . Толщина d этой пластинки удовлетворяет условию
d=
4
(m + 1 / 4)λ0
( n − n ) , где m – целое число или нуль; λ – длина световой волны в ва0
0
e
кууме; n0 и ne – показатели преломления обыкновенного и необыкновенного
лучей.
6.2. Пропустить плоскополяризованный свет через пластинку в четверть
волны, установленную так, что ее оптическая ось образует с плоскостью колебаний плоскополяризованного света угол 450.
6.3. I = Iпад, поляризация линейная.
6.4. Нет, нельзя.
6.5. Четыре раза за один оборот свет становится плоскополяризованным,
четыре раза (в промежуточных положениях) – поляризованным по кругу. В остальное время свет будет эллиптически поляризованным с непрерывным видоизменением формы эллипса от отрезка прямой до окружности и обратно.
λ0
6.6. d min =
= 16,2 мкм.
4(ne − n0 )
6.7. L ≈ 0,33 мм.
6.8. ∆ = 5,16 мкм.
6.9. В стекле и фарах автомашины главные плоскости поляроидов должны быть параллельны между собой и составлять угол 450 с горизонтом, При
этом у всех машин они должны быть повернутыми в одну и ту же сторону (считая по ходу машины).
1
6.10. I = I 0 .
2
6.14. 6,25 %.
6.16.
Iк m −1
=
= 1.
Ie
2
7. Взаимодействие электромагнитных волн с веществом.
Поглощение света. Закон Бугера
7.1. а) на 0,50 %,
7.2. В 8 раз.
7.3. µ =
б) на 1,00 %,
1 1 − ρ 2N
= 0,034 см-1.
ln
lN τ
48
в) на 63 %,
г) на 99,0 %.
τ
ln 1
τ2
= 0,038⋅103 м-1.
7.4. α =
(d 2 − d1 )
ln 2
= 8 мм.
7.5. d =
µ
7.6. Уменьшится в exp(µd ) = 0,6⋅102 раз.
7.7. d = 3 мм.
7.8. а) ρ = 0,04; б) ρ = 0,02;
µ
ln 5
2
7.9. µ = ln 3 ≈ 1,5
1
49
Приложение
1. НЕКОТОРЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
Формулы сложения
sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ,
sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β ,
cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β ,
cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β ,
tgα + tgβ
tg (α + β ) =
,
1 − tgαtgβ
tgα − tgβ
tg (α − β ) =
.
1 + tgαtgβ
Преобразование суммы тригонометрических функций
sin α + sin β = 2 sin
α +β
cos
α −β
,
2
2
α+β
α −β
sin α − sin β = 2 cos
sin
,
2
2
α+β
α −β
cos α + cos β = 2 cos
cos
,
2
2
α +β
α −β
cos α − cos β = −2 sin
sin
,
2
2
sin (α + β )
tgα + tgβ =
,
cos α cos β
sin (α − β )
tgα − tgβ =
.
cos α cos β
Преобразование произведения
тригонометрических функций в сумму
1
(cos(α − β ) − cos(α + β )),
2
1
sin α cos β = (sin (α − β ) + sin (α + β )),
2
1
cos α cos β = (cos(α − β ) + cos(α + β ))
2
sin α sin β =
50
Преобразование степеней синуса и косинуса
1
(1 − cos 2α ), cos 2 α = 1 (1 + cos 2α ),
2
2
1
1
sin 3 α = (3 sin α − sin 3α ), cos 3 α = (3 cos α + cos 3α ),
4
4
1
sin 4 α = (3 − 4 cos 2α + cos 4α ),
8
1
cos 4 α = (3 + 4 cos 2α + cos 4α ).
8
sin 2 α =
2. НЕКОТОРЫЕ АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Скорость распространения света в вакууме
Средний радиус Земли
Средний радиус Солнца
Средний радиус Луны
Масса Земли
Масса Солнца
Масса Луны
Средняя плотность Земли
Средняя плотность Солнца
Среднее расстояние от Луны до Земли
Среднее расстояние от Земли до Солнца
Период обращения Луны вокруг Земли
Угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси
Температура поверхности Солнца
2,99776⋅108 м/с
6,37⋅106 м
6,95⋅108 м
1,74⋅106 м
5,98⋅1024 кг
1,99⋅1030 кг
7,35⋅1022 кг
5,5⋅103 кг/м3
1,4⋅103 кг/м3
3,84⋅108 м
1,49⋅1011 м
27 сут 7 ч 43 мин
7,292⋅10-5 рад/с
5800 К
3. ПОКАЗАТЕЛИ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
Азот
Алмаз
Бензол
Воздух
Вода
Глицерин
Каменная соль
Кварц
Кедровое масло
1,00030
2,42
1,50
1,00029
1,33
1,47
1,54
1,54
1,52
Кислород
Лед
Плексиглас
Сероуглерод
Скипидар
Спирт этиловый
Стекло (обычное)
Стекло (тяжелый флинт)
Стекло (легкий крон)
51
1,00027
1,31
1,50
1,63
1,47
1,36
1,50
1,8
1,5
Для кристаллов с двойным лучепреломлением
Исландский шпат
ne
no
Красный
1,484
1,653
Оранжевый
1,485
1,655
Желтый
1,486
1,658
Зеленый
1,489
1,664
Голубой
1,491
1,668
Сине-фиолетовый 1,495
1,676
Фиолетовый
1,498
1,683
Длина волны λ, нм Цвет
687
656
589
527
486
431
400
Кварц
ne
no
1,550 1,541
1,551 1,542
1,553 1,544
1,556 1,547
1,559 1,550
1,564 1,554
1,568 1,558
4. ВРАЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИ
(естественное вращение в кварце)
Длина волны λ, нм Постоянная вращения α, град/мм
275
120,0
344
70,6
373
58,8
405
48,9
436
41,5
497
31,1
590
21,8
656
17,4
670
16,6
52
Литература
1. Бабаджан Е.И., Гервидс В.И., Дубовик В.М., Нерсесов Э.А. Сборник
качественных вопросов и задач по общей физике. – М.: Наука, 1990.
2. Балаш В.А. Задачи по физике и методы их решения. – М.: Просвещение, 1974.
3. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. – М.:
Наука, 1985.
4. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. – М.: Наука, 1988.
5. Ландсберг Г.С. Оптика. – М.: Наука. 1976.
6. Калитеевский Н.И. Волновая оптика. – М.: Высш. шк., 1985.
7. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике. – М.: Наука,
1988.
8. Сборник задач по общему курсу физики / Под ред. В.А. Овчинкина.
Ч.2. Электричество и магнетизм, оптика. – М.: Изд-во МФТИ, 2000.
9. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. IV. Оптика. – М.: Наука, 1985.
Содержание
1. Законы отражения и преломления света. Формулы Френеля. Поляризация. Закон Брюстера ...................................................................... 3
2. Фотометрия ........................................................................................... 11
3. Геометрическая оптика ........................................................................ 17
4. Интерференция света ........................................................................... 24
5. Дифракция света ................................................................................... 31
6. Кристаллооптика .................................................................................. 37
7. Взаимодействие электромагнитных волн с веществом. Поглощение
света. Закон Бугера.............................................................................. 40
Ответы к задачам ...................................................................................... 43
Приложение............................................................................................... 50
Литература................................................................................................. 53
Учебное издание
Лешенюк Николай Степанович
Апанасевич Елена Евгеньевна
ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ (ОПТИКА)
Учебно-методическое пособие
Редактор М.И. Авхимович
Технический редактор М.Л. Шимкевич
Cдано в набор 12.06.2005. Подписано в печать 26.07.2005.
Формат 60x84 1/16. Гарнитура Times New Roman.
Уч.-изд. л. 1,92. Усл. печ. л. 3,25. Тираж 150 экз.
Международный государственный экологический
университет им. А.Д. Сахарова
ул. Долгобродская, 23, 220009, Минск, Республика Беларусь
