Начертательная геометрия: Практикум

Министерство образования Российской Федерации
Владимирский государственный университет
Н.П. АБАРИХИН, Г.Н. БУТУЗОВА, Н.Е. КОНДРАТЬЕВА
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
ПРАКТИКУМ
Владимир 2002
УДК 744 (076.5)
А13
Рецензенты:
Кандидат педагогических наук, доцент
Владимирского государственного педагогического университета
А.А. Решетникова
Доктор педагогических наук, профессор
зав. кафедрой технической графики и декоративно-прикладного
искусства Владимирского государственного
педагогического университета
Е.П. Михеева
Печатается по решению редакционно-издательского совета Владимирского
государственного университета
Абарихин Н.П., Бутузова Г.Н., Кондратьева Н.Е.
А13 Начертательная геометрия: Практикум. Владимир, 2002. 54 с.
ISBN 5-89368-344-7
Содержит программу и методические рекомендации по самостоятельной проработке вопросов при изучения дисциплин «Начертательная геометрия. Инженерная графика», «Инженерная и машинная графика». Даны варианты, содержание и объем контрольных работ, методические указания по их выполнению и оформлению.
Предназначен для студентов заочной формы обучения. Практикум будет полезен
изучающим самостоятельно курс «Начертательная геометрия» для всех форм обучения.
Ил.16 . Табл. 3 . Библиогр.: 4 назв.
УДК 744 (076.5)
ISBN 5-89368-344-7
 Владимирский государственный
университет, 2002
ВВЕДЕНИЕ
В системе инженерного образования начертательная геометрия имеет
большое значение. Способы изображения пространственных форм на
плоскости, принятые в начертательной геометрии, находят применение в
курсах черчения и других технических дисциплинах, а также при решении
инженерных задач графическими методами.
Курс начертательной геометрии включает:
• изучение приемов и способов изображения пространственных форм на
плоскости;
• раскрытие геометрических свойств фигур по их изображениям;
• решение графическими методами задач о взаимном расположении или
измерении геометрических форм в пространстве.
Изучение начертательной геометрии способствует также развитию пространственного представления о предметах.
При изучении начертательной геометрии необходимо придерживаться
следующих указаний:
• начертательную геометрию следует изучать строго последовательно и
систематически;
• прочитанный в учебной литературе материал должен быть глубоко усвоен. Свои знания можно проверить ответами на поставленные в конце
каждой темы вопросы и решениями задач, приведенными в приложении
к данному пособию;
• особое внимание в курсе начертательной геометрии должно быть
уделено решению задач. Прежде чем приступить к решению той или
иной задачи, надо понять ее условие и составить алгоритм ее решения, т.е. установить последовательность выполнения операций. Значительную помощь оказывают зарисовки воображаемых моделей и
их простейшие макеты.
3
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
А, В, С, ... , - точки пространства (прописные латинские буквы).
1, 2, 3, ... , - точки пространства (арабские цифры).
a, b, c, ... , - прямые и кривые линии (строчные латинские буквы) в т. ч.:
h, f, c, ... , - горизонтали, фронтали, профильные прямые.
α, β, γ, ... , - плоскости (строчные греческие буквы), в т. ч.:
π1, π2, π3
- горизонтальная, фронтальная, профильная плоскости
проекций;
∆, Θ, Λ, ... , - поверхности (прописные греческие буквы);
А1, а1, α1, ..., - горизонтальные проекции точки, линии и плоскости;
А2, а2, α2, ..., - фронтальные проекции точки, линии и плоскости;
А3, а3, α3, ..., - профильные проекции точки, линии и плоскости;
A1t, A2t, A3t - тень точки на плоскости.
К, k
- картинная плоскость и основание картины.
/
/
А , А1
- перспективная и вторичная проекции точки.
А -7
- проекция точки с числовой отметкой.
ОБОЗНАЧЕНИЕ ОСНОВНЫХ ОРЕРАЦИЙ
Таблица 1
Знак
∈
Значение
Принадлежность
элемента
Принадлежность
множества
Пересечение
A∈ α
Чтение
Точка А принадлежит
плоскости α
Линия а принадлежит плоскости β
∩
⁄⁄
⊥
а⊂ β
а ∩ γ = К Линия а пересекается с плоскостью γ
в точке К
l⁄⁄q
Прямая l параллельна прямой q
Прямая а перпендикулярна прямой b
а⊥b
...
а·b
Прямые а и b скрещиваются
К= а ∩ ϕ Точка К есть точка пересечения линии а с плоскостью ϕ
[ АВ ]
Отрезок прямой, ограниченный точками А и В
АВ
Расстояние между точками А и В
⊂
Параллельность
Перпендикулярность
·
Скрещивание
Совпадение, ра=
венство
[ ... ] Отрезок прямой
4
Пример
Расстояние
ПРОГРАММА ИЗУЧЕНИЯ КУРСА НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Введение. Предмет «Начертательная геометрия» и ее основной метод
(метод проекций), используемый для построения изображений пространственных форм на плоскости. Центральное и параллельное проецирование.
Инвариантные свойства параллельного проецирования. Ортогональные
проекции.
Точка, прямая, плоскость. Проекции точки на две и три плоскости
проекций. Связь между ортогональными проекциями точки и ее прямоугольными декартовыми координатами.
Проекции прямой линии при ее различных положениях относительно
плоскостей проекций. Взаимное расположение точки и прямой. Деление
отрезка прямой в данном отношении. Определение длины отрезка прямой
общего положения и углов наклона его к плоскостям проекций. Следы
прямой линии. Взаимное расположение двух прямых линий. Условия видимости точек, лежащих на общей для них проецирующей прямой (конкурирующие точки). Проекции плоских углов. Проекции прямого угла.
Способы задания плоскости. Различные положения плоскости относительно плоскостей проекций. Построение следов плоскости. Прямые линии
и точки, расположенные в данной плоскости. Главные линии в плоскости:
горизонталь, фронталь, линия наибольшего наклона. Взаимное расположение двух плоскостей – параллельность и пересечение. Взаимное расположение прямой линии и плоскости – параллельность и пересечение. Установление видимости прямой относительно плоскости и одной плоскости
относительно другой.
Способы преобразования проекций чертежа. Способ замены плоскостей проекций. Способ вращения вокруг осей, перпендикулярных плоскостям проекций. Способ вращения вокруг осей, параллельных плоскостям
проекций. Способ плоскопараллельного перемещения. Решение четырех
основных задач указанными способами. Применение способов преобразования проекций к решению позиционных и метрических задач.
Многогранники. Построение проекций многогранников. Пересечение
многогранников плоскостью и прямой. Взаимное пересечение двух многогранников. Развертывание поверхности многогранников.
Кривые линии. Основные понятия и определения. Плоские и пространственные кривые линии. Касательные и нормали к кривым. Особые
5
точки на кривых. Построение обводов кривых линий. Построение проекций окружности и винтовой линии.
Поверхности. Кинематическое образование кривых поверхностей. Определитель и каркас поверхности. Изображение кривых поверхностей на
проекционном чертеже. Классификация поверхностей. Линейчатые поверхности (цилиндрические, конические и торсовые). Поверхности с плоскостью параллелизма (цилиндроид, коноид, косая плоскость). Поверхности
вращения. Винтовые поверхности. Линии и точки, принадлежащие поверхности.
Пересечение поверхности плоскостью. Пересечение прямой линии с поверхностью. Взаимное пересечение поверхностей. Способы построения
линий пересечения поверхностей. Способ секущих плоскостей. Способ
концентрических и эксцентрических сфер.
Плоскости, касательные к кривым поверхностям.
Аксонометрические проекции. Сущность метода параллельного проецирования на одну плоскость и основные понятия. Основная теорема аксонометрии. Зависимость между коэффициентами искажения и углом проецирования (треугольник следов). Стандартные аксонометрические проекции. Изображение окружности в аксонометрии. Построение аксонометрических изображений.
Тени в ортогональных проекциях. Общие понятия. Тень точки, прямой, плоской фигуры. Тени объемных тел. Метод лучевых плоскостей. Метод обратных лучей.
Линейные перспективные проекции. Сущность метода. Аппарат линейной перспективы. Перспектива точки, прямых общего и частного положения.
Перспектива параллельных прямых. Перспектива прямых, расположенных под углом 45о и перпендикулярно картинной плоскости. Выбор точки
и угла зрения. Ориентировка картины.
Методы построения перспективы. Радиальный метод. Метод архитекторов с двумя и одной точками схода. Построение перспективы с опущенным планом.
Перспективное деление отрезков в заданном соотношении. Перспектива
окружности.
Тени в линейной перспективе. Выбор и расположение источника ос6
вещения. Построение собственных и падающих теней объемных тел.
Проекции с числовыми отметками. Общие понятия. Проекции точек,
прямых. Уклон и интервал прямых. Взаимное расположение двух прямых.
Плоскость. Масштаб падения. Направление и угол простирания. Взаимное
расположение двух плоскостей. Взаимное расположение прямой и плоскости. Проекции тел и поверхностей. Поверхность одинакового ската. Топографическая поверхность. Пересечение поверхностей. Построение границ
выемки и насыпи земляных работ.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. – М.: Наука,1988.
2. Короев Ю.И. Начертательная геометрия. – М., 1993. – 216 с.
3. Начертательная геометрия / Под ред. Н.Н. Крылова. – М.: Высш. школа, 1990.
4. Арустамов Х.А. Сборник задач по начертательной геометрии. – М .:
Машиностроение, 1978.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Контрольные работы по начертательной геометрии представляют графические работы – эпюры, которые выполняются по мере последовательности изучения курса.
Задания на контрольные работы индивидуальные. Студент выполняет
тот вариант задания, который соответствует его последним цифрам номера
зачетной книжки или порядковому номеру в групповом журнале.
Эпюры должны быть выполнены в соответствии с требованиями государственных стандартов Единой системы конструкторской документации
(ЕСКД) и отличаться выразительностью и опрятностью графического решения поставленных задач.
Под выразительностью в данном случае понимают те свойства эпюра,
которые облегчают процесс его чтения.
• Толщина и тип линий должны быть приняты в соответствии с ГОСТ
2.303-68. Условия задач, все построения и искомые элементы на эпюре
следует выполнять с помощью чертежных инструментов карандашом,
вначале тонкими линиями для достижения точности графического по7
строения, затем чертеж обводится. При обводке для линий видимого
контура применяется сплошная толстая основная линия толщиной
0,8 – 1,0 мм. Для линий невидимого контура – штриховая, толщиной 0,4 – 0,5 мм. Все остальные линии обводятся толщиной ∼ 0,3 мм.
• Оформлять эпюры следует карандашами различных цветов: условия задачи и все построения выполняются простым карандашом, искомые линии – цветными (красным, синим, зеленым).
• Точки на эпюре необходимо вычерчивать в виде окружности диаметром
1,5 – 2 мм с помощью циркуля – балеринки.
• Поле эпюра обводится рамкой согласно ГОСТ 2.301-68. В правом
нижнем углу должна быть выполнена основная надпись, содержание и
размеры которой приведены на рис.1.
• Все надписи, как и отдельные обозначения в виде букв и цифр на эпюре, должны быть выполнены стандартным шрифтом размером 3,5 и
5 мм в соответствии с ГОСТ 2.304-81.
• На некоторых эпюрах вместо штриховки поверхностей, показанной на
примерах их выполнения, рекомендуется закрашивать (отмывать) проекции плоскостей и поверхностей акварельной краской очень слабого
раствора. Отмывка проводится следующим образом. В небольшом количестве воды (четверть стакана) разводят акварельную краску. Приколо
тый к доске лист чертежной бумаги держат перед собой под углом около
60о. Краску наносят кисточкой сверху вниз горизонтальными параллельными мазками так, чтобы внизу всегда скапливалось небольшое количество краски. В конце закрашивания сводят скопившуюся краску в
один угол и убирают ее отжатой кисточкой.
120
25
7.5
15
Чертил
Принял
Ильин В.
Гавшин В.В.
25
30
30
Пересечение поверхностей 3 - 21
ВлГУ ЗТ-201
25
Рис.1. Пример основной надписи для эпюра № 3, вариант 21.
8
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
Данная контрольная работа состоит из эпюра № 1. Ее целью является
закрепление знаний студентов по темам «Точка, прямая, плоскость. Пересечение плоскостей» решением задач в прямоугольных проекциях на взаимное расположение рассматриваемых геометрических элементов.
ЭПЮР № 1
Содержание эпюра. Даны две плоскости, заданные треугольниками АВС
и DEF. Требуется:
1. Построить линию пересечения треугольников и показать их видимость в проекциях.
2. Построить аксонометрическую проекцию (прямоугольную диметрию) пересекающихся треугольников.
Методические указания.
Эпюр выполняется в масштабе 1:1 на листе чертежной бумаги формата
А3 (297 × 420) мм. Пример выполнения эпюра приведен на рис.2.
Данные для эпюра взять из таблицы 2 на стр. 12 и 13.
Линия пересечения треугольников строится по точкам пересечения
сторон одного треугольника с другим.
В примере на рис.3 линия пересечения MN построена по точкам пересечения стороны ВС ( ∆ АВС ) с плоскостью треугольника DEF и стороны DE ( ∆ DEF ) с плоскостью треугольника АВС. Для нахождения каждой
из точек была решена первая позиционная задача.
Через прямую DE проводим горизонтально-проецирующую плоскость α, задав ее следом απ1. Она пересекает плоскость ∆ АВС по прямой 1 – 2 ( 1121; 1222 ), которая пересекается со стороной DE в точке
M ( M2, M1 ).
Фронтально-проецирующая плоскость β, заданная следом βπ2, проведена через прямую ВС. Эта плоскость пересекает плоскость ∆ DEF по прямой 3 – 4 ( 3141 ; 3242 ), которая при пересечении со стороной ВС дает
точку N ( N1, N2 ).
Искомая линия пересечения плоскостей проходит через точки M и N.
Видимость сторон треугольников определяется конкурирующими точками. Рассмотрим точки 1 (лежит на прямой АВ) и 1/ (лежит на прямой DE).
9
Рис. 2. Пример выполнения домашнего задания. Эпюр № 1
ZA
Анализ положения точек показывает, что на плоскости π1 точка 1 закрывает точку 1/ ( Z1 > Z1/ )Это значит, что прямая АВ в этом месте проходит перед DE, т.е. треугольник АВС виден до прямой MN. Остальное ясно из
чертежа.
Видимые отрезки сторон треугольников показаны сплошными толстыми линиями, невидимые следует показать штриховыми линиями.
Для построения аксонометрической проекции (прямоугольной диметрии) пересекающихся треугольников рекомендуется построить аксонометрические изображения вершин треугольников (точек A,B,C,D,E,F) и линии
пересечения (точек M и N), (рис. 2, правый чертеж).
На рис. 3 показано построение аксонометрической проекции точки А.
Это изображение определяется как граничная точка А координатной ломаной линии, состоящей из отрезков длиной XA/, YA/, ZA/, отложенных от начала О / по аксонометрическим осям , или на параллельных им прямых.
XA/=XA ; YA/=0,5YA; ZA/=ZA, где XA, YA,
Z
А
ZA – заданные прямоугольные
координаты точки А.
А1/ - вторичная проекция точки А .
Аналогично строятся аксонометриXA
ческие изображения остальных точек.
О
Полученные
точки
соединяем
Y
A
Y
прямыми так, чтобы обеспечить
А1
соответствие между ортогональными и
Рис. 3. Построение точки А в
аксонометрическими изображениями
аксонометрической проекции
пересекающихся треугольников.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
Данная контрольная работа состоит из эпюра № 2 и № 3. Ее целью
является закрепление знаний студентов по теме «Способы преобразования
ортогональных проекций».
ЭПЮР № 2
Содержание эпюра. На основании исходных данных к эпюру методом замены плоскостей проекций построить горизонтальную и фронтальную
проекции требуемого многогранника.
11
Индивидуальные задания к эпюрам № 1 и 3
Таблица 2
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
12
Координаты точек
ХА
YA
ZA
XB
YB
ZB
XC
YC
ZC
117
120
116
120
117
115
120
116
115
18
20
15
16
18
18
18
18
117
117
120
122
20
20
117
117
18
18
90
90
90
92
9
7
10
8
10
10
12
10
12
12
90
40
79
75
40
38
40
40
10
40
9
40
9
9
10
10
10
9
85
90
88
92
90
92
85
88
85
10
75
40
40
75
75
75
10
40
9
40
9
83
52
50
52
50
52
50
48
50
50
83
85
80
85
85
83
83
83
52
52
50
50
85
85
52
52
83
79
25
25
25
20
79
80
82
78
80
79
80
80
80
80
25
117
6
6
107
108
110
110
80
111
79
111
111
79
80
80
75
25
25
20
25
25
25
25
20
25
25
79
6
107
107
6
5
8
80
110
79
111
79
135
0
0
0
0
0
0
0
0
0
135
135
130
130
135
135
135
135
0
47
0
0
135
135
0
0
135
128
83
85
80
80
48
50
52
46
50
48
40
50
50
50
83
47
38
38
38
54
50
48
48
47
48
47
34
48
50
45
46
83
85
82
80
85
83
85
80
80
80
48
38
47
47
135
40
40
48
48
48
47
48
31
Окончание таблицы 2
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
Координаты точек
ХD
YD
ZD
XE
YE
ZE
XF
YF
ZF
68
70
65
70
68
70
65
70
70
67
70
70
75
70
67
67
67
135
20
135
140
70
70
68
68
67
85
110
110
105
115
85
85
80
85
85
85
85
80
85
85
110
20
0
0
0
20
20
20
85
20
85
20
87
85
85
80
85
110
110
110
108
110
110
110
108
110
110
85
0
20
20
0
0
20
85
20
85
20
85
20
135
135
130
135
135
135
130
135
135
0
0
0
0
0
0
0
0
68
104
70
70
0
0
135
135
0
20
19
20
18
20
36
40
38
36
35
36
35
35
30
35
19
111
48
118
70
110
110
110
35
111
36
111
36
36
35
35
32
19
20
20
20
20
19
20
20
15
20
36
48
111
111
112
10
10
35
110
36
111
36
111
14
15
12
10
14
15
15
15
15
121
120
120
120
120
121
121
121
15
15
15
20
120
120
14
14
121
121
52
50
50
50
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
52
78
86
86
78
80
80
80
0
78
0
78
0
0
0
0
0
52
50
52
52
50
52
52
50
50
50
0
86
78
78
86
85
85
0
80
0
78
0
78
13
Методические указания. Эпюр выполняется на листе чертежной бумаги
формата А3 (297 × 420) мм в масштабе 1:1. Образец выполнения эпюра
приведен на рис.4. Данные для выполнения эпюра берутся из вариантов,
предложенных на стр. 16, 17 и 18.
Решение задачи следует начинать с наглядного изображения многогранника. Рассмотрим пример, в котором требуется построить тетраэдр SABC,
у которого задана точка A, а ребро BC принадлежит заданной прямой EF.
На рис. 5 изображен тетраэдр, на котором показаны заданные геометрические элементы – точка A и прямая EF. Точка и прямая определяют плоскость основания тетраэдра α (A,EF). Из геометрических соображений
( AD⊥ EF, ∠BAD = ∠DAC = 30o ) легко построить основание тетраэдра
ABC, которое является равносторонним треугольником.
Для определения вершины S рассмотрим плоскость медианального сечения β, из которой видно, что вершина может быть найдена как точка пересечения высоты тетраэдра SО и отрезка прямой, проведенной из т. A,
равного стороне основания (все ребра тетраэдра равны).
Из приведенных выше рассуждений алгоритм решения задачи следующий (см. рис. 4):
1. Определяем натуральную величину плоскости α (A,EF) и строим основание тетраэдра. Для этого используем способ замены плоскостей проекций. Заменим плоскость π2 на плоскость π4 (π4⊥π1∧⊥α (A,EF)), при этом
ось Х14 ⊥ h1, а затем π1 на π5 (π5⊥π4∧||α (A,EF)), при этом ось Х45 || α4, После
этого строим основание тетраэдра – равносторонний треугольник А5В5С5.
Для нахождения новых проекций точек проводятся новые линии связи
перпендикулярно к новым осям. На их продолжении от новых осей откладываются отрезки, равные расстояниям от заменяемых проекций точек до
старых осей. Конечная точка отрезка является искомой проекцией точки в
новой плоскости проекций.
Например: | Х14 А4 | = | Х12 А2 |; | Х45 А5 | = | Х14 А1 |.
2. Строим плоскость медианального сечения β, и находим проекцию
вершины тетраэдра точку S5 . Затем проведем еще одну замену плоскостей
проекций. Плоскость π4 заменим на плоскость π6 (π6⊥π5∧||β). В новой
плоскости строим проекции основания тетраэдра и его вершины S6. Для
чего из точки B6 на линии связи S5S6 делаем засечку радиусом, равным натуральной величине ребра тетраэдра.
14
Рис.4. Пример выполнения домашнего задания. Эпюр № 2
Главными
действующими
лицами, показывающими положение дополнительных плоскостей
на эпюре, являются оси Х14, Х45, Х56.
Их расположение приведено в
алгоритме
и
в
построениях,
представленных на образце.
Найдя проекции точек всех вершин тетраэдра в плоскостях проекций π5 и π6, обратными построРис. 4. Пояснение решения задачи
ениями находим проекции этих тоэпюра № 2
чек в исходных плоскостях π1 и π2.
Выполнив все построения, необходимо выделить цветными карандашами проекции тетраэдра с учетом видимости его ребер. Видимость определить методом конкурирующих точек.
В рассмотренном примере эти точки не показаны.
Варианты заданий к эпюру № 2
1. Д а н о : точки А (28, 85, 45), В (80, 30, 64), С (10, 50, 12). Построить
пирамиду SABC, основанием которой является треугольник АВС, |SA| =
80 мм, |SB| = 65 мм. Двухгранный угол при ребре АВ равен 60о.
2. Д а н о : точки А (80, 25, 65), В (40, 5, 10), С (20, 55, 40), прямая DE
(D (140, 30, 60), E (90, 45, 30)). Построить пирамиду SAВC, основанием которой является треугольник АВС. Вершина S пирамиды принадлежит прямой DE и равноудалена от точек А и В.
3. Д а н о : прямая DЕ ( D (85, 5, 35), Е (45, 60, 5)), точка А (15, 25, 65),
горизонтальная проекция точки S ( 100, 60, Z). Построить пирамиду SABC ,
основанием которой является равнобедренный треугольник АВС,
(|АВ| = |АС|), сторона ВС которого принадлежит прямой DE и равна 50 мм.
Высота пирамиды равна 80 мм.
4. Д а н о : прямая FE (F ( 85, 5, 35), Е ( 30, 70, 15 )), точка А (15, 25, 65 ).
Построить прямую призму, основанием которой является равнобедренный
треугольник АВС (|АВ| = |АС|), сторона ВС которого принадлежит прямой FE и равна 50 мм. Высота призмы равна 80 мм.
5. Д а н о : прямая SD ( S ( 130, 5, 70), D ( 100, 45, 30 )). Построить пра16
вильную трехгранную пирамиду SABC, высотой которой является отрезок
SD. Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 30 мм.
Вершина А основания пирамиды удалена от плоскости π1 на 15 мм.
6. Д а н о : отрезок SD ( S ( 30, 90, 75 ), D ( 95, 45, 50 )), горизонтальная
проекция точки В ( 120, 65, Z ). Построить правильную трехгранную пирамиду SABC, высотой которой является отрезок SD.
7. Д а н о : прямая АЕ ( А (105,90,75 ), Е ( 50,10,0 ), горизонтальная проекция точки С ( 35,110, Z ). Построить куб АBCDA/B/C/D/ с диагональю основания АС и ребром А/А/, принадлежащим отрезку АЕ.
8. Д а н о : отрезок SD ( S ( 70,25,80 ), D ( 40,65,30 )). Построить правильную трехгранную пирамиду SABC, высотой которой является отрезок
SD. Вершина B удалена от плоскости π2 на 60 мм и принадлежит плоскости π1.
9. Д а н о : точки А ( 20,50, 35 ), В ( 40, 85, 65 ), С ( 90, 30, 85 ). Построить пирамиду SABC, у которой ребро |SВ| = 85 мм, ребро |SС| = 70 мм и
двухгранный угол при ВС равен 60о.
10. Д а н о : точки А ( 20,50, 35 ), В ( 40, 85, 65 ), С ( 90, 30, 85 ). Построить пирамиду SABC, у которой ребро /SВ/ = 85 мм, ребро /SС/ = 70 мм и
двухгранный угол при ВС равен 60о.
11. Д а н о : отрезок SD ( S ( 80, 5, 70), D ( 50, 45, 30 )). Построить правильную трехгранную пирамиду SABC, высотой которой является отрезок
SD. Сторона основания равна 50 мм, а вершина А удалена от плоскости π2
на 50 мм.
12. Д а н о : точки А (120,50,30), В (100,10,70), С (70,60,10), прямая DЕ
(D (50, 10,75), Е (10,55,35)). Построить пирамиду SABC, вершина S которой
принадлежит прямой DЕ и равноудалена от прямых АВ и АС.
13. Д а н о : прямая NB (N (120,60,60), B (70,30,35)) и горизонтальная
проекция точки D (20,60, Z). Построить прямую призму АBCDA/B/C/D/, основание которой - квадрат АBCD с диагональю BD. Ребро ВB/ принадлежит прямой NB и равно 60 мм.
14. Д а н о : точки А (120,60,20), В (150,40,40), С (90,10,50). Построить
пирамиду SABC, высота которой равна 90 мм, а вершина S равноудалена от
точек А, В, С.
15. Д а н о : плоскость δ (А, С, F), координаты точек А (60,35,40), С
(90,40,10), F (120,0,0). Построить правильную четырехгранную призму,
17
основание которой АBCD принадлежит плоскости δ, АС- диагональ основания. Высота призмы - 80 мм.
16. Д а н о : плоскость λ (А, В, С), координаты точек А (120,25,35), В
(50,90, 75), С (25,30,55), прямая DЕ (D (170,30,85), Е (100,90,60)), точка К
(195,65,45). Построить правильную четырехгранную пирамиду SKLMN,
вершина S которой принадлежит плоскости λ, а высота - прямой DЕ.
17. Д а н о : отрезок SD (S (30,90,75), D (95,45,50)), горизонтальная проекция точки В (120,65,Z). Построить правильную четырехгранную пирамиду SАВСЕ, высотой которой является отрезок SD.
18. Д а н о : прямая EF (Е (85,5,35), F (30,70,15)), точки А (15,25,65) и S
(80,60, 90). Построить пирамиду SАВС, основанием которой является равносторонний треугольник АВС (/АВ/=/АС/), сторона ВС которого принадлежит прямой EF и равна 50 мм.
19. Д а н о : точки А (30,85,30), В (80,30,20), С (10,50,10). Построить пирамиду SАВС, основанием которой является треугольник АВС, /SВ/=
70 мм. Двухгранный угол при ребре ВС равен 60о.
20. Д а н о : точки А (110,60,40), В (60,90,20), С (50,50,60) и горизонтальная проекция точки S (90,10,Z). Построить пирамиду SАВС, основанием
которой является треугольник АВС. Двухгранный угол при ребре АВ
равен 70о.
21. Д а н о : прямая EF (Е (110,95,0), F (0,55,50)), точка А (85,35,80). Построить правильный тетраэдр SАВС, ребро ВС которого принадлежит прямой EF.
22. Д а н о : плоскость β (D,E,F), координаты точек D (120,80,70), E
(40,60,50), F (70,20,100), фронтальная проекция прямой АВ, А (20,Y,50), B
(50,Y,10). Построить пирамиду SАВС, основанием которой является равносторонний треугольник АВС, принадлежащий плоскости β. Ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно 80 мм.
23. Д а н о : плоскость α (D,E,F), координаты точек D(100,50,50),
E(60,80,70), F(80,90,100), фронтальные проекции точек A(60,Y,30),
B(20,Y,70), C(10,Y,10). Построить пирамиду SABC, основание которой
ABC принадлежит плоскости α. Вершина S равноудалена от точек A, B, C и
принадлежит плоскости XOY.
24. Д а н о : отрезок SЕ ( S (70,25,80), Е (40,65,30 )). Построить правильную четырехгранную пирамиду SABCD. Ее высотой является отрезок SЕ.
Вершина В удалена от плоскости π2 на 60 мм и принадлежит плоскости π1.
18
25. Д а н о : плоскость β (D,E,F), координаты точек D(180,20,50),
E(125,10,75), F (140,50,10), фронтальные проекции точек S (90,Y,80),
А (70,Y,20), В(40,Y,60), С(10,Y,5). Построить пирамиду SАВС, основанием
которой является треугольник АВС, принадлежащий плоскости β. Высота
пирамиды равна 90 мм.
26. Д а н о : плоскость γ (D,E,F), координаты точек D(220,130,30),
E(180,30,110), F(140,55,80), фронтальные проекции точек A(100,Y,40),
B(60,Y,80), C(30,Y,10). Построить пирамиду SABC, основание ABC которой принадлежит плоскости γ. Вершина S равноудалена от точек A, B, C и
отстоит от плоскости XOY на 100 мм.
27. Д а н о : отрезок SD ( S (140,70,60 ), D (70,50,30 )). Построить правильную трехгранную пирамиду SABC, высотой которой является отрезок
SD. Радиус писанной вокруг основания окружности равен 40 мм, а вершина А принадлежит плоскости π1.
28. Д а н о : прямые МN (M (90,30,10), N (30,80,80 )), и СС/ (С (40,30,30),
С/ (110,70,50)). Построить призму АBCDA/B/C/D/ , основанием которой является квадрат АBCD , а диагональ ВD принадлежит прямой МN.
ЭПЮР № 3
Содержание эпюра. Дана плоскость, заданная треугольником СDE, и
точка F. Требуется:
1. Определить расстояние от точки F до плоскости, заданной треугольником СDE способом вращения вокруг проецирующих осей.
2. Построить натуральную величину плоскости СDE способом вращения вокруг линий уровня.
Методические указания. Эпюр выполняется на листе чертежной бумаги формата А3 (297 × 420) мм в масштабе 1:1. Образец выполнения эпюра приведен на рис.6. Данные для выполнения эпюра берутся из таблицы 2
на стр. 12 и 13.
Для выполнения первой задачи эпюра из таблицы используются координаты точек C, D, E и F. Во второй задаче точка F не используется. Координаты точек даны в миллиметрах.
Для первой задачи по определению расстояния от точки до плоскости
способом вращения вокруг проецирующих осей преобразуем чертеж так,
чтобы плоскость треугольника CDE стала проецирующей относительно
19
какой-либо плоскости проекций. На примере (см. рис.6) это фронтальная
плоскость проекций. Условием перпендикулярности плоскости треугольника CDE к плоскости π2 является перпендикулярность какой-либо прямой
треугольника к плоскости π2. В нашем случае этой прямой выбрана горизонталь h.
Проведя горизонталь через точку C, тем самым выбираем горизонтально-проецирующую ось вращения i, которая будет проходить также через точку C. Относительно этой оси повернем плоскость треугольника
CDE с точкой F таким образом, чтобы горизонталь h стала проецирующей
к плоскости π2. На горизонтальной плоскости проекций все проекции точек треугольника перемещаются по дугам окружностей с центром в т. C.
Поворот происходит до тех пор, пока горизонталь не займет положение
перпендикулярное к оси х. На фронтальной плоскости проекций соответствующие точки треугольника при повороте перемещаются по прямым,
параллельным оси х.
Необходимо заметить, что все горизонтальные проекции точек треугольника поворачиваются на один и тот же угол и их положение определяется методом построения треугольников по трем сторонам (методом засечек). Положение фронтальных проекций точек определяется по линиям
связи. На чертеже точки в новом положении обозначены со штрихами.
Расстояние от точки F до плоскости треугольника находится как
перпендикуляр п, фронтальная проекция которого перпендикулярна проекции C2D2E2 со штрихами.
Для решения второй задачи за ось вращения принимаем горизонталь
плоскости треугольника h. Вокруг этой оси поворачиваем плоскость таким
образом, чтобы она заняла положение параллельное горизонтальной плоскости проекций. Для этого горизонталь проводим через какую либо вершину треугольника (в нашем случае т. C), чтобы при вращении она оставалась неподвижной. Горизонтальные проекции точек D и E при вращении
перемещаются по линиям перпендикулярным горизонтальной проекции
горизонтали. Для точки D определим натуральную величину радиуса вращения r (отрезок 1D) способом прямоугольного треугольника. Затем натуральную величину отложим на продолжении проекции 11D1 от точки 11.
Получим точку D1 со штрихом, которая вместе с точкой C и 1 определяет
горизонтальное положение плоскости треугольника. Точка В находится
построением без определения радиуса вращения.
20
Рис. 6. Пример выполнения домашнего задания. Эпюр № 3
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
Данная контрольная работа состоит из эпюра № 4 и 5. Ее целью
является закрепление знаний студентов по теме «Пересечение поверхности
с плоскостью. Пересечение поверхностей.» решением задач на построение
линии пересечения различных поверхностей с плоскостью общего положения и построение линии пересечения поверхностей вращения.
ЭПЮР № 4
Содержание эпюра. Дана поверхность многогранника или поверхность вращения и секущая плоскость общего положения, заданная плоской
фигурой α ( ABCD ) или следами α ( απ1, απ2 ). Требуется построить линию
их пересечения и указать видимость.
Методические указания. Эпюр выполняется в масштабе 1:1 на листе
чертежной бумаги формата А4 (210х297) мм. Данные для эпюра взять из
индивидуальных заданий к эпюру № 4 (стр. 24-26). Размеры на эпюре не
наносить.
Примеры выполнения эпюра для всех возможных вариантов задания
приведены на рис. 7 и 8.
Для построения точек линии пересечения поверхности многогранника с плоскостью общего положения целесообразно применить «способ ребер», который сводится к многократному решению первой позиционной
задачи – нахождению точки пересечения прямой с плоскостью. Точки, в
которых ребра многогранника пересекаются с заданной плоскостью, будут
вершинами искомого сечения.
Общий прием построения линии пересечения поверхности вращения с
плоскостью общего положения заключается в следующем.
Вводится вспомогательная секущая плоскость, которая пересекает поверхность по некоторой кривой, а секущую плоскость - по прямой. Точки
пересечения полученных кривой и прямой являются точками искомой линии их пересечения. Таким приемом находятся сколько угодно промежуточных точек.
При практическом применении общего приема построения линии пересечения необходимо вспомогательную плоскость выбирать с таким расчетом, чтобы во-первых : при пересечении ее с поверхностью получались
линии наиболее простой формы ( прямые линии или окружности); во-вто22
рых : проекции получившейся окружности имели наиболее простой вид
(одна проекция – окружность, другая – отрезок прямой).
Среди точек линии пересечения имеются опорные (характерные) точки. К ним относятся:
1. Точки границы видимости – точки, расположенные на крайних
образующих поверхностей вращения.
2. Экстремальные точки – самая низшая и самая высшая, самая правая и самая левая.
Если промежуточные точки строятся с помощью одного и того же
приема, то для опорных точек даже в одной задаче применяют разные
приемы.
Для пояснения всего сказанного рассмотрим примеры построения линии пересечения поверхностей, встречающихся в данной контрольной работе, с плоскостью общего положения, заданной плоской фигурой или
следами.
Пример № 1.
На рис. 7 (левый чертеж) показано построение сечения треугольной
пирамиды SMNK плоскостью α ( ABCD ).
Каждая из вершин построенного сечения ( ∆M/N/K/ ) определена как
точка пересечения соответствующего ребра с заданной плоскостью α.
Подробно решение этого вопроса было рассмотрено в методических указаниях к выполнению эпюра № 1. Так точка M/ = MS Ι α ; N/ = NS Ι α ;
K/ = KS Ι α . Соединив одноименно проекции точек M/, N/ и K/ , получим
проекции искомой линии пересечения
Пример № 2.
Решение задачи на построение линии пересечения существенно упрощается, если задана призма, боковая поверхность которой является проецирующей поверхностью ( рис. 7, правый чертеж). Так как боковые ребра
данной
призматической
поверхности
являются
горизонтальнопроецирующими прямыми, то горизонтальные проекции вершин линии
пересечения совпадают с горизонтальными проекциями самих ребер ( например E1 = E/1 = E//1 ) .
Фронтальные проекции E//2 , F//2 и G//2 вершин линии пересечения
легко определяются по принадлежности их плоскости α (ABCD).
Пример № 3.
На рис. 8 (левый чертеж) показано построение линии пересечения
прямого кругового конуса, ось вращения которого перпендикулярна плоскости π1, плоскостью общего положения, заданной следами α ( απ1, απ2 ).
23
Индивидуальные задания к эпюру № 4
75
55
2
3
b2
2
70
80
50
30°
100
2
1
6
70
b2
15
60
60°
10
70
15
x
c2
b1
°
30
55°
30°
5
50
115
5
100
60
45°
65
70
120
c1
5
4
70
90
20
45°
100
50
65
20
b1
°
30
30°
45°
60
10
x
5
30
40
c2
60°
45°
10
100
70
100
15
1
50
1
90
50
25
50
5
15
10
45°
120
9
75
45°
80
80
15
80
24
70
60°
100
60
x
115
120
45°
45°
c1
15
8
2
1
30
°
7
30°
60
45°
Индивидуальные задания к эпюру № 4 (продолжение)
60°
15
5
30
70
30°
30°
x
40
60
50
45°
125
c1
100
40
x
50
120
10
70
30°
2
60°
x
45°
65
15
1
45°
45°
100
120
45°
30
18
10
60°
17
35
70
115
2
70
c1
60
16
95
20
80
80
50
30°
45
b1
70
60°
60°
55
c2
10
15
b1
45°
30°
15
110
80
10
120
b2
c2
20
b2
14
13
1
125
120
60
30°
1
30°
45°
70
45°
20
65
x
120
2
100
55
120
60°
12
75
70
11
2
75
10
75
10
25
75
120
1
25
Индивидуальные задания к эпюру № 4 (окончание)
20
21
70
2
45°
c2
60°
120
80
x
10
c2
b2
10
45°
45°
120
45°
60
60°
b1
10
b1
50
80
80
80
1
c1
c1
24
23
b2
60°
60°
b1
60
0
70
c1
c1
1
26
30
65
b1
45°
70
30°
1
c1
30°
20
60
50
50
30°
140
30°
20
75
45°
15
x
95
c2
65
60°
100
30°
10
b2
120
27
2
70
25
70
80
26
45°
80
10
2
x
45
b1
60°
20
c2
15
c2
30°
15
30°
125
20
80
50
120
b2
120
22
90
45°
45
25
120
b2
60
19
Заметим, что обе показанные фигуры (поверхность и плоскость) имеют общую плоскость симметрии. Плоскостью симметрии плоскости α будет любая плоскость к ней перпендикулярная, а плоскостью симметрии
прямого кругового конуса будет всякая плоскость, проходящая через ее
ось. Общая плоскость симметрии должна удовлетворять обоим указанным
условиям и, очевидно, что такой плоскостью будет β ( βπ1 ⊥ απ1 ).
Плоскость β пересекает плоскость α по прямой 1 – 2 , которая будет
осью симметрии искомого сечения. Самая высшая точка сечения В определяется пересечением прямой 1 – 2 с образующей S – 3 , по которой
плоскость β пересекает конус [ ( S2 – 32 ) Ι ( 12 – 22 ) =В2 ] .
Самыми низшими точками сечения будут точки E и D, точки пересечения горизонтального следа плоскости α и основания конуса.
Затем с помощью вспомогательной плоскости γ ( γπ 1 || π 2 ) определяется точка С ( С2, С1 ), расположенная на очерковой образующей. Вспомогательная плоскость γ пересекает плоскость α по фронтали f ( f1, f2 ). Точка
С2 отделяет видимую часть фронтальной проекции линии пересечения от
невидимой.
Далее определены промежуточные точки. Для этого введена вспомогательная плоскость δ (δ π2 ), которая перпендикулярна оси конуса. Вспомогательная плоскость δ пересекает конус по параллели радиуса R, а заданную плоскость α по горизонтали h ( h1, h2 ). Параллель и горизонталь в пересечении дают две точки А ( А1, А2 ) и F ( F1, F2 ) будущей линии пересечения. Количество промежуточных точек определяет точность построения
линии пересечения.
Пример № 4.
Построение линии пересечения прямого кругового цилиндра ( i ⊥π1 )
плоскостью общего положения α ( απ1, απ2 ) показано на рис. 8 (правый
чертеж).
Так как цилиндрическая поверхность в данном случае является горизонтально-проецирующей, поэтому горизонтальная проекция искомого сечения (C1M1F1B1D1N1E1) совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра.
Фронтальные проекции точек искомой линии пересечения найдены по
принадлежности заданной плоскости сечения в той же последовательности, как и точки линии пересечения в предыдущем примере.
Самая высшая точка линии пересечения В найдена на прямой пересе27
2
B2
2
12
2
A 2 32 12
52 K2
E2
B2
G2
F2
E2
A2
C2
G2
M2
D2
42
62
M2
N2
A1
D1
41
C2
11
M1
E2
K2
B1
K1
31 51
1
M1
32
N2
G2
D
G1=(G1)=(G1)
2
11
K1
E1=(E 1)=(E 1)
B1
N1
N1
F2
F2
22
21
61 C1
A1
F1=(F1)=(F1 )
21
D1
Рис. 7. Первый и второй примеры выполнения домашнего задания. Эпюр № 4.
C1
31
2
2
2
22
2
22
S2
f2
f2
m2
f2
B2
C2
F2
E2
32
52
D2
2
51
12 42
42
52 41
31
B1
C1
1
F1
h1
E1
1
51
D1
M2
N2
G2 32 12
E2
F1
M1
f1
S1
A1
D2
F2
A2
h2
22
B2
R
11
31
1
1
21
m1
f1
B1
C1
41
h2
D1
f1
11
E1
N1
h1
1
Рис. 8. Третий и четвертый примеры выполнения домашнего задания. Эпюр № 4
чения плоскости симметрии β и заданной плоскости [β Ι α = (1 – 2)]. Видимую часть линии пересечения отделяет от невидимой точка D , лежащая
на фронтали плоскости α , проведенной через ось цилиндрической поверхности. Фронтальные проекции промежуточных точек М и N найдены
по принадлежности горизонтали h плоскости α . Точка F найдена по принадлежности фронтали f / плоскости α .
Точки C и E найдены как точки пересечения горизонтальных следов
цилиндрической поверхности и заданной плоскости сечения.
ЭПЮР № 5
Содержание эпюра. Построить линию пересечения двух поверхностей способом секущих плоскостей и способом концентрических сфер.
Методические указания. Эпюр выполняется в масштабе 1:1 на листе
чертежной бумаги формата А4 (210х297) мм. Данные для эпюра взять из
индивидуальных заданий к эпюру № 5 на стр. 31 -36. Размеры на эпюре не
наносить.
Примеры выполнения эпюра для всех возможных вариантов задания
приведены на рис. 9.
Каким бы способом не выполнялось построение линии пересечения,
сначала находятся характерные точки, которые уточняют искомую линию
пересечения. К этим точкам относятся:
1. Точки, проекции которых лежат на проекциях контурных линий
одной из поверхностей, например на крайних образующих цилиндра или
конуса, на главном меридиане и экваторе сферы, а также точки, отделяющие видимую часть линии пересечения от невидимой.
2. «Крайние точки» - правые и левые, низшие и высшие, ближайшие
и наиболее удаленные от плоскостей проекций.
Рассмотрим пример построения линии пересечения двух поверхностей
вращения: сферы и конуса, оси которых не пересекаются и расположены в
плоскости, параллельной фронтальной плоскости проекций (левый чертеж
рис.9). В данном случае используется способ секущих плоскостей. Положения секущих плоскостей выбираются с учетом свойств и расположения
заданных поверхностей. Следует выбирать такие вспомогательные секущие плоскости, которые в пересечении с заданными поверхностями могут
дать простые для построения линии: прямые линии и окружности.
30
Индивидуальные задания к эпюру № 5
Способ секущих плоскостей
3
15
50
145
35
R60
2
100
Сфера R60
1
R11
5
60
30
15
90
80
15
120
70
5
6
10
115
45
60
60
110
4
20
R6
5
15
R65
Сфера
120
70
100
45
100
70
110
Сфера
8
18
100
35
18
55
9
75
17.5
90
7
45
110
50
25
80
90
60
105
60
Сфера
95
90
75
31
Индивидуальные задания к эпюру № 5 (продолжение)
Способ секущих плоскостей
11
35
12
R60
55
90
5
R40
Сфера
85
10
80
75
30
120
70
10
50
60
15
140
13
60
R65
14
R70
15
60
70
R6
5
90
15
55
90
90
R120
15
5
40
10
20
60
35
50
100
20
32
100
65
60
100
110
110
55
80
80
18
17
16
15
130
25
20
30
115
Индивидуальные задания к эпюру № 5 (продолжение)
Способ секущих плоскостей
45
45
25
R7
0
120
60
21 50
80
20
110
90
19
80
25
24
90
110
75
50
100
R65
50
50
35
65
23
90
120
85
80
15
22
0
11
90
10
100
80
110
40
140
60
120
26
65
27
20
55
95
R35
Сфера
50
25
90
80
R16
5
80
50
140
R30
Сфера
15
110
33
Индивидуальные задания к эпюру № 5 (продолжение)
Способ концентрических сфер
1
2
3
100
R165
55
110
50
40
80
60
85
70
110
0
10
45°
10
0
5
R40
6
60
45
10
75
45°
60
110
4
110
110
100
100
50
70
100
140
8
60
R40
9
65
20
30
R1
15
60
R35
160
34
90
80
130
R160
140
80
7
Индивидуальные задания к эпюру № 5 (продолжение)
Способ концентрических сфер
10
30
R100
11
12
90
30
55
70
50
90
60
°
120
160
14
15 R70
100
55
50
105
40
110
13
100
50
120
75
75
75
15
70
70
80
90
45°
100
85
50
30
100
60
18
17
130
30°
100
55
150
R130
60
30
60
90
60
80
110
16
110
75
60
110
70
80
R80
35
Индивидуальные задания к эпюру № 5 (окончание)
Способ концентричеcких сфер
70
95
40
90
50
125
R30
Сфера
60
23
24
15
55
55
70
110
R90
90
22
120
100
100
100
R160
100
30
120
100
27
75
100
55
40
110
100
120
100
90
45°
70
35
50
85
60
110
26
40
25
90
110
110
30
110
36
R100
15
17.5
30
55
55
100
R160
50
21
90
20
19
В нашем примере, учитывая вышесказанное, использованы секущие
плоскости, параллельные плоскости π1. Каждая такая плоскость пересекает
поверхность конуса и сферы по окружностям. Например, плоскость σ при
пересечении с конусом образует окружность радиусом rк, а при пересечении со сферой образует окружность радиусом rс. Эти окружности в своем
пересечении определяют точки 4 и 4 /, общие для поверхности конуса и
сферы.
Характерные точки в рассматриваемом примере:
1. Высшая и низшая точки. Для их нахождения используется плоскость
γ. Она проходит через ось конуса и центр сферы и является для этих поверхностей общей плоскостью симметрии. Плоскость γ пересекает поверхность конуса по крайним образующим, а поверхность сферы по главному
меридиану. В пересечении этих линий получаются точки 1 и 6.
2. Ближайшая и наиболее удаленная. Они находятся на экваторе сферы.
Для их нахождения возьмем вторую горизонтальную плоскость β, проходящую через центр сферы и пересекающую сферу по экватору, а конус по
окружности. Их пересечение даст искомые точки 3 и 3/ . Аналогично с помощью плоскости α найдем точки 2 и 2/ и с помощью плоскости λ точки 5
и 5 /.
Рассмотрим пример построения линии пересечения двух поверхностей вращения: конуса и закрытого тора, оси которых пересекаются и расположены в плоскости, параллельной фронтальной плоскости проекций
(правый чертеж рис.9). Фронтальная плоскость α пересекает заданные поверхности по главным меридианам. Их пересечение позволяет найти левую и правую точки 1 и 2 на искомой линии.
Для дальнейшего решения задачи применяем способ вспомогательных концентрических сфер, проводимых из точки пересечения осей обеих
поверхностей (точка О). Эти сферы пересекают данные поверхности по
окружностям, в пересечении которых получаются точки, общие для обеих
поверхностей, т.е. принадлежащие искомой линии пересечения.
На рассматриваемом чертеже показано применение двух концентрических сфер. Фронтальная проекция одной из них проведена окружностью
радиусом R с центром в точке О2. Отрезок А2 А/2 является фронтальной
проекцией окружности, по которой сфера пересекает коническую поверхность, а отрезки В2 В/2 и С2 С/2 – фронтальные проекции окружностей, по
которым эта же сфера пересекает поверхность тора.
37
R min
R
B2
12
O2
rc
A2
32=32
12
42=42
62
5 41
1
1
O2
22 =22
52=52
O1=61
51
31
21
11
21
41 31
C2
rk
A2
32=32
42=42
52=52
B2
C2
R max
41
11
41
22
31
51
O1
31
Рис. 9. Пример выполнения домашнего задания. Эпюр № 5
21
51
1
В пересечении этих отрезков получаются точки 42 и 52 – фронтальные
проекции точек, общих для поверхности тора и конуса. По точкам 42 и 52
находим на параллели конуса проекции 41 и 51 и проекции точек им симметричных 4/1 и 5/1.
Сфера радиусом R min лишь касается поверхности тора по окружности,
но пересекает поверхность конуса. Поэтому точка 32 , полученная с помощью этой сферы, имеет особое значение: если брать сферы с меньшим радиусом, чем R min , то общих точек для данных поверхностей мы с помощью таких сфер не получим. То есть радиусы вспомогательных сфер следует брать в данном случае в пределах от R min до R mах такими, которые
бы пересекались с исходными поверхностями и их линии пересечения (окружности) тоже пересекались между собой.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
Данная контрольная работа состоит из эпюров № 6, 7, 8. Ее целью
является закрепление знаний студентов по темам «Тени в ортогональных
проекциях», «Перспектива», «Тени в перспективе», «Проекции с числовыми отметками. Топографические поверхности» решением задач на построение собственных и падающих теней в ортогональных проекциях и в
перспективе, решением задач на построение границ земляных работ в топографической поверхности.
ЭПЮР № 6
Содержание эпюра. Даны ортогональные проекции схематизированного здания.Построить собственные и падающие тени элементов здания в
ортогональных проекциях.
Методические указания. Эпюр выполняется на листе чертежной бумаги
формата А3 (297х420) мм, расположенного вертикально так, чтобы основная надпись располагалась вдоль короткой стороны. Данные для эпюра
взять из индивидуальных заданий к эпюру № 6 на стр. 43 - 45 в соответствии с вариантом. Табличное изображение здания увеличивается в 3 раза.
Пример выполнения эпюра приведен на рис. 10.
При выполнении эпюра между ортогональными проекциями необходимо оставить поле чертежа для построения падающих теней на π1.
39
S2
x
S1
Рис. 10. Пример выполнения домашнего задания. Эпюр № 6.
40
При построении теней в ортогональных проекциях направление лучей
принимают параллельно диагонали куба, грани которого совмещены с
плоскостями проекций. Проекции лучей света S1 и S2 образует с осью проекций углы 45° (рис. 11а).
а)
z
S2
S
x
x
S1
y
45°
S2
б) A2
x
x
At 1
45°
S1
A1
Рис. 11. Построение теней. Тень точки.
Методика построения теней заключается в следующем:
Тенью точки на плоскость проекций является след светового луча, проходящего через данную точку (рис. 11б). Тенью точки на поверхность является точка пересечения луча света, проведенного через данную точку, с
этой поверхностью. Тень от прямой на поверхность представляет собой
линию пересечения лучевой плоскости, проходящей через данную прямую, с поверхностью.
Для построения тени отрезка прямой общего положения строят тени
начальной и конечной точек отрезка. Если действительные (реальные) тени этих точек расположены на одной плоскости проекций, то тень отрезка
представляет прямую линию. Если реальные тени этих точек расположены
на разных плоскостях проекций, то тень отрезка представляет собой ломаную линию. Для ее построения необходимо находить мнимые тени концов
отрезка (рис. 12а).
Тень отрезка прямой, параллельного плоскости проекций, равна и параллельна проекции отрезка на эту плоскость проекций (рис.12б). Если отрезок перпендикулярен плоскости проекций, то его тень совпадает с проекцией светового луча на эту плоскость (рис.12в).
Тень, которая образуется на неосвещенной части поверхности, называется собственной тенью.
Контур падающей тени является тенью от контура собственной тени.
Построение теней здания надо начинать с определения плоскостей и
41
поверхностей, находящихся в собственной тени. Затем от контура собственной тени строят контур падающей тени на плоскость π1. Для этого из
каждой точки, принадлежащей контуру собственной тени, проводят горизонтальную и фронтальную проекцию лучей под углом 45° к оси х и находят их пересечение с плоскостью π1.
E2
а)
45°
x
F2
D2
Et 2
Et1
B2
D1
F1
E1
C2
Ct1
B1
K2
L2
Bt 1
Ft1=Ft 2
45°
в)
б)
C1
Kt 1
K1 = L 1=L t1
Рис. 12. Построение теней. Тень отрезков прямых
Для построения падающей тени от одного элемента здания на другой
можно использовать способ лучевых сечений, при котором проводят лучи
от одного элемента, заключают их в проецирующую плоскость, строят линии сечения второго элемента этими плоскостями, находят точки пересечения лучей с сечениями.
Для построения тени от одного элемента здания на другой также применяется метод обратных лучей, при котором сначала строят падающие
тени от первого и второго элемента на плоскость проекций и определяют
точки пересечения теней. Через эти точки проводят лучи, направление которых противоположно световым лучам, до пересечения с линией, давшей
тень.
Эпюр отмывается раствором черной акварельной краски. Изображения
здания отмываются 1 раз, собственные тени – 2 раза, падающие – 3 раза.
ЭПЮР № 7
Содержание эпюра. Даны ортогональные проекции схематизированного здания. Построить перспективу здания, определить собственные и падающие тени здания в перспективе.
42
Индивидуальные задания к эпюру № 6
1
2
h2
x
h2
x
P1
k1
S1
4
5
S1
x
x
k1
S1
8
S1
h2
P1
S1
k1
9
h2
h2
x
S1
h2
x
P1
S1
6
P1
7
k1
k1
x
P1
x
P1
h2
h2
k1
h2
x
P1
k1
3
P1
k1
S1
P1
k1
S1
43
Индивидуальные задания к эпюру № 6 (продолжение)
10
h2
11
h2
x
x
P1
k1
S1
13
h2
14
h2
h2
x
44
15
h2
P1
k1
S1
17
h2
x
18
h2
P1
P1
k1
k1
S1
x
P1
S1
S1
P1
S1
16
k1
x
P1
k1
P1
S1
x
x
h2
x
P1
k1
12
S1
k1
S1
k1
Индивидуальные задания к эпюру № 6 (окончание)
19
20
h2
h2
21
h2
x
x
x
k1
k1
k1
P1
P1
P1
S1
S1
22
h2
23
x
x
k1
k1
S1
h2
24
h2
x
k1
P1
P1
P1
S1
S1
S1
25
h2
26
h2
x
x
P1
S1
h2
x
k1
k1
27
k1
P1
S1
P1
S1
45
Методические указания. Эпюр выполняется на листе чертежной бумаги формата А2 (420х 594) мм, расположенного горизонтально. Данные для
эпюра взять из индивидуальных заданий к эпюру № 6 на стр. 43 - 45 в соответствии с вариантом. Табличное изображение здания увеличивается в 3
раза. Пример выполнения эпюра приведен на рис. 13.
Для построения перспективы здания рекомендуется применять способ архитекторов с использованием одной или двух точек схода. Ортогональные
проекции здания взять из эпюра № 6 и вычертить в левом верхнем углу
листа.
Для построения перспективы здания рекомендуются следующие этапы:
1. Выбрать положение картинной плоскости и точки зрения: картинную плоскость ориентировать так, чтобы, во-первых, горизонтальный след
ее К1 с одной из сторон плана составлял бы угол 25-35°; во-вторых, горизонтальный угол зрения между крайними лучами в плане должен находится в пределах от 18 до 53° (оптимальное значение угла зрения ϕ ≈ 28°);
в-третьих, главная точка картины Р оказалась бы в пределах средней трети
угла зрения.
2. Определить положение точек схода F и V, которые определяются
перспективами несобственных точек пучков параллельных прямых направления I и направления II.
3. Найти точки пересечения прямых с картинной плоскостью – Н (начальные точки прямых).
4. Совместить картинную плоскость с плоскостью чертежа, увеличивая
размеры в 3 раза. От основания картины отложить на высоте h линию горизонта. На линии горизонта нанести главную точку картины Р и точки
схода пучков параллельных прямых I и II направления F и V. На основании
картины отложить расстояния от точки Р до начальных точек прямых.
Провести все прямые I направления из начальных точек в точку F, а II направления – в точку V.
5. Перспективы точек плана определить пересечением соответствующих перспектив прямых I-го и II-го направления.
6. Для того, чтобы получить перспективы вертикальных ребер, нужно
через ребро провести вертикальную плоскость и построить линию пересечения этой плоскости с картиной. Затем, отложив на этой прямой от основания картины отрезок, равный заданной высоте, провести в плоскости горизонталь заданной высоты до пересечения с перспективой взятого ребра.
46
H1
H2
H3
h2
x
P
V 1=V
I
V1
8
7
F1=F
6
0
P1
1
II
S1
St 1
St
F1
5
k1
8
H1
4
H2
3
H3
2
7
6
0
P
1
2
3
Рис. 13. Пример выполнения домашнего задания № 6
4
5
Определить контуры собственных и падающих теней. Лучи света
принять параллельными картинной плоскости с углом наклона к предметной плоскости 45°. Для построения теней от точек на предметную плоскость нужно через перспективу точки провести перспективу луча, направленного под углом 45о к основанию картины, а через вторичную проекцию
точки провести вторичную проекцию луча параллельно основанию картины. В пересечении перспективы луча с его вторичной проекцией получается тень от точки на предметную плоскость. Для построения падающей тени от одного элемента здания на другой можно использовать метод обратных лучей и способ лучевых сечений.
7. Обвести перспективное изображение здания линиями толщиной
≈ 0,4 мм, тени ≈ 0,2 мм. Все построения сохранить в тонких линиях. Отмыть перспективное изображение здания одним слоем разведенной акварельной краски; собственные тени – двумя слоями; падающие тени – тремя
слоями.
ЭПЮР № 8
Содержание эпюра. Дана топографическая поверхность, заданная горизонталями, и земляное сооружение (горизонтальная строительная площадка и наклонный участок дороги). Откосы выемок имеют уклон 1:1, откосы насыпи - 1:1,5, уклон дороги 1:4. Центр сооружения «О» совпадает с
точкой «О» участка топографической поверхности, ось сооружения наклонена к меридиану под заданным углом.
Построить:
1. Границы земляных работ при строительстве земляного сооружения.
2. Профиль топографической поверхности и сооружения по направлению А-А.
Методические указания. Эпюр выполняется на листе чертежной бумаги формата А3 в масштабе 1:200. Данные для эпюра берутся из табл. 3 в
соответствии с вариантом.
Участок топографической поверхности задан на рис.14; земляное сооружение – на рис. 15. Образец выполнения задания приведен на рис. 16.
При выполнении задания используется метод проекций с числовыми
отметками. Сущность этого метода заключается в том, что данный участок
земной поверхности ортогонально проецируется только на одну плоскость
нулевого уровня, а фронтальная проекция заменяется отметками, указы48
вающими расстояние в метрах от точек до плоскости нулевого уровня.
Прямая линия задается проекциями двух точек и их отметками или
отметкой одной точки и уклоном. Проекция прямой на плоскость нулевого
уровня называется заложением, а разность отметок концов отрезка – превышением. Отношение превышения к заложению называется уклоном
прямой. Заложение, соответствующее единице превышения, определяет
интервал прямой. Проградуировать проекцию прямой значит определить
на ней точки с разностью отметок, равной единице.
Плоскость в проекциях с числовыми отметками удобно задавать масштабом уклона – градуированной проекцией линии наибольшего ската
плоскости. Масштаб уклона изображают двойной линией (утолщенной и
тонкой) с нанесением интервала между горизонтами.
Таблица № 3
Номер
Тип
Отклонение
Номер
Тип
Отклоневариан- сооружеоси от мевариан- сооружения ние оси от
та
ния
ридиана
та
меридиана
о
1
А
с, 0
15
В
св, 12о
2
Б
сз, 15о
16
Г
сз, 7о
3
В
св, 5о
17
А
юз, 15о
4
Г
юз, 7о
18
Б
с, 0о
5
А
юз, 10о
19
В
юв, 12о
6
Б
юв, 15о
20
Г
юв, 5о
7
В
с, 0о
21
А
юз, 12о
8
Г
сз,10о
22
Б
св, 7о
9
А
св, 10о
23
В
юз, 5о
10
Б
юв, 10о
24
Г
с, 0о
11
В
сз, 5о
25
А
св, 7о
12
Г
св, 15о
26
Б
св, 7о
13
А
юз, 15о
27
В
юв, 10о
14
Б
юв, 7о
28
Г
сз, 15о
Проекции горизонталей плоскости перпендикулярны к масштабу уклонов. Линия пересечения плоскостей определяется точками пересечения
двух пар одноименных горизонталей этих плоскостей. Линию пересече-
49
ния откосов с топографической поверхностью можно построить, соединив точки пересечения одноименных горизонталей откосов и поверхности
земли.
Для выполнения задания рекомендуются следующие этапы:
1. С заданного плана местности перечертить горизонтали, увеличив
расстояние между ними в соответствии с масштабом.
26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16
40м
с
30
0
20
10
ю
0
10
20
30
40м
Рис. 14. Участок топографической поверхности.
2. На плане местности вычертить контуры строительной площадки и
примыкающего к ней участка автодороги так, чтобы точка О площадки
совпала с точкой О плана, и ось площадки была бы наклонена к меридиану
под заданным углом.
3. Построить график масштабов уклонов, приняв уклон выемок 1:1,
уклон насыпей 1:1,5 и уклон полотна автодороги 1:4.
4. Сравнением горизонталей топографической поверхности и строительной площадки определить линию нулевых работ (22-я горизонталь,
отметка которой совпадает с проектной отметкой площадки на рис. 14). По
этой линии никаких земельных работ производить не требуется. Сравнение
отметок также показывает, что правая сторона площадки оказывается выше поверхности земли, а левая – ниже. Таким образом, с правой стороны
от линии нулевых работ надо произвести насыпь, а с левой стороны – выемку грунта.
50
Ось
Б
Ось
R5
R5
3
2
A
22.00
3
4
0
15
16
A
A
16
2
В
A
Ось
Г
R5
4
22.00
A
3
4
0
0
R5
22.00
3
A
A
4
0
4
22.00
4
А
Ось
A
15
Рис. 15. Варианты типов земляных сооружений
5. В зоне выемки расширить площадку и полотно дороги на 1 м для
устройства водоотводных кюветов.
6. Для определения границ земельных работ в зоне строительной
площадки построить масштабы уклонов плоскостей откосов перпендикулярно к бровкам площадки. Интервалы масштабов уклонов выемки и насыпи определить из графика масштабов уклонов (Lн = 1,5 м; Lв = 1 м). Затем провести горизонтали плоскостей откосов перпендикулярно к масштабам уклонов. В той части площадки, где имеются закругления, откосы насыпи и выемки должны представлять собой коническую поверхность, горизонтали которой есть концентрические окружности. Найти линии пересечения откосов между собой и с топографической поверхностью. Искомые линии определяются точками пересечения одноименных горизонталей
откосов и топографической поверхности.
7. Для определения границ земельных работ на прямолинейном участке полотна автодороги сначала проградуировать данный участок дороги,
проводя горизонтали дороги с интервалом 4 м перпендикулярно к оси дороги. Для определения направления проекций горизонталей плоскости откоса в
51
40
26
25
24 23
22
21
19
20
18
17
16
Профиль А-А
A
21
20
22
18
22
20
21
19
20
21
22
C
B
23.000
25
B
C
0
20
+23.000
24
26
30
26
25
24
23
22
21
20
19
16
17
22
26
25
24
19
20
21
24
23
A
24
25
2
27 6
19
22
21
19
18
18
17
20
20
iB =1:1
iH=1:1,5
i =1:4
0
10
21
Масштабы уклонов
21
20
10
22
30
40
1 0 1 2 3 4ì
Рис. 16. Пример выполнения домашнего задания № 6
19
любой точке бровки дороги, например в точке С с отметкой 22.000 расположить вершину вспомогательного конуса, радиус основания которого равен интервалу откоса (R = 1,5 м для насыпи, R = 1 м для выемки). Из следующей точки В с отметкой 21.000 провести касательную к основанию конуса, которая представляет собой горизонталь плоскости откоса с отметкой 21.000. Перпендикулярно к полученной горизонтали построить масштаб уклона откоса. Затем провести остальные горизонтали плоскости откоса параллельно 21-й горизонтали. Определив точки пересечения одноименных горизонталей насыпи и топографической поверхности, найти искомые границы земельных работ.
8. Вычертить поперечный профиль земляного сооружения по направлению А-А. Для построения фигуры сечения по горизонтальной оси
отложить точки пересечения горизонталей топографической поверхности
и следа секущей плоскости А-А; из полученных точек восстановить перпендикуляры и на них отложить высоты, соответствующие числовым отметкам горизонталей. Соединив последовательно найденные точки, построить профиль поверхности земли. Затем по числовым отметкам построить профиль земляного сооружения (как линию пересечения земляного сооружения с плоскостью А-А).
9. Направление ската откосов насыпи и выемки обозначить чередующимися короткими толстыми и длинными тонкими отрезками –
бергштрихами, перпендикулярными к горизонталям откосов и направленными в сторону ската плоскости.
10. Оформить чертеж. Все вспомогательные построения сохранить в
тонких линиях. Нанести масштабы уклонов всех откосов двойной линией,
обвести горизонтали откосов сплошной толстой линией; горизонтали топографической поверхности обвести коричневым цветом. План
земляного сооружения, линии пересечения откосов между собой и
границы земляных работ обвести сплошной тонкой линией (≈ 0,8 мм). Выполнить отмывку поверхности земли и инженерного сооружения. При работе акварельными красками использовать следующие цвета: зеленый –
для отмывки топографической поверхности, серый – для строительной
площадки и полотна автодороги, желтый – для отмывки откосов насыпи,
коричневый – отмывки выемки.
53
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Принятые обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Обозначение основных операций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Программа изучения курса начертательной геометрии . . . . . . . . . . . . . . . 5
Методические указания по выполнению контрольных работ . . . . . . . . . . .7
Контрольная работа № 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Эпюр № 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Контрольная работа № 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Эпюр № 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Эпюр № 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Контрольная работа № 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Эпюр № 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Эпюр № 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Контрольная работа № 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Эпюр № 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Эпюр № 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Эпюр № 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
54
Учебное издание
АБАРИХИН Николай Павлович
БУТУЗОВА Галина Николаевна
КОНДРАТЬЕВА Наталья Евгеньевна
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Практикум
Редактор А.П. Володина
Корректор Е.П. Викулова
ЛР № 020275. Подписано в печать 10.09.02
Формат 64х84/16 Бумага для множительной техники. Гарнитура Таймс.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 3,25 Уч.-изд. л. 3,42
Заказ –
Редакционно-издательский комплекс
Владимирского государственного университета
600000, Владимир, ул. Горького, 87.