Методы определения надежности систем электроснабжения

4. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ
Под определением надежности понимается нахождение показателей надежности объекта, системы электроснабжения по отношению к выполняемой (или
выполняемым) ими функции (функциям), которые позволяют в практической деятельности принимать рациональные решения.
4.1. Общая характеристика методов
Обычно определение показателей надежности формулируется как задача
анализа, т.е. нахождение показателей для заданного объекта, хотя в конечном
итоге, как правило, решается задача выбора решения. В этом случае определение
надежности рассматривается для конкретных задач, когда сформулированы критерии, заданы средства, ресурсы. Но и при выборе решения задача надежности
рассматривается как базовая, поэтому далее в этой главе задача определения
надежности формулируется как задача анализа, методы решения которой мы
здесь и рассмотрим.
Представляется целесообразным классифицировать все методы по характеру
используемой информации, возможностям ее получения. Тогда все методы определения надежности можно подразделить на методы прогнозирования, экспериментальные и расчетные.
Под прогнозированием надежности понимается предсказание значений показателей надежности в условиях неполноты информации о составе объекта, характеристиках его составляющих, о предполагающихся условиях функционирования
и т.п.
Под экспериментальным методом понимается метод опытного определения
надежности реальных объектов, когда объект и условия, в которых он функционирует, известны с достаточной полнотой и при необходимости могут целенаправленно изменяться.
Под расчетом надежности понимается метод получения численных значений показателей надежности объекта по известным характеристикам надежности
его элементов, по известному их структурному и функциональному взаимодействию.
Хотя все три группы методов имеют принципиально различную основу, но
все они применяются в совокупности, дополняя друг друга. Например, пусть поставлена задача определить надежность системы электроснабжения, которая будет формироваться из существующей путем добавления каких-то элементов (новых ЛЭП, подстанций и др.). Поскольку имеется действующая система электроснабжения, можно было бы применить экспериментальный метод. Но, во-первых,
система электроснабжения постоянно изменяется (наращивается, развивается), а
во-вторых, надежность систем электроснабжения обычно достаточно высокая.
Поэтому для получения необходимой информации потребуется очень большой
период. Так что в прямом виде экспериментальный метод не применим.
Если систему электроснабжения представить как систему, состоящую из
групп однотипных элементов (ЛЭП, трансформаторов, выключателей и т.п.), то,
53
поскольку таких элементов много, надежность их ниже, чем надежность системы
в целом, здесь уже применим экспериментальный метод по отношению к элементам системы электроснабжения.
Таким образом, используя экспериментальный метод к элементам системы
электроснабжения, можно определить их фактическую надежность. Далее, если в
перспективе эти элементы как-то будут изменяться (совершенствоваться, модернизироваться), будут меняться условия их работы или возникать новые, то здесь
могут быть успешно применены методы прогнозирования. В итоге мы будем располагать информацией об элементах будущей системы, их связях, о структуре системы. В этих условиях наиболее эффективным для использования становится
расчетный метод.
Следовательно, поставленная задача, по существу, может быть решена только на основе совместного использования всех трех групп методов определения
надежности.
Необходимо отметить, что методы прогнозирования надежности базируются
на достаточно хорошо разработанной методической основе прогнозирования вообще и каких-либо существенных специфических особенностей применительно к
задаче определения надежности систем электроснабжения не имеют. В связи с
этим далее будут рассматриваться лишь экспериментальные и расчетные методы.
4.2. Экспериментальные методы
Показатели надежности этими методами могут быть получены либо по результатам испытаний – специальных или совмещенных, либо наблюдением за
функционированием объекта в условиях эксплуатации, т.е. методы подразделяются на методы испытаний на надежность (специальные, совмещенные) и методы
наблюдения.
4.2.1. Методы испытаний
Организуются специально с целью определения показателей надежности,
объем их обычно заранее планируется, условия функционирования объектов
устанавливаются из требований оценки конкретных показателей. Такие испытания, как правило, применяются для сравнительно простых изделий, выпускаемых
в достаточно большом количестве. Проводить специальные испытания для сложных объектов, систем в большинстве случаев не представляется возможным, так
как объем их выпуска обычно ограничен единицами экземпляров, а процесс изготовления, отладки, проверки функционирования и доводки занимает слишком
много времени и дорогостоящий. Показатели надежности таких объектов оцениваются в основном либо по результатам совмещенных испытаний, при которых
определение показателей согласовывается с экспериментальными исследованиями других параметров объекта, либо по наблюдениям на этапе эксплуатации.
Методы испытаний, в свою очередь, подразделяются на исследовательские
(определительные) и контрольные. Исследовательские испытания на надежность
проводятся для выявления фактических значений показателей надежности; кон54
трольные – для проверки соответствия показателей надежности объектов требованиям (стандарта, технического задания, технических условий).
Исследовательские и контрольные методы имеют существенные различия.
При сопоставимых требованиях к точности и достоверности необходимый объем
испытаний при контрольной постановке может быть значительно меньше, чем
при исследовательской, в случае, если истинное значение показателя надежности
объекта мало отличается от необходимого уровня. Кроме того, у этих методов заметно различаются этапы планирования эксперимента.
Планирование при контрольных испытаниях опирается на требуемое значение показателя надежности. В результате планирования определяют необходимый
объем испытаний и оценочный норматив – решающее правило, по которому принимается решение о соответствии или несоответствии объекта заданному требованию. Следовательно, ошибка в планировании контрольной процедуры в принципе не может быть выявлена в результате испытаний, и, таким образом, корректность планирования непосредственно определяет достоверность искомого заключения.
При планировании исследовательской (определительной) процедуры принципиально невозможно однозначно указать необходимый объем испытаний, так
как точность оценок показателей надежности при заданной достоверности зависит не от объема испытаний, а от объема получаемой при испытании информации. Исходя из требуемых точности и достоверности оценок, в результате планирования исследовательской процедуры получают не объем испытаний, а минимально необходимое число информативных реализаций.
Требуемый объем испытаний – число изделий (или число опытов) и продолжительность испытаний – зависит от фактической надежности объекта, которая
до испытания не известна. Следовательно, необходимый объем испытаний при
планировании исследовательской процедуры может быть определен лишь ориентировочно, исходя из предполагаемого уровня надежности объекта. Однако
ошибки в планировании объема испытаний выявляются в процессе испытаний
при обработке их результатов и могут быть скорректированы.
Методы испытаний требуют значительных затрат времени. Сокращение времени может быть достигнуто применением либо специальных методов планирования и обработки, либо форсированных режимов испытаний. При последних
ускорение достигается ужесточением режимов с целью набора необходимого количества статистической информации за более короткое время. Применение форсированных испытаний требует большой подготовительной работы: выбора эффективных ускоряющих факторов, исследования степени их влияния и т.п. Кроме
того, остается задача "обратного пересчета" полученной информации к "нормальным условиям". Испытания в форсированных режимах целесообразны прежде
всего для контроля надежности серийных изделий, выпускаемых по неизменной
технологии длительное время.
55
4.2.2. Методы наблюдения
Иногда эти методы еще называют ретроспективными. Они представляют собой извлечение и обработку информации из анализа работы действующих объектов. Стоимость работ, связанных с оценкой надежности эксплуатируемого оборудования этими методами, в отличие от стоимости испытаний на надежность, минимальна. В основном это затраты на сбор и обработку статистических данных.
Длительность наблюдения и массив статистических данных определяются
продолжительностью процесса эксплуатации и общим количеством действующих
объектов. Основные трудности этого метода получения показателей надежности
состоят в том, что процесс функционирования объектов не зависит от наблюдателя, который должен суметь извлечь объективную информацию о надежности объектов по записям, выполненным большим числом разных наблюдателей.
В общем случае при эксплуатации объектов могут изменяться условия работы, режимы загрузки и т.п. Поэтому возникает задача не просто оценить фиксированные значения показателей надежности, а установить зависимость этих показателей от условий и параметров работы объекта. При формировании такого рода
зависимостей влияющие факторы должны быть представлены какими-либо
укрупненными, но достаточно представительными показателями. Количество показателей зависит в первую очередь от сложности объекта. Для получения этих
зависимостей наиболее эффективно применение регрессионного и дисперсионного анализа.
Одной из главных задач, возникающих при использовании ретроспективных
методов, наряду с оценкой погрешности показателей надежности, является связанная с ней задача проверки однородности различных выборок и их объединения. Суть последней состоит в следующем. Если из собранной информации (выборок) о надежности однотипных объектов, работающих в разных частях системы
(в общем случае в разных условиях), следует, что они имеют различные точечные
статистические оценки показателей надежности, то возникает вопрос, можно ли
эти расхождения считать существенными, значимыми, или их следует приписать
случайностям выборок. Ответ на этот вопрос очень важен. Действительно, если
эти расхождения случайные, то выборки однородные, принадлежат одной генеральной совокупности и информацию можно объединить; в результате повысится
точность оценки показателей надежности. В теории вероятностей и математической статистике разработаны методы (метод статистических гипотез) и критерии,
позволяющие решить эту задачу.
При обработке экспериментальных данных отмеченные различия методов
испытания и наблюдения несущественны, поэтому рассматриваемые далее подходы и методы обработки данных относятся ко всем экспериментальным методам.
56
4.2.3. Типы оцениваемых показателей и характер
априорных сведений
При экспериментальных оценках надежности независимо от того, какое
свойство исследуется, все многообразие оцениваемых показателей сводится к
двум типам:
 наработка – средняя, или -процентная (до отказа, между отказами, до предельного состояния, срок сохраняемости, время восстановления и т.п.);
 вероятность (безотказной работы, исправного состояния в произвольный
момент, восстановления за заданное время и т.д.).
При определении показателей типа наработки непосредственно наблюдаемыми величинами являются случайные интервалы: наработки до отказа, между
отказами, до предельного состояния, времени восстановления, времени хранения
до отказа и др.
При определении показателей типа вероятности непосредственно наблюдаемыми случайными величинами являются числа событий в испытаниях: количество отказов, восстановлений, предельных состояний и т.д.
С точки зрения характера априорных сведений о функции распределения все
многообразие практических задач сводится, по существу, к двум вариантам:
1) вид функции распределения наблюдаемой случайной величины известен
априори. Задача статистической обработки – получить оценки для показателей
надежности с учетом вида функции распределения и характера имеющегося статистического материала;
2) вид функции распределения наблюдаемой случайной величины неизвестен
или известен лишь предположительно. В этом случае на основании анализа процессов, приводящих к отказам, опыта эксплуатации аналогичных изделий и предварительного анализа полученной при испытаниях информации (например, по
виду гистограммы) принимается некоторая гипотеза о виде функции распределения. Задача обработки – проверить, не противоречат ли экспериментальные данные принятой гипотезе, и оценить параметры этой функции распределения.
В такой постановке необходима подробная информация о наблюдаемой случайной величине, а процесс статистической обработки в качестве обязательных
должен включать следующие этапы:
– построение вариационного ряда;
– построение гистограммы;
– принятие гипотезы о виде функции распределения;
– оценку точечных значений параметров (для функции распределения предполагаемого типа);
– проверку непротиворечивости экспериментальных данных принятой гипотезе о функции распределения.
В случае положительных результатов последнего этапа может быть проведена оценка интервальных значений параметров функции распределения (показателей надежности); в случае отрицательных результатов процесс статистической
обработки повторяется с этапа принятия гипотезы при другом предположении о
виде функции распределения.
57
Если вид функции распределения не отвергнут результатами проверки, то в
остальном процедуры определения точечных и интервальных оценок параметров
в обоих вариантах постановок задач практически совпадают.
Особым является случай, когда оценка параметров распределения не производится – требуется оценить непосредственно значение функции распределения в
некоторой фиксированной точке, т.е. оценить показатель типа вероятности.
Например, вероятность отказа или безотказной работы для фиксированной наработки; вероятность восстановления или невосстановления за фиксированное время; вероятность наступления предельного состояния при заданной наработке; вероятность сохранения или несохранения определенных показателей качества при
хранении объекта в течение заданного времени. Задачи такого типа в математической статистике носят название непараметрических.
Этот случай является наиболее простым с точки зрения организации испытаний (наблюдений), трудоемкости сбора и статистической обработки информации.
Здесь испытания каждого изделия проводятся в течение фиксированного времени
(наработки) не обязательно по всем изделиям одновременно. Контроль функционирования может быть осуществлен только перед началом и по окончании испытаний. Подлежащие статистической обработке результаты испытаний при этом
представляют собой только два числа – общее число испытаний фиксированной
длительности (число опытов) и число успешных или неуспешных опытов. Естественно, что при этом получаемая в результате статистической обработки оценка
несет лишь минимальную информацию – значение функции распределения в
единственной точке, соответствующей фиксированной наработке при испытаниях
(наблюдениях). За исключением полученного значения функции в этой точке мы
не имеем никакой другой информации и не должны экстраполировать оценку для
других значений наработки.
4.2.4. Стратегии испытаний
На практике в большинстве случаев нет возможности так организовать испытания, чтобы получить экспериментальные данные по надежности необходимого
вида и в достаточном объеме. Обычно задача заключается в том, чтобы оценить
показатели надежности по тому статистическому материалу, который имеется. На
характер статистического материала существенно влияет стратегия испытаний
(или режим эксплуатации):
 число изделий, подвергаемых испытаниям;
 порядок контроля функционирования в процессе испытаний (наблюдений);
 порядок восстановления (замены) изделий;
 порядок поступления изделий на испытания;
 критерий окончания испытаний (наблюдений).
Реально перечисленные факторы можно существенно варьировать в зависимости от конкретных условий, например:
– испытания одного изделия или группы изделий;
58
– контроль непрерывный или периодический либо только перед началом и по
окончании испытаний;
– испытание с восстановлением (заменой) отказавших изделий либо без восстановления (замены);
– одновременное испытание всех изделий либо неодновременное;
– испытания до отказа всех изделий либо до фиксированного числа отказов,
либо до истечения фиксированного времени (наработки).
На практике различные сочетания этих факторов являются причиной большого разнообразия реальных стратегий испытаний.
4.2.5. Методы расчета показателей
Различают точечные и интервальные оценки показателей надежности.
Точечная оценка показателей. Расчетные выражения для точечных оценок
показателей надежности объекта могут быть экспериментальными методами оценены следующим образом (оцениваемые показатели обозначены с "крышечкой"
сверху).
Вероятность безотказной работы
pˆ  t   n  t  / n  o  ,
(4.1)
где n(o) – число наблюдаемых объектов в начале эксперимента; n(t) – число
оставшихся работоспособных объектов в момент времени t (объекты невосстанавливаемые).
Интенсивность отказа в момент времени t
ˆ  t  
n  t   n  t  t 
n  t  t
,
(4.2)
где t – небольшой интервал времени.
Средняя наработка до отказа для случая отсутствия замены или восстановления объектов
no 
 t
ˆt  i 1 oi ,
o
n o 
(4.3)
где t oi  время до отказа i-го наблюдаемого объекта.
Частота отказов на интервале t1 , t 2 
no 
no 
ˆ  t1, t2   i 1
i 1
 mi  t2    mi  t1 
n  o    t2  t1 
,
(4.4)
где mi  t1  , mi  t 2   число отказов i-го объекта до момента времени t1 и t 2 соответственно.
Интенсивность восстановления
59
ˆ  t  
n  t  t   n  t 
n  t  t
,
(4.5)
где n  t  t  , n  t   число объектов, восстановление которых длилось меньше
t+t и t соответственно.
Коэффициент готовности
n o 
kã 
 toΣi
i 1
n  o Tðàá
,
(4.6)
где t oΣi – суммарное время пребывания i-го объекта в работоспособном состоянии за время Т раб ; Т раб – продолжительность наблюдения, включающая интервалы работоспособного состояния и ремонтов после отказов.
Если времена Т раб различны для каждого из наблюдаемых объектов, то
(4.7)
kˆã  tí Σ /  tí Σ  tâΣ  ,
где tнΣ – суммарная наработка всех объектов; t вΣ - суммарное время восстановления после отказов.
Или
kˆã  n  t  / n  o  ,
(4.8)
где n t   – число объектов, находящихся в состоянии работоспособности в произвольный "достаточно удаленный" момент времени.
Коэффициент технического использования
kˆòè 
tí Σ
,
tí Σ  tâΣ  tï ëΣ
(4.9)
где tплΣ – суммарное время плановых ремонтов.
Интервальная оценка показателей. Любая полученная точечная оценка, если
даже она удовлетворяет всем критериям качества, обладает существенным недостатком в том смысле, что сама представляет собой лишь частное значение случайной величины. Поэтому кроме точечной оценки желательно знать практически
надежные границы для оцениваемого параметра, т.е. найти такой интервал оценок, который с достаточно высокой вероятностью "накрывает" неизвестный параметр.
Очевидно, что достоверными границами для показателей надежности (абсолютно надежными границами) являются для t o ,  и других аналогичных показателей – [0, ], для p(t), k г t  и других вероятностей – [0, 1]. Указание других границ сопряжено с риском совершить ошибку. Вероятности ошибок 1 и  2 называют уровнями зависимости оценок: 1 – вероятность того, что найденный интервал не накроет используемый параметр своим левым концом;  2 – вероятность
60
того, что найденный интервал не накроет используемый параметр своим правым
концом.
За меру достоверности оценки – доверительной вероятности – принимается
величина   1  1   2 , показывающая, с какой вероятностью можно утверждать, что доверительный интервал "накроет" истинное значение показателя,
н
в

 = P to  to  tо ,
н
(4.10)
в
где t o , t о – нижняя и верхняя границы доверительного интервала соответственно
для показателя "среднее время до отказа".
Чаще всего вероятности 1 и  2 выбираются одинаковыми, тогда  =1  2 и,
следовательно, каждая из доверительных границ определяется с уровнем значимости  = 1  /2 или с односторонней доверительной вероятностью (коэффициентом доверия)   1    / 2  1  .
Если известен вид функции распределения оценки, то принцип вычисления
доверительных интервалов состоит в том, что за нижнюю и верхнюю доверительные границы принимаются квантили этого распределения по соответствующему
уровню. Нижняя доверительная граница определяется как квантиль по уровню , а
верхняя – как квантиль по уровню γ  1   . Вид распределения оценки зависит, в
свою очередь, от вида распределения исследуемой случайной величины и тех
функциональных преобразований, которые производятся над исходной статистикой при получении оценок.

4.3. Расчетные методы
4.3.1. Общий случай
Как уже отмечалось, эти методы применяются тогда, когда анализируется
надежность объекта, представленного в виде системы, об элементах и связях которой известна вся информация (показатели надежности элементов, структура и
функциональное взаимодействие их и т.д.).
Первоначально методы расчета разрабатывались для решения конкретных
практических задач. Многообразие реальных задач и объектов породило множество различных методов, которые учитывали ту или иную специфику этих задач,
объектов.
Определенная унификация этого множества методов стала возможной только
за счет абстрагирования от специфики тех или иных задач, специфики объектов и
построения модели некоторого абстрактного объекта. В итоге такой абстрактный
объект представляет собой систему, состоящую из n элементов, функционально
связанных между собой в общем случае любым необходимым способом, обеспечивающим выполнение объектом его функций, т.е. преобразование "входа" в "выход" (рис. 4.1). Для систем электроснабжения "входом" является, например, суммарная мощность питающих источников, изменяющаяся на рассматриваемом ин61
тервале времени в соответствии с заданным законом, а "выходом" – суммарная
нагрузка на это же интервале, изменяющаяся в соответствии с суммарным графиком.
Система
. . .
"Выход"
"Вход"
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Рис. 4.1.
Каждый i-й элемент системы в общем случае может находиться в смысле
надежности в Li состояниях. Тогда объект-система может находиться в
n
Lc   Li состояниях.
i 1
Отказы и состояния элементов в общем случае могут быть зависимыми. Потоки отказов и восстановлений элементов в общем случае могут быть любыми
(нестационарными, с последствиями или простейшими).
Задача состоит в выявлении состояний объекта-системы и событий перехода
в состояния, обусловливающих изменение уровня работоспособности объекта, а
также вероятностные характеристики этих состояний и событий.
Решение такой задачи представляет большую методическую трудность. Поэтому реально разработанные методы имеют ряд допущений. Практически все
они рассматривают объекты-систе-мы, элементы которых могут находиться только в двух состояниях – работоспособном и неработоспособном. Часть методов
упрощает задачу при условии, что и сам объект-система имеет два состояния
(точнее все множество состояний 2 n разбивается на два подмножества). Другая
группа методов упрощает задачу в предположении, что потоки отказов и восстановлений являются простейшими. Далее все эти упрощения раскрываются при
рассмотрении конкретных методов.
Как было отмечено, в общем случае задача состоит из двух подзадач: 1) выявление состояний системы и событий перехода в эти состояния; 2) определение
вероятностных характеристик этих состояний и событий.
Особенности первой подзадачи определяются спецификой рассматриваемой
системы. Наиболее простым для систем электроснабжения является случай, когда
в любых состояниях системы не проявляются ограничения по пропускной способности элементов. Такая ситуация, как правило, может быть справедливой,
например, при анализе надежности схемы соединений подстанции. В других слу62
чаях ограничения по пропускной способности элементов системы электроснабжения могут не сказываться при наиболее вероятных состояниях системы
(например, при совпадении отказов на не более чем двух линиях, принимая, что
совпадение более двух отказов на линиях – это весьма маловероятное событие,
которым можно пренебречь). Методы определения состояний системы по состояниям элементов на уровне структурно-функциональных показателей рассматриваются в п. 4.3.2.
Однако во многих ситуациях для систем электроснабжения в некоторых состояниях неполной работоспособности системы ограничения по пропускной способности элементов сказываются на возможности передачи мощности от источников ("входов") к потребителям ("выходам"). Тогда приходится решать задачу
потокораспределения в системе электроснабжения для таких состояний с ограничениями передачи мощности, оценивать возникающие дефициты и недоотпуски
электроэнергии потребителям. Методы определения последствий для потребителей в таких состояниях путем расчета потокораспределения рассматриваются в п.
4.3.4.
Методы решения второй подзадачи – определения вероятностных характеристик состояний системы в зависимости от состояний элементов и событий перехода системы в эти состояния – изложены в п. 4.3.3.
4.3.2. Структурно-функциональные показатели
Ранее для описания состояний объекта i использовались его переменные состояния (параметры) x i и область допустимых значений с границей D x   0.
Здесь, представляя объект в виде системы, будем состояния объекта-системы z
описывать через состояния ее элементов x i . При этом состояние каждого элемента, в свою очередь, определяется его параметрами и областью допустимых значений, которые здесь специально не рассматриваются. Таким образом, при описании системы не будем углубляться внутрь элементов, а будем оперировать только
внешними их характеристиками, в данном случае – характеристиками их состояний x  x1 , x 2 , ..., x i , ..., xn .
Тогда состояние системы z будет характеризоваться дискретной функцией
z  z x  ,
(4.11)
принимающей значения от 0 до полного количества возможных состояний системы.
Далее для каждого состояния системы необходимо установить степень выполнения ею своих функций в этом состоянии, уровень работоспособности
E  E z  .
(4.12)
В итоге решение задачи будет заключаться в определении возможных уровней работоспособности системы и событий, которые приводят систему к этим состояниям (отказы и восстановления каких-либо элементов системы).
63
4.3.2.1. Графы состояний и переходов. Функционирование объекта представляется в виде графа состояний и переходов. Поясним его суть на примере систем,
состоящих из одного и двух элементов. В случае одного восстанавливаемого элемента, который может находиться в двух состояниях (z = 1 – работоспособное, z =
0 – неработоспособное), граф имеет вид, представленный на рис. 4.2. В каждом из
состояний система может "оказаться" в результате или перехода из другого, или
сохранения своего прежнего состояния. Граф невосстанавливаемого элемента будет отличаться от изображенного на рис. 4.2 отсутствием стрелки от состояния z =
0 к состоянию z = 1. Для системы, состоящей из двух восстанавливаемых элементов, каждый из которых может находиться в двух состояниях, граф состояний и
переходов будет иметь вид, показанный на рис. 4.3. Здесь z = 0 – состояние неработоспособности двух элементов; z = 1 – состояние неработоспособности только
первого элемента; z = 2 – состояние неработоспособности только второго элемента; z = 3 – состояние работоспособности обоих элементов.
z1
z1
z0
z3
z0
Рис. 4.2.
z2
Рис. 4.3.
Если элементы рассматриваемой системы невосстанавливаемые, то стрелки
от состояний 0 к 1 и 2, а также от 1 и 2 к 3 отсутствуют.
В общем случае, когда система образована из n элементов, каждый из которых может находиться в двух состояниях, полное количество состояний системы
n
равно 2 .Состояние системы, из которого она не может выйти (на графе нет
стрелок, отходящих от него к другим состояниям), называют поглощающим. Таким состоянием, например, является z = 0 в рассматриваемых системах, когда
элементы невосстанавливаемые.
После того, как определены все состояния системы, необходимо идентифицировать их по степени, уровню работоспособности системы в этих состояниях.
Если число уровней большое, целесообразно зависимость E(z) представить в виде
таблицы. В табл. 4.1 для системы, состоящей из двух элементов, показан пример
представления E(z). Если элементы в системе структурно соединены и функционально взаимодействуют так, как это соот-
64
Таблица 4.1
Зависимости уровня работоспособности Е от состояния
системы z
z
0
1
2
3
Вариант системы
(структурно-функционального взаимодействия элементов)
1
0
1
1
1
2
0
0
0
1
3
0
0,5
0,5
1
4
0
0
1
1
ветствует варианту 1, то отказ наступает только при отказе обоих ее элементов. В
общем случае, если функциональная связь элементов в системе такова, что отказ
системы наступает только при отказе всех элементов, то такое соединение элементов называют параллельным соединением в смысле надежности.
Если же элементы в системе соединены и взаимодействуют так, как это соответствует варианту 2, то отказ системы наступает при отказе хотя бы одного из
элементов. В общем случае, если связь элементов в системе такова, что отказ системы наступает при отказе хотя бы одного из них, то такое соединение называют
последовательным соединением в смысле надежности. Важно заметить, что последовательное и параллельное соединения элементов по надежности – это не
всегда то же самое, что и физическое соединение элементов в системе. Например,
параллельное в электрическом смысле соединение конденсаторов в батарею образует систему с последовательным соединением элементов (конденсаторов) в
смысле надежности по отношению к отказам в конденсаторах типа короткого замыкания.
Варианты 3 и 4 (см. табл. 4.1) нельзя отнести к системам с параллельным или
последовательным соединением элементов. При этом вариант 3 еще поддается
сведению к параллельному соединению элементов, если рассматривать в качестве
отказа системы снижение уровня работоспособности ниже 0,5, или к последовательному соединению элементов, если отказом системы считать снижение работоспособности ниже 1. Вариант 4 вообще не сводится ни к параллельному, ни к
последовательному соединению.
В общем случае состояние как элементов x i , так и системы z изменяется во
времени – xi t  и z t  . Если при этом нумерация состояний системы сделана так,
что с повышением номера состояния  увеличивается (точнее, не уменьшается)
степень ее работоспособности, то изменение номера состояния системы во времени в сторону снижения будет означать частичный отказ системы, а в сторону увеличения – восстановление.
Показателем безотказности системы в структурно-функцио-нальном плане
(условием того, что система, находясь в состоянии  , не откажет за время t) будет
z t    при 0  t  t 0 , 0    L ,
(4.13)
65
а показатели невосстанавливаемости (условием того, что система, находясь в состоянии  , не будет восстановлена за время t) –
z t    при 0  t  tв , 0    L.
(4.14)
4.3.2.2. Метод на основе булевой алгебры. В этом методе используются
функции алгебры логики (булевой алгебры). Он может применяться для систем,
элементы которых находятся только в двух состояниях, а также для систем,
структура которых в смысле надежности может быть представлена в виде сети.
Алгебра логики представляет собой раздел математической логики, занимающейся исчислением высказываний. Под высказыванием понимается любое
предложение, относительно которого можно утверждать его истинность или ложность, без учета конкретного содержания. Например, высказывание "частота измеряется в герцах" – истинное, а высказывание "ток измеряется в вольтах" – ложное. Отдельные высказывания обозначаются буквой х. При этом высказывание
можно рассматривать как величину, которая принимает два значения: "истина" и
"ложь". Если х истинно, то х = 1; если х ложно, то х = 0.
Каждое конкретное высказывание имеет вполне определенное истинное значение. Но это значение может быть и переменным. Например, высказывание х –
"элемент работоспособен" в одной ситуации может быть истинным (х = 1), а в
другой – ложным (х = 0). Переменная величина, которая принимает лишь два значения (1 или 0), называется двоичной. Можно построить высказывания, истинность которых определяется значениями истинности других высказываний, т.е.
первые являются функциями более простых высказываний – аргументов. Функции, принимающие лишь два значения (1 или 0) и определяемые различными
наборами двоичных аргументов, называются двоичными функциями, или функциями алгебры логики (ФАЛ).
Если применить эту алгебру логики в рассматриваемой нами задаче, то
функция состояния системы z(x) (4.11) в данном конкретном случае может быть
записана как ФАЛ, у которой аргументами являются двоичные переменные состояния элементов x i .
Для графа на рис. 4.3 при последовательном и параллельном соединении
элементов можно записать
zï î ñë  õ1õ2 ; zï àð  õ1  õ2 .
(4.15)
Функция z здесь называется логической функцией работоспособности (ФР)
системы. Если функциональная связь элементов в системе структурно в смысле
надежности может быть представлена в виде некоторой схемы соединения элементов, образующих пути между входом и выходом, то для такой схемы имеются
регулярные методы получения логической функции работоспособности. Например, для системы, показанной на рис. 4.4,а, если функциональное взаимодействие
элементов структурно "в смысле надежности" можно представить в виде мостиковой схемы (рис. 4.4, б), логическая ФР системы относительно третьего узла
имеет вид
66
2
а
2
б
1
1
3
3
4
4
Рис. 4.4.
z3  õ1õ12 õ2 õ23 õ3  õ1õ14 õ4 õ43 õ3  õ1õ14 õ4 õ42 õ2 õ23 õ3 
 õ1õ12 õ2 õ24 õ4 õ43 õ3 .
(4.16)
Здесь переменная х с одним индексом обозначает состояние соответствующего
узла, а с двумя – состояние связи между соответствующими узлами.
Анализ (4.16) показывает, что функция z3 состоит из суммы (дизъюнкции)
нескольких членов, каждый из которых представляет собой произведение (конъюнкцию) определенного набора х. Данный набор включает последовательно состояния всех элементов на одном из путей от входа (источника) к выходу (потребителю). В связи с этим вводится понятие кратчайшего пути успешного функционирования системы или кратчайшего пути, т.е. описываемого конъюнкцией ее
элементов, ни один из элементов которого нельзя изъять, не нарушив функционирования системы. Такую конъюнкцию можно записать в виде ФАЛ
(4.17)
Pl   xk ,
k M l
где M l  множество номеров элементов, соответствующих данному пути l .
Иначе говоря, кратчайший путь успешного функционирования системы описывает один из возможных самостоятельных вариантов выполнения заданных
функций системы с помощью минимального набора работоспособных элементов.
Таким образом, z3 в (4.16) представляет собой совокупность четырех возможных
кратчайших путей в данной системе (см. рис. 4.4), которые обеспечивают работоспособность системы при работоспособности хотя бы одного из них.
Для электрических сетей структурная схема системы в смысле надежности
часто представляет собой аналог схемы соединения ее реальных элементов.
Например, структурная схема системы, показанная на рис. 4.4,б, является отражением функциональных взаимосвязей элементов электрической сети (см. рис.
4,4,а), где ветви структурной схемы моделируют линии связи, а узлы – выключатели (их отказы и работоспособные состояния) и шины коммутационных пунктов
67
сети. Однако эта аналогия небезусловна. Если пропускная способность хотя бы
одного элемента сети не позволяет передать всю необходимую мощность, то аналогия нарушается.
Функция работоспособности (4.16) записана относительно третьего узла системы рис. 4,4,а. Такие же ФР можно записать и для любого другого узла.
Часто в практических задачах пользуются не функцией z, а функцией неработоспособности, представляющей собой отрицание z, т.е. z (ФНР). Например, для
мостиковой схемы рис. 4.4,б, воспользовавшись так называемым законом инверсий, в соответствии с которым
 x1x2   x1  x2;  x1  x2   x1 x2,
(4.18)
из (4.16) можно определить функцию
z3   x1  x12  x2  x23  x3  x1  x14  x4  x43  x3  
  x1  x14  x4  x42  x2  x23  x3  x1  x12  x2  x24  x4  x43  x3  ,
(4.19)
которая после простых преобразований к так называемой дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ), когда логическая функция – сумма элементарных произведений, примет вид
z3  x1  x12 x14  x2 x 4  x2 x14  x 4 x12 
 x12 x24 x34  x14 x24 x23  x2 x34  x 4 x23  x23 x34  x3 .
(4.20)
Анализ полученной функции показывает, что каждый член представляет собой произведение (конъюнкцию) определенного набора х, включающего те элементы, неработоспособное состояние которых приводит к разрыву связи между
источником и нагрузкой, т.е. к неработоспособному состоянию системы.
В связи с этим вводится понятие минимального сечения отказа системы, или
минимального сечения, представляющего собой такое логическое произведение
(конъюнкцию) из отрицаний ее элементов, ни один из компонентов которого
нельзя изъять, не нарушив условия работоспособности системы. Такую конъюнкцию можно записать в виде функции
S j   xk ,
(4.21)
k M j
где M j  множество номеров, соответствующих данному сечению j.
Другими словами, минимальное сечение отказа системы описывает один из
возможных способов нарушения работоспособности системы с помощью минимального набора отказавших элементов.
68
Уже отмечалось, что все величины x и z, т.е. состояния элементов и системы,
могут изменяться во времени, т.е. x  x t  и z  z t . Тогда показателями безотказности (условие отсутствия отказа на интервале времени до t) будут
z t   1 при 0  t  t 0 ,
(4.22)
а восстанавливаемости (точнее – невосстанавливаемости: условие невосстановления объекта на интервале времени до t) 
zt   0 при 0  t  t в ,
(4.23)
4.3.2.3. Метод дерева отказов. Построение дерева отказов начинается с
формулировки конечного высказывания об отказе системы. При исследовании
безотказности системы конечное высказывание относится к определению события, реализация которого приводит к нарушению функционирования в рассматриваемом интервале времени при заданных условиях. При исследовании готовности
конечное высказывание относится к определению состояния, в котором функционирование системы в заданном объеме невозможно при заданных условиях в любой, произвольно выбранный момент рассматриваемого периода.
Конечное высказывание определяется высказываниями второго уровня. Сначала выявляется возможность реализации события или состояния конечного
уровня как дизъюнкции простых высказываний второго уровня. При дизъюнктивной связи высказываний конечного и второго уровней невозможно сочетание событий и состояний. При невозможности реализации событий или состояний конечного уровня как дизъюнкций простых высказываний второго уровня выявляются дизъюнкции сложных высказываний, определяющие реализацию конечного.
Может оказаться, что простые и сложные высказывания не формируют конечное
высказывание с помощью дизъюнкции, тогда определяются конъюнктивно связанные события и состояния. В таких случаях конечное высказывание может реализоваться в результате совпадения во времени двух и более событий, возникновения события или нескольких событий во время существования состояния, совпадения двух или более состояний.
После записи высказываний второго уровня о событиях, состояниях и отказах срабатывания решается, какие высказывания являются простыми, а какие –
сложными. Для сложных высказываний второго уровня определяются высказывания третьего уровня и их логические связи ("или", "и") в том порядке, что и для
высказываний второго и конечного уровней. Процесс записи высказываний и логических связей продолжается до тех пор, пока на всех уровнях не останутся одни
простые высказывания, которые раскрывают содержание вышерасположенных
высказываний, относящихся к событиям, состояниям и отказам срабатывания.
Логическое условие реализации события или состояния конечного уровня в
форме функции неработоспособности (отказа) записывается с помощью знаков
логического умножения и сложения, а также кодов первичных событий; форми69
рование функции неработоспособности (отказа) начинается с самого нижнего
уровня дерева отказов, где все высказывания простые.
Напомним, что при дизъюнкции простых высказываний а, в, с промежуточное сложное высказывание записывается как
А = а + b + с  а  b  с,
а при конъюнкции простых высказываний промежуточное сложное высказывание
записывается в виде
В = аbс  а  b  с.
Здесь знак  означает эквивалентность.
На следующем, более высоком уровне записываются конъюнкции и дизъюнкции как простых, так и сложных высказываний: АВ, А + В, Аcd, A + c + d, Bc
+ d и т.д.
Подстановка выражений для сложных высказываний дает возможность комбинации простых высказываний на данном уровне дерева.
В каждой комбинации сокращаются по правилам алгебры логики одинаковые
простые высказывания, кроме одного. Из суммы полученных комбинаций простых высказываний данного уровня дерева сокращаются (отбрасываются) одинаковые комбинации, кроме одной. Сокращаются также все комбинации, включающие в себя члены, которые содержатся в комбинациях меньшего объема.
Затем записываются дизъюнкции и конъюнкции сложных событий и состояний следующего, более высокого уровня и формируются комбинации простых
высказываний на этом уровне. Сокращение простых комбинаций производится по
тем же правилам. Продолжая операции формирования и сокращения комбинаций
высказываний на всех уровнях вплоть до конечного, получаем сумму взаимозаключающих высказываний относительно способов реализации конечного события
или состояния.
Каждая из комбинаций, входящих в функцию отказа, представляет собой k-е
минимальное сечение отказа системы, сформулированное в конечном высказывании, и является конъюнкцией, порядок которой равен числу членов (простых высказываний). При определении практически возможных способов отказа следует
отбросить конъюнкции более высокого порядка (точнее если их порядок превышает порядок остающихся более чем в 2 раза).
Например, запись функции отказа
ab + cd + ghk + mnsq + cdm
сокращается до
ab + cd + ghk.
Составим дерево отказов для случая нарушения электроснабжения потребителя в узле 3 схемы рис. 4.4, принимая во внимание, как и ранее, возможности от70
каза линий и узлов. Полученное дерево отказов представлено на рис. 4.5. Если по
этому дереву отказов составить функцию отказа (неработоспособности) для потребителя в узле 3, то она окажется полностью идентичной выражению (4.20).
71
72
Отказ узла 3
и
Отказ линии 34
и
Отказ линии 23
и
Отказ линии 24
Отказ линии 14
и
Отказ линии 34
Отказ линии 24
Отказ линии 12
Отказ линии 12
Отказ узла 4
и
Отказ линии 23
и
Отказ линии 23
Отказ линии 14
Отказ узла 2
и
Отказ узла 4
Отказ линии 34
Отказ узла 4
Отказ узла 2
и
Отказ узла 2
Рис. 4.5.
Отказ линии 14
Отказ линии 12
Отказ узла 1
Нарушение электроснабжения узла 3
или
и
4.3.2.4. Табличный метод. Суть этих методов состоит в упорядоченном переборе с помощью таблиц состояний и событий в системе и отборе из них тех, которые представляют интерес с позиции надежности. Искомые события и состояния
связаны обычно с совпадением отказов одних с неработоспособными состояниями других элементов. Построенные определенным образом таблицы позволяют
организовать целенаправленный перебор таких состояний и совпадений. Формы
таблиц могут быть различными, отражая специфику задачи и системы.
Обычно количество таблиц зависит от количества рассматриваемых функций
системы и количества учитываемых совместных наложений неработоспособных
состояний и отказов элементов. Так, если для системы, представленной на рис.
4.4,б, определяется функция связи между входом (источником) и узлом 3, а количество учитываемых наложений не более двух, то достаточно иметь только одну
таблицу (табл. 4.2).
Т а б л и ц а 4.2
Состояния и переходы по сечениям S ij
Номера отклюНомера элементов и результаты их отказов
ченных элемен1
2
3
4
12
14
23
34
24
тов
0
1
0
1
1
1
1
1
1
2
0
0
0
1
0
1
0
1
4
0
0
0
0
1
0
1
1
12
0
1
0
0
0
1
1
1
14
0
0
0
1
0
1
1
1
23
0
1
0
0
1
1
0
1
24
0
1
0
1
1
1
1
1
34
0
0
0
1
1
1
0
1
П р и м е ч а н и е: 0 – приводящие к отказу системы, 1 – не приводящие к
отказу системы
Здесь индексы i и j у сечения Sij  номера элементов системы (например, i =
2 или i = 23, …, j = 2, j = 14 и т.д.; i  нумерация строк, j – столбцов); прочерк в
первом столбце указывает на исходное состояние системы со всеми включенными
элементами; крестом исключаются события отказа элемента, когда он исходно
отключен; единица указывает на то, что в данном исходном работоспособном состоянии отказ соответствующего элемента не приведет к отказу системы, ноль –
приведет к отказу системы. Если необходимо учесть более чем двойное, например
тройное наложение состояний и событий, то следует составить еще аналогичную
таблицу, где исходными работоспособными состояниями будут состояния, отображенные в предыдущей таблице клетками с единицами, т.е. состояния системы с
отключенными двумя элементами, в которых отказ системы не наступает (состояния, которые привели к отказу системы при наложении двух событий, отраженные в табл. 4.2, уже не требуют дальнейшего утяжеления), а по столбцам будут
также перебираться отказы всех элементов системы.
73
При необходимости учета наложений и отказов сразу четырех элементов повторяется аналогичная процедура.
Если в исследуемой системе рассматривается надежность по отношению к
нескольким выполняемым ею функциям (например, надежность электроснабжения, кроме третьего, еще второго и четвертого узлов системы на рис. 4.4), то
удобно каждой функции присвоить свое обозначение (например, Ф2 , Ф3 , Ф4 ) и
вместо нуля в клетки таблицы вносить символы тех функций, которые нарушаются при отказе перебираемых элементов.
На основе полученной табл. 4.2 можно составить логическую функцию неработоспособности, которая после некоторых преобразований для узла 3 имеет вид
z3  x1  x3  x2 x 4  x2 x14  x2 x34  x 4 x12  x 4 x23  x12 x14  x23 x34 .
(4.24)
Как видно, данная логическая функция отличается от ранее полученной
(4.20) только отсутствием членов, состоящих из произведений трех показателей
состояния элементов. Но это и не учитывалось при составлении табл. 4.2.
4.3.3. Вероятностные показатели
Расчетные методы определения вероятностных показателей надежности в зависимости от используемых математических средств можно подразделить на аналитические и имитационные.
Предварительно проанализируем вопрос о необходимой и достаточной номенклатуре определяемых показателей надежности систем, поскольку полный перечень их даже для абстрактного объекта достаточно велик и часть их может быть
получена из других (см. гл. 3). Если рассматривается восстанавливаемый объект с
L возможными состояниями, то как минимум требуется обычно определить L показателей – частоты попадания объекта в эти состояния или средние времена
нахождения объекта в них. Если же необходимо знать еще и частоты того, из каких состояний объект переходит в данное, то минимальное число показателей
возрастает до L(L1). Слово "минимальное" здесь имеет тот смысл, что нас не интересуют законы распределения времен нахождения объекта в тех или иных состояниях, а мы довольствуемся лишь средними временами нахождения объекта в
этих состояниях или полагаем, что эти времена подчиняются экспоненциальным
законам.
Для восстанавливаемого объекта, имеющего всего два состояния, минимальное количество показателей также равно двум. Это могут быть средние времена
нахождения его в этих состояниях либо один из них в сочетании с комплексным
показателем, например коэффициентом готовности (или неготовности), характеризующим одновременно и другое единичное свойство.
В случае невосстанавливаемого объекта минимальное число показателей сокращается и для объекта с двумя состояниями требуется всего один показатель.
74
4.3.3.1. Аналитические методы. Общий случай. Эти методы построены на
использовании теорем теории вероятностей (сложения, умножения вероятностей,
формулы полной вероятности и др.). С их помощью устанавливаются связи между вероятностями событий и состояний элементов с событиями и состояниями системы. В самом общем виде показатель безотказности – вероятность того, что система, находясь в состоянии  , не снизит свой уровень работоспособности ниже
 -го уровня за заданное время t – можно записать так:
 
P â  t   P z t    при 0  t  t0 , 0   L,
(4.25)
а показатель восстанавливаемости – вероятность того, что система, находясь в состоянии  , за заданное время t повысит уровень своей работоспособности выше
 -го уровня:
 
P â  t   1  P z t    при 0  t  tв , 0    L.
(4.26)
Комплексный показатель – коэффициент готовности как вероятность застать
систему в работоспособном состоянии  -го уровня – определится как
k г   P z t   .
(4.27)
В зависимости от способа представления функции z t  системы и принима-
емых допущений разработан ряд аналитических методов расчета показателей
надежности для абстрактной системы.
4.3.3.2. Аналитический метод на основе марковского процесса. Процесс,
протекающий в системе, называют марковским (или потоком без последействия),
если для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в настоящий момент и не зависит от
того, каким образом система пришла в это состояние. Для того чтобы такой процесс протекал в системе, необходимы простейшие (пуассоновские, стационарные)
потоки отказов и восстановлений элементов системы, т.е. с i  const,
i  const (законы распределения времени работы до отказа и времени восста-
новления элементов – экспоненциальные).
Экспоненциальность законов является первым допущением в этом методе,
вторым – элементы могут находиться только в двух состояниях (работоспособном и неработоспособном). Искомые вероятностные показатели здесь определяются с использованием структурно-функционального представления системы в
виде графа состояний и переходов (см. рис. 4.2 и 4.3).
Пусть процесс отказов и восстановлений элемента обладает свойствами марковского случайного процесса, а элемент может находиться в двух состояниях:
z1  1  безотказной работы, zo  0  состоянии отказа (см. рис. 4.2). Определим соответствующие вероятности состояний элемента p t  и q t  в произвольный момент времени t при различных начальных условиях.
Для любого момента времени сумма вероятностей p  t   + q  t   1  вероятность достоверного события. Зафиксируем момент времени t и найдем вероят75
ность p t  t  того, что в момент t  Δt элемент находится в работоспособном
состоянии. Это событие осуществляется при двух условиях.
1. В момент t элемент находился в состоянии z1  1 и за время Δt не произошло отказа. Вероятность работоспособного состояния элемента определяется
по правилу умножения вероятностей независимых событий. Вероятность того,
что в момент t элемент был в состоянии z1  1, равна p t , а того, что за время
t он не отказал  e  λΔ t . С точностью до величины высшего порядка малости
можно записать
2  t 2
  t
(4.28)
e
 1  t 
 ...  1  t .
2
Поэтому вероятность данной гипотезы равна p t  1 λΔt .
2. В момент времени t элемент находится в состоянии zo  0 (в состоянии
отказа), за время Δt восстановление закончилось и элемент перешел в состояние
z1  1. Эту вероятность также определим по правилу умножения вероятностей
независимых событий. Вероятность того, что в момент времени t элемент находился в состоянии zo  0 , равна q t  , а вероятность того, что восстановление
 μΔ t
 μΔt при
закончилось за время не более Δt , определим из (3.22) как 1  e
тех же допущениях, что и для (4.28). Следовательно, вероятность второй гипотезы
равна q t  μΔt .
Вероятность работоспособного состояния элемента в момент t  t определяется вероятностью суммы независимых несовместимых событий при выполнении обеих гипотез:
p  t  t   p  t 1  t   q  t  t
(4.29)
или
pt  Δt   pt 
  λpt   μq t .
Δt
Устремляя t0, имеем
pt  Δt   pt  dpt 
.

Δt  0
Δt
dt
lim
Следовательно, первое уравнение состояния будет выглядеть как
dpt  / dt  pt   q t .
(4.30)
Проводя аналогичные рассуждения для второго состояния элемента – состояния отказа, можно получить второе уравнение состояния
dqt  / dt  q t   pt .
76
(4.31)
Таким образом, для описания вероятностей состояний элемента получена система из двух дифференциальных уравнений (4.30) и (4.31).
Если имеется направленный граф состояний элементов системы, то систему
дифференциальных уравнений для вероятностей состояний pk  k  0, 1, 2,... ,
можно сразу записать, пользуясь следующим простым правилом: в левой части
каждого уравнения стоит производная dpk t  / dt , а в правой – столько составляющих, сколько ребер графа состояний типа 4.2 и 4.3 связано непосредственно с
данным состоянием; если ребро оканчивается в данном состоянии, то составляющая имеет знак плюс; если начинается из данного состояния  знак минус. Каждая
составляющая равна произведению интенсивности потока событий, переводящего
элемент или систему по данному ребру в другое состояние, на вероятность того
состояния, из которого начинается ребро.
Решение системы уравнений, описывающих состояния одного элемента при
начальных условиях p0  1, q 0  0 , дает вероятность безотказной работы
p t  



e     t
 
и вероятность отказа
q t   1  p t  



e      t .
 
(4.32)
(4.33)
Если в начальный момент времени элемент находился в состоянии отказа,
т.е. p0  0, q 0  1, то



e     t ,
(4.34)
 


q t  

e     t .
(4.35)
 
Для стационарного состояния t    вероятность безотказной работы равp t  
на стационарному коэффициенту готовности, а вероятность отказа – коэффициенту неготовности (вынужденного простоя):
to

,

t 
   t o  tв
tв

.
lim q t   kнг 

t 
   t o  tв
lim pt   kг 
(4.36)
(4.37)
Для стационарных состояний марковские процессы вырождаются в марковские цепи.
Уравнения марковских процессов дают возможность вычислять как вероятности состояний (например, коэффициенты готовности и неготовности), так и вероятность наступления тех или иных событий (например, вероятность безотказной работы или отказа). В последнем случае искомое событие связывают с попаданием системы в поглощающее состояние.
77
Таким образом, метод, использующий марковские процессы, позволяет строго и в общем виде получать решения, т.е. вероятности всех состояний и их изменения во времени.
Однако этот метод ограничен только экспоненциальными моделями элементов, существенный недостаток метода – большая размерность матрицы состояний
L . Например, для системы, состоящей всего из 10 элементов, порядок матрицы
равен 2  1024, что вызывает, с одной стороны, большие трудности в переборе
всех состояний системы и определении коэффициентов перехода, а с другой  создает и большие вычислительные трудности.
10
4.3.3.3. Аналитический логико-вероятностный метод. Такое название закрепилось за рассматриваемым методом, хотя любой метод расчета надежности содержит в себе и логическую и вероятностную части. Здесь же подразумевается,
что метод основан на применении теорем теории вероятностей к функциям алгебры логики. Указанная основа метода предопределила принимаемые здесь допущения. В отличие от предыдущего метода предполагается, что не только элементы могут находиться в двух состояниях, но и сама система. Кроме того, этот метод в основном применим к системам, которые могут быть представлены сетевой
структурой в смысле надежности.
Теоретически метод может быть применен к системе, времена безотказной
работы и восстановлений элементов которой распределены по любому закону,
однако практически он используется для систем с экспоненциально распределенными временами (с простейшим потоком отказов).
Таким образом, если структурно-функционально система описана функцией
алгебры логики z  zx t , то коэффициент готовности определяется как
kг  P z t   1,
(4.38)
где z t   функция работоспособности в момент времени t, а коэффициент неготовности
kнг  P z t   1,
(4. 39)
где z t   функция неработосособности в момент времени t.
В качестве другого основного показателя можно определять вероятность безотказной работы на интервале времени 0, t :
pt   P z t   1, 0  t  t o ,
(4.40)
где t o  время до отказа, а z t   функция работоспособности системы на интервале времени 0  t  t o .
Различие между (4.38) и (4.40) заключается в том, что в первом случае функция работоспособности системы примет значение 1 в заданный момент времени t,
а во втором случае функция работоспособности будет равна единице на интервале
времени до отказа.
78
Основная проблема использования соотношений (4.38) (4.40) состоит в том,
что вероятностные показатели надежности системы зависят от вероятностных показателей состояний элементов.
В качестве примера определим вероятностные показатели надежности системы, состоящей из n последовательно соединенных в смысле надежности независимых элементов.
Функция работоспособности в момент времени t имеет вид
Коэффициент готовности
z  x1x 2 ...xn .
kг  P z  1 .
На основе теоремы умножения вероятностей имеем
n
kг  P (z = 1)=P x1  1P  x2  1 ... P xn  1  
i 1
Поскольку P xi  1  kгi , то
xi  1 .
n
k г   k гi .
(4.41)
i 1
Коэффициент неготовности
n
k нг  1  k г  1   1  k нгi  .
i 1
Если kнгi  1, то
(4.42)
n
kнг   kнгi .
(4.43)
i 1
2
 n

Ошибка последней формулы не превышает 0,5  k нгi  . Ее справедливость
 i 1

легко проверяется на численных примерах.
Вероятность безотказной работы. Так как система проработает без отказа
на интервале 0, t  только при условии, что все ее элементы не откажут на этом
интервале времени, то
z  t   x1  t  x2  t  ... xn  t  при 0  t  t o ;
p  t  P z  t   1 P x1  t   1P x2  t   1 ... P xn  t   1 
  P xi  t   1.
n
i 1
(4.44)
Но P xi t   1 при o  t  t o   pi t   вероятность безотказной работы i-го
элемента, тогда
n
p t    pi t .
i 1
79
(4.45)
Если учесть (3.8), то
    t dt
t
e
откуда
o
n
  i  t dt
t
 e
   i  t dt
n t
e
o
i 1
i 1 o
,
n
  t    i  t  ,
i 1
(4.46)
т.е. интенсивность отказов системы, состоящей из n последовательно соединенных в смысле надежности независимых элементов, равна сумме интенсивностей отказов ее элементов.
Если элементы с простейшими потоками отказов, то i  i и
n
n
i 1
i 1
   i   i .
(4.47)
Аналогично вероятность отказа
n
q t   1  p t   1   1  q i t .
i 1
При q i t   1
(4.48)
n
q t    q i t 
i 1
n

i 1

(4.49)
2
с ошибкой, не превышающей 0,5   q i t  . Замечание о справедливости (4.49)
то же, что и для (4.43).
Рассмотрим в качестве еще одного примера систему, состоящую из n параллельно соединенных в смысле надежности независимых и невосстанавливаемых элементов. В данном случае для определения показателей надежности системы удобнее воспользоваться логической функцией неработоспособности на
заданном интервале времени 0  t  t o :
z  t   x1  t  x2  t  ... xn  t  при 0  t  t o ;
q t   1  pt   z t   1 при
0  t  t0   x1  t   1 Px2  t   1 ... xn  t   1.
Но xi t   1 приP0  t  t o  Pq i t  , следовательно,
P
P
n
q  t    qi  t  ,
i 1
pt   1  q t .
(4.50)
(4.51)
Усложним ситуацию и определим показатели надежности системы, состоящей из двух параллельно соединенных независимых и восстанавливаемых эле-
80
ментов. Логическая функция работоспособности в заданный момент времени
z  x1  x 2 и неработоспособности z  x1x 2 .
Коэффициент неготовности
kнг 
z  1  x1x2  1  x1  1 x2  1.
Но P xi  1  kнгi , следовательно,
(4.52)
kнг  kнг1kнг 2 .
В случае n элементов коэффициент неготовности системы равен произведению коэффициентов неготовности элементов.
Соответственно коэффициент готовности для двух параллельно соединенных и восстанавливаемых элементов
kг  1  kнг  1  kнг1kнг 2  1  1  kг1 1  kг 2   kг1  kг 2  kг1kг 2 . (4.53)
Определение вероятности безотказной работы системы для этого случая
требует достаточно сложных выкладок и решения интегрального уравнения, поэтому здесь не рассматривается.
4.3.3.4. Аналитический метод на основе формулы полной вероятности. В
случае сложной аварии может быть использован аналитический метод на основе
формулы полной вероятности. При этом рассматриваются последствия отказов
элементов системы в различных режимах с номерами j – нормальном, ремонтных
и др. Наложения отказов элементов на режимы системы классифицируются как
аварийные состояния с определенной степенью нарушения работоспособности
системы: потеря генераторов, трансформаторов, линий, погашение секций шин,
снижение располагаемой или выдаваемой мощности, дефицит мощности в системе, а также различные сочетания нарушений.
Аварии классифицируются по продолжительности ликвидации их последствий как кратковременные (оперативные переключения) и длительные (восстановительные ремонты). Последствия отказов устройств релейной защиты, противоаварийной автоматики и коммутационных аппаратов рассматриваются как развитие аварии.
Все элементы системы – генераторы, трансформаторы, линии, секции шин,
выключатели, отделители, короткозамыкатели и др. – получают номера i. Для них
задаются показатели надежности, например,  i , t вi , и т.д. Для устройств релейной защиты и противоаварийной автоматики, коммутационной аппаратуры задаются их номера s, а также q s i   условная вероятность отказа устройства с номером s при условии, что отказал элемент в основной схеме с номером i.
Плановые и аварийные режимы учитываются отдельно, если они отличаются
составом отключенных элементов. Нормальный режим по полной схеме системы
получает номер j = 0. Для каждого режима задаются показатели
 j , t вj ,  пj , t впj , k нгj и др.
81
Все множество режимов составляет полную группу событий, поэтому в соответствии с формулой полной вероятности
r
Pj =1,
(4.54)
j 0
где r – число заданных режимов системы.
Вероятность появления события (аварии) k-го вида в j-м режиме связана с вероятностью возникновения отказа i-го элемента, i  1, n , формулой условной вероятности:
PH ji   Ak H ji ,
n
P kjP 
i 1
 
(4.55)
где P H ji  вероятность отказа i-го элемента в j-м режиме;


P Ak H ji  вероятность возникновения аварии k-го вида при условии отказа i-го
элемента в j-м режиме. Индекс i = 0 присвоим вероятности отсутствия отказов.
Если в случае отказа i-го элемента в j-м режиме происходит действие или отказ s-го комплекта релейной защиты, то по формуле условной вероятности



HPjis   Ak H ji H jis  ,

s 0
m
P Ak Hij P 

(4.56)
где P H jis  вероятность отказа срабатывания s-го комплекта релейной защиты
в случае отказа i-го элемента в j-м режиме. Индекс s = 0 отнесем к правильным
действиям устройств релейной защиты; m – число устройств.

В случае отказа коммутационных аппаратов вероятность P Ak H ji H jis

связана с вероятностью действий коммутационных аппаратов формулой условной
вероятности


H jisp   Ak H ji , H jis , H jisp 

p 0
v
P Ak Hij H jis  
(4.57)
P действиюP всех коммутационных аппаратов, v –
где р = 0 относится к безотказному
число возможных сочетаний отказов в отключении одного или нескольких аппаратов одновременно. Сочетание отказов более трех коммутационных аппаратов –
практически невозможное событие, вероятность которого близка к нулю.
При учете действия устройств противоаварийной автоматики (АПВ, УРОВ,
АВР и др.) также по формуле условной вероятности имеем


H jispq   Ak H ji H jis H jisp H jispq  , (4.58)

q 0
w
P Ak Hij H jis H jisp  
где q = 0 относится к безотказному действию устройств противоаварийной автоматики; w – число возможных отказов
этих P
устройств.
P
Таким образом могут быть получены вероятности различных аварийных ситуаций, возникающих в режиме j при отказе элемента i, последовавшем за ним
отказе релейной защиты s, а далее отказе группы коммутационных аппаратов р и
82
отказе противоаварийной автоматики q. Количество таких аварийных ситуаций
определяется деревом развития аварии, когда на каждом этапе соответствующие
устройства могут работать правильно или отказать.
Каждой из полученных аварийных ситуаций ставятся в соответствие ее последствия в виде, например, сохранения или нарушения питания потребителей,
дефицита мощности, недоотпуска электроэнергии, ущерба и т.п. В результате получаем вероятностные характеристики последствий аварийных ситуаций в виде
их частоты и/или глубины, и/или продолжительности и др.
4.3.3.5. Аналитический метод по схеме Бернулли. Часто приходится решать
задачи по расчету показателей надежности, когда логическая часть либо весьма
индивидуальна, либо крайне проста. Обычно в этих случаях логика укладывается
в известные схемы: схема Бернулли или схема независимых испытаний, пуассоновский простейший поток и др.
Схема Бернулли предполагает проведение серии взаимно независимых испытаний, каждое из которых завершается успехом (в соответствии с заранее выбранным критерием) с вероятностью р или неудачей с дополнительной вероятностью
q = 1  p.
Для такой схемы можно определить вероятность того, что при n опытах
успешными будут k из них, а (n  k) – неудачными:
P k  n   Cn p q
k
где Cn 
k
k n k
,
(4.59)
n!
.
k ! n  k !
Если число успехов в n испытаниях обозначить величиной k, то эта величина
случайная, а функция распределения ее будет Pk n , которую называют биномиальной. Слово "биномиальное" отражает тот факт, что (4.59) представляет собой
k-й член биномиального разложения
p  q n  1.
(4.60)
На основе схемы Бернулли можно решать многие задачи. Так, если полагать,
что на подстанции работают n однотипных трансформаторов (т.е. имеем n испытаний), каждый из которых с вероятностью k г находится в работоспособном состоянии, а с вероятностью k нг  1  k г  в неработоспособном, то вероятность
того, что в определенный момент окажутся работоспособными k трансформаторов, будет определяться формулой (4.59), где p  kг , q  kнг .
4.3.3.6. Аналитический метод на основе пуассоновского процесса. Пуассоновский процесс предполагает, что поток происходящих во времени событий обладает следующими свойствами:
 вероятность определенного количества событий пропорциональна длине
интервала времени;
83
 вероятность двух и более событий за промежуток времени стремится к нулю, когда длительность этого промежутка времени стремится к нулю;
 количество событий, появляющихся на любых перекрещивающихся интервалах времени, независимо между собой.
Такой поток характеризуется параметром – среднее количество событий на
интервале
(4.61)
  t ,
где   частота появления события,  =  (см. (3.17)).
Для пуассоновского потока вероятность появления k событий на интервале
времени t определяется как

t k   t
p t  
e .
k
k!
(4.62)
Например, если предположить, что поток отказов трансформатора на подстанции пуассоновский, то вероятность безотказной работы трансформатора будет
p  t   e  t ,
что согласуется с ранее полученным выражением (3.17).
Если на подстанции n трансформаторов, то вероятность того, что на интервале времени t не откажет ни один из них,
po, n t   e  n t ,
(4.63)
а вероятность того, что откажет один трансформатор из всех, 
p1, n t   nte  nt ,
(4.64)
и т.д.
4.3.3.7. Имитационный метод. Когда невозможно при существующих средствах получить решение аналитическими методами или решение крайне сложное,
громоздкое, применяют имитационное моделирование, основанное на компьютерном представлении процессов в системе. Основу имитационных методов составляет метод статистического моделирования (метод Монте-Карло).
Процесс статистического моделирования представляет собой процедуру многократного повторения определенных внешних условий и взаимодействий элементов системы. В результате каждого такого опыта формируется конкретная реализация исхода испытания. После серии опытов исследователь получает некоторую выборку случайных реализаций, которые затем подвергает стандартным процедурам статистической обработки.
Таким образом, в этом методе моделирование рассматривается как последовательность экспериментов. В ходе данных экспериментов моделируются события, причем происходят они в моменты, определяемые случайными процессами с
заданными распределениями вероятностей.
84
Основные этапы такого исследования: построение формальной модели, программное обеспечение процесса имитации траекторий модели, имитационные
эксперименты.
Этап построения формальной модели сводится к составлению алгоритма
формирования необходимой последовательности событий, а также к определению
траектории движения объекта, полученной на основе ее характеристик.
Этап организации программного обеспечения заключается в создании компьютерной программы, позволяющей воспроизвести (имитировать) траекторию
модели в соответствии с имеющимися закономерностями и найти соответствующие показатели работы модели, а также в создании программ работы с моделью.
Этап организации имитационных экспериментов – это работа с моделью (выбор способа обработки выходной информации для эффективного получения необходимых результатов, получение выходных показателей надежности на основе
выбранного способа и т.д.).
В итоге процесс функционирования системы представляется цепью изменения ее состояний c1  c 2  ...  c k ... в случайные моменты времени
t1, t2 ,..., tk ,...
Схематически процесс функционирования для системы из n элементов показан на рис. 4.6, где приняты следующие обозначения: t k  момент k-го отказа
элемента; t k  момент окончания k-го восстановления элемента; t ok  интервал
времени от момента (k-1)-го восстановления до момента k-го отказа элемента; t вk
 интервал времени от момента (k1)-го отказа до момента окончания k-го восстановления элемента. Указанные величины связаны между собой соотношениями:
Интервалы времени t ok и t вk представляют собой отдельные реализации
непрерывных случайных величин t o и t в , характеризующих время исправной работы и время восстановления элемента системы. На компьютере организуется генерация потоков случайных чисел, подчиненных заданным законам распределения времени работы и времени восстановления элементов (обычно равномерное
распределение). На основании этих чисел формируются моменты времени по
формулам (4.65).
t1  t01,
t1  t1  tâ1 ,


t2  t1  t02 , t2  t2  tâ2 ,


..............................................

tk  tk  tok ; tk  tk  tâk .
85
(4.65)
t1
t o1
Элемент
1
t1
t в1
t o3
tв2
t1
t o1
2
о
t1
t 2
to2
t1
t1
t 2
t o3
t
tв2
t в1
t o1
t 2
to2
t 2
t o3
t
о
tв2
t в1
t1
t o1
n
t 2
t
о
i
t 2
to2
t1
to2
t
о
t в1
Cистема
о
c1
t1
t2
c2
c3
t3
t4
c4
t5
tk
ck
c5
Рис. 4.6.
Пусть повторяются испытания системы N раз. При каждом испытании будут
получаться новые случайные моменты отказов и восстановлений элементов системы. Если из N испытаний система отказала M раз (на рис. 4.6 отказ системы
показан в результате наложения отказов элементов 1, 2 и I ), то вероятность отказа
системы за период t
q t   M / N .
(4.66)
Частота отказов
N
n
,
Nt
 1
t   
(4.67)
где n  – число отказов системы при испытании .
Аналогично можно вычислить и другие показатели надежности системы.
Отметим преимущества и недостатки метода статистических испытаний. Его
преимущества: позволяет полнее учесть особенности функционирования сложной
86
системы, в том числе с зависимыми элементами, а также любые законы распределения случайных величин, имеет наглядную вероятностную трактовку, малую
чувствительность к случайным сбоям компьютера в процессе решения; недостатки: частный характер решения, соответствующего фиксированным значениям параметров элементов и выбранным начальным условиям, и сильная зависимость
точности и количества необходимых реализаций N от степени надежности элементов и системы.
Чем надежнее элементы и система, тем больше времени требуется для расчета. Минимальное число испытаний системы, обеспечивающее желаемую точность, определяется в процессе расчета. Число необходимых испытаний можно
оценивать по формуле
P
N   2  2
   ,
(4.68)
где σ 2  дисперсия ошибки, P ()  вероятность ошибки, большей .
Указанные основные преимущества и недостатки метода определяют и область его применения. Это в основном исследовательские расчеты. Метод может
быть эталонным и использоваться для оценки точности других приближенных
методов.
Все рассмотренные методы оценки вероятностных характеристик системы на
основе показателей надежности ее элементов предполагали однозначность исходной информации. В действительности же характеристики надежности элементов
системы известны с определенной точностью, обусловленной достоверностью и
объемом статистической информации, точностью их расчета и прогноза. В связи с
этим выходные показатели надежности системы имеют неточность (неопределенность). Поэтому возникает задача оценки достоверности получаемых показателей
надежности системы по данным о достоверности характеристик ее элементов.
Возможны различные подходы к решению этой задачи: теория чувствительности,
статистическое моделирование и др. Однако все эти подходы находятся пока в
стадии разработки.
4.3.4. Определение последствий для потребителей при различных состояниях системы
Задачу определения последствий для потребителей при различных состояниях системы электроснабжения целесообразно рассматривать для двух случаев:
1) если пропускные способности элементов системы (линий, трансформаторов) не ограничивают передачу мощности от источников к узлам потребления в
различных состояниях неполной работоспособности системы, а важно лишь
наличие связей от источников к потребителям. Предполагается, что суммарная
мощность источников электроэнергии достаточна, т.е. не меньше суммарной потребляемой мощности с учетом потерь в сети. Если мощности источников недостаточно для обеспечения нагрузки потребителей вследствие ее дефицита по каким-либо причинам, не зависящим от систем электроснабжения, например вследствие отказов источников электроэнергии, то потребители будут иметь соответ87
ствующие дефициты мощности и недоотпуски электроэнергии и, как следствие,
экономические ущербы;
2) если пропускные способности элементов системы электроснабжения ограничивают передачу электроэнергии от источников к потребителям в некоторых
состояниях системы при наличии связей между источниками и узлами нагрузки,
то потребители будут иметь некоторые дефициты мощности продолжительностью, равной продолжительности этих состояний системы, и соответствующие
недоотпуски электроэнергии, а следовательно, и экономические ущербы. При
этом, как и в предыдущем случае, предполагается, что суммарная мощность источников электроэнергии не меньше суммарной мощности потребителей с учетом
потерь в сети. Если в каких-то (или во всех) состояниях системы имеют место дефицит мощности источников электроэнергии и соответствующий ему недоотпуск
электроэнергии, то эти дефицит и недоотпуск будут суммироваться с дефицитами
и недоотпусками в результате ограниченной пропускной способности элементов.
Первый случай в контексте рассматриваемой задачи не представляет больше
интереса. Что касается второго случая, то для определения последствий для потребителей при различных состояниях системы электроснабжения необходимо
решать задачу потокораспределения.
Однако рассмотрим сначала причины, которые могут приводить к ограничению пропускной способности элементов системы электроснабжения. Таких причин две: а) ограничения по току, протекающему через элемент (линию, трансформатор), из условий нагрева проводников; б) ограничения по отклонениям напряжений, определяемые требованиями качества электроэнергии по уровням напряжений. Первое ограничение физически понятно. Второе связано с ситуацией, когда несмотря на предельно высокий уровень напряжения на отправной стороне
элемента (в большей мере это относится к линиям, в меньшей мере – для трансформаторов) из-за потерь напряжения вследствие передачи большой мощности не
удается обеспечить допустимый уровень напряжения на приемной стороне.
Дальнейшее изложение будем рассматривать на примере мостиковой схемы,
представленной на рис. 4.4, внеся в нее для общности ситуации еще один источник электроэнергии в узле 2 (пусть это будет малая газотурбинная установка, относящаяся к разряду распределенной генерации). Модифицированная таким образом схема представлена на рис. 4.7,а.
а
~
u
б
2
2
1
3
3
1
4
n
4
Рис. 4.7
88
Ограничения пропускных способностей связей могут задаваться двумя способами: в виде неизменной предельной передаваемой по элементу мощности Pij
(в некоторых случаях при передаче мощности в прямом и обратном направлениях
могут иметь место разные пределы); путем задания предельных значений тока
или/и напряжений. Первый способ приемлем, например, в случае относительно
коротких линий, когда отклонения напряжений в различных режимах незначительны и ими можно пренебречь, а предельная пропускная способность элемента
определяется током нагрева. Второй способ необходимо использовать в случае
сравнительно длинных линий, когда отклонения напряжений в различных режимах существенны. Для этих двух случаев используются разные методы расчета
потокораспределения в системе электроснабжения.
При задании предельных пропускных способностей связей предельной передаваемой мощностью Pij расчет потокораспределения в схеме может быть выполнен с использованием так называемых потоковых алгоритмов. Один из наиболее распространенных и в то же время наиболее простых – это алгоритм ФордаФалкерсона. Поясним его на примере схемы рис. 4.7,а, которая при этом преобразуется в расширенную схему рис. 4.7,б, где введены два дополнительных узла – u
(в него перенесены и просуммированы все мощности источников) и n (в него перенесены и просуммированы все мощности нагрузок). Пропускная способность
каждой новой связи, соединяющей узел исходной схемы с узлом u или n, задается
равной переносимой мощности источника или нагрузки. В этом случае дополнительные связи не ограничивают передачу мощности от агрегированного источника (узел u) к агрегированному потребителю (узел n) и потокораспределение в
расширенной схеме не будет отличаться от потокораспределения в исходной схеме.
Задача потокораспределения решается путем нахождения минимального сечения расширенной схемы, которое и ограничивает передачу мощности от источников к потребителям, если суммарная пропускная способность его меньше суммарной мощности потребителей в системе. В данном случае минимальное сечение
– это сечение с минимальной суммарной пропускной способностью входящих в
него связей. Тем самым оно отличается от понятия минимального сечения, введенного в п. 4.3.2.2 и определяемого лишь топологией схемы сети. Минимальное
сечение расширенной схемы можно найти перебором всех сечений (комбинаторным методом) или другими методами.
Если пропускная способность минимального сечения больше или равна суммарной потребляемой мощности, то очевидно, что схема исходной сети в рассматриваемом состоянии не ограничивает передачу мощности от источников
электроэнергии к потребителям.
Когда ограничения по пропускной способности связей определяются на основе предельных токов и напряжений, необходим расчет установившегося электрического режима системы электроснабжения. В общем случае такой расчет базируется на решении нелинейных систем алгебраических уравнений, в основу которых положены уравнения узловых напряжений или контурных токов. Наиболее
распространенным представлением электрической сети являются уравнения узло89
вых напряжений. Могут быть учтены статические характеристики нагрузок по
напряжению. Система нелинейных алгебраических уравнений при расчете электрического режима решается обычно итерационным методом Ньютона или его
модификациями. При этом на каждой итерации получающаяся система линейных
алгебраических уравнений решается методом исключения Гаусса.
В результате расчета электрического режима схемы системы электроснабжения получаем токи в связях и напряжения в узлах схемы. Если получаемые токи и
напряжения не укладываются в заданные ограничения, определяемые предельными токами и напряжениями, необходимо изменять потокораспределение, например путем уменьшения нагрузок. Поиск минимально необходимого уменьшения
нагрузок (ограничения) потребителей – это оптимизационная задача, которую
можно решить тем или иным методом математического программирования (градиентным, ветвей и границ и др.).
В случае радиальной (незамкнутой) схемы системы электроснабжения задача
потокораспределения и поиск минимально необходимого уменьшения нагрузок
(ограничения) потребителей для получения допустимого режима существенно
упрощаются.
Если в системе электроснабжения имеются средства регулирования режима
(например, регулируемые источники реактивной мощности, трансформаторы с
поперечным регулированием, гибкие электропередачи переменного тока –
FACTS, распределенная генерация и др.), тогда ограничения потребителей в рассматриваемом состоянии системы можно уменьшить изменением потокораспределения и уровней напряжений c использованием средств регулирования режима.
Соответствующая задача также является оптимизационной и в условиях эксплуатации направлена на выбор таких параметров установленных регулирующих
устройств, которые приводили бы к минимальному ограничению потребителей в
этом состоянии системы. На уровне проектирования системы электроснабжения
подобная задача заключается в оптимальном выборе мощности и мест установки
регулирующих устройств.
90