Производная функции: лекция по математическому анализу

Лекции 10,11,12,13,14,15,16.
Глава 6. Производная функции
6.1. Понятие производной
Пусть функция y f x определена и непрерывна на некотором промежутке X .
Взяв значение a X , придадим аргументу приращение x так, что и новое значение
a
x не выходит из промежутка X . Тогда значение функции y f a заменится новым
значением y f a
и функция получит приращение
x
y f (a
x) f (a) ,
соответствующее приращению аргумента x . Анализируя отношение величин y и x ,
можно получить представление о свойствах функции. В связи с этим вводится понятие
производной.
Производной функции y f x в точке a называется предел отношения
приращения функции y в этой точке к приращению аргумента, если x 0 .
Для обозначения производной применяются следующие символы:
df (a)
y (a), f (a),
.
dx
y
f (a
x) f (a )
lim
Следовательно, f (a) lim
.
x 0
x 0
x
x
Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления.
►Пример 1.
Вычислить производную функции y x 3 4 x 3 в точке a .
В точке a дадим приращение x и вычислим соответствующее приращение
функции y :
y
f (a
x)
f (a)
(a
(3a
2
x) 3
x) 3 a 3
4) x (3a 1)( x) 2 .
4(a
4a 3
Отсюда
y (a)
y
(3a 2 4) x (3a 1)( x) 2
lim
x 0
x 0
x
x
2
lim (3a 4) (3a 1) x 3a 2 4 .
lim
x
0
Следовательно, искомая производная y (a) 3a 2 4 .
◄
►Пример 2.
Показать, что производная функции y x в точке x 0 не существует.
В точке x 0 , придав аргументу приращение x , вычислим соответствующее
приращение функции
y
y (0)
0
x
lim
x
0
0
x
y
x
lim
x
0
. Далее, по определению производной
x
1, x 0,
x
1, x
0.
Так как предел не существует, то и производную функции y
существует.
x в точке x
0 не
◄
Из этих примеров видно, что не всякая непрерывная функция может иметь
производную.
1
Теорема. Если функция y f (x) в некоторой точке имеет производную, то она
непрерывна в этой точке.
Данная теорема легко доказывается на основании второго определения
непрерывности функции. Для этого вычислим
x
y
y
lim y lim y
lim
x lim
lim x y 0 0 .
x 0
x 0
x 0
x 0
x
x
x x 0
Так как бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно
малое приращение функции, то функция непрерывна.
Обратное утверждение неверно. Непрерывная функция не дифференцируема в
угловых точках графика функции. Производная функции не существует и в точках
разрыва. Иллюстрация таких примеров приведена ниже на рисунке.
Y
O
a
b
c
Рис. 1
X
Рис. 1
6.2. Геометрический смысл производной
Пусть задана непрерывная функция y f x и построен еѐ график (см. рис. 2).
Отметим точку на графике A(a; f (a)) , придадим аргументу приращение
точку на графике B(a
x; f (a
x)) .
y=f(x)
Y
f(a+∆x)
f(a)
O
x и получим
B
α
A
β
∆x
α
D
∆y
C
a+∆x
a
X
Рис. 2
Через точки A и B проведем секущую. Угол между секущей и положительным
BC
y
направление оси абсцисс обозначим через . Отметим, что tg
. Если точку
AC
x
2
B перемещать по графику к точке A , которая остаѐтся неподвижной, то секущая будет
менять своѐ направление. Предельное положение секущей (когда точка B займет
положение точки A ) называется касательной к графику функции y f x в точке A .
Пусть угол между касательной и осью абсцисс равен . Учитывая, что при перемещении
точки B к точке A , x 0 , и
, получим следующее равенство lim tg
tg .
B
A
Отсюда,
y
lim x
x
f (a)
tg .
0
Следовательно, геометрический смысл производной функции состоит в следующем:
производная функции y f x в точке A(a; f (a)) равна тангенсу угла наклона
касательной к еѐ графику в этой точке.
Уравнение касательной: y f (a) f (a)( x a) .
Прямая линия, проходящая через точку A(a; f (a)) и перпендикулярная касательной,
называется нормалью (см. рис. 3) .
1
Уравнение нормали: y f (a)
( x f (a)) .
f (a)
y=f(x)
Y
Нормаль
2
Касательная
A(a; f (a))
O
Рис. 3
X
Рис. 2
6.3. Физический смысл производной
Пусть функция S S (t ) задает закон прямолинейного движения точки
M в зависимости от времени t . т.е. в каждый момент времени t известно
расстояние S (t ) от некоторой начальной точки отсчета до точки M . Если к
моменту времени t точка M проходит путь S (t ) , а к моменту t t - путь
S (t
t ) , то за промежуток времени t точка M проходит расстояние
S S (t
t ) S (t ) .
Тогда отношение
S
t
S (t
t ) S (t )
t
равно средней скорости движения за время t . Чем меньше промежуток
времени t , тем точнее средняя скорость характеризует движение точки в
момент времени t . Поэтому предел средней скорости движения точки M при
t
0 называют мгновенной скоростью движения точки M и обозначают:
3
t ) S (t )
.
t
Но выражение в правой части равенства есть S (t ) , следовательно,
v(t )
S (t
lim
t
0
производная от пройденного расстояния по времени равна мгновенной
скорости движения.
6.4. Экономический смысл производной
Пусть функция y f (x) задает издержки производства в зависимости от
объема выпускаемой продукции x . Если x - приращение объема
выпускаемой продукции, то y f ( x x) f ( x) приращение издержек
производства, соответствующее приращению x и
y
-среднее приращение
x
издержек производства на единицу дополнительной продукции.
Производная y ( x) lim y выражает предельные издержки
x
0
x
производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на
производство единицы дополнительной продукции.
Предельные издержки зависят от количества выпускаемой продукции
x и определяются переменными производственными затратами на сырье и
энергоресурсы. Аналогичным образом можно определить предельную
выручку, предельный доход, предельный продукт, предельную
производительность и другие предельные величины.
Применение дифференциального исчисления к исследованию
экономических объектов и процессов на основе анализа предельных величин
называется предельным анализом. Предельные величины характеризуют не
состояние, а процесс изменения экономического объекта.
6.5. Правила дифференцирования
1. Производная постоянной функции
f ( x)
c , f (x) 0 , т.е. (c)
0.
Действительно,
f ( x)
lim f ( x
x 0
x)
x
f ( x)
lim
x 0
c c
x
0.
2. Производная степенной функции натурального показателя
f ( x)
xn , n
N , f ( x)
nxn 1 .
По формуле бинома Ньютона имеем
y
(x
x) n
xn
xn
nx n 1 x
nx n 1 x
n(n 1) n 2
nx ( x) 2
2!
n(n 1) n 2
nx ( x) 2
2!
4
 ( x) n
 ( x) n .
xn
Теперь lim
y
n(n 1) n 2
nx
x  ( x) n 1
2!
nx n 1
lim
x 0 x
x 0
nx n 1 .
►Пример 3.
x5
5x 4 .
◄
3. Производная суммы, произведения и частного дифференцируемых функций
Теорема. Если функции u
(x) дифференцируемы в точке x ,
u(x) ,
то в той же точке дифференцируемы их сумма, разность, произведение и
частное этих функций и справедливы следующие функции:
v ,
u v
u
uv
u v uv ,
u
v
u v uv
, v(x)
v2
0.
Докажем формулу дифференцирования произведения функций.
u( x
x )v ( x
x ) u ( x )v ( x )
u
lim
x 0
x
u( x
x )v ( x
x ) u ( x )v ( x
x ) u ( x )v ( x
x ) u ( x )v ( x )
lim
x 0
x
u( x
x )v ( x
x ) u ( x )v ( x
x)
u ( x )v ( x
x ) u ( x )v ( x )
lim
lim
x 0
x 0
x
x
lim
x
(u ( x
x) u ( x))v( x
x
0
x)
u ( x)(v( x
lim
x
x) v( x))
x
0
u v uv .
x2
2x 5
.
x 3
Применим формулы дифференцирования частного, произведения и суммы функций:
►Пример 4. Вычислить производную функции f ( x)
f ( x)
x2
x2
2x 5
4
x 3
2x 2 x
4
3
x4
3
x2
4
3
2
5
6x 4
x
x
2
3
2x 5 4x
2
◄
3. Производная сложной функции
Теорема 3. Если функция t
функция y
2x 5 x 4
4
3
2x
2x 5 x 4
x4
20 x 3
3
2
3
6x 6
.
(x) имеет производную t x в точке x , а
f (t ) имеет производную yt в соответствующей точке t
то сложная функция y
(x) ,
f ( ( x)) имеет производную y x в точке x , которая
находится по формуле
5
yx
yt t x .
.
Из условия теоремы следует, что
y
t
lim
t
0
yt
.
Отсюда по теореме о связи функции, предела и бесконечно малой функции имеем
y
t
где
0 , если
y
или
yt t
t,
0.
(x) имеет производную в точке x , поэтому lim
x 0
Функция t
t
t
yt
tx x
x
0 при x
, где
yx
tx и
0.
y , получим
Подставив значение t в выражение для
y yt t
t yt (t x x
yt t x x
t
x
x)
x
(t x x
tx x
x)
x
.
Вычислим теперь
y
x
lim
x
0
lim
x
yt t x x
yx
x
tx x
x
yt t х
x
0
Теорема доказана.
4. Производная показательной функции
f ( x) a x , a 0, a 1, x
.
R, f ( x )
a x ln a .
Выведем сначала формулу производной для функции f ( x) e x .
Аргументу x придадим приращение x , тогда соответствующее приращение функции
y e x x e x e x (e x 1) . Далее
lim
x
0
e x (e x 1)
lim
x 0
x
y
x
e x 1
e lim
x 0
x
x
e x lim
x
0
x
x
ex .
x
ex .
Следовательно, доказана формула e
Функцию f ( x) a x запишем в виде a x e x ln a и применим формулу
дифференцирования сложной функции:
( f ( x)) (a x ) (e x ln a ) e x ln a ( x ln a) e x ln a ln a a x ln a .
►Пример 5. Вычислить производную функции y
y
64 x
3
5
64 x
3
5
3
64 x 5 .
ln 5 4 x3 5
12 ln 6 x 2 64 x
3
5
◄
5. Производная логарифмической функции
f ( x)
log a x, a
0, a 1, x
6
0;
, f ( x)
1 1
.
ln a x
.
Получим формулу производной функции f ( x)
ln 1
y
ln( x
x) ln x
lim
lim
x 0 x
x 0
x 0
x
x
►Пример 6. Вычислить производную функции y
f ( x)
lim
ln( x 3
y
x2
x3
x3
x 1
◄
x
x
x2
x2
ln x .
x
1
lim x
lim
x 0
x 0 x
x
3
2
ln( x
x
x 1) .
1
.
x
3x 2 2 x 1
.
x3 x2 x 1
x 1
x 1
6. Производная степенной функции произвольного показателя
f ( x)
x ,x
Так как x
e
0,
ln x
R ; f ( x)
, то f (x)
e ln x
y
x 3
1
2
5
1
2
x 3
1
3
5
1
2
.
e ln x ( ln x)
►Пример 7. Вычислить производную функции y
1
3
1
x
3
1
2
1
3
6
x 3
2
x
x
x
x 3
1
3
5
1
2
1
x 3
3
.
3
x 3 5
◄
7. Дифференцирование тригонометрических функций
1. f ( x) sin x, f ( x) cos( x) .
sin x
y
x
lim
x
0
lim
x
sin( x
0
x
2
lim
lim cos x
x 0
x 0
x
2
2. f ( x) cos x, f ( x)
sin( x) .
sin
cos x
3. f ( x)
tgx, f ( x)
tgx
4. f ( x)
sin
2
x) sin x
x
lim
1 cos( x)
cos( x)
0
x
x
sin
2
2
x
.
cos
2
x
2
x
cos
2
x
sin x
.
1
.
cos 2 x
sin x
cos x
ctgx, f ( x)
ctgx
x
x
2
2 cos x
x
cos x
sin x
(sin x) cos x sin x(cos x)
cos 2 x
cos 2 x sin 2 x
cos 2 x
1
cos 2 x .
1
.
sin 2 x
(cos x) sin x cos x(sin x)
sin 2 x
7
x
x 3 5.
1
3
x 3
e ln x
sin 2 x cos 2 x
sin 2 x
1
sin 2 x .
2
3
1
.
►Пример 7. Вычислить производную функции y
tg (2 x
3) .
1
2
.
y
tg (2 x 3)
2x 3
2
2
cos (2 x 3)
cos (2 x 3)
◄
8. Производная обратной функции
Пусть y f (x) и x g ( y) взаимообратные функции.
Теорема. Если функция y f (x) строго монотонна на интервале (a; b) и имеет
неравную нулю производную f (x) в произвольной точке этого интервала, то обратная
ей функция x g ( y) также имеет производную g ( y) в соответствующей точке и
справедливо равенство
1
1
или x y
.
g ( y)
f ( x)
yx
Для обратной функции x g ( y) аргументу y дадим приращение y 0 . Ему
соответствует приращение x 0 , так как функция y f (x) строго монотонна.
Поэтому справедливо равенство
x
1
y
y
x.
Если y 0 , то в силу непрерывности обратной функции и соответствующее
приращение
x
0 . Следовательно,
xy
lim
x
0
x
y
lim
x
0
1
y
x
1
yx
.
►Пример 8. Вычислить производную y x функции y 3 x 1 , применив правило
дифференцирования обратной функции.
Для функции y 3 x 1 обратной является функция x y 3 1 . Производная
xy
3y 2 , отсюда
yx
1
xy
1
3y 2
1
33 x 1
2
.
◄
9. Дифференцирование обратных тригонометрических функций
1
1. f ( x) arcsin x, x [ 1;1], f ( x)
.
1 x2
Для функции y arcsin x обратная функция x sin y .
По правилу дифференцирования обратной функции имеем
1
1
1
1
f ( x)
arcsin x
2
cos y
1 sin y
1 x2 .
sin y
1
2. f ( x) arccos x, x [ 1;1], f ( x)
.
1 x2
Из тождества arcsin x arccos x
имеем arccos x
2
дифференцируя последнее равенство, получим:
8
2
arcsin x и,
arccos x
3. f ( x)
arctgx, x
4. f ( x)
arcctgx, x
2
arcsin x
1
1 x2 .
1
.
1 x2
1
R, f ( x )
.
1 x2
R, f ( x )
6.6. Логарифмическое дифференцирование
При вычислении производной функции иногда целесообразно исходную функцию
прологарифмировать и затем выполнить дифференцирование. Такую операцию называют
логарифмическим дифференцированием. Например, степенно-показательную функцию
вида
y f ( x) g ( x ) ,
где f (x) и g (x) - дифференцируемые функции и f (x) 0 , дифференцируют только таким
способом.
Прологарифмировав равенство, получим
ln y g ( x) ln( f ( x)) .
Последнее равенство дифференцируем, учитывая, что y y(x) :
y
f ( x)
.
g ( x) ln( f ( x)) g ( x)
y
f ( x)
Отсюда
f ( x)
y y g ( x) ln( f ( x)) g ( x)
f ( x)
или
f ( x)
y
f ( x) g ( x ) g ( x) ln( f ( x)) g ( x)
.
f ( x)
►Пример 9. Найти производную функции
y (x2
x 1) x .
Логарифмируем исходное равенство:
ln y x ln( x 2 x 1) .
Дифференцируем полученное равенство:
y
2x 1
2x 2 x
ln( x 2 x 1) x 2
ln( x 2 x 1)
.
y
x
x 1
x2 x 1
Окончательно
2x 2 x
2x 2 x
2
x
2
(
x
x
1
)
.
y y ln( x 2 x 1)
ln(
x
x
1
)
x2 x 1
x2 x 1
◄
Логарифмическое дифференцирование, кроме того, удобно применять, если
функция представлена произведением нескольких множителей.
►Пример 10. Найти производную функции
9
3
y
x2 1 x4
x2 1
x8 1
.
Логарифмируем исходное равенство:
3
ln y
ln
x2 1 x4
x2 1
x8 1
1
1
ln( x 2 1) ln( x 4 x 2 1)
ln( x 8 1) .
3
2
Полученное равенство проще дифференцировать, чем исходную функцию:
y
2x
4x3 2x
8x 7
.
y 3 x 2 1 x 4 x 2 1 2( x 8 1)
Отсюда
2x
4x 3 2x
8x 7
y y
3 x 2 1 x 4 x 2 1 2( x 8 1)
3
x2 1 x4
x2 1
x8 1
2x
3 x2 1
4x3 2x
x4 x2 1
8x 7
.
2( x 8 1)
◄
6.7. Производные высших порядков
Пусть функция y f (x) дифференцируема на некотором множестве X. Тогда на
этом множестве определена функция y f (x) и можно говорить о еѐ производной.
Производная f (x) называется производной первого порядка. Если функция
y f (x) дифференцируема, то еѐ производная называется производной второго порядка
и обозначается f (x) .
Если дифференцируема функция y f (x) , то производная от f (x) называется
производной третьего порядка и обозначается f (x) .
Производная от производной (n 1) -го порядка называется производной порядка n
и обозначается f ( n ) ( x) .
Следовательно, справедлива формула
f ( n ) ( x) ( f ( n 1) ( x)) .
Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.
►Пример 11. Найти производную порядка n функции y ln x .
y
1
, y
x
y IV
1 2
x3
1
x
1
,y
x2
(n )
1 2 3
,…, y
4
x
◄
10
1
x2
1 2
,
x3
( 1) n 1
(n 1)!
.
xn
6.8. Дифференцирование неявно заданных функций
Пусть уравнение
F ( x, y)
0
задает неявно функцию y y(x) . Для нахождения производной от y по x
необходимо продифференцировать это уравнение по x , учитывая при этом,
что y - функция аргумента x , и затем полученное уравнение разрешить
относительно y :
y G( x, y) .
Продифференцировав последнее равенство по x , получим вторую
производную:
y Н ( x, y, y ) ,
где функция Н ( x, y, y ) зависит от x , y и y . Заменив y функцией G( x, y) ,
найдем для y функцию двух аргументов x и y :
y Q( x, y) .
Подобным образом находят производные и более высокого порядка.
►Пример 12. Найти производную функции y , заданной уравнением
2 x 3 4 y 2 5 xy 3x 7 y 10 0 .
Продифференцируем уравнение:
6x 2
8 yy
5 y 5 xy
0.
3 7y
Отсюда
(8 y 5 x 7) y
5 y 6x 2
3
и
5 y 6x 2 3
.
8 y 5x 7
y
◄
►Пример 13. Найти производную третьего порядка функции y , заданной
уравнением
x2
y2
a2 ,
Продифференцируем уравнение x 2
y2
2 x 2 yy
0.
где а – параметр.
Отсюда
x
.
y
y
Продифференцируем последнее равенство:
11
a 2 по x :
y
y
xy
y
.
2
Заменим y ранее полученным выражением и учтем исходное уравнение:
y
y
x
y
x
x2
y2
y2
y3
а2
.
y3
Далее
а2
y3
y
3
а2
y
y4
3
а2
y4
х
у
3а 2
х
.
у5
◄
6.9. Дифференцирование функций заданных параметрически
Пусть функция y
y(x) задана параметрически системой двух уравнений:
x x (t ),
y y (t ),
где t -параметр. Если функции
y x находится по формуле
x(t ) и y(t ) дифференцируемы, то первая производная
yt
.
xt
Для производных высших порядков применяются следующие формулы:
yx
y xx
yx t
,
xt
y xxx
y xx t
.
xt
►Пример 14. Найти производную второго порядка функции y , заданной
параметрически
x 3t 2 ,
y
Так как xt
6t и y t
t
2
3t t
.
4 , то
yx
Затем, так как y x
4t.
4
6t
2
.
3t
2
: 6t
3t 2
2
, то y xx
3t 2
1
.
9t 3
◄
6.10. Применение производной при решении экономических задач
Исследование экономических процессов происходит как исследование зависимости
некоторых величин от других. Например, взаимодействие цены на реализуемую
продукцию и дохода. Величина дохода r выражается формулой
12
r=pq,
где p – цена единицы продукции, q – количество продукции.
Повышение цены на продукцию в условиях рыночной экономики рано или поздно
приводит к банкротству. Детальное объяснение этого явления возможно при
исследовании отношения относительных изменений цены и количества продукции.
Пусть функция y f (x) определена и непрерывна на интервале (a; b) . Для
некоторой точки x (a; b) придадим приращение x , такое, что x
x (a; b) .
Величины x и y f ( x
x) f ( x) - абсолютные изменения аргумента и функции.
у
x
Отношения
и
называются относительными изменениями аргумента и функции, а
x
у
у
x
отношении
100% и
100% - процентными.
x
у
у
f (x
x) f ( x)
Отношение
: x
определяет, какое относительное изменение
у
f ( x) x
функции y f (x) в точке x приходится на единицу изменения аргумента.
Вычислим
f (x
x) f ( x)
1
f (x
x) f ( x) f ( x)
.
lim
lim
x 0
f ( x) x
f ( x) x 0
x
f ( x)
f ( x)
Величина
- скорость относительного изменения функции f (x) в точке x.
f ( x)
Если аргумент функции – время, то эта величина называется темпом прироста функции:
f ( x) y
Tx
.
f ( x)
y
Рассмотрим предел отношения относительных изменений функции и аргумента:
y x
x
y x
lim
:
lim
y .
x 0
y x
y x 0 x y
Полученная функция называется эластичностью функции y в точке x и
обозначается:
x
E x ( y)
y .
y
Эластичность функции f (x) показывает, на сколько процентов изменяется функция
при изменении аргумента на 1%.
Эластичность равна произведению аргумента x на темп изменения функции:
E x ( y ) xTx .
►Пример 15. Объем продукции, производимый в течении рабочей смены задается
t 3 7t 2 136t 128 , где t - время в часах, 0 t 8 .
формулой f t
Вычислить производительность труда, скорость изменения производительности, темп
изменения производительности через час после начала работы и за час до ее окончания.
Найдем производительность труда:
zt
f t
3t 2 14t 136 .
Скорость изменения производительности труда:
z (t )
6t 14 .
Темп изменения производительности труда:
13
z t
6t 14
.
2
zt
3t 14t 136
Вычислим производительность труда, скорость изменения производительности, темп
изменения производительности в заданные моменты времени:
t
z(t )
z (t )
Tz (t )
1
147
8
0,054
7
87
-28
-0,322
Tz t
Из таблицы видно, производительность повышается в первые часы смены и
понижается в конце смены.
◄
►Пример 16. Спрос и предложение на некоторый товар выражаются соответственно
p 8
функциями q р
и s p
p 0.5 , где p - цена товара.
p 2
Определить изменение спроса и предложения при увеличении цены на 1% от
равновесной.
Графики функций спроса и предложения изображены на следующем рисунке.
40
20
q( p )
s( p )
10
5
0
5
10
20
40
p
Рис. 4
При равновесной цене спрос равен предложению, поэтому
p 8
p 0,5 .
p 2
Помножив это уравнение на p 2 , получим квадратное уравнение
p 2 1,5 p 7
0.
Корни квадратного уравнения:
p1
3.5 (постороннее решение), p2
Следовательно, равновесная цена - p 2 .
Найдем эластичность спроса и предложения от цены:
2.
p
p p 2 p 8
6p
,
q
q
p 8
p 2
p 2 p 8
p
p
2p
Ep s
s
p 0.5
.
s
p 0.5
2p 1
Вычислим эластичность спроса и предложения для равновесной цены p
Ep q
14
2.
12
0.3 ,
4 10
2 2
4
Ep 2 s
0.8 .
2 2 1 5
Значит, при увеличении цены от равновесной на 1% спрос уменьшается на 0,3%, а
предложение увеличивается на 0,8%.
◄
Ep 2 q
6.11. Дифференциал функции
Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке х и имеет в этой точке производную
не равную нулю f (x) 0 . По теореме о связи функции, еѐ предела и бесконечно малой
функции можно записать равенство
y
f (x)
, где lim
0.
x 0
x
Отсюда
y f ( x) x
x.
Приращение функции y представлено суммой двух слагаемых f ( x) x и
x . Первое
слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка малости с x при x 0 , так
как
f ( x) x
lim
f ( x) 0 .
X 0
x
x является бесконечно малой функцией более высокого порядка
Второе слагаемое
малости, чем x , так как
x
lim
lim
0.
x 0
x 0
x
Поэтому первое слагаемое f ( x) x является главной частью приращения y
причем это слагаемое есть линейная функция относительно x .
Главная часть приращения функции y в точке х называется дифференциалом
функции у =f(x) в этой точке и обозначается dy :
dy f ( x) x .
Найдем дифференциал независимой переменной, для этого необходимо найти
дифференциал функции f(x)=x. Применив формулу дифференциала для этой функции,
получим
dx ( x)' x
x.
Следовательно, дифференциал независимой переменной х равен приращению этой
x . Теперь формулу дифференциала функции можно записать в виде
переменной: dx
dy f ( x)dx .
Значит, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на
дифференциал независимой переменной.
Из формулы дифференциала функции следует равенство
dy df ( x)
y
.
dx
dx
15
Y
y=f(x)
f(a+∆x)
B
∆y
C
f(a)
dy
A
∆x
О
D
a+∆x
a
X
Рис. 5
Геометрически, дифференциал функции y=f(x) равен приращению ординаты
касательной к графику функции в этой точке (dy=CD), если приращение аргумента x
AD и соответствующее приращение функции у BD.
►Пример 17. Найти приращение и дифференциал функции
y x 2 3x 1
в точке x 2 при x 0,1 .
Найдем приращение функции в произвольной точке x:
y y( x
x) y( x)
2
(( x
x) 3( x
x) 1) ( x 2 3x 1)
(2 x 3) x ( x) 2 .
Главная часть приращения функции равна. Следовательно, дифференциал функции
равен
dy (2x 3)dx .
Вычислим
y и dy при x 2 и x 0,1 :
y (2 2 3) 0,1 (0,1) 2
0,11 , dy
0,1 .
◄
Дифференциал функции можно применять в приближенных вычислениях.
Приращение функции представимо в виде:
0.
y f ( x) x
x , где lim
x
0
Отбросив второе слагаемое, получим приближенное равенство
y dy .
Данное равенство позволяет с большой точностью вычислять приращение функции любой
дифференцируемой функции. Отсюда следует
f ( x x) f ( x) f ' ( x) x или f ( x
x) f ( x) f ( x) x .
Последняя формула применяется в приближенных вычислениях.
►Пример 18. Найти приближенное значение arctg1,05 .
В данном случае f ( x) arctgx,. Запишем приближенное равенство:
arctg( x
x) arctg( x) arctg ( x) x ,
1
arctg( x
x) arctg( x)
x.
1 x2
16
Подставим числовые значения х=1,
arctg(1,05)
arctg(1)
x = 0,05:
1
1 1
0,05
4
0,025
0,785 0,025
0,810 .
◄
Пусть u(x) и v(x) - дифференцируемые функции.
dC 0 , С-константа.
d (Cu) Cdu .
d (u v) du dv .
d (u v) udv vdu .
u
vdu udv
d
, v 0.
v
v2
Если y f (u( x)) - сложная функция, то
d ( f (u)) f (u) или dy yu du .
6.12. Теоремы о дифференцируемых функциях
Свойства функции изучаются при помощи производной. Соотношения между
наибольшими и наименьшими значениями функции и производной определяются
следующими теоремами.
В дальнейшем нам необходимы будут понятия максимума и минимума функции.
Точка x0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f (x) ,
если для всех значений аргумента x из некоторой окрестности точки x 0 справедливо
неравенство
f ( x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) .
Значения функции y f ( x0 ) называются соответственно локальным максимумом
или локальным минимумом. Локальный максимум и локальный минимум называются
локальными экстремумами.
Функция может иметь несколько локальных максимумов и минимумов и иногда
локальный минимум может быть больше локального максимума (см. рис. 7).
Y
max f(x)=f(x0)
O
x1 x2
x3
x4 x5
x6
X
Рис. 6
Точки x2, x4, и x6 - точки локальных максимумов, а точки x1, x3 и x6 – точки
локальных минимумов.
17
Теорема Ферма. Пусть функция f (x) определена на некотором интервале (a; b) и в
некоторой точке x 0 этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение.
Тогда либо f ( x0 ) 0 , либо производная f ( x0 ) не существует.
Поясним геометрический смысл теоремы. Если f ( x0 ) 0 , то касательная к
графику функции f (x) в точке максимума или минимума параллельна оси Ox (рис. 8).
Y
max f(x)=f(x0)
Y
O
O
a
x0
b
min f(x)=f(x0)
X
a
x0
b X
Рис. 7
Если производная в точке максимума или минимума не существует, то
касательную невозможно построить, а график функции имеет заострение (рис. 9).
YY
max f(x)=f(x0)
YY
OO
OO
aa
x0x0
b b XX
min
min
f(x)=f(x
f(x)=f(x
0) 0)
aa
x0x0
b b XX
Рис. 8
При доказательстве теоремы предположим, что точка является точкой
максимума. Тогда для любой точки x x 0 x из интервала (a; b) выполняется
y
y
0 , если x 0 , и
0 , если
неравенство y f ( x) f ( x0 ) 0 . Значит,
x
x
y
f ( x0 ) lim
x
0
x 0 . Так как
x , то f ( x0 ) 0 .
Теорема Ролля. Пусть функция f (x) удовлетворяет условиям:
1. непрерывна на отрезке [a; b] ;
2. дифференцируема на интервале (a; b) ;
3. f (a) f (b) .
Тогда существует по крайней мере одна точка c (a; b) , в которой f (с) 0 .
Геометрическая интерпретация теоремы (рис. 10) состоит в том, что найдется хотя
бы одна точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси Ox. На рисунке
таких точек две: c1 и c2 .
18
Y
O
a
c1
c2 b
X
Рис. 9
Так как функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] , то она принимает в
некоторых точках отрезка максимальное и минимальное значения. Если они
достигаются на концах отрезка, то они по условиям теоремы равны. Значит,
функция f (x) тождественно постоянна на отрезке [a; b] и поэтому еѐ производная
равна нулю во всех точках отрезка.
Если хотя бы одно значение (максимальное или минимальное)
принимается внутри отрезка, то по теореме Ферма производная в этой точке равна
нулю: f (с) 0 .
Теорема Лагранжа. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и
дифференцируема на интервале (a; b) , то существует такая точка c (a; b) , что
f (b) f (a) f (с)(b a) .
Данная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных
приращений.
Y
f(b)
B
f(a) A
O
a
C
c
b
X
Рис. 10
Для выяснения геометрического смысла теоремы запишем формулу Лагранжа в виде
f (b) f (a )
f (с )
.
b a
Левая часть этой формулы f (с) - тангенс угла наклона касательной к графику
функции f (x) в точке с абсциссой x c (рис. 11):
f (с) tg .
Правая часть - тангенс угла наклона секущей графика функции f (x) , проходящей через
точки А(а; f (a)) и В(b; f (b)) :
19
f (b) f (a) BC
tg .
b a
AB
Таким образом, теорема Лагранжа утверждает: на интервале (a; b) найдется такая
точка c , что касательная к графику функции f (x) в точке (с; f (с)) параллельна секущей
графика функции, проходящей через точки (а; f (a)) и (b; f (b)) .
Для доказательства запишем вспомогательную функцию
f (b) f (a)
F ( x) f ( x)
( x a)
b a
,
[
a
;
b
]
которая удовлетворяет условиям теоремы Ролля на
. Действительно,
F (a)
F (b)
f (b) f (a)
(a a)
b a
f (b) f (a)
(b a)
b a
f (a)
f (b)
f (a)
,
f (a)
,
Значит,
F ( a)
F (b) .
Следовательно, существует такая точка c (a; b) , в которой F (с) 0 .
Теперь, так как
f (b) f (a)
F ( x) f ( x)
b a
,
получим
f (b) f (a )
f (с )
b a
.
Теорема доказана.
Теорема Коши. Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны на отрезке [a; b] и
дифференцируемы на интервале (a; b) . Если, кроме того, g (x) 0 для x (a; b) , то
существует такая точка c (a; b) , что
f (с) f (b) f (a)
.
g (с) g (b) g (a)
Доказательство. Из условия теоремы следует неравенство g (a) g (b) .
Действительно, если предположить противоположное: g (a) g (b) , то по теореме
Ролля найдется точка с , в которой g (с) 0 . Получили противоречие.
Определим вспомогательную функцию
f (b) f (a)
F ( x) f ( x) f ( a )
( g ( x) g (a))
g (b) g (a)
.
Данная функция непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале
(a; b) . Кроме того,
F ( a)
f ( a)
f ( a)
F (b)
f (b)
f (a)
f (b) f (a)
( g (a) g (a)) 0
g (b) g (a)
,
f (b) f (a)
( g (b) g (a)) 0
g (b) g (a)
,
F ( a)
F (b) .
Следовательно, существует такая точка c (a; b) , в которой F (с) 0 .
Теперь, так как
20
F ( x)
f (b) f (a)
g ( x)
g (b) g (a)
f ( x)
и
F (c )
f (c )
f (b) f (a)
g (c)
g (b) g (a)
0
,
то
f (с )
g (с )
f (b) f (a)
g (b) g (a) .
Теорема доказана.
►Пример 19. На графике функции f ( x) 1 x 2 найти точки, в которых касательная
параллельна секущей проходящей через точки A(0;1) и B(2; 3) .
Функция f ( x) 1 x 2 непрерывна и дифференцируема на отрезке [0;2] .
Следовательно, можно применить теорему Лагранжа:
f (b) f (a )
f (с )
.
b a
Вычислим производную исходной функции f ( x)
2x и, так как a 0 , b 2 ,
f (0) 1 и f (2)
3 , запишем уравнение:
3 1
2c
.
2 0
Значит, c 1 и получили одну искомую точку A(1;0) .
◄
►Пример 20. Рассмотрим экономические приложения теоремы Ферма.
Пусть x - объем выпускаемой продукции, S (x) - издержки производства,
необходимые для выпуска продукции в объеме x , D(x) - выручка от продажи продукции.
Тогда
MS( x) S ( x) и MD( x) D ( x) ,
соответственно, предельные издержки и предельная выручка и функция прибыли
C( x) D( x) S ( x) .
Оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль от реализации
произведенной продукции максимальна. Это значение x0 , при котором функция C(x)
принимает максимальное значение. По теореме Ферма в этой точке C ( x0 ) 0 или
C ( x0 ) D ( x0 ) S ( x0 ) .
Значит, D ( x0 ) S ( x0 ) 0 или
MS ( x0 ) MD( x0 ) .
В экономической теории это равенство объясняется правилом: объем продукции,
при котором прибыль максимальна, определяется так, чтобы предельные издержки были
равны предельной выручке.
◄
21
6.13. Вычисление пределов по правилу Лопиталя
f ( x)
, где a - конечное число или бесконечность.
x a g ( x)
0
, если же lim f ( x)
и
0 и lim g ( x) 0 , то имеем неопределенность вида
x a
x a
0
Рассмотрим вычисление пределов lim
Если lim f ( x)
x
a
, то - неопределенность вида
lim g ( x)
x
a
. Эти неопределенности называются основными.
Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f (x) и g (x) удовлетворяют
условиям:
1.
определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a , за
исключением, быть может, самой точки a ;
2.
бесконечно малые функции или бесконечно большие при х а .
f ' ( x)
f ( x)
Тогда, если существует lim
, то существует lim
и справедливо равенство
x a g ' ( x)
x a g ( x)
f ( x)
f ' ( x)
= lim
.
lim
x a g ( x)
x a g ' ( x)
0
Приведем доказательство правила Лопиталя в случае неопределенности
.
0
По условию функции f (x) и g (x) непрерывны и так как lim f ( x) 0 f (а) и
x
lim g ( x)
x
0
a
a
g (а) , то можно применить теорему Коши:
f ( x)
g ( x)
f ( x) f (a)
g ( x) g (a)
f (c)
g (c ) ,
где c (a; x) . Значит, если х
а , то и c а . Следовательно,
f ( x)
f (c)
f ( x)
lim
lim
lim
x a g ( x)
c a g (c)
x a g ( x)
.
0
Таким образом, предел отношения двух функций в случае неопределенностей 0 и
сводится к пределу отношения их производных.
ex 1
►Пример 21. Вычислить lim 2
.
x 0 x
2x
Так как lim e x 1 0 и lim x 2 2 x 0 , то в этом пределе неопределенность вида
x
0
x
0
0
и можно применить правило Лопиталя:
0
ex 1
lim 2
x 0 x
2x
lim
x
0
ex 1
x2
2x
ex
lim
x 0 2x
2
1
.
2
◄
►Пример 22. Вычислить lim
x
х2 1
.
еx
Имеем неопределенность вида
, применяя правило Лопиталя, получим:
22
lim
x
х2 1
еx
х2 1
lim
x
lim
x
еx
Снова получили неопределенность вида
2х
.
еx
. Правило Лопиталя можно применять несколько
раз:
lim
x
2х
еx
lim
x
2х
е
lim
x
x
2
еx
0.
◄
Правило Лопиталя можно применять и для вычисления пределов в случае неопределенностей
0
0
следующих видов: 0
,
, 1 ,
, 0 . Для этого необходимо выражение, стоящее под
знаком предела, тождественными преобразованиями привести к основным неопределенностям вида
0
или
0
.
При вычислении lim f ( x) g ( x) , если f ( x)
x
неопределенность 0
при x
0, g ( x)
a
a , имеем
. Тождественные преобразования
f ( x) 0
lim f ( x) g ( x) 0
lim
x a
x a
1 0
g ( x)
или
g ( x)
x a
x a
1
f ( x)
позволяют перейти к основным неопределенностям.
►Пример 23.
x
(2 x)
0
1
lim (2 x)tg
0
lim
lim
x 2
x 2
x 2
x
1
4
0
ctg
x 4
4
sin 2
4
◄
lim f ( x) g ( x)
Если f ( x)
при x
, g ( x)
lim ( f ( x) g ( x))
x
a
0
lim
1
1
4
.
4
a , то возможны преобразования:
1
1
1
1
g ( x) f ( x) 0
1
lim 1
lim
.
x a f ( x)
x a
1
1
g ( x)
0
f ( x) g ( x)
►Пример 24.
1
lim
x 1 ln x
lim
x 1
1
x 1
1
x2
1
x
1
x2
x 1 ln x
lim
x 1 ( x 1) ln x
0
0
1
.
2
23
1
lim
x
1
ln x
1
x
x 1
x
1
lim
x
1
1
x
ln x 1
1
x
◄
Пусть f ( x) 1, g ( x)
или f ( x)
, g ( x) 0 или f ( x) 0, g ( x) 0 при x a , то
g ( x)
для вычисления предела lim f ( x )
необходимо сначала прологарифмировать выражение
x
f ( x)
g ( x)
a
:
lim е
lim f ( x) g ( x )
x
a
x
g ( x ) ln( f ( x ))
a
lim g ( x ) ln( f ( x ))
ex a
exp(lim g ( x) ln( f ( x))) .
x
a
1
►Пример 25. Вычислить lim (cos 2 x) x .
2
x
1
lim (cos 2 x)
x
1
x2
0
1
exp lim cos 2 x
x
lim е
1
0
x
x2
0
0
0
ln cos(2 x )
0
ln cos 2 x
x 0
x2
exp lim
2 sin 2 x
exp lim
2x
x
0
2tg 2 x
2x
exp lim
x
0
2 2x
2x
exp
2
◄
1
►Пример 26. Вычислить lim
x 0 x
1
x 0 x
tgx
0
lim
exp lim tgx ln
x
x
exp lim
x
0
1
x2
1
sin 2 x
0
tgx
1
x
sin 2 x
x 0
x
exp lim
.
1
exp lim x
x 0 ctgx
ln
ln
exp lim sin x
x
0
◄
24
exp lim
x
sin x
x
0
1
x
ctgx
exp( 0 1)
e0
1.
e 2.
6.14. Формула Тейлора
Применение дифференциала позволяет вычислять приближѐнно значения
функций. Точность таких вычислений невысока. Увеличить точность вычислений
можно при помощи дифференциалов высших порядков.
В определении функции y f (x) иногда указывается и способ вычисления
1
значений функции при помощи арифметических операций. Например, y
. Но
1 x2
для некоторых элементарных функций способ вычисления не определяется, например,
y sin x , y arcsin x , y ln(1 x) .
Для вычисления значений функции в таких случаях применяют приближѐнные
формулы. Такие возможности представляет формула Тейлора.
Формула Тейлора для многочлена
Для многочлена Pn (x) степени п
дадим другое представление
Pn ( x)
Pn ( x)
a0
A0
A1 ( x a )
a1 x
a2 x 2
 an x n
A2 ( x a ) 2
 An ( x a ) n .
(1)
Необходимо найти коэффициенты A0 , A1 ,, An . Продифференцируем равенство (1)
по переменной х:
2 A2 ( x a )  nAn ( x a ) n 1 ,
Pn ( x)
A1
Pn ( x)
2 A2
Pn ( x)
3 2 A3
3 2 A3 ( x a )  n(n 1) An ( x a ) n 2 ,
4 3 2 A4 ( x a )  n(n 1)(n 2) An ( x a ) n 3 ,

(n)
Pn ( x) n(n 1)(n 2)  2 1An .
Подставим в полученные равенства и равенство (1) x
P(a), P (a), P (a),, P ( n ) (a) :
Pn (a)
A0 ,
Pn (a)
A1
Pn (a)
2 1 A2
Pn (a)
3 2 1 A3
a , т.е. вычислим значения
1! A1 ,
2! A2 ,
3! A3 ,

(n)
Pn (a) n(n 1)(n 2)  2 1 An n! An .
Из последних равенств получим значения коэффициентов A0 , A1 ,, An :
25
A0
Pn ( a ),
1
Pn ( a ),
1!
1
Pn ( a ),
2!
1
Pn ( a ),
3!
A1
A2
A3

1 (n)
Pn ( a ).
n!
Подставив в (1) вычисленные значения коэффициентов A0 , A1 ,, An , получим
разложение многочлена Pn (x) по степеням x a :
An
Pn (a )
Pn (a )
Pn (a )
( x a)
( x a) 2 
( x a) n .
(2)
1!
2!
n!
Формула (2) называется формулой Тейлора для многочлена.
Замечания.
1.Формулы (1) и (2) дают различное представление одного и того же многочлена.
2.От формулы (1) можно перейти к формуле (2) и другим способом (выделение
элементов x a, ( x a) 2 ,, ( x a) n ).
Pn
Pn (a )
►Пример 27. Разложить P3 ( x)
Учтем, что a
включительно:
4x3
3x 2
2 x 1 по степеням х+1.
1 , найдем производные от многочлена P3 ( x) до третьего порядка
P3 ( x)
12 x 2
P3 ( x)
24 x 6,
P3 ( x)
24.
6 x 2,
и вычислим значения многочлена P3 ( x) и его производных в точке a
Из формулы (2) получим
20
P3 ( x) 10
( x 1)
1
P3 ( 1)
4 3 2 1 10,
P3 ( 1)
12 6 2
P3 ( 1)
30,
P3 ( 1)
24.
30
( x 1) 2
2!
P3 ( x) 10 20( x 1) 15( x 1) 2
24
( x 1) 3
3!
1:
20,
10 20( x 1) 15( x 1) 2
4( x 1) 3 .
4( x 1) 3 .
◄
Формула Тейлора для произвольной функции
Пусть функция y=f(x) имеет производные до (п+1)-го порядка включительно в
некоторой окрестности точки а. Представим функцию f(x) в виде:
f ( x) Pn ( x) Rn ( x),
где Pn (x) - многочлен степени не выше п, удовлетворяющий условиям
26
(3)
( n)
(4)
Pn (a) f (a), Pn (a) f (a),, Pn (a) f ( n) (a),
Rn (x) - погрешность формулы (3) (остаточный член). Многочлен будем искать в
виде
Pn ( x) A0 A1 ( x a ) A2 ( x a ) 2
Вычислим производные этого многочлена
 An ( x a ) n .
(5)
2 A2 ( x a )  nAn ( x a ) n 1 ,
Pn ( x)
A1
Pn ( x)
2 A2
3 2 A3 ( x a )  n(n 1) An ( x a ) n 2 ,
Pn ( x)
3 2 A3
4 3 3 2 A4 ( x a )  n(n 1)(n 2) An ( x a ) n 3 ,
(6)

(n)
Pn ( x) n(n 1)(n 2)  2 1An .
В формулах (5) и (6) положим x a .
Pn (a)
A0 ,
Pn (a)
A1
Pn (a)
2 1 A2
Pn (a)
3 2 1 A3
1! A1 ,
2! A2 ,
(7)
3! A3 ,

(n)
Pn (a) n(n 1)(n 2)  2 1 An
Из равенств (4) и (7) получим
A0 f ( a ),
A1
A2
A3
n! An .
f ( a ),
1
f ( a ),
2!
1
f ( a ),
3!

An
1 (n)
f ( a ).
n!
В итоге получим формулу Тейлора
f ( x)
f (a)
f (a)
( x a)
1!
f (a)
f ( n ) (a)
2
( x a) 
( x a)
2!
n!
Rn ( x).
(8)
Для остаточного члена Rn (x) получены различные формулы. Запишем Rn (x) в
форме Лагранжа:
( x a) n 1 n 1
Rn ( x )
f (c),
(n 1)!
где с – точка, расположенная между x и a.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
f (a)
f (a)
f ( n ) (a)
f ( n 1) (с)
f ( x) f (a)
( x a)
( x a) 2 
( x a) n
( x a) n 1 .
1!
2!
n!
(n 1)!
Если а=0, то получим формулу Маклорена
f (0)
f (0) 2
f ( n ) (0) n f ( n ) (c) n 1
f ( x) f (0)
x
x 
x
x .
(9)
1!
2!
n!
(n 1)!
27
Запишем разложения по формуле Маклорена основных элементарных функций.
1. f ( x) e x .
Так как (e x ) ( k ) e x , k 0,1,2, и e 0 1 , то из формулы (9) получаем:
ex
x2
2!
1 x
x3
3!

xn
n!
Rn ( x) .
)
sin( x 2 ),
2
2. f ( x) sin x .
Вычислим производные функции sin x .
sin x
cos x
sin( x
sin x
sin( x
sin x
sin( x 2 )
2
2
2
)
),
cos( x
2
cos( x 2 )
2
sin( x 3 ).
2
Методом математической индукции можно доказать, что sin ( n ) x
sin( x n ) .
2
Вычислим значение sin ( n) x в точке х=0:
0, если n 2k ,
sin ( n ) 0 sin n
k
2
1 , если n 2k 1.
Значит,
x3 x5
x 2n 1
sin x x
 ( 1) n
Rn ( x ) .
3! 5!
(2n 1)!
3. f ( x)
4. f ( x)
5. f ( x)
cos x .
x2
cos x 1
2!
x4
4!
x 2n
 ( 1)
Rn ( x ) .
(2n)!
ln(1 x)
x2
2
x3
3
n
ln(1 x) .
x
 ( 1) n 1
xn
n
Rn ( x) .
(1 x) .
1)(
2) 3
(
1)  (
(n 1)) n
x 
x
Rn ( x ) .
2!
3!
n!
Приближённое вычисление значений функции
Если в формуле (9) отбросить остаточный член, то получим приближѐнную
формулу
f (0)
f (0) 2
f ( n ) (0) n
f ( x) f (0)
x
x 
x .
1!
2!
n!
Функция f (x) заменяется многочленом степени п. Точность этой формулы
определятся значением остаточного члена Rn (x) .
(1 x)
1
x
(
1)
x2
(
►Пример 28. Вычислить e с точностью до 0,001.
Решение.
Воспользуемся разложением показательной функции
x2 x3
xn
ex 1 x

Rn ( x) ,
2! 3!
n!
28
где
ec
Rn ( x )
(n 1)!
xn 1, 0
c
x.
e -точное значение и приближѐнное значение ~
y , тогда должно
~
выполняться неравенство y y R 0,01 .
Пусть y
Так как x
0,5 то погрешность оценивается неравенством
0
Из неравенства
3
(n 1)!
Rn ( x)
e
(n 1)!
0,01 следует n
xn 1
5 . При n
2
3
3
(n 1)!
.
5 получим
4
5
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
e2 1 2
1!
2!
3!
4!
5!
1
1 1 1
1 4 8 16 32
1
2 2 6 24 120
1 0,5 0,1250 0,0208 0,0026 0,0002604
1,648 .
◄
►Пример 29. Для функции y
sin x запишем последовательные многочлены Маклорена:
x3
, P3 ( x)
6
Построим графики P1 ( x), P2 ( x), P3 ( x), sin x :
P1 ( x)
x, P2 ( x)
x
x
x3
6
x5
.
120
4
3
2
P 1( x)
P 2( x)
1
P 3( x)
sin( x)
0
1
2
1
2
3
x
Рис. 11
◄
29
3
30
6.15. Задачи для самостоятельного решения
В задачах 6.1 – 6.10 найти производную функции, применяя правила
дифференцирования суммы, произведения и частного функций и степенной функции.
6.1. f ( x) 4 x5 6 x3 3x 2 10 х 14 . 6.2. f ( x) 2 x 6 6 x5 13 x 2 16 х 4 .
1 4
1
5
6.3. f ( x)
7 x3 3 2 x 2
7 . 6.4. f ( x) 3 5x 4 9 x3 3
9.
x
6x
x3 3x 4 x 2 3x 4 . 6.6. f ( x) x 2 7 x 9 3 x 1 .
2x 3
5x 6
6.7. f ( x)
.
6.8. f ( x)
.
4x 5
3x 4
2x2 x 1
5x2 6 x 4
6.9. f ( x)
.
6.10.
.
f
(
x
)
x3 4
x2 1
В задачах 6.11 – 6.20 найти производную функции, применяя правила
дифференцирования элементарных функций.
6.11. f ( x) 3x 3 x .
6.12. f ( x) ( x 1)2 x .
6.5. f ( x)
x ln x x .
x 1.
6.13. f ( x)
6.14. f ( x) x log 2 x
2
6.15. f ( x) sin x x cos x .
6.16. f ( x) x sin x cos x .
6.17. f ( x) xtgx .
6.18. f ( x) tgx ctgx .
6.19. f ( x) x arcsin x .
6.20. f ( x) xarctgx.
В задачах 6.21 – 6.30 найти производную функции, применяя правила
дифференцирования сложной функции.
2x 6
6.21. f ( x) 3 (5 x3 6 x 2 4) 2 .
6.22. f ( x)
.
x 4
2
6.23. f ( x)
2x
x 6
6.25. f ( x)
esin x .
.
2
6.27. f ( x) sin( x 2
x 2 1) .
6.24. f ( x)
ln(1
6.26. f ( x)
ln( tgx) .
ln(arcsin x ) .
2
x 9
6.29. f ( x) e x 4 .
6.30. f ( x) ln
.
x 9
В задачах 6.31 – 6.40 найти производную функции, заданной неявно или
параметрически.
6.31. x 2 2 xy 4 y 2 9 0 .
6.32. 2 x 2 6 xy 7 y 2 6 x 5 y
6.33.
x
6.35. x 2
y
6.28. f ( x)
2 x 4) .
4.
xy cos y
0.
6.34. 3 x 2
3
6.36. e y
e y
y2
xy
9.
0.
t2
6.37. x 2 sin t, y 2 cos t .
6.38. x
.
,y
1 t2
1 t2
6.39. x t (1 sin t ), y t cos t .
6.40. x 2t 2 t , y 2t 2 t .
В задачах 6.41 – 6.50 найти производную функции, заданной неявно или
параметрически.
x
6.41. y x x .
6.42. y x x .
6.43. y x cos x .
6.44. y (sin x) x .
t
6.45. y
( x 2 1) x .
6.47. y
( x2
x 1)3 x 4
4e x
2
9
.
31
6.46. y
x arctgx .
6.48. y
( x 1) sin 3 x cos3 x .
0.
x3 x 2 1
x2 4
5
.
6.50.
.
y
x 2 3x 4
( x 4 x 2 1)3 x 1
В задачах 6.51 – 6.60 найти производные, указанных порядков.
6.51. y x3 9 x 2 6 x 7, y , y .
6.52. y sin 3 2 x, y .
x
,y .
6.53. y
6.54. y
x 2 1, y .
2
x 1
6.55. y x3 e x , y , y , y (5) .
6.56. y x ln x, y , y , y (5) .
6.57. x 2 y 2 2 x 4 y 6 0, y .
6.58. ln x e y 6, y , y .
6.59. x sin t , y cos t , y x , y xx .
6.60. x t 3 , y t 2 , y x , y xx .
6.61. Объем продукции, производимый в течении рабочей смены задается функцией
f t
t 3 8t 2 99t 90 , где t - время в часах, 0 t 8 .
Вычислить производительность труда, скорость изменения производительности, темп
изменения производительности через час после начала работы и за час до ее
окончания.
6.62. Объем продукции, производимый в течении рабочей смены задается функцией
f t
t 3 9t 2 102t 160 , где t - время в часах, 0 t 8 .
Вычислить производительность труда, скорость изменения производительности, темп
изменения производительности через 2 часа после начала работы и за 2 часа до ее
окончания.
6.63. Спрос и предложение на некоторый товар выражаются соответственно
p 9
функциями q р
и s p p 1.5 , где p - цена товара. Определить изменение
p 3
спроса и предложения при увеличении цены на 1% от равновесной.
6.64. Спрос и предложение на некоторый товар выражаются соответственно
4 p 17
функциями q р
и s p 2 p 1 , где p - цена товара. Определить изменение
p 3
спроса и предложения при увеличении цены на 1% от равновесной.
6.49. y
Ответы.
6.1. f ( x)
6.3. f ( x)
6.4. f ( x)
6.5. f ( x)
4
20 x 4 18 x 2 6 x 10 . 6.2. f ( x) 12 x5
3
23
1 1 1
.
7x
23
2
3
x 2 x3
13
1
34 1 1 1
5
53
94
9.
3
2
4
3
3
4
3
x
x
6 x
30 x 4
1 8x4
2
1 7 x 2 34 x 30
.
3 3 ( x 1) 2
21x 3
x2
36 x 2 16 x 4
3x 4
2
.
(4 x 5)2
2 x 4 2 x 3 3x 2 16 x 4
6.9. f ( x)
.
( x 3 4) 2
6.11. f ( x) ln 3(3x 3 x ) .
1 1
6.13. f ( x)
( ln x 1) 1.
x 2
6.15. f ( x) (1 2 x) cos x x 2 sin x .
6.7. f ( x)
. 6.6. f ( x)
26 x
16 .
38
.
(3x 4)2
6 x 2 18 x 6
6.10. f ( x)
.
( x 2 1) 2
6.12. f ( x) (2 ln 2( x 1))2 x .
1
1
6.14. f ( x) log 2 x
.
ln 2 2 x 1
6.16. f ( x) x cos x .
6.8. f ( x)
32
x
.
cos 2 x
6.17. f ( x)
tgx
6.19. f ( x)
arcsin x
6.21. f ( x)
1
cos 2 x
6.18. f ( x)
x
1 x
12 x
2 15 x 2
3 3 5 x3 6 x 2
.
2
1
sin 2 x
6.20. f ( x)
.
(tgx ctgx) 2 .
arctgx
2
2
x
6.22. f ( x)
4
6.23. f ( x) ln 2 (2x 1)2x
2
x 6
.
6.24. f ( x)
x
.
1 x2
x 4
.
2x 6
.
x 2 1) x 2 1
1
6.26. f ( x)
.
sin x cos x
1
6.28. f ( x)
.
2 x 1 x arcsin x
18
6.30. f ( x)
.
( x 9)( x 9)
(1
2
6.25. f ( x)
2 x cos x2 esin x .
6.27. f ( x)
(2 x 2) cos( x 2
x
6.29. f ( x)
x
6.35. y
6.37. y x
6.39. y x
6.41. y
6.43. y
2
4
.
4
x y
.
x 4y
6.31. y
6.33. y
2
e x
2 x 4) .
2(2 x 3 y 3)
.
6 x 14 y 3
6.32. y
y
.
x
2x y
.
x sin y
sin t
, x 2 sin t .
cos t
t sin t cos t
, x t (1 sin t ) .
sin t t cos t 1
x
x
(1 ln x) .
2
x
cos x
x cos x
sin x ln x .
x
3
6.34. y
6.36. y
e
y
3
y
e y
2 x
.
x2 1
x
2t
t
,x
,.
2
1 t
1 t2
4t 1
6.40. yx
, x 2t 2 t .
t
4 1
x x
1
(1
ln x) .
6.42. y
2
x
cos x
6.44. y (sin x) x ln sin x x
.
sin x
x arctgx
ln x
x2 1
arctgx
.
x
28 x3
24 x 2
48 x 12) .
6.45. y
( x 2 1) x
6.47. y
1 x2 9
1
e
(6 x7
4
2
3
3
( x 4)
6.48. y
sin 3 x cos3 x 3( x 1) sin 2 x cos 4 x 3( x 1) sin 4 x cos 2 x .
6.49. y
1
4
4
6.46. y
6 x6 16 x5
2 x 4 17 x 2 19 x3
6 x 12
x 8 ( x 2 1)7
3x 4)5
4
( x2
7 x4
.
6.50. y
1 7 x 6 6 x5 53 x 4 48 x3 23 x 2 18 x 4
.
15 15 ( x 1)16 5 ( x 2 4) 4 5 ( x 4 x 2 1)6
6.51. y
6х 18, y
6.
6.52. y
.
6.38. y x
3
ln( x 2 1)
2 x
y
.
x
12 sin 2 x(2 cos 2 2 x sin 2 2 x) .
33
6.53. y
2 x( x 2 3)
.
( x 2 1)3
1
6.54. y
.
1)3
1
1 ( 5)
6
6 e x , y ( 5)
e x.
6.55. y 6 x e x , y
6.56. y
.
,y
,y
2
x
x
x4
x2 2x y2 4 y 5
ey
e y (e y 1)
6.57. y
.
6.58.
.
y
,
y
( y 2)3
x
x2
1
2
2
tgt, y xx
, x sin t .
, y xx
, x t3 .
6.59. y x
6.60. y x
3
4
cos t
3t
9t
6.61. z(1) 112 , z (1) 10 , Tz (1) 0,089 , z(7) 64 , z (7)
0,406 .
26 , Tz (7)
6.62. z(2) 126 , z (2) 6 , Tz (2) 0,048 , z(6) 102 , z (6)
0,176 .
18 , Tz (6)
6.63. Равновесная цена p 1 , при увеличении цены от равновесной спрос уменьшится на
0,15%, предложение увеличится на 0,4%. 6.64. Равновесная цена p 2 , при увеличении
цены от равновесной спрос уменьшится на 0,06%, предложение увеличится на 0,67%.
(x
34
2