Исследовательская работа
по теме «Золотое сечение»
Ученика 6-го класса
НОУ «Переславская
православная гимназия»
им.св.благ.вел.кн.А Невского
Ярославской области
Карагодина Александра
2014 г
«Красота и гармония стали важнейшими
категориями познания, в определенной степени
даже его целью, ибо в конечном итоге художник
ищет истину в красоте, а ученый – красоту в
истине».
Стахов А.П.
Термин – золотое
сечение ввел в
XVI веке великий
художник, ученый
и изобретатель
Леонардо да
Винчи
Геометрия владеет
двумя сокровищами –
теоремой Пифагора и
золотым сечением, и
если первое из них
можно сравнить с
мерой золота, то
второе – с
драгоценным камнем.
Иоган Кеплер
Цели проекта:
• Познание математических закономерностей в
мире, определение значения математики в
мировой культуре и дополнение системы знаний
представлениями о «Золотом Сечении» как
гармонии окружающего мира.
• Формирование навыков самостоятельной
исследовательской деятельности.
• Формирование навыков решения ключевой
проблемы в процессе сотрудничества и создания
продукта, полезного обществу.
• Обучение работе с информацией и
медиасредствами для расширения кругозора и
развития творческих способностей.
Проблема:
• Существование гармонии в
окружающем нас мире.
• Применение знаний о золотом сечении
в исследовании пропорций человека, в
искусстве (живопись, фотография),
изображении геометрических фигур
• Способ измерения золотого сечения
Задачи проекта:
Подобрать литературу по теме «Золотое сечение»
Провести исследования по следующим направлениям:
•
Ознакомиться с историей золотого сечения
•
Дать формулировку понятия золотого сечения, рассмотреть
алгебраический и геометрический смысл
•
Сформулировать понятие гармонии и математической
гармонии
•
Исследовать пропорции тела человека по Цейзингу
•
Нахождение пропорции тела человека на примере
обучающихся
•
Найти подтверждение наличия золотого сечения в природе
•
Рассмотреть применение золотого сечения в искусстве
(живопись, фотография)
•
Исследования изображения геометрических фигур
(прямоугольник, треугольник)
Выводы по исследуемой теме
История «Золотого сечения»
Теория гармонии Древних
• В Древнем Египте существовала «система правил
гармонии», основанная на Золотом Сечении.
• В Древней Греции Золотое Сечение было своеобразным
каноном культуры, который пронизывает все сферы науки и
искусства. Красота и гармония стали важнейшими
категориями познания.
• В толковании древних греков понятие золотого сечения, и
понятие гармонии идентичны.
• Согласно Пифагору гармония имеет численное
выражение, то есть, она связана с концепцией числа.
• Евклид излагает теорию Платоновых тел, которая является
существенным разделом геометрической теории Золотого
Сечения.
Ряд Фибоначчи
• С историей золотого сечения связано
имя итальянского математика Леонардо
Фибоначчи.
• Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,
55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи.
• Каждый член последовательности,
начиная с третьего, равен сумме двух
предыдущих, а отношение смежных
чисел ряда приближается к
отношению золотого деления.
• Все исследователи золотого деления
в растительном и в животном мире,
искусстве, неизменно приходили к ряду
Фибоначчи как арифметическому
выражению закона золотого деления.
«Золотая Пропорция» - главный
эстетический принцип эпохи Средневековья
Эпоха Возрождения ассоциируется с
именами таких «титанов», как Леонардо да
Винчи, Микеланджело, Рафаэль, Николай
Коперник, Альберт Дюрер, Лука Пачоли.
Имеется много авторитетных свидетельств о
том, что именно Леонардо да Винчи(14521519) был одним из первых, кто ввел сам
термин «Золотое Сечение».
«Витрувийский человек» - размах
вытянутых в сторону рук человека
примерно равен его росту, вследствие чего
фигура человека вписывается в квадрат и
в круг.
Рисунок и текст иногда называют
каноническими пропорциями.
Вклад Кеплера
в теорию Золотого Сечения
• Гениальный астроном Иоганн Кеплер
(1571-1630) был последовательным
приверженцем Золотого Сечения,
Платоновых тел и Пифагорейской
доктрины о числовой гармонии
Мироздания.
• Считается, что именно Кеплер обратил
внимание на ботаническую
закономерность филлотаксиса и
установил связь между числами
Фибоначчи и золотой пропорцией,
доказав, что последовательность
отношений соседних чисел Фибоначчи:
1/1; 2/1; 3/2; 5/3 ;8/5; 13/8;…в пределе
стремится к золотой пропорции
Математическое понимание гармонии
• «Гармония – соразмерность частей и целого,
слияние различных компонентов объекта в единое
органическое целое. В гармонии получают
внешнее выявление внутренняя упорядоченность и
мера бытия» -Большая Советская Энциклопедия
• Математическая гармония - это равенство или
соразмерность частей с друг другом и части с
целым.
Понятие математической гармонии тесно связано с
понятиями пропорции и симметрии.
Понятие «Золотое сечение»
Золотое сечение - деление непрерывной
величины на две части в таком отношении,
при котором меньшая часть так относится к
большей, как большая ко всей величине.
a:b=b:c
или
с:b=b:а
Эта пропорция равна:
Золотое сечение в процентах
Именно это соотношение заложено в самой
конструкции замечательного разметочного
инструмента - Разметчика Фибоначчи:
Золотой треугольник
А
Золотым называется такой
равнобедренный треугольник,
основание и боковая сторона
которого находятся в золотом
отношении:
АВ
ВС
В
С
1 5
1,6180339887 ...
2
Золотой прямоугольник
АВ
ВС
Прямоугольник, стороны которого находятся
в золотом отношении, т.е. отношение длины
к ширине даёт число φ, называется
золотым прямоугольником.
Величины
отростков и
лепестков цикория
подчинены правилу
золотой пропорции.
Золотое
сечение
лист
розы
• У многих бабочек узоры на
крыльях, соотношение размеров
грудной и брюшной части тела
соответствуют золотой пропорции
Математическая эстетика
Цейзинга
В 1855 г. немецкий исследователь
золотого сечения профессор Цейзинг
опубликовал свой труд «Эстетические
исследования». Он измерил около
двух тысяч человеческих тел и
пришел к выводу, что пропорции
золотого сечения проявляются в
отношении частей тела человека –
длина плеча, предплечья и кисти,
кисти и пальцев и т.д.
Деление тела точкой пупа –
важнейший показатель золотого
сечения.
Результаты измерений учащихся
Фамилия
Имя
учащегося
Танчинец
Мартин
Рост
Длина от
талии до
пола
Отношение
171
102
1,68
Герасимов
Сергей
176
105
1,68
Медведева
Александра
167
101
1,65
Ефремов Глеб
162
99
1,64
• Вывод: пропорции тела мальчиков ближе к
показателю золотого сечения, чем у девочек, что
подтверждает теорию Цейзинга.
Золотое сечение в живописи и
фотографии
• На живописном полотне
существуют четыре
точки повышенного
внимания.
• Зрительные центры
расположены на
расстоянии 3/8 и 5/8 от
краев любой картины и
фотографии.
Золотое сечение в скульптуре
Дорифор Поликлета
Венера Милосская
Золотое сечение в картине
Леонардо да Винчи "Джоконда"
• Портрет Моны Лизы
привлекает тем, что
композиция рисунка
построена на"золотых
треугольниках"
(точнее на
треугольниках,
являющихся кусками
правильного
звездчатого
пятиугольника).
Васильев «У окна»
Иванов «Явление Христа народу»
«Суд Париса» камея
«Поющий Один» 8 век
Линия горизонта
на фотографиях
и картинах
Измерение золотого сечения при
изображении линии горизонта
Фамилия,
имя
ученика
Ефремов
Глеб
Длина
Длина
большего
меньшего Отношение
отрезка (см) отрезка (см)
5
7,5
0,67
Танчинец
Мартин
9
6
0,66
Герасимов
Сергей
8,5
5
0,59
Медведева
Александра
11,4
8
0,7
Вывод: результаты вычислений показали,
что все отношения приблизительно
равны 0,6, т.е ребятам кажется
красивым и гармоничным изображение
горизонта в золотом сечении
Золотой прямоугольник
Исходя из описанного принципа, Золотым (или
гармоничным) Прямоугольником является такой,
стороны в котором соотносятся как 1 : 1,618, т.е.
длина большей стороны прямоугольника равна
длине меньшей стороны прямоугольника,
умноженной на ∳ (фи)=1,618:
Измерение золотого сечения при
изображении прямоугольника
Фамилия
имя
ученика
Ефремов
Глеб
Длина
Длина
большей
меньшей
стороны (см) стороны(см)
Отношение
длин
10
14
0,67
Танчинец
Мартин
4,5
3
0,66
Герасимов
Сергей
25,5
15
0,6
Медведева
Александра
5,7
4
0,69
Вывод: результаты вычислений показали,
что все отношения приблизительно
равны 0,6, т.е. красивым и гармоничным
ребятам показалось изображение
прямоугольника, стороны которого
находится в золотом отношении.
Выводы
•
•
•
•
Понятие «золотое сечение» не изучается в школьном курсе
математики, а рассматривается как гуманитарный фон в историческом
развитии математики.
В данной работе рассмотрены способы нахождения «Золотого
сечения», изложены примеры золотой пропорции в природе и теле
человека, в расположении зрительных центров на фотографиях,
рисунках учащихся.
Мы видим в современной фотографии гармоничные и красивые
изображения, пропорции которых совпадают с коэффициентом
золотого сечения.
В своей работе хотели продемонстрировать красоту и широту
«Золотого сечения» в реальной жизни. Проведенные исследования
доказали, что многое в окружающей природе подчиняется правилу
золотого сечения.
